Как найти множество цифр числа

Множества чисел бывают конечными или бесконечными и их принято обозначать большими буквами A, B, …, а их элементы – маленькими буквами, например, x, y, z,….

Что такое множество чисел

Термин множества чисел можно описать, как совокупность, объединение, набор некоторых объектов произвольной природы – элементы множества. Например, множество книг в библиотеке, множество студентов факультета, множество парных чисел, множество точек заданного отрезка и т. п.

Если элемент x принадлежит множеству A, тогда пишут xin{A}, если же элемент y не принадлежит множеству A, тогда пишут, что ynotin{A} или  yoverlinein{A}.

Множества, в которых нет ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается varnothing.

Рассмотрим несколько важных операций:

1. Два множества A и B называются равными (обозначают A = B), если они состоят из одинаковых элементов.

2. Множество A называется подмножным множеством B, если каждый элемент множества A есть элементом множества B.

Это обозначается так: Asubset{B} и читается A содержится в B или в B находится A. Очевидно, что пустое множество входит в любое множество A: varnothingsubset A.

Например, если множество A состоит из элементов 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 обозначают:

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}), а в B = {2, 3, 5, 7} тогда Bsubset{A}.

3. Множества элементов C, которые принадлежат множеству A или множеству B, или A и B, называется объединением этих множеств и обозначается C = Acup{B}.

4. Множества элементов C, которые принадлежат двум множествам A и B называется пересечением множеств A и B и обозначается C = Acap{B}

Если, например, A и B – это множества точек, что принадлежат двум фигурам соответственно, тогда схематически на рис. 1 изображены их объединения в случаях а) и б). На рис. 2 изображено пересечение множеств A и B.

Множества чисел

Рис. 1

Элементы множества

Рис. 2 

5. Разницей множеств A и B называется множество C = A  B, что содержит те элементы A, которые не есть элементами множества B (см. рис. 3).

Множества чисел

Рис. 3

Виды чисел

Существует 7 видов чисел:

1. Натуральные – N;

2. натуральные числа, в которые включается нуль – N_{0};

3. целые числа – Z;

а) целые положительные числа – Z^{+};

б) целые отрицательные числа – Z^{-};

4. рациональные числа – Q;

5. иррациональные числа

6. Действительные числа – R;

7. Комплексные числа – C.

Рассмотрим каждый вид числа более подробно:

1. Натуральные числа всегда используются при естественном счёте или перечислении предметов, вернее при их нумерации, то есть “первый”, “второй”, “третий”. Описывается множество натуральных чисел так:

N = {1, 2, 3, …, }.

2. Натуральные числа, в которые включён нуль используются для обозначения количества предметов:

N = {0, 1, 2, 3, …}

3. Целые числа – это числа, в которые входят натуральные числа с положительным и отрицательным знаками:

а) целые положительные числа (обозначаются Z^{+}) и пишутся: Z^{+} = N = {1, 2, 3, …};

б) целые отрицательные числа (обозначаются Z^{-}) и пишутся:  Z^{-} = N {…, -3, -2, -1};

Z = Z^{-}cup {0}cup{Z^{+}} = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}.

4. Рациональные числа – числа, которые представляются в виде обыкновенной дроби m/n, где m и n – целые числа, а nneq{0}. Рациональные числа обозначаются латинской большой буквой Q:

Q = {x | x = m/n, min{Z}, nin{Z}, nneq{0}}. Если переводить в десятичную дробь, тогда рациональное число может представляться конечной и бесконечной дробью.

5. Иррациональные числа – вещественное число, которое не рациональное и не может представляться в виде десятичной дроби.

6 Действительные числа или вещественные – это числа, в которых объединяются рациональные и иррациональные числа (R).

7. Комплексные числа – это числа, в которых содержится i – мнимая единица:

C = {x + iy | xin{R} и yin{R}}.

Нужна помощь в написании работы?

Мы – биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать работу

Примеры решения задач

Задача

Записать множество E, если E = Acup{B}, причём A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, B = {3, 6, 9, 12}.

Решение

E = Acup{B} есть не что иное, как объединение множеств A и B, то есть, множество E будет состоять из элементов, принадлежащих как множеству A, так и множеству B: E = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12}.

Ответ

Множество E состоит из элементов, которые принадлежат двум множествам A и B.

Задача

Все студенты курса изучают разные иностранные языки. Значит, из них, 91 студент изучает  английский язык, ещё 96 студентов изучают немецкий язык, 94 студента изучают исключительно французский язык, 36 студентов изучают не только английский, но и немецкий языки, ещё 32 студента изучают английский и французский языки, а 10 студентов занимаются изучением всех языков без исключения.

Вопрос: сколько студентов занимаются изучением немецкого и французского языков, если всего на курсе по списку 189 студентов?

Решение

Итак, для начала введём обозначения:

A – множество всех студентов, которые находятся на данном курсе;

A_{1} – множество студентов, которые изучают только английский язык;

A_{2} – множество студентов, которые занимаются изучением немецкого языка;

A_{3} – множество студентов, изучающих исключительно французский язык;

A_{12} – множество студентов, которые изучают, как английский, так и немецкий язык;

A_{13} – множество студентов, изучающие английский и французский языки;

A_{23} – множество студентов, которіе изучают немецкий и французский язіки;

A_{123} – множество студентов, которые изучают абсолютно все языки;

|B| – количество элементов множества B.

По условию задачи:

|A| = 189, |A_{1}| = 91, |A_{3}| = 94, |A_{12}| = 36, |A_{23}| = 32, |A_{23}| = x.

Найдём x – количество студентов, которые изучают немецкий и французский языки. Согласно вышеописанному обозначению, у нас получается:

A_{12} = A_{1}cup{A_{2}}, A_{13} = A_{1}cup{A_{3}}, A_{23} = A_{2}cup{A_{3}}, A_{123} = A_{1}cup{A_2}cup{A_{3}}.

Из методов включения и исключения следует, что

|A| = |A_{1}| + |A_{2}| + |A_{3}}| - |A_{1}cup{A_{2}}| - |A_{1}cup{A_{3}}| - |A_{2}cup{A_{3}}| - |A_{1}cup{A_{2}}cup{A_{3}}| =\ = |A_{1}| + |A_{2}| + |A_{3}| - |A_{12}| - |A_{13}| - |A_{23} + A_{123}|.

189 = 91 + 96 + 94 - 36 - 32 - x + 10  189 = 223 - x  x = 223 - 189 = 34

Ответ

34 студента занимаются изучением немецкого и французского языков.

Содержание:

Множества

Понятие множества является одним из исходных понятий математики в том смысле, что его нельзя определить с помощью более простых, чем оно само, понятий. В повседневной жизни часто приходится рассматривать набор некоторых объектов как единое целое. Скажем, когда биолог изучает флору и фауну некоторой местности, он делит организмы на виды, а виды на семейства. При этом каждый вид рассматривается как единое целое, состоящее из организмов.

Множество может состоять из объектов различной природы. Например, вес реки Азии или все слова в словаре могут рассматриваться как множества.

Знаменитый немецкий математик Г. Кантор (1845 -1918) дал следующую описательную формулировку: «Множество есть совокупность, мыслимая как единое целое».

Объекты, составляющие множество, называются его элементами.

Обычно, для удобства, множество обозначается заглавными буквами латинского алфавита, например, А, В, С,…, а его элементы – прописными.

Множество А, состоящее из элементов а, b, с, … , будем записывать в виде A = {а, b, с,…}. Отметим, что записи {6, 11} , {11, 6} , {11, 6, 6, 11} означают одно и то же множество.

При ведем примеры множеств. Например, множество {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – множество цифр десятичной системы счисления ,Множества - определение и вычисление с примерами решения

То, что х является элементом множества А, будем обозначать как Множества - определение и вычисление с примерами решенияа то, что он не является его элементом, будем обозначать как Множества - определение и вычисление с примерами решения Эти записи в первом случае читаются как «элементах принадлежит А», а во втором случае как «элемент х не принадлежит А».

Например, для множества Множества - определение и вычисление с примерами решения имеем Множества - определение и вычисление с примерами решенияоднако Множества - определение и вычисление с примерами решения

Если число элементов, составляющих множество, конечно, то такое множество будем называть конечным, в противном случае бесконечным. Например, множество Множества - определение и вычисление с примерами решения конечно, а множество Множества - определение и вычисление с примерами решения всех натуральных чисел бесконечно.

В качестве еще одного примера бесконечного множества можно привести множество всех натуральных чисел, не меньших 13.

Обозначим через Множества - определение и вычисление с примерами решения число всех элементов конечного множества А. Если, например,Множества - определение и вычисление с примерами решения

в силу того, что число всех его элементов равно 6. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается так: 0

Пустое множество 0 считается конечным и для него я(0)= 0.

Для бесконечного множества А принято, что Множества - определение и вычисление с примерами решения

Если вес элементы множества А также принадлежат множеству В, то говорят, что множество А – подмножество множества В и обозначают так: Множества - определение и вычисление с примерами решения. В этом случае также говорят, что «множество А лежит во множестве В» или «множество А – часть В».

Во множестве {а} лежат два подмножества:Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множество {а, b} имеет четыре подмножества: Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения так как все элементы первого множества также являются элементами второго.

Если множество А имеет элементы, не принадлежащие В, то множество А не может быть подмножеством В. Этот факт мы будем записывать так:Множества - определение и вычисление с примерами решения

Например, пусть А={ 1, 2, 3, 4}, В={2, 3, 4, 5}. Так как Множества - определение и вычисление с примерами решения Очевидно, что справедливы соотношения:Множества - определение и вычисление с примерами решения

Если Множества - определение и вычисление с примерами решения то эти множества состоят из одних и тех же элементов. Такие множества называются равными (совпадающими), и этот факт мы будем записывать так: А = В.

Например, множество всех правильных треугольников совпадает со множеством всевозможных треугольников, у которых все углы равны. Причина этого заключается в том, что у любого правильного треугольника

все углы равны, и, наоборот, если у треугольника все углы равны, то он является правильным.

Напомним основные числовые множества:Множества - определение и вычисление с примерами решения— множество натуральных чисел; Множества - определение и вычисление с примерами решения — множество целых чисел; Множества - определение и вычисление с примерами решения– множество рациональных чисел; Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множество действительных чисел

Объединение и пересечение множеств

1) Множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А, В, называется объединением множеств.

Объединение множеств А, В обозначается через Множества - определение и вычисление с примерами решения

Например, если Множества - определение и вычисление с примерами решения

2) Множество, состоящее из элементов, принадлежащих обоим множествам А, В, называется пересечением множеств. Пересечение множеств А. В обозначается через Множества - определение и вычисление с примерами решения

Например, если Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества, не имеющие общих элементов, называются не пересекающимися.

Пример:

Для множеств Множества - определение и вычисление с примерами решения

a) определите, какие из утверждений верны, а какие неверны: Множества - определение и вычисление с примерами решения

b) найдите множества: Множества - определение и вычисление с примерами решения

c) определите, какие из утверждений верны, а какие неверны:Множества - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

а) Так как число 4 не является элементом множества М, то утверждение Множества - определение и вычисление с примерами решения неверно. Так как число 6 не является элементом множества, утверждение Множества - определение и вычисление с примерами решения истинно.

b). Множества - определение и вычисление с примерами решения так как только числа 3 и 9 – элементы обоих множеств. Для того, чтобы найти множествоМножества - определение и вычисление с примерами решениявыпишем элементы, принадлежащие либо М либо N: Множества - определение и вычисление с примерами решения = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10};

c) Утверждение Множества - определение и вычисление с примерами решения ложно, ибо существуют элементы множества М, не принадлежащие N. Утверждение Множества - определение и вычисление с примерами решения истинно, ибо в множестве У есть элементы из {9, 6, 3}. 

В некоторых случаях для задания множества указывается характеристическое свойство, истинное для всех элементов множества и ложное для остальных. Если мы кратко запишем тот факт, что элемент х удовлетворяет свойству Р как Р(х), то множество всех элементов, удовлетворяющих свойству Р обозначается так: Множества - определение и вычисление с примерами решения

Например, запись Множества - определение и вычисление с примерами решения читается следующим образом: “множество всех целых чисел, больших или равных -2, по меньших или равных 4”.

На числовом луче это множество изображается так:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Видно, что Множества - определение и вычисление с примерами решения и оно, конечно, при этом Множества - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично запись Множества - определение и вычисление с примерами решения читается так: “множество всех действительных чисел, больших или равных -2, но меньших 4”.

На числовом луче это множество изображается так:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Видно, что, Множества - определение и вычисление с примерами решения и оно бесконечно, при этом Множества - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

a) Как читается эта запись?

b) Выпишите последовательно элементы этого множества.

c) Найдите Множества - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

a) “Множество всех целых чисел, больших 3 и меньших или равных 10”;

b). Множества - определение и вычисление с примерами решения

c). Множества - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим множество всех натуральных чисел, больших или равных 1, но меньших или равных 8. Пусть нас интересуют только его подмножества.

В таком случае, обычно вводится множество Множества - определение и вычисление с примерами решения называемое универсальным множеством.

Множество А содержащее все элементы универсального множества U, не являющиеся элементами множества А, называется дополнением множества А.

Например, если Множества - определение и вычисление с примерами решения – универсальное множество, то дополнение множества Множества - определение и вычисление с примерами решенияимеет вид Множества - определение и вычисление с примерами решения

Очевидно, что Множества - определение и вычисление с примерами решения

т.е. множества А и А’ не имеют общих элементов, а также вес составляющие их элементы образуют в совокупности универсальное множество U.

Пример:

Пусть U универсальное множество. Найдите С’, если:

а) С = {все четные числа); b). Множества - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Множества - определение и вычисление с примерами решения Множества - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Пусть Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения Выпишите все элементы множеств:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Пусть Множества - определение и вычисление с примерами решения {числа, кратные 4 и меньшие 50} и Q = {числа, кратные 6 и меньшие 50}. a) выпишите элементы множеств Р, Q;

b) найдите Множества - определение и вычисление с примерами решения с) Найдите Множества - определение и вычисление с примерами решения

d) проверьте выполнение равенства Множества - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Значит, Множества - определение и вычисление с примерами решения равенство является верным. 

Диаграммы Венна

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Например, на этом рисунке изображено множество А, лежащее внутри универсального множества Множества - определение и вычисление с примерами решенияЗакрашенная область вне круга означает дополнение А ’ множества А:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Если Множества - определение и вычисление с примерами решенияи Множества - определение и вычисление с примерами решения, то они изображаются на диаграмме Венна следующим образом:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Мы знаем, что если Множества - определение и вычисление с примерами решения то любой элемент множества В принадлежит множеству А. Значит, на соответствующей диаграмме Венна круг, обозначающий множество В, лежит в круге, обозначающем множество А:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Все элементы пересечения Множества - определение и вычисление с примерами решениялежат как в А, так и в В. Значит, на соответствующей диаграмме Венна закрашенная область изображает множество Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Все элементы объединения A U В принадлежат либо А, либо В, либо обоим одновременно. Значит, на соответствующей диаграмме Венна область, соответствующая множеству A U В, изображается следующим образом: Множества - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Пусть Множества - определение и вычисление с примерами решения Изобразите на диаграмме

Венна множества:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Удобно на диаграмме Венна множества раскрашивать.

Например, на рисунке раскрашены множества А, Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Высказывание

Высказывание – это повествовательное предложение, утверждающее что-либо о чем-либо, при этом непременно истинное или ложное. Вопросительные предложения, повествовательные предложения, описывающие личное отношение субъекта, например «Зеленый цвет приятен», не являются высказываниями. Отметим, что существуют высказывания, истинность или ложность которых не определяются однозначно.

Например, высказывание “Этот писатель родился в Ташкенте” может быть истинным по отношению к некоторым писателям и ложным по отношению к другим.

Пример:

Укажите, какие из предложений являются высказываниями. В случае, когда предложение является высказыванием, однозначно ли определяется его истинность – ложность?

а) 20:4=80; b) 25-8=200;

с) Где мой карандаш? d) У тебя глаза голубые.

Решение:

a) Это высказывание и оно ложно, так как 20:4=5;

b) это высказывание и оно истинно;

c) это вопросительное предложение и поэтому оно не является высказыванием;

d) это высказывание. Истинность-ложность его определяется неоднозначно, так как применительно к некоторым людям оно истинно, а к другим – ложно.

Мы будем обозначать высказывания буквами p,q,r … .

Например, р: во вторник прошел дождь; q: 20:4=5; r: х – четное число. Для построения нескольких сложных высказываний служат символы, называемые логическими связками: Множества - определение и вычисление с примерами решения(конъюнкция, “и”, “но”), Множества - определение и вычисление с примерами решения(дизъюнкция, “или”), Множества - определение и вычисление с примерами решения(отрицание,” не ….”,”неверно, что ….”).

Рассмотрим их подробней.

Отрицание

Для высказывания р высказывание вида “не р” или “неверно, что р” называется отрицанием высказывания р и обозначается как Множества - определение и вычисление с примерами решения

Например,

отрицанием высказывания

р: Во вторник шел дождь

является высказывание

Множества - определение и вычисление с примерами решения: Во вторник дождя не было;

Отрицанием высказывания

р: У Мадины глаза голубые

является высказывание

Множества - определение и вычисление с примерами решения: У Мадины глаза не голубые.

Ясно, что если р истинно, то Множества - определение и вычисление с примерами решения ложно, и наоборот, если р ложно, то Множества - определение и вычисление с примерами решенияистинно. Этот факт иллюстрируется так называемой таблицей истинности. Такая таблица позволяет, исходя из высказывания р, заключить об истинности Множества - определение и вычисление с примерами решения или ложности Множества - определение и вычисление с примерами решения нового высказывания Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения

1 Буквы Т и F – начальные буквы английских слов “true” (истинно) и “false” (ложно) соответственно.

Пример:

Составьте отрицание высказывания:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Удобно находить отрицание высказывания с помощью диаграмм Венна. Например, рассмотрим высказывание: Множества - определение и вычисление с примерами решения

р: “Число х больше, чем 10 “.

На диаграмме U – множество всех чисел, множество Р – множество истинности высказывания р, то есть множество всех х , для которых это высказывание истинно. Множество Р’ является множеством истинности отрицания Множества - определение и вычисление с примерами решения: “Число х меньше или равно 10”.

Пример:

На множестве Множества - определение и вычисление с примерами решениярассмотрим высказывание р: х- простое число. Найдите множества истинности высказываний Множества - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Пусть множество Р – множество истинности высказывания р, а множество Р’ – множество высказывания Множества - определение и вычисление с примерами решения. Тогда эти множества изображаются на диаграмме Венна следующим образом:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Конъюнкция

Высказывание, образованное из двух высказываний с помощью связки “и”, называется конъюнкцией заданных высказываний.

Конъюнкция высказываний р, q обозначается через Множества - определение и вычисление с примерами решения

Например, конъюнкция высказываний,

р: Эльдар на завтрак ел плов;

q: Эльдар на завтрак ел самсу.

имеет вид:

Множества - определение и вычисление с примерами решения Эльдар на завтрак ел плов и самсу.

Видно, что высказывание Множества - определение и вычисление с примерами решения верно, если Эльдар на завтрак ел и плов и самсу, то есть высказывание Множества - определение и вычисление с примерами решения истинно при истинности обоих высказываний. Если хотя бы одно из высказываний р, q ложно, то высказывание Множества - определение и вычисление с примерами решения является ложным. Конъюнкция высказываний р, q имеет следующую таблицу истинности:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения истинно, когда оба высказывания р, q истинны. Множества - определение и вычисление с примерами решения ложно, когда хотя бы одно из высказываний р, q ложно.

Первый и второй столбцы таблицы составлены из всех возможных значений истинности высказываний р, q.

На диаграмме Р – множество истинности высказывания р, Q – множество истинности высказывания q , а множество истинности высказывания Множества - определение и вычисление с примерами решения является множеством Множества - определение и вычисление с примерами решения на котором истинны оба высказывания:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Дизъюнкция

Высказывание, образованное из двух высказываний с помощью связки “или”, называется дизъюнкцией заданных высказываний.

Дизъюнкция высказываний р, q обозначается через Множества - определение и вычисление с примерами решения

Например, дизъюнкция высказываний,

р: Эльдар сегодня посетит библиотеку,

q: Эльдар сегодня посетит театр .

имеет вид:

Множества - определение и вычисление с примерами решения Эльдар сегодня посетит библиотеку или театр.

ВысказываниеМножества - определение и вычисление с примерами решения истинно, когда сегодня Эльдар посетит либо библиотеку, либо театр, либо и то и другое.

Высказывание Множества - определение и вычисление с примерами решения будет ложным, лишь когда оба высказывания р, q будут ложными одновременно.

Дизъюнкция имеет следующую таблицу истинности:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

pVq истинно, когда хотя бы одно из высказываний р, q истинно.

pVq ложно, когда оба высказывания p, q ложны.

На диаграмме Р – множество истинности высказывания р, Q – множество истинности высказывания q, а множество истинности высказывания pVq является множество Множества - определение и вычисление с примерами решения, на котором истинно хотя бы одно высказывание:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Логическая равносильность

Составим, используя буквы и символы логических связок таких, как отрицание, конъюнкция и дизъюнкция, символическую запись более сложных высказываний естественного языка, при этом не обращая внимания на их истинность или ложность.

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Объединяя таблицы истинности для отрицания, конъюнкции и дизъюнкции, можно составить таблицы истинности для более сложных высказываний: Множества - определение и вычисление с примерами решения

Пример 1. Составьте таблицу истинности высказывания Множества - определение и вычисление с примерами решения

1 шаг.

Выпишем таблицу и заполним сначала первый и второй столбец всеми возможными значениями истинности р и q:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

2 шаг. Учитывая значения истинности q, заполним третий столбец значениями истинности Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения

3 шаг Учитывая значения истинности p и Множества - определение и вычисление с примерами решениязаполним четвертый столбец значениями истинности Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Высказывание, являющееся истинным всегда, называется законом логики или тавтологией.

То, что высказывание является законом логики, можно доказать при помощи таблицы истинности.

Пример:

Докажите, что высказываниеМножества - определение и вычисление с примерами решенияявляется тавтологией.

Заполним таблицу истинности:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Видно, что высказывание Множества - определение и вычисление с примерами решения принимает только истинные значения (см. третий столбец). Поэтому данное высказывание является тавтологией. 

Если для двух высказываний соответствующие их значениям истинности столбцы одинаковы, то эти высказывания называются логически равносильными.

Пример:

Докажите, что следующие высказывания являются логически равносильнымиМножества - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Составим таблицы истинности для высказываний Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Так как у высказыванийМножества - определение и вычисление с примерами решения соответствующие значениям истинности столбцы одинаковы, то эти высказывания являются логически равносильными.

Мы будем обозначать этот факт так:Множества - определение и вычисление с примерами решения

Импликация

Высказывание, образуемое из двух высказываний с помощью связки “если …., то …” называется импликацией этих двух высказываний.

Импликация “Если р, то q” обозначается какМножества - определение и вычисление с примерами решения и имеет также следующие интерпретации “Из р следует (вытекает) q”, “Высказывание р достаточно для q “, “Высказывание q необходимо для р”.

При этом высказывание р называется достаточным условием для q, а высказывание q – необходимым условием для р.

высказывание q – необходимым условием для р.

Рассмотрим , например, высказывания

р: У Сардора есть телевизор; q: Сардор будет смотреть кино.

Тогда высказывание Множества - определение и вычисление с примерами решения означает:

Если у Сардора есть телевизор, то он будет смотреть кино.

Точно такжеМножества - определение и вычисление с примерами решения

Для того, чтобы Сардор смотрел кино достаточно, чтобы у него был телевизор.

Можно заметить, что высказывание Множества - определение и вычисление с примерами решения ложно, лишь когда высказывание р истинно, а высказывание q ложно, а в остальных случаях – истинно. Поэтому имеем следующую таблицу истинности:

Множества - определение и вычисление с примерами решения Из высказываний и логических связок, не обращая на значения истинности, можно составить более сложные высказывания.

Пример:

Рассмотрим высказывания

р: “Анора часто смотрит кинофильмы”;

q: “Барно часто смотрит кинофильмы

r: “Барно не сдаст экзамен”;

s: “произойдет чудо”.

 Имеем: 1. Множества - определение и вычисление с примерами решения“Анора часто смотрит кинофильмы, а Барно – нет”.

2. Множества - определение и вычисление с примерами решения“Если Анора часто смотрит кинофильмы, то Барно нет”.

3. Множества - определение и вычисление с примерами решения “Если Барно часто смотрит кинофильмы, то она или не сдаст экзамен или произойдет чудо”.

4. Множества - определение и вычисление с примерами решения “Если Барно часто смотрит кинофильмы и при этом не произойдет чуда, то Барно не сдаст экзамен”.

5. Множества - определение и вычисление с примерами решения “Либо Барно часто смотрит кинофильмы и произойдет чудо, либо Барно не сдаст экзамен”.

Эквиваленция

Высказывание вида Множества - определение и вычисление с примерами решения называется эквиваленцией высказываний и обозначается так: Множества - определение и вычисление с примерами решения

Запись Множества - определение и вычисление с примерами решения читается как “высказывание р необходимо и достаточно для q” или как “высказывание р истинно лишь при выполнении q”.

Пример:

р: х – четно, q: последняя цифра числа х четна. Выразите высказывание Множества - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Рассмотрим высказывание,Множества - определение и вычисление с примерами решения: Если х- четно, то его последняя цифра четна;

Множества - определение и вычисление с примерами решения Если последняя цифра числа х четна, то х – четно.

Тогда запись Множества - определение и вычисление с примерами решениячитается , как “Для того чтобы число х было четно, необходимо и достаточно, чтобы последняя его цифра была четной”. ^ Теперь для заданных высказываний р и q составим таблицу истинности высказывания Множества - определение и вычисление с примерами решения:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Видно, что высказывание Множества - определение и вычисление с примерами решениябудет истинным, лишь когда высказывания р и q принимают одинаковые значения истинности (то есть когда они оба одновременно истинны или одновременно ложны ).

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Конверсия

Конверсией высказывания Множества - определение и вычисление с примерами решения называется высказываниеМножества - определение и вычисление с примерами решения

Конверсия имеет следующую таблицу истинности:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Рассмотрим высказывания

р: треугольник равнобедренный,

q: два угла треугольника равны.

Выразите на естественном языке высказывание Множества - определение и вычисление с примерами решения и его конверсию.

Решение:

Множества - определение и вычисление с примерами решенияЕсли треугольник равнобедренный, то у него два угла равны.

Множества - определение и вычисление с примерами решенияЕсли два угла треугольника равны, то он равнобедренный .

Инверсия

Инверсией высказыванияМножества - определение и вычисление с примерами решения называется высказывание Множества - определение и вычисление с примерами решения Инверсия имеет следующую таблицу истинности:

Эта таблица совпадает с таблицей истинности высказывания Множества - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому конверсия и инверсия логически равносильны.

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Контрапозиция

Контрапозицией высказывания Множества - определение и вычисление с примерами решенияназывается высказывание Множества - определение и вычисление с примерами решения Контрапозиция имеет следующую таблицу истинности:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Эта таблица совпадает с таблицей истинности высказывания Множества - определение и вычисление с примерами решенияПоэтому импликация и контрапозиция логически равносильны.

Пример:

Рассмотрим высказывание. Все учителя живут поблизости от школы”. Составим его контрапозицию.

Решение:

Данное высказывание можно сформулировать так: “Если этот человек – учитель, что он живет поблизости от школы”.

Это предложение имеет форму Множества - определение и вычисление с примерами решения, где

р: этот человек – учитель,

q: этот человек живет поблизости от школы.

Контрапозиция Множества - определение и вычисление с примерами решения имеет вид:

“Если этот человек не живет поблизости от школы, то он не является учителем.

Пример:

Рассмотрим высказывания:

р: Самандар находится в библиотеке, q: Самандар читает книгу.

Составьте имликацию, конверсию, инверсию и контрапозицию

Решение:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Отметим, что импликация и конверсия логически не равносильны, так как , например , Самандар может читать книгу и в классе.

Предикаты и кванторы

В некоторых предложениях участвуют переменные, при этом подставив вместо них конкретные значения, получим высказывания. Такие предложения называются предикатами.

Пример:

Пусть задан предикат Множества - определение и вычисление с примерами решения Определите истинность или ложность высказываний Множества - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

В некоторых предикатах переменную можно определить исходя из контекста.

Например, в предложениях “Этот писатель родился в Ташкенте” и “Он родился в Ташкенте” переменными являются словосочетание”. “Этот писатель” и местоимение “он” соответственно. Если вместо переменной подставить значение “Абдулла Кадыри”, получим истинное высказывание “Абдулла Кадыри родился в Ташкенте”. Если вместо переменной подставить значение “Шекспир”, получим ложное высказывание “Шекспир родился в Ташкенте”.

Обозначив переменную через х, вышеуказанные предложения можно записать в виде “х родился в Ташкенте”.

В предикате могут участвовать одно или несколько переменных. В зависимости от количества переменных, участвующих в предикате, будем обозначать его так: Множества - определение и вычисление с примерами решения

Используя совместно с предикатом специальные символы Множества - определение и вычисление с примерами решения(квантор всеобщности, “для всех … “) и Множества - определение и вычисление с примерами решения (квантор существования, “существует такой, что ….”), можно образовать новые высказывания

Например, новое высказывание вида Множества - определение и вычисление с примерами решения говорит о том, что для всех значений х верно Р(х), высказывание вида Множества - определение и вычисление с примерами решения говорит о том, что значений х верно Р(х).

К примеру, рассмотрим предикат Р(х): “х родился в Самарканде”. Тогда высказывание Множества - определение и вычисление с примерами решениячитается как “все родились в Самарканде”, а высказывание Множества - определение и вычисление с примерами решения – “некоторые родились в Самарканде”.

Приведем примеры, в которых можно определить истинность-ложность высказываний видаМножества - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

ПустьМножества - определение и вычисление с примерами решения Докажите истинность высказывания: Множества - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

 Проверим: Множества - определение и вычисление с примерами решения

Значит, высказывание, Множества - определение и вычисление с примерами решенияистинно.

Следует отметить, что для того, чтобы доказать ложность высказывания Множества - определение и вычисление с примерами решения достаточно, привести пример хотя бы одного значения х такого, что высказываниеМножества - определение и вычисление с примерами решения, ложно.

Действительно, приМножества - определение и вычисление с примерами решения

Любое значениех, которое показывает, что высказывание Множества - определение и вычисление с примерами решенияложно, называется контрпримером.

Пример:

Докажите истинность высказывания Множества - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Так как Множества - определение и вычисление с примерами решения то высказывание, Множества - определение и вычисление с примерами решенияистинно.

Если же Множества - определение и вычисление с примерами решения, то высказывание Множества - определение и вычисление с примерами решения ложно, ибо

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Приведем два важных закона логики, связанных с операцией отрицания:Множества - определение и вычисление с примерами решения

Для понимания смысла этих законов приведем пример.

Если запись Множества - определение и вычисление с примерами решения означает Множества - определение и вычисление с примерами решения“Среди моих одноклассников

не существует отличников”, тогда запись означает логически равносильное ему утверждение “Все мои одноклассники не являются отличниками”.

Точно также, формула Множества - определение и вычисление с примерами решения означает высказывание “Неверно, что все мои одноклассники – отличники “, а формулаМножества - определение и вычисление с примерами решенияозначает логически равносильное ему высказывание “Некоторые мои одноклассники не являются отличниками”.

Очевидно, что с помощью кванторов и предиката Множества - определение и вычисление с примерами решения можно построить зависящие от одной переменной предикаты вида:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

из которых, в свою очередь, можно построить всказывания вида:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

В то время, когда смысл высказываний Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решенияа также смысл высказыванийМножества - определение и вычисление с примерами решения,одинаков, оказывается, что высказывания Множества - определение и вычисление с примерами решенияне являются равносильными.

Рассмотрим, например, предикат Р(х,у): человек у – отец моего одноклассника х.

В этом случаеМножества - определение и вычисление с примерами решения = означает высказывание “у каждого моего одноклассника есть отец”; а Множества - определение и вычисление с примерами решенияозначает высказывание “существует такой человек, который является отцом всех моих одноклассников”.

Аналогично можно показать, что высказывания,Множества - определение и вычисление с примерами решенияне являются равносильными (приведите примеры самостоятельно).

С помощью кванторов и предикатов можно построить и другие законы логики. Например, высказывание «Если все вороны черные, то ни одна не черная птица не является вороной “, служит примером закона логики вида:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Законы правильного мышления (аргументации)

В процессе познания действительности мы приобретаем новые знания. Некоторые из них непосредственно, в результате воздействия предметов внешнего мира на органы чувств. Но большую часть знаний мы получаем пу тем выведения новых знаний из знаний уже имеющихся. Чтобы научиться стройно и последовательно излагать свои мысли, правильно делать выводы, необходимо пользоваться законами логики. Определенность, непротиворечивость, последовательность и обоснованность являются обязательными качествами правильного мышления. Законы логики устанавливают необходимые связи в последовательном ряду мыслей и умозаключений.

Суждение представляет собой форму мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, их свойствах или отношениях. Например, в суждении «Железо-металл» утверждается связь между предметом (железо) и его признаком (являться металлом). В суждении «Яйцо появилось раньше курицы » утверждается связь между двумя предметами (яйцо и курица). Так как суждение выражается в форме повествовательного предложения, причем суждение может быть либо истинным, либо ложным, то каждое суждение имеет форму высказывания.

Умозаключение- это такая форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений, называемых посылками, по определенным правилам получается некоторое суждение, называемое заключением или выводом.

Пусть S-совокупность исходных суждений (посылок), Р- заключение. В этом случае, умозаключение имеет логическую форму вида Множества - определение и вычисление с примерами решенияСовокупность высказываний S будем называть основанием, а высказывание Р- следствием. Основание и следствие будем связывать словом «следовательно» и отделять горизонтальной чертой: Множества - определение и вычисление с примерами решения . Рассмотрим простой пример.

Если Собир занимается спортом, то будет здоров. Собир занимается спортом. Следовательно, Собир будет здоров.

Найдем логическую форму этого умозаключения.

Пусть р: Собир занимается спортом; q: Собир будет здоров. Тогда умозаключение имеет вид:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Так следствие вытекает из суждений Множества - определение и вычисление с примерами решенияи р, то умозаключение имеет следующую логическую форму Множества - определение и вычисление с примерами решения

Составим соответствующую таблицу истинности: Множества - определение и вычисление с примерами решения

Получили тавтологию. Это показывает правильность умозаключения, то есть мы из данного основания получили правильное следствие.

Пример:

Покажите неправильность умозаключения:

Если треугольник имеет три стороны, то 2+4-7.

Следовательно, треугольник имеет три стороны.

Решение:

Найдем логическую форму этого умозаключения.

р: треугольник имеет три стороны.

q: 2+4=7

Имеем:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Так как здесь Множества - определение и вычисление с примерами решенияследует q, то наше умозаключение имеет логическую форму Множества - определение и вычисление с примерами решения

Составим соответствующую таблицу истинности:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

В результате мы не получили тавтологию. Это показывает неверность умозаключения, то есть мы из данного основания не получили правильное следствие.

Ниже мы приведем некоторые правила правильных умозаключений:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство верности вышеуказанных умозаключений мы оставляем учащимся в качестве упражнения.

Софизмы и парадоксы

Множества - определение и вычисление с примерами решения– представляют собой преднамеренные, сознательно совершаемые ошибки, рассчитанные на то, чтобы выдать ложь за истину, тем самым вводя человека в заблуждение.

Одним из первых соответствующие примеры привел математик Зенон, живший в 5 веке до нашей эры в Древней Греции. Например, Зенон «доказал», что быстроногий Ахиллес никогда не догонит неторопливую черепаху, если в начале движения она находится впереди Ахиллеса. Приведем его рассуждения. Допустим, Ахиллес бежит в 10 раз быстрее, чем черепаха, и находи тся позади нее на расстоянии в 100 шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползет 10 шагов.

За то время, за которое Ахиллес пробежит 10 шагов, черепаха проползет еще 1 шаг, и так далее. Процесс будет длиться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Примеры Зенона связаны с понятиями бесконечности и движения, которые имели большое значение в развитии физики и математики.

Некоторые софизмы обсуждали в переписке между собой наши великие соотечественники Беруни и Ибн Сино, а также они встречаются в произведениях Фараби.

Приведем простейшие примеры на софизмы и обсудим их.

Пример:

Куда пропали 1000 руб? Три друга отобедали в кафе, после чего официант дал им счет на 25000 руб. Каждый из трех друзей достал по купюре в 10000 руб, в итоге они отдали официанту 30000 руб. На сдачу официант отдал 5000 руб более мелкими купюрами. Друзья взяли по 1000 руб себе, а оставшиеся 2000 руб отдали другу на такси. Один из друзей стал рассуждать: “Каждый из нас потратил по 9000 руб, что в итоге составляет 27000 руб. Затем 2000 руб отдали на такси, значит, в итоге получается 29000 руб. Куда пропали 1000 руб?”

Решение:

 Основной «подвох» в этом рассуждении заключается в том, что 2 От древнегреческого уловка.

расчеты сделаны неверно. Действительно, трое друзей сложились по 9000 руб и получили 27000 руб. Из этих денег 25000 руб заплатили за обед, а 2000 руб заплатили за такси. Следовательно, общая трата составила 27000 руб. Тс 2000 руб находятся внутри 27000 руб.

Пример:

Множества - определение и вычисление с примерами решенияУпростим верное равенство: 20-16-4=25-20-5

2(10—8—2)=25—20—5

2-2-(5—4—1)=5-(5—4—1)

Сократим левую и правую часть последнего равенства на общий делитель (5-4-1). В итоге получим равенство 2-2=5.

Основной «подвох» в этом рассуждении заключается в том, что мы поделили обе части равенства 2-2-(5-4-1)=5-(5-4-1) на нуль.

Множества - определение и вычисление с примерами решения – странное мнение, высказывание, расходящееся с общепринятыми мнениями, научными положениями, а также мнение, противоречащее здравому смыслу. Сам термин «парадокс» использовался в античной философии для обозначения всякого странного, оригинального мнения.

Парадоксы, обычно, возникают в теориях, логические основы которых не определены полно.

Пример:

Парадокс лжеца. Рассмотрим высказывание “То, что я утверждаю сейчас – ложь”.

Если это высказывание истинно, значит, исходя из его содержания, верно то, что данное высказывание -ложь. Но если оно -ложь, тогда неверно то, что оно утверждает, то есть утверждение о ложности данного высказывания неверно, значит, данное высказывание истинно. Таким образом, цепочка рассуждений возвращается в начало.

Пример:

Прилагательное русского языка назовем рефлексивным, если оно обладает свойством, которое определяет.

Например, прилагательное «русский» – рефлексивное, а прилагательное «английский» – нерефлексивное, прилагательное «трехсложный» – рефлексивное (это слово состоит из трех слогов), а прилагательное «четырехсложный» – нерефлсксивное (состоит из пяти слогов). Вроде бы ничто не мешает нам определить множество {все рефлексивные прилагательные}. Но давайте рассмотрим прилагательное «нерефлексивный». Оно рефлексивное или нет?

Можно заявить, что прилагательное «нерефлексивный» не является ни рефлексивным, ни нерефлексивным. Действительно, если это слово рефлексивное, то по своему смыслу, оно нерефлексивное. Если же это от древнегреческого Множества - определение и вычисление с примерами решения – неожиданный, странный слово нерефлексивное, то, в силу того, что оно обладает свойством, которое определяет, оно является рефлексивным. Противоречие.

Пример:

Два взаимно пересекающихся множества А, В делят универсальное множество на четыре части:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, число элементов универсального множества является суммой количеств элементов этих частей.

На следующей диаграмме мы заключили известные количества элементов частей универсального множества в круглые скобки: Множества - определение и вычисление с примерами решения

Здесь, например, обоим множествам А, В принадлежат 4 элемента, а 3 элемента не принадлежат ни одному из них.

Так как произвольный элемент множества U, принадлежит только одному из этих 4 частей , то число элементов множества U равно 7+4+6+3=20.

Пример:

Используя рисунок, найдите число элементов следующих множеств: Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения

d). Множество элементов, принадлежащих Р, но не принадлежащих Q

е) Множество элементов, принадлежащих Q, но не принадлежащих Р;

f) Множество элементов, не принадлежащих ни Р, ни Q.

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Если Множества - определение и вычисление с примерами решения

a) Найдите Множества - определение и вычисление с примерами решения

b) Сколько элементов содержит множество элементов, принадлежащих А, но не принадлежащих В‘?

Решение:

Составим диаграмму Венна:

Из того, что Множества - определение и вычисление с примерами решенияСледовательно, b=6, а=8, с= 11, d=5.

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Из диаграммы получаем следующее:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

b) Число элементов, принадлежащих А, но не принадлежащих В, равно а= 8

Пример:

Из 27 учеников, посещающих спортивную секцию, 19 имеют темные волосы, 14 – черные глаза, а 11 имеют и темные волосы и черные глаза одновременно.

a) Изобразите эту информацию с помощью диаграммы Венна. Объясните ситуацию.

b) Найдите число учеников, которые I имеют или темные волосы или черные глаза; II темноволосых, но не черноглазых?

Решение:

а) Пусть Qs – множество темноволосых, a Qk множество черноглазых учеников.

Изобразим ситуацию на диаграмме:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

b) Используя диаграмму, определим следующее:

I количество учеников, имеющих или темные волосы или черные глаза:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

II количество темноволосых учеников, не обладающих черными глазами:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

На футбольном соревновании город представляют три команды А, В и С. 20 процентов населения города болеют за команду И, 24 процента – за В, 28 процентов – за С. 4 процента жителей болеют и за С и за И, 5 процент, жителей болеют и за В и за А, а 6 процентов жителей болеют и за В и за С. Кроме того, 1 процент населения болеет за все три команды.

Сколько процентов жителей:

a) болеют только за команду А;

b) болеют и за А и за В, но не болеют за команду С;

c) не болеют ни за одну из команд?

Решение:

Заполним для начала соответствующую диаграмму Венна.

Множества - определение и вычисление с примерами решения

а= 1, так как 1 процент жителей болеет за все команды.

a+d=4, так как 4 процента жителей болеет и за И и за В.

а+b=6, так как 6 процентов жителей болеют и за В и за С а+с=5, так как 5 процентов жителей болеют

—-

Множества

Понятие множества принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые. Под множеством понимается совокупность некоторых объектов, объединенных по определенному признаку. Объекты, которые образуют множество, называются элементами, или точками, этого множества.

Множества обозначаются прописными буквами, а их элементы – строчными. Если Множества - определение и вычисление с примерами решения есть элемент множества А, то используется запись Множества - определение и вычисление с примерами решения если b не является элементом множества А, то записывают Множества - определение и вычисление с примерами решения

Например, Множества - определение и вычисление с примерами решения – множество А состоит из элементов 1;3;6;8.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Множества - определение и вычисление с примерами решения Например, множество действительных корней уравнения Множества - определение и вычисление с примерами решения есть пустое множество.

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Например, если Множества - определение и вычисление с примерами решения т.е.
множества равны.

Объединением двух множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, т.е. Множества - определение и вычисление с примерами решения

Пересечением двух множеств А и В называется множество D, состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных множеств А и В, т.е. Множества - определение и вычисление с примерами решения

Разностью двух множеств А и В называется множество E, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, т.е. Множества - определение и вычисление с примерами решения

Пример 1. Даны множества  Множества - определение и вычисление с примерами решения Найти объединение, пересечение и разность множеств А и В.

Решение. Объединение двух данных множеств – Множества - определение и вычисление с примерами решения их пересечение – Множества - определение и вычисление с примерами решения а разностью – Множества - определение и вычисление с примерами решения  .

Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми.

Обозначения множеств:

Множества - определение и вычисление с примерами решения – множество натуральных чисел.

Множества - определение и вычисление с примерами решения – множество целых чисел;
Множества - определение и вычисление с примерами решения– множество рациональных чисел;

R – множество действительных чисел;

I – множество иррациональных чисел;

Множества - определение и вычисление с примерами решения – множество комплексных чисел.

Геометрически, каждому действительному числу соответствует точка числовой оси, и наоборот, каждой точке прямой – определенное действительное число.

Множество X, элементы  которого удовлетворяют: неравенству Множества - определение и вычисление с примерами решенияназывается отрезком Множества - определение и вычисление с примерами решения неравенству Множества - определение и вычисление с примерами решения называется интервалом Множества - определение и вычисление с примерами решениянеравенствам Множества - определение и вычисление с примерами решения называются полуинтервалом соответственно Множества - определение и вычисление с примерами решения

В дальнейшем все указанные множества мы объединяем термином промежуток X.

——

Множества и операции над ними

Под множеством будем понимать совокупность объектов, наделенных определенными свойствами. Эти свойства должны полностью определять данное множество, то есть являться признаками, по которым относительно любого объекта можно решить, принадлежит он данному множеству или нет. Синонимами термина “множество” являются термины “класс “семейство “совокупность”. Объекты, из которых состоит данное множество, называют его элементами.

Чаще всего множество обозначают большими буквами латинского или греческого алфавита, а его элементы — малыми буквами. Если a — элемент множества A, то пишут a ∈ A (читают: “a принадлежит множеству A”) или A 3 a (множество A содержит элемент a). Запись a ∈/ A означает, что a не является элементом множества A.
Множество обычно записывают одним из следующих способов:

A = {a , . . . , Множества - определение и вычисление с примерами решения} или A = {x ∈ X : P (x)}.

Первая запись означает, что множество A состоит из элементов a, . . . , Множества - определение и вычисление с примерами решения , то есть перечислены элементы, составляющие A, их может быть конечное число или бесконечно много. Вторая запись означает, что A есть совокупность всех тех объектов из множества X, для которых выполняется свойство P . Формально введем пустое множество — множество, не содержащее в себе никаких элементов, которое обозначим символом Множества - определение и вычисление с примерами решения.

Определение 1.1. Множества A и B называются равными (или совпадающими), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть x ∈ A тогда и только тогда, когда x ∈ B .

Коротко это высказывание записывают: A = B, а отрицание этого утверждения — в виде: Множества - определение и вычисление с примерами решения .

Определение 1.2. Если каждый элемент множества A является элементом множества B , то говорят, что A есть подмножество множества B (или A есть часть B ), и пишут A ⊂ B (читается: “Множество A содержится в множестве B”) или B ⊃ A (читается: “Множестоо B содержит множество A”).

Отметим следующие свойства отношения включения:
1.    A ⊂ A, то есть всякое множество есть подмножество себя самого;
2.    Если A ⊂ B и B ⊂ C, то A ⊂ C (отношение включения транзитивно);
3.    Если A ⊂ B и B ⊂ A, то A = B.

Удобно считать, что Множества - определение и вычисление с примерами решения⊂ A для любого множества A.

Пусть A и B — некоторые подмножества множества E. Введем наиболее простые операции с множествами.

Определение 1.3. Объединением множеств A и B называется множество, обозначаемое A ∪ B и состоящее из всех элементов, которые принадлежат или множеству A или B .

Таким образом, x ∈ A ∪ B , если x ∈ A, но x Множества - определение и вычисление с примерами решения B , или x ∈ B , но x Множества - определение и вычисление с примерами решения A, или x ∈ A и x ∈ B. Очевидно, что A ∪ A = A, A ∪ Множества - определение и вычисление с примерами решения = A.

Определение 1.4. Пересечением множеств A и B называют множество, обозначаемое A∩B и состоящее из всех элементов, каждый из которых принадлежит и A и B .

Если множества A и B не имеют общих точек, то A ∩ B =Множества - определение и вычисление с примерами решения. Очевидно, что A∩A= A, A∩Множества - определение и вычисление с примерами решения= Множества - определение и вычисление с примерами решения.

Определение 1.5. Разностью множеств A и B называют множество, обозначаемое A B и состоящее из всех элементов множества A, которые не принадлежат множеству B .

Если A ⊂ B , то часто множество A B называют дополнением множества B до A. По определению A A = Множества - определение и вычисление с примерами решения, A Множества - определение и вычисление с примерами решения = A.

Пример 1.1. Пусть A = {1,3,4,8, 15} ,B = {1,2,7,8, 12}. Тогда

A∪B = {1,2,3,4,7,8,12,15}, A∩B = {1, 8},

AB = {3, 4, 15}, BA= {2, 7, 12}

Определение 1.6. Набор, состоящий из двух элементов x1 и x2, называют упорядоченным, если известно, какой из этих элементов является первым, а какой — вторым. Такой упорядоченный набор называют упорядоченной парой и обозначают (x1, x2). Элементы x1 , x2 называют, соответственно, первой и второй координатами пары (x1, x2). Пары (x1, x2) и (y1 , y2) называют совпадающими, если x1 = y1 и x2 = y2 .

Определение 1.7. Декартовым (или, по-другому, прямым) произведением множеств A и B называют множество упорядоченных пар (x, y), где первый элемент x является элементом множества A, а второй y — элементом множества B . Это множество обозначают символом A × B .

Таким образом, A × B = { (x, y) | x ∈ A, y ∈ B}. Но, вообще говоря, A × BМножества - определение и вычисление с примерами решения B × A. Известная всем плоскость с декартовой системой координат является декартовым произведением двух числовых прямых (осей).

Пусть A и B — числовые отрезки, помещенные на взаимно перпендикулярных осях плоскости. Упорядоченная пара (x, y) — это точка пересечения перпендикуляров, восстановленных в точках x ∈ A и y ∈ B . Произведением A × B является прямоугольник.

Логическая символика

В последующем, как и в большинстве математических текстов используется ряд специальных символов, многие из которых вводятся по мере надобности. Применяются распространенные символы математической логики Множества - определение и вычисление с примерами решения, Множества - определение и вычисление с примерами решения, ∃, ∀, которые читаются, соответственно, как “влечет” , “равносильно” , “существует” (“найдется”), “любой” (“каждый” , “для каждого” , “для любого” ).

Запись A Множества - определение и вычисление с примерами решения B читают одним из следующих способов: A влечет B , B следует из A, B — необходимое условие A, A — достаточное условие (признак) B.

Запись A Множества - определение и вычисление с примерами решения B читают одним из следующих способов: A равносильно B, A необходимо и достаточно для B , A верно тогда и только тогда, когда верно B . Квантор равносильности часто применяется в символьной записи определений и утверждений.

Запись “∃ x ∈ X ” означает: существует элемент x из множества X .
Запись “∀ x ∈ X ” означает: для любого элемента x из множества X или каков бы ни был элемент x из множества X .

Часто в символьной записи математических утверждений используют символ “:” или эквивалентный ему символ “| которые читают: “такой, что”. В частности, запись “∃ x ∈ X : x2 – 1 = 0″ означает: существует такой элемент x в множестве X , что x2 – 1 = 0.

  • Заказать решение задач по высшей математике

Множества

Множества и операции над ними

Понятие множества и его элементов

Элемент Множества - определение и вычисление с примерами решения принадлежит множеству Множества - определение и вычисление с примерами решенияМножества - определение и вычисление с примерами решенияМножества - определение и вычисление с примерами решения

Элемент Множества - определение и вычисление с примерами решения не принадлежит множеству Множества - определение и вычисление с примерами решенияМножества - определение и вычисление с примерами решения Множества - определение и вычисление с примерами решения

В множестве нет элементов Множества - определение и вычисление с примерами решения Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множество можно представить как совокупность некоторых объектов, объединенных по определенному признаку. В математике множество — одно из основных неопределяемых понятий.

Каждый объект, принадлежащий множеству Множества - определение и вычисление с примерами решения, называется элементом этого множества.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается Множества - определение и вычисление с примерами решения

Подмножество Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Если каждый элемент множества Множества - определение и вычисление с примерами решения является элементом множества Множества - определение и вычисление с примерами решения, то говорят, что множество Множества - определение и вычисление с примерами решения является подмножеством множества Множества - определение и вычисление с примерами решения, и записывают так: Множества - определение и вычисление с примерами решения Используется также запись Множества - определение и вычисление с примерами решения, если множество Множества - определение и вычисление с примерами решения или является подмножеством множества Множества - определение и вычисление с примерами решения, или равно множеству Множества - определение и вычисление с примерами решения

Равенство множеств

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Два множества называются равными, если каждый элемент первого множества является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества является элементом первого множества

Пересечение множеств Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Пересечением множеств Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения называют их общую часть, то есть множество Множества - определение и вычисление с примерами решения всех элементов, принадлежащих как множеству Множества - определение и вычисление с примерами решения, так и множеству Множества - определение и вычисление с примерами решения

Объединение множеств Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Объединением множеств Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения называют множество Множества - определение и вычисление с примерами решения, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств (Множества - определение и вычисление с примерами решения или Множества - определение и вычисление с примерами решения)

Разность множеств Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Разностью множеств Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения называется множество Множества - определение и вычисление с примерами решения, которое состоит из всех элементов, принадлежащих множеству Множества - определение и вычисление с примерами решения и не принадлежащих множеству Множества - определение и вычисление с примерами решения

Дополнение множеств

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Если все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого универсального множества Множества - определение и вычисление с примерами решения, то разность Множества - определение и вычисление с примерами решения называется дополнением множества Множества - определение и вычисление с примерами решения. Другими словами, дополнением множества Множества - определение и вычисление с примерами решения называется множество, состоящее из всех элементов, не принадлежащих множеству Множества - определение и вычисление с примерами решения (но принадлежащих универсальному множеству Множества - определение и вычисление с примерами решения)

Объяснение и обоснование:

Понятие множества

Одним из основных понятий, которые используются в математике, является понятие множества. Для него не дается определения. Можно пояснить, что множеством называют произвольную совокупность объектов, а сами объекты — элементами данного множества. Так, можно говорить о множестве учеников в классе (элементы — ученики), множестве дней недели (элементы — дни недели), множестве натуральных делителей числа 6 (элементы — числа 1, 2, 3, 6) и т. д. В курсах алгебры и алгебры и начал анализа чаще всего рассматривают множества, элементами которых являются числа, и поэтому их называют числовыми множествами.

Как правило, множества обозначают прописными буквами латинского алфавита. Например, если множество Множества - определение и вычисление с примерами решения состоит из чисел 1; 2; 3, то его обозначают так: Множества - определение и вычисление с примерами решения = {1; 2; 3}. Тот факт, что число 2 входит в это множество (является элементом данного множества Множества - определение и вычисление с примерами решения), записывается с помощью специального значка е следующим образом: Множества - определение и вычисление с примерами решения; а то, что число 5 не входит в это множество (не является элементом данного множества), записывается так: Множества - определение и вычисление с примерами решения.

Можно рассматривать также множество, не содержащее ни одного элемента, — пустое множество.

Например, множество простых делителей числа 1 — пустое множество.

Для некоторых множеств существуют специальные обозначения. Так, пустое множество обозначается символом Множества - определение и вычисление с примерами решения, множество всех натуральных чисел — буквой Множества - определение и вычисление с примерами решения, множество всех целых чисел — буквой Множества - определение и вычисление с примерами решения, множество всех рациональных чисел — буквой Множества - определение и вычисление с примерами решения, а множество всех действительных чисел — буквой Множества - определение и вычисление с примерами решения. Множества бывают конечными и бесконечными в зависимости от того, какое количество элементов они содержат. Так, множества Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения — конечные, потому что содержат конечное число элементов, а множества Множества - определение и вычисление с примерами решения — бесконечные.

Множества задают или с помощью перечисления их элементов (это можно сделать только для конечных множеств), или с помощью описания, когда задается правило — характеристическое свойство, которое позволяет определить, принадлежит или нет данный объект рассматриваемому множеству. Например, множество Множества - определение и вычисление с примерами решения задано перечислением элементов, а множество Множества - определение и вычисление с примерами решения четных целых чисел — характеристическим свойством элементов множества. Последнее множество иногда записывают так: Множества - определение и вычисление с примерами решения или так: Множества - определение и вычисление с примерами решения — здесь после вертикальной черточки записано характеристическое Множества - определение и вычисление с примерами решения.

В общем виде запись множества с помощью характеристического свойства можно обозначить так: Множества - определение и вычисление с примерами решения, где Множества - определение и вычисление с примерами решения — характеристическое свойство. Например, Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решенияВ этом случае и в записи решений тригонометрических уравнений и неравенств в разделе 3 запись Множества - определение и вычисление с примерами решения означает, что Множества - определение и вычисление с примерами решения принимает любое целое значение, что также можно записать как Множества - определение и вычисление с примерами решения

Равенство множеств

Пусть Множества - определение и вычисление с примерами решения — множество цифр трехзначного числа 312, то есть Множества - определение и вычисление с примерами решения, а Множества - определение и вычисление с примерами решения — множество натуральных чисел, меньших чем 4, то есть Множества - определение и вычисление с примерами решения. Поскольку эти множества состоят из одних и тех же элементов, то они считаются равными. Это записывают так: Множества - определение и вычисление с примерами решения. Для бесконечных множеств таким способом (сравнивая все элементы) установить их равенство невозможно. Поэтому в общем случае равенство множеств определяется следующим образом.

Два множества называются равными, если каждый элемент первого множества является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества является элементом первого множества.

Из приведенного определения равенства множеств следует, что в множестве одинаковые элементы не различаются. Действительно, например, Множества - определение и вычисление с примерами решения, поскольку каждый элемент первого множества (1 или 2) является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества (1 или 2) является элементом первого. Поэтому, записывая множество, чаще всего каждый его элемент записывают только один раз.

Подмножество

Если каждый элемент множества Множества - определение и вычисление с примерами решения является элементом множества Множества - определение и вычисление с примерами решения, то говорят, что множество Множества - определение и вычисление с примерами решения является подмножеством множества Множества - определение и вычисление с примерами решения.

Это записывают следующим образом: Множества - определение и вычисление с примерами решения

Например, Множества - определение и вычисление с примерами решения (поскольку любое натуральное число — целое), Множества - определение и вычисление с примерами решения (поскольку любое целое число — рациональное), Множества - определение и вычисление с примерами решения (поскольку любое рациональное число — действительное).

Полагают, что всегда Множества - определение и вычисление с примерами решения, то есть пустое множество является подмножеством любого непустого множества.

Иногда вместо записи Множества - определение и вычисление с примерами решения используется также запись Множества - определение и вычисление с примерами решения, если множество Множества - определение и вычисление с примерами решения является подмножеством множества Множества - определение и вычисление с примерами решения, или равно множеству Множества - определение и вычисление с примерами решения. Например, Множества - определение и вычисление с примерами решения

Сопоставим определение равенства множеств с определением подмножества. Если множества Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения равны, то: 1) каждый элемент множества Множества - определение и вычисление с примерами решения является элементом множества Множества - определение и вычисление с примерами решения, следовательно, Множества - определение и вычисление с примерами решения — подмножество Множества - определение и вычисление с примерами решения Множества - определение и вычисление с примерами решения; 2) каждый элемент множества Множества - определение и вычисление с примерами решения является элементом множества Множества - определение и вычисление с примерами решения, следовательно, Множества - определение и вычисление с примерами решения — подмножество Множества - определение и вычисление с примерами решения Множества - определение и вычисление с примерами решения.

Таким образом, два множества равны, если каждое из них является подмножеством другого.

Иногда соотношения между множествами удобно иллюстрировать с помощью кругов (которые часто называют кругами Эйлера—Венна). Например, рисунок 1 иллюстрирует определение подмножества, а рисунок 2 — отношения между множествами Множества - определение и вычисление с примерами решения.

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Операции над множествами

Над множествами можно выполнять определенные действия: пересечение, объединение, находить разность. Дадим определение этих операций и проиллюстрируем их с помощью кругов Эйлера—Венна.

Пересечением множеств Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения называют их общую часть, то есть множество Множества - определение и вычисление с примерами решения всех элементов, принадлежащих как множеству Множества - определение и вычисление с примерами решения, так и множеству Множества - определение и вычисление с примерами решения.

Пересечение множеств обозначают знаком Множества - определение и вычисление с примерами решения (на рисунке 3 приведена иллюстрация определения пересечения множеств).

Например, если Множества - определение и вычисление с примерами решения то Множества - определение и вычисление с примерами решения.

Объединением множеств Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения называют множество Множества - определение и вычисление с примерами решения, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств (Множества - определение и вычисление с примерами решения или Множества - определение и вычисление с примерами решения).

Объединение множеств обозначают знаком Множества - определение и вычисление с примерами решения (на рисунке 4 приведена иллюстрация определения объединения множеств).

Например, для множеств Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения из предыдущего примера Множества - определение и вычисление с примерами решения Если обозначить множество иррациональных чисел через Множества - определение и вычисление с примерами решения, то Множества - определение и вычисление с примерами решения.

Разностью множеств Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения называется множество Множества - определение и вычисление с примерами решения, состоящее из всех элементов, которые принадлежат множеству Множества - определение и вычисление с примерами решения и не принадлежат множеству В.

Разность множеств обозначают знаком Множества - определение и вычисление с примерами решения. На рисунке 5 приведена иллюстрация определения разности множеств.

Например, если Множества - определение и вычисление с примерами решения

Если Множества - определение и вычисление с примерами решения — подмножество Множества - определение и вычисление с примерами решения, то разность Множества - определение и вычисление с примерами решения называют дополнением множества В до множества Множества - определение и вычисление с примерами решения (рис. 6).

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Например, если обозначить множество всех иррациональных чисел через Множества - определение и вычисление с примерами решения, то Множества - определение и вычисление с примерами решения: множество Множества - определение и вычисление с примерами решения всех иррациональных чисел дополняет множество Множества - определение и вычисление с примерами решения всех рациональных чисел до множества Множества - определение и вычисление с примерами решения всех действительных чисел.

Если все множества, которые мы рассматриваем, являются подмножествами некоторого так называемого универсального множества Множества - определение и вычисление с примерами решения (на рисунке его обычно изображают в виде прямоугольника, а все остальные множества — в виде кругов внутри этого прямоугольника, то разность Множества - определение и вычисление с примерами решения называют дополнением множества Множества - определение и вычисление с примерами решения (рис. 7). То есть дополнением множества Множества - определение и вычисление с примерами решения называется множество, состоящее из всех элементов, не принадлежащих множеству Множества - определение и вычисление с примерами решения, но принадлежащих универсальному множеству Множества - определение и вычисление с примерами решения.

Дополнение множества Множества - определение и вычисление с примерами решения обозначается Множества - определение и вычисление с примерами решения (можно читать: «Множества - определение и вычисление с примерами решения с чертой» или «дополнение Множества - определение и вычисление с примерами решения»).

Например, если Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения, то Множества - определение и вычисление с примерами решения. Для этого примера удобно использовать традиционную иллюстрацию множества действительных чисел на числовой прямой (рис. 8).

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Числовые множества. Множество действительных чисел

Числовые множества:

Действительные числа Множества - определение и вычисление с примерами решения

Числа, которые можно представить в виде бесконечной десятичной дроби

Рациональные числа Множества - определение и вычисление с примерами решения

Можно представить в виде несократимой дроби Множества - определение и вычисление с примерами решения, где Множества - определение и вычисление с примерами решения — целое, — натуральное число. Записываются в виде бесконечной периодической десятичной дроби

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Иррациональные числа

Нельзя представить в виде несократимой дроби Множества - определение и вычисление с примерами решения, где Множества - определение и вычисление с примерами решения — целое, Множества - определение и вычисление с примерами решения — натуральное число. Записываются в виде бесконечной непериодической десятичной дроби

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Целые числа Множества - определение и вычисление с примерами решения

Включают натуральные числа, числа, противоположные им, и число нуль

Дробные числа

Числа, состоящие из целого числа частей единицы

(Множества - определение и вычисление с примерами решения – обыкновенная дробь, 1,23 — десятичная дробь: Множества - определение и вычисление с примерами решения)

Натуральные числа Множества - определение и вычисление с примерами решения (целые положительные)

Для школьного курса математики натуральное число – основное не определяемое понятие

Число 0

Такое число, при сложение с которым любое число не изменяется

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Целые отрицательные числа

Числа, противоположные натуральным

Модуль действительного числа и его свойства

Определение:

Модулем положительного числа называется само это число, модулем отрицательного числа называется число, противоположное ему, модуль нуля равен нулю

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Геометрический смысл модуля

Множества - определение и вычисление с примерами решения

На координатной прямой модуль — это расстояние от начала координат до точки, изображающей это число.

Модуль разности двух чисел Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения — это расстояние между точками Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения на координатной прямой

Свойства

1. Множества - определение и вычисление с примерами решения Модуль любого числа — неотрицательное число

2. Множества - определение и вычисление с примерами решения Модули противоположных чисел равны

3. Множества - определение и вычисление с примерами решения, то естьМножества - определение и вычисление с примерами решения Каждое число не больше своего модуля

4. При Множества - определение и вычисление с примерами решения Множества - определение и вычисление с примерами решения

5. При Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения

6. Множества - определение и вычисление с примерами решения Модуль произведения равен произведению модулей множителей

7. Множества - определение и вычисление с примерами решения Модуль дроби равен модулю числителя, деленному на модуль знаменателя (если знаменатель не равен нулю)

8. Множества - определение и вычисление с примерами решения Множества - определение и вычисление с примерами решения

9. Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Модуль суммы не превышает суммы модулей слагаемых

10. Множества - определение и вычисление с примерами решения

Объяснение и обоснование:

Числовые множества

В курсе математики вы встречались с разными числами: натуральными, целыми, рациональными, иррациональными, действительными. Представление о числах у человечества складывалось постепенно, под воздействием требований практики. Например, натуральные числа появились в связи с необходимостью подсчета предметов. Но для того чтобы дать ответ на вопрос «Сколько спичек в пустой коробке из-под спичек?», множества натуральных чисел Множества - определение и вычисление с примерами решения недостаточно — для этого необходимо иметь еще и число нуль. Присоединяя к множеству Множества - определение и вычисление с примерами решения натуральных чисел число 0, получаем множество неотрицательных целых чисел. Его часто обозначают Множества - определение и вычисление с примерами решения. Одних только неотрицательных целых чисел оказалось недостаточно для решения задач практики (а следовательно, и математических задач, отображающих заданную реальную ситуацию). Так, для того чтобы охарактеризовать температуру воздуха выше и ниже нуля или движение тела в противоположных направлениях, необходимы противоположные натуральным числа, то есть отрицательные числа. Для натурального числа Множества - определение и вычисление с примерами решения противоположным считается число Множества - определение и вычисление с примерами решения, а для числа Множества - определение и вычисление с примерами решения противоположным считается число Множества - определение и вычисление с примерами решения. Нуль считают противоположным самому себе.

Натуральные числа, числа, противоположные натуральным, и число нуль составляют множество Множества - определение и вычисление с примерами решения целых чисел.

Измерение величин привело к необходимости расширения множества целых чисел и введения рациональных чисел. Например, средняя многолетняя температура воздуха в январе в г. Харькове — Множества - определение и вычисление с примерами решения, длительность урока — 45 минут, или Множества - определение и вычисление с примерами решения часа.

Таким образом, выбирая какую-либо единицу измерения, мы получаем числовое значение величин, которое может выражаться с помощью разных рациональных чисел — целых и дробных, положительных и отрицательных.

Целые и дробные числа составляют множество Множества - определение и вычисление с примерами решения рациональных чисел.

Любое рациональное число можно записать в виде дроби Множества - определение и вычисление с примерами решения, где

Множества - определение и вычисление с примерами решения (то есть числитель Множества - определение и вычисление с примерами решения является целым числом, а знаменатель Множества - определение и вычисление с примерами решения — натуральным).

Рациональное число может быть записано разными дробями. Например,

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Как видно из приведенных примеров, среди дробей, которые изображают данное рациональное число, всегда есть единственная несократимая дробь (для целых чисел — это дробь, знаменатель которой равен 1).

Обратим внимание, что рациональное число, записанное в виде дроби Множества - определение и вычисление с примерами решения, где Множества - определение и вычисление с примерами решения, можно также записать в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, разделив числитель на знаменатель. Например, Множества - определение и вычисление с примерами решения.

Договоримся, что конечную десятичную дробь можно изображать в виде бесконечной, у которой после последнего десятичного знака, отличного от нуля, на месте следующих десятичных знаков записываются нули, например, Множества - определение и вычисление с примерами решения .

Целые числа также договоримся записывать в виде бесконечной десятичной дроби, у которой справа от запятой на месте десятичных знаков стоят нули, например Множества - определение и вычисление с примерами решения . Таким образом, любое рациональное число может быть записано как бесконечная периодическая дробь. Напомним, что у бесконечной периодической дроби, начиная с некоторого разряда, все десятичные знаки повторяются. Группу цифр, которая повторяется, называют периодом дроби; при записи дроби период записывают в скобках. Например, Множества - определение и вычисление с примерами решения.

Таким образом, каждое рациональное число может быть записано в виде бесконечной периодической десятичной дроби и наоборот, каждая бесконечная периодическая дробь задает рациональное число.

Обратим внимание, что любая периодическая десятичная дробь с периодом девять равна бесконечной десятичной дроби с периодом нуль, у которой десятичный разряд, предшествующий периоду, увеличен на единицу по сравнению с разрядом первой дроби. Например, бесконечные периодические дроби Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения являются записью одного и того же рационального числа Множества - определение и вычисление с примерами решения. Действительно, учитывая, что сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии с первым членом Множества - определение и вычисление с примерами решения и знаменателем Множества - определение и вычисление с примерами решениявычисляется по формуле Множества - определение и вычисление с примерами решения, имеем:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

В дальнейшем, записывая рациональные числа с помощью бесконечных периодических десятичных дробей, договоримся исключить из рассмотрения бесконечные периодические дроби, период которых равен девяти.

Каждое рациональное число можно изобразить точкой на координатной прямой (то есть прямой, на которой выбраны начало отсчета, положительное направление и единица измерения). Например, на рисунке изображены несколько рациональных чисел Множества - определение и вычисление с примерами решения.

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Однако на координатной прямой есть точки, изображающие числа, которые не являются рациональными. Например, из курса алгебры известно, что число Множества - определение и вычисление с примерами решения не является рациональным. Это так называемое иррациональное число. Если построить квадрат со стороной, равной 1, на координатной прямой Множества - определение и вычисление с примерами решения (рис. 10), то его диагональ будет равна Множества - определение и вычисление с примерами решения. Тогда, проведя дугу окружности радиуса Множества - определение и вычисление с примерами решения с центром в точке Множества - определение и вычисление с примерами решения, получим точку Множества - определение и вычисление с примерами решения, координата которой равна Множества - определение и вычисление с примерами решения. Кроме числа Множества - определение и вычисление с примерами решения вы также встречались с иррациональными числами Множества - определение и вычисление с примерами решения и т. д.

Рациональные и иррациональные числа составляют множество действительных чисел Множества - определение и вычисление с примерами решения. На координатной прямой каждому действительному числу соответствует единственная точка и, наоборот, каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число (в этом случае говорят, что между множеством действительных чисел и множеством точек координатной прямой устанавливается взаимно однозначное соответствие).

Каждое действительное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби: рациональные числа — в виде бесконечной периодической десятичной дроби, а иррациональные — в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Напомним, что для сравнения действительных чисел и выполнения действий над ними (в случае, когда хотя бы одно из них не является рациональным) используются приближенные значения этих чисел. В частности, для сравнения двух действительных чисел последовательно рассматриваем их приближенные значения с недостатком с точностью до целых, десятых, сотых и т. д. до тех пор, пока не получим, что какое-то приближенное значение одного числа больше соответствующего приближенного значения второго. Тогда то число, у которого приближенное значение больше, и считается большим. Например, если

Множества - определение и вычисление с примерами решения, то Множества - определение и вычисление с примерами решения (поскольку Множества - определение и вычисление с примерами решения).

Для выполнения сложения или умножения рассмотренных чисел Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения последовательно записывают их приближенные значения с недостатком и с избытком (с точностью до целых, десятых, сотых и т. д.) и выполняют действия над полученными рациональными числами. В результате последовательно получаем значение суммы или произведения с необходимой точностью.

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Как видим, Множества - определение и вычисление с примерами решения

В курсе математического анализа доказывается, что в случае, когда приближенные значения чисел Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения последовательно берутся с точностью до целых, десятых, сотых и т. д., то значения суммы Множества - определение и вычисление с примерами решения с недостатком и с избытком стремятся к одному и тому же числу, которое и принимается за значение суммы Множества - определение и вычисление с примерами решения (аналогично определяется и произведение Множества - определение и вычисление с примерами решения).

Модуль действительного числа и его свойства

Напомним определение модуля.

Модулем положительного числа называется само это число, модулем отрицательного числа — число, противоположное ему, модуль нуля равен нулю.

Это определение можно коротко записать несколькими способами. а при а > 0,

Множества - определение и вычисление с примерами решения, или Множества - определение и вычисление с примерами решения или Множества - определение и вычисление с примерами решения или

Множества - определение и вычисление с примерами решения

При необходимости мы будем пользоваться любой из этих записей определения модуля. Для нахождения Множества - определение и вычисление с примерами решения по определению необходимо знать знак числа Множества - определение и вычисление с примерами решения и использовать соответствующую формулу. Например, Множества - определение и вычисление с примерами решения

На координатной прямой модуль числа — это расстояние от начала координат до точки, изображающей это число.

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Действительно, если Множества - определение и вычисление с примерами решения (рис. 11), то расстояние Множества - определение и вычисление с примерами решения

Если Множества - определение и вычисление с примерами решения, то расстояние Множества - определение и вычисление с примерами решения

Модуль разности двух чисел Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения — это расстояние между точками Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения на координатной прямой.

Для доказательства можно воспользоваться тем, что при параллельном переносе вдоль оси координат на Множества - определение и вычисление с примерами решения единиц абсцисса соответствующей точки изменяется на Множества - определение и вычисление с примерами решения: к абсциссе данной точки прибавляется число Множества - определение и вычисление с примерами решения, то есть при Множества - определение и вычисление с примерами решения точка переносится вправо, а при Множества - определение и вычисление с примерами решения — влево. Обозначим на координатной прямой числа Множества - определение и вычисление с примерами решения соответственно точками Множества - определение и вычисление с примерами решения. На рисунке 12 эти точки изображены для случая Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения, хотя приведенное далее обоснование не зависит от знаков Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения.

Множества - определение и вычисление с примерами решения

При параллельном переносе вдоль оси Множества - определение и вычисление с примерами решения на Множества - определение и вычисление с примерами решения единиц точка Множества - определение и вычисление с примерами решения перейдет в точку Множества - определение и вычисление с примерами решения, а точка Множества - определение и вычисление с примерами решения (с координатой Множества - определение и вычисление с примерами решения) — в точку с координатой Множества - определение и вычисление с примерами решения, то есть в точку Множества - определение и вычисление с примерами решения. Тогда Множества - определение и вычисление с примерами решения. Но расстояние Множества - определение и вычисление с примерами решения — это расстояние от точки Множества - определение и вычисление с примерами решения до начала координат, следовательно, Множества - определение и вычисление с примерами решения, а значит, и Множества - определение и вычисление с примерами решения.

Используя определение модуля и его геометрический смысл, можно обосновать свойства модуля, приведенные в таблице 2.

Например, учитывая, что Множества - определение и вычисление с примерами решения — это расстояние от точки Множества - определение и вычисление с примерами решения до точки Множества - определение и вычисление с примерами решения, а расстояние может выражаться только неотрицательным числом, получаем

Множества - определение и вычисление с примерами решения

то есть модуль любого числа является неотрицательным числом.

Учитывая, что точки Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения находятся на одинаковом расстоянии от точки Множества - определение и вычисление с примерами решения, получаем

Множества - определение и вычисление с примерами решения

это означает, что модули противоположных чисел равны.

Если Множества - определение и вычисление с примерами решения то Множества - определение и вычисление с примерами решения а если Множества - определение и вычисление с примерами решения, то Множества - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, всегда

Множества - определение и вычисление с примерами решения

то есть каждое число не превышает его модуль.

Если в последнее неравенство вместо Множества - определение и вычисление с примерами решения подставить Множества - определение и вычисление с примерами решения и учесть, что Множества - определение и вычисление с примерами решения, то получаем неравенство Множества - определение и вычисление с примерами решения. Отсюда Множества - определение и вычисление с примерами решения, что вместе с неравенством Множества - определение и вычисление с примерами решения свидетельствует о том, что для любого действительного числа а выполняется двойное неравенство

Множества - определение и вычисление с примерами решения (1)

При Множества - определение и вычисление с примерами решения неравенство Множества - определение и вычисление с примерами решения означает, что число Множества - определение и вычисление с примерами решения на координатной прямой находится от точки Множества - определение и вычисление с примерами решения на расстоянии, которое не превышает Множества - определение и вычисление с примерами решения (рис. 13), то есть в промежутке Множества - определение и вычисление с примерами решения. Наоборот, если число Множества - определение и вычисление с примерами решения находится в этом промежутке, то есть Множества - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно,

при Множества - определение и вычисление с примерами решения (2)

Обратим внимание, что последнее утверждение справедливо и при Множества - определение и вычисление с примерами решения (тогда двум неравенствам удовлетворяет только одно значение Множества - определение и вычисление с примерами решения).

Аналогично при Множества - определение и вычисление с примерами решения неравенство Множества - определение и вычисление с примерами решения означает, что число Множества - определение и вычисление с примерами решения на координатной прямой находится от точки Множества - определение и вычисление с примерами решения на расстоянии, которое больше или равно Множества - определение и вычисление с примерами решения (рис. 13),

Множества - определение и вычисление с примерами решения

то есть в этом случае Множества - определение и вычисление с примерами решения или Множества - определение и вычисление с примерами решения. Наоборот, если число Множества - определение и вычисление с примерами решения удовлетворяет одному из этих неравенств, то Множества - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, при Множества - определение и вычисление с примерами решения неравенство Множества - определение и вычисление с примерами решения равносильно совокупности неравенств Множества - определение и вычисление с примерами решения или Множества - определение и вычисление с примерами решения, что можно записать так:

при Множества - определение и вычисление с примерами решения

Свойства модуля произведения и модуля дроби фиксируют известные правила действий над числами с одинаковыми и разными знаками:

модуль произведения равен произведению модулей множителей, то есть

Множества - определение и вычисление с примерами решения

модуль дроби равен модулю числителя, деленному на модуль знаменателя (если знаменатель не равен нулю), то есть

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Формулу для нахождения модуля произведения можно обобщить для случая нескольких множителей

Множества - определение и вычисление с примерами решения (3)

Если в формуле (3) взять Множества - определение и вычисление с примерами решения, получаем формулу

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Используя последнюю формулу справа налево при Множества - определение и вычисление с примерами решения и учитывая, что Множества - определение и вычисление с примерами решения при всех значениях Множества - определение и вычисление с примерами решения, получаем Множества - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно,

Множества - определение и вычисление с примерами решения. Для обоснования неравенства

Множества - определение и вычисление с примерами решения (4)

запишем неравенство (1) для чисел Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Складывая почленно эти неравенства, получаем

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Учитывая неравенство (2), имеем

Множества - определение и вычисление с примерами решения (5)

то есть модуль суммы не превышает суммы модулей слагаемых. Если в неравенстве (4) заменить Множества - определение и вычисление с примерами решения на Множества - определение и вычисление с примерами решения и учесть, что Множества - определение и вычисление с примерами решения, то получим неравенство

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Если записать число Множества - определение и вычисление с примерами решения так: Множества - определение и вычисление с примерами решения и использовать неравенство (4), то получим неравенство Множества - определение и вычисление с примерами решения. Отсюда

Множества - определение и вычисление с примерами решения (6)

Если в неравенстве (6) заменить Множества - определение и вычисление с примерами решения на Множества - определение и вычисление с примерами решения и учесть, что Множества - определение и вычисление с примерами решения, то получим неравенство

Множества - определение и вычисление с примерами решения (7)

то есть модуль суммы двух чисел не меньше разности их модулей.

Меняя местами буквы Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения в неравенствах (6) и (7) и учитывая, что Множества - определение и вычисление с примерами решения, имеем также неравенства

Множества - определение и вычисление с примерами решения (8)

Полученные неравенства (4)-(8) можно коротко записать так:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Примеры решения задач:

Пример №402

Докажите, что сумма, разность, произведение, натуральная степень и частное (если делитель не равен нулю) двух рациональных чисел всегда является рациональным числом.

Решение:

► Пусть заданы два рациональных числа Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения где Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения – целые, а Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения – натуральные числа. Поскольку сумма, разность, произведение, натуральная степень и частное двух обыкновенных дробей всегда являются обыкновенными дробями, то полученный результат всегда будет рациональным числом. Например,

Множества - определение и вычисление с примерами решения

где Множества - определение и вычисление с примерами решения – целое число, а Множества - определение и вычисление с примерами решения – натуральное.

Комментарий:

Любое рациональное число может быть записано как дробь Множества - определение и вычисление с примерами решения, где Множества - определение и вычисление с примерами решения — целое, Множества - определение и вычисление с примерами решения — натуральное число.

Чтобы доказать утверждение задачи, достаточно доказать, что сумма, разность, произведение и частное двух дробей вида Множества - определение и вычисление с примерами решения также будет дробью такого вида.

Пример №403

Докажите, что для любого натурального числа Множества - определение и вычисление с примерами решения число Множества - определение и вычисление с примерами решения или натуральное, или иррациональное.

Комментарий:

Для доказательства утверждения задачи можно использовать метод от противного: предположить, что заданное положительное число является рациональным ненатуральным (то есть дробью), и получить противоречие с условием или с каким-либо известным фактом.

Записывая Множества - определение и вычисление с примерами решения в виде несократимой дроби, следует учесть, что при натуральных значениях Множества - определение и вычисление с примерами решения это число всегда будет положительным.

Решение:

► Допустим, что Множества - определение и вычисление с примерами решения не является иррациональным числом (тогда это число рациональное) и не является натуральным числом. Следовательно, это число может быть только рациональной несократимой дробью Множества - определение и вычисление с примерами решения, где Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения — натуральные числа Множества - определение и вычисление с примерами решения. По определению квадратного корня имеем Множества - определение и вычисление с примерами решения то есть Множества - определение и вычисление с примерами решения. Учитывая, что Множества - определение и вычисление с примерами решения, получаем, что дробь Множества - определение и вычисление с примерами решения, равная натуральному числу Множества - определение и вычисление с примерами решения, должна быть сократимой.

Следовательно, у натуральных множителей, которые стоят в числителе и знаменателе этой дроби, должен быть общий натуральный делитель, отличный от 1. Но в числителе стоят только множители Множества - определение и вычисление с примерами решения, а в знаменателе — только множители Множества - определение и вычисление с примерами решения. Тогда числа Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения имеют натуральный делитель, отличный от 1, то есть дробь является сократимой дробью, что противоречит условию. Таким образом, наше предположение неверно, и для любого натурального числа Множества - определение и вычисление с примерами решения число Множества - определение и вычисление с примерами решения или натуральное, или иррациональное.

Например, поскольку числа Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения не являются натуральными числами Множества - определение и вычисление с примерами решения, то Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения — иррациональные числа.

Пример №404

Докажите, что Множества - определение и вычисление с примерами решения — число иррациональное.

Решение:

► Допустим, что число Множества - определение и вычисление с примерами решения рациональное. Тогда Множества - определение и вычисление с примерами решения Возведя обе части последнего равенства в квадрат, имеем Множества - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Множества - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, Множества - определение и вычисление с примерами решения

Но правая часть этого равенства — рациональное число (поскольку по предположению Множества - определение и вычисление с примерами решения — рациональное число), а левая — иррациональное. Полученное противоречие означает, что наше предположение неверно и число Множества - определение и вычисление с примерами решенияМножества - определение и вычисление с примерами решения — иррациональное.

Комментарий:

Для доказательства утверждения задачи можно использовать метод «от противного» — допустить, что заданное число является рациональным, и получить противоречие с каким-либо известным фактом, например с тем, что Множества - определение и вычисление с примерами решения — иррациональное число.

При анализе полученных выражений используем результат задачи 1: если число Множества - определение и вычисление с примерами решения — рациональное, то числа Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения и их частное тоже будут рациональными.

Заметим, что знаменатель полученной дроби Множества - определение и вычисление с примерами решения

Пример №405

Решите уравнениеМножества - определение и вычисление с примерами решения

Решение

I способ

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Множества - определение и вычисление с примерами решения

Комментарий:

Заданное уравнение имеет вид Множества - определение и вычисление с примерами решения (в данном случае Множества - определение и вычисление с примерами решения). Его удобно решать, используя геометрический смысл модуля: Множества - определение и вычисление с примерами решения— это расстояние от точки 0 до точки Множества - определение и вычисление с примерами решения. Но расстояние 7 может быть отложено от 0 как вправо (получаем число 7), так и влево (получаем число -7). Следовательно, равенство Множества - определение и вычисление с примерами решения возможно тогда и только тогда, когда Множества - определение и вычисление с примерами решения или Множества - определение и вычисление с примерами решения.

II способ

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Множества - определение и вычисление с примерами решения

Комментарий:

С геометрической точки зрения Множества - определение и вычисление с примерами решения — это расстояние между точками Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения на координатной прямой. Запишем данное уравнение так: Множества - определение и вычисление с примерами решения. Тогда равенство Множества - определение и вычисление с примерами решения означает, что расстояние от точки Множества - определение и вычисление с примерами решения до точки -5 равно 7. На расстоянии 7 от точки -5 находятся точки 2 и -12 (рис. 14). Таким образом, данное равенство выполняется тогда и только тогда, когда Множества - определение и вычисление с примерами решения или Множества - определение и вычисление с примерами решения то есть данное уравнение равносильно указанной в решении совокупности уравнений.

Пример №406

Решите неравенство Множества - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Решая эти неравенства (рис. 15), получаем

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, Множества - определение и вычисление с примерами решения или Множества - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Множества - определение и вычисление с примерами решения

Комментарий:

Заданное неравенство имеет вид Множества - определение и вычисление с примерами решения (в данном случае Множества - определение и вычисление с примерами решения), и его можно решать, используя геометрический смысл модуля. С геометрической точки зрения, Множества - определение и вычисление с примерами решения — это расстояние от точки 0 до точки Множества - определение и вычисление с примерами решения. На расстоянии 6 от 0 находятся числа 6 и -6.

Тогда неравенству Множества - определение и вычисление с примерами решения удовлетворяют все те и только те точки, которые находятся в промежутке Множества - определение и вычисление с примерами решения то есть Множества - определение и вычисление с примерами решения Для решения полученного двойного неравенства его удобно заменить соответствующей системой.

  • Рациональные уравнения
  • Рациональные неравенства и их системы
  • Геометрические задачи и методы их решения
  • Прямые и плоскости в пространстве
  • Функции, их свойства и графики
  • Параллельность в пространстве
  • Перпендикулярность в пространстве
  • Векторы и координаты в пространстве

Множеством называют математическую единицу, которая подчиняется определенным правилам и законам. Оно обладает различными функциями и свойствами. Если элементами в нем являются числа, то речь идет о числовом множестве. Множества чисел могут быть конечными и бесконечными. Для их обозначения применяются большие буквы A, В…., элементы множеств обозначаются маленькими буквами, такими как x, y, z,….

Что такое множество чисел?

Математический термин «множество» можно охарактеризовать как отдельную совокупность, набор или объединение. Его элементами в теории могут быть различные объекты произвольной природы. К примеру, термин множество можно применить к большому количеству книг в библиотеке, товаров на полках магазина, студентов университета и т.д. В математике используются такие понятия, как множество точек отрезка заданной длины или множество парных чисел.

Для их математического обозначения используется определенный метод. В случае, когда какой-то элемент [x] принадлежит множеству A, тогда, тогда следует записывать [x in(A)], если же ситуация обратная и элемент [y] не принадлежит множеству A, то правильно будет записать [y notin(A)] или [y bar{in}(A)].

Если в множестве нет ни одного элемента, то его принято называть пустым множеством. Оно обозначается [phi].

Для того, чтобы понять суть числовых множеств, рассмотрим несколько важных характеристик:

  1. Два отдельных множества A и B будут называть равными и обозначаться A=B в том случае, если составляющие их элементы полностью идентичные.
  2. Множество A будет называться подмножным множеством B в случае, когда каждый из элементов множества A является элементом второго множества B. В этой случае используются следующее обозначение [A subset(B)]. Оно читается как A содержится в B, либо в B находится A.Очевидным является тот факт, что абсолютно в любое множество входит пустое множество [emptyset subset A]. Приведем пример. Если в состав множества A входят элементы 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, то оно записывается в виде: A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, а в B={2,3 ,5 ,7,9} тогда [B subset(A)].
  3. Объединением множеств называют случаи, когда множества элементов C, принадлежащих множеству A либо множеству B, или одновременно A и B. Обозначается объединение множеств следующим образом: [C=cup(B)].
  4. Пересечением множеств A и B в математике называют множества элементов C, принадлежащих сразу двум множествам A и B. Обозначается пересечение так: [C=A cap(B)].

В случае, если A и B — это два множества точек, которые принадлежат двум геометрическим фигурам соответственно, тогда варианты их объединения будут выглядеть следующим образом:

Объединение множеств

Если произойдет пересечение множеств A и B, то выглядеть это будет так:

Пересечение множеств

Разницей множеств A и B принято называть отдельное множество C = A | B, которое содержит все элементы A, которые не являются элементами, принадлежащими множеству B.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Виды чисел

В математике все числа разделяются на 7 разных видов:

  1. натуральные – N;
  2. натуральные, включающие нуль – N_{0};
  3. целые – Z;
    • целые отрицательные – Z{-};
    • целые положительные – Z{+};
  4. иррациональные;
  5. рациональные – Q;
  6. комплексные – C;
  7. действительные – R.

Рассмотрим более подробно каждый из перечисленных видов чисел:

Основным отличием натуральных чисел является то, что они применяются при перечислении различных предметов или естественном счете. Проще говоря, при нумерации – «первый», «второй», «третий», «четвертый» и т.п. Множество натуральных чисел описывается следующим образом: N={1,2,3,4,5, ….}.

Натуральными числами, включающими нуль обозначаются определенные количества каких-либо предметов: N={0,1,2,3,4,5…}.

Целыми называют числа, входящие в числа с отрицательными и положительными знаками:

обозначение целых отрицательных чисел выглядит следующим образом: Z^{- }и пишется Z{-}=N={…,-5,-4,-3,-2,-1};

целые положительные числа в свою очередь обозначаются Z^{+} и записывается Z{+}=N={1,2,3,4,5…}.

[begin{gathered}
Z=Z^{{-}} cup{O} cupleft{Z^{{+}}right}= \
{ldots-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5 ldots}
end{gathered}]

Иррациональными называют вещественные числа, которые на являются рациональными и не могут никогда представляться в виде десятичных дробей.

Рациональными называют те числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби, имеющей вид m/n, где m и n — это целые числа, а [n neq{0}]. Для обозначения рациональных чисел в математике используется большая буква Q.

[Q=left{x mid x=frac{m}{n}, m in{Z}, n in{Z}, n neq{O}right}]

При переводе в десятичную дробь каждое рациональное число может представляться в виде бесконечной или конечной дроби.

Комплексными принято называть числа, в которых содержится мнимая единица i.

[C={mathrm{x}+i y / mathrm{x} in{R} u y in{R}}]

Действительные числа также называют вещественными. В них объединяются два вида чисел: рациональные (R) и иррациональные.

Примеры задач по определению множества чисел

Примеры

Необходимо записать множество D

при условии, что [D=A cup{B}], при этом [A={4,6,8,10,12},
B={6,9,12}].

Решение:

Исходя из условия [D=A cup{B}] можно сделать вывод, что это объединение множеств A и B.
Значит в множество D должны быть включены все элементы, которые присутствуют в обоих множествах
A и B. [D={4,6,8,9,10,12}].

Ответ: В множество D входят все элементы, принадлежащие двум множествам A и B.


Все студенты на курсе занимаются изучением разных иностранных языков. При этом английский язык изучают 90
студентов, а немецкий – 95 человек. Французский язык выбрали для изучения 93 человека, а одновременно
английский и немецкий – 35 студентов. 10 человек изучают все языки без исключения. Нужно узнать, сколько
студентов занимаются изучением немецкого и французского языков, если по списку на курсе

Решение

Решение задачи следует начать с введения некоторых обозначений, которые будут являться примерами множества
чисел.

A – множество студентов, которые проходят обучение на данном курсе;

A_{1} – множество студентов, изучающих исключительно английский язык;

A_{2} – множество студентов, специализирующихся на изучении немецкого языка;

A_{3} – множество студентов, которые изучают только французский;

A_{12} – множество человек, изучающих два языка (английский и немецкий);

A_{13} – множество человек, которые учат английский и французский языки;

A_{23} – множество студентов, изучающих все языки на курсе.

|B| — количество всех элементов, относящихся к множеству B.

Согласно условиям задачи, получаем выражение:

[|A|=185,left|A_{{1}}right|=90,left|A_{{3}}right|=93,left|A_{{12}}right|=35,left|A_{{23}}right|=31,left|A_{{23}}right|=x]

Далее необходимо найти x – количество человек на курсе, которые занимаются изучением французского и
немецкого
языка. Учитывая вышеописанные обозначения, приходим к следующему результату:

[A_{{12}}=A_{{1}} cupleft{A_{{2}}right}, A_{{13}}=A_{{1}} cupleft{A_{{3}}right},
A_{{23}}=\A_{{2}} cupleft{A_{{3}}right}, A_{{123}}=A_{{1}} cupleft{A_{2}right}
cupleft{A_{{3}}right}]

Применяя методы включения и исключения, приходим к выводу, что:

[|A|=left|A_{{1}}+right| A_{{2}} mid+\left|A_{{3}}-right| A_{{1}}
cupleft{A_{{2}}right}|-| A_{{1}} cupleft{A_{{3}}right}-mid
A_{{2}}\left.cupleft{A_{{3}}right}-left|A_{{1}} cupleft{A_{{2}}right} cupright|
A_{{3}}right}=\left|A_{{1}}right|+left|A_{{2}}right|+left|A_{{3}}right|-left|A_{{12}}right|-left|A_{{13}}right|-\left|A_{{23}}+A_{{123}}right|]

[185=90+95+93-35-31-x+10\185=222-x\x=37]

Ответ: 37 студентов на курсе изучают одновременно немецкий и французский языки.

Числовые множества

ЕГЭ по математике — экзамен чисто практический. Однако знания о том, какие бывают числа, необходимы при решении многих задач.

Первые числа, которыми люди начали пользоваться в доисторические ещё времена — это натуральные числа, то есть целые и положительные: 1, 2, 3, . . .

Натуральные числа — это числа, применяемые для счёта предметов. Натуральные числа можно использовать в качестве номеров.

Наименьшее натуральное число — единица¹. Числа 21, 249, 30988 являются натуральными. Все вместе они составляют множество натуральных чисел, обозначаемое буквой N:

N = {1, 2, 3, . . .}.

Что же такое множество? Это одно из первичных понятий математики, т. е. таких, которые лежат в основе логической системы и уже не определяются через другие понятия. Интуитивно мы понимаем, что множество — это набор или совокупность элементов, объединенных каким-либо общим признаком.

Множества обычно обозначаются заглавными буквами. Множество натуральных чисел мы можем условно изобразить вот так:

Но числа бывают не только натуральными. Индийцы изобрели число ноль и отрицательные числа. Теперь они для нас привычны, но когда-то европейцы — древние греки и римляне — долгое время обходились без нуля. Сейчас нам трудно это представить.

Натуральные числа, целые отрицательные числа и ноль вместе составляют множество целых чисел, которое обозначается Z :

Z = {0, ±1, ±2, ±3, . . .}.

Например, получая в тригонометрическом уравнении серию решений, мы пишем: n ∈ Z, и это означает, что n — целое число.

Очевидно, множество целых чисел включает в себя множество натуральных:

Кроме целых чисел, однако, имеются ещё и дроби.

Напомним, что дробь — это часть, доля, выражение вида frac{p}{q} (где p — целое, а q — натуральное). Например, frac{1}{3} — это «одна часть из трёх», 0,25 — это двадцать пять сотых. Десятичные дроби также можно записать в виде frac{p}{q}. Например, 0,25 = frac{25}{100} = frac{1}{4}. А если вы вдруг забыли, как десятичную дробь перевести в обыкновенную, как складывать и умножать дроби или как их сокращать — срочно обращайтесь к нам за консультацией! Без этих простейших навыков готовиться к ЕГЭ будет крайне сложно.

Целые числа (положительные и отрицательные) также можно записать в виде frac{p}{q}. Например, в виде дроби со знаменателем 1:

Стало быть, целые числа — частный случай дробей.

Числа, которые можно записать в виде дроби frac{p}{q}, называются рациональными. Множество рациональных чисел обозначается Q. Ясно, что оно включает в себя множество целых чисел.

Хорошо, но любое ли число можно записать в виде дроби frac{p}{q}? Иными словами, все ли числа являются рациональными?

Долгое время — в античности — считалось, что любое число можно записать в виде дроби с числителем и знаменателем. Дело в том, что для древних греков числа и их соотношения были почти священны. Пифагорейцы говорили: «Числа правят миром». Они верили, что все основные принципы мироздания можно выразить языком математики, что соотношения чисел выражают гармонию, закон и порядок природы, перед которым склоняют голову даже олимпийские боги. Греческое искусство, особенно архитектура, подчинялось правилам, канонам. Греки точно установили, какими должны быть пропорции в архитектуре — например, отношение диаметра колонны к её длине — чтобы здание было гармоничным. И все эти пропорции были отношениями целых чисел.

Однако в стройной и гармоничной системе божественных пропорций наметилась досадная брешь. Оказалось, что отношение диагонали квадрата к его стороне не выражается отношением целых чисел! Другими словами, если мы нарисуем квадрат со стороной 1, его диагональ не выражается никакой дробью вида frac{p}{q}.

По теореме Пифагора диагональ такого квадрата равна sqrt{2} — то есть положительному числу, квадрат которого равен двум. Можно доказать, что это число не является рациональным. Но сами пифагорейцы не сразу смоги смириться с тем, что sqrt{2} невозможно записать в виде frac{p}{q} — ведь это наносило удар всей их философской системе!

Открытие долго держалось в тайне, пока наконец ученик Пифагора Гиппас не разгласил его. За это Гиппас был изгнан из школы Пифагора и вскоре погиб во время кораблекрушения, в чём современники увидели несомненное возмездие богов. А числа, которые невозможно записать в виде frac{p}{q}, такие, как sqrt{2}, назвали иррациональными, то есть не-разумными, неправильными.

Но иррациональные числа ничуть не хуже рациональных! Они отнюдь не ограничиваются выражениями вида sqrt{2} или sqrt{3}. К ним относятся также:

Ещё раз повторим, в чём разница между рациональными и иррациональными числами.

Рациональное число можно представить в виде дроби frac{p}{q} — например, frac{1}{3}, frac{7}{11}. А если мы просто поделим в столбик 7 на 11, мы обнаружим интересную закономерность:

7 : 11 = 0,636363636363…

Мы видим, что цифры повторяются, то есть дробь является периодической. Таким образом, любое рациональное число можно записать десятичной дробью — конечной или бесконечной периодической.

А вот в числе pi= 3,1415926... цифры не заканчиваются, и никакой периодичности их следования не наблюдается. Иррациональные числа — это бесконечные непериодические дроби.

Вместе оба множества — рациональных и иррациональных чисел — образуют множество действительных (или вещественных) чисел, которое обозначается R (от слова real).

Возникает вопрос: это всё? Все ли числа, какие только могут быть, содержатся в множестве действительных чисел? Или за его пределами ещё что-то есть?

Для успешной сдачи ЕГЭ других чисел не нужно. Да и, казалось бы, мы назвали все возможные числа. Но вот какой парадокс: положительные и отрицательные числа симметрично расположены на числовой прямой, верно? И при этом из положительных чисел можно извлечь квадратный корень, а из отрицательных — нельзя! Не существует действительного числа, которое при возведении в квадрат даёт −1.

Оказывается, однако, что существует числовое множество, содержащее в себе множество R и бесконечное множество других чисел, не являющихся действительными. В этом множестве находится мнимая единица i, для которой верно i² = −1. И называется оно множеством комплексных чисел.

Комплексные числа служат естественным языком описания многих физических явлений. Те из вас, кто выбрал инженерную специальность (в особенности связанную с распространением волн, электротехникой и радиофизикой), непременно встретятся с ними. В отличие от действительных («вещественных») чисел, применяемых для описания материального, плотного мира «вещей», комплексные числа оказываются удобным инструментом для построения математических моделей волн и колебаний всевозможной природы.

Ну а будущим физикам наверняка интересно будет узнать, что элементарные частицы живут и взаимодействуют по законам именно комплексных чисел. Наукой, описывающей комплексный микромир, является квантовая физика.


¹ В школьной математике ноль не является натуральным числом. Мы ведь не используем его для счёта предметов. Ну какой здравомыслящий человек скажет: «На столе стоит ноль чашек»? 🙂

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Числовые множества» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Построение
множества
действительных
чисел.

Рис. 2.

Структура
множества действительных чисел
представлена на рисунке 2.

Заметим,
что для написания действительных чисел
мы используем цифры (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9),
которые придумали монахи-брамины в
Индии; арабы же принесли их в Европу
между X и XV столетиями.

Действительные
числа образуют множество R элементов,
обладающее следующими свойствами:

  1. Упорядоченность.
    Для любых двух действительных чисел a
    и b определено отношение порядка, т.е.
    имеет место одно из отношений: a<b,
    a=b,
    a>b.
    При этом, если a<b
    и b<c, то a<c (транзитивность
    упорядоченности
    ).
    Соотношения порядка называют также
    сравнением
    действительных чисел по величине.

  2. Операция
    сложения
    .
    Для любой пары чисел

    определено такое единственное число,
    называемое их суммой
    a+b, что
    выполняются условия:

    II1.
    a+b=b+a
    (коммутативность);

    II2.
    a+(b+c)=(a+b)+c,

    (ассоциативность);

    II3.
    существует единственное число, называемое
    нулём
    0,
    такое, что a+0=a
    для любого

    ;

    II4.
    для любого числа

    существует единственное число (-a),
    называемое ему противоположным,
    такое, что a+(-a)=0;
    число a+(-b)=a-b,

    ,
    называется разностью
    чисел a и b;

    II5.
    если a<b,
    то a+с<b+с
    для любого

    .

  3. Операция
    умножения.

    Для любой пары вещественных чисел a и
    b определено такое единственное число,
    называемое их произведением
    ab, что выполняются условия:

    III1.
    ab=ba
    (коммутативность);

    III2.
    a(bc)=(ab)c,

    (ассоциативность);

    III3.
    существует единственное число 1,
    называемое единицей,
    такое, что a1=a
    для любого

    ;

    III4.
    для любого числа

    существует единственное число

    ,
    называемое ему обратным
    к данному, такое, что a
    =1;
    число a
    ,

    ,называется
    частным

    от
    деления a на b;

    III5.
    если либо a,
    либо b,
    либо a и b равны 0, то ab=0; III6.
    если a<b
    и c>0,
    то aс<bс,
    если a<b
    и c<0,
    то aс>bс,

    .

  4. Дистрибутивность
    умножения относительно сложения
    :
    (a+b)c=ac+bc для любых

    .

  5. Плотность:
    для любых

    ,
    таких, что a<b,
    существует такое число c, что a<c<b.

  6. Непрерывность:
    для любых непустых числовых множеств
    X и Y, таких, что для каждой пары чисел

    и

    ,
    выполняется неравенство

    ,
    существует число a, удовлетворяющее
    условию:

    ,

    ,

    .

Подмножества
множества
R.

  1. Число
    1+1 обозначают 2, число 2+1 обозначают 3 и
    т.д. Эти числа 1, 2, 3,

    ,
    образуют множество
    N натуральных чисел.

  2. Числа,
    большие 0, называются положительными
    числами
    ,
    числа, меньшие 0 – отрицательными.
    Числа

    образуют множество
    Z целых чисел
    .

  3. Числа,
    представимые в виде несократимого
    отношения

    ,

    ,

    ,
    образуют множество
    Q рациональных чисел.

  4. Действительные
    числа, не являющиеся рациональными,
    образуют множество
    I иррациональных чисел.

  5. Множество
    R является объединением множеств Q и I:

    .

Свойство
Архимеда.
Каково бы ни было число

,
существует такое число

,
что n>a.

Следствие.
Каковы бы ни были числа a и b, 0<a<b,
существует такое число

,
что na >b.

Числовые
промежутки.

Пусть
P(x) – какое-то свойство числа x. Тогда
запись

означает множество
чисел, обладающих свойством P(x).

Пусть
даны два числа a
и b,
a<b.
Рассмотрим следующие множества на
числовой оси:


отрезок
(сегмент)

[a,b];


,

полуинтервалы;


интервал
(a,b);

или

– полуоси

или

.

Все
указанные множества называются
промежутками.

Кванторы
(логические символы).

(для
любого, для каждого) – квантор
всеобщности
.

(существует)
квантор
существования
.

Ограниченность
множеств.

Числовое
множество X называется ограниченным
сверху (снизу),

если

(если существует число c такое, что для
любого x из X выполняется неравенство

).

Множество,
ограниченное сверху и снизу, называется
ограниченным
множеством.

Примеры:
[2,3] – ограниченное множество;


множество, ограниченное снизу;


множество, ограниченное сверху.

Комплексные
числа
.

Комплексным
числом

называется выражение вида z=x+iy,

,


мнимая
единица
, то
есть число, квадрат которого равен -1.

x=Re
z
действительная
часть
z.

y=Im
z
мнимая
часть
z.

Действительное
число x является частным случаем
комплексного числа z=x+iy при y=0.

Если
x=0,
а

,
то числа вида z=iy называются мнимыми
числами.

Комплексное
число
z=x+iy
равно 0,
если x=0
и y=0.

Два
комплексных числа

z1=x1+iy1
и z2=x2+iy2
называются
равными
,
если x1=
x2
и y1=
y2.

Определение.
Будем говорить, что между множествами
X и Y установлено соответствие,
если по какому-либо закону или правилу
каждому элементу

соответствует
элемент

.
Соответствие называется взаимно-однозначным,
если любому

соответствует только один элемент

и, наоборот, любому

соответствует только один элемент

.

Комплексные
числа изображаются точками на комплексной
плоскост
(см.
рис.3.).Плоскость
называется комплексной,
если каждому комплексному числу z=x+iy
ставится в соответствие точка плоскости
Z(x,y), причём это соответствие
взаимно-однозначное.

Оси
Ox
и Oy
прямоугольной (декартовой) системы
координат, на которых расположены
действительные числа z=x+0i=x
и мнимые числа z=0+iy=iy, называются
соответственно действительной
и мнимой
осями
.

Рис.3.
Комплексная плоскость

(x,0)
– действительное число x;

(0,y)
– мнимое число z=iy;

(0,1)
– мнимая единица
i;

(1,0)
– действительное число 1;

(0,0)
– z=0;

(x,y)
– комплексное число z=x+iy.

Все
эти числа изображены на рис.3.

С
каждой точкой M(x,y) комплексной плоскости
связан радиус-вектор этой точки

,
длина которого

называется
модулем
комплексного числа
z.

Угол
φ, образованный радиус-вектором

с
положительным направлением оси абсцисс,
называется аргументом
комплексного числа

z.

(определён
неоднозначно с точностью до

).

Если

,
то

,
но угол φ не определён. Если дополнительно
сделать ограничение

,
то угол φ определяется однозначно и
обозначается символом arg z.

Число

называется комплексно-сопряжённым
комплексному числу

.
Заметим, что произведение

(действительное
число) (см. задачу ниже).

Множество всех
комплексных чисел обозначается C.

Связь
между
числовыми
множествами:


.

Арифметические
операции над комплексными числами.

Пусть
даны комплексные числа z1=x1+iy1
и z2=x2+iy2.
Тогда их сумма (разность) определяется
как

Произведение
определяется следующим образом:

Действительно,


.

Так
как

,
получаем искомую формулу.

Частное
двух комплексных чисел

и

получим,
домножая числитель и знаменатель на
число, сопряжённое знаменателю:

По
формуле умножения комплексных чисел
имеем,

Задача.
Доказать, что сумма и произведение
комплексно-сопряжённых чисел есть число
действительное.

Формы
представления
комплексных
чисел.

  1. Алгебраическая
    z=x+iy.

  2. Тригонометрическая

    Из
    алгебраической формы можно перейти в
    тригонометрическую, действуя следующим
    образом:

    где

    ,

    .

    В
    тригонометрической форме очень удобно
    умножать и делить комплексные числа.
    Если z11(cos
    φ1+isin
    φ1),
    z22(cos
    φ2+isin
    φ2),
    то


    .

  3. Показательная
    (экспоненциальная)
    .

Связь
между экспоненциальной функцией и
тригонометрическими функциями выражается
с помощью формул
Эйлера
:

Возведение
комплексного числа в натуральную степень
n.

(формула
Муавра
).

Извлечение
корня
n-ой
степени из комплексного числа.


.

Корень
n-ой
степени из не равного нулю комплексного
числа имеет n различных значений, которые
геометрически являются вершинами
правильного n-угольника, вписанного в
окружность с центром в нуле и радиусом

.

Пример.
Найти

.

Решение.
Заметим, что

,
то есть

,
a


.

Модуль
комплексного числа –i равен

;

Вычислим
аргумент:


.

Запишем
число –i
в тригонометрической форме:


z.

По
формуле извлечения корня из комплексного
числа, имеем:

=

Первый
корень получаем при

z1=
=0+i1=i;

При


:

Наконец,
третий корень найдём при k=2

Результат
изображён на рис.3.

Рис.4.
Значения

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Добавить комментарий