Как найти множество допустимых значений переменной выражения

Например:

– если в выражении (frac{x}{x-1}) значение переменной будет равно 1, нарушается правило: на ноль делить нельзя. Поэтому здесь (x) не может быть единицей и ОДЗ записывается так: (xneq1);

– если в выражении (sqrt{x-2}) значение переменной равно (0), нарушается правило: подкоренное выражение не должно быть отрицательно. Значит, здесь (x) не может быть (0), а также (1, -3, -52,7) и т.д. То есть, икс должен быть больше или равен 2 и ОДЗ будет: (xgeq2);

– а вот в выражение (4x+1) мы можем подставить любое число вместо икса, и никакие правила нарушены не будут. Поэтому область допустимых значений здесь – вся числовая ось. В таких случаях ОДЗ не записывают, потому что оно не несет в себе полезной информации.

Как найти ОДЗ?

В квадратных и линейных  уравнениях
(неравенствах) ОДЗ писать не нужно. В иррациональных, дробно-рациональных, логарифмических, а также тригонометрических
с тангенсом
и котангенсом
– ОДЗ обязательно. В уравнениях с синусом и косинусом – если нет знаменателей или других «отягощающих» функций – ОДЗ не записывают.

Чтобы осознать важность ОДЗ, давайте сравним два решения уравнения: с ОДЗ и без ОДЗ.

Пример:      Решить уравнение  (frac{x^2-x}{x+3}=frac{12}{x+3})
Решение:

Без ОДЗ:		С ОДЗ:
(frac{x^2-x}{x+3}=frac{12}{x+3})		(frac{x^2-x}{x+3}=frac{12}{x+3})
		ОДЗ:  (x+3≠0) (⇔) (x≠-3)
(x^2-x=12)		(x^2-x=12)
(x^2-x-12=0)		(x^2-x-12=0)
(D=(-1)^2-4·1·(-12)=49)		(D=(-1)^2-4·1·(-12)=49)
(x_1=)(frac{-(-1) + sqrt{49}}{2·1})(=4)		(x_2=)(frac{-(-1) + sqrt{49}}{2·1}) (=4)
(x_1=)(frac{-(-1) – sqrt{49}}{2·1})(=-3)		(x_2=)(frac{-(-1) – sqrt{49}}{2·1})(=-3) – не подходит под ОДЗ
Ответ: (4; -3)		Ответ: (4)

Видите разницу? В первом решении у нас в ответе появился неверный, лишний корень! Почему неверный? А давайте попробуем подставить его в исходное уравнение.

(frac{(-3)^2-(-3)}{(-3)+3})(=)(frac{12}{(-3)+3})
(frac{12}{0})(=)(frac{12}{0})

Видите, у нас получились и слева, и справа невычислимые, бессмысленные выражения (ведь на ноль делить нельзя). И то, что они одинаковы уже не играет роли, поскольку эти значения – не существуют. Таким образом, “(-3)” – неподходящий, посторонний корень, а область допустимых значений оберегает нас от таких серьезных ошибок.

Именно поэтому за первое решение вы получите двойку, а за второе – пятерку. И это не занудные придирки учителя, ведь неучет одз – не мелочь, а вполне конкретная ошибка, такая же как потерянный знак или применение не той формулы. В конце концов, итоговый ответ-то неверен!

Нахождение области допустимых значений часто приводит к необходимости решать системы неравенств или уравнений, поэтому вы должны уметь это делать хорошо.

Пример: Найдите область определения выражения (sqrt{5-2x}+)(frac{1}{sqrt{14+5x-x^{2}}})

Решение: В выражении два корня, один из которых в знаменателе. Кто не помнит ограничения, накладывающиеся в этом случае, тот смотрит таблицу. Кто помнит, записывает, что выражение под первым корнем больше или равно нулю, а под вторым – больше нуля. Понимаете, почему ограничения именно такие?

(begin{cases}5-2xgeq0\14+5x-x^{2} > 0end{cases})	Дело за малым, нужно решить систему неравенств. В первом неравенстве перенесем (5) вправо, второе умножим на (-1)
(begin{cases}-2xgeq-5\x^{2}-5x-14 < 0end{cases})	Поделим первое неравенство на (-2). Второе разложим на множители.
(begin{cases}xleq2,5\(x-7)(x+2) < 0end{cases})	Отметим все корни первого неравенства на числовой оси. Чтобы решить второе – воспользуемся методом интервалов
	Запишем общий ответ для системы – это и есть допустимые значения для икса.

Ответ: ((-2;2,5])

Скачать статью

В этой статье я подробно расскажу о том, что такое область допустимых значений (ОДЗ) выражения, опишу, как её искать, приведу несколько примеров с поиском ОДЗ выражений, содержащих дроби, корни чётных степеней и логарифмы.

Что такое ОДЗ выражения

Область допустимых значений выражения (ОДЗ выражения) – это множество значений переменной, при которых выражение имеет смысл.

Хочу заострить внимание читателя на некоторых ключевых моментах определения:

Во-первых, аббревиатура ОДЗ употребляется вместе с термином выражение, то есть термин “ОДЗ выражения” является более правильным, чем “ОДЗ“, но почему-то в устной речи школьников, репетиторов и учителей чаще можно услышать именно второй (“менее правильный”) вариант.

Во-вторых, ОДЗ выражения – это множество. Поэтому формально следующая запись является некорректной:

Дело в том, что запись “х >= 5” НЕ является множеством, а является предикатом (то есть высказыванием, содержащим переменную). Другими словами, выше записано следующее: “утверждение – это множество”. Но утверждение это не множество. Утверждение – это один математический объект, а множество – другой. Более корректная запись выглядит так:

Здесь всё записано корректно: “множество – это множество”. На ЕГЭ к таким тонкостям не придираются и баллы не снимают, но строгое отношение к терминам позволит быстрее и глубже разобраться в теме. Поэтому запоминаем, что ОДЗ выражения – это множество!

Как искать ОДЗ выражений

Поиск ОДЗ выражений обычно проводят в том случае, если выражение содержит дроби, корни чётных степеней или логарифмы. При этом используют следующие правила поиска ОДЗ выражений:

Эти правила не описывают поиск ОДЗ выражений, содержащих тригонометрических функции и степени. Про поиск ОДЗ выражений с тригонометрическими функциями и степенями будет отдельная статья.

Примеры поиска ОДЗ выражений

Ниже представлены 3 картинки с поиском ОДЗ выражений. Используйте стрелочки справа и слева, чтобы листать изображения:

Если вам понравилась статья, не забудьте поставить палец вверх. Если остались вопросы – задавайте их в комментариях. Спасибо за внимание!

Область допустимых значений (ОДЗ) – важное математическое понятие, которое нужно учитывать при решении выражений с переменными, поскольку на практике часто можно столкнуться с выражениями, значения которых вычислить невозможно (например, $1:a$ при $a=0$). Поэтому существует термин «выражение, имеющее смысл при заданных значениях переменных». Он означает, что при данных значениях переменных выражение можно вычислить. Напротив, выражение не имеет смысла, если на данном множестве переменных нельзя найти его значение.

Когда выражение содержит две, три, и большее число переменных, можно говорить о парах, тройках и т.п. допустимых значений. Рассмотрим, например, выражение

$frac{1}{x – y + z}$

со значениями $x=0$, $y=1$, $z=2$. Здесь мы имеем дело с тройкой переменных, которую можно обозначить как $(0, 1, 2)$. Эта совокупность является допустимой, поскольку в данном случае можно найти значение выражения:

$frac{1}{0 – 1 + 2} = 1$

Тройка же (1, 2, 1) недопустима, поскольку при подстановке значений в выражение в знаменателе окажется ноль.

Для выражения $frac{6}{x – 4}$ ОДЗ можно выразить как $(−∞, 4)∪(4, +∞)$, т.е. объединение числовых открытых множеств от отрицательной бесконечности до $4$ и от $4$ до бесконечности. Иными словами, как множество всех действительных чисел за исключением числа $4$.

ОДЗ можно определить не только через множества, но и через уравнения и неравенства, например $frac{z}{x – y}$, где ОДЗ $x neq y$ при произвольном $z$.

Следует иметь в виду, что термины “ОДЗ” и “область определения” не совпадают по смыслу. Область определения относится к функциям, а область допустимых значений – к выражениям с переменными. Однако при этом справедливо утверждение: область допустимых значений переменной $x$ для выражения $f(x)$ совпадает с областью определения функции $y=f(x)$.

«Область допустимых значений» 👇

ОДЗ для элементарных выражений (умножение, деление, возведение в степень, логарифмы, тригонометрические операции) хорошо изучены. Так, выражение, стоящее под знаком корня чётной степени (например, квадратного), должно быть неотрицательным, поскольку не существует действительных чисел, которые при возведении в четную степень давали бы отрицательное число.

Как найти область допустимых значений выражения

Ограничение области определения:

Область ограничения действительных чисел может быть от [(0 ;+infty)].

Например: [[-4 ; 1) cup[5,7)].

Область определения может указывать на следующие характеристики:

• деление функции как [y=x+frac{2 cdot x}{x^{4}-1}]
• корень четной степени и переменная под корнем:
  [=sqrt{x+1} text { или } y=sqrt[n]{2^{2 cdot x+1}} text {; }]
• переменная в основании степенного значения
  [y=3 cdot(x+1)^{-2}, y=-2+x^{frac{1}{3}} ; y=left(x^{4}-x+2right)sqrt{4}]
• логарифмическая переменная [y=ln frac{x^{4}+x}{8} ; quad y=2+].
  Значения основания должно быть положительным. Также как и логарифмическое значение.
• переменная тангенса и котангенса в виде следующего уравнения: [y=arcsin (x+4)+4 cdot x^{2}]

Если отсутствует хотя бы один из перечисленных характеристик область определения функции определяется иначе.

---

Пример 1: [y=frac{x^{4}+2 x-x+2}{4}+2 frac{2}{3} cdot x], в данном множестве нет переменной, поэтому и решается оно иначе.

Пример 2: [y=frac{3}{x-1}], нужно вычислить область определения. Обязательно, при решении нужно уделить внимание на знаменатель. Потому что, по законам алгебры деление на ноль запрещено.

Следовательно получаем следующее действие: [frac{3}{x-1}].

Область значения не должна быть равной единице, так как в знаменателе получим нулевое значение. Отсюда область определения будет в пределах [(-infty, 1) cup(1,+infty)].

Область допустимых значений для уравнения

Чтобы правильно уметь определять данную область, нужно знать следующие утверждения:

если функция вычисляется, при помощи суммы: [f_{1}+f_{2}+ldots f_{n} text { или } mathrm{y}=f_{1}+f_{2}+ldots f_{n}].

Область определения будет следующего вида: [mathrm{D}(mathrm{f})=mathrm{D}left(f_{1}right)left(f_{2}right) ldotsleft(f_{n}right)]

Пример суммы числовых значений:

Возьмем уравнение: [y=x^{7}+x+5+operatorname{tg} x]

Решение: уравнение представлено в виде суммы нескольких значений, где степень равна семи, показатель один.

Области определения tg характерны все действительные числа.

Ответ: для заданной функции относится пересечение областей или количество действительных чисел кроме [pi / 2+pi cdot mathrm{n} . mathrm{n} in z]

Пример разности значений:

[y=log _{3} x-4 cdot 2^{x}]

Решение:

[f_{1}(mathrm{x})=log _{3} text { и } f_{2}(mathrm{x})=4 cdot 2^{x}]

Область определения функции разности будет: [(0,+infty)] это для [f_{1} ; text { для } f_{2}(-infty .+infty)]

[y=log _{3} x-4 cdot 2^{x} Rightarrow Dleft(f_{1}right)=(0 ;+infty), quad Dleft(f_{2}right)=(-infty ;+infty)]

Ответ: [(0 ;+infty)].

Пример произведения чисел:

[y=3 cdot operatorname{arctg} x cdot ln x]

Область допустимых значений для функции

Сложная функция имеет следующий вид: [mathrm{y}=f_{1}left(f_{2}(mathrm{k})right)]

D (f) — множество значений;

Пересечение двух множеств и будет являться областью определения функции сложного типа.

[mathrm{k} in Dleft(f_{2}right) text { и } D f_{2}(x) in Dleft(f_{1}right)]

Область определения функции в виде дробного алгебраического значения

Когда функция задается выражение в виде дроби. Переменная значений находится в знаменателе. Следовательно, область определения являются действительные числа. Исключением служит число, которое приведет знаменатель к нулевому значению.

Пример №1: [y=frac{x-4}{x+4}]. Решив уравнение, определим искомое значение области определения. Которое является [-infty ;-4 cup-4 ;+infty]

Пример №2: [y=frac{1}{x^{2^{2}} 1} ;]

[x^{2-} 1=0 Rightarrow x^{2} Rightarrow x_{1}=-1 x_{2}=1]

Искомая область : [text { — ]- } infty ;-1[cup]-1 ; 1[cup] 1 ;+infty[.]

Пример №3: [y=cos x+frac{3}{x^{2}-4}].

Первое слагаемое имеет область определения множество действительных чисел. Второе — также все числа, кроме -2 и 2, они приведут знаменатель к нулю. Область определения должна соответствовать условиям двух слагаемых и равняться действительным числам, кроме -2 и 2.

Область определения показательной и логарифмической функции

Показательная функция записывается как: [y=k^{x}]

где значение x — показатель степени; k — число, которое обязательно больше нуля и не равно единице. Область определения показательной функции — это множество значений R.

Основные примеры показательных функций:

Область определения, для этих функций, записывается следующим образом: [(-infty,+infty)].

Логарифмическая функция выражается как: [y=log n^{k}], где значение  n , имеет значение больше нуля и не менее единицы.

Рассмотрим на примере, характер решения задачи данной функции.

Пример №1:

[y=ln x], определить область определения натурального логарифма.

[D(y)=(0 ;+infty)]

На заданном интервале, производная будет иметь положительное значение, и функция будет возрастать на всем промежутке.

[y=ln x=frac{1}{x}]

Определим односторонний предел при, стремлении аргумента к нулю и когда значение x стремится к бесконечности.

[lim _{x rightarrow 0+0} ln x=ln (0+0)=-infty]

[lim _{x rightarrow infty} ln x=ln (+infty)=+infty .]

Из данного решения мы видим, что значения будут возрастать от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Из этого следует, что множество всех действительных чисел – является областью значений функции натурального логарифма ln.

Ответ: множество всех действительных чисел, это и есть область значений функции ln.

Определения области допустимых значений функции

На примерах рассмотрим, как определить области значений функции.

Первоначально, необходимо определить значения непрерывной функции y=f(x).

Известно, что функция непрерывная и достигает своих максимальных max f(x) и минимальных min f(x) значений, на разных периодах. Из этого следует отрезок, где находятся значения исходной функции. Тогда решение состоит в нахождении точек максимума и минимума.

---

Пример №1 :

Необходимо вычислить область значений уравнения [y=x^{4}-5 x^{3}+6 x^{2}] на отрезке [ 1 ;   4 ] [1; 4].

Для решения задачи необходимо произвести следующие действия:

Следующим шагом будет определение значений функции в конечной и начальной точках.

Ответ: [left(frac{117-165 cdot sqrt{33}}{512} ; 32right)].

Пример №2.

На этом примере подробно рассмотрим, как вычисляются значения непрерывной функции y= f(x), в определенных промежутках.

Для этого, первоначально вычислим:

•  наименьшее и наибольшее значение;
•  определим промежуток возрастания и убывания функции;
•  односторонние пределы;
•  предел бесконечности.

Решение:

Для решения возьмем функцию [y=frac{1}{x^{2}-4}] и вычислим область значений на промежутке (-2;2).

Находим наименьшее и наибольшее значение функции на заданном отрезке.

[y=frac{1}{x^{2}-4}=frac{-2 x}{left(x^{2}-4right)^{2}}]

[mathrm{y}=0 Leftrightarrow frac{-2 x}{left(x^{2}-4right)^{2}}=0 Leftrightarrow x=0 in(-2 ; 2)]

Из данных вычислений видно, что максимальное значение равно 0, так как в этой точке происходит перемена знака функции и соответственно функция начинает убывать.

А именно: [y(0)=frac{1}{0^{2}-4}=-frac{1}{4}]

[-frac{1}{4}] — будет являться наибольшим значение заданной функции.

Следующим шагом в нашем решении, будет выяснение направления функции. Когда x значение стремится к (-2) и (+2).

В алгебре иными словами эти значения называют односторонними пределами.

Решение выглядит следующим образом.

В конечном итоге мы получаем, что в пределах от -2 до 0, функции будут возрастать от [-infty text { до }-frac{1}{4}]. Если аргумент меняется, от 0 до то наоборот будет убывать к [-infty].

Следовательно, необходимое множество значений будет на интервале [-infty text { до }-frac{1}{4}]

Ответ: [left(-infty-frac{1}{4}right)].

---

Пример №3:

Данная функция имеет определенное значение, только при положительных значениях. [mathrm{D}(mathrm{y})=(0 ;+infty)]

Производная будет иметь следующий вид: [y=(ln x)=frac{1}{x}].

Так как функция имеет положительное значение, то всем промежутке будет наблюдаться ее возрастание. От [-infty text { до } +infty]

Поэтому область значения — это множество всех натуральных значений.

---

Пример №4:

У функции [y=frac{9}{z^{2}-1}]

Если значение z имеет положительное значение, то функция будет считаться определенной.

Вычислим наибольшее и наименьшее значение, а также промежутки возрастания и убывания.

Если значение x будет больше, либо равным 0,то функция будет убывать.

Если значение x будет меньше либо равным нулю , функция будет возрастать.

Затем рассмотрим поведение функции и  ее значения на бесконечной прямой.

Вывод: если аргумент изменяется от [-infty] до 0, тогда значение функции увеличиваются от 0  до 9 . Когда значения аргумента меняются от 0  до [+infty], значения функции будут уменьшаться  от 9 до 0.

---

Пример №5:

Определить область значений [y=frac{x}{x-2}];

По правилам математики. знаменатель не может равняться нулю. Поэтому: [D(y)=(-infty ; 2)(+infty ; 2)].

Определим множества на первом отрезке. [(-infty ; 2)]. На этом отрезке функция будет убывающей и значение отрицательным.

Функция ассиметрично начнет приближаться к 1, когда аргумент будет изменяться к минус бесконечности.

Определим множества на втором отрезке. [(+infty ; 2)]. На этом отрезке функция будет также убывающей.

Вывод: [E(y)=(+infty ; 1) cup(1 ;+infty)].