Как найти множество действительных чисел

Данная статья посвящена теме “Действительные числа”. В статье дается определение действительных чисел, иллюстрируется их положение на координатной прямой, рассматриваются способы задания действительных чисел числовыми выражениями.

Определение действительных чисел

Целые и дробные числа вместе составляют рациональные числа. В свою очередь, рациональные и иррациональные числа составляют действительные числа. Как дать определение, что такое действительные числа?

Действительные числа – это рациональные и иррациональные числа. Множество действительных чисел обозначается через R.

Данное определение можно записать иначе с учетом следующего:

1. Рациональные числа можно представить в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби.
2. Иррациональные числа представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби.

Действительные числа – числа, которые можно записать в виде конечной или бесконечной (периодической или непериодической) десятичной дроби. 

Действительные числа – это любые рациональные и иррациональные числа. Приведем примеры таких чисел: 0; 6; 458; 1863; 0,578; -38; 265; 0,145(3); log512.

Нуль также является действительным числом. Согласно определению, существуют как положительные, так и отрицательные действительные числа. Нуль является единственным действительным числом, которое не положительно и не отрицательно.

Еще одно название для действительных чисел – вещественные числа. Эти числа позволяют описывать значение непрерывно меняющейся величины без введения эталонного (единичного) значения этой величины.

Координатная прямая и действительные числа

Каждой точке не координатной прямой соответствует определенное и единственное действительное число. Иными словами, действительные числа занимают всю координатную прямую, а между точками кривой и числами присутствует взаимно-однозначное соответствие.

Представления действительных чисел

Под определение дейситвительных чисел попадают:

1. Натуральные числа.
2. Целые числа.
3. Десятичные дроби.
4. Обыкновенные дроби.
5. Смешанные числа.

Также действительные числа часто представляются в виде выражений со степенями, корнями и логарифмами. Сумма, разность произведение и частное действительных чисел также являются действительными числами. 

Значение любого выражения, составленного из действительных чисел, также будет являться действительным числом.

Например, значения выражений sin23π·e-285·10log32 и tg676693-8π32  – действительные числа.

Одно из основных понятий математики — понятие множества. Оно является простейшим неопределяемым понятием, его нельзя свести к более простым понятиям. Множество можно лишь описать или пояснить примерами. Например, можно говорить о множестве учеников данного класса, о множестве всех предметов, находящихся в классе, о множестве всех натуральных чисел, о множестве всех корней данного уравнения, о множестве всех точек, лежащих на прямой, о множестве всех теорем, входящих в данный курс, и т. д. Гозоря о множестве каких-либо объектов, мы объединяем их в одно целое и рассматриваем свойства этого объединения, а не свойства отдельных входящих в него элементов. Не случайно основатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845—1918) писал: «Множество есть многое, мыслимое как единое».

Множества

Множества принято обозначать прописными (заглавными) латинскими буквами, а элементы, образующие эти множества, маленькими (строчными) буквами. Если элемент а принадлежит множеству А, то это записывают так: —знак принадлежности). Если элемент b не принадлежит множеству А, то это записывают так: или Так, если множество А состоит из чисел 1 и 2, то

Элементами множества могут быть как реально существующие предметы (люди, стулья, деревья и т. д.), так и абстрактные предметы (точки, числа, теоремы и т. д.). Могут быть и такие случаи, когда элементами одного множества являются какие-то другие множества. Можно, например, говорить о множестве М всех классов данной школы, в то время как каждый класс, в свою очередь, является множеством учеников. Но при этом надо помнить, что в множество М входят в качестве элементов не отдельные ученики, а множества учеников, объединенных в классы.

Множества могут быть конечными и бесконечными. Конечным называется множество, состоящее из конечного числа элементов (например, множество учеников данного класса — конечное множество). Примером бесконечного множества может служить множество всех натуральных чисел.

Пусть множество А состоит из конечного числа элементов Такое множество принято записывать следующим образом:

т. е. перечисляются все элементы данного множества, а фигурные скобки показывают, что все эти элементы объединены в одно множество. Если множество бесконечно или число элементов множества очень велико, то указанная запись множества становится неудобной или невозможной. В этих случаях применяется другой способ задания множества. Он состоит в том, что указывается характеристическое свойство, присущее всем элементам данного множества.

Под характеристическим свойством понимается свойство, которым обладают все элементы данного множества и которым не обладает ни один элемент, не входящий в данное множество.

Например, свойство «быть квадратом натурального числа» определяет бесконечное множество

Этим характеристическим свойством множество А полностью определено. Ясно, что элемент 144 принадлежит множеству А, так как В то же время элемент 145 не принадлежит множеству А, так как не существует натурального числа, квадрат которого равен 145. Не принадлежат множеству А и элементы другой природы (не числа), такие, как «дом», «точка», «теорема».

Приведем еще два примера задания множества с помощью характеристического свойства. Характеристическое свойство «быть однозначным нечетным числом» определяет конечное множество Характеристическое свойство «быть столицей государства» определяет конечное множество, состоящее из столиц всех государств земного шара. В это множество входят такие элементы, как Москва, Рим, Париж, Монтевидео, и не входят такие города, как Ленинград, Милан, Катовице.

Если характеристическое свойство обозначить символом то множество, определяющееся этим свойством, записывают так:

Например, множество корней квадратного уравнения запишется так:

Может случиться так, что характеристическому свойству не удовлетворяет ни один элемент. Если, например, в данном классе все ученики успевают, то характеристическому свойству «быть неуспевающим учеником данного класса» не удовлетворяет ни один элемент. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом Примеры пустых множеств: множество натуральных корней уравнения множество всех нечетных чисел, делящихся без остатка на 2, множество людей Земли, побывавших на Марсе и т. д.

Два множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т. е. если каждый элемент множества А является в то же в емя элементом множества В а каждый элемент множества В является и элементом множества А. Если А и В — равные множества, то пишут А —В. Например, т. е. порядок написания элементов множества не имеет значения.

Подмножество

Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является в то же время и элементом множества А, т. е. из условия вытекает условие Если В — подмножество множества А, то пишут —знак включения) или

Из этого определения следует, что каждое множество является своим подмножеством: Кроме того, принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества Множества называются несобственными подмножествами множества А. Остальные подмножества, если они существуют, называют собственными подмножествами множества А.

Примеры:

Пусть задано множество Тогда его собственными подмножествами будут множества а несобственными подмножествами —множества и

Пусть А —множество всех точек круга а В — множество всех точек квадрата, вписанного в этот круг (рис. 1). Тогда множество В есть подмножество множества А. Множество А имеет еще целый ряд подмножеств. Так, множество всех точек радиуса ON, множество всех точек окружности MNDK, множества всех точек хорд MN, DK, ND, КМ будут собственными подмножествами множества А.

Свойства подмножеств

На рис. 2 изображены три множества А, В и С, причем Из рисунка видно, что в таком случае т. е. если фигура С

является частью фигуры В, а фигура В, в свою очередь, является частью фигуры Л, то и фигура С является частью фигуры А. Значит, можно утверждать, что выполняется следующее свойство:

1°. Если

2°. Если

В самом деле, условие означает, что каждый элемент множества А принадлежит множеству В; условие означает, что каждый элемент множества В принадлежит А. Следовательно, множества Л и В состоят из одних и тех же элементов, т. е.

Понятие логического следования. Равносильность. Необходимость и достаточность

Любое предложение, относительно которого можно сказать, является оно истинным или ложным, называется высказыванием. Приведем примеры высказываний: а) дуб есть лиственное дерево; б) кит—растение; в) сумма углов треугольника равна 180°. Здесь высказывания а) и в) истинны, а б)—ложно.

Любое числовое равенство является высказыванием. Например, 3=2+ 1 —истинное высказывание, а 2 + 3=7— ложное.

Пусть даны два высказывания а и Ь. Если из истинности а следует истинность b, то пишут Знак называется знаком логического следования. В таком случае говорят также, что b есть необходимое условие для а, а о есть достаточное условие для b.

Рассмотрим для примера два высказывания: а—данное число делится на 4; b—данное число четное. Ясно, что если число делится на 4, то оно четное. Значит, можно написать Четность числа является необходимым условием делимости его на 4; делимость числа на 4 является достаточным условием четности числа.

С помощью знака логического следования может быть записано первое свойство подмножеств, полученное в предыдущем пункте:

В дальнейшем мы будем пользоваться знаком логического следования.

Пусть снова даны два высказывания a и b. Если и то говорят, что высказывания а и b равносильны и пишут

С помощью знака равносильности может быть записано доказанное в предыдущем пункте второе свойство подмножеств:

Заметим, что во многих случаях вместо термина «равносильность» используется термин «необходимость и достаточность». Так, записанное выше предложение (1) можно прочитать следующим образом: для того чтобы два множества А и В были равны, необходимо и достаточно, чтобы А было подмножеством В и В было подмножеством А.

Операции над множествами

Рассмотрим две операции над множествами.

Пересечение множеств. Под пересечением множеств А и В понимается множество С, состоящее из тех и только из тех элементов, которые входят одновременно и в множество А, и в множество В. Пишут

Примеры:

Пусть Тогда

Пусть А — множество всех нечетных натуральных чисел, Тогда

Пусть А — множество всех ромбов, а В — множество всех прямоугольников. Тогда — множество всех прямоугольников с равными сторонами, т. е. множество всех квадратов.

Этот пример показывает, что если множество А задается с помощью характеристического свойства а множество В задается с помощью характеристического свойства то множество С состоит из всех таких элементов, которые одновременно обладают и свойством и свойством

4.Пусть А— множество всех точек квадрата, а В — множество всех точек круга (рис. 3). Тогда множество состоит из всех точек заштрихованной области,

5.Пусть А — множество всех четных натуральных чисел, а В — множество всех нечетных натуральных чисел. Тогда

Отметим некоторые свойства операции пересечения множеств:

Объединение множеств. Объединением двух множеств А и В называется множество D, состоящее из

тех и только из тех элементов, каждый из которых принадлежит, по крайней мере, одному из данных множеств А и В (или А, или В, или и А, и В). Пишут

Если один и тот же элемент входит и в множество А, и в множество В, то в множество D он входит лишь один раз.

Примеры:

Пусть Тогда

2.Пусть А—множество точек прямоугольника, а В — множество точек круга (рис. 4). Тогда множество состоит из всех точек заштрихованной области.

Отметим некоторые свойства операции объединения:

Операции пересечения и объединения могут применяться не только к двум множествам, но и к трем, четырем, ста и даже к бесконечной совокупности множеств.

Например, множество натуральных чисел является объединением множеств однозначных, двузначных, трехзначных….. n-значных, … чисел. Множество всех плоских многоугольников—объединение множеств треугольников, четырехугольников, …, n-угольников,…

Множество натуральных чисел

Свойства натуральных чисел: Множество всех натуральных чисел N бесконечно. Оно имеет наименьший элемент 1 и не имеет наибольшего элемента. Для каждого натурального числа можно указать следующее за ним (за числом 7 следует число 8, за числом 124 следует число 125, вообще за числом k следует число

Пусть М — некоторое подмножество множества N, В М обязательно есть наименьший элемент; если же М—конечное множество натуральных чисел, то в М есть и наибольший элемент. Например, множество М всех четных натуральных чисел

бесконечно, в нем есть наименьший элемент 2, но нет наибольшего. Множество Р всех нечетных двузначных чисел конечно, в нем есть и наименьший элемент (число 11), и наибольший элемент (число 99).

На множестве N всех натуральных чисел определены операции сложения и умножения, причем для любых натуральных чисел m, n, k справедливы следующие равенства:

Первое и третье равенства выражают переместительный закон соответственно сложения и умножения; второе и четвертое — сочетательный закон сложения и умножения; пятое равенство носит название распределительного закона умножения относительно сложения, получим

Пример:

Найти сумму натуральных чисел от 1 до 99.

Решение:

Имеем: Воспользовавшись переместительным и сочетательным законами сложения, получим:

Результатом сложения или умножения двух натуральных чисел всегда является натуральное число. Относительно вычитания и деления этого сказать нельзя: так из числа 3 нельзя вычесть число 7 (в множестве натуральных чисел); число 15 нельзя разделить на 4 (нацело).

Если натуральное число m делится нацело на натуральное число k, то m называется кратным числа k. Если m — кратное числа k, то существует натуральное число m такое, что

Запишем множество Р всех кратных числа 3:

Множество Р можно записать и по-другому:

Аналогично множество M кратных числа 7 имеет вид

Если натуральное число m не делится нацело на натуральное число k, т. е. не существует такого натурального числа n, что то рассматривают деление с остатком. Например, при делении числа 37 на число 15 в частном получается 2 (неполное частное) и в остатке 7, т.е. В общем случае, если m —делимое, k—делитель, р — частное и r—остаток, то

Здесь — натуральные числа. Исключение составляет случай, когда m делится на n нацело; в этом случае

Примеры:

Выполнить действия:

Решение:

2.Пусть А — множество двузначных чисел, кратных 6, В—множество двузначных чисел, кратных 9. Составить множества и указать наименьший и наибольший элементы в каждом из этих множеств.

Решение:

тогда

Здесь 18—наименьший, а 90 — наибольший элемент.

Составим обьединение множеств А и В, расположив натуральные числа в порядке возрастания:

здесь наименьшим элементом является число 12, а наибольшим — 99.

3.Найти частное и остаток от деления числа 274018 на число 342.

Решение:

Выполним «деление углом»:

Итак, частное 801, а остаток 76. Воспользовавшись равенством (1), можем записать, что

Признаки делимости

В некоторых случаях, не производя деления натурального числа m на натуральное число k, можно ответить на вопрос, выполнимо ли деление m на n без остатка или нет. Ответ на этот вопрос получается с помощью различных признаков делимости. Рассмотрим некоторые из них.

Делимость суммы. Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.

Пусть а и b делятся нацело на с, докажем, что и а + b делится на с.

Так как а кратно с, то существует такое натуральное число n, что Аналогично, существует такое натуральное число k, что Тогда можно записать, что

Воспользовавшись распределительным законом, получим равенство Получим тогда

Но это и означает, что делится нацело на число с.

Например, не выполняя сложения, можно установить, что сумма 48 + 64 + 96 делится на 16 — ведь каждое слагаемое этой суммы делится на 16.

Не следует, однако, думать, что, если каждое слагаемое суммы не делится на какое-то число, то и сумма не делится на это число. Например, сумма 37+19 делится на 4, хотя ни 37, ни 19 не являются кратными числа 4.

Делимость произведения. Если в произведении хотя бы один из сомножителей делится нацело на некоторое число, то и произведение делится на это число.

Пусть дано произведение ab натуральных чисел а и b, а делится на с; докажем, что и ab кратно с.

Так как а кратно с, то существует натуральное число п, такое, что Тогда имеем

(мы воспользовались переместительным и сочетательным законами умножения). Положив получим

Это и означает, что ab делится на с без остатка.

Например, не выполняя умножения, можно утверждать, что произведение делится на 5—ведь 105 делится на 5.

Признак делимости на 2. Если последняя цифра натурального числа делится на 2, то число делится на 2.

Иными словами, число будет четным, если оно оканчивается одной из следующих цифр: 0, 2, 4, 6, 8.

Пусть, например, дано трехзначное число abc, где с кратно числу 2 (запись означает, что а—цифра сотен, b—цифра десятков, с—цифра единиц), тогда

Числа 10 и 100 делятся на 2, поэтому и делятся на 2. По условию и с делится на 2, поэтому сумма делится на 2, что и требовалось доказать.

Верное и обратное: если число делится на 2, то его последняя цифра делится на 2. Значит, можно утверждать следующее: для того чтобы число было четным, необходимо и достаточно, чтобы его последняя цифра была четной.

Аналогичные рассуждения позволяют получить признаки делимости на 5, на 10 и на 4.

Признак делимости на 5. Для того чтобы натуральное число делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра была либо 0, либо 5.

Признак делимости на 10. Для того чтобы натуральное число делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы цифра единиц была 0.

Признак делимости на 4. Для того чтобы натуральное число, содержащее не менее трех цифр, делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы делилось на 4 двузначное число, образованное последними двумя цифрами заданного числа.

Например, число 15436 делится на 4 без остатка, так как число 36 делится на 4. Число 372514 не делится на 4, так как 14 не делится на 4.

Отметим еще признаки делимости на 3 и на 9.

Признак делимости на 3. Для того чтобы натуральное число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3.

Рассмотрим для примера четырехзначное число

Имеем

Числа 9, 99, 999 делятся на 3, поэтому (999а+ 99b+9с) делится на 3 и сумма (999а + 99b + 9с) + (a+b+c+d) будет делиться на 3 тогда и только тогда, когда делится на 3 сумма цифр (a + b + c + d).

Например, число 2742 делится на 3, так как делится на 3 число 2 + 7 + 4 + 2=15. Число 17941 не делится на 3, так как сумма цифр этого числа равна 22, а 22 не делится на 3.

Признак делимости на 9. Для того чтобы натуральное число делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9.

Этот признак получается аналогично признаку делимости на 3.

Примеры:

Доказать, что сумма делится на 6, если b — четное, а а и с—любые натуральные числа.

Решение. Если Ь — четнее число, то b имеет вид где n —натуральное число. Тогда а заданную сумму можно переписать так:

Числа 12, 6 и 18 делятся на 6, значит 12а, 6b и 18с делятся на 6 (по признаку делимости произведения). В таком случае и сумма делится на 6 (по признаку делимости суммы).

2.Не производя деления, найти остаток от деления числа 8378 на 5.

Решение:

Число 8375 оканчивается цифрой 5, значит делится на 5. Но 8378 = 8375 + 3. Таким образом, остаток от деления числа 8378 на 5 равен 3.

Примечание. Число 8370 тоже делится на 5. Можно записать 8378 = 8370 + 8, но из такого равенства нельзя сделать вывод о том, что остаток от деления числа 8378 на число 5 равен 8—ведь остаток должен быть меньше делителя. Поэтому мы подобрали ближайшее к 8378 число, кратное 5 и меньшее чем 8378.

3.Какой цифрой должно оканчиваться натуральнее число 1743с, чтобы оно делилось без остатка на 9.

Решение:

Имеем: Заданное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Значит, на месте должна стоять цифра 3, так как 15 + 3=18, а 18 кратно 9.

Разложение чисел на простые множители

Делителем данного числа называется такое число, на которое данное число делится нацело. Например, 6 является делителем числа 24.

Если число имеет только два делителя (само число и единица), то оно называется простым, если число имеет более двух делителей, то оно называется составным. Так, число 19 —простое, ибо оно имеет только два делителя: 1 и 19; число 35—составное, оно имеет четыре делителя: 1, 5, 7, 35. Простое число 19 можно представить в виде произведения двух натуральных чисел только одним способом: составное число 35 можно представить в виде произведения двух натуральных чисел более чем одним способом:

Множество простых чисел и множество составных чисел— бесконечные множества. Заметим, что число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам.

Пусть дано составное число 360. Его можно представить в виде произведения двух натуральных чисел Число 6 — составное: число 60 — составное: Значит, Из полученных множителей лишь множитель 30 вновь представляет собой составное число: Число 10 — составное: Значит, а для числа 360 получаем:

Нам удалось представить составное число 360 в виде произведения простых множителей. Здесь множитель 2 встречается 3 раза — в таком случае произведение записывается в виде степени: Число 3 называется показателем степени. Аналогично, вместо запишем Множитель 5 встречается 1 раз—в таком случае пишут или просто 5.

Итак, это — разложение числа на простые множители.

Любое составное натуральное число можно разложить на простые множители и только одним способом. При разложении чисел на простые множители используют признаки делимости и применяют запись столбиком, при которой делитель располагается справа от вертикальной черты, а частное записывается под делимым. Так, для числа 360 эта запись будет выглядеть следующим образом:

Примеры:

Разложить на простые множители число 911250. Решение. Используя признаки делимости, заключаем, что заданное число делится на 2; 3; 5; имеем

или

Выполнить деление (792:132), разложив делимое и делитель на простые множители.
Решение:

Имеем:

Значит,

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел

Пусть даны числа 72 и 96. Составим множество А делителей числа 72:

Составим множество В делителей числа 96:

Составим пересечение множеств А и В

Все элементы этого множества называются общими делителями чисел 72 и 96, а наибольший элемент — наибольшим общим делителем. Его обозначают

Итак,

Так как множество делителей данного числа всегда конечно, то и множество общих делителей нескольких данных чисел конечно. А во всяком конечном множестве натуральных чисел, как мы отмечали выше, есть наибольший элемент. Значит, для любых заданных натуральных чисел можно найти наибольший общий делитель.

Если числа а и b таковы, что то числа а и b называются взаимно простыми. Так, взаимно простыми будут числа 72 и 35 (хотя каждое из них — составное число). В самом деле, множество А делителей числа 72 таково:

а множество В делителей числа 35 таково:

Тогда значит,

Если числа разложены на простые множители, то легко найти их наибольший общий делитель. Найдем, например,

Составим разложение числа Д(3780, 7056) на простые множители. В него должны войти простые множители, которые содержатся как в разложении числа 3780, так и в разложении числа 7056. Если они входят в эти разложения с разными показателями, то берем множитель с меньшим показателем. Число 2 входит в оба разложения: в одно — с показателем 2, а в другое — с показателем 4. Поэтому мы возьмем Аналогично возьмем и 7, а множитель 5 не берем, так как он отсутствует в разложении числа 7056; итак,

Введем теперь понятия общего и наименьшего общего кратного. Пусть А—множество чисел, кратных 12:

а В— множество чисел, кратных 18:

Составим пересечение множеств А и В:

Элементы множества называют общими кратными чисел 12, 18. Это множество бесконечно, оно не имеет наибольшего элемента, но имеет наименьший элемент — число 36. Это число называется наименьшим общим кратным чисел 12 и 18 и обозначается К (12, 18).

Заметим, что всякое общее кратное чисел 12 и 18 делится без остатка на их наименьшее общее кратное. Вообще, кратное чисел а и b делится на К (а, b). Иными словами, если число m делится нацело на а и на b, то оно делится и на К (а, b). Это замечание часто используется при исследовании вопроса делимости. Так, число 2340 делится на 2, 3, 4, 5, 9, 10. Значит, это число делится и на наименьшее общее кратное указанных чисел, то есть на число 180.

Если числа разложены на простые множители, то легко найти их наименьшее общее кратное. Найдем, например, К (3780, 7056). Выше мы видели, что Составим разложение числа К (3780, 7056). В него должны войти все простые множители, которые входят хотя бы в одно из чисел 3780 и 7056. Если какой-то простой множитель входит в оба разложения, то он берется с наибольшим показателем; имеем

Воспользовавшись рассмотренным примером, обратим внимание читателя на следующее обстоятельство:

Можно доказать, что аналогичное равенство справедливо для любых натуральных чисел а и b:

Если, в частности, числа а и b взаимно простые, т. е.

Это значит, что наименьшее общее кратное двух взаимно простых чисел равно произведению этих чисел.

Множество рациональных чисел

Обыкновенные дроби

Напомним основные сведения об обыкновенных дробях, т. е. о числах вида где m и n — натуральные числа.

Пусть дана обыкновенная дробь Число m называется числителем дроби, n—знаменателем. В частности, n может быть равным 1. В этом случае обычно не пишут а пишут просто m, т. е. всякое натуральное число

можно представить в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1. Отсюда следует, что множество N всех натуральных чисел и множество Р всех обыкновенных дробей связаны отношением включения

Две дроби считаются равными, если

Например, равными будут дроби так как

Из определения равенства дроби следует, что равными будут дроби так как Это означает, что если числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной. Это свойство называется основным свойством дроби.

Пользуясь основным свойством дроби, иногда можно заменить данную дробь другой — равной данной, но с меньшим числителем и меньшим знаменателем. Такую замену называют сокращением дроби.

В общем случае, сокращение дроби возможно всегда, если числитель и знаменатель не взаимно простые числа. Если числитель и знаменатель — взаимно простые числа, то дробь называется несократимой.

Основная цель сокращения дроби — замена данной дроби равной ей несократимой дробью. Заменим, например, дробь равной ей несократимой дробью. Для этого найдем наибольший общий делитель чисел 36 и 48: Д (36, 48) = 12. Разделив числитель и знаменатель дроби на 12, получим Дробь несократимая.

Пусть теперь даны две дроби Они имеют разные знаменатели: 5 и 7. Пользуясь основным свойством дроби, можно заменить эти дроби другими, равными им, причем такими, что у полученных дробей будут одинаковые знаменатели. Такое преобразование, называемое приведением дробей к общему знаменателю, часто оказывается полезным. Умножив числитель и знаменатель дроби на 7, получим Умножив числитель и знаменатель дроби на 5, получим

Итак, дроби приведены к общему знаменателю:

Заметим, что это не единственное решение поставленной задачи: например, дроби можно было привести к общему знаменателю 70:

и вообще к любому знаменателю, делящемуся одновременно на 5 и на 7.

Рассмотрим еще один пример: приведем к общему знаменателю дроби

Рассуждая, как в предыдущем примере, получим

Но в данном случае можно привести дроби к общему знаменателю, меньшему, чем произведение знаменателей этих дробей. Найдем наименьшее общее кратное чисел 24 и 30: Имеем поэтому, чтобы записать дробь со знаменателем 120, надо и числитель, и знаменатель умножить на 5; это число называется дополнительным множителем; итак,

Далее, имеем 120:30 = 4. Умножив числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель 4, получим

Дроби приведены к общему знаменателю.

Ясно, что наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей является наименьшим возможным общим знаменателем. В дальнейшем нам часто придется приводить дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ). Перейдем к операциям над обыкновенными дробями. Сложение определяется следующим образом:

Например,

Если, в частности, то имеем

Это значит, что для сложения дробей с одинаковым знаменателем достаточно сложить числители, а знаменатель оставить прежним. Например,

Если же складываются дроби с разными знаменателями, то обычно приводят дроби к НОЗ, а потом складываются числители. Например,

Вычитание обыкновенных дробей производится аналогично.

Умножение определяется так:

Например,

Деление определяется так:

Например,

Среди обыкновенных дробей различают правильные и неправильные дроби. Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя (заметим, что если числитель и знаменатель дроби равны, т. е. то в этом случае дробь не относят ни к правильным, ни к неправильным).

Рассмотрим неправильную дробь и предположим, что m не кратно n (если m кратно n, то дробь можно заменить натуральным числом) Так как m больше n, то будем делить m на n. Пусть k—неполное частное, а r —остаток, тогда и

Так как остаток всегда меньше делителя, то правильная дробь. Значит, нам удалось представить неправильную дробь в виде суммы натурального числа k и правильной дроби эта операция называется выделением целой части. Например, Принято сумму натурального числа и правильной дроби записывать без знака сложения, т. е. вместо пишут Такая запись называется смешанным числом.

Итак, мы показали, что всякую неправильную дробь можно записать в виде смешанного числа. Верно и обратное, всякое смешанное число можно записать в виде неправильной дроби. Например,

или

Примеры:

Сократить дробь

Решение:

Первый способ. Найдем

Значит, тогда

Второй способ. Имеем:

2.Выполнить действия:

Решение:

Имеем:

3.Выполнить действия:
Решение. Приведем дроби к НОЗ, для чего найдем наименьшее общее кратное чисел 48, 72 и 90. Имеем Значит, Найдем дополнительные множители для каждой из данных дробей. Так как то дополнительным множителем для первой дроби будет число 15. Аналогично находим, что дополнительным множителем для второй дроби будет а для третьей дроби

Теперь имеем:

Число 679 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5. Значит, дробь несократима.

4.Выполнить действия:

Решение:

а) Первый способ. Обратим каждое из данных смешанных чисел в неправильную дробь, а затем выполним сложение:

Для сложения дробей приведем их к НОЗ. Имеем Дополнительным множителем для первой дроби будет число 3, для второй —7. Тогда

Превратим теперь неправильную дробь в смешанное число:

Второй способ. Имеем:

б) В случае умножения и деления смешанных чисел всегда переходят к неправильным дробям. Имеем: тогда

5.Выполнить действия:

Решение:

Перепишем данное числовое выражение, определив порядок действий:

Теперь будем проводить вычисления в указанном порядке:

Здесь удобно представить число 2 в виде тогда

Приведем дроби

Целесообразно представить смешанное число в виде имеем Так как то

Десятичные дроби

В виде десятичной дроби можно записать правильную дробь, знаменатель которой 10,
100, 1000 и т.д. Например,

Таким же образом можно записывать и смешанные числа. Например, в этих случаях целую часть смешанного числа отделяют запятой от числителя дробной части.
В виде десятичной дроби можно представить не только обыкновенные дроби со знаменателем, кратным 10, некоторые другие обыкновенные дроби, например , В самом деле, имеем:

Некоторые обыкновенные дроби нельзя представить в виде десятичных. Например, дробь нельзя записать в виде десятичной, так как ее нельзя привести ни к одному из знаменателей 10, 100, 1000 и т. д. Дробь тоже нельзя привести ни к одному из знаменателей 10, 100, 1000 и т. д. и тем не менее эту дробь можно представить в виде десятичной дроби: сократив дробь получим а

Общий вывод о представлении обыкновенной дроби в виде десятичной таков: если в разложении знаменателя дроби на простые множители содержатся только двойки и пятерки, то эту дробь можно записать в виде десятичной. Если же дробь несократима и в разложение ее знаменателя входят кроме двоек и пятерок другие простые множители, то эту дробь нельзя записать в виде десятичной.

Рассмотрим десятичную дробь 7,234. Имеем

Значит, в дроби 7,234 содержится 7 единиц, 2 десятых, 3 сотых и 4 тысячных. Вообще в десятичной дроби после запятой может быть сколько угодно разрядов: десятые, сотые, тысячные, десятитысячные и т. д. Дробь 7,234 можно записать так:

но

Значит, Таким образом, если к некоторой десятичной дроби приписать справа нуль или несколько нулей, то получится равная ей дробь. Если десятичная дробь оканчивается одним или несколькими нулями, то эти нули можно отбросить — получится равная ей дробь.

Сложение и вычитание. При сложении десятичных дробей надо записать их одну под другой так, чтобы одинаковые разряды были друг под другом, а запятая под запятой, и сложить числа так, как складывают натуральные числа. Сложим, например, дроби 12,7 и 3,442. Первая дробь содержит одну цифру после запятой, а вторая—три. Чтобы выполнить сложение, преобразуем первую дробь к виду, когда после запятой имеется 3 цифры: 12,7 = 12,700, тогда

Аналогично выполняется вычитание десятичных дробей. Вычтем для примера из 13,1 десятичную дробь 0,37:

Умножение. Пусть нужно перемножить десятичные дроби 1,12 и 2,3. Имеем:

Но можно было выполнить умножение и не переходя к обыкновенным дробям: достаточно выполнить умножение заданных чисел, не обращая внимания на запятые (как натуральные числа), а затем в результате отделить справа запятой столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.

Например, умножим 2,7 на 1,3. Имеем Запятой отделим справа две цифры, ибо у сомножителей после запятой по одной цифре. В итоге получаем

Если в произведении получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут несколько нулей. Например,

Рассмотрим еще умножение десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д. Пусть нужно умножить дробь 12,733 на 10. Имеем Отделив справа запятой три цифры, получимНо 127,330= 127,33. Значит,

Таким образом, умножение десятичной дроби на 10 сводится к переносу запятой на одну цифру вправо.

Вообще, чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000, надо в этой дроби перенести запятую вправо на 1, 2, 3 цифры.

Деление. Пусть нужно разделить дробь 22,1 на 13. Деление выполняется так же, как деление натурального числа на натуральное. Запятую в частном ставят после того, как закончено деление целой части:

Если целая часть делимого меньше делителя, то в ответе получается ноль целых, например:

Рассмотрим теперь деление десятичной дроби на десятичную. Пусть нужно разделить 2,576 на 1,12. Умножим делимое и делитель на 100—от этого частное не изменится. Тогда нужно будет разделить дробь 257,6 на натуральное число 112, т.е. задача сводится к уже рассмотренному случаю

Как в множестве натуральных чисел деление не всегда выполнимо, так оно не всегда выполнимо и в множестве десятичных дробей. В таких случаях переходят к обыкновенным дробям. Разделим для примера 2,8 на 0,09:

В результате получается так называемая бесконечная десятичная дробь. Выполним деление, перейдя к обыкновенным дробям:

Может оказаться так, что одни числа записаны в виде обыкновенных дробей, другие в виде смешанных чисел, третьи — в виде десятичных дробей. При выполнении действий над такими числами можно поступать по-разному: 1) обратить десятичные дроби в обыкновенные и применить правила действий над обыкновенными дробями; 2) обратить обыкновенные дроби и смешанные числа в десятичные дроби (если это возможно) и применить правила действий над десятичными дробями.

Пример:

Найти значение выражения

Решение:

Здесь удобнее записать в виде десятичной дроби: Тогда

В случае деления чаще переходят к обыкновенным дробям, где деление всегда выполнимо:

Числовая прямая. Отрицательные числа. Модуль числа

Проведем прямую, отметим на ней точку О, которую примем за начало отсчета, выберем единичный отрезок OI и зададим направление В этом случае говорят, что задана числовая прямая. Каждому из чисел, соответствует одна точка числовой прямой. Пусть, например, дано число 3. Отложим от точки О в заданном направлении единичный отрезок три раза, получим точку А — эта точка и соответствует числу 3. Возьмем еще число Отложим от точки О в заданном направлении единичный отрезок четыре раза, а затем еще у часть отрезка, получим точку В — она и соответствует числу

Если точка М числовой прямой соответствует некоторому числу r, то это число называется координатой точки; в таком случае пишут Так, для точек I, А, В (рис. 5) можно указать их координаты Координатой точки О считается число ноль.

Отложим теперь три раза единичный отрезок от точки О в направлении, противоположном заданному. Получим точку симметричную точке А относительно начала отсчета О. Координатой точки А является число 3, координату точки записывают так: и читают «минус 3». Аналогично, координатой точки симметричной точке В на рис. 5, считается число Числа 3 и называют противоположными. Числа, расположенные на числовой прямой в заданном направлении, называют положительными; так, положительные числа. Положительные числа пишут иногда со знаком «плюс»: Числа, расположенные на прямой, в направлении, противоположном заданному, называют отрицательными, так, отрицательные числа. Число 0 не считается ни положительным, ни отрицательным, оно отделяет на числовой прямой положительные числа от отрицательных.

Заданное направление на числовой прямой называют положительным (обычно оно идет вправо), а направление, противоположное заданному,— отрицательным.

Модулем числа называется расстояние от начала отсчета до точки, которая соответствует этому числу. Так, числу 3 соответствует точка А (рис. 5). Она удалена от точки О на расстояние, равное трем. Значит, модуль числа 3 (он обозначается равен 3, т. е. Аналогично Числу — 3 соответствует точка Она удалена от точки О на расстояние, равное трем. Значит, Аналогично,

Модуль любого положительного числа равен самому этому числу, модуль любого отрицательного числа равен числу, ему противоположному, модуль числа 0 равен 0.

Правила действий над положительными и отрицательными числами. Сумма двух отрицательных чисел есть число отрицательное. Чтобы найти модуль суммы, надо сложить модули слагаемых. Найдем для примера значение суммы Так как

Сумма двух чисел с разными знаками есть число, которое имеет тот же знак, что и слагаемое с большим модулем. Чтобы найти модуль суммы, надо из большего модуля вычесть меньший. Сложим для примера числа 12 и —7. Имеем: значит, модуль суммы равен 5. Так как 12 больше 7, то сумма чисел 12 и —7 будет положительна:

Найдем еще значение суммы Здесь значит,

Чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Например:

Произведение (частное) двух отрицательных чисел есть число положительное, произведение (частное) двух чисел с разными знаками есть число отрицательное. Чтобы найти модуль произведения (частного), надо перемножить (разделить) модули этих чисел.

Например:

Множество рациональных чисел

Мы рассмотрели множество N всех натуральных чисел. Обозначим через множество всех чисел, противоположных натуральным:

Если объединить множества и одноэлементное множество то получим множество Z всех целых чисел:

Целые числа—это натуральные числа, числа, противоположные натуральным, и число 0.

Целые и дробные числа (положительные и отрицательные) составляют вместе множество Q рациональных чисел.

Множество N натуральных чисел является подмножеством множества Z целых чисел, а множество Z, в свою очередь, является подмножеством множества Q всех рациональных чисел, т. е. Это можно проиллюстрировать с помощью так называемых «кругов Эйлера» (рис. 6): внутренний круг изображает множество натуральных чисел, средний—целых, а больший — множество рациональных чисел.

Заметим, что любое рациональное число может быть представлено в виде отношения где m — целое число, а n — натуральное число, причем одно и то же число можно записать таким образом многими способами. Например,

Среди дробей, изображающих данное рациональное число, имеется одна и только одна несократимая дробь Для целых чисел — это дробь со знаменателем 1.

На множестве рациональных чисел определены операции сложения, умножения, вычитания и деления (кроме деления на ноль), причем для любых рациональных чисел справедливы следующие равенства:

Для каждого рационального числа а, отличного от нуля, существует и только одно рациональное число х, такое, что Это число х называется обратным числу а и обозначается Например, число, обратное числу 3, а —число, обратное числу Справедливо равенство:

Пример:

Дано множество

Найти

Решение:

В множестве А нет ни одного элемента, являющегося натуральным числом. Значит, пересечение множества А с множеством N всех натуральных чисел пусто: В множестве А имеются три элемента, являющиеся целыми отрицательными числами: это Значит,

Аналогично получаем

Найдем, наконец, множество Множество А состоит из рациональных чисел значит,

Множество действительных чисел

Иррациональные числа

Было введено понятие числовой прямой. Мы говорили о том, что каждому рациональному числу r соответствует единственная точка М числовой прямой: в таком случае мы писали и называли число г координатой точки М. Естественно, возникает вопрос: верно ли обратное, т. е. любой ли точке числовой прямой соответствует единственное рациональное число—координата этой точки. Ответ на этот вопрос отрицателен: сейчас мы приведем пример точки числовой прямой, которая не имеет рациональной координаты.

Построим на единичном отрезке квадрат и отложим в положительном направлении отрезок ОМ, длина которого равна длине диагонали ОB, т. е. (рис. 7). Утверждаем, что точка М не соответствует никакому рациональному числу.

Предположим противное, что существует рациональное число r, являющееся координатой точки М. Тогда Но значит, По теореме Пифагора значит, Так как r — положительное рациональное число, то r можно представить в виде несократимой дроби, где m, n—взаимно простые натуральные числа. Теперь имеем Последнее равенство означает, что —четное число. Но тогда и m — четное число, т. е. Подставим выражение 2k вместо m в равенство

Последнее равенство означает, что —четное число, тогда и n —четное число.

Итак, m.n — четные числа, а это противоречит предположению, что m и n взаимно простые числа. Полученное противоречие означает, что не существует рационального числа r, квадрат которого равен 2, и что построенная точка М не имеет рациональной координаты.

И все-таки естественно считать, что и точка М имеет какую-то координату. Эта координата, как мы видим, не есть рациональное число, это число новой природы — иррациональное, оно обозначается Аналогично можно доказать, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 5,7, 10, соответствующие иррациональные числа обозначаются Противоположные числа также иррациональны — они обозначаются

Следует подчеркнуть, что к иррациональным числам приводит не только задача отыскания числа, квадрат которого равен заданному положительному числу. Например, число выражающее отношение длины окружности к диаметру, нельзя представить в виде обыкновенной дроби — это иррациональное число.

Множество действительных чисел

Рациональные и иррациональные числа составляют множество действительных чисел. Каждому действительному числу соответствует единственная точка числовой прямой, каждой точке числовой прямой соответствует единственное действительное число. Таким образом, введя в рассмотрение множество действительных чисел, мы можем каждой точке числовой прямой поставить в соответствие координату точки. Для краткости обычно уславливаются вместо фразы «точка числовой прямой, соответствующая действительному числу а» писать и говорить «точка а». Условимся также, употребляя термин «число а», иметь в виду «действительное число а». Как и для рациональных чисел, вводится понятие модуля действительного числа а—это расстояние точки а от начала отсчета.

Множество действительных чисел принято обозначать буквой R. Так как каждое рациональное число является действительным, то множество Q всех рациональных чисел есть подмножество множества R, т. е. Если обозначить буквой J множество всех иррациональных чисел, то можем записать, что

Из двух чисел а и b меньшим считается то, которое расположено левее на числовой прямой, а большим то, которое расположено правее. Если а меньше b, то пишут если а больше b, то пишут Согласно этому определению, любое положительное число больше нуля, любое отрицательное число меньше нуля, любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

Основываясь на приведенном определении, можно получить следующее утверждение: тогда и только тогда, когда разность а — b—положительное число тогда и только тогда, когда разность а — b—отрицательное число.

Для любых заданных чисел а и b верно одно и только одно из отношений:

Знаки называются знаками строгих неравенств. Иногда используются знаки знаки нестрогих неравенств; запись означает, что верно одно из двух: или число а меньше числа b, или число а равно числу b.

Пример:

Сравнить числа и 0,67.

Решение:

Составим разность и найдем значение этой разности:

Так как разность отрицательна, то

Для действительных чисел справедливы девять основных законов алгебры, которые сформулированы выше для рациональных чисел.

Числовые промежутки

Возьмем два числа а и b (пусть и отметим их точками на числовой прямой

(рис. 8). Возьмем произвольную точку х прямой, лежащую между а и b тогда Обычно вместо двух написанных неравенств используют запись в виде двойного неравенства: Рассмотрим множество

т. е. множество всех таких действительных чисел х, каждое из которых удовлетворяет двойному неравенству Это множество обозначается и называется интервалом. На рис. 9 дано геометрическое изображение интервала

Рассмотрим теперь множество Оно отличается от множества тем, что числа а и b принадлежат множеству но не принадлежат множеству Множество обозначается так: и называется отрезком. На рис. 10 дано геометрическое изображение отрезка

Обратите внимание на то, что концы отрезка изображены закрашенными кружками, тогда как концы интервала—светлыми кружками (см. рис. 9 и 10).

Отрезок и интервал — это числовые промежутки. Кроме них, рассматривают такие множества:

Это множество обозначают и называют полуинтервалом (рис. 11).

На рис. 12 изображен полуинтервал вида соответствующий двойному неравенству

Это множество обозначают интервал от а до плюс бесконечности, или открытый луч, геометрическое изображение дано на рис. 13.

Множество вида обозначают — полуинтервал от минус бесконечности до b, или луч геометрическое изображение дано на рис. 14.

Примеры:

Даны множества

Найти.

Решение:

Изобразим данные числовые промежутки на числовой прямой, используя для множества А верхнюю штриховку, а для

множества В нижнюю штриховку (рис. 15). Пересечением множествА и В будет промежуток от до 8 — на нем обе штриховки совпали,

Объединением множеств А и В будет промежуток от —1 до 9 — каждая точка этого промежутка принадлежит, по крайней мере, одному из данных множеств:

2.Представить в виде числового промежутка или в виде объединения двух числовых промежутков множество М, состоящее из таких действительных чисел что

Решение:

а) Известно, что — это расстояние точки x от начала отсчета. Значит, множество М состоит из всех таких чисел х, которые удалены от начала отсчета на расстояние, меньшее 3. Отметим на числовой прямой точки, которые удалены от начала отсчета на расстояние, равное 3; это точки -3 и 3. Тогда множество М — это интервал от —3 до 3 (рис. 16);

б) Имеем (рис. 17):

в) Множество М состоит из всех таких чисел х, которые удалены от начала отсчета на расстояние, большее 2,7. Отметим на числовой прямой точки, которые удалены от начала отсчета на расстояние,

равное 2,7: это точки -2,7 и 2,7. Тогда множество М состоит из двух промежутков: от (рис 18);

г) Имеем (рис. 19):

Множества. Действительные числа

Основные понятия

Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики. Под множеством понимают совокупность (собрание, класс:, семейство…) некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Так можно говорить о множестве студентов института, о множестве рыб в Черном море, о множестве корней уравнения , о множестве всех натуральных чисел и т. д.

Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множества принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита , а их элементы — малыми буквами

Если элемент принадлежит множеству , то записывают ; запись или означает, что элемент не принадлежит множеству .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым, обозначается символом .

Элементы множества записывают в фигурных скобках, внутри которых они перечислены (если это возможно), либо указано общее свойство, которым обладают все элементы данного множества.

Например, запись означает, что множество состоит из трех чисел 1, 3 и 15; запись означает, что множество состоит из всех действительных (если не оговорено иное) чисел, удовлетворяющих неравенству .

Множество называется подмножеством множества , если каждый элемент множества является элементом множества . Символически это обозначают так (« включено в ») или («множество включает в себя множество »).

Говорят, что множества и равны или совпадают, и пишут , если и . Другими словами, множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными.

Объединением (или суммой) множеств и называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств. Объединение (сумму) множеств обозначают (или ). Кратко можно записать или .

Пересечением (или произведением) множеств и называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству и множеству . Пересечение (произведение) множеств обозначают (или ). Кратко можно записать и —

В дальнейшем для сокращения записей будем использовать некоторые простейшие логические символы:

— означает «из предложения следует предложение »;

— «предложения и равносильны», т. е. из следует и из следует ;

— означает «для любого», «для всякого»;
— «существует», «найдется»;
— «имеет место», «такое что»;
— «соответствие».

Например: 1) запись означает: «для всякого элемента имеет место предложение »;

2) или ; эта запись определяет объединение множеств и .

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференциал функции
43. Дифференцирование в математике
44. Формулы и правила дифференцирования
45. Дифференциальное исчисление
46. Дифференциальные уравнения
47. Дифференциальные уравнения первого порядка
48. Дифференциальные уравнения высших порядков
49. Дифференциальные уравнения в частных производных
50. Тригонометрические функции
51. Тригонометрические уравнения и неравенства
52. Показательная функция
53. Показательные уравнения
54. Обобщенная степень
55. Взаимно обратные функции
56. Логарифмическая функция
57. Уравнения и неравенства
58. Положительные и отрицательные числа
59. Алгебраические выражения
60. Иррациональные алгебраические выражения
61. Преобразование алгебраических выражений
62. Преобразование дробных алгебраических выражений
63. Разложение многочленов на множители
64. Многочлены от одного переменного
65. Алгебраические дроби
66. Пропорции
67. Уравнения
68. Системы уравнений
69. Системы уравнений высших степеней
70. Системы алгебраических уравнений
71. Системы линейных уравнений
72. Системы дифференциальных уравнений
73. Арифметический квадратный корень
74. Квадратные и кубические корни
75. Извлечение квадратного корня
76. Рациональные числа
77. Иррациональные числа
78. Арифметический корень
79. Квадратные уравнения
80. Иррациональные уравнения
81. Последовательность
82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
83. Тригонометрические функции произвольного угла
84. Тригонометрические формулы
85. Обратные тригонометрические функции
86. Теорема Безу
87. Математическая индукция
88. Показатель степени
89. Показательные функции и логарифмы
90. Множество
91. Числовые множества
92. Преобразование рациональных выражений
93. Преобразование иррациональных выражений
94. Геометрия
95. Действительные числа
96. Степени и корни
97. Степень с рациональным показателем
98. Тригонометрические функции угла
99. Тригонометрические функции числового аргумента
100. Тригонометрические выражения и их преобразования
101. Преобразование тригонометрических выражений
102. Комбинаторика
103. Вычислительная математика
104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
105. Прямая и плоскость
106. Линии и уравнения
107. Прямая линия
108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
109. Кривые второго порядка
110. Кривые и поверхности второго порядка
111. Числовые ряды
112. Степенные ряды
113. Ряды Фурье
114. Преобразование Фурье
115. Функциональные ряды
116. Функции многих переменных
117. Метод координат
118. Гармонический анализ
119. Вещественные числа
120. Предел последовательности
121. Аналитическая геометрия
122. Аналитическая геометрия на плоскости
123. Аналитическая геометрия в пространстве
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат

Содержание:

Множества

Понятие множества является одним из исходных понятий математики в том смысле, что его нельзя определить с помощью более простых, чем оно само, понятий. В повседневной жизни часто приходится рассматривать набор некоторых объектов как единое целое. Скажем, когда биолог изучает флору и фауну некоторой местности, он делит организмы на виды, а виды на семейства. При этом каждый вид рассматривается как единое целое, состоящее из организмов.

Множество может состоять из объектов различной природы. Например, вес реки Азии или все слова в словаре могут рассматриваться как множества.

Знаменитый немецкий математик Г. Кантор (1845 -1918) дал следующую описательную формулировку: «Множество есть совокупность, мыслимая как единое целое».

Объекты, составляющие множество, называются его элементами.

Обычно, для удобства, множество обозначается заглавными буквами латинского алфавита, например, А, В, С,…, а его элементы – прописными.

Множество А, состоящее из элементов а, b, с, … , будем записывать в виде A = {а, b, с,…}. Отметим, что записи {6, 11} , {11, 6} , {11, 6, 6, 11} означают одно и то же множество.

При ведем примеры множеств. Например, множество {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – множество цифр десятичной системы счисления ,

То, что х является элементом множества А, будем обозначать как а то, что он не является его элементом, будем обозначать как Эти записи в первом случае читаются как «элементах принадлежит А», а во втором случае как «элемент х не принадлежит А».

Например, для множества имеем однако

Если число элементов, составляющих множество, конечно, то такое множество будем называть конечным, в противном случае бесконечным. Например, множество конечно, а множество всех натуральных чисел бесконечно.

В качестве еще одного примера бесконечного множества можно привести множество всех натуральных чисел, не меньших 13.

Обозначим через число всех элементов конечного множества А. Если, например,

в силу того, что число всех его элементов равно 6. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается так: 0

Пустое множество 0 считается конечным и для него я(0)= 0.

Для бесконечного множества А принято, что

Если вес элементы множества А также принадлежат множеству В, то говорят, что множество А – подмножество множества В и обозначают так: . В этом случае также говорят, что «множество А лежит во множестве В» или «множество А – часть В».

Во множестве {а} лежат два подмножества:

Множество {а, b} имеет четыре подмножества:

так как все элементы первого множества также являются элементами второго.

Если множество А имеет элементы, не принадлежащие В, то множество А не может быть подмножеством В. Этот факт мы будем записывать так:

Например, пусть А={ 1, 2, 3, 4}, В={2, 3, 4, 5}. Так как Очевидно, что справедливы соотношения:

Если то эти множества состоят из одних и тех же элементов. Такие множества называются равными (совпадающими), и этот факт мы будем записывать так: А = В.

Например, множество всех правильных треугольников совпадает со множеством всевозможных треугольников, у которых все углы равны. Причина этого заключается в том, что у любого правильного треугольника

все углы равны, и, наоборот, если у треугольника все углы равны, то он является правильным.

Напомним основные числовые множества:— множество натуральных чисел; — множество целых чисел; – множество рациональных чисел;

Множество действительных чисел

Объединение и пересечение множеств

1) Множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А, В, называется объединением множеств.

Объединение множеств А, В обозначается через

Например, если

2) Множество, состоящее из элементов, принадлежащих обоим множествам А, В, называется пересечением множеств. Пересечение множеств А. В обозначается через

Например, если

Множества, не имеющие общих элементов, называются не пересекающимися.

Пример:

Для множеств

a) определите, какие из утверждений верны, а какие неверны:

b) найдите множества:

c) определите, какие из утверждений верны, а какие неверны:

Решение:

а) Так как число 4 не является элементом множества М, то утверждение неверно. Так как число 6 не является элементом множества, утверждение истинно.

b). так как только числа 3 и 9 – элементы обоих множеств. Для того, чтобы найти множествовыпишем элементы, принадлежащие либо М либо N: = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10};

c) Утверждение ложно, ибо существуют элементы множества М, не принадлежащие N. Утверждение истинно, ибо в множестве У есть элементы из {9, 6, 3}. 

В некоторых случаях для задания множества указывается характеристическое свойство, истинное для всех элементов множества и ложное для остальных. Если мы кратко запишем тот факт, что элемент х удовлетворяет свойству Р как Р(х), то множество всех элементов, удовлетворяющих свойству Р обозначается так:

Например, запись читается следующим образом: “множество всех целых чисел, больших или равных -2, по меньших или равных 4”.

На числовом луче это множество изображается так:

Видно, что и оно, конечно, при этом

Аналогично запись читается так: “множество всех действительных чисел, больших или равных -2, но меньших 4”.

На числовом луче это множество изображается так:

Видно, что, и оно бесконечно, при этом

Пример:

a) Как читается эта запись?

b) Выпишите последовательно элементы этого множества.

c) Найдите

Решение:

a) “Множество всех целых чисел, больших 3 и меньших или равных 10”;

b).

c).

Рассмотрим множество всех натуральных чисел, больших или равных 1, но меньших или равных 8. Пусть нас интересуют только его подмножества.

В таком случае, обычно вводится множество называемое универсальным множеством.

Множество А содержащее все элементы универсального множества U, не являющиеся элементами множества А, называется дополнением множества А.

Например, если – универсальное множество, то дополнение множества имеет вид

Очевидно, что

т.е. множества А и А’ не имеют общих элементов, а также вес составляющие их элементы образуют в совокупности универсальное множество U.

Пример:

Пусть U универсальное множество. Найдите С’, если:

а) С = {все четные числа); b).

Решение:

Пример:

Пусть

Выпишите все элементы множеств:

Решение:

Пример:

Пусть {числа, кратные 4 и меньшие 50} и Q = {числа, кратные 6 и меньшие 50}. a) выпишите элементы множеств Р, Q;

b) найдите с) Найдите

d) проверьте выполнение равенства

Решение:

Значит, равенство является верным. 

Диаграммы Венна

Например, на этом рисунке изображено множество А, лежащее внутри универсального множества Закрашенная область вне круга означает дополнение А ’ множества А:

Если и , то они изображаются на диаграмме Венна следующим образом:

Мы знаем, что если то любой элемент множества В принадлежит множеству А. Значит, на соответствующей диаграмме Венна круг, обозначающий множество В, лежит в круге, обозначающем множество А:

Все элементы пересечения лежат как в А, так и в В. Значит, на соответствующей диаграмме Венна закрашенная область изображает множество

Все элементы объединения A U В принадлежат либо А, либо В, либо обоим одновременно. Значит, на соответствующей диаграмме Венна область, соответствующая множеству A U В, изображается следующим образом:

Пример:

Пусть Изобразите на диаграмме

Венна множества:

Решение:

Удобно на диаграмме Венна множества раскрашивать.

Например, на рисунке раскрашены множества А,

Высказывание

Высказывание – это повествовательное предложение, утверждающее что-либо о чем-либо, при этом непременно истинное или ложное. Вопросительные предложения, повествовательные предложения, описывающие личное отношение субъекта, например «Зеленый цвет приятен», не являются высказываниями. Отметим, что существуют высказывания, истинность или ложность которых не определяются однозначно.

Например, высказывание “Этот писатель родился в Ташкенте” может быть истинным по отношению к некоторым писателям и ложным по отношению к другим.

Пример:

Укажите, какие из предложений являются высказываниями. В случае, когда предложение является высказыванием, однозначно ли определяется его истинность – ложность?

а) 20:4=80; b) 25-8=200;

с) Где мой карандаш? d) У тебя глаза голубые.

Решение:

a) Это высказывание и оно ложно, так как 20:4=5;

b) это высказывание и оно истинно;

c) это вопросительное предложение и поэтому оно не является высказыванием;

d) это высказывание. Истинность-ложность его определяется неоднозначно, так как применительно к некоторым людям оно истинно, а к другим – ложно.

Мы будем обозначать высказывания буквами p,q,r … .

Например, р: во вторник прошел дождь; q: 20:4=5; r: х – четное число. Для построения нескольких сложных высказываний служат символы, называемые логическими связками: (конъюнкция, “и”, “но”), (дизъюнкция, “или”), (отрицание,” не ….”,”неверно, что ….”).

Рассмотрим их подробней.

Отрицание

Для высказывания р высказывание вида “не р” или “неверно, что р” называется отрицанием высказывания р и обозначается как

Например,

отрицанием высказывания

р: Во вторник шел дождь

является высказывание

: Во вторник дождя не было;

Отрицанием высказывания

р: У Мадины глаза голубые

является высказывание

: У Мадины глаза не голубые.

Ясно, что если р истинно, то ложно, и наоборот, если р ложно, то истинно. Этот факт иллюстрируется так называемой таблицей истинности. Такая таблица позволяет, исходя из высказывания р, заключить об истинности или ложности нового высказывания

1 Буквы Т и F – начальные буквы английских слов “true” (истинно) и “false” (ложно) соответственно.

Пример:

Составьте отрицание высказывания:

Решение:

Удобно находить отрицание высказывания с помощью диаграмм Венна. Например, рассмотрим высказывание:

р: “Число х больше, чем 10 “.

На диаграмме U – множество всех чисел, множество Р – множество истинности высказывания р, то есть множество всех х , для которых это высказывание истинно. Множество Р’ является множеством истинности отрицания : “Число х меньше или равно 10”.

Пример:

На множестве рассмотрим высказывание р: х- простое число. Найдите множества истинности высказываний

Решение:

Пусть множество Р – множество истинности высказывания р, а множество Р’ – множество высказывания . Тогда эти множества изображаются на диаграмме Венна следующим образом:

Конъюнкция

Высказывание, образованное из двух высказываний с помощью связки “и”, называется конъюнкцией заданных высказываний.

Конъюнкция высказываний р, q обозначается через

Например, конъюнкция высказываний,

р: Эльдар на завтрак ел плов;

q: Эльдар на завтрак ел самсу.

имеет вид:

Эльдар на завтрак ел плов и самсу.

Видно, что высказывание верно, если Эльдар на завтрак ел и плов и самсу, то есть высказывание истинно при истинности обоих высказываний. Если хотя бы одно из высказываний р, q ложно, то высказывание является ложным. Конъюнкция высказываний р, q имеет следующую таблицу истинности:

истинно, когда оба высказывания р, q истинны. ложно, когда хотя бы одно из высказываний р, q ложно.

Первый и второй столбцы таблицы составлены из всех возможных значений истинности высказываний р, q.

На диаграмме Р – множество истинности высказывания р, Q – множество истинности высказывания q , а множество истинности высказывания является множеством на котором истинны оба высказывания:

Дизъюнкция

Высказывание, образованное из двух высказываний с помощью связки “или”, называется дизъюнкцией заданных высказываний.

Дизъюнкция высказываний р, q обозначается через

Например, дизъюнкция высказываний,

р: Эльдар сегодня посетит библиотеку,

q: Эльдар сегодня посетит театр .

имеет вид:

Эльдар сегодня посетит библиотеку или театр.

Высказывание истинно, когда сегодня Эльдар посетит либо библиотеку, либо театр, либо и то и другое.

Высказывание будет ложным, лишь когда оба высказывания р, q будут ложными одновременно.

Дизъюнкция имеет следующую таблицу истинности:

pVq истинно, когда хотя бы одно из высказываний р, q истинно.

pVq ложно, когда оба высказывания p, q ложны.

На диаграмме Р – множество истинности высказывания р, Q – множество истинности высказывания q, а множество истинности высказывания pVq является множество , на котором истинно хотя бы одно высказывание:

Логическая равносильность

Составим, используя буквы и символы логических связок таких, как отрицание, конъюнкция и дизъюнкция, символическую запись более сложных высказываний естественного языка, при этом не обращая внимания на их истинность или ложность.

Объединяя таблицы истинности для отрицания, конъюнкции и дизъюнкции, можно составить таблицы истинности для более сложных высказываний:

Пример 1. Составьте таблицу истинности высказывания

1 шаг.

Выпишем таблицу и заполним сначала первый и второй столбец всеми возможными значениями истинности р и q:

2 шаг. Учитывая значения истинности q, заполним третий столбец значениями истинности

3 шаг Учитывая значения истинности p и заполним четвертый столбец значениями истинности

Высказывание, являющееся истинным всегда, называется законом логики или тавтологией.

То, что высказывание является законом логики, можно доказать при помощи таблицы истинности.

Пример:

Докажите, что высказываниеявляется тавтологией.

Заполним таблицу истинности:

Решение:

Видно, что высказывание принимает только истинные значения (см. третий столбец). Поэтому данное высказывание является тавтологией. 

Если для двух высказываний соответствующие их значениям истинности столбцы одинаковы, то эти высказывания называются логически равносильными.

Пример:

Докажите, что следующие высказывания являются логически равносильными

Решение:

Составим таблицы истинности для высказываний

Так как у высказываний соответствующие значениям истинности столбцы одинаковы, то эти высказывания являются логически равносильными.

Мы будем обозначать этот факт так:

Импликация

Высказывание, образуемое из двух высказываний с помощью связки “если …., то …” называется импликацией этих двух высказываний.

Импликация “Если р, то q” обозначается как и имеет также следующие интерпретации “Из р следует (вытекает) q”, “Высказывание р достаточно для q “, “Высказывание q необходимо для р”.

При этом высказывание р называется достаточным условием для q, а высказывание q – необходимым условием для р.

высказывание q – необходимым условием для р.

Рассмотрим , например, высказывания

р: У Сардора есть телевизор; q: Сардор будет смотреть кино.

Тогда высказывание означает:

Если у Сардора есть телевизор, то он будет смотреть кино.

Точно также

Для того, чтобы Сардор смотрел кино достаточно, чтобы у него был телевизор.

Можно заметить, что высказывание ложно, лишь когда высказывание р истинно, а высказывание q ложно, а в остальных случаях – истинно. Поэтому имеем следующую таблицу истинности:

Из высказываний и логических связок, не обращая на значения истинности, можно составить более сложные высказывания.

Пример:

Рассмотрим высказывания

р: “Анора часто смотрит кинофильмы”;

q: “Барно часто смотрит кинофильмы

r: “Барно не сдаст экзамен”;

s: “произойдет чудо”.

 Имеем: 1. “Анора часто смотрит кинофильмы, а Барно – нет”.

2. “Если Анора часто смотрит кинофильмы, то Барно нет”.

3. “Если Барно часто смотрит кинофильмы, то она или не сдаст экзамен или произойдет чудо”.

4. “Если Барно часто смотрит кинофильмы и при этом не произойдет чуда, то Барно не сдаст экзамен”.

5. “Либо Барно часто смотрит кинофильмы и произойдет чудо, либо Барно не сдаст экзамен”.

Эквиваленция

Высказывание вида называется эквиваленцией высказываний и обозначается так:

Запись читается как “высказывание р необходимо и достаточно для q” или как “высказывание р истинно лишь при выполнении q”.

Пример:

р: х – четно, q: последняя цифра числа х четна. Выразите высказывание

Решение:

Рассмотрим высказывание,: Если х- четно, то его последняя цифра четна;

Если последняя цифра числа х четна, то х – четно.

Тогда запись читается , как “Для того чтобы число х было четно, необходимо и достаточно, чтобы последняя его цифра была четной”. ^ Теперь для заданных высказываний р и q составим таблицу истинности высказывания :

Видно, что высказывание будет истинным, лишь когда высказывания р и q принимают одинаковые значения истинности (то есть когда они оба одновременно истинны или одновременно ложны ).

Конверсия

Конверсией высказывания называется высказывание

Конверсия имеет следующую таблицу истинности:

Пример:

Рассмотрим высказывания

р: треугольник равнобедренный,

q: два угла треугольника равны.

Выразите на естественном языке высказывание и его конверсию.

Решение:

Если треугольник равнобедренный, то у него два угла равны.

Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный .

Инверсия

Инверсией высказывания называется высказывание Инверсия имеет следующую таблицу истинности:

Эта таблица совпадает с таблицей истинности высказывания . Поэтому конверсия и инверсия логически равносильны.

Контрапозиция

Контрапозицией высказывания называется высказывание Контрапозиция имеет следующую таблицу истинности:

Эта таблица совпадает с таблицей истинности высказывания Поэтому импликация и контрапозиция логически равносильны.

Пример:

Рассмотрим высказывание. Все учителя живут поблизости от школы”. Составим его контрапозицию.

Решение:

Данное высказывание можно сформулировать так: “Если этот человек – учитель, что он живет поблизости от школы”.

Это предложение имеет форму , где

р: этот человек – учитель,

q: этот человек живет поблизости от школы.

Контрапозиция имеет вид:

“Если этот человек не живет поблизости от школы, то он не является учителем.

Пример:

Рассмотрим высказывания:

р: Самандар находится в библиотеке, q: Самандар читает книгу.

Составьте имликацию, конверсию, инверсию и контрапозицию

Решение:

Отметим, что импликация и конверсия логически не равносильны, так как , например , Самандар может читать книгу и в классе.

Предикаты и кванторы

В некоторых предложениях участвуют переменные, при этом подставив вместо них конкретные значения, получим высказывания. Такие предложения называются предикатами.

Пример:

Пусть задан предикат Определите истинность или ложность высказываний

Решение:

В некоторых предикатах переменную можно определить исходя из контекста.

Например, в предложениях “Этот писатель родился в Ташкенте” и “Он родился в Ташкенте” переменными являются словосочетание”. “Этот писатель” и местоимение “он” соответственно. Если вместо переменной подставить значение “Абдулла Кадыри”, получим истинное высказывание “Абдулла Кадыри родился в Ташкенте”. Если вместо переменной подставить значение “Шекспир”, получим ложное высказывание “Шекспир родился в Ташкенте”.

Обозначив переменную через х, вышеуказанные предложения можно записать в виде “х родился в Ташкенте”.

В предикате могут участвовать одно или несколько переменных. В зависимости от количества переменных, участвующих в предикате, будем обозначать его так:

Используя совместно с предикатом специальные символы (квантор всеобщности, “для всех … “) и (квантор существования, “существует такой, что ….”), можно образовать новые высказывания

Например, новое высказывание вида говорит о том, что для всех значений х верно Р(х), высказывание вида говорит о том, что значений х верно Р(х).

К примеру, рассмотрим предикат Р(х): “х родился в Самарканде”. Тогда высказывание читается как “все родились в Самарканде”, а высказывание – “некоторые родились в Самарканде”.

Приведем примеры, в которых можно определить истинность-ложность высказываний вида

Пример:

Пусть Докажите истинность высказывания:

Решение:

 Проверим:

Значит, высказывание, истинно.

Следует отметить, что для того, чтобы доказать ложность высказывания достаточно, привести пример хотя бы одного значения х такого, что высказывание, ложно.

Действительно, при

Любое значениех, которое показывает, что высказывание ложно, называется контрпримером.

Пример:

Докажите истинность высказывания

Решение:

Так как то высказывание, истинно.

Если же , то высказывание ложно, ибо

Приведем два важных закона логики, связанных с операцией отрицания:

Для понимания смысла этих законов приведем пример.

Если запись означает “Среди моих одноклассников

не существует отличников”, тогда запись означает логически равносильное ему утверждение “Все мои одноклассники не являются отличниками”.

Точно также, формула означает высказывание “Неверно, что все мои одноклассники – отличники “, а формулаозначает логически равносильное ему высказывание “Некоторые мои одноклассники не являются отличниками”.

Очевидно, что с помощью кванторов и предиката можно построить зависящие от одной переменной предикаты вида:

из которых, в свою очередь, можно построить всказывания вида:

В то время, когда смысл высказываний

а также смысл высказываний,одинаков, оказывается, что высказывания не являются равносильными.

Рассмотрим, например, предикат Р(х,у): человек у – отец моего одноклассника х.

В этом случае = означает высказывание “у каждого моего одноклассника есть отец”; а означает высказывание “существует такой человек, который является отцом всех моих одноклассников”.

Аналогично можно показать, что высказывания,не являются равносильными (приведите примеры самостоятельно).

С помощью кванторов и предикатов можно построить и другие законы логики. Например, высказывание «Если все вороны черные, то ни одна не черная птица не является вороной “, служит примером закона логики вида:

Законы правильного мышления (аргументации)

В процессе познания действительности мы приобретаем новые знания. Некоторые из них непосредственно, в результате воздействия предметов внешнего мира на органы чувств. Но большую часть знаний мы получаем пу тем выведения новых знаний из знаний уже имеющихся. Чтобы научиться стройно и последовательно излагать свои мысли, правильно делать выводы, необходимо пользоваться законами логики. Определенность, непротиворечивость, последовательность и обоснованность являются обязательными качествами правильного мышления. Законы логики устанавливают необходимые связи в последовательном ряду мыслей и умозаключений.

Суждение представляет собой форму мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, их свойствах или отношениях. Например, в суждении «Железо-металл» утверждается связь между предметом (железо) и его признаком (являться металлом). В суждении «Яйцо появилось раньше курицы » утверждается связь между двумя предметами (яйцо и курица). Так как суждение выражается в форме повествовательного предложения, причем суждение может быть либо истинным, либо ложным, то каждое суждение имеет форму высказывания.

Умозаключение- это такая форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений, называемых посылками, по определенным правилам получается некоторое суждение, называемое заключением или выводом.

Пусть S-совокупность исходных суждений (посылок), Р- заключение. В этом случае, умозаключение имеет логическую форму вида Совокупность высказываний S будем называть основанием, а высказывание Р- следствием. Основание и следствие будем связывать словом «следовательно» и отделять горизонтальной чертой: . Рассмотрим простой пример.

Если Собир занимается спортом, то будет здоров. Собир занимается спортом. Следовательно, Собир будет здоров.

Найдем логическую форму этого умозаключения.

Пусть р: Собир занимается спортом; q: Собир будет здоров. Тогда умозаключение имеет вид:

Так следствие вытекает из суждений и р, то умозаключение имеет следующую логическую форму

Составим соответствующую таблицу истинности:

Получили тавтологию. Это показывает правильность умозаключения, то есть мы из данного основания получили правильное следствие.

Пример:

Покажите неправильность умозаключения:

Если треугольник имеет три стороны, то 2+4-7.

Следовательно, треугольник имеет три стороны.

Решение:

Найдем логическую форму этого умозаключения.

р: треугольник имеет три стороны.

q: 2+4=7

Имеем:

Так как здесь следует q, то наше умозаключение имеет логическую форму

Составим соответствующую таблицу истинности:

В результате мы не получили тавтологию. Это показывает неверность умозаключения, то есть мы из данного основания не получили правильное следствие.

Ниже мы приведем некоторые правила правильных умозаключений:

Доказательство верности вышеуказанных умозаключений мы оставляем учащимся в качестве упражнения.

Софизмы и парадоксы

– представляют собой преднамеренные, сознательно совершаемые ошибки, рассчитанные на то, чтобы выдать ложь за истину, тем самым вводя человека в заблуждение.

Одним из первых соответствующие примеры привел математик Зенон, живший в 5 веке до нашей эры в Древней Греции. Например, Зенон «доказал», что быстроногий Ахиллес никогда не догонит неторопливую черепаху, если в начале движения она находится впереди Ахиллеса. Приведем его рассуждения. Допустим, Ахиллес бежит в 10 раз быстрее, чем черепаха, и находи тся позади нее на расстоянии в 100 шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползет 10 шагов.

За то время, за которое Ахиллес пробежит 10 шагов, черепаха проползет еще 1 шаг, и так далее. Процесс будет длиться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Примеры Зенона связаны с понятиями бесконечности и движения, которые имели большое значение в развитии физики и математики.

Некоторые софизмы обсуждали в переписке между собой наши великие соотечественники Беруни и Ибн Сино, а также они встречаются в произведениях Фараби.

Приведем простейшие примеры на софизмы и обсудим их.

Пример:

Куда пропали 1000 руб? Три друга отобедали в кафе, после чего официант дал им счет на 25000 руб. Каждый из трех друзей достал по купюре в 10000 руб, в итоге они отдали официанту 30000 руб. На сдачу официант отдал 5000 руб более мелкими купюрами. Друзья взяли по 1000 руб себе, а оставшиеся 2000 руб отдали другу на такси. Один из друзей стал рассуждать: “Каждый из нас потратил по 9000 руб, что в итоге составляет 27000 руб. Затем 2000 руб отдали на такси, значит, в итоге получается 29000 руб. Куда пропали 1000 руб?”

Решение:

 Основной «подвох» в этом рассуждении заключается в том, что 2 От древнегреческого уловка.

расчеты сделаны неверно. Действительно, трое друзей сложились по 9000 руб и получили 27000 руб. Из этих денег 25000 руб заплатили за обед, а 2000 руб заплатили за такси. Следовательно, общая трата составила 27000 руб. Тс 2000 руб находятся внутри 27000 руб.

Пример:

Упростим верное равенство: 20-16-4=25-20-5

2(10—8—2)=25—20—5

2-2-(5—4—1)=5-(5—4—1)

Сократим левую и правую часть последнего равенства на общий делитель (5-4-1). В итоге получим равенство 2-2=5.

Основной «подвох» в этом рассуждении заключается в том, что мы поделили обе части равенства 2-2-(5-4-1)=5-(5-4-1) на нуль.

– странное мнение, высказывание, расходящееся с общепринятыми мнениями, научными положениями, а также мнение, противоречащее здравому смыслу. Сам термин «парадокс» использовался в античной философии для обозначения всякого странного, оригинального мнения.

Парадоксы, обычно, возникают в теориях, логические основы которых не определены полно.

Пример:

Парадокс лжеца. Рассмотрим высказывание “То, что я утверждаю сейчас – ложь”.

Если это высказывание истинно, значит, исходя из его содержания, верно то, что данное высказывание -ложь. Но если оно -ложь, тогда неверно то, что оно утверждает, то есть утверждение о ложности данного высказывания неверно, значит, данное высказывание истинно. Таким образом, цепочка рассуждений возвращается в начало.

Пример:

Прилагательное русского языка назовем рефлексивным, если оно обладает свойством, которое определяет.

Например, прилагательное «русский» – рефлексивное, а прилагательное «английский» – нерефлексивное, прилагательное «трехсложный» – рефлексивное (это слово состоит из трех слогов), а прилагательное «четырехсложный» – нерефлсксивное (состоит из пяти слогов). Вроде бы ничто не мешает нам определить множество {все рефлексивные прилагательные}. Но давайте рассмотрим прилагательное «нерефлексивный». Оно рефлексивное или нет?

Можно заявить, что прилагательное «нерефлексивный» не является ни рефлексивным, ни нерефлексивным. Действительно, если это слово рефлексивное, то по своему смыслу, оно нерефлексивное. Если же это от древнегреческого – неожиданный, странный слово нерефлексивное, то, в силу того, что оно обладает свойством, которое определяет, оно является рефлексивным. Противоречие.

Пример:

Два взаимно пересекающихся множества А, В делят универсальное множество на четыре части:

Следовательно, число элементов универсального множества является суммой количеств элементов этих частей.

На следующей диаграмме мы заключили известные количества элементов частей универсального множества в круглые скобки:

Здесь, например, обоим множествам А, В принадлежат 4 элемента, а 3 элемента не принадлежат ни одному из них.

Так как произвольный элемент множества U, принадлежит только одному из этих 4 частей , то число элементов множества U равно 7+4+6+3=20.

Пример:

Используя рисунок, найдите число элементов следующих множеств:

d). Множество элементов, принадлежащих Р, но не принадлежащих Q

е) Множество элементов, принадлежащих Q, но не принадлежащих Р;

f) Множество элементов, не принадлежащих ни Р, ни Q.

Пример:

Если

a) Найдите

b) Сколько элементов содержит множество элементов, принадлежащих А, но не принадлежащих В‘?

Решение:

Составим диаграмму Венна:

Из того, что Следовательно, b=6, а=8, с= 11, d=5.

Из диаграммы получаем следующее:

b) Число элементов, принадлежащих А, но не принадлежащих В, равно а= 8

Пример:

Из 27 учеников, посещающих спортивную секцию, 19 имеют темные волосы, 14 – черные глаза, а 11 имеют и темные волосы и черные глаза одновременно.

a) Изобразите эту информацию с помощью диаграммы Венна. Объясните ситуацию.

b) Найдите число учеников, которые I имеют или темные волосы или черные глаза; II темноволосых, но не черноглазых?

Решение:

а) Пусть Qs – множество темноволосых, a Qk множество черноглазых учеников.

Изобразим ситуацию на диаграмме:

b) Используя диаграмму, определим следующее:

I количество учеников, имеющих или темные волосы или черные глаза:

II количество темноволосых учеников, не обладающих черными глазами:

Пример:

На футбольном соревновании город представляют три команды А, В и С. 20 процентов населения города болеют за команду И, 24 процента – за В, 28 процентов – за С. 4 процента жителей болеют и за С и за И, 5 процент, жителей болеют и за В и за А, а 6 процентов жителей болеют и за В и за С. Кроме того, 1 процент населения болеет за все три команды.

Сколько процентов жителей:

a) болеют только за команду А;

b) болеют и за А и за В, но не болеют за команду С;

c) не болеют ни за одну из команд?

Решение:

Заполним для начала соответствующую диаграмму Венна.

а= 1, так как 1 процент жителей болеет за все команды.

a+d=4, так как 4 процента жителей болеет и за И и за В.

а+b=6, так как 6 процентов жителей болеют и за В и за С а+с=5, так как 5 процентов жителей болеют

—-

Множества

Понятие множества принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые. Под множеством понимается совокупность некоторых объектов, объединенных по определенному признаку. Объекты, которые образуют множество, называются элементами, или точками, этого множества.

Множества обозначаются прописными буквами, а их элементы – строчными. Если  есть элемент множества А, то используется запись если b не является элементом множества А, то записывают

Например, – множество А состоит из элементов 1;3;6;8.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Например, множество действительных корней уравнения есть пустое множество.

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Например, если т.е.
множества равны.

Объединением двух множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, т.е.

Пересечением двух множеств А и В называется множество D, состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных множеств А и В, т.е.

Разностью двух множеств А и В называется множество E, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, т.е.

Пример 1. Даны множества   Найти объединение, пересечение и разность множеств А и В.

Решение. Объединение двух данных множеств – их пересечение – а разностью –  .

Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми.

Обозначения множеств:

– множество натуральных чисел.

 – множество целых чисел;
– множество рациональных чисел;

R – множество действительных чисел;

I – множество иррациональных чисел;

– множество комплексных чисел.

Геометрически, каждому действительному числу соответствует точка числовой оси, и наоборот, каждой точке прямой – определенное действительное число.

Множество X, элементы  которого удовлетворяют: неравенству называется отрезком неравенству называется интервалом неравенствам  называются полуинтервалом соответственно

В дальнейшем все указанные множества мы объединяем термином промежуток X.

——

Множества и операции над ними

Под множеством будем понимать совокупность объектов, наделенных определенными свойствами. Эти свойства должны полностью определять данное множество, то есть являться признаками, по которым относительно любого объекта можно решить, принадлежит он данному множеству или нет. Синонимами термина “множество” являются термины “класс “семейство “совокупность”. Объекты, из которых состоит данное множество, называют его элементами.

Чаще всего множество обозначают большими буквами латинского или греческого алфавита, а его элементы — малыми буквами. Если a — элемент множества A, то пишут a ∈ A (читают: “a принадлежит множеству A”) или A 3 a (множество A содержит элемент a). Запись a ∈/ A означает, что a не является элементом множества A.
Множество обычно записывают одним из следующих способов:

A = {a , . . . , } или A = {x ∈ X : P (x)}.

Первая запись означает, что множество A состоит из элементов a, . . . , , то есть перечислены элементы, составляющие A, их может быть конечное число или бесконечно много. Вторая запись означает, что A есть совокупность всех тех объектов из множества X, для которых выполняется свойство P . Формально введем пустое множество — множество, не содержащее в себе никаких элементов, которое обозначим символом .

Определение 1.1. Множества A и B называются равными (или совпадающими), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть x ∈ A тогда и только тогда, когда x ∈ B .

Коротко это высказывание записывают: A = B, а отрицание этого утверждения — в виде:  .

Определение 1.2. Если каждый элемент множества A является элементом множества B , то говорят, что A есть подмножество множества B (или A есть часть B ), и пишут A ⊂ B (читается: “Множество A содержится в множестве B”) или B ⊃ A (читается: “Множестоо B содержит множество A”).

Отметим следующие свойства отношения включения:
1.    A ⊂ A, то есть всякое множество есть подмножество себя самого;
2.    Если A ⊂ B и B ⊂ C, то A ⊂ C (отношение включения транзитивно);
3.    Если A ⊂ B и B ⊂ A, то A = B.

Удобно считать, что ⊂ A для любого множества A.

Пусть A и B — некоторые подмножества множества E. Введем наиболее простые операции с множествами.

Определение 1.3. Объединением множеств A и B называется множество, обозначаемое A ∪ B и состоящее из всех элементов, которые принадлежат или множеству A или B .

Таким образом, x ∈ A ∪ B , если x ∈ A, но x  B , или x ∈ B , но x A, или x ∈ A и x ∈ B. Очевидно, что A ∪ A = A, A ∪ = A.

Определение 1.4. Пересечением множеств A и B называют множество, обозначаемое A∩B и состоящее из всех элементов, каждый из которых принадлежит и A и B .

Если множества A и B не имеют общих точек, то A ∩ B =. Очевидно, что A∩A= A, A∩= .

Определение 1.5. Разностью множеств A и B называют множество, обозначаемое A B и состоящее из всех элементов множества A, которые не принадлежат множеству B .

Если A ⊂ B , то часто множество A B называют дополнением множества B до A. По определению A A = , A = A.

Пример 1.1. Пусть A = {1,3,4,8, 15} ,B = {1,2,7,8, 12}. Тогда

A∪B = {1,2,3,4,7,8,12,15}, A∩B = {1, 8},

AB = {3, 4, 15}, BA= {2, 7, 12}

Определение 1.6. Набор, состоящий из двух элементов x₁ и x₂, называют упорядоченным, если известно, какой из этих элементов является первым, а какой — вторым. Такой упорядоченный набор называют упорядоченной парой и обозначают (x₁, x₂). Элементы x₁ , x^₂ называют, соответственно, первой и второй координатами пары (x₁, x₂). Пары (x₁, x₂) и (y₁ , y₂) называют совпадающими, если x₁ = y₁ и x₂ = y₂ .

Определение 1.7. Декартовым (или, по-другому, прямым) произведением множеств A и B называют множество упорядоченных пар (x, y), где первый элемент x является элементом множества A, а второй y — элементом множества B . Это множество обозначают символом A × B .

Таким образом, A × B = { (x, y) | x ∈ A, y ∈ B}. Но, вообще говоря, A × B B × A. Известная всем плоскость с декартовой системой координат является декартовым произведением двух числовых прямых (осей).

Пусть A и B — числовые отрезки, помещенные на взаимно перпендикулярных осях плоскости. Упорядоченная пара (x, y) — это точка пересечения перпендикуляров, восстановленных в точках x ∈ A и y ∈ B . Произведением A × B является прямоугольник.

Логическая символика

В последующем, как и в большинстве математических текстов используется ряд специальных символов, многие из которых вводятся по мере надобности. Применяются распространенные символы математической логики , , ∃, ∀, которые читаются, соответственно, как “влечет” , “равносильно” , “существует” (“найдется”), “любой” (“каждый” , “для каждого” , “для любого” ).

Запись A B читают одним из следующих способов: A влечет B , B следует из A, B — необходимое условие A, A — достаточное условие (признак) B.

Запись A B читают одним из следующих способов: A равносильно B, A необходимо и достаточно для B , A верно тогда и только тогда, когда верно B . Квантор равносильности часто применяется в символьной записи определений и утверждений.

Запись “∃ x ∈ X ” означает: существует элемент x из множества X .
Запись “∀ x ∈ X ” означает: для любого элемента x из множества X или каков бы ни был элемент x из множества X .

Часто в символьной записи математических утверждений используют символ “:” или эквивалентный ему символ “| которые читают: “такой, что”. В частности, запись “∃ x ∈ X : x² – 1 = 0″ означает: существует такой элемент x в множестве X , что x² – 1 = 0.

• Заказать решение задач по высшей математике

Множества

Множества и операции над ними

Понятие множества и его элементов

Элемент принадлежит множеству

Элемент не принадлежит множеству

В множестве нет элементов

Множество можно представить как совокупность некоторых объектов, объединенных по определенному признаку. В математике множество — одно из основных неопределяемых понятий.

Каждый объект, принадлежащий множеству , называется элементом этого множества.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается

Подмножество

Если каждый элемент множества является элементом множества , то говорят, что множество является подмножеством множества , и записывают так: Используется также запись , если множество или является подмножеством множества , или равно множеству

Равенство множеств

Два множества называются равными, если каждый элемент первого множества является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества является элементом первого множества

Пересечение множеств

Пересечением множеств и называют их общую часть, то есть множество всех элементов, принадлежащих как множеству , так и множеству

Объединение множеств

Объединением множеств и называют множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств ( или )

Разность множеств

Разностью множеств и называется множество , которое состоит из всех элементов, принадлежащих множеству и не принадлежащих множеству

Дополнение множеств

Если все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого универсального множества , то разность называется дополнением множества . Другими словами, дополнением множества называется множество, состоящее из всех элементов, не принадлежащих множеству (но принадлежащих универсальному множеству )

Объяснение и обоснование:

Понятие множества

Одним из основных понятий, которые используются в математике, является понятие множества. Для него не дается определения. Можно пояснить, что множеством называют произвольную совокупность объектов, а сами объекты — элементами данного множества. Так, можно говорить о множестве учеников в классе (элементы — ученики), множестве дней недели (элементы — дни недели), множестве натуральных делителей числа 6 (элементы — числа 1, 2, 3, 6) и т. д. В курсах алгебры и алгебры и начал анализа чаще всего рассматривают множества, элементами которых являются числа, и поэтому их называют числовыми множествами.

Как правило, множества обозначают прописными буквами латинского алфавита. Например, если множество состоит из чисел 1; 2; 3, то его обозначают так: = {1; 2; 3}. Тот факт, что число 2 входит в это множество (является элементом данного множества ), записывается с помощью специального значка е следующим образом: ; а то, что число 5 не входит в это множество (не является элементом данного множества), записывается так: .

Можно рассматривать также множество, не содержащее ни одного элемента, — пустое множество.

Например, множество простых делителей числа 1 — пустое множество.

Для некоторых множеств существуют специальные обозначения. Так, пустое множество обозначается символом , множество всех натуральных чисел — буквой , множество всех целых чисел — буквой , множество всех рациональных чисел — буквой , а множество всех действительных чисел — буквой . Множества бывают конечными и бесконечными в зависимости от того, какое количество элементов они содержат. Так, множества и — конечные, потому что содержат конечное число элементов, а множества — бесконечные.

Множества задают или с помощью перечисления их элементов (это можно сделать только для конечных множеств), или с помощью описания, когда задается правило — характеристическое свойство, которое позволяет определить, принадлежит или нет данный объект рассматриваемому множеству. Например, множество задано перечислением элементов, а множество четных целых чисел — характеристическим свойством элементов множества. Последнее множество иногда записывают так: или так: — здесь после вертикальной черточки записано характеристическое .

В общем виде запись множества с помощью характеристического свойства можно обозначить так: , где — характеристическое свойство. Например,

В этом случае и в записи решений тригонометрических уравнений и неравенств в разделе 3 запись означает, что принимает любое целое значение, что также можно записать как

Равенство множеств

Пусть — множество цифр трехзначного числа 312, то есть , а — множество натуральных чисел, меньших чем 4, то есть . Поскольку эти множества состоят из одних и тех же элементов, то они считаются равными. Это записывают так: . Для бесконечных множеств таким способом (сравнивая все элементы) установить их равенство невозможно. Поэтому в общем случае равенство множеств определяется следующим образом.

Два множества называются равными, если каждый элемент первого множества является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества является элементом первого множества.

Из приведенного определения равенства множеств следует, что в множестве одинаковые элементы не различаются. Действительно, например, , поскольку каждый элемент первого множества (1 или 2) является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества (1 или 2) является элементом первого. Поэтому, записывая множество, чаще всего каждый его элемент записывают только один раз.

Подмножество

Если каждый элемент множества является элементом множества , то говорят, что множество является подмножеством множества .

Это записывают следующим образом:

Например, (поскольку любое натуральное число — целое), (поскольку любое целое число — рациональное), (поскольку любое рациональное число — действительное).

Полагают, что всегда , то есть пустое множество является подмножеством любого непустого множества.

Иногда вместо записи используется также запись , если множество является подмножеством множества , или равно множеству . Например,

Сопоставим определение равенства множеств с определением подмножества. Если множества и равны, то: 1) каждый элемент множества является элементом множества , следовательно, — подмножество ; 2) каждый элемент множества является элементом множества , следовательно, — подмножество .

Таким образом, два множества равны, если каждое из них является подмножеством другого.

Иногда соотношения между множествами удобно иллюстрировать с помощью кругов (которые часто называют кругами Эйлера—Венна). Например, рисунок 1 иллюстрирует определение подмножества, а рисунок 2 — отношения между множествами .

Операции над множествами

Над множествами можно выполнять определенные действия: пересечение, объединение, находить разность. Дадим определение этих операций и проиллюстрируем их с помощью кругов Эйлера—Венна.

Пересечением множеств и называют их общую часть, то есть множество всех элементов, принадлежащих как множеству , так и множеству .

Пересечение множеств обозначают знаком (на рисунке 3 приведена иллюстрация определения пересечения множеств).

Например, если то .

Объединением множеств и называют множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств ( или ).

Объединение множеств обозначают знаком (на рисунке 4 приведена иллюстрация определения объединения множеств).

Например, для множеств и из предыдущего примера Если обозначить множество иррациональных чисел через , то .

Разностью множеств и называется множество , состоящее из всех элементов, которые принадлежат множеству и не принадлежат множеству В.

Разность множеств обозначают знаком . На рисунке 5 приведена иллюстрация определения разности множеств.

Например, если

Если — подмножество , то разность называют дополнением множества В до множества (рис. 6).

Например, если обозначить множество всех иррациональных чисел через , то : множество всех иррациональных чисел дополняет множество всех рациональных чисел до множества всех действительных чисел.

Если все множества, которые мы рассматриваем, являются подмножествами некоторого так называемого универсального множества (на рисунке его обычно изображают в виде прямоугольника, а все остальные множества — в виде кругов внутри этого прямоугольника, то разность называют дополнением множества (рис. 7). То есть дополнением множества называется множество, состоящее из всех элементов, не принадлежащих множеству , но принадлежащих универсальному множеству .

Дополнение множества обозначается (можно читать: « с чертой» или «дополнение »).

Например, если и , то . Для этого примера удобно использовать традиционную иллюстрацию множества действительных чисел на числовой прямой (рис. 8).

Числовые множества. Множество действительных чисел

Числовые множества:

Действительные числа

Числа, которые можно представить в виде бесконечной десятичной дроби

Рациональные числа

Можно представить в виде несократимой дроби , где — целое, — натуральное число. Записываются в виде бесконечной периодической десятичной дроби

Иррациональные числа

Нельзя представить в виде несократимой дроби , где — целое, — натуральное число. Записываются в виде бесконечной непериодической десятичной дроби

Целые числа

Включают натуральные числа, числа, противоположные им, и число нуль

Дробные числа

Числа, состоящие из целого числа частей единицы

( – обыкновенная дробь, 1,23 — десятичная дробь: )

Натуральные числа (целые положительные)

Для школьного курса математики натуральное число – основное не определяемое понятие

Число 0

Такое число, при сложение с которым любое число не изменяется

Целые отрицательные числа

Числа, противоположные натуральным

Модуль действительного числа и его свойства

Определение:

Модулем положительного числа называется само это число, модулем отрицательного числа называется число, противоположное ему, модуль нуля равен нулю

Геометрический смысл модуля

На координатной прямой модуль — это расстояние от начала координат до точки, изображающей это число.

Модуль разности двух чисел и — это расстояние между точками и на координатной прямой

Свойства

1. Модуль любого числа — неотрицательное число

2. Модули противоположных чисел равны

3. , то есть Каждое число не больше своего модуля

4. При

5. При

6. Модуль произведения равен произведению модулей множителей

7. Модуль дроби равен модулю числителя, деленному на модуль знаменателя (если знаменатель не равен нулю)

8.

9.

Модуль суммы не превышает суммы модулей слагаемых

10.

Объяснение и обоснование:

Числовые множества

В курсе математики вы встречались с разными числами: натуральными, целыми, рациональными, иррациональными, действительными. Представление о числах у человечества складывалось постепенно, под воздействием требований практики. Например, натуральные числа появились в связи с необходимостью подсчета предметов. Но для того чтобы дать ответ на вопрос «Сколько спичек в пустой коробке из-под спичек?», множества натуральных чисел недостаточно — для этого необходимо иметь еще и число нуль. Присоединяя к множеству натуральных чисел число 0, получаем множество неотрицательных целых чисел. Его часто обозначают . Одних только неотрицательных целых чисел оказалось недостаточно для решения задач практики (а следовательно, и математических задач, отображающих заданную реальную ситуацию). Так, для того чтобы охарактеризовать температуру воздуха выше и ниже нуля или движение тела в противоположных направлениях, необходимы противоположные натуральным числа, то есть отрицательные числа. Для натурального числа противоположным считается число , а для числа противоположным считается число . Нуль считают противоположным самому себе.

Натуральные числа, числа, противоположные натуральным, и число нуль составляют множество целых чисел.

Измерение величин привело к необходимости расширения множества целых чисел и введения рациональных чисел. Например, средняя многолетняя температура воздуха в январе в г. Харькове — , длительность урока — 45 минут, или часа.

Таким образом, выбирая какую-либо единицу измерения, мы получаем числовое значение величин, которое может выражаться с помощью разных рациональных чисел — целых и дробных, положительных и отрицательных.

Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел.

Любое рациональное число можно записать в виде дроби , где

(то есть числитель является целым числом, а знаменатель — натуральным).

Рациональное число может быть записано разными дробями. Например,

Как видно из приведенных примеров, среди дробей, которые изображают данное рациональное число, всегда есть единственная несократимая дробь (для целых чисел — это дробь, знаменатель которой равен 1).

Обратим внимание, что рациональное число, записанное в виде дроби , где , можно также записать в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, разделив числитель на знаменатель. Например, .

Договоримся, что конечную десятичную дробь можно изображать в виде бесконечной, у которой после последнего десятичного знака, отличного от нуля, на месте следующих десятичных знаков записываются нули, например, .

Целые числа также договоримся записывать в виде бесконечной десятичной дроби, у которой справа от запятой на месте десятичных знаков стоят нули, например . Таким образом, любое рациональное число может быть записано как бесконечная периодическая дробь. Напомним, что у бесконечной периодической дроби, начиная с некоторого разряда, все десятичные знаки повторяются. Группу цифр, которая повторяется, называют периодом дроби; при записи дроби период записывают в скобках. Например, .

Таким образом, каждое рациональное число может быть записано в виде бесконечной периодической десятичной дроби и наоборот, каждая бесконечная периодическая дробь задает рациональное число.

Обратим внимание, что любая периодическая десятичная дробь с периодом девять равна бесконечной десятичной дроби с периодом нуль, у которой десятичный разряд, предшествующий периоду, увеличен на единицу по сравнению с разрядом первой дроби. Например, бесконечные периодические дроби и являются записью одного и того же рационального числа . Действительно, учитывая, что сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем вычисляется по формуле , имеем:

В дальнейшем, записывая рациональные числа с помощью бесконечных периодических десятичных дробей, договоримся исключить из рассмотрения бесконечные периодические дроби, период которых равен девяти.

Каждое рациональное число можно изобразить точкой на координатной прямой (то есть прямой, на которой выбраны начало отсчета, положительное направление и единица измерения). Например, на рисунке изображены несколько рациональных чисел .

Однако на координатной прямой есть точки, изображающие числа, которые не являются рациональными. Например, из курса алгебры известно, что число не является рациональным. Это так называемое иррациональное число. Если построить квадрат со стороной, равной 1, на координатной прямой (рис. 10), то его диагональ будет равна . Тогда, проведя дугу окружности радиуса с центром в точке , получим точку , координата которой равна . Кроме числа вы также встречались с иррациональными числами и т. д.

Рациональные и иррациональные числа составляют множество действительных чисел . На координатной прямой каждому действительному числу соответствует единственная точка и, наоборот, каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число (в этом случае говорят, что между множеством действительных чисел и множеством точек координатной прямой устанавливается взаимно однозначное соответствие).

Каждое действительное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби: рациональные числа — в виде бесконечной периодической десятичной дроби, а иррациональные — в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Напомним, что для сравнения действительных чисел и выполнения действий над ними (в случае, когда хотя бы одно из них не является рациональным) используются приближенные значения этих чисел. В частности, для сравнения двух действительных чисел последовательно рассматриваем их приближенные значения с недостатком с точностью до целых, десятых, сотых и т. д. до тех пор, пока не получим, что какое-то приближенное значение одного числа больше соответствующего приближенного значения второго. Тогда то число, у которого приближенное значение больше, и считается большим. Например, если

, то (поскольку ).

Для выполнения сложения или умножения рассмотренных чисел и последовательно записывают их приближенные значения с недостатком и с избытком (с точностью до целых, десятых, сотых и т. д.) и выполняют действия над полученными рациональными числами. В результате последовательно получаем значение суммы или произведения с необходимой точностью.

Как видим,

В курсе математического анализа доказывается, что в случае, когда приближенные значения чисел и последовательно берутся с точностью до целых, десятых, сотых и т. д., то значения суммы с недостатком и с избытком стремятся к одному и тому же числу, которое и принимается за значение суммы (аналогично определяется и произведение ).

Модуль действительного числа и его свойства

Напомним определение модуля.

Модулем положительного числа называется само это число, модулем отрицательного числа — число, противоположное ему, модуль нуля равен нулю.

Это определение можно коротко записать несколькими способами. а при а > 0,

, или или или

При необходимости мы будем пользоваться любой из этих записей определения модуля. Для нахождения по определению необходимо знать знак числа и использовать соответствующую формулу. Например,

На координатной прямой модуль числа — это расстояние от начала координат до точки, изображающей это число.

Действительно, если (рис. 11), то расстояние

Если , то расстояние

Модуль разности двух чисел и — это расстояние между точками и на координатной прямой.

Для доказательства можно воспользоваться тем, что при параллельном переносе вдоль оси координат на единиц абсцисса соответствующей точки изменяется на : к абсциссе данной точки прибавляется число , то есть при точка переносится вправо, а при — влево. Обозначим на координатной прямой числа соответственно точками . На рисунке 12 эти точки изображены для случая и , хотя приведенное далее обоснование не зависит от знаков и .

При параллельном переносе вдоль оси на единиц точка перейдет в точку , а точка (с координатой ) — в точку с координатой , то есть в точку . Тогда . Но расстояние — это расстояние от точки до начала координат, следовательно, , а значит, и .

Используя определение модуля и его геометрический смысл, можно обосновать свойства модуля, приведенные в таблице 2.

Например, учитывая, что — это расстояние от точки до точки , а расстояние может выражаться только неотрицательным числом, получаем

то есть модуль любого числа является неотрицательным числом.

Учитывая, что точки и находятся на одинаковом расстоянии от точки , получаем

это означает, что модули противоположных чисел равны.

Если то а если , то . Следовательно, всегда

то есть каждое число не превышает его модуль.

Если в последнее неравенство вместо подставить и учесть, что , то получаем неравенство . Отсюда , что вместе с неравенством свидетельствует о том, что для любого действительного числа а выполняется двойное неравенство

(1)

При неравенство означает, что число на координатной прямой находится от точки на расстоянии, которое не превышает (рис. 13), то есть в промежутке . Наоборот, если число находится в этом промежутке, то есть . Следовательно,

при (2)

Обратим внимание, что последнее утверждение справедливо и при (тогда двум неравенствам удовлетворяет только одно значение ).

Аналогично при неравенство означает, что число на координатной прямой находится от точки на расстоянии, которое больше или равно (рис. 13),

то есть в этом случае или . Наоборот, если число удовлетворяет одному из этих неравенств, то . Следовательно, при неравенство равносильно совокупности неравенств или , что можно записать так:

при

Свойства модуля произведения и модуля дроби фиксируют известные правила действий над числами с одинаковыми и разными знаками:

модуль произведения равен произведению модулей множителей, то есть

модуль дроби равен модулю числителя, деленному на модуль знаменателя (если знаменатель не равен нулю), то есть

Формулу для нахождения модуля произведения можно обобщить для случая нескольких множителей

(3)

Если в формуле (3) взять , получаем формулу

Используя последнюю формулу справа налево при и учитывая, что при всех значениях , получаем . Следовательно,

. Для обоснования неравенства

(4)

запишем неравенство (1) для чисел и :

Складывая почленно эти неравенства, получаем

Учитывая неравенство (2), имеем

(5)

то есть модуль суммы не превышает суммы модулей слагаемых. Если в неравенстве (4) заменить на и учесть, что , то получим неравенство

Если записать число так: и использовать неравенство (4), то получим неравенство . Отсюда

(6)

Если в неравенстве (6) заменить на и учесть, что , то получим неравенство

(7)

то есть модуль суммы двух чисел не меньше разности их модулей.

Меняя местами буквы и в неравенствах (6) и (7) и учитывая, что , имеем также неравенства

(8)

Полученные неравенства (4)-(8) можно коротко записать так:

Примеры решения задач:

Пример №402

Докажите, что сумма, разность, произведение, натуральная степень и частное (если делитель не равен нулю) двух рациональных чисел всегда является рациональным числом.

Решение:

► Пусть заданы два рациональных числа и где и – целые, а и – натуральные числа. Поскольку сумма, разность, произведение, натуральная степень и частное двух обыкновенных дробей всегда являются обыкновенными дробями, то полученный результат всегда будет рациональным числом. Например,

где – целое число, а – натуральное.

Комментарий:

Любое рациональное число может быть записано как дробь , где — целое, — натуральное число.

Чтобы доказать утверждение задачи, достаточно доказать, что сумма, разность, произведение и частное двух дробей вида также будет дробью такого вида.

Пример №403

Докажите, что для любого натурального числа число или натуральное, или иррациональное.

Комментарий:

Для доказательства утверждения задачи можно использовать метод от противного: предположить, что заданное положительное число является рациональным ненатуральным (то есть дробью), и получить противоречие с условием или с каким-либо известным фактом.

Записывая в виде несократимой дроби, следует учесть, что при натуральных значениях это число всегда будет положительным.

Решение:

► Допустим, что не является иррациональным числом (тогда это число рациональное) и не является натуральным числом. Следовательно, это число может быть только рациональной несократимой дробью , где и — натуральные числа . По определению квадратного корня имеем то есть . Учитывая, что , получаем, что дробь , равная натуральному числу , должна быть сократимой.

Следовательно, у натуральных множителей, которые стоят в числителе и знаменателе этой дроби, должен быть общий натуральный делитель, отличный от 1. Но в числителе стоят только множители , а в знаменателе — только множители . Тогда числа и имеют натуральный делитель, отличный от 1, то есть дробь является сократимой дробью, что противоречит условию. Таким образом, наше предположение неверно, и для любого натурального числа число или натуральное, или иррациональное.

Например, поскольку числа и не являются натуральными числами , то и — иррациональные числа.

Пример №404

Докажите, что — число иррациональное.

Решение:

► Допустим, что число рациональное. Тогда Возведя обе части последнего равенства в квадрат, имеем Отсюда

Следовательно,

Но правая часть этого равенства — рациональное число (поскольку по предположению — рациональное число), а левая — иррациональное. Полученное противоречие означает, что наше предположение неверно и число — иррациональное.

Комментарий:

Для доказательства утверждения задачи можно использовать метод «от противного» — допустить, что заданное число является рациональным, и получить противоречие с каким-либо известным фактом, например с тем, что — иррациональное число.

При анализе полученных выражений используем результат задачи 1: если число — рациональное, то числа и и их частное тоже будут рациональными.

Заметим, что знаменатель полученной дроби

Пример №405

Решите уравнение

Решение

I способ

►

Ответ:

Комментарий:

Заданное уравнение имеет вид (в данном случае ). Его удобно решать, используя геометрический смысл модуля: — это расстояние от точки 0 до точки . Но расстояние 7 может быть отложено от 0 как вправо (получаем число 7), так и влево (получаем число -7). Следовательно, равенство возможно тогда и только тогда, когда или .

II способ

Ответ:

Комментарий:

С геометрической точки зрения — это расстояние между точками и на координатной прямой. Запишем данное уравнение так: . Тогда равенство означает, что расстояние от точки до точки -5 равно 7. На расстоянии 7 от точки -5 находятся точки 2 и -12 (рис. 14). Таким образом, данное равенство выполняется тогда и только тогда, когда или то есть данное уравнение равносильно указанной в решении совокупности уравнений.

Пример №406

Решите неравенство

Решение:

Решая эти неравенства (рис. 15), получаем

Следовательно, или

Ответ:

Комментарий:

Заданное неравенство имеет вид (в данном случае ), и его можно решать, используя геометрический смысл модуля. С геометрической точки зрения, — это расстояние от точки 0 до точки . На расстоянии 6 от 0 находятся числа 6 и -6.

Тогда неравенству удовлетворяют все те и только те точки, которые находятся в промежутке то есть Для решения полученного двойного неравенства его удобно заменить соответствующей системой.