Как найти множество интегралов

Определение интеграла на множестве  и его свойства

Пусть
задано множество ,
элементы этого множества обозначим М.
Пусть в каждой точке М
множества
определена функция U=f(M).
Проделаем следующие операции:

1)разбиваем
множество
произвольным образом на n
подмножеств величиной 1,
2,…,
n;
обозначим наибольший диаметр этих
подмножеств через :
=max
diam
i
– ранг дробления;

2)на
каждом из n
подмножеств выберем произвольным
образом по точке Мi
и вычислим значение функции в них
Ui=f(Mi);

3)составим
интегральную сумму;

4)устремляя
ранг дробления
к нулю, найдем предел интегральных сумм:

Определение.
Интегралом функции U=f(Mi)
на множестве

называется предел последовательности
интегральных сумм, когда ранг дробления

стремится к нулю, и обозначается

(1)

Определение.
Функция U=f(Mi),
для которой существует интеграл (1),
называется
интегрируемой на множестве .

Теорема.
Достаточным условием интегрируемости
функции является ее непрерывность.

Основные
свойства интеграла.

  1. ,
    где K=const.

  2. если
    =1+2
    , то

  3. ,
    где

    некоторая определенная точка множества

    , а

    – величина
    (площадь,
    длина и т.д.)

Элемент
М
множества
геометрически изображается точкой с
соответствующими координатами. Потому
в зависимости от вида множества
интегрирования ,
интегралы делятся на несколько классов,
приведенных ниже в таблице:

d

название

1

dx

определенный

2

dS

двойной

3

dV

тройной

4

d

поверхностный
(1-го рода)

5

dl

криволинейный
(1-го рода)

Двойной интеграл

Множество
интегрирования
изображается множеством точек плоскости
(х;у), будем
его обозначать S;
подынтегральная функция является
функцией двух аргументов U=f(M)=f(x;y);
d=dS
– дифференциал площади (элемент площади);
в декартовой системе координат dS=dxdy.
По определению (1)

При вычислении
двойной интеграл заменяется повторным
интегралом (интеграл от интеграла) по
правилу:

пусть
область интегрирования S
есть часть плоскости (x;y),
ограничена линиями: x=a,
x=b,
(
a<b)
y=1(x),
y=2(x),
(
1(x)2(x),
x[a;b]),
тогда

Для
удобства формулу записывают иначе

(2)

Здесь
интеграл по х
называется внешним интегралом, интеграл
по у
– внутренним. При вычислении внутреннего
интеграла аргумент х
считается постоянным. Если область S
сверху (или снизу) ограничена двумя
линиями, то прямой х=с,
проведенной через точку их пересечения
перпендикулярно оси Оx,
область разбивается на две области
первого типа, и интеграл заменяется
суммой интегралов на основании свойства
интегралов:

Пусть
область интегрирования S
ограничена линиями: y=c,
y=d,
(c<d),
x=1(y),
x=2(y),
(
1(y)2(y),
y[c;d]).

Тогда

Для
удобства формулу записывают в виде

(3)

Выбрать порядок
интегрирования для вычисления двойного
интеграла – это значит выбрать одну из
двух формул (2) или (3).

Пример.
Вычислить
,
гдеS ограничена
линиями y=x2+1;
y=5; x=0,
(
x
S
область 1-го типа, потому вычисляем по
(2).


Вычисляем
внутренний интеграл; х=const.

;

Пример.
Изменить порядок интегрирования в
интеграле

По
заданным четырем пределам интегрирования
записываем уравнение четырех линий,
ограничивающих область интегрирования
S;
x=0;
x=2;
y=0;

.
Строим эти линии

Разрешаем
уравнение дуги гиперболы

относительно абсциссы
.
Область интегрированияS
не принадлежит к 2-му типу, т.к. слева
ограничена двумя различными линиями
x=0
и
.
Поэтому прямойy=1
разбиваем ее на две области 2-го типа:
S1
и S2.
Тогда по (3)

Пределы
интегрирования в повторном интеграле
определяются уравнениями границ области
интегрирования S.
Потому, как правило, чем проще уравнения
границ, тем проще вычисления интегралов.
В разных системах координат уравнение
одной и той же линии имеют различный
вид.

Например:
окружность с центром в начале координат
и радиусом R
в декартовой системе координат задается
уравнением x2+y2+R2,
а в полярной системе координат R.

Если область
интегрирования Sограничена линиями, заданными в полярной
системе координат

1
2,
то пределы интегрирования расставляются
по правилу

(4)

При вычислении
двойного интеграла удобно, чаще всего,
переходить к полярным координатам, если
область интегрирования ограничена
окружностью. Для перехода к полярным
координатам необходимо:

1)записать уравнения
границ в полярной системе координат,
найти координаты точек их пересечения;

2)в
подынтегральной функции декартовы
координаты х
и у
заменить полярными по формулам хcos,
у
sin;

3)элемент
площади в декартовых координатах
заменить по формуле dS=dxdy=dd;

4)расставить пределы
интегрирования по (4).

(5)

Пример.
Вычислить, перейдя к полярным координатам
интеграл
,
где область интегрированияS:
1
x2+y24.

  1. Уравнения
    границ x2+y2=1
    и x2+y2=4.
    В полярной

системе
координат: (cos)2+(sin)2=1
и (cos)2+(sin)2=4,
или =1
и =2;
02



= =

Соседние файлы в папке ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Содержание:

Интеграл

Центр Гейдара Алиева славится своим архитектурным стилем и является уникальной архитектурной работой. Красота архитектуры была достигнута при помощи решения многих систематических задач. Стены здания выполнены в виде волны и можно сказать, что в проекте не использовались прямые линии. Структура здания крыши, касаясь земли, формирует гладкое и гармоничное изображение. Такая структура представляет собой постмодернистскую архитектуру, а также эффект бесконечности. Линии здания символизируют связь прошлого и будущего. Для построения здания были использованы конструкции в виде металлической решетки, общая длина которой составила 90 км. При установки крыши, общая площадь которой составила 4 га, были использованы 12027 штук специальных панелей, имеющих форму треугольников, прямоугольников, трапеций и параллелограммов различных размеров. Если мы захотим найти площадь какой-либо части здания в виде волны, то нам придется прибегнуть к интегрированию.

Интеграл и его применение с примерами решения

Первообразная функции. Неопределенный интеграл

Исследование. Путь, пройденный свободно падающим телом за время Интеграл и его применение с примерами решения

экспериментально. Дифференцируя, находим скорость: Интеграл и его применение с примерами решения Дифференцируя второй раз, найдем ускорение: Интеграл и его применение с примерами решения А как, зная ускорение, найти закон, по которому изменяется скорость Интеграл и его применение с примерами решения а также закон движения Интеграл и его применение с примерами решения

Дифференцирование – это нахождение производной функции. Нахождение функции с заданной производной является действием, обратным к дифференцированию. В этом случае, зная производную или дифференциал, надо найти саму функцию, т. е для функции Интеграл и его применение с примерами решения заданной на определенном интервале, нужно найти такую функцию Интеграл и его применение с примерами решения что на этом интервале выполнялось Интеграл и его применение с примерами решения или Интеграл и его применение с примерами решения

Определение. Функция Интеграл и его применение с примерами решения удовлетворяющая равенству Интеграл и его применение с примерами решения для всех точек на заданном промежутке, называется первообразной для функции Интеграл и его применение с примерами решениязаданной на том же промежутке.

Например, функция Интеграл и его применение с примерами решения есть первообразная для функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения так как для всех Интеграл и его применение с примерами решения справедливо

Интеграл и его применение с примерами решения

С другой стороны, Интеграл и его применение с примерами решения вообще для любой постоянной Интеграл и его применение с примерами решения имеем Интеграл и его применение с примерами решения поэтому каждая из функций Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной для функции Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Таким образом, для заданной функции первообразная функция не является единственной. Если, функции Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения первообразные функции Интеграл и его применение с примерами решения на определенном промежутке, то для функции Интеграл и его применение с примерами решения на этом же промежутке выполняется тождество Интеграл и его применение с примерами решения Тогда касательная к графику функции в каждой точке параллельна оси абсцисс. Значит график функции Интеграл и его применение с примерами решения будет параллелен оси абсцисс, т. е. на том же промежутке Интеграл и его применение с примерами решения (здесь Интеграл и его применение с примерами решения произвольная постоянная). Отсюда Интеграл и его применение с примерами решения Таким образом получаем, что если функция Интеграл и его применение с примерами решения на заданном промежутке является первообразной для функции Интеграл и его применение с примерами решения то для любой постоянной Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения называется общим выражением для первообразных функций.

Неопределенный интеграл

Определение. Множество всех первообразных для функции Интеграл и его применение с примерами решения называется неопределенным интегралом, обозначается Интеграл и его применение с примерами решения и читается как “интеграл эф от икс де икс”.

Если функция Интеграл и его применение с примерами решения является одной из первообразных для Интеграл и его применение с примерами решения то но определению Интеграл и его применение с примерами решения

Здесь Интеграл и его применение с примерами решения – знак интеграла, Интеграл и его применение с примерами решения – подынтегральная функция, Интеграл и его применение с примерами решения – переменная интегрирования, Интеграл и его применение с примерами решения – постоянная интегрирования. За переменную интегрирования можно принять любую переменную. Нахождение функции по производной называется интегрированием.

Пример 1. По определению найдите неопределенные интегралы.

a) Интеграл и его применение с примерами решения b) Интеграл и его применение с примерами решения с) Интеграл и его применение с примерами решения

Решение: Интеграл и его применение с примерами решения

Так как: Интеграл и его применение с примерами решения

Пример 2. Найдите интеграл Интеграл и его применение с примерами решения

Решение: подумаем, производной какой функции является функция Интеграл и его применение с примерами решения Например, известно, что производной функции Интеграл и его применение с примерами решения является функция Интеграл и его применение с примерами решения Значит, множителем искомой функции является дробь Интеграл и его применение с примерами решения которая

потом сократиться с коэффициентом 4 и получится Интеграл и его применение с примерами решения

Такой функцией является функция Интеграл и его применение с примерами решения Значит, Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл постоянной и степенной функции

Интеграл постоянной: Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл степенной Интеграл и его применение с примерами решения

функции Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Пример 1. Найдите неопределенный интеграл Интеграл и его применение с примерами решения

Решение: Интеграл и его применение с примерами решения

Пример 2. Найдите общий вид первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решения

Решение: Так как функция Интеграл и его применение с примерами решения одна из первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решения то одна из первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решения будет

Интеграл и его применение с примерами решения

Тогда общий вид первообразных имеет вид:

Интеграл и его применение с примерами решения Значит, Интеграл и его применение с примерами решения

Свойства неопределенного интеграла

При интегрировании используют следующие свойства:

  1. Интеграл и его применение с примерами решения
  2. Интеграл и его применение с примерами решения
  3. Интеграл и его применение с примерами решения
  4. Интеграл и его применение с примерами решения
  5. Интеграл и его применение с примерами решения

Пример 1. Найдите интеграл Интеграл и его применение с примерами решения

Решение: Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

В отличии от производной, у интеграла нет формулы для интегрирования произведения и частного. Поэтому, если это возможно, функцию представляют в виде суммы или разности, а потом находят первообразную.

Пример. Найдите первообразную функции Интеграл и его применение с примерами решения

Решение: запишем заданную функцию в виде

Интеграл и его применение с примерами решения

Тогда получим, Интеграл и его применение с примерами решения

Интегралы показательной функции и функции Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл показательной функции Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл функции Интеграл и его применение с примерами решения

При Интеграл и его применение с примерами решения Интеграл и его применение с примерами решения

При Интеграл и его применение с примерами решения Интеграл и его применение с примерами решения

При Интеграл и его применение с примерами решения в любом промежутке Интеграл и его применение с примерами решения

В общем случае: Интеграл и его применение с примерами решения

Пример. Найдите неопределенные интегралы: a)Интеграл и его применение с примерами решения b) Интеграл и его применение с примерами решения

Решение: a) Интеграл и его применение с примерами решения

b) Интеграл и его применение с примерами решения

Интегралы тригонометрических функций

Интеграл и его применение с примерами решения

Пример 1. Найдите интеграл Интеграл и его применение с примерами решения

Решение: Интеграл и его применение с примерами решения

При интегрировании тригонометрических функций удобно использовать тригонометрические тождества.

Пример 2. Найдите первообразную функции Интеграл и его применение с примерами решения

Решение: Так как Интеграл и его применение с примерами решения то

Интеграл и его применение с примерами решения

Пример 3. Вычислите интеграл Интеграл и его применение с примерами решения

Решение: Воспользуемся тождеством Интеграл и его применение с примерами решения Тогда,Интеграл и его применение с примерами решения

Пример 4. Найдите интеграл Интеграл и его применение с примерами решения

Решение: Воспользуемся формулой

Интеграл и его применение с примерами решения

Прикладные задания

Задании на нахождение постоянной интегрирования

Пример. Найдите первообразную функции Интеграл и его применение с примерами решения график которой проходит через точку: Интеграл и его применение с примерами решения

Решение: Сначала запишем общий вид первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения

a) По условию Интеграл и его применение с примерами решения Тогда Интеграл и его применение с примерами решения отсюда Интеграл и его применение с примерами решения Значит, первообразная функции Интеграл и его применение с примерами решения график которой проходит через точку Интеграл и его применение с примерами решения имеет вид Интеграл и его применение с примерами решения

b) По условию Интеграл и его применение с примерами решения Тогда Интеграл и его применение с примерами решения отсюда Интеграл и его применение с примерами решения Значит, первообразная функции Интеграл и его применение с примерами решения график которой проходит через точку Интеграл и его применение с примерами решения имеет вид: Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Задания на реальную жизненную ситуацию

Пример 1. Движение. Скорость мяча, брошенного с высоты 1 м вверх, можно выразить как Интеграл и его применение с примерами решения Здесь Интеграл и его применение с примерами решения показывает время в секундах. Запишите функцию, которая позволит найти на какой высоте находится мяч через Интеграл и его применение с примерами решения секунд после начала движения и найдите на какой высоте окажется мяч на 2 секунде.

Решение: гак как Интеграл и его применение с примерами решения то для функции Интеграл и его применение с примерами решения неопределенным интегралом является функция Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Как можно найти постоянную Интеграл и его применение с примерами решения

Мяч брошен с высоты 1 м. Т. е. в момент Интеграл и его применение с примерами решения мяч находился на высоте 1 м и Интеграл и его применение с примерами решения Тогда Интеграл и его применение с примерами решения отсюда Интеграл и его применение с примерами решения Значит, в момент Интеграл и его применение с примерами решения высоту на которой находится мяч, можно найти но формуле Интеграл и его применение с примерами решения При Интеграл и его применение с примерами решения получим

Интеграл и его применение с примерами решения

Т. е. в момент Интеграл и его применение с примерами решения секундам мяч будет находится на высоте 5,4 м.

Пример 2. Прирост населении. Статистические исследования показывают, что при помощи отношения Интеграл и его применение с примерами решения можно найти прирост городского населения за год. Здесь Интеграл и его применение с примерами решения показывает количество лег после 1960 года, Интеграл и его применение с примерами решения – численность населения в данный Интеграл и его применение с примерами решения год в тыс. человек. Если в 1990 году в городе было 820 тыс. человек, то сколько, приблизительно, тыс. человек будет в городе в 2020 году?

Решение: найдем первообразную для функции Интеграл и его применение с примерами решения показывающую численность населения, соответствующую функции Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Теперь найдем постоянную Интеграл и его применение с примерами решения

Например, по условию при Интеграл и его применение с примерами решения численность населения достигла 820 тыс. человек. Подставим (30; 820) в формулу функции. Интеграл и его применение с примерами решенияТогда Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения

Численность населения в 2020 году соответствует значению функции Интеграл и его применение с примерами решения в Интеграл и его применение с примерами решения Интеграл и его применение с примерами решения

Т. е. в 2020 году численность городского населения будет приблизительно равна 1979800 человек.

Площадь, ограниченная кривой

Представьте, что вы проводите следующее исследование: определение количества солнечной энергии, которую получает растение. Для этого вам необходимо узнать площадь поверхности листа. Разместите лист на бумаге в клетку и приблизительно найдите площадь.

Интеграл и его применение с примерами решения

Если продолжить уменьшать размер клеток, то площадь листа можно найти, подсчитав сумму клеток, и, уменьшая приближения, можно достаточно точно найти значение действительной площади. Применяя этот способ, можно найти площади фигур различной формы. Например, можно найти площадь, ограниченную графиком неотрицательной функции Интеграл и его применение с примерами решения непрерывной на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения и ограниченной осью абсцисс Интеграл и его применение с примерами решения слева прямой Интеграл и его применение с примерами решения справа прямой Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Пример 1. Определите, приблизительно, площадь фигуры, ограниченной графиком Интеграл и его применение с примерами решения осью абсцисс и прямыми Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения

Решение: На рисунке изображена площадь, ограниченная графиком функции Интеграл и его применение с примерами решения осью абсцисс и прямыми Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решенияПоказанную площадь можно приблизительно найти при помощи прямоугольников высотой Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Площадь: Интеграл и его применение с примерами решения

Разбивая показанную площадь на еще более маленькие прямоугольники и найдя сумму площадей полученных прямоугольников, можно достаточно точно найти значение, близкое к реальному.

Интеграл и его применение с примерами решения

Если отрезок [2; 4] разделить на две части ([2;3] и [3;4]) (рис.а и b), то площадь, приблизительно, равна сумме площадей двух прямоугольников.

a) площадь, приблизительно, равна сумме площадей прямоугольников шириной, равной 1, с высотами Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения

b) площадь, приблизительно, равна сумме площадей прямоугольников шириной равной 1 с высотами Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения Значит реальное значение площади удовлетворяет соотношению Интеграл и его применение с примерами решения

В рассмотренном случае площадь точно можно найти по формуле площади трапеции: Интеграл и его применение с примерами решения и дать оценку погрешности, проведенных вычислений.

В 1-ом случае количество интервалов Интеграл и его применение с примерами решения и вычисления отличаются от действительных размеров площади на 1 кв.ед., во 2-ом случае Интеграл и его применение с примерами решения и разность уменьшается до 0,5 кв.ед. Если заданный интервал разделить на еще большее количество малых интервалов, то площадь можно найти как сумму более маленьких прямоугольников и получить значение, достаточно близкое к точному.

Интеграл и его применение с примерами решения Под площадью фигуры, ограниченной графиком функции Интеграл и его применение с примерами решения на отрезке Интеграл и его применение с примерами решенияпонимают площадь фигуры, ограниченной графиком функции Интеграл и его применение с примерами решения осью абсцисс и прямыми Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения (эту фигуру также называют криволинейной трапецией). В заданиях мы коротко будем называть это как “площадь, ограниченная кривой”. Здесь функция/должна удовлетворять условиям.

Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение

Первообразная

Вы умеете по заданной функции находить ее производную, знаете, что производная применяется во многих областях. В частности, умея дифференцировать, по данному закону Интеграл и его применение с примерами решения движения материальной точки по координатной прямой можно найти закон Интеграл и его применение с примерами решения изменения ее скорости, а именно: Интеграл и его применение с примерами решения

Нередко в механике приходится решать обратную задачу: находить закон движения по известному закону изменения скорости.

Например, из курса физики вам известен такой факт: если скорость изменяется по закону и Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения то закон движения задается формулой Интеграл и его применение с примерами решения

Вы знаете, что нахождение производной заданной функции называют дифференцированием. Обратную операцию, то есть нахождение функции по ее производной, называют интегрированием.

Определение. Функцию Интеграл и его применение с примерами решения называют первообразной функцией (или коротко первообразной) функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения если для всех Интеграл и его применение с примерами решения выполняется равенство Интеграл и его применение с примерами решения

Например, функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения поскольку на Интеграл и его применение с примерами решения выполняется равенство Интеграл и его применение с примерами решения

Часто в задачах, связанных с первообразной функции, промежуток Интеграл и его применение с примерами решения опускают. В таких случаях считают, что Интеграл и его применение с примерами решения Так, функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения поскольку выполняется равенство Интеграл и его применение с примерами решения

Рассмотрим еще один пример. Функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения поскольку на этом промежутке выполняется равенство Интеграл и его применение с примерами решения

Однако на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения функция Интеграл и его применение с примерами решения не является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решениятак как в точке Интеграл и его применение с примерами решения не выполняется равенство Интеграл и его применение с примерами решения

Рассмотрим функции Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения Каждая из них имеет одну и ту же производную Интеграл и его применение с примерами решения Поэтому обе функции Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения являются первообразными функции Интеграл и его применение с примерами решения Понятно, что каждая из функций вида Интеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения любое число, является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения Следовательно, задача нахождения первообразной имеет бесконечно много решений.

Цель интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные на заданном промежутке.

Как связаны между собой все первообразные данной функции, указывает следующая теорема.

Теорема 24.1 (основное свойство первообразной). Если функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения любое число, то функция Интеграл и его применение с примерами решения также является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения. Любую первообразную функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения можно представить в виде Интеграл и его применение с примерами решения, где Интеграл и его применение с примерами решения некоторое число.

Доказательство. Поскольку функция Интеграл и его применение с примерами решения первообразная функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения то для всех Интеграл и его применение с примерами решения выполняется равенство Интеграл и его применение с примерами решения Тогда

Интеграл и его применение с примерами решения

Следовательно, функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения

Пусть функция Интеграл и его применение с примерами решения одна из первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения Тогда Интеграл и его применение с примерами решения для всех Интеграл и его применение с примерами решения Имеем:

Интеграл и его применение с примерами решения

Согласно признаку постоянства функции (теорема 11.1) получаем, что функция Интеграл и его применение с примерами решения является константой на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения то есть Интеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решения некоторое число. Отсюда Интеграл и его применение с примерами решения

Если функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения то запись Интеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решения любое число, называют общим видом первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения

Из основного свойства первообразной следует, что графики любых двух первообразных данной функции можно получить друг из друга параллельным переносом вдоль оси координат (рис. 24.1).

Интеграл и его применение с примерами решения

Совокупность всех первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения называют ее неопределенным интегралом и обозначаютИнтеграл и его применение с примерами решения (читают: «интеграл эф от икс де икс»).

Например, функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения Из теоремы 24.1 следует, что любую первообразную функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения можно представить в виде Интеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решения некоторое число. Это можно записать так: Интеграл и его применение с примерами решения

При решении задач на первообразную удобно пользоваться таблицей, приведенной на форзаце 3.

Покажем на примерах, с помощью каких соображений можно обосновать утверждения, приведенные в этой таблице.

Пример:

Найдите общий вид первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Поскольку Интеграл и его применение с примерами решения то одной из первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решенияявляется функция Интеграл и его применение с примерами решения

Тогда согласно теореме 24.1 запись Интеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решения любое число, является общим видом первообразных.

Из решения примера 1 следует, что Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Найдите общий вид первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решенияна каждом из промежутков Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

На промежутке Интеграл и его применение с примерами решения имеет место равенствоИнтеграл и его применение с примерами решенияна промежутке Интеграл и его применение с примерами решения имеют место равенства Интеграл и его применение с примерами решения

Следовательно, функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения а функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения.

Поскольку Интеграл и его применение с примерами решения то на любом промежутке, не содержащем точку 0, записьИнтеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решения любое число, является общим видом первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Для функции Интеграл и его применение с примерами решения найдите первообразную, график которой проходит через точку Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Поскольку Интеграл и его применение с примерами решения то функция Интеграл и его применение с примерами решения является одной из первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решения Следовательно, искомая первообразная имеет вид Интеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решения некоторое число. Найдем это число.

Из условия следует, что Интеграл и его применение с примерами решения Тогда Интеграл и его применение с примерами решения Отсюда Интеграл и его применение с примерами решения

Таким образом, искомая первообразная имеет вид Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения

Замечание.

Можно доказать, что функция Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения Пользуясь этим, можно найти, например, первообразную функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения Поскольку Интеграл и его применение с примерами решениято функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения Учитывая равенства Интеграл и его применение с примерами решения можно записать: Интеграл и его применение с примерами решения

Правила нахождения первообразной

При нахождении производных функций вы пользовались не только формулами, записанными в таблице (см. форзац 2), но и правилами дифференцирования. В этом пункте мы рассмотрим три правила нахождения первообразных.

Теорема 25.1. Если функции Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения являются соответственно первообразными функций Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения то на этом промежутке функция Интеграл и его применение с примерами решенияявляется первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения

Доказательство. Из условия следует, что для любого Интеграл и его применение с примерами решения выполняются равенства Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения Тогда для любого Интеграл и его применение с примерами решения из промежутка Интеграл и его применение с примерами решения имеем: Интеграл и его применение с примерами решения

Из теоремы 25.1 следует, что

Интеграл и его применение с примерами решения

где Интеграл и его применение с примерами решения произвольное число.

Аналогично можно доказать, что

Интеграл и его применение с примерами решения

Теорема 25.2. Если функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения некоторое число, то на этом промежутке функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения

Докажите теорему 25.2 самостоятельно.

Теперь можно записать: Интеграл и его применение с примерами решениягде Интеграл и его применение с примерами решенияпроизвольное число.

Теорема 25.3. Если функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения некоторое число, отличное от нуля, то на соответствующем промежутке функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения

Доказательство. Используя правило нахождения производной сложной функции, запишем: Интеграл и его применение с примерами решения

Коротко записывают: Интеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решения произвольное число.

Пример:

Найдите общий вид первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Напомним, что функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения Поскольку на данном промежутке выполняется равенство Интеграл и его применение с примерами решения то функция Интеграл и его применение с примерами решения то есть функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения Поскольку Интеграл и его применение с примерами решения то функция Интеграл и его применение с примерами решения то есть функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения Тогда по теореме 25.2 функция Интеграл и его применение с примерами решенияявляется первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения

Воспользовавшись теоремой 25.1, получаем, что функцияИнтеграл и его применение с примерами решенияявляется первообразной заданной в условии функции Интеграл и его применение с примерами решения Тогда запись Интеграл и его применение с примерами решения является общим видом первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решения

Решение примера 1 можно записать и так:

Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Найдите одну из первообразных функции:

Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

1) Поскольку функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения то по теореме 25.3 функция Интеграл и его применение с примерами решения то есть функция Интеграл и его применение с примерами решенияявляется первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения 2) Поскольку Интеграл и его применение с примерами решения то первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения является функция Интеграл и его применение с примерами решения то есть Интеграл и его применение с примерами решения

Тогда первообразная функции Интеграл и его применение с примерами решения имеет вид Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения то есть Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Для функции Интеграл и его применение с примерами решениянайдите первообразную на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения график которой проходит через точку Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Согласно теореме 25.3 запись Интеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решения любое число, является общим видом первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решения на данном промежутке.

На промежутке Интеграл и его применение с примерами решения искомая первообразная имеет вид

Интеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решения некоторое число. Из условия следует, что Интеграл и его применение с примерами решения Тогда Интеграл и его применение с примерами решения отсюда Интеграл и его применение с примерами решения Следовательно, Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Скорость движения материальной точки по координатной прямой изменяется по закону Интеграл и его применение с примерами решения Найдите закон движения Интеграл и его применение с примерами решения если Интеграл и его применение с примерами решения (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах).

Решение:

Функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения Тогда можно записать

Интеграл и его применение с примерами решения то есть Интеграл и его применение с примерами решения

где Интеграл и его применение с примерами решения некоторое число. Найдем Интеграл и его применение с примерами решения из условия Интеграл и его применение с примерами решения

Имеем: Интеграл и его применение с примерами решения отсюда Интеграл и его применение с примерами решения

Тогда искомый закон движения задается формулой Интеграл и его применение с примерами решения

В пункте 8 вы узнали, как найти производные произведения функций, частного функций и производную сложной функции. Наверное, после ознакомления с материалом этого пункта у вас возник вопрос: как найти первообразные функций Интеграл и его применение с примерами решения или Интеграл и его применение с примерами решения если известны первообразные функций Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения К сожалению, общих правил нахождения первообразных таких функций не существует.

Площадь криволинейной трапеции. Определенный интеграл

Рассмотрим функцию Интеграл и его применение с примерами решения которая непрерывна на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения и принимает на этом промежутке неотрицательные значения. Фигуру, ограниченную графиком функции Интеграл и его применение с примерами решения и прямыми Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения называют криволинейной трапецией.

На рисунке 26.1 приведены примеры криволинейных трапеций. Интеграл и его применение с примерами решения

Рассмотрим теорему, которая позволяет вычислять площади криволинейных трапеций.

Теорема 26.1. Площадь Интеграл и его применение с примерами решения криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции Интеграл и его применение с примерами решения и прямыми и Интеграл и его применение с примерами решения можно вычислить по формуле

Интеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решения любая первообразная функции Интеграл и его применение с примерами решения на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения

Доказательство. Рассмотрим функцию Интеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решения которая определена таким правилом.

Если Интеграл и его применение с примерами решения то Интеграл и его применение с примерами решения если Интеграл и его применение с примерами решения то Интеграл и его применение с примерами решения это площадь криволинейной трапеции, показанной штриховкой на рисунке 26.2.

Докажем, что Интеграл и его применение с примерами решения для всех Интеграл и его применение с примерами решения

Пусть Интеграл и его применение с примерами решения произвольная точка отрезка Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения приращение аргумента в точке Интеграл и его применение с примерами решения Ограничимся рассмотрением случая, когда Интеграл и его применение с примерами решения (случай, когда Интеграл и его применение с примерами решения рассматривают аналогично).

Имеем: Интеграл и его применение с примерами решения

Получаем, что Интеграл и его применение с примерами решения это площадь криволинейной трапеции, заштрихованной на рисунке 26.3.

Интеграл и его применение с примерами решения

На отрезке Интеграл и его применение с примерами решения как на стороне построим прямоугольник, площадь которого равна Интеграл и его применение с примерами решения (рис. 26.4). Длины сторон этого прямоугольника равны Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решения некоторая точка промежутка Интеграл и его применение с примерами решения Тогда Интеграл и его применение с примерами решения Отсюда

Интеграл и его применение с примерами решения

Если Интеграл и его применение с примерами решения то Интеграл и его применение с примерами решения Поскольку функция Интеграл и его применение с примерами решения непрерывна в точке Интеграл и его применение с примерами решения то Интеграл и его применение с примерами решения Отсюда, если Интеграл и его применение с примерами решения то Интеграл и его применение с примерами решения

Имеем Интеграл и его применение с примерами решения

Поскольку Интеграл и его применение с примерами решения произвольная точка области определения функции Интеграл и его применение с примерами решения то для любого Интеграл и его применение с примерами решения выполняется равенство Интеграл и его применение с примерами решения Получили, что функция Интеграл и его применение с примерами решения является одной из первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решения на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения

Пусть Интеграл и его применение с примерами решения некоторая первообразная функции Интеграл и его применение с примерами решения на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения Тогда по основному свойству первообразной можно записать Интеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решениянекоторое число.

Имеем:

Интеграл и его применение с примерами решения

По определению функции Интеграл и его применение с примерами решения искомая площадь Интеграл и его применение с примерами решения криволинейной трапеции равна Интеграл и его применение с примерами решения Следовательно, Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Найдите площадь Интеграл и его применение с примерами решения фигуры, ограниченной графиком функции Интеграл и его применение с примерами решения и прямыми Интеграл и его применение с примерами решенияи Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

На рисунке 26.5 изображена криволинейная трапеция, площадь которой требуется найти.

Интеграл и его применение с примерами решения

Одной из первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решения на отрезке я Интеграл и его применение с примерами решения

является функция Интеграл и его применение с примерами решения Тогда Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Найдите площадь Интеграл и его применение с примерами решения фигуры, ограниченной графиком функции Интеграл и его применение с примерами решения и прямой Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

График функции Интеграл и его применение с примерами решения пересекает прямую Интеграл и его применение с примерами решения в точках Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения (рис. 26.6). Тогда фигура, площадь которой требуется найти, является криволинейной трапецией, ограниченной графиком функции Интеграл и его применение с примерами решения и прямыми Интеграл и его применение с примерами решения Интеграл и его применение с примерами решения

Одной из первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решения на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения является функция Интеграл и его применение с примерами решения Тогда Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Определение. Пусть Интеграл и его применение с примерами решения первообразная функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения, числа Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решения принадлежат промежутку Интеграл и его применение с примерами решения. Разность Интеграл и его применение с примерами решения называют определенным интегралом функции Интеграл и его применение с примерами решения на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения

Определенный интеграл функции Интеграл и его применение с примерами решения на отрезке Интеграл и его применение с примерами решенияобозначают Интеграл и его применение с примерами решения (читают: «интеграл от а до Ъ эф от икс де икс»). Следовательно,

Интеграл и его применение с примерами решения

где Интеграл и его применение с примерами решения произвольная первообразная функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения

Например, функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения Тогда для произвольных чисел Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решения можно записать:

Интеграл и его применение с примерами решения

Заметим, что значение разности Интеграл и его применение с примерами решения не зависит от того, какую именно первообразную функции Интеграл и его применение с примерами решения выбрали.

Действительно, каждую первообразную Интеграл и его применение с примерами решения функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения можно представить в виде Интеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решения некоторая постоянная. Тогда

Интеграл и его применение с примерами решения

Равенство (1) называют формулой Ньютона—Лейбница.

Следовательно, для вычисления определенного интеграла Интеграл и его применение с примерами решения по формуле Ньютона-Лейбница надо:

  1. найти любую первообразную Интеграл и его применение с примерами решения функции Интеграл и его применение с примерами решения на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения
  2. вычислить значение первообразной Интеграл и его применение с примерами решения в точках Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения
  3. найти разность Интеграл и его применение с примерами решения

При вычислении определенных интегралов разность Интеграл и его применение с примерами решения обозначают Интеграл и его применение с примерами решения

Используя такое обозначение, вычислим, например, Интеграл и его применение с примерами решения Имеем:

Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Вычислите Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Имеем:

Интеграл и его применение с примерами решения

Если функция Интеграл и его применение с примерами решения имеет первообразную Интеграл и его применение с примерами решения на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения то из формулы Ньютона-Лейбница следует такое свойство определенного интеграла:

Интеграл и его применение с примерами решения

Действительно,

Интеграл и его применение с примерами решения

Если каждая из функций Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения имеет первообразную на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения то, используя теоремы 25.1 и 25.2, можно доказать (сделайте это самостоятельно) такие свойства определенного интеграла:

Формула Ньютона-Лейбница позволяет установить связь между определенным интегралом и площадью Интеграл и его применение с примерами решения криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции Интеграл и его применение с примерами решения и прямыми Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения

Используя теорему 26.1, можно записать: Интеграл и его применение с примерами решения

Заметим, что в этой формуле рассматриваются непрерывные функции Интеграл и его применение с примерами решения, которые на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения принимают только неотрицательные значения. Однако определенный интеграл можно использовать для вычисления площадей более сложных фигур.

Рассмотрим непрерывные на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения функции Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения такие, что для всех Интеграл и его применение с примерами решения выполняется неравенство Интеграл и его применение с примерами решения

Покажем, как найти площадь Интеграл и его применение с примерами решения фигуры Интеграл и его применение с примерами решения, ограниченной графиками функций Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения и прямыми Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения (рис. 26.7).

Перенесем фигуру Интеграл и его применение с примерами решения вверх на Интеграл и его применение с примерами решения единиц так, чтобы полученная фигура Интеграл и его применение с примерами решения находилась выше оси абсцисс (рис. 26.8). Фигура Интеграл и его применение с примерами решения ограничена графиками функций Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения и прямыми Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Поскольку фигуры Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения имеют равные площади, то искомая площадь Интеграл и его применение с примерами решения равна разности Интеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решения площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции Интеграл и его применение с примерами решения и прямыми Интеграл и его применение с примерами решения Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения (рис. 26.9, а);

Интеграл и его применение с примерами решения площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции Интеграл и его применение с примерами решения и прямыми Интеграл и его применение с примерами решения Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения (рис. 26.9, б)

Интеграл и его применение с примерами решения

Таким образом, используя свойства определенного интеграла, можем записать:

Интеграл и его применение с примерами решения

Следовательно, если функции Интеграл и его применение с примерами решенияи Интеграл и его применение с примерами решения непрерывны на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения и для всех Интеграл и его применение с примерами решения выполняется неравенство Интеграл и его применение с примерами решения то площадь Интеграл и его применение с примерами решения фигуры, ограниченной графиками функций Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения и прямыми Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения можно вычислить по формуле

Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Найдите площадь Интеграл и его применение с примерами решения фигуры, ограниченной графиками функций Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

На рисунке 26.10 изображена фигура, площадь которой требуется найти.

Интеграл и его применение с примерами решения

Решив уравнение Интеграл и его применение с примерами решения устанавливаем, что графики функций Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения пересекаются в двух точках с абсциссами Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения

Тогда искомая площадь

Интеграл и его применение с примерами решения

Вычисление объемов тел

В предыдущем пункте вы узнали, как с помощью интегрирования можно вычислять площадь криволинейной трапеции. Напомним, что если фигура ограничена графиками функций Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения и прямыми Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения (рис. 27.1), то ее площадь можно вычислить по формуле

Интеграл и его применение с примерами решения

Рассмотрим функцию Интеграл и его применение с примерами решения Величина Интеграл и его применение с примерами решения равна длине отрезка, по которому вертикальная прямая Интеграл и его применение с примерами решения пересекает данную фигуру (рис. 27.2). Следовательно, можно записать:

Интеграл и его применение с примерами решения Оказывается, что последнюю формулу можно обобщить для решения задач на вычисление объемов пространственных тел.

Интеграл и его применение с примерами решения

В пространственной прямоугольной декартовой системе координат рассмотрим тело Интеграл и его применение с примерами решения, объем которого равен Интеграл и его применение с примерами решения Пусть плоскость Интеграл и его применение с примерами решения пересекает тело Интеграл и его применение с примерами решения по фигуре с площадью Интеграл и его применение с примерами решения а проекцией тела Интеграл и его применение с примерами решения на ось абсцисс является отрезок Интеграл и его применение с примерами решения (рис. 27.3). Если Интеграл и его применение с примерами решения непрерывная на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения функция, то объем тела Интеграл и его применение с примерами решения можно вычислить по формуле

Интеграл и его применение с примерами решения

Эту формулу можно доказать, используя идею доказательства теоремы 26.1.

Покажем, как с помощью полученной формулы вывести формулу объема пирамиды.

Пусть дана пирамида с высотой Интеграл и его применение с примерами решения, равной Интеграл и его применение с примерами решения и основанием, площадь которого равна Интеграл и его применение с примерами решения (рис. 27.4). Докажем, что объем пирамиды равен Интеграл и его применение с примерами решения Введем систему координат так, чтобы вершина пирамиды Интеграл и его применение с примерами решения совпала с началом координат, а высота пирамиды Интеграл и его применение с примерами решения принадлежала положительной полуоси абсцисс (рис. 27.5). Тогда основание пирамиды лежит в плоскости Интеграл и его применение с примерами решения Поэтому проекцией пирамиды на ось абсцисс является отрезок Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Пусть плоскость Интеграл и его применение с примерами решения пересекает пирамиду по многоугольнику с площадью Интеграл и его применение с примерами решения Понятно, что плоскость сечения параллельна плоскости основания пирамиды. Поэтому многоугольник, образованный в сечении, подобен многоугольнику основания пирамиды. При этом коэффициент неподобия равен Интеграл и его применение с примерами решения Воспользовавшись теоремой об отношении площадей подобных фигур, можно записать: Интеграл и его применение с примерами решения

Отсюда Интеграл и его применение с примерами решения Теперь можно записать:

Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Фигура, ограниченная графиком функции Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения и прямыми Интеграл и его применение с примерами решения (рис. 27.6), вращается вокруг оси абсцисс, образуя тело объема Интеграл и его применение с примерами решения (рис. 27.7). Найдите Интеграл и его применение с примерами решения.

Решение:

При пересечении образовавшегося тела плоскостью Интеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решения получаем круг (рис. 27.8), радиус которого равен Интеграл и его применение с примерами решения Тогда площадь этого круга равна Интеграл и его применение с примерами решения

Поэтому

Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Вообще, имеет место такое утверждение.

Если при вращении фигуры, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения функции Интеграл и его применение с примерами решения и прямыми Интеграл и его применение с примерами решения вокруг оси абсцисс образуется тело объема Интеграл и его применение с примерами решения то

Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применения

Понятия первообразной и неопределённого интеграла

А вы знаете, что если точка двигаясь по прямой, за время t после начала движения проходит путь s(t), то её мгновенная скорость равна производной функцииИнтеграл и его применение с примерами решения. На практике встречается обратная задача: найти пройденный путь s(t), если задана скорость движения v(t).

Эту задачу можно переформулировать так: найти функцию s(t), если задана ее производная v(t).

Если Интеграл и его применение с примерами решения, то функция s(t) называется первообразной функцией функции v(t). В общем случае можно ввести такое определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(х) на заданном промежутке (a; b), если для всех х из промежутка (а; b) выполненоИнтеграл и его применение с примерами решения.

Пример:

Пусть а – заданное число, a v(t)=at. Тогда функция

Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной для функции v(t), так как Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Пусть Интеграл и его применение с примерами решения. Тогда функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной для функции Интеграл и его применение с примерами решения, так как

Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Пусть Интеграл и его применение с примерами решения, при Интеграл и его применение с примерами решения

Тогда функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной для функции Интеграл и его применение с примерами решения,

так как Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Пусть Интеграл и его применение с примерами решения,*>0, Тогда функция Интеграл и его применение с примерами решения

является первообразной для функции Интеграл и его применение с примерами решения, так как Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Докажите, что функции Интеграл и его применение с примерами решения,

Интеграл и его применение с примерами решенияявляются первообразными для функции Интеграл и его применение с примерами решения

Используя таблицу производных, мы можем написать:

Интеграл и его применение с примерами решения

Из этой задачи можно сделать вывод: Интеграл и его применение с примерами решения

где С -постоянная является первообразной функцией для функции Интеграл и его применение с примерами решения.

Действительно, Интеграл и его применение с примерами решения

Для заданной функцииИнтеграл и его применение с примерами решения её первообразная однозначно не определяется.

Именно, любая первообразная для функции Интеграл и его применение с примерами решения на некотором промежутке может быть записана в виде Интеграл и его применение с примерами решения, где F(x) – одна из первообразных для функции Интеграл и его применение с примерами решения на этом промежутке, (С -произвольная постоянная).

Совокупность всех функций вида Интеграл и его применение с примерами решения называется неопределённым интегралом функции Интеграл и его применение с примерами решения и обозначается так: Интеграл и его применение с примерами решения. Таким образом, Интеграл и его применение с примерами решения

В этом обозначении Интеграл и его применение с примерами решения – знак интеграла, f(x) – подынтегральная функция, а выражение Интеграл и его применение с примерами решения – подынтегральное выражение.

Пример:

Интеграл и его применение с примерами решения, так как согласно таблице производных, Интеграл и его применение с примерами решения .

Пример:

Интеграл и его применение с примерами решения

Так как Интеграл и его применение с примерами решения.

Пусть Интеграл и его применение с примерами решения

Согласно примеру 4. Интеграл и его применение с примерами решения

График функции Интеграл и его применение с примерами решения можно получить из графика функции Интеграл и его применение с примерами решения с помощью параллельного переноса вдоль оси Оу (рисунок 1). За счет выбора постоянной С можно добиться, чтобы график первообразной проходил через заданную точку.

Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Найдите первообразную для функции Интеграл и его применение с примерами решения, график которой проходит через точку А(3; 10).

Решение:

Любая первообразная функции Интеграл и его применение с примерами решения имеет вид Интеграл и его применение с примерами решения,

так как Интеграл и его применение с примерами решения.

Подберём постоянную С такую, чтобы график функции

Интеграл и его применение с примерами решенияпроходил через точку (3; 10): Для этого необходимо,

чтобы при х=3 выполнялось F (3)=10. Отсюда Интеграл и его применение с примерами решения, С = 1.

Следовательно, искомая первообразная имеет видИнтеграл и его применение с примерами решения .

Ответ:Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Найдите первообразную для функции Интеграл и его применение с примерами решения, график которой проходит через точку А(5; 15).

Решение:

Любая первообразная функцииИнтеграл и его применение с примерами решения имеет видИнтеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения , так как Интеграл и его применение с примерами решения Подберём постоянную С такую, чтобы график функции

Интеграл и его применение с примерами решения проходил через точку (5; 15).

Для этого необходимо, чтобы выполнялось Интеграл и его применение с примерами решения .

Значит Интеграл и его применение с примерами решения отсюда С= 3.

Следовательно, искомая первообразная имеет вид Интеграл и его применение с примерами решения

Ответ: Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Докажите, чтоИнтеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Интеграл и его применение с примерами решения

Таблица интегралов

Опираясь на таблицу производных можно составить таблицу интегралов.

Интеграл и его применение с примерами решения

Для того, чтобы функция F(x) была первообразной для функции f(х) на некотором промежутке X, необходимо, чтобы обе функции F(x) и f(х) были определены на этом промежутке X.

Например, Интеграл и его применение с примерами решения при Интеграл и его применение с примерами решения, то есть при х > 1,6, согласно таблице интегралов, первообразная равна — Интеграл и его применение с примерами решения

Используя правила дифференцирования, можно сформулировать некоторые правила интегрирования.

Пусть функции F(x) и G(x) на некотором промежутке являются первообразными для функций Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения соответственно. Справедливы правила:

Правило 1: Функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной для функции Интеграл и его применение с примерами решения, то есть Интеграл и его применение с примерами решения

Правило 2: Функция Интеграл и его применение с примерами решения является первообразной для функцииИнтеграл и его применение с примерами решения, то есть:

Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Проинтегрируйте функциюИнтеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Согласно правилу 1 и 9 пункту таблицы интегралов: Интеграл и его применение с примерами решения

Так как согласно таблице интегралов Интеграл и его применение с примерами решения

Ответ:Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Проинтегрируйте функцию Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Найдём интеграл этой функции, используя правила 1, 2 интегирования, а также пункты 1 и 10 таблицы интегралов:Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Ответ: Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Вычислить интеграл Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

При решении таких примеров удобно использовать замену переменных.

Именно, обозначим х2 + 8 = u тогда,Интеграл и его применение с примерами решения Отсюда

Интеграл и его применение с примерами решения

Проверка: Найдём производную от полученной функции и получим

подынтегральную функциюИнтеграл и его применение с примерами решения. Действительно,

Интеграл и его применение с примерами решения

Ответ: Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Вычислить интегралИнтеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Сделаем замену sinx = t. Тогда Интеграл и его применение с примерами решения и заданный интеграл

получит вид Интеграл и его применение с примерами решения . Согласно пункту 3 таблицы интегралов Интеграл и его применение с примерами решения,

Интеграл и его применение с примерами решения

Проверка. Интеграл и его применение с примерами решения

Ответ: Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Вычислить интеграл Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

При вычислении этого интеграла помогает тождество Интеграл и его применение с примерами решения

Тогда

Интеграл и его применение с примерами решения

Ответ: Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Вычислить интеграл Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Согласно тождеству Интеграл и его применение с примерами решения и пункту 10 таблицы интегралов: Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Ответ: Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Вычислить интеграл Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Для подынтегральной функции справедлива равенства: Интеграл и его применение с примерами решения

Тогда Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Ответ: Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Вычислить интеграл Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Для вычисления этого интеграла воспользуемся Интеграл и его применение с примерами решения

и Интеграл и его применение с примерами решения. Тогда Интеграл и его применение с примерами решения

Проверка:

Интеграл и его применение с примерами решения

Ответ: Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Вычислить интеграл Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Для вычисления этого интеграла воспользуемся Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Ответ: Интеграл и его применение с примерами решения

Приведём также правило интегрирования по частям.

Правило 3*.

Если на некотором интервале X функции Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решенияимеют непрерывные производные Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения, то справедлива формула

Интеграл и его применение с примерами решения (1)

Эта формула называется формулой интегрирования по частям.

Доказательство формулы следует из правила дифференцирования произведения функций Интеграл и его применение с примерами решенияи Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Примечание. Для использования этого правила: 1) Подъинтсграль-ная функция представляется в виде произведения Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения; 2) выражения Интеграл и его применение с примерами решенияи Интеграл и его применение с примерами решения подбираются таким образом, чтобы интеграл в правой части формулы вычислялся непосредственно.

Пример:

Вычислить интегралИнтеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Подберём Интеграл и его применение с примерами решения. Поэтому

Интеграл и его применение с примерами решения. Согласно (1), Интеграл и его применение с примерами решения

Поэтому Интеграл и его применение с примерами решения

Ответ: Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Вычислить интегралИнтеграл и его применение с примерами решения .

Решение:

Представим подынтегральную функцию Интеграл и его применение с примерами решенияв виде произведения функцийИнтеграл и его применение с примерами решения. Поэтому:Интеграл и его применение с примерами решения.

Тогда Интеграл и его применение с примерами решения

Согласно формуле (1),

Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Значит, Интеграл и его применение с примерами решения

Проверка:

Интеграл и его применение с примерами решения

Ответ: Интеграл и его применение с примерами решения

Пример 3.

Для нахождения интеграла удобно положить Интеграл и его применение с примерами решения.

Решение:

В этом случае Интеграл и его применение с примерами решения(здесь мы взяли первообразную без постоянной С). Согласно формуле интегрирования по частям,

Интеграл и его применение с примерами решения

Ответ: Интеграл и его применение с примерами решения

Определенный интеграл, формула ньютона – лейбница

Фигура, изображённая на рисунке 2, называется криволинейной трапецией. Криволинейная трапеция – фигура, ограниченная сверху графиком функции Интеграл и его применение с примерами решения, снизу – отрезком [а; b], а по бокам -отрезками прямых х = а, х = b. Отрезок[а; b] называется основанием криволинейной трапеции.

Возникает вопрос: «Как вычислить площадь криволинейной трапеции?»

Обозначим эту площадь через S. Оказывается, площадь S можно вычислить, опираясь на первообразную для функции f(х). Приведём соответствующие рассуждения.Интеграл и его применение с примерами решения

Обозначим площадь криволинейной трапеции с основанием [a; х] через S (х) (рисунок 3). Точка х – произвольная точка из отрезка [a; b]. В случае х = а отрезок [а; х] превращается в точку, поэтому S(a)=0; а при х = b S(b) = S.

Покажем, что функция S(х) является первообразной для функции f(х), то есть Интеграл и его применение с примерами решения.

Интеграл и его применение с примерами решения

Рассмотрим разность Интеграл и его применение с примерами решения, где h > 0 (случай h < 0 рассматривается аналогично). Эта разность равна площади криволинейной трапеции с основанием [х; x + h] (рисунок 4). Отмeтим, что при достаточно малых h эта площадь приблизительно равна Интеграл и его применение с примерами решения то есть Интеграл и его применение с примерами решения Значит, Интеграл и его применение с примерами решения

По определению производной, левая часть этого приближенного равенства при Интеграл и его применение с примерами решения стремится к S'(х). Поэтому при Интеграл и его применение с примерами решения получим равенство Интеграл и его применение с примерами решения. Поэтому S(x) является первообразной для функции Интеграл и его применение с примерами решения

Первообразная S(x) отличается от произвольной первообразной F(x) па постоянную величину, то естьИнтеграл и его применение с примерами решения

Положим в этом равенстве х=а получим Интеграл и его применение с примерами решения Отсюда следует, что Интеграл и его применение с примерами решения. Тогда равенство (1) можно записать в виде: Интеграл и его применение с примерами решения. Положим в этом равенстве х=b, получим Интеграл и его применение с примерами решения.

Значит, площадь криволинейной трапеции (рисунок 2) можно вычислить по формуле: Интеграл и его применение с примерами решения, (2)

где F(x) – любая первообразная для функции f (х).

Таким образом, вычисление площади криволинейной трапеции сводится к нахождению первообразной функции F(x) для функции f(х), то есть к интегрированию функции f(х).

Разность F(b) F(a) называется определённым интегралом от функции f(х) на отрезке [а; b] и обозначается так: Интеграл и его применение с примерами решения (читается как «интеграл от а до б от эф икс де икс»).

Таким образом, Интеграл и его применение с примерами решения

Формула (3) называется формулой Ньютона-Лейбница. Из (2) и (3) имеем:

Интеграл и его применение с примерами решения

Обычно при вычислении определенного интеграла принято обозначение:

Интеграл и его применение с примерами решения. В этом случае: Интеграл и его применение с примерами решения

Приведём дополнительные сведения.

Задачу нахождения криволинейной фигуры свели к вычислению определённого интеграла. Рассмотрим непрерывную функцию, определённую на отрезке [а; b]. Разобьем этот отрезок точками а=х0, х1.., х1-n , хn= b на равные отрезки Интеграл и его применение с примерами решения, и на каждом из этих отрезков Интеграл и его применение с примерами решения, отметим произвольную точку Интеграл и его применение с примерами решения . Умножим длину Интеграл и его применение с примерами решения отрезка Интеграл и его применение с примерами решенияна значение Интеграл и его применение с примерами решения заданной функции f(х) в точке Интеграл и его применение с примерами решения и составим сумму

Интеграл и его применение с примерами решения (6)

Видно, что каждое слагаемое в этой сумме есть площадь прямоугольника с основанием Интеграл и его применение с примерами решения и высотой Sn. Тогда сумма S приближенно равна площади криволинейной трапеции Интеграл и его применение с примерами решения (рисунок 5).

Интеграл и его применение с примерами решения

Сумма (6) называется интегральной суммой функции f(х) по отрезку [а; b]. Пусть при стремлении n к бесконечностиИнтеграл и его применение с примерами решения стремится к нулю. Тогда интегральная сумма Sn стремится к некоторому числу. Вот это число называется определенным интегралом от функции f (х) на отрезке [а; b].

Пример:

Найдите площадь криволинейной трапеции, изображённой на рисунке 6.

Решение:

Согласно формуле (4) Интеграл и его применение с примерами решения. Вычислим это значение по

формуле Ньютона – Лейбиица (3). Очевидно, что функция

Интеграл и его применение с примерами решения одна из первообразных для функцииИнтеграл и его применение с примерами решения. Значит, Интеграл и его применение с примерами решения Ответ: S = 21 (кв. единиц).

Пример:

Найдите площадь заштрихованной фигуры на рисунке 7.

Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

По формуле Ньютона-Лейбница и формуле (5): Интеграл и его применение с примерами решения (кв.единиц) Ответ: 2 (кв.единиц). Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Вычислить определённый интеграл Интеграл и его применение с примерами решения.

Решение:

По формуле Ньютона-Лейбница и формуле (5):

Интеграл и его применение с примерами решения

Ответ: 0. Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Вычислить определённый интеграл Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

По формуле Ньютона-Лейбница и формуле (5):

Интеграл и его применение с примерами решения

Ответ: 13,5. Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Вычислить определенный интеграл Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Сначала найдём неопределенный интеграл: Интеграл и его применение с примерами решения

Значит Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Ответ: Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Вычислить определённый интеграл Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Сначала найдем неопределенный интеграл:

Согласно таблице интегралов Интеграл и его применение с примерами решения Значит Интеграл и его применение с примерами решения Ответ: Интеграл и его применение с примерами решения

Определённый интеграл обладает следующими свойствами:

1.Интеграл и его применение с примерами решения Действительно Интеграл и его применение с примерами решения

2. Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Значит, Интеграл и его применение с примерами решения

3.Пусть а, b, с – действительные числа. Тогда

Интеграл и его применение с примерами решения

(свойство аддитивности определённого интеграла).

4.Пусть Интеграл и его применение с примерами решения – четная функция, тогда Интеграл и его применение с примерами решения

5.Если Интеграл и его применение с примерами решения, тогда Интеграл и его применение с примерами решения.

6.Если Интеграл и его применение с примерами решения,тогда Интеграл и его применение с примерами решения.

——

Эйлеровы интегралы

Определение 1. Эйлеровым интегралом 1-го рода или бета-функцией называется интеграл Интеграл и его применение с примерами решения
Эйлеровым интегралом 2-го рода или гамма-функцией называется интеграл
Интеграл и его применение с примерами решения (2)
Теорема 1. При Интеграл и его применение с примерами решения интеграл (1) сходится.
Доказательство.
Интеграл и его применение с примерами решения
Если Интеграл и его применение с примерами решения то функция Интеграл и его применение с примерами решения− ограничена, при Интеграл и его применение с примерами решения сходится, поэтому Интеграл и его применение с примерами решения – сходится .
Если Интеграл и его применение с примерами решения то функция Интеграл и его применение с примерами решения− ограничена, при Интеграл и его применение с примерами решениясходится, поэтому Интеграл и его применение с примерами решения – сходится.
Таким образом Интеграл и его применение с примерами решения сходится.
Теорема 2. При a >0 интеграл (2) – сходится.
Доказательство.
Интеграл и его применение с примерами решения
Если x∈[0,1], то функция Интеграл и его применение с примерами решения − ограничена, при Интеграл и его применение с примерами решениясходится, поэтому
Интеграл и его применение с примерами решения-сходится.
Если Интеграл и его применение с примерами решения− ограничена, Интеграл и его применение с примерами решения
сходится, поэтому Интеграл и его применение с примерами решения -сходится.
Следовательно Интеграл и его применение с примерами решения сходится.

Свойства функций В(а,b), Г(а)

Найти Интеграл и его применение с примерами решения
Решение. По формуле (11): Интеграл и его применение с примерами решения
n.4. Перепишем формулу (4) в виде:  Интеграл и его применение с примерами решения (14)
что позволяет доопределить функцию Г (а) для отрицательных значений а:
Интеграл и его применение с примерами решения
Пример 2.

Найти Интеграл и его применение с примерами решения
Решение.
Интеграл и его применение с примерами решения

Пример 3.

Вычислить интеграл Интеграл и его применение с примерами решения
Решение.
Интеграл и его применение с примерами решения
 

n.5. Рассмотрим
Интеграл и его применение с примерами решения
Поэтому Интеграл и его применение с примерами решения значение интеграла Пуассона.

—-в математике

Интеграл и его применение

1. Первообразная

Определение:

  • Функция F (х) называется первообразной для функции Интеграл и его применение с примерами решения на заданном промежутке, если для любого х из этого промежутке F’ (х) = f (х).

Пример:

Для функции Интеграл и его применение с примерами решения на интервалеИнтеграл и его применение с примерами решенияпервообразной является функция Интеграл и его применение с примерами решения поскольку Интеграл и его применение с примерами решения

2. Основное свойство первообразной

Свойство:

Пример:

Поскольку функция Интеграл и его применение с примерами решения яляется первообразной для функции Интеграл и его применение с примерами решения на интервале Интеграл и его применение с примерами решения (см. выше), то общий вид всех первообразных для функции Интеграл и его применение с примерами решения можно записать следующим образом: Интеграл и его применение с примерами решения где С — произвольная постоянная.

Геометрический смысл:

  • Графики любых первообразных для данной функции получаются один из другого параллельным переносом вдоль оси Оу.

Интеграл и его применение с примерами решения

3. Неопределенный интеграл

Определение:

Совокупность всех первообразных для данной функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается символом Интеграл и его применение с примерами решения то естьИнтеграл и его применение с примерами решения где F (х) — одна из первообразных для функции f(x), а С — произвольная постоянная.

Пример:

Интеграл и его применение с примерами решения поскольку для функции Интеграл и его применение с примерами решения на интервале Интеграл и его применение с примерами решения все первообразные можно записать следующим образом:Интеграл и его применение с примерами решения .

4. Правила нахождения первообразных (правила интегрирования)

  1. Если F — первообразная для f, a G — первообразная для g, то F + G — первообразная для f + g. Первообразная для суммы равна сумме первообразных для слагаемых.
  2. Если F — первообразная для f и с — постоянная, то cF — первообразная для функции Интеграл и его применение с примерами решения
  3. Если F — первообразная для f, а k и b — постоянные (причем Интеграл и его применение с примерами решения то Интеграл и его применение с примерами решения — первообразная для функции Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

5. Таблица первообразных (неопределенных интегралов) Функция Интеграл и его применение с примерами решения

  • 1.Интеграл и его применение с примерами решения
  • 2.Интеграл и его применение с примерами решения
  • 3.Интеграл и его применение с примерами решения
  • 4.Интеграл и его применение с примерами решения

Общий вид первообразныхИнтеграл и его применение с примерами решения где С — произвольная постоянная

  1. 1.Интеграл и его применение с примерами решения
  2. 2.Интеграл и его применение с примерами решения
  3. 3.Интеграл и его применение с примерами решения
  4. 4.Интеграл и его применение с примерами решения

Запись с помощью неопределенного интеграла

  • 1.Интеграл и его применение с примерами решения
  • 2.Интеграл и его применение с примерами решения
  • 3.Интеграл и его применение с примерами решения
  • 4.Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Объяснение и обоснование:

Понятие первообразной. Основное свойство первообразной

В первом разделе мы по заданной функции находили ее производную и применяли эту операцию дифференцирования к решению разнообразных задач. Одной из таких задач было нахождение скорости и ускорения прямолинейного движения по известному закону изменения координаты х (t) материальной точки: Интеграл и его применение с примерами решения Например, если в начальный момент времени t = 0 скорость тела равна нулю, то есть v (0) = 0, то при свободном падении тело на момент времени t пройдет путь Интеграл и его применение с примерами решения Тогда скорость и ускорение находят с помощью дифференцирования: Интеграл и его применение с примерами решения

Важно уметь не только находить производную заданной функции, но и решать обратную задачу: находить функцию f (х) по ее заданной производной Интеграл и его применение с примерами решения Например, в механике часто приходится определять координату х (t), зная закон изменения скорости v(t), а также определять скорость v (t), зная закон изменения ускорения Интеграл и его применение с примерами решения Нахождение функции f (х) по ее заданной производной f’ (х) называют операцией интегрирования.

Таким образом, операция интегрирования является обратной операции дифференцирования. Операция интегрирования позволяет по заданной производной f’ (х) найти (восстановить) функцию Интеграл и его применение с примерами решения(латинское слово integratio означает «восстановление»).

Приведем определения понятий, связанных с операцией интегрирования.

Функция F (х) называется первообразной для функции f (х) на данном промежутке, если для любого х из этого промежутка Интеграл и его применение с примерами решения

Например, для функции Интеграл и его применение с примерами решения на интервалеИнтеграл и его применение с примерами решенияпервообразной является функцияИнтеграл и его применение с примерами решения поскольку Интеграл и его применение с примерами решения

Отметим, что функция Интеграл и его применение с примерами решения имеет ту же производную Интеграл и его применение с примерами решенияСледовательно, функцияИнтеграл и его применение с примерами решения также является первообразной для функцииИнтеграл и его применение с примерами решения на множестве R. Понятно, что вместо числа 5 можно подставить любое другое число. Поэтому задача нахождения первообразной имеет бесконечное множество решений. Найти все эти решения позволяет основное свойство первообразной.

Если функция F (х) является первообразной для функции f (х) на заданном промежутке, а С — произвольной постоянной, то функция F (х) + С также является первообразной для функции Интеграл и его применение с примерами решения при этом любая первообразная для функции Интеграл и его применение с примерами решенияна данном промежутке может быть записана в виде F (х) + С, где С — произвольная постоянная.

Выражение F (х) + С называют общим видом первообразных для функции f (х).

Интеграл и его применение с примерами решения 1) По условию функция F (х) является первообразной для функции f (х) на некотором промежутке I. Следовательно, F’ (х) = f (х) для любого х из этого промежуткаИнтеграл и его применение с примерами решения ТогдаИнтеграл и его применение с примерами решениято есть F (х) + С также является первообразной для функции f (х).

2) Пусть функцияИнтеграл и его применение с примерами решения — другая первообразная для функции f (х) на том же промежутке I, то есть Интеграл и его применение с примерами решения для всехИнтеграл и его применение с примерами решенияТогда Интеграл и его применение с примерами решения По условию постоянства функции, если производная функции Интеграл и его применение с примерами решения равна нулю на промежутке I, то эта функция принимает некоторое постоянное значение С на этом промежутке. Следовательно, для всех Интеграл и его применение с примерами решения функцияИнтеграл и его применение с примерами решения Отсюда Интеграл и его применение с примерами решения Таким образом, любая первообразная для функции f (х) на данном промежутке может быть записана в виде F (х) + С, где С — произвольная постоянная.Интеграл и его применение с примерами решения Например, поскольку для функции f (х) = 2х на интервале Интеграл и его применение с примерами решения одной из первообразных является функция Интеграл и его применение с примерами решения(действительно, F’ (х) =Интеграл и его применение с примерами решения то общий вид всех первообразных функции Интеграл и его применение с примерами решенияможно записать так: Интеграл и его применение с примерами решения где С — произвольная постоянная.

Замечание. Для краткости при нахождении первообразной функции f (х) промежуток, на котором задана функция Интеграл и его применение с примерами решения, чаще всего не указывают. При этом имеются в виду промежутки возможно большей длины.

Геометрически основное свойство первообразной означает, что графики любых первообразных для данной функции f (х) получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу (рис. 100). Действительно, график произвольной первообразной F (х) + С можно получить из графика первообразной F (х) параллельным переносом вдоль оси Оу на С единиц.

Интеграл и его применение с примерами решения

  • Заказать решение задач по высшей математике

Неопределенный интеграл

Пусть функция f (х) имеет на некотором промежутке первообразную F (х). Тогда по основному свойству первообразной совокупность всех первообразных для функции f (х) на заданном промежутке задается формулой F (х) + С, где С — произвольная постоянная.

Совокупность всех первообразных для данной функции f (х) называется неопределенным интегралом и обозначается символом Интеграл и его применение с примерами решения то есть Интеграл и его применение с примерами решениягде F (х) — одна из первообразных для функции f (х), а С — произвольная постоянная.

В приведенном равенстве знакИнтеграл и его применение с примерами решения называют знаком интеграла, функцию Интеграл и его применение с примерами решения — подынтегральной функцией, выражение f (х) dx — подынтегральным выражением, переменную х — переменной интегрирования и слагаемое С — постоянной интегрирования.

Например, как отмечалось выше, общий вид первообразных для функции Интеграл и его применение с примерами решениязаписывается так: Интеграл и его применение с примерами решения следовательно, Интеграл и его применение с примерами решения

Правила нахождения первообразных (правила интегрирования)

Эти правила аналогичны соответствующим правилам дифференцирования.

Правило 1. Если F — первообразная для f, a G — первообразная для g, то F + G — первообразная для f + g.

Первообразная для суммы равна сумме первообразных для слагаемых.

1 ) Действительно, если F — первообразная для f (в этой кратком формулировке имеется в виду, что функция F(x) — первообразная для функции f (х)), то F’ = f. Аналогично, если G — первообразная для g, то G’ = g. Тогда по правилу вычисления производной суммы имеем (F + G)’ = F’ + G’ = f + g, а это и означает, что F + G — первообразная для f + g. Интеграл и его применение с примерами решенияС помощью неопределенного интеграла это правило можно записать так:

Интеграл и его применение с примерами решения

то есть интеграл от суммы равен сумме интегралов от слагаемых. Отметим, что правило 1 может быть распространено на любое количестве слагаемых (поскольку производная от любого количества слагаемых равна сумме производных слагаемых).

Правило 2. Если F — первообразная для Интеграл и его применение с примерами решения — постоянная, то cF — первообразная для функции cf.

Интеграл и его применение с примерами решения Действительно, если F — первообразная для f, то F’ = f. Учитывая, что постоянный множитель можно выносить за знак производной, имеем Интеграл и его применение с примерами решения следовательно, cF — первообразная для cf.Интеграл и его применение с примерами решения

С помощью неопределенного интеграла это правило можно записать так:

Интеграл и его применение с примерами решения где с — постоянная, то есть постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Правило З. Если F — первообразная для f,Интеграл и его применение с примерами решения — постоянные (причемИнтеграл и его применение с примерами решения тоИнтеграл и его применение с примерами решения— первообразная для функции Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения Действительно, если F — первообразная для f, то F’ = f. Учитывая правило вычисления производной сложной функции, имеем

Интеграл и его применение с примерами решения

а это и означает, что Интеграл и его применение с примерами решения — первообразная для функции Интеграл и его применение с примерами решения

С помощью неопределенного интеграла это правило можно записать так: Интеграл и его применение с примерами решения

Таблица первообразных (неопределенных интегралов)

Для вычисления первообразных (или неопределенных интегралов), кроме правил нахождения первообразных, полезно помнить табличные значения первообразных для некоторых функций. Чтобы обосновать правильность этих формул, достаточно проверить, что производная от указанной первообразной (без постоянного слагаемого С) равна заданной функции. Это будет означать, что рассмотренная функция действительно является первообразной для заданной функции. Поскольку в записи всех первообразных во второй колонке присутствует постоянное слагаемое С, то по основному свойству первообразных можно сделать вывод, что это действительно общий вид всех первообразных заданной функции. Приведем обоснование формул для нахождения первообразных функций Интеграл и его применение с примерами решенияа для других функций предлагаем провести аналогичную проверку самостоятельно.

Интеграл и его применение с примерами решенияДля всех Интеграл и его применение с примерами решения

Следовательно, функцияИнтеграл и его применение с примерами решения является первообразной для функции Интеграл и его применение с примерами решения Тогда по основному свойству первообразных общий вид всех первообразных для функции Интеграл и его применение с примерами решения будет Интеграл и его применение с примерами решения

С помощью неопределенного интеграла это утверждение записывается так:

Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решенияУ функции Интеграл и его применение с примерами решения область определения Интеграл и его применение с примерами решения Рассмотрим функцию

Интеграл и его применение с примерами решения

Следовательно, на каждом из промежутков Интеграл и его применение с примерами решенияфункция

Интеграл и его применение с примерами решенияявляется первообразной для функции Интеграл и его применение с примерами решения Тогда

общий вид всех первообразных для функции Интеграл и его применение с примерами решения С помощью неопределенного интеграла это утверждение записывается так:

Интеграл и его применение с примерами решения

Примеры решения задач:

Пример №292

Проверьте, что функция Интеграл и его применение с примерами решенияявляется первообразной для функции Интеграл и его применение с примерами решения на промежутке Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Интеграл и его применение с примерами решения а это и означает, что F (х) является первообразной для функции Интеграл и его применение с примерами решения

Комментарий:

По определению функция F (х) является первообразной для функции f (х), если Интеграл и его применение с примерами решения

Пример №293

1) Найдите одну из первообразных для функцииИнтеграл и его применение с примерами решения

2) Найдите все первообразные для функции Интеграл и его применение с примерами решения

3*) Найдите Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Интеграл и его применение с примерами решения 1) Одной из первообразных для функции Интеграл и его применение с примерами решенияна множестве R

будет функция Интеграл и его применение с примерами решения поскольку Интеграл и его применение с примерами решения

Комментарий:

1) Первообразную для функции Интеграл и его применение с примерами решения можно попытаться найти подбором. При этом можно рассуждать так: чтобы после нахождения производной получить Интеграл и его применение с примерами решения необходимо брать производную от Интеграл и его применение с примерами решения Но Интеграл и его применение с примерами решения Чтобы производная равняласьИнтеграл и его применение с примерами решениядостаточно поставить перед функцией Интеграл и его применение с примерами решения коэффициент Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения 2) По основному свойству первообразных все первообразные для функции Интеграл и его применение с примерами решения можно записать в виде 1Интеграл и его применение с примерами решения где С — произвольная. Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения где С — произвольная постоянная.Интеграл и его применение с примерами решения Проще непосредственно использовать формулу из пункта 5 таблицы 17: одной из первообразных для для функции Интеграл и его применение с примерами решенияявляется функция Интеграл и его применение с примерами решения

2) если мы знаем одну первообразную F (х) для функции f (х), то по основному свойству первообразных любую первообразную для функции f (х) можно записать в виде F (х) + С, где С — произвольная постоянная.

3) По определениюИнтеграл и его применение с примерами решения то есть неопределенный интеграл Интеграл и его применение с примерами решения– это просто специальное обозначение общего вида всех первообразных для данной функции f (х) (которые мы уже нашли в пункте 2 решения).

Пример №294

Для функции Интеграл и его применение с примерами решения найдите первообразную, график которой проходит через точку М (9; 10).

Решение:

Интеграл и его применение с примерами решенияОбщий вид всех первообразных для функции f (х) следующий:

Интеграл и его применение с примерами решения

По условию график первообразной проходит через точку М (9; 10). Следовательно, при х = 9 получаемИнтеграл и его применение с примерами решения

Отсюда С = -8. Тогда искомая первообразная: Интеграл и его применение с примерами решения

Комментарий:

Сначала запишем общий вид первообразных для заданной функции F(x) + С, затем воспользуемся тем, что график полученной функции проходит через точку М (9; 10). Следовательно, при х = 9 значение функции F (х) + С равно 10. Чтобы найти первообразную для функцииИнтеграл и его применение с примерами решенияучтем, что область определения этой функции Интеграл и его применение с примерами решения Тогда эту функцию можно записать так: Интеграл и его применение с примерами решения и использовать формулу нахождения первообразной для функцииИнтеграл и его применение с примерами решения а именно:Интеграл и его применение с примерами решения

Пример №295

Найдите общий вид первообразных для функции

Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Интеграл и его применение с примерами решенияЗапишем одну из первообразных для каждого слагаемого. Для функции Интеграл и его применение с примерами решения

первообразной является функция Интеграл и его применение с примерами решения Второе слагаемое запишем так: Интеграл и его применение с примерами решения Тогда первообразной для этой функции будет функция:

Интеграл и его применение с примерами решения

Первообразной для функции будет функцияИнтеграл и его применение с примерами решения будет функция Интеграл и его применение с примерами решения

Тогда общий вид первообразных для заданной функции будет:

Интеграл и его применение с примерами решения

Комментарий:

Используем правила нахождения первообразных. Сначала обратим внимание на то, что заданная функция является алгебраической суммой трех слагаемых. Следовательно, ее первообразная равна соответствующей алгебраической сумме первообразных для слагаемых (правило 1). Затем учтем, что все функции-слагаемые являются сложными функциями от аргументов видаИнтеграл и его применение с примерами решенияСледовательно, по правилу 3 мы должны перед каждой функцией-первообразной (аргументаИнтеграл и его применение с примерами решения), которую мы получим по таблице первообразных, поставить 1 множитель Интеграл и его применение с примерами решения

Для каждого из слагаемых удобно сначала записать одну из первообразных (без постоянного слагаемого С), а затем уже записать общий вид первообразных для заданной функции (прибавить к полученной функции постоянное слагаемое С).

Для третьего слагаемого также учтем, что постоянный множитель 2 можно поставить перед соответствующей первообразной (правило 2).

Для первого слагаемого учитываем, что первообразной для Интеграл и его применение с примерами решенияявляется (-ctg х), для второго первообразной для Интеграл и его применение с примерами решения являетсяИнтеграл и его применение с примерами решениятретьего — первообразной для cos х является sin х (конечно, преобразование второго слагаемого выполняются на области определения этой функции, то есть при 2 – х > 0).

Определенный интеграл и его применение

1. Вычисление определенного интеграла (формула Ньютона-Лейбница)

Формула:

Если функция f (х) определена и непрерывна на отрезке [а; b], a F (х)— произвольная ее первообразная на этом отрезке (то есть F’ (х) = f (х)), то

Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Так как для функцииИнтеграл и его применение с примерами решения одной из первообразных является

Интеграл и его применение с примерами решения

2. Криволинейная трапеция

Определение:

Пусть на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения оси Ох задана непрерывная функция f(x), принимающая на этом отрезке только неотрицательные значения. Фигуру, ограниченную графиком функции у = f (х), отрезкомИнтеграл и его применение с примерами решения оси Ох и прямыми х = а и Интеграл и его применение с примерами решенияназывают криволинейной трапецией.

Иллюстрация:

Интеграл и его применение с примерами решения

3. Площадь криволинейной трапеции

Формула:

Интеграл и его применение с примерами решения

Пример:

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Изображая эти линии, видим, что заданная фигура — криволинейная трапеция. Тогда Интеграл и его применение с примерами решения

4. Свойства определенных интегралов Интеграл и его применение с примерами решения Интеграл и его применение с примерами решения

Если функция f (х) интегрируема на Интеграл и его применение с примерами решенияи Интеграл и его применение с примерами решениятоиИнтеграл и его применение с примерами решения

5. Определение определенного интеграла через интегральные суммыИнтеграл и его применение с примерами решения

Пусть функция Интеграл и его применение с примерами решения непрерывна на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения. Выполним следующие операции.

  1. Разобьем отрезок Интеграл и его применение с примерами решения на Интеграл и его применение с примерами решения отрезков точками Интеграл и его применение с примерами решения (полагаем, что Интеграл и его применение с примерами решения
  2. Обозначим длину первого отрезка через Интеграл и его применение с примерами решения, второго — черезИнтеграл и его применение с примерами решения и т. д. (то есть Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения
  3. На каждом из полученных отрезков выберем произвольную точку Интеграл и его применение с примерами решения
  4. Составим суммуИнтеграл и его применение с примерами решения

Эту сумму называют интегральной суммой функции Интеграл и его применение с примерами решенияна отрезке Интеграл и его применение с примерами решения

Если Интеграл и его применение с примерами решения и длины отрезков разбиения стремятся к нулю, то интегральная сумма Интеграл и его применение с примерами решения стремится к некоторому числу, которое называют определенным интегралом функцииИнтеграл и его применение с примерами решения на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения и обозначаютИнтеграл и его применение с примерами решения

Объяснение и обоснование:

Геометрический смысл и определение определенного интеграла

Как отмечалось, интегрирование — это действие, обратное дифференцированию. Оно позволяет по заданной производной функции найти (восстановить) эту функцию. Покажем, что эта операция тесно связана с задачей вычисления площади.

Например, в механике часто приходится определять координату Интеграл и его применение с примерами решения точки при прямолинейном движении, зная закон изменения ее скорости Интеграл и его применение с примерами решения (напомним, что Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Рассмотрим сначала случай, когда точка двигается с постоянной скоростью Интеграл и его применение с примерами решения Графиком скорости в системе координат Интеграл и его применение с примерами решения является прямая Интеграл и его применение с примерами решения, параллельная оси времени t (рис. 101). Если считать, что в начальный момент времени t = 0 точка находилась в начале координат, то ее путь s, пройденный за время t, вычисляется по формуле Интеграл и его применение с примерами решения. Величина Интеграл и его применение с примерами решения равна площади прямоугольника, ограниченного графиком скорости, осью абсцисс и двумя вертикальными прямыми, то есть путь точки можно вычислить как площадь под графиком скорости.

Рассмотрим случай неравномерного движения. Теперь скорость можно считать постоянной только на маленьком отрезке времени Интеграл и его применение с примерами решения. Если скорость v изменяется по закону v = v (t), то путь, пройденный за отрезок времени Интеграл и его применение с примерами решения приближенно выражается произведениемИнтеграл и его применение с примерами решения. А на графике это произведение равно площади прямоугольника со сторонами Интеграл и его применение с примерами решения (рис. 102). Точное значение пути за отрезок времени Интеграл и его применение с примерами решения равно площади криволинейной трапеции, выделенной на этом рисунке. Тогда весь путь за отрезок времени Интеграл и его применение с примерами решения может быть вычислен в результате сложения площадей таких криволинейных трапеций, то есть путь будет равняться площади заштрихованной фигуры под графиком скорости (рис. 103).

Приведем соответствующие определения и обоснования, которые позволяют сделать эти рассуждения более строгими.

Пусть на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения оси Интеграл и его применение с примерами решения задана непрерывная функция Интеграл и его применение с примерами решения, которая принимает на этом отрезке только положительные значения. Фигуру, ограниченную графиком функции Интеграл и его применение с примерами решения отрезком Интеграл и его применение с примерами решения оси Интеграл и его применение с примерами решения и прямыми Интеграл и его применение с примерами решения, называют криволинейной трапецией (рис. 104).

Отрезок Интеграл и его применение с примерами решения называют основанием этой криволинейной трапеции. Выясним, как можно вычислить площадь криволинейной трапеции с помощью первообразной для функции f (х).

Интеграл и его применение с примерами решения

Обозначим через S (х) площадь криволинейной трапеции с основанием [а; х] (рис. 105, а), где х — любая точка отрезка Интеграл и его применение с примерами решения При х = а отрезок [а; х] вырождается в точку, и поэтому S (а) = 0, при х = b имеем S (6) = S, где S — площадь криволинейно

Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решенияПокажем, что S (х) является первообразной для функции Интеграл и его применение с примерами решения, то есть чтоИнтеграл и его применение с примерами решения

По определению производной нам необходимо доказать, что Интеграл и его применение с примерами решения

при Интеграл и его применение с примерами решения Для упрощения рассуждений рассмотрим случайИнтеграл и его применение с примерами решения (случай Интеграл и его применение с примерами решения рассматривается аналогично).

Поскольку Интеграл и его применение с примерами решения, то геометрически Интеграл и его применение с примерами решения — площадь фигуры, выделенной на рисунке 105, б.

Рассмотрим теперь прямоугольник с такой же площадью AS, одной из сторон которого является отрезокИнтеграл и его применение с примерами решения (рис. 105, в). Поскольку функция f (х) непрерывна, то верхняя сторона этого прямоугольника пересекает график функции в некоторой точке с абсциссой Интеграл и его применение с примерами решения(иначе, рассмотренный прямоугольник или содержит криволинейную трапецию, выделенную на рисунке 105, в, или содержится в ней, и соответственно его площадь будет больше или меньше площади Интеграл и его применение с примерами решения). Высота прямоугольника равна f (с).

По формуле площади прямоугольника имеем Интеграл и его применение с примерами решения. ТогдаИнтеграл и его применение с примерами решения(Эта формула будет верной и при Интеграл и его применение с примерами решения

Поскольку точка с лежит междуИнтеграл и его применение с примерами решения то с стремится к х, если Интеграл и его применение с примерами решенияУчитывая непрерывность функции f (х), также получаем, что то есть S (х) является первообразной для функции Интеграл и его применение с примерами решения

Поскольку S (х) является первообразной для функции f (х), то по основному свойству первообразных любая другая первообразная F (х) для функции f (х) для всех Интеграл и его применение с примерами решения отличается от S (х) на постоянную С, то есть

Интеграл и его применение с примерами решения

Чтобы найти С, подставим х = а. Получаем F (а) = S (а) + С. Поскольку S (а) = 0, то С = F (а), и равенство (1) можно записать так:

Интеграл и его применение с примерами решения

Учитывая, что площадь криволинейной трапеции равна S (b), подставляем в формулу (2) х = b и получаем S = S (b) = F (b) – F (а). Следовательно, площадь криволинейной трапеции (рис. 104) можно вычислить по формуле

Интеграл и его применение с примерами решения

где Интеграл и его применение с примерами решения— произвольная первообразная для функции Интеграл и его применение с примерами решения

Таким образом, вычисление площади криволинейной трапеции сводится к нахождению первообразной F (х) для функции f (x), то есть к интегрированию функции f (х).

Разность Интеграл и его применение с примерами решения называют определенным интегралом функции Интеграл и его применение с примерами решенияна отрезкеИнтеграл и его применение с примерами решения и обозначают так: Интеграл и его применение с примерами решения

ЗаписьИнтеграл и его применение с примерами решения читается: «Интеграл от а до b эф от икс де икс». Числа а и b называются пределами интегрирования: а — нижним пределом, b — верхним. Следовательно, по приведенному определению

Интеграл и его применение с примерами решения

Формулу (4) называют формулой Ньютона—Лейбница.

Вычисляя определенный интеграл, удобно разность F (b) -F (а) обозначать следующим образом: Интеграл и его применение с примерами решения Пользуясь этим обозначением, формулу Ньютона-Лейбница можно записать в следующем виде:

Интеграл и его применение с примерами решения

Например, поскольку для функцииИнтеграл и его применение с примерами решения одной из первообразных является Интеграл и его применение с примерами решения

Отметим, что в том случае, когда для функции f (х) на отрезкеИнтеграл и его применение с примерами решения существует определенный интегралИнтеграл и его применение с примерами решения функцию f (х) называют интегрируемой на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения

Из формул (3) и (4) получаем, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке Интеграл и его применение с примерами решенияфункции у = f (х), отрезкомИнтеграл и его применение с примерами решения оси Ох и прямыми х = а и х = b (рис. 104), можно вычислить по формуле Интеграл и его применение с примерами решения Например, площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у = cos х, отрезком Интеграл и его применение с примерами решения оси Ох и прямыми х = 0 и х = — (рис. 106), можно вычислить по формуле Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

(При вычислении определенного интеграла учтено, что для функции f (х) = cos х одной из первообразных является функция Интеграл и его применение с примерами решения

Замечание. В задачах из курса алгебры и начал анализа на вычисление площадей как ответ чаще всего приводится числовое значение площади. Поскольку на координатной плоскости, где изображается фигура, всегда указывается единица измерения по осям, то в этом случае мы всегда имеем и единицу измерения площади — квадрат со стороной 1. Иногда, чтобы подчеркнуть, что полученное число выражает именно площадь, ответ записывают так: Интеграл и его применение с примерами решения (кв.ед.),то есть квадратных единиц. Отметим, что так записываются только числовые ответы. Если в результате вычисления площади мы получили, например, что Интеграл и его применение с примерами решения то никаких обозначений квадратных единиц не записывается, поскольку отрезок а был измерен в каких-то линейных единицах и тогда выражениеИнтеграл и его применение с примерами решенияуже содержит информацию о тех квадратных единицах, в которых измеряется площадь в этом случае.

Свойства определенных интегралов

При формулировании определения определенного интеграла мы полагали, что Интеграл и его применение с примерами решения Удобно расширить понятие определенного интеграла и для случая а > b принять по определению, что

Интеграл и его применение с примерами решения Для случая а = b также по определению будем считать, что

Интеграл и его применение с примерами решения Отметим, что формальное применение формулы Ньютона-Лейбница к вычислению интегралов в формулах (5) и (6) дает такой же результат. Действительно, если функция F (х) является первообразной для функции f (х), то

Интеграл и его применение с примерами решения

С помощью формулы Ньютона-Лейбница легко обосновываются и другие свойства определенных интегралов, приведенные в пункте 4 таблицы 18.

Интеграл и его применение с примерами решения Если F (х) является первообразной для функции f (х), то для функции Интеграл и его применение с примерами решения первообразной будет функция Интеграл и его применение с примерами решения Тогда

Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения Если F (x) является первообразной для функции f (х), a G (х) — первообразной для функции g (х), то для функции f (х) + g (х) первообразной будет функция F (х) + +G (х). Тогда

Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения Если F (x) является первообразной для функции Интеграл и его применение с примерами решения то

Интеграл и его применение с примерами решения

Следовательно, если функция f (х) интегрируема на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решениято

Интеграл и его применение с примерами решения

Определение определенного интеграла через интегральные суммы

Исторически интеграл возник в связи с вычислением площадей фигур, ограниченных кривыми, в частности, в связи с вычислением площади криволинейной трапеции.

Рассмотрим криволинейную трапецию, изображенную на рисунке 107 (функция f (х) — непрерывна на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения). На этом рисунке основание трапеции— отрезок Интеграл и его применение с примерами решения — разбито наИнтеграл и его применение с примерами решения отрезков (не обязательно равных) точками Интеграл и его применение с примерами решения (для удобства будем считать, чтоИнтеграл и его применение с примерами решения Через эти точки проведены вертикальные прямые. На первом отрезке выбрана произвольная точкаИнтеграл и его применение с примерами решения и на этом отрезке как на основании построен прямоугольник с высотой Интеграл и его применение с примерами решения Аналогично на втором отрезке выбрана произвольная точкаИнтеграл и его применение с примерами решенияи на этом отрезке f /с ^ как на основании построен прямоугольник с высотой Интеграл и его применение с примерами решения и т. д.

Площадь S заданной криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей построенных прямоугольников. Обозначим эту сумму через Интеграл и его применение с примерами решения длину первого отрезка черезИнтеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Следовательно, площадь S криволинейной трапеции можно приближенно вычислять по формуле (9), то есть Интеграл и его применение с примерами решения

Сумму (9) называют интегральной суммой функции f (х) на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения При этом считают, что функция f (х) непрерывна на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения и может принимать любые значения: положительные, отрицательные и равные нулю (а не только неотрицательные, как для случая криволинейной трапеции). Если Интеграл и его применение с примерами решения и длины отрезков, на которые разбито основание трапеции, стремятся к нулю, то интегральная сумма Интеграл и его применение с примерами решения стремится к некоторому числу, которое называют определенным интегралом функции f (х) на отрезкеИнтеграл и его применение с примерами решения и обозначаютИнтеграл и его применение с примерами решения Можно доказать, что при этом также выполняется формула Ньютона — Лейбница и все рассмотренные свойства определенного интеграла.

Замечание. Изменяя способ разбиения отрезкаИнтеграл и его применение с примерами решения на Интеграл и его применение с примерами решения частей (то есть фиксируя другие точки Интеграл и его применение с примерами решения и выбирая на каждом из полученных отрезков другие точкиИнтеграл и его применение с примерами решения мы будем получать для функции f (х) другие интегральные суммы. В курсе математического анализа доказывается, что для любой непрерывной на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения функции f (х) независимо от способа разбиения этого отрезка и выбора точек Интеграл и его применение с примерами решения еслиИнтеграл и его применение с примерами решения и длины отрезков стремятся к нулю, то интегральные суммыИнтеграл и его применение с примерами решениястремятся к одному и тому же числу.

Определение определенного интеграла через интегральные суммы позволяет приближенно вычислять определенные интегралы по формуле (9). Но такой способ требует громоздких вычислений, и его используют в тех случаях, когда для функции f (х) не удается найти первообразную (в этих случаях приближенное вычисление определенного интеграла обычно проводят на компьютере с использованием специальных программ). Если же первообразная для функции f(x) известна, то интеграл можно вычислить точно, используя формулу Ньютона-Лейбница (см. пример в пункте 1 таблицы 19 и примеры, приведенные далее).

Примеры решения задач:

Пример №296

Вычислите Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Интеграл и его применение с примерами решения

Ответ: 1.

Комментарий:

Поскольку для функции Интеграл и его применение с примерами решения мы знаем первообразную — это F(x) = tg х , то заданный интеграл вычисляется непосредственным применением формулы Ньютона-ЛейбницаИнтеграл и его применение с примерами решения

Пример №297

Вычислите Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

I способ

Интеграл и его применение с примерами решенияДля функции Интеграл и его применение с примерами решения одной из первообразных является

Интеграл и его применение с примерами решения

Комментарий:

Возможны два способа вычисления заданного интеграла.

1) Сначала найти первообразную для функции Интеграл и его применение с примерами решенияиспользуя правила вычисления первообразных и таблицу первообразных, а затем найти интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.

2) Использовать формулу (8)

Интеграл и его применение с примерами решения

и записать заданный интеграл как алгебраическую сумму двух интегралов, каждый из которых можно непосредственно вычислить, как в задаче 1 (для первого слагаемого можно также использовать формулу (7) и вынести постоянный множитель 4 за знак интеграла).

Замечание. Заданный интеграл рассматривается на отрезке [1; 3], где х > 0. Но при х > 0 одной из первообразных для функции Интеграл и его применение с примерами решения является функция F (х) = In х. Поэтому, учитывая, что х > 0, можно, например, записать,что Интеграл и его применение с примерами решенияХотя, конечно, приведенная выше запись первообразной также является верной (поскольку при Интеграл и его применение с примерами решения

Пример №298

Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямыми х = 1, х = 8, осью Ох и графиком функции Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Интеграл и его применение с примерами решенияИзображая эти линии, видим, что заданная фигура — криволинейная трапеция (рис. 108).

Интеграл и его применение с примерами решения

Тогда ее площадь ровна

Интеграл и его применение с примерами решения

Комментарий:

Заданная фигура является криволинейной трапецией, и поэтому ее площадь можно вычислить по формуле Интеграл и его применение с примерами решения

Также необходимо учесть, что на заданном отрезке [1; 8] значения х > 0, и при этом условии можно записатьИнтеграл и его применение с примерами решения

Вычисление площадей и объемов с помощью определенных интегралов

1. Площадь криволинейной трапеции

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной неотрицательной на отрезкеИнтеграл и его применение с примерами решения функции Интеграл и его применение с примерами решения осью Ох и прямыми х = а иИнтеграл и его применение с примерами решенияравна Интеграл и его применение с примерами решения Интеграл и его применение с примерами решения

2. Площадь фигуры, ограниченной графиками двух функций и прямыми х = а и Интеграл и его применение с примерами решения

Формула

Интеграл и его применение с примерами решения

Если на заданном отрезке Интеграл и его применение с примерами решения непрерывные функцииИнтеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решенияимеют такое свойство, чтоИнтеграл и его применение с примерами решения для всех Интеграл и его применение с примерами решения тоИнтеграл и его применение с примерами решения Пример Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения Изобразим заданные линии и абсциссы их точек пересечения. Абсциссы точек пересечения:

Интеграл и его применение с примерами решения

3. Объемы тел

Интеграл и его применение с примерами решения

Если тело помещено между двумя перпендикулярными к оси Ох плоскостями, проходящими через точки Интеграл и его применение с примерами решениягде Интеграл и его применение с примерами решения — площадь сечения тела плоскостью, которая проходит через точку Интеграл и его применение с примерами решения и перпендикулярна к оси Ох.

Интеграл и его применение с примерами решения

Если тело получено в результате вращения вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения функции у = f (х) и прямыми х = а иИнтеграл и его применение с примерами решения то Интеграл и его применение с примерами решения

Объяснение и обоснование:

Вычисление площадей фигур

Обоснование формулы площади криволинейной трапеции и примеры ее применения были приведены выше.

Интеграл и его применение с примерами решения Выясним, как можно вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке 109. Эта фигура ограничена сверху графиком функции Интеграл и его применение с примерами решения снизу графиком функции Интеграл и его применение с примерами решения а также вертикальными прямыми Интеграл и его применение с примерами решенияфункции Интеграл и его применение с примерами решения непрерывны и неотрицательны на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения

Площадь S этой фигуры равна разности площадей Интеграл и его применение с примерами решениякриволинейных трапеций (Интеграл и его применение с примерами решения — площадь криволинейной трапеции Интеграл и его применение с примерами решения — площадь криволинейной трапеции Интеграл и его применение с примерами решения Но Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Следовательно,Интеграл и его применение с примерами решения Таким образом, площадь заданной фигуры можно вычислить по формуле

Интеграл и его применение с примерами решения

Эта формула будет верной и в том случае, когда заданные функции не являются неотрицательными на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения для этого достаточно выполнения условий, что функцииИнтеграл и его применение с примерами решения непрерывны на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения и Интеграл и его применение с примерами решения (рис. 110, а). Для обоснования справедливости формулы достаточно перенести заданную фигуру параллельно вдоль оси Оу на Интеграл и его применение с примерами решения единиц так, чтобы она разместилась над осью Ох (рис. 110, б). Такое преобразование означает, что заданные функции Интеграл и его применение с примерами решения мы заменили соответственно на функции Интеграл и его применение с примерами решения Площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций и прямыми х = а и Интеграл и его применение с примерами решения равна площади заданной фигуры. Следовательно, искомая площадьИнтеграл и его применение с примерами решения

Например, площадь фигуры, изображенной на рисунке 111, равна Интеграл и его применение с примерами решения

Вычисление объемов тел

Задача вычисления объема тела с помощью определенного интеграла аналогична задаче нахождение площади криволинейной трапеции. Интеграл и его применение с примерами решения

Пусть задано тело объемом V, причем есть такая прямая (ось Ох на рисунке 112), что какую бы ни взяли плоскость, перпендикулярную к этой прямой, нам известна площадь S сечения тела этой плоскостью. Но плоскость, перпендикулярная к оси Ох, пересекает ее в некоторой точке х. Следовательно, каждому числу х из отрезка Интеграл и его применение с примерами решения (см. рис. 112) поставлено в соответствие единственное число Интеграл и его применение с примерами решения — площадь сечения тела этой плоскостью. Таким образом, на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения задана функция S (х). Если функция S непрерывна на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения, то справедлива Интеграл и его применение с примерами решения Полное доказательство этой формулы приведено в курсе математического анализа, а мы остановимся на наглядных соображениях, которые приводят к этой формуле.

Интеграл и его применение с примерами решения Разделим отрезок Интеграл и его применение с примерами решенияна Интеграл и его применение с примерами решения отрезков одинаковой длины точками Интеграл и его применение с примерами решения

Через каждую точку Интеграл и его применение с примерами решения проведем плоскостьИнтеграл и его применение с примерами решения перпендикулярную к оси Ох. Эти плоскости разрезают данное тело на слои (рис. 113, а). Объем слоя между плоскостямиИнтеграл и его применение с примерами решения (рис. 113, б) при достаточно больших п приближенно равен площади Интеграл и его применение с примерами решения сечения, умноженной на «толщину слоя»Интеграл и его применение с примерами решения и поэтому

Интеграл и его применение с примерами решения Точность этого приближенного равенства тем выше, чем тоньше слои, на которые разрезано тело, то есть чем больше Интеграл и его применение с примерами решения Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Поэтому Интеграл и его применение с примерами решения По определению определенного интеграла через интегральные суммы получаем, чтоИнтеграл и его применение с примерами решения Следовательно, Интеграл и его применение с примерами решения

Используем полученный результат для обоснования формулы объема тел вращения.

Интеграл и его применение с примерами решения Пусть криволинейная трапеция опирается на отрезокИнтеграл и его применение с примерами решения оси Ох и ограничена сверху графиком функции у = f (х), неотрицательной и непрерывной на отрезке Интеграл и его применение с примерами решения. Вследствие вращения этой криволинейной трапеции вокруг оси Ох образуется тело (рис. 114, а), объем которого можно найти по формуле

Интеграл и его применение с примерами решения

Действительно, каждая плоскость, которая перпендикулярна к оси Ох и пересекает отрезок Интеграл и его применение с примерами решения этой оси в точке х, дает в сечении с телом круг радиуса f (х) и площадью Интеграл и его применение с примерами решения(рис. 114, б). Отсюда по формуле (2) получаем формулу (3).Интеграл и его применение с примерами решения

Примеры решения задач:

Пример №299

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями Интеграл и его применение с примерами решения иИнтеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Интеграл и его применение с примерами решенияИзобразим заданные линии (рис. 115) и найдем абциссы точек их пересечения:

Интеграл и его применение с примерами решения

Комментарий:

Изображая заданные линии (рис. 115), видим, что искомая фигура находится между графиками двух функций. Сверху она ограничена графиком функции Интеграл и его применение с примерами решенияа снизу — графиком функции Интеграл и его применение с примерами решения Следовательно, ее площадь можно вычислить по формуле Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения(оба корня удовлетворяют уравнению (1)).Площадь заданной фигуры равна

Интеграл и его применение с примерами решения

Комментарий:

Чтобы найти пределы интегрирования, найдем абсциссы точек пересечения графиков заданных функций. Поскольку ординаты обеих кривых в точках пересечения одинаковы, то достаточно решить уравнениеИнтеграл и его применение с примерами решения

Для решения полученного иррационального уравнения можно использовать уравнения-следствия (в конце выполнить проверку) или равносильные преобразования (на ОДЗ, то есть при Интеграл и его применение с примерами решения).

Отметим также, что на полученном отрезке [-1; 0] значение Интеграл и его применение с примерами решения Задача 2 Вычислите объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями Интеграл и его применение с примерами решения Решение

Интеграл и его применение с примерами решенияНайдем абциссы точек пересечения заданных линий.

Интеграл и его применение с примерами решения

Поскольку заданная фигура — криволинейная трапеция, то объем тела вращения равен

Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Комментарий:

Интеграл и его применение с примерами решения

Изобразим заданную фигуру (рис. 116) и убедимся, что она является криволинейной трапецией. В этом случае объем тела вращения можно вычислять по формуле: Интеграл и его применение с примерами решения

Чтобы найти пределы интегрирования, достаточно найти абсциссы точек пересечения заданных линий.

Как и для задач на вычисление площадей, в ответ записывают числовое значение объема, но можно подчеркнуть, что мы получили именно величину объема, и записать ответ: Интеграл и его применение с примерами решения куб. ед. (то есть кубических единиц).

Замечание. Можно было обратить внимание на то, что заданная фигура симметрична относительно осиИнтеграл и его применение с примерами решения и поэтому объем тела, полученного вращением всей фигуры вокруг оси абсцисс, будет вдвое больше объема тела, полученного вращением криволинейной трапеции, которая опирается на отрезок [0; 2].

Простейшие дифференциальные уравнения

Понятия дифференциального уравнения и его решения

До сих пор мы рассматривали уравнения, в которых неизвестными были числа. В математике и ее применениях приходится рассматривать уравнения, в которых неизвестными являются функции. Так, задача о нахождении пути s (t) по заданной скорости Интеграл и его применение с примерами решениясводится к решению уравнения s’ (t) = v (t), где v (t) — заданная функция, a s (t) — искомая функция.

Например, если v (t) = 3 – Интеграл и его применение с примерами решения то для нахождения s (t) необходимо решить уравнение s’ (t) = 3 – Интеграл и его применение с примерами решения

Это уравнение содержит производную неизвестной функции. Такие уравнения называют дифференциальными уравнениями. Решением дифференциального уравнения называется любая функция, удовлетворяющая этому уравнению (то есть функция, при подстановке которой в заданное уравнение получаем тождество).

Пример №300

Решите дифференциальное уравнение Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Необходимо найти функцию у (х), производная которой равна х + 3, то есть

найти первообразную для функции х + 3. По правилам нахождения первообразных получаем Интеграл и его применение с примерами решения где С — произвольная постоянная.Интеграл и его применение с примерами решения

При решении дифференциальных уравнений следует учитывать, что решение дифференциального уравнения определяется неоднозначно, с точностью до постоянной. Такое решение называют общим решением заданного уравнения.

Обычно к дифференциальному уравнению добавляется условие, из которого эта постоянная определяется. Решение, полученное с использованием такого условия, называют частным решением заданного дифференциального уравнение.

Пример №301

Найдите решение у (х) дифференциального уравнения у’ = sin х, удовлетворяющего условию у (0) = 2.

Решение:

Интеграл и его применение с примерами решенияВсе решения этого уравнения записываются формулой у (х) = -cos х + С. Из условия у (0) = 2 находим -cos 0 + С = 2. Тогда С = 3. Ответ: у = -cos х + 3. Интеграл и его применение с примерами решения

Решения многих физических, биологических, технических и других практических задач сводится к решению дифференциального уравнения

Интеграл и его применение с примерами решения

где k — заданное число. Решениями этого уравнения являются функции

Интеграл и его применение с примерами решения

где С — постоянная, которая определяется условиями конкретной задачи.

Например, в опытах установлено, что скоростьИнтеграл и его применение с примерами решения размножения бактерий (для которых достаточно пищи) связана с массойИнтеграл и его применение с примерами решения бактерий в момент времени t уравнениемИнтеграл и его применение с примерами решения

гдеИнтеграл и его применение с примерами решения — положительное число, которое зависит от вида бактерий и внешних условий. Решениями этого уравнение являются функцииИнтеграл и его применение с примерами решения

Постоянную С можно найти, например, при условии, что в момент t = 0 масса Интеграл и его применение с примерами решения бактерий известна. Тогда Интеграл и его применение с примерами решения и, следовательно,Интеграл и его применение с примерами решения

Другим примером применения уравнения (1) является задача о радиоактивном распаде вещества. ЕслиИнтеграл и его применение с примерами решения — скорость радиоактивного распада в момент времени t, то Интеграл и его применение с примерами решения — постоянная, которая зависит от радиоактивности вещества. Решениями этого уравнения являются функции

Интеграл и его применение с примерами решения

Если в момент времени t масса вещества равна Интеграл и его применение с примерами решения и тогда

Интеграл и его применение с примерами решения

Отметим, как на практике скорость распада радиоактивного вещества характеризуется периодом полураспада, то есть промежутком времени, в течение которого распадается половина исходного вещества.

Пусть Т — период полураспада, тогда из равенства (3) при t = Т получаем

Интеграл и его применение с примерами решения В этом случае формула (3) записывается

так: Интеграл и его применение с примерами решения

Гармонические колебания

На практике часто встречаются процессы, которые периодически повторяются, например колебательные движения маятника, струны, пружины и т. п.; процессы, связанные с переменным электрическим током, магнитным полем и т. д. Решение многих таких задач сводится к решению дифференциального уравнения

Интеграл и его применение с примерами решения

где Интеграл и его применение с примерами решения — заданное положительное число, Интеграл и его применение с примерами решения

Решением уравнения (4) является функция

Интеграл и его применение с примерами решения

где Интеграл и его применение с примерами решения — постоянные, которые определяются условиями конкретной задачи. Уравнение (4) называют дифференциальным уравнением гармонических колебаний.

Например, если у (t) — отклонение точки струны, которая свободно колеблется, от положения равновесия в момент времени t, то

Интеграл и его применение с примерами решениягде А — амплитуда колебания, Интеграл и его применение с примерами решения— угловая частота,Интеграл и его применение с примерами решения — начальная фаза колебания.

Графиком гармонического колебания является синусоида.

Примеры применения первообразной и интеграла к решению практических задач

Пример №302

Цилиндрический бак, высота которого равна 4,5 м, а радиус основания равен 1 м, заполнен водой. За какое время вода вытечет из бака через круглое отверстие в дне, если радиус отверстия равен 0,05 м?

Решение:

Интеграл и его применение с примерами решенияОбозначим высоту бака Н, радиус его основания R, радиус отверстияИнтеграл и его применение с примерами решения (длины измеряем в метрах, время — в секундах) (рис. 117).

Интеграл и его применение с примерами решения

Скорость вытекания жидкости v зависит от высоты столба жидкости х и вычисляется по формуле Бернулли

Интеграл и его применение с примерами решения

где Интеграл и его применение с примерами решения — коэффициент, который зависит от свойства жидкости; для воды Интеграл и его применение с примерами решенияПоэтому при уменьшении уровня воды в баке скорость вытекания уменьшается (а не остается постоянной).

Пусть t (х) — время, за которое из бака высоты х с основанием радиуса R вытекает вода через отверстие радиуса Интеграл и его применение с примерами решения (рис. 117).

Найдем приближенно отношениеИнтеграл и его применение с примерами решения считая, что за время Интеграл и его применение с примерами решения Интеграл и его применение с примерами решенияскорость вытекания воды постоянна и выражается формулой (6).

За время Интеграл и его применение с примерами решения объем воды, которая вытекла из бака, равен объему цилиндра высоты Интеграл и его применение с примерами решения с основанием радиуса R (см. рис. 117), то есть равен Интеграл и его применение с примерами решения С другой стороны, этот объем равен объему цилиндра, основанием которого служит отверстие в дне бака, а высота равна произведению скорости вытекания о на время Интеграл и его применение с примерами решения, то есть объем равен Интеграл и его применение с примерами решения Следовательно,Интеграл и его применение с примерами решения Учитывая формулу (6), получаем

Интеграл и его применение с примерами решения

Тогда при Интеграл и его применение с примерами решенияполучаем равенство

Интеграл и его применение с примерами решения

Если x = 0 (в баке нет воды), то t (0) = 0, отсюда С = 0. При х = Н находим искомое времяИнтеграл и его применение с примерами решения

Используя данные задачи, получаем

Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Пример №303

Вычислите работу силы F при сжатии пружины на 0,06 м, если для ее сжатия на 0,01 м необходима сила 5 Н.

Решение:

Интеграл и его применение с примерами решенияПо закону Гука, сила F пропорциональна растяжению или сжатию пружины, то есть Интеграл и его применение с примерами решениягде х — величина растяжения или сжатия (в метрах), Интеграл и его применение с примерами решения — постоянная. По условию задачи находим Интеграл и его применение с примерами решения. Поскольку при х = 0,01 м

силаИнтеграл и его применение с примерами решения.

Следовательно, Интеграл и его применение с примерами решения

Найдем формулу для вычисления работы при перемещении тела (оно рассматривается как материальная точка), которое двигается под действием переменной силы F (х), направленной вдоль оси Ох. Пусть тело переместилось из точки х = а в точкуИнтеграл и его применение с примерами решения

Обозначим через А (х) работу, выполненную при перемещении тела из точки а в точку х. Дадим х приращениеИнтеграл и его применение с примерами решения Тогда Интеграл и его применение с примерами решенияработа, которая выполняется силой F (х) при перемещении тела из точки х в точкуИнтеграл и его применение с примерами решениябудем считать постоянной и равной F (х). Поэтому Интеграл и его применение с примерами решения

Тогда при Интеграл и его применение с примерами решения Последнее равенство означает, что А (х) является первообразной для функции F (х).

Учитывая, что А (а) = 0, по формуле Ньютона-Лейбница получаем

Интеграл и его применение с примерами решения

Таким образом, работа переменной силы F (х) при перемещении тела из точки а в точку Интеграл и его применение с примерами решения равна Интеграл и его применение с примерами решения

Используя данные задачи, получаем

Интеграл и его применение с примерами решения

Сведения из истории:

Интегральное исчисление и само понятие интеграла возникло из необходимости вычисления площадей плоских фигур и объемов тел. Идеи интегрального исчисления берут свое начало в работах древних математиков. В частности, важное значение для развития интегрального исчисления имел метод исчерпывания, предложенный Евдоксом Книдским (ок. 408 — ок. 355 гг. до н. э.) и усовершенствованный А р х им е д о м. По этому методу для вычисления площади плоской фигуры вокруг нее описывается ступенчатая фигура и в нее вписывается ступенчатая фигура. Увеличивая количество сторон полученных многоугольников, находят предел, к которому стремятся площади ступенчатых фигур (именно так в курсе геометрии вы доказывали формулу площади круга). Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. Но прошло более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи были доведены до уровня исчисления. Отметим, что математики XVII в., получившие множество новых результатов, учились на работах Архимеда. Именно в XVII в. было сделано много открытий, касающихся интегрального исчисления, введены основные понятия и термины.

Символ Интеграл и его применение с примерами решения ввел Лейбниц (1675 г.). Этот знак является измененной латинской буквой S (первая буква слова summa). Само слово интеграл ввел Я. Бернулли (1690 г.). Другие известные вам термины, касающие интегрального исчисления, появились значительно позже. Название первообразная для функции, которое применяется сейчас, заменило более раннее «примитивная функция», введенное Лагранжем (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как «начальный»: функция Интеграл и его применение с примерами решения — начальная (или первообразная) для функции f (х), которая образуется из F (х) дифференцированием. Понятие неопределенного интеграла и его обозначение ввел Лейбниц, а обозначение определенного интегралаИнтеграл и его применение с примерами решения ввел К. Ф у р ь е (1768—1830).

Следует отметить, что при всей значимости результатов, полученных математиками XVII в., интегрального исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, на которых основывается решение многих отдельных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования. Это сделали Ньютон и Лейбниц, которые независимо друг от друга открыли факт, известный нам под названием формулы Ньютона-Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Необходимо было еще научиться находить первообразные для многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисления созданы. Методы интегрального исчисления активно развивались в следующем столетии (прежде всего следует назвать имена Л.Эйлера, который закончил систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитие интегрального исчисления значительный вклад внесли российские математики украинского происхождения М. В. Остроградский (1801 — 1862), В.Я.Буняковский (1804-1889).

—11клас

Применение интеграла

С помощью интегралов можно определять не только площади фигур, но и многие другие величины, приближённые значения которых выражаются интегральными суммами, т.е. суммами вида Интеграл и его применение с примерами решения Такие суммы принято обозначать Интеграл и его применение с примерами решения Подграфик функции Интеграл и его применение с примерами решения — математическая модель каждой такой величины, поэтому вычислять границы этих сумм можно по формуле Ньютона—Лейбница. Рассмотрим четыре примера таких задач.

Интеграл и его применение с примерами решения

 Объём тела вращения

Пусть тело образовано вращением подграфика функции Интеграл и его применение с примерами решения вокруг оси Интеграл и его применение с примерами решения Каждое тело вращения можно представить составленным из очень большого количества круглых пластинок, цилиндров с малыми высотами Интеграл и его применение с примерами решения (рис. 127). Радиус каждого такого цилиндра зависит от Интеграл и его применение с примерами решения и равен Интеграл и его применение с примерами решения Объём одного цилиндрика, соответствующего переменной Интеграл и его применение с примерами решения равен Интеграл и его применение с примерами решения Всему телу вращения соответствует интегральная сумма

Интеграл и его применение с примерами решения

Следовательно, его объём

Интеграл и его применение с примерами решения

Пример №594

Пусть надо найти вместимость сосуда высотой 4 дм, осевое сечение которого — график функции Интеграл и его применение с примерами решения (рис. 128). Для неотрицательных значений Интеграл и его применение с примерами решения график такой функции симметричен относительно биссектрисы первого координатного угла графику функции Интеграл и его применение с примерами решения Поэтому искомый объём сосуда равен объёму тела, образованного вращением подграфика функции Интеграл и его применение с примерами решения на Интеграл и его применение с примерами решения вокруг оси Интеграл и его применение с примерами решения (рис. 129). Итак, искомый объём

Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

С помощью определённых интегралов можно вычислять не только объёмы тел вращения, но и многих других тел: пирамид, усечённых пирамид и т. д.

Работа переменной силы

Если в результате действия постоянной силы Интеграл и его применение с примерами решения тело перемещается в направлении её действия на расстояние Интеграл и его применение с примерами решения то при этом выполняется работа Интеграл и его применение с примерами решения А если на тело действует сила не постоянная, а переменная?

Например, чтобы растянуть пружину на 1 см, на 2 см и т. д., надо прикладывать всё большую и большую силу. Согласно закона Гука, сила Интеграл и его применение с примерами решения которую необходимо приложить, чтобы растянуть пружину на расстояние Интеграл и его применение с примерами решенияпропорциональна этому расстоянию (для допустимых значений Интеграл и его применение с примерами решенияКоэффициент Интеграл и его применение с примерами решения различен для разных пружин. Например, если для растяжения пружины на 1 м надо приложить силу 50 Н, то Интеграл и его применение с примерами решения Какую выполняют работу, растягивая такую пружину на расстояние Интеграл и его применение с примерами решения

Поделим отрезок Интеграл и его применение с примерами решения на который растягивается пружина, точками Интеграл и его применение с примерами решения на Интеграл и его применение с примерами решения равных частей (рис. 130). Пусть Интеграл и его применение с примерами решения — длина каждой части. Чтобы растянуть пружину на

Интеграл и его применение с примерами решения

расстояние Интеграл и его применение с примерами решения т. е. переместить её конец из точки Интеграл и его применение с примерами решения надо приложить силу Интеграл и его применение с примерами решения При этом выполненная работа приближённо равна Интеграл и его применение с примерами решения Чтобы растянуть пружину на расстояние Интеграл и его применение с примерами решения надо приложить силу Интеграл и его применение с примерами решения и выполнить работу, которая приближённо равна Интеграл и его применение с примерами решения и т. д. Следовательно, чтобы растянуть пружину на расстояние Интеграл и его применение с примерами решения надо выполнить работу, приближенное значение которой равно интегральной сумме

Интеграл и его применение с примерами решения

Значение Интеграл и его применение с примерами решения с увеличением Интеграл и его применение с примерами решения (и соответствующим уменьшением Интеграл и его применение с примерами решения всё меньше отличается от точного значения искомой работы Интеграл и его применение с примерами решения т. е. если  Интеграл и его применение с примерами решения Следовательно,

Интеграл и его применение с примерами решения

Если Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

Сила давления жидкости

Пусть разница уровней воды по обе стороны от ворот шлюза равна 8 м. Ворота имеют прямоугольную форму, их ширина Интеграл и его применение с примерами решения (рис. 131). Чему равна сила давления воды на ворота?

Известно, что с увеличением глубины давление воды увеличивается. Оно выражается формулой Интеграл и его применение с примерами решения — глубина в метрах, Интеграл и его применение с примерами решения — давление воды в килопаскалях. Пусть Интеграл и его применение с примерами решения — разница уровней воды.

Разобьём этот отрезок точками Интеграл и его применение с примерами решения на Интеграл и его применение с примерами решения равных частей и через них мысленно проведём горизонтальные прямые, которые разделят ворота шлюза на Интеграл и его применение с примерами решения равных полос. Если Интеграл и его применение с примерами решения, то площадь каждой полосы равна Интеграл и его применение с примерами решения  Давление на первую, вторую, третью и т. д. полосы приближённо равно соответственно Интеграл и его применение с примерами решения Поэтому общая сила давления воды на ворота шлюза приближённо равна сумме

Интеграл и его применение с примерами решения

Полученное произведение ширины ворот Интеграл и его применение с примерами решения на интегральную сумму — приближённое значение силы давления воды на ворота. Точное её значение    

Интеграл и его применение с примерами решения

Экономическое содержание интеграла

Пусть функция Интеграл и его применение с примерами решения описывает изменение производительности некоторого производства в течение определённого времени. Найдём объём продукции Интеграл и его применение с примерами решения произведённой за промежуток времени Интеграл и его применение с примерами решения

Отметим, что когда производительность не изменяется в течение времени Интеграл и его применение с примерами решения — постоянная функция), то объём продукции Интеграл и его применение с примерами решения произведённой за некоторый промежуток времени Интеграл и его применение с примерами решения задаётся формулой Интеграл и его применение с примерами решения В общем случае справедливо приближённое равенство Интеграл и его применение с примерами решения Оно тем точнее, чем меньше Интеграл и его применение с примерами решения

Разобьём отрезок Интеграл и его применение с примерами решения равных частей точками Интеграл и его применение с примерами решения Для объёма продукции Интеграл и его применение с примерами решения произведённой за промежуток времени Интеграл и его применение с примерами решения имеем Интеграл и его применение с примерами решения 

Следовательно,

Интеграл и его применение с примерами решения

Если Интеграл и его применение с примерами решения то каждое из использованных приближённых paвенств становится более точным, следовательно Интеграл и его применение с примерами решения

Если Интеграл и его применение с примерами решения — производительность труда в момент времени Интеграл и его применение с примерами решения то объём произведённой продукции за промежуток Интеграл и его применение с примерами решения можно вычислить по формуле Интеграл и его применение с примерами решения

Известный вам определённый интеграл учёные называют интегралом Римана, он применяется к ограниченным функциям и конечным интервалам интегрирования. Но решение многих важных задач нуждалось в нахождении границ бесконечных сумм, определённых широким классом функций и на бесконечных промежутках. Впоследствии были введены такие интегралы: интегралы Лебега, Стилтьеса, интегралы кратные, криволинейные и т. д. Их рассматривают в высших учебных заведениях.

Пример №595

Керосин содержится в цилиндрическом резервуаре (рис. 132), осевое сечение которого — квадрат со стороной 2 м. Какую работу нужно выполнить, чтобы откачать весь керосин из резервуара через отверстие в его верхнем основании, если плотность керосина равна Интеграл и его применение с примерами решения

Решение:

Решим сначала задачу в общем виде. Разобьём высоту цилиндра Интеграл и его применение с примерами решения равных частей точками Интеграл и его применение с примерами решенияИнтеграл и его применение с примерами решения Через каждую точку деления параллельно основанию цилиндра проведём плоскость. Объём каждого из образовавшихся маленьких цилиндров равен Интеграл и его применение с примерами решения а масса — Интеграл и его применение с примерами решения где Интеграл и его применение с примерами решения — плотность жидкости в резервуаре, Интеграл и его применение с примерами решения— радиус основания цилиндра, а Интеграл и его применение с примерами решения

Чтобы тело массой Интеграл и его применение с примерами решения поднять на высоту Интеграл и его применение с примерами решения нужно выполнить работу Интеграл и его применение с примерами решения В этих условиях работа по откачке жидкости, содержащейся в Интеграл и его применение с примерами решения цилиндре, выражается формулой Интеграл и его применение с примерами решения а общая работа (по откачке жидкости из всего резервуара) —

Интеграл и его применение с примерами решения

Интеграл и его применение с примерами решения

По условию задачи Интеграл и его применение с примерами решения поэтому

Интеграл и его применение с примерами решения
Ответ. Интеграл и его применение с примерами решения

Пример №596

Производительность труда бригады рабочих в течение смены приближённо определяется формулой Интеграл и его применение с примерами решения Интеграл и его применение с примерами решения — рабочее время в часах. Определите объём продукции, выпущенной за 5 рабочих часов.

Решение:

Объём выпуска продукции в течение смены является первообразной от функции, выражающей производительность труда. Поэтому

Интеграл и его применение с примерами решения

Ответ. Интеграл и его применение с примерами решения единиц.

  • Первообразная и интегра
  • Уравнения и неравенства
  • Уравнения и неравенства содержащие знак модуля
  • Уравнение
  • Рациональные уравнения
  • Рациональные неравенства и их системы
  • Геометрические задачи и методы их решения
  • Прямые и плоскости в пространстве

Содержание:

  1. Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
  2. Понятие первоначальной функции и неопределенного интеграла
  3. Неопределенный интеграл. Определение и свойства, таблица основных интегралов
  4. Непосредственное интегрирование
  5. Метод интегрирования заменой переменной
  6. Метод интегрирования по частям
  7. Интегрирование элементарных рациональных алгебраических дробей
  8. Интегрирование рациональных алгебраических дробей
  9. Интегрирование некоторых видов иррациональных функций
  10. Интегрирование простейших иррациональностей
  11. Интегрирования функций, рационально зависящих от тригонометрических функций
  12. Интегральное исчисление функции одной переменной
  13. Первоначальная функция и неопределенный интеграл
  14. Основные свойства неопределенного интеграла
  15. Таблица неопределенных интегралов
  16. Методы вычисления интегралов
  17. Непосредственное интегрирование
  18. Метод разложения
  19. Метод подстановки (метод замены переменной)
  20. Метод интегрирования по частям
  21. Интегрирование рациональных дробей
  22. Метод неопределенных коэффициентов
  23. Интегралы от простейших рациональных дробей
  24. Интегрирование неправильных рациональных дробей
  25. Метод Остроградского интегрирования рациональных функций
  26. Интегрирование тригонометрических функций
  27.  Интегрирование некоторых иррациональных функций
  28. Понятие о неопределенном интеграле, не имеющем первообраных в элементарных функциях
  29. Определенный интеграл
  30. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
  31. Задача об объеме производства с переменной производительностью труда
  32. Определенный интеграл, как предел интегральных сумм
  33. Основные свойства определенного интеграла
  34. Теорема о среднем значении определенного интеграла
  35. Геометрический смысл определенного интеграла
  36. Связь неопределенного и определенного интегралов. Формула Ньютона-Лейбница
  37. Методы вычисления определенного интеграла
  38. Замена переменной в определенном интеграле
  39. Метод интегрирования по частям
  40. Приближенное вычисление определенных интегралов
  41. Разложение подынтегрального выражения
  42. Интегрирование с помощью таблиц
  43. Численное интегрирование
  44. Несобственные интегралы и их нахождение
  45. Интеграл с бесконечными пределами интегрирования
  46. Интеграл от разрывной функции
  47. Применение определенных интегралов
  48. Вычисление площадей
  49. Задача о распределении доходов населения государства
  50. Вычисление объемов
  51. Понятие о двойном интеграле. Сведение двойного интеграла к повторному
  52. Повторный интеграл. Переход от двойного интеграла к повторному
  53. Интеграл Эйлера-Пуассона

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Одной из основных задач дифференциального исчисления является нахождение производной заданной функции. Исследования во многих областях науки, в том числе и экономической, приводят к обратной задачи, а именно: возникает необходимость по данной функцией найти такую функцию, производная от которой равнялась бы исходной функции. В экономике это означает, что по предельным характеристикам (скоростями) процессов необходимо воссоздать их общие свойства (общие расходы, общая прибыль и т.д.).

После изучения данной темы вы сможете:

  • ● интерпретировать содержание интегралов в математических моделях экономических процессов;
  • ● владеть методами интегрирования различных функций;
  • ● распознавать типы задач в экономике, для решения которых целесообразно применять интегралы;
  • ● применять инструменты интегрального исчисления для нахождения исходных величин по известным функциями факторов, влияющих на них;
  • ● исследовать экономическую динамику процессов с применением интегралов.

Понятие первоначальной функции и неопределенного интеграла

Функция Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных называется первоначальной для Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных на множестве Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, если в каждой точке этого множества Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных является производной от Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, или, что то же самое, произведение Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных является дифференциалом функции Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Первоначальной для Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных на множестве Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных есть функция Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Проверить это утверждение можно, если продифференцировать функцию Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных Поскольку Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных действительно является первоначальной для Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Нахождение для Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных всех ее первоначальных называют интегрированием функции Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных а соответствующий раздел математики, в котором решается задача нахождения функции по ее производной или дифференциалом, называется интегральным исчислением.

Теорема 21.1 (о множестве первичных). Если для функции Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных которая определена на множестве Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных существуют первобытные, то:
1) их бесконечно много;
2) все они отличаются друг от друга только постоянной величиной.

Доказательство.

1. Пусть функция Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных является первоначальной для Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных на множестве Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, тогда по определению Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Поскольку производная постоянной величины равна нулю, то Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных функция Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных также является первоначальной для Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных по определению: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных Следовательно, если существует одна первоначальная, то существовать также бесчисленное множество других первобытных, отличающиеся на произвольную постоянную C.
2. Пусть Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных и Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных является некоторым первичных для функции Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных то есть по определению: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных и Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных Построим вспомогательную функцию Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных Для любого Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных имеем:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Поскольку для любого Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных имеем Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных то отсюда Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных то есть Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных Следовательно, по данной теоремы следует: если Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных – одна из первоначальных для Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных то множество всех первобытных имеет вид Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Например, для функции Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных на множестве Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных первоначальными является и функция Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных и функция Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных (убедитесь!). Хотя на вид они разные, но отличаются лишь постоянным слагаемым:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Следовательно, для нахождения первичных заданной функции достаточно знать только одну, а каждая другая представляет собой сумму найденной первоначальной и произвольной действительной постоянной.

Неопределенный интеграл. Определение и свойства, таблица основных интегралов

Множество всех первобытных для Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных на области ее определения Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных называется неопределенным интегралом функции Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных и обозначается:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

где Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных – символ (знак) неопределенного интеграла;

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных подынтегральная функция;

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных дифференциал переменной интегрирования Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменныхподынтегральное выражение.

Относительно выражения Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных в правой части равенства (21.3) говорят, что он описывает однопараметрическую  семью первобытных для Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Современное обозначение неопределенного интеграла знаком Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных было предложено Лейбницем, который трансформировал букву Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, является первой буквой в слове summa (сумма).

С геометрической точки зрения любая первоначальная – это линия Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных а неопределенный интеграл – семья линий Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных которую получаем смещением одной из них параллельно самой себе вдоль оси Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных (рис. 21.1).

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Рис. 21.1

По геометрическим содержанием производной имеем, что Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных является угловым коэффициентом касательной к кривой Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных в точке с абсциссой Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных Тогда найти первоначальную для Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных означает найти такую кривую Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, угловой коэффициент касательной к которой в произвольной точке Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных равен бы значению функции Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных в этой точке.

Теорема 21.2 (теорема существования неопределенного интеграла). Если функция Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных непрерывна на области ее определения Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, то для нее существует неопределенный интеграл как множество функций, производная каждой из которых равна Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных Теорема принимаем без доказательства.

Основные свойства неопределенного интеграла вытекают из определения первичной, соотношение (21.3) с привлечением свойств производной.

1 (о производной интеграла). Производная от неопределенного интеграла по переменной интегрирования равна под интегральной функции:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Действительно, согласно (21.3) и (21.2) имеем:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

2 (о дифференциал интеграла). Дифференциал от неопределенного интеграла по переменной интегрирования равна подынтегральному выражению:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

потому что дифференциал функции – это произведение производной функции и дифференциала аргумента.

3 (о неопределенном интеграле от дифференциала). Неопределенный интеграл от дифференциала любой функции, имеет производную, которая является однопараметрической семьей этой функции:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Обоснование такое же, как и для свойства 2.

4 (о интеграле от производной). Неопределенный интеграл от производной любой дифференцируемой функции является однопараметрической семьей этой функции:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Ниже приведены свойства, которые называют также правилами интегрирования, доводятся посредством сравнения множеств, соответствующих левой и правой частям равенств, или дифференцированием левой и правой частей равенств, которые надо доказать.

5 (об устойчивом множителе). Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Найдем производные от обеих частей равенства. Для левой части по свойству 1 имеем: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных По той же свойством для правой части имеем: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных Следовательно, производные от обеих частей приведенного выше соотношения равны между собой, то есть описывают одно и то же множество первичных (обдумайте случай Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных).

6 (о интеграле от алгебраической суммы функций). Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме неопределенных интегралов от слагаемых этой суммы:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Снова найдем производные от обеих частей этого равенства. Так, для левой части имеем:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Для правой части имеем:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Как видим, производные от обеих частей равенств совпали, значит, правильная и самая равенство.
Свойство 6 обобщается на любое конечное число слагаемых.

7 (о интеграле от функции составного линейного аргумента). Если неопределенный интеграл от функции Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных является известным, то неопределенный интеграл от этой функции с аргументом Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, где Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменныхИнтегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, порождается той же первоначальной, но от аргумента Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных и с коэффициентом Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Для доказательства свойства 7 найдем производные от обеих частей равенства (21.11):

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

где Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных – промежуточный аргумент.

Например, непосредственное применение формулы (21.11) дает:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

8 (об инвариантности формулы неопределенного интеграла). Вид формулы интегрирования не зависит от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или функцией от нее:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

В таблицу основных интегралов относят, как правило, те интегралы, которые можно получить непосредственно по таблице производных, если прочитать ее справа налево. В таблице 21.1 к таким интегралов еще добавлены формулы (7), (8), (15) и (16). Полный перечень интегралов от элементарных функций можно найти в справочнике по высшей математике.

Таблица основных интегралов                                                                                             Таблица 21.1

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Справедливость каждой формулы таблицы, как и вообще результата интегрирования, проверяется дифференцированием по свойством 1 (о производной неопределенного интеграла).

Например, проверим справедливость формулы (16). Для этого найдем производную от правой части этого равенства:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Действительно, мы получили подынтегральную функцию, что и требовалось доказать.

Интегрирования функций как операция, является обратной к дифференцировке, является более сложной задачей, чем нахождение производной. Для определения производных от произведения или частного функций существуют определенные соотношения, а для интегрирования таких соотношений нет. Каким бы ни было сложным выражение, для которого нужно найти производную, это всегда можно сделать, чего нельзя утверждать относительно интегрирования. Овладение техникой интегрирования требует, прежде всего, знания неопределенных интегралов основных элементарных функций, приведены в
таблицы 21.1 и свойств неопределенных интегралов 1-8.

Непосредственное интегрирование

Непосредственным интегрированием называется нахождение неопределенных интегралов с помощью таблицы основных интегралов и основных свойств неопределенного интеграла с привлечением тождественных преобразований подынтегральной функции. Этот подход, как правило, не вызывает затруднений, но охватывает лишь узкий класс функций.

Общий порядок непосредственного интегрирования таков:

1) анализируем подынтегральное выражение с целью установления того, какие свойства неопределенных интегралов надо учесть и которые алгебраические преобразования следует предпринять, чтобы воспользоваться табличным интегралом;
2) выполняем соответствующие действия;
3) применяем соответствующие табличные формулы.

Процесс нахождения неопределенного интеграла записывается цепочкой, возможно, с указанием справочных сведений.
Приведем несколько примеров непосредственного интегрирования.
Например, найдем интеграл:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Разность двух параметров Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных и Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных мы заменили одним – Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, поскольку разница двух произвольных постоянных с Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных тоже является произвольной постоянной с .
Проверяем правильность интегрирования с помощью дифференцирования полученной первоначальной:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Поскольку получено подынтегральная функция, то интегрирование выполнено верно.

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

В данном примере при интегрировании использованы свойства 3, 5 и 6, а затем были применены соответствующие формулы таблицы интегралов. Предлагаем самостоятельно проверить, является ли полученный результат правильным.

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

При преобразовании подынтегральной функции было использовано соотношение Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, и формулы (6) и (5) таблицы интегралов.

Метод интегрирования заменой переменной

Если неопределенный интеграл не является табличным, то во многих случаях цели приведет метод интегрирования заменой переменной. Нахождение неопределенного интеграла с помощью перехода от переменной интегрирования Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных к новой переменной Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, что позволяет свести выходной интеграл к проще или даже табличного, называют методом замены переменной, или методом подстановки.

Основой этого метода является свойство 8 (об инвариантности формулы неопределенного интеграла).
Связь между переменными интегрирования – выходной Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных и новой Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных – в зависимости от вида подынтегральной функции описывается соотношением, которое разрешено или относительно Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, или относительно Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Поэтому надо различать два типа подстановок: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных или Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

1. Подстановка Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных выполняется в случаях, когда подынтегральная функция является произведением сложной функции Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных и производной промежуточного аргумента Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных или выражением, отличающийся от производной постоянным множителем:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

После нахождения интеграла по переменной Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных возвращаются к исходной переменной Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

На базе соотношений (21.13) и (21.14) получаем:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Найдем неопределенный интеграл: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Подынтегральная функция содержит составленную функцию Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных и множитель Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, отличающийся от производной Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных постоянным множителем 3. Следовательно, целесообразно применить подстановку Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Заметим, что без предварительных тождественных преобразований подынтегральной функции не всегда сразу удается осуществить выбор соответствующей подстановки:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

2. Подстановка Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных выполняется преимущественно для осуществления перехода от одного класса функций к другому, например, от иррациональных функций к рациональным, или от степенных к тригонометрических, или от показательных до степенных и тому подобное. При этом для возвращения к исходной переменной функция Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных должна иметь обратную функцию Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Найдем неопределенный интеграл: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Чтобы избавиться иррациональности, выполняем подстановку Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменныхИнтегральное исчисление функций одной и нескольких переменныхИнтегральное исчисление функций одной и нескольких переменныхТогда имеем: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменныхИнтегральное исчисление функций одной и нескольких переменныхСледовательно,

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Подстановка, которая помогает упростить подынтегральная функцию и свести интеграл к табличному, может быть и не единственной.

Как обобщение того, что рассматривалось выше, приведем общий порядок интегрирования методом подстановки:

1) выбираем тип замены переменной Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных или Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных и находим связь между дифференциалами новой и выходной переменных Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменныхИнтегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
2) переходим в подынтегральное выражение в новой переменной Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных;
3) находим неопределенный интеграл по новой переменной интегрирования;
4) возвращаемся к исходной переменной Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Приведем иллюстративный пример.

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Соотношение (21.18) часто используется как готовая формула. Итак, если под интегральной функцией является дробь, числитель которой является производной знаменателя, то одна из первоначальных – это натуральный логарифм модуля знаменателю.

Метод интегрирования по частям

Теорема 21.3 (формула интегрирования по частям). Если в неопределенном интеграле Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных подынтегральное выражение представлен в виде произведения Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, где Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных и Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных – дифференцируемы на некотором множестве Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных функции, то справедливо соотношение:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Доказательство. Если Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных – дифференцируемы функции, тогда по формуле дифференциала произведения имеем: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных откуда Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменныхИнтегрируя последнее равенство, получаем:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

В формуле (21.19) произвольную постоянную Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных не пишут, потому что она «поглощается» интегралом, который присутствует в правой части формулы. Тогда:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Нахождение неопределенного интеграла Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных с помощью формулы (21.19) называют методом интегрирования по частям.

Вполне понятно, что представление подынтегрального выражения Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных в виде Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, которое называют разбивкой его на части, необходимо осуществлять таким образом, чтобы неопределенный интеграл в правой части формулы был более простым, чем исходный.

Общий порядок интегрирования по частям:

1) разбиваем подынтегральное выражение на части Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных и Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, то есть какой-то фрагмент подынтегральной функции принимаем за Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, а то, что осталось в подынтегральное выражение – по Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных;
2) находим дифференциал функции Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, а за дифференциалом Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных интегрированием восстанавливаем одну из первоначальных Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных;
3) применяем формулу интегрирования по частям (21.19)
4) берем неопределенный интеграл Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных и записываем окончательный ответ.

Рассмотрим примеры интегрирования по частям и образец оформления символических записей:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Формула интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем метод подстановки. Однако существуют такие типы подынтегральных функций, интегралы от которых можно найти только интегрированием по частям. В таблице 21.2 приведены три типа стандартных интегралов, к которым применяется метод интегрирования по частям с особенностями разбиения подынтегрального выражения на Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных и Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Типы интегралов, для нахождения которых применяется метод интегрирования по частям                                                                                                                                                   Таблица 21.2

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

К первому типу относят неопределенные интегралы, подынтегральные функции которых являются произведением многочлена Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных-й степени Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных с показательной функцией Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных или тригонометрическими функциями Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных и Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных Для таких функций возлагают Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных а Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных будет содержать второй множитель (случаи 1, 2, 3 в табл. 21.2). Так же действуют, если аргументом второго множителя есть линейная функция от Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных где Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных – постоянные с Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Второй тип охватывает неопределенные интегралы, подынтегральные функции которых представляют собой произведение многочлена Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных с натуральной степенью логарифмической функции Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных или обратными тригонометрическими функциями (случаи 4, 5, 6 в табл. 21.2). В таком случае возлагают Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных а функция Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных определяется другим сомножителем подынтегрального выражения. Принципиальных изменений не будет, если вместо аргумента Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных будет выступать линейная функция от него.

К третьему типу относятся неопределенные интегралы, при двукратном интегрировании которых по формуле (21.19) получаем линейное уравнение относительно исходного интеграла. Решение этого уравнения и дает искомый интеграл. Для произведений показательной функции Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных с тригонометрическими Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных где Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных (случай 7 в табл. 21.2) возлагают Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных или Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных (по предпочтениям). Для неопределенных интегралов в случае 8 табл. 21.2 за Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных принимают Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. В более общем случае вместо Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных может быть линейная функция вида Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Приведем примеры нахождения неопределенных интегралов каждого типа.

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

где Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Для Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных тоже применяем формулу интегрирования по частям:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

В заключении:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Следовательно, неопределенный интеграл первого типа требует применения формулы интегрирования по частям Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных раз, где Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных – степень многочлена Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Итак, окончательный ответ: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

До последнего интеграла тоже применяем формулу интегрирования по частям:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Таким образом, получаем уравнение относительно исходного интеграла:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Решаем его и записываем окончательный результат:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Интегрирование элементарных рациональных алгебраических дробей

Простейшими рациональными алгебраическими дробями называются дроби четырех типов, а именно:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

где Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных – больше единицы натуральное число; квадратные трехчлены не имеют действительных корней, то есть Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных Эти дроби еще называют элементарными.

При нахождении неопределенных интегралов от дробей первого и второго типов не возникает трудностей, они легко берутся методом непосредственного интегрирования:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

На практике такие неопределенные интегралы, как правило, берутся устно: условие – ответ.

Например:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Аналогично действуют, когда знаменатели дробей являются линейными функциями от Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных общего вида:Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных где Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных и Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных – постоянные:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

При интегрировании простого дроби третьего типа сначала в знаменателе выделяем полный квадрат, а затем вводим новую переменную.

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных интегрируем методом подстановки.

Выделяем в знаменателе полный квадрат двучлена Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Выполняем замену переменной Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных и подаем выходной интеграл Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных в виде суммы двух неопределенных интегралов:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Поскольку Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных (многочлен знаменателя не имеет действительных корней), то эту постоянную можно обозначить как Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Тогда первый из интегралов вычисляем по формуле (21.18), а второй – это табличный интеграл. Итак:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Возвращаясь к исходной переменной, получаем:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных где Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Приведем пример взятия неопределенного интеграла от дроби Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных типа.

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Рассмотрен подход к интегрированию простейших дробей третьего типа без принципиальных изменений переносят на некоторые не элементарные дроби, знаменатель которых содержит квадратный трехчлен, а именно:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных – неопределенный интеграл, в котором квадратный трехчлен имеет положительный дискриминант Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных С учетом замены переменной Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных знаменатель в выражении (22.5) принимает вид Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных Тогда второе слагаемое (22.5) является табличным интегралом, который можно найти по формуле (15) табл. 21.1;

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных – неопределенный интеграл, в котором знаменателем является квадратный трехчлен общего вида. Для его взятия сначала выносят за скобки коэффициент Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных (а за знак интеграла Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных), а затем действуют так же, как и при интегрировании элементарных дробей Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных типа;

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных – неопределенный интеграл, у которого квадратный трехчлен стоит под знаком квадратного корня. Такие интегралы находят так же, как и в прошлом случае.

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных Интегрирование дроби Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных типа вообще очень громоздкое: путем Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных-кратного интегрирования по частям его сводят к интегралу от дроби Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных типа.

Рекуррентная формула для случая Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных имеет вид:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

По известному Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменныхможно найти интеграл Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных для любого натурального показателя Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Интегрирование рациональных алгебраических дробей

Рациональной алгебраической дробью Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных называется отношение двух многочленов относительно переменной Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

где Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных – коэффициенты при степенях Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных – для всех Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных от 0 до Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных являются действительными числами; Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Если все коэффициенты при степенях Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, ниже степень старшего члена, равны нулю, то многочлен превращается в одночлен.

Правильной рациональной дробью называется дробь, степень числителя Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных которого меньше степень знаменателя Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных т.е. Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных в противном случае, при Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных дробь называется неправильной.

Если дробь неправильный, то его всегда можно представить в виде суммы многочлена Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных и правильной дроби:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

где Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных называют целой частью дроби Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Представление дроби в виде (22.8) называется выделением целой части.
Для этого надо выполнить деление «ступеньками» числителя дроби на его знаменатель. Рассмотрим это на примере.

Найдем целую часть неправильной дроби Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Деление «ступеньками» дает:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Следовательно,

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Поскольку интегрирование многочлена как суммы степенных функций не вызывает затруднений, то для интегрирования любых – правильных и неправильных – рациональных дробей надо уметь интегрировать правильные дроби.

Примем без доказательства теорему высшей алгебры, которая позволяет свести интегрирования любого дроби к интегрированию рассмотренных выше простых дробей.

Теорема 22.1. Любой правильный рациональный алгебраический дробь можно представить как сумму элементарных дробей – разложить на сумму элементарных дробей.

Разложение Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных на сумму элементарных дробей (далее – просто разложение Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных) осуществляется следующим образом:

1) раскладываем знаменатель дроби – многочлен Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных – на простые множители, то есть подаем его в виде произведения линейных множителей и квадратичных множителей с отрицательными дискриминантами:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

где однотипные множители могут повторяться (например, множитель Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных – повторяется Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных раз, а множитель Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных повторяется Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных раз);

2) ставим в соответствие каждому множителю самый рациональный алгебраический дробь или их сумму (табл. 22.1)

3) записываем Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных как сумму всех полученных дробей.

Соответствие между множителями знаменателя и простейшими дробями       Таблица 22.1

 Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Следовательно, получаем:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

где Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных – некоторые постоянные, которые называются коэффициентами разложения.

Надо заметить, что в этом раскладе будет столько дробей, сколько корней имеет многочлен Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных учитывая их кратность Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных а именно: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

4) определяем числовые параметры расписания, то есть его коэффициенты.

Реализацию этого шага осуществляют с помощью так называемого метода неопределенных коэффициентов, согласно которому нахождение коэффициентов разложения сводится к решению системы линейных уравнений. В основе метода лежат следующие свойства:

а) равенство не нарушится, если обе его части умножить на одно и то же выражение, определенное на множестве действительных чисел;
б) в равных многочленов коэффициенты при одинаковых степенях переменной равны между собой.

Рассмотрим примеры интегрирования рациональных алгебраических дробей.

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Подынтегральная функция является правильным рациональным дробью. Разложим эту дробь на простейшие дроби:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Умножим обе части равенства на знаменатель Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных в результате чего получим:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Находим коэффициенты Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных Сначала в обе части подставим корни знаменателя: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Осталось найти Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Для этого приравняем коэффициенты, например при Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, в многочленов левой и правой частей равенства:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Следовательно,

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Под знаком интеграла знаменатель правильной дроби имеет только один действительный корень Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных а уравнение Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных не имеет действительных корней, тогда расписание выходного дроби на сумму элементарных иметь вид:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Опять умножим обе части равенства на знаменатель Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменныхИнтегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Определяем коэффициенты Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Следовательно, исходный интеграл запишется в виде суммы двух интегралов от простых дробей, которые легко берутся:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Интегрирование некоторых видов иррациональных функций

Иррациональным называется алгебраическое выражение, содержащее операцию извлечения корня.

Интегрирование простейших иррациональностей

Так называют нахождения неопределенного интеграла от функций, зависящих от дробных степеней переменной Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных или дробных степеней линейной и дробно-линейной функции от Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.

1. Неопределенный интеграл функции, рационально зависит от дробных степеней переменной Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных имеет вид:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Такой интеграл сводится к интеграла от рациональной функции относительно новой переменной Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных (рационализируется) с помощью подстановки Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, где Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных – наименьшее общее кратное знаменателей дробных показателей степени. Действительно, при замене исходной переменной Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных на Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных все показатели степени новой переменной в под интегральной функции становятся целыми числами, поскольку число Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных делится нацело на все числа Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Выполним в интеграле (22.10) подстановку:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

где Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных – рациональная функция от Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, то есть многочлен или рациональный алгебраический дробь.

Рассмотрим интеграл: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Анализ степеней переменной Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных с дробными показателями дает: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных поэтому Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных Применим подстановку Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Обратите внимание, что выделение целой части неправильной дроби в данном примере осуществлялось не делением «ступеньками», а путем тождественных преобразований.

2. Неопределенный интеграл от функции, рационально зависит от дробных степеней линейной функции переменной Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Такой неопределенный интеграл рационализируется с помощью подстановки Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, где, как и выше, Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных – наименьшее общее кратное знаменателей дробных показателей.

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Нахождение неопределенного интеграла (22.11) ничем принципиально не отличается от интегрирования по формуле (22.10), но соответствующие изложения – символические записи – более громоздкие, особенно при возвращении к исходной переменной.

Пусть в предыдущем примере вместо Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных выступать линейная функция от Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, например, Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, тогда будем иметь:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

и первоначальная под знаком радикала содержать не просто Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, а выражение Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

3. Неопределенный интеграл от функции, рационально зависит от дробных степеней дробно-линейной функции переменной Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных где Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

рационализируется подстановкой: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, где Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных – наименьшее общее кратное знаменателей показателей степени, как и в пунктах, рассмотренных выше.

Замена переменной осуществляется с учетом преобразований:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

где Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных – рациональная функция от переменной Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.

Найдем неопределенный интеграл: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Осуществляем подстановку: 

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Получили подынтегральную функцию, которая является правильным рациональным алгебраическим дробью.

Вместо трех отдельных неопределенных интегралов от простейших иррациональностей можно было бы рассматривать только (22.12), поскольку все другие являются его частными случаями.

Неопределенные интегралы, первобытные которых не выражаются через конечное число элементарных функций, называют интегралами, которые не берутся в конечном виде. К таким интегралов, например, относятся:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Интегрирования функций, рационально зависящих от тригонометрических функций

І. Интегрирование произвольных рациональных функций от Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Рассмотрим способы, с помощью которых берутся интегралы вида

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

где Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных является интегрируемой рациональной функцией от Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных и Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Общий подход к интегрированию таких функций заключается в применении подстановки Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных которую называют универсальной тригонометрической подстановкой. С ее помощью подынтегральная функция становится рациональным алгебраическим дробью Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Действительно:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

как видим, Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных является рациональной функцией переменной Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.

Привлечем тригонометрические формулы представления функций Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных через тангенс половинного угла, тогда:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Заданный интеграл принимает вид:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

так результатом арифметических операций над дробями есть дроби.

Применим эту подстановку к интегралам вида:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных и Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Найдем Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Сделаем подстановку Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Тогда получим:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Найдем Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Используя универсальную тригонометрическую подстановку Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных и подставляя в интеграл Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, получим:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Найдем Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Надо отметить, что интегралы, содержащие в знаменателе степени Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных при использовании универсальной тригонометрической подстановки сводятся к более простым рациональных дробей, поэтому сделаем замену:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных и Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

и получим:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Найдем Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

С помощью подстановки Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных осуществляем переход к новой переменной:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Подынтегральная функция является правильным рациональным дробью.
Раскладываем его на сумму простейших:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

После умножения обеих частей равенства на Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных имеем:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

ЕслиИнтегральное исчисление функций одной и нескольких переменных тогда Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных при Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных получаем Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных или Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Для нахождения Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных и Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных составим систему двух уравнений, для чего приравняем коэффициенты при одинаковых степенях Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных в левой и правой частях равенства:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Подставляем в систему Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных Тогда Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Следовательно,

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Универсальная тригонометрическая подстановка часто приводит к сложным, громоздких выражений, поэтому целесообразно рассмотреть отдельные случаи интегралов типа Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных 

ІІ. Интегрирования функций, нечетных (четных) относительно синуса или (и) косинуса. Функция Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных называется нечетным относительно функции Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных если выполняется условие:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

есть знак функции меняется на противоположное, если в ней заменить или Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных на Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных или Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных на Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Функция Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных называется парной относительно функций Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных и Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, если выполняется условие:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

есть функция не меняется, если в ней одновременно заменить Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных и Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных на Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменныхи Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных соответственно.

Правило введения новой переменной. Если функция Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

1) нечетная относительно функции Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, то выполняется подстановка Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменныхи применяется тождество Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
2) парная относительно функций Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных и Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных то выполняется подстановка Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных или Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных и применяются тождества:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Найдем неопределенный интеграл Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Поскольку подынтегральная функция нечетная относительно функции Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, поэтому выполняем подстановку Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Предлагаем интегрирование суммы дробей осуществить самостоятельно.

Если в подынтегральной функции Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных показатель степени косинуса увеличить на единицу, то она станет парной относительно Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных и Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, и тогда возлагаем Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

ІІІ. Интегрирование произведения целых степеней синуса и косинуса:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменныхкроме Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Такие неопределенные интегралы являются частным случаем рассмотренных выше (см. II), поэтому если:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных– нечетное, возлагаем Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных – нечетное, возлагаем Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных парные, возлагаем Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

В третьем случае часто вместо предложенных подстановок используют формулы снижения степени (тригонометрических функций):

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Они позволяют в ряде случаев избежать введения новой переменной.

Найдем интеграл Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Поскольку подынтегральная функция содержит Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных в нечетном степени, то выполняем подстановку Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных подаем как Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных и применяем тождество Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Неопределенные интегралы, для нахождения которых используются формулы преобразования произведения тригонометрических функций на сумму, выделяют в отдельный вид.

IV. Интегрирование произведения первых степеней синусов и косинусов, имеющих различные аргументы.

Так называют взятие неопределенных интегралов вида:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

где Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных и Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных – действительные числа.

Нахождение неопределенных интегралов (22.21) сводится к непосредственному интегрированию благодаря применению таких тригонометрических формул:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Найдем, например, интеграл от произведения синусов:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

V. Интегрирование натуральных степеней тангенса и котангенса:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Нахождение таких интегралов можно осуществлять введением новой переменной Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных соответственно. Например,

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Подынтегральная функция Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных будет неправильным рациональным дробью, ее интегрирования потребует выделения целой части этой дроби.

Аналогично поступают при взятии интегралов от натуральных степеней функции Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Найдем интеграл Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Вводим новую переменную Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных тогда получим:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

К нахождению рассмотренных интегралов сводятся неопределенные интегралы вида:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Действительно, если использовать соотношение (22.16) и (22.17), получим:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Раскрыв скобки, получим интеграл от суммы степеней Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных или Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

VІ. Интегрирование квадратичных иррациональностей (тригонометрические подстановки).

Общий подход к рационализации соответствующих интегралов

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

где рассматриваются все пары знаков, кроме Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, заключается в применении подстановок вида Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, с помощью которых подынтегральная функция становится рационально зависит от тригонометрических функций. Ниже в таблице 22.2 приведены соответствующие замены переменной.

Анализируя подынтегральное выражение, убеждаемся, что благодаря тригонометрическим подстановки переменная Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, ее дифференциал Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, квадратные корни из двучлена становятся рационально зависимыми от функций Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Например:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Для того чтобы избавиться от радикала в интегралах 1, 2, 3 (табл. 22.2), используют соответственно такие тригонометрические формулы:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

                                                                                                                                                                   Таблица 22.2   Тригонометрические подстановки для рационализации неопределенных интегралов   

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных                                                                                                                                                                     

Найдем неопределенный интеграл Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Под знаком радикала имеем двучлен Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных Следовательно, возлагаем Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

     Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных  

Ответ значительно упрощается, если задействовать формулу тангенса половинного угла и некоторые другие соотношения:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных                                                  Таким образом, 

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных   

Интегральное исчисление функции одной переменной

Одной из основных задач раздела IV “Дифференциальное исчисление функций одной переменной” является задача нахождения производной от заданной функции. Раздел математики, который решает обратную задачу — нахождение функции по ее производной (интегрирование), а также другие задачи, непосредственно связанные с интегрированием, называется интегральным исчислением. Предметом изучения данного раздела являются интегралы: определенный, неопределенный, поверхностный, криволинейный, двойной, тройной, и их свойства, методы нахождения,
их применение к решению различных задач.

Интегральное исчисление практически возникло из задач вычисления площадей и объемов различных фигур и тел. Впервые такие задачи пытались решить ученые Древней Греции (Евдокс Книдский, Архимед и др.). В XVI – XVII вв. интенсивное промышленное развитие в Европе привел к развитию интегрального исчисления и его применения. Труды ученых И. Кеплера, Б. Кавальери, П. Ферма, Э. Торричелли, Дж. Валлиса, Б. Паскаля, Х. Гюйгенса углубили теоретические основы интегрального исчисления. Ученые И. Ньютон и Лейбниц создали ряд общих методов нахождения интегральных сумм. Их работы много
задач интегрального исчисления свели к чисто технического уровня. Г. Лейбниц ввел удобную символику, которая применяется и сейчас. А формула Ньютона-Лейбница, которая связала неопределенный и определенный интегралы, является центральной формулой интегрального исчисления. Дальнейшее историческое развитие интегрального исчисления связано с именами И. Бернулли, Л. Эйлера, П. Чебышева, О. Коши, В. Буняковского. Существенными для развития интегрального исчисления являются работы
выдающегося украинского математика М. В. Остроградского (12.09.1801–20.12.1861, родился в с. Пашеновка, Козельского р-на Полтавской обл.), учился в Харьковском университете, где его учителями были Т. Ф. Осиповский и А.Ф. Павловский. Во время пребывания в Париже слушал лекции А. М. Ампера, О. Л. Коши, П. С. Лапласа, С. Д. Пуассона, Ж. Б. Ж. Фурье. Друг В. Я. Буняковского. Находясь в Петербурге, подружился с Т. Г. Шевченко. Основные труды М. В. Остроградского касаются математической физики, математического анализа (формула связи интеграла по объему с интегралом по поверхности, принцип разложения функций в ряд по собственными функциями, принцип локализации для тригонометрических рядов, правило преобразования переменных в двойных интегралах, метод интегрирования рациональных функций и др.), теоретической механики. Решил некоторые задачи по теории чисел, алгебры, дифференциальных уравнений, теории рядов.

Первоначальная функция и неопределенный интеграл

Задача нахождения для функции f (x) такой функции F (x), что F’ (x) = f (x) является основной задачей интегрального исчисления. Операция интегрирования (нахождение интеграла) является обратной операцией к дифференцированию (нахождение производной). Термин
“интеграл” происходит от латинского integer — целый. Иногда использует термин “антипроизводная”.

Определение 1. Функция F (x) называется первообразной для функции f (x), если для любого х из области определения f (x),

F’ (x) = f (x)        или         dF (x) = f (x) dx.                                                      (6.1)

Например,
а) для f (x) = 2cos x, первообразной есть F (x) = 2 sin x, потому что
F’ (x) = (2 sin x) ‘= 2cos x = f (x).

б) для f (x) = 4x3    —         F (x) = x4, потому что     F’ (x) = (x4) ‘= 4x3 = f (x).

Отыскание первообразной является операцией неоднозначной. Так F (x) = x4 + 5, F (x) = x4 – 24,3   и  F (x) = x4 + 179 и т. д. и вообще, F (x) = x4 + C, где С — произвольное постоянное число является первообразной для f (x) = 4 x3.

ТЕОРЕМА 1. Если F1 (x) и F2 (x) — две первообразные для функции f (x) на отрезке [a; b], то разница между ними равна постоянному числу.

Доказательство. Пусть Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных  и  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных  Тогда
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных,  а значит, по следствию из теоремы Лагранжа о конечных приращениях, что
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных    или     Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.                           (6.2)

Определение 2. Совокупность всех первообразных для функции f (x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных                                                                          (6.3)

При этом F’ (x) = f (x), f (x)  называется подынтегральной функцией, f (x) dx —подынтегральным выражением, — знак неопределенного интеграла.

Операция отыскания первообразной для данной функции называется интегрированием. Таким образом, неопределенный интеграл — это множество всех функций, производная которых равна подынтегральной функции, а дифференциал равен подынтегральному выражению.

Основой для интегрального исчисления является такая теорема.

ТЕОРЕМА 2. Если функция непрерывна, то для нее существует первообразная, а следовательно, и неопределенный интеграл.

(Доказывается в фундаментальных курсах высшей математики). С геометрической точки зрения неопределенный интеграл — это семейство кривых, каждая из которых образуется смещением одной из них параллельно себе вверх или вниз (рис. 1).

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Рис. 1.

Основные свойства неопределенного интеграла

ТЕОРЕМА 3. (Свойство 1) Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных                                                                 (6.4)

Доказательство. Согласно определению (6.2),  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменныха потому Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Итак производная от первообразной равна подынтегральной функции.

ТЕОРЕМА 4. (Свойство 2) Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных                                                                         (6.5)

Доказательство. По определению дифференциала d (f (x)) = f ‘(x) dx.
Поэтому  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

ТЕОРЕМА 5. (Свойство 3) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции F (x) равен этой функции с точностью до произвольной постоянной: 
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных                                                                                          (6.6)

Доказательство. Продифференцируем левую и правую части равенства.
Получим: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных   и
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных .

Правые части равенств одинаковы. Значит равны и левые. Теорему доказано.

Аналогично, дифференцированием левой и правой частей равенства доказываются теоремы 6 и 7.

ТЕОРЕМА 6. (Свойство 4) Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных (6.7)

ТЕОРЕМА 7. (Свойство 5) Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных                                                   (6.8)

Таблица неопределенных интегралов

Интегрирования является операцией, обратной к дифференцированию. Поэтому формулы интегрирования получают из формул для нахождения производных. А универсальность применения формул интегрирования следует из теоремы о независимости вида неопределенного интеграла от выбора аргумента (инвариантность неопределенного интеграла относительно переменной интегрирования).

ТЕОРЕМА 8. Пусть f (x) — некоторая непрерывная функция на данном промежутке, х — независимая переменная, F (x) — ее первообразная,  ∫ f (x) dx = F (x) + C , и пусть u = φ (x) непрерывно дифференцируемая функция. Тогда   ∫ f (u) du = F (u) + C.            (6.9)

Доказательство. Рассмотрим интеграл ∫ f (u) du = ∫ f (u) u’dx. В этом случае сложная функция F (u) = F (φ (x)) является первообразной для f (u).

Действительно, вследствие независимости дифференциала первого порядка от выбора независимой переменной, получаем
dF (u) = F’ (u) du = f (u) du.   При этом
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.

Поэтому, из справедливости формулы (6.3), следует справедливость формулы
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных                                                                                (6.9)

Итак формулами интегрирования можно пользоваться при любой переменной интегрирования. Используя таблицу дифференциалов основных элементарных функций, выведем некоторые формулы интегрирования. Другие выводятся аналогично.

1) Интегрируя формулу Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных , получим
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.                                                                                           (6.10)

2) В случае показательной функции, используем формулу Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных .  Интегрируя это равенство, получим:
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.   И далее Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Вследствие того, что ln a — величина постоянная, то и Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных— тоже произвольная постоянная, которую принято записывать С.
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных                                                                                                (6.11)

3) Выведем формулу интегрирования из формулы:
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.
Получим  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных 
Итак,   Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных                                                                    (6.12)

4) Интегрируя формулу дифференцирования Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных  получаем Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных  или   Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.

Используя эту формулу, будем иметь:
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных                                                               (6.13)

5)  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Для вывода этой формулы используют формулу для нахождения дифференциала Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.  Если показатель степени равен n + 1 , формула запишется так: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных .

Интегрируя эту формулу (левую и правую часть) и, сделав преобразование, получим
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных                                                                          (6.14)

6) Формулы Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных                                                     (6.15)
и  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных                                                           (6.16)
доказываются дифференцированием левой и правой частей равенства.

Такой метод доказательства формул можно использовать для любой формулы интегрирования.

7) Докажем справедливость формулы Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.
Пусть х > 0. Тогда  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных .  Если х < 0, то
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.  Формула доказана.

Для компактности все формулы сводят в таблицу.

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Методы вычисления интегралов

Непосредственное интегрирование

Непосредственное интегрирование — это метод, который заключается в прямом применении табличной формулы и свойств неопределенного интеграла.

Пример 1.  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Использовали формулу Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.

Пример 2. Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных .
Для нахождения этого интеграла использована формула
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.

Пример 3.  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.

В данном случае, после элементарных преобразований, интегрируем по формуле Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.

Метод разложения

Метод разложения заключается в том, что интеграл раскладывают на сумму (разность) табличных интегралов.

Пример 4.
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.

При интегрировании этого выражения учтено то, что постоянный множитель выносится за знак интеграла, а также то, что сумма произвольных постоянных интегрирования тоже постоянна, и ее записывают как одну.

Метод подстановки (метод замены переменной)

Метод заключается в том, что вводится новая переменная x = φ (t), или t = ψ (x). Удачной заменой часто удается существенно упростить интеграл и даже свести его к табличному.

Пусть x = φ (t) — дифференцируемая функция от t, производная φ’ (t) которой сохраняет знак на промежутке интегрирования.

Формулу замены переменной Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных  получаем на основе свойства инвариантности неопределенного интеграла (теорема 8) и, учитывая, что dx = φ'(t) dt. Для доказательства продифференцируем правую и левую части формулы
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных       Формула доказана.

Пример 5. Найти ∫ tg (x – 3) dx.

Решение. При интегрировании данного выражения вводим замену t = cos (x-3). Тогда dt = dcos (x – 3) = –sin (x – 3) dx. Получаем:
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Пример 6. Найти  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.
Решение. Вводим замену x2 + 3 = t. Определяем  dt = 2xdx. Учитывая, что Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, получаем  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.

Рассмотрим еще две важные формулы, которые существенно ускоряют интегрирование: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных                                                            (6.17)
и   Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.                                                                      (6.18)

Выведем их. Если ∫ f (u) du = F (u) + C    и    u = ax + b — линейная функция от х, то du = d (ax + b) = adx. Подставив в выражение для интеграла, получим ∫ f (ax + b) d (ax + b) = a∫ f (ax + b) dx = F (ax + b) + C.

Из последнего равенства следует, чтоИнтегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.
Вторая формула выводится на основании формулы Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, с учетом того, что Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.

Пример 7. Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.

Пример 8. Найти  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.
Решение.
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Метод интегрирования по частям

Пусть заданы две непрерывно дифференцированные функции u (x) и v (x). Рассмотрим дифференциал произведения: d (u ⋅ v) = udv + vdu. Проинтегрируем это выражение: ∫d (u⋅ v) = ∫ udv + ∫vdu. Преобразовав, получаем формулу интегрирования по частям:
∫ udv = uv – ∫ vdu.                                                                                                       (6.19)

Применяя эту формулу, подынтегральное выражение f (x) dx подают в виде произведения множителей u и dv. Для данного метода имеет большое значение правильный выбор функций u и v. Необходимо, чтобы множитель dv был выражением, которое интегрируется. Есть несколько видов интегралов, для которых правила выбора функций u и v известны.
а) Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Подынтегральное выражение содержит произведение многочлена на тригонометрическую, или многочлена на показательную функцию. Выбираем за u многочлен, а за dv — оставшееся выражение.

Пример 9. Вычислить ∫ x sin 3 xdx.

Решение. Применяем метод интегрирования по частям (6.19): ∫udv = uv-∫vdu. Выбираем: u = x, dv = sin 3x dx.  Тогда du = dx, Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных  Получаем
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.

б) Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменныхИнтегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.

Подынтегральное выражение — произведение многочлена на логарифмическую или многочлена на аркфункцию. За dv берем произведение многочлена на dx, а за u — логарифмическую или аркфункцию.

Пример 10. Вычислить ∫ arctg xdx.

Решение. За u берем arctg x, за dv dx. Тогда Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных  а v = x, и по формуле интегрирования по частям
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

в) Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
В этом случае выбор u и v несущественны.

Пример 11. Найти Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Решение. Выберем u = e3x, а dv = sin xdx. Тогда  du = 3e3xdx,  v = –cos x. Итак, 
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных — интегрируем по частям. Опять выберем u = e3x.
Тогда dv = cos xdx, v = sin x. Получаем
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Искомый интеграл есть в правой и в левой частях равенства. Определим его: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Итак   Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Такие интегралы иногда называют циклическими или круговыми. При их интегрировании обязательно по u дважды выбирать ту же самую функцию.

Примечание: В случае, если подынтегральное выражение является произведением многочлена на одну из рассмотренных функций, можно интеграл разложить на сумму нескольких интегралов. Например,

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Интегрирование рациональных дробей

Функциями, которые всегда интегрируются, есть рациональные дроби. Пусть Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных  и  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных два многочлена с действительными коэффициентами. Выражение Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных называется рациональной дробью.

Если степень числителя меньше степени знаменателя, то дробь называется правильной. Если же степень числителя больше или равна степени знаменателя, то дробь называется неправильной. Так, например,  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных — правильная дробь, а дробь Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных — неправильная.

Теорема Вейерштрасса о приближении. Любую функцию f (x), непрерывную на (а, b), можно с заранее заданной произвольной погрешностью заменить многочленом
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

То есть, практически, много интегралов можно свести к интегрированию рациональных функций. Из алгебры известно, что всякий многочлен можно разложить на произведение множителей вида (x – b) и  (x2 + px + q), так называемых неприводимых многочленов, где (x2 + px + q) — квадратный трехчлен, который имеет действительные корни. И всякую правильную дробь можно разложить на сумму простых:
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных                                                (6.20)
Это делают методом неопределенных коэффициентов.

Метод неопределенных коэффициентов

Метод неопределенных коэффициентов дает алгоритм для нахождения коэффициентов разложения правильной рациональной дроби на сумму простых.

Пусть
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных                       (6.21)

Сводим правую часть равенства к общему знаменателю. Приравниваем соответствующие коэффициенты числителя левой части к коэффициентам числителя правой. Получаем систему линейных алгебраических уравнений. Ее решения являются коэффициентами разложения.

Пример 12.

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Это пример разложения правильной рациональной дроби на сумму простых, где А1, А2, В, Мi, Ni — неопределенные коэффициенты.

Пример 13. Найти интеграл  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных .
Решение.
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных — правильная дробь. Раскладываем знаменатель на произведение неприводимых множителей:
х3 + х – 10 = (х – 2) (х2 + 2 х + 5). Для уравнения х2 + 2х + 5 = 0D = 4 – 20 < 0. Поэтому уравнение не имеет действительных корней.
Итак,  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.

Сведя к общему знаменателю и приравняв числительные
получим: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.

Приравнивая соответствующие коэффициенты получаем:
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
N = 9 + 4M;       – 13M – 18 = 8;      – 13M = 26;      M = -2;     N = 1;     A = 2.

Мы получили интегралы от дробей (6.20). Итак:
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.

Найдем, соответствующие простым дробям (6.20) интегралы, а затем завершим пример, использовав полученные результаты.

Интегралы от простейших рациональных дробей

а)Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных .                                                               (6.21)
При решении использована формула (6.7) и табличный интеграл Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.

б) Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.                            (6.22)

в) Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных                                 (6.23)

Пример 14.  Найти  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Используя формулу (6.23), запишем
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменныхИнтегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.

Однако, на практике это громоздкую формулу применяют редко, а интеграл ищут, выделив в знаменателе полный квадрат.
x2 – 4x + 8 = x2 – 4x + 4 + 4 = (x – 2) 2 + 22. Сделаем замену (х – 2) = u.

Тогда Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.

г) Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Выделив в знаменателе полный квадрат, определяем замену:
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных . Введя ее, получаем сумму двух выражений:

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.

Интеграл Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных находим, например, новой заменой t2 + 1 = u, tdt = du.
Интеграл Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных  найдем, выведя рекуррентную формулу.
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных   и далее
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных  Это рекуррентная формула, которой
понижается порядок знаменателя. Использовав ее (к – 1) раз, приходим к интегралу Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных который является табличным. Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Мы рассмотрели четыре случая, к которым сводится интегрирование правильных рациональных дробей. Завершим решение примера 13, используя выведенные формулы:
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных Итак:
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Интегрирование неправильных рациональных дробей

Интегрирования неправильных рациональных дробей сводится (после выделения целой части дроби) к интегрированию многочлена и интегрированию правильной рациональной дроби.

Пример 15. Вычислить интеграл Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Решение. Рациональная дробь неправильная. Выделяем целую часть и записываем ее в виде суммы целой и дробной частей.

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных               Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Тогда
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Используя метод неопределенных коэффициентов, раскладываем дробь на сумму простых:
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

 
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных  Получим:
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Итак Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.

Метод Остроградского интегрирования рациональных функций

Это метод выделения алгебраической части в неопределенных интегралах от рациональных функций. Пусть Р (х) и Q (x) — многочлены с действительными коэффициентами. Степень Р (х) меньше степень Q (x). То есть Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных — правильная рациональная дробь и
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Пусть, также Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных  и   Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных — многочлены. То существуют
многочлены Р1 (х), Р2 (х), степени которых меньше степени Q1 (x), Q2 (x) соответственно, такие что Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных                                                                 (6.25)

Коэффициенты многочленов Р1 (х) и Р2 (х) можно найти методом неопределенных
коэффициентов, продифференцировав  (6.25). Q1 (x) является наибольшим общим делителем Q (x) и его производной Q’ (x) и можно определить с помощью метода Евклида.
Q2 (x) = Q (x) / Q1 (x). Формула сводит интегрирование правильной рациональной дроби к интегрированию правильной рациональной дроби, знаменатель которой имеет простые
корни.

Пример 16. Найти интеграл   Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.
Решение. Разложим многочлен (x3 + 1) на простые множители:  x3 + 1 = (x + 1) (x2 – x + 1). Тогда, по методу Остроградского, запишем:
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Дифференцируем это выражение и сводим к общему знаменателю.

Приравниваем числители:
1 = -Ax4 – 2Bx3 – 3Cx2 + 2Ax + B + D (x5 – x4 + x3 + x2 – x + 1) + (Mx + N) (x4 + x2 + x + 1). Приравнивая соответствующие коэффициенты, получаем
0 = D + N; 0 = –A – D + M + N;  0 = –2B + D + N;   0 = –3C + D + M;  0 = 2A – D + M + N;  1 = B + D + N.
Решением этой системы уравнений является: A = C = 0; B = 1/3; D = 2/9; M = -2/9; N = 4/9.

Итак Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Интегрирование тригонометрических функций

При интегрировании тригонометрических функций важно уметь использовать тригонометрические формулы, удачно подобранной заменой или подстановкой свести
интеграл к более простому (дробно-рациональному выражению), а в результате — и к табличному. Есть некоторые виды интегралов (однако не все), для которых существуют правила их нахождения.

а) Интегралы вида  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Если хотя бы одно из чисел m или n — положительное целое нечетное число, например
m, то вводим замену cosx = t. Тогда
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Если же n — положительное нечетное, то sin x = t,
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Пример 17. Найти Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.

Решение. Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Если m и n — четные неотрицательные числа, то понижают степени по формулам:Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Пример 18. Найти ∫ cos2 xdx

Решение.
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

б) интегралы вида Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.
Эти интегралы упрощаются применением формул преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Такие интегралы имеют широкое применение в теории рядов Фурье.

Пример 19. Найти ∫ sin5 x cos 3x dx.

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

в) интегралы вида ∫ R (sin x, cos x) dx,  универсальная тригонометрическая подстановка.

Для интегралов вида Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных   где Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных — рациональная функция относительно sin x, cos x, часто применяют универсальную подстановку. Это подстановка Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных                                                                                                             (6.26)
Тогда: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
 

Пример 20. Найти   Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных .
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

и дальше интегрируем как рациональную дробь (пункт 6.1.5.). Интегрирование тригонометрических функций и интегрирование иррациональных функций удачно подобранной заменой часто сводится к интегралу от рациональной дроби, который и всегда интегрируется.

 Интегрирование некоторых иррациональных функций

Интегралы вида Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных  сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки ax + b = t k, где k — наименьшее общее кратное чисел m, …, n.

Пример 21. Найти   Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Решение. Использована замена: x – 3 = t6, dx = 6t5dt, Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

А дальше ищем интеграл от рациональной функции (пункт 6.1.5.).

Интегралы Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных можно свести, выделив под знаком радикала полный квадрат, до трех таких интегралов:
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных  вводим замену x = a sin t   (x = a cos t).
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных   замена x = atg t (x = actg t).
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных замена  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Для интегралов вида   Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных    часто используют подстановку (подстановка Эйлера)    Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
 

В заключение следует заметить, что различные способы интегрирования
могут привести к различным аналитическим выражениям первообразной. Однако мы
получаем выражения, которые отличаются разве что на постоянную.

Понятие о неопределенном интеграле, не имеющем первообраных в элементарных функциях

До этого момента мы удачно решали задачу нахождения неопределенного интеграла для функции. Однако, мы увидели, что эта задача не является простой. Более того, доказано, что есть ряд функций, первообразная для которых не может быть представлена, как выражение, образованное “элементарными” функциями. Приведем в качестве примера некоторые такие интегралы: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.

Определенный интеграл

При решении некоторых важных задач необходимо находить бесконечную сумму бесконечно малых слагаемых. Это приводит к одному из центральных понятий математики — определенному интегралу.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Задача о площади криволинейной трапеции
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Рис. 2.

Найдем площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции y = f (x) на
отрезке [a, b], осью абсцисс, и прямыми x = a и x = b. Назовем ее криволинейной трапецией (рис. 2). Для простоты, рассмотрим случай, когда f (x) ≥ 0 на данном отрезке [a, b]. Разобьем промежуток [a, b] на n отрезков [xi-1 , xi] (i = 1, 2, 3 … n), x0 = a , xn = b. На каждом из отрезков [xi-1 , xi] — выберем по произвольной точке Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных (i = 1, 2, 3 … n). Тогда площадь i-го прямоугольника Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, а площадь ступенчатой ​​фигуры данного разбиения Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных,  где Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных — значение функции f в точке ξi , а  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Если теперь количество точек разбиения увеличивать, одновременно уменьшаяИнтегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, то площадь S трапеции можно записать, как Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.
Доказано, что выбор точек разбиения на площадь S не влияет.

Задача об объеме производства с переменной производительностью труда

Анализируя любое производство видно, что производительность есть величина переменная и в разные моменты разная. Пусть производительность за период от 0 до (определенный период времени) описывается функцией f (t). Разобьем промежуток [0; t] на n промежутков продолжительностью Δti  и считая производительность за время Δti постоянной и равной f (ti) определим, приблизительно, объем продукции произведенной за промежуток времени (tk; tl)  как Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Тогда, увеличивая количество промежутков разбиения, получаем все более точные формулы для вычисления объема изготовленной продукции. Если же Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных и  Δti → 0, то  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных .

Определенный интеграл, как предел интегральных сумм

Проведем рассуждения аналогично соображениям предыдущего пункта. Для непрерывной функции f (x) , определенной на [a, b], и для разбиения Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных (рис. 2.) запишем сумму
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных                      (6.27)

Сумму (6.27) называют интегральной суммой. Введем еще одну величину maxΔxi — это длина наибольшего из отрезков Δxi = xi – xi-1

Определение 3. Функция f (x) называется интегрируемой на [a, b], если существует конечный предел
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных ,  не зависящий от того, каким образом промежуток [a, b] разделен на частичные промежутки, и каким образом выбираются точки ξi на этих частичных промежутках, лишь бы длина максимального из них стремилась к нулю (max Δxi   → 0).

Определение 4. Число I называется пределом интегральной суммы  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, если для любого произвольного ε > 0 найдется такое δ > 0, что как только Δmax xi < δ, то выполняется неравенство
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, независимо от выбора частных промежутков Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных и точек ξi на этих промежутках.

Определение 5. Определенным интегралом от функции f (x) на промежутке [a, b] называется предел Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.

Обозначается  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных .
Числа a  b называются, соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования, а [a, b] — промежуток интегрирования.
На основе этих определений можно записать, что
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных — формула для нахождения площади фигуры (рис. 2) и
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных — формула для нахождения объема производства.                     (6.2.1)
Для пределов интегральных сумм сохраняются многие свойства пределов последовательностей или функций. Однако, из определения определенного интеграла не следует, что любая функция интегрируема на любом интервале. Есть такие функции, для которых не существует определенный интеграл. Ответ на вопрос о существовании определенного интеграла дает такая теорема.

ТЕОРЕМА 9. Если функция f (x) непрерывна на замкнутом промежутке [a, b], то она интегрируема на этом промежутке, то есть для нее существует определенный интеграл Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Теорема доказывается в широких курсах высшей математики.

ТЕОРЕМА 10. Если по [a, b] функция ограничена и имеет лишь конечное число точек разрывов, то она интегрируема на [a, b].

Эта теорема дает возможность интегрировать разрывные функции.
Интеграл Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных был обозначен для случая a < b.
Дополним определение. Если a > b, то  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных             (6.28)
а если a = b, то  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных                                                                        (6.29)

Основные свойства определенного интеграла

Из определения Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных  получаем:
Свойство 1.   Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных                                                                         (6.30)
Свойство 2.    Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных                                                      (6.31)

Докажем еще несколько других свойств.

ТЕОРЕМА 11. (Свойство 3) Пусть c — промежуточная точка промежутка [a, b] (a < c < b). Тогда выполняется равенство
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных если все три интеграла
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных   и     Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных  существуют.

Доказательство. По условию a < c < b , и все три интеграла, о которых идет речь, существуют. Разобьем промежуток [a, b] на n частичных промежутков: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных с длинами, соответственно, Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных так чтобы точка с была точкой деления. (Например, Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.) Тогда интегральная сумма Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, что соответствует промежутку [a, b] , разобьется на два слагаемых:
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Перейдя к пределу при Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных,  получим:
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных                                                                 (6.32)

ТЕОРЕМА 12. (Свойство 4) Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных                                                              (6.33)

Доказательство. По определению Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

На основании свойства пределов, о том, что константу можно выносить за знак предела, и определения интеграла, получаем:
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

ТЕОРЕМА 13. (Свойство 5) Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких непрерывных функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций.

Доказательство. В общем случае все можно свести к рассмотрению такого выражения [f Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных                                                                      (6.34)

По определению интеграла, и учитывая свойство пределов (пункт 3.4.1.), получаем:
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
 

Теорема о среднем значении определенного интеграла

ТЕОРЕМА 14. (О среднем значении определенного интеграла). Если функция f (x) непрерывна на промежутке [a, b], то внутри него найдется такая точка с, что
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных                                                                         (6.35)
Доказательство. Если функция f (x) непрерывна на промежутке [a, b], то она достигает своих наибольшего и наименьшего значений М и m на промежутке [a, b] (пункт 3.6.2.). Разобьем промежуток [a, b] на n частичных промежутков длиной Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных Поскольку Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных  для любого ξi из промежутка Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, то
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных  Учитывая, что
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Получим   Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных                                                                 (6.36)

Аналогично, Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных поэтому Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных                (6.37)

Объединив эти два неравенства (6.36) и (6.37), получим
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Если Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, то   Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
или Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Учтем теорему о том, что функция f (x), непрерывная на промежутке [a, b] и приобретает на нем все промежуточные значения между своим наибольшим и наименьшим значениями, соответственно M и m. Пусть в точке с: m ≤ f (c) ≤ M, где (а ≤ с ≤ b).

Тогда Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных    значит Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных               (6.38)
А это и требовалось доказать.

Геометрический смысл определенного интеграла

Ранее мы выяснили, что площадь криволинейной трапеции, которая ограничена сверху кривой y = f (x), снизу — промежутком [a, b] оси Ох  (a ≤ x ≤ b) и с боковых сторон — прямыми х = а и х = в, равна: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных  Это значит, что  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Если же функция на (а; b) меняет знак — на (а; с) и (d; b) — положительная, а на (c; d) — отрицательная, то и соответствующие значения интегралов будут положительными и отрицательным (рис. 3).

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Рис. 3.

Поэтому площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке, вычисляют по формуле:
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Это нужно учитывать при нахождении площадей с помощью определенного интеграла и при вычислении определенного интеграла. В случае, если y = f (x) — нечетная функция, то  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных , если же четная, то Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.
 

Связь неопределенного и определенного интегралов. Формула Ньютона-Лейбница

Одним из важных моментов этого раздела является нахождение связи между определенным и неопределенным интегралами. Неопределенный интеграл ∫ f (x) dx — это функция, а определенный интеграл Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных — число. Какая между ними связь? Если величину b заменить переменной x и рассмотреть Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных  как функцию, то для этого интеграла выполняется теорема о свойство определенного интеграла с переменной верхней границей.

ТЕОРЕМА 15. Если функция f (x) непрерывна на [a, b], то производная определенного интеграла Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных с переменной верхней границей х по этой границе равна значению подынтегральной функции при t = x, то есть    Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных      (6.39)
Доказательство. Рассмотрим функцию Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных,  где f (t) — непрерывная на    [a, b]  функция. Докажем, что Ф (х) имеет производную Ф’ (х) = f (x). Зададим переменной х приращение Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Тогда Ф (х) будет иметь приращение Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменныхкоторое на рисунке 4 изображается площадью криволинейной трапеции СВВ1С1.

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Рис. 4.

Но  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.
Поэтому   Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.
На основании теоремы (11) получим Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Значит Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Применяя теорему (14), находим
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
где x < c <x + Δx. Отсюда следует, чтоИнтегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.                         (6.40)
Направим Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных  к нулю. Тогда  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных  будет стремиться к х, а значит и с будет стремиться к х. Вследствие непрерывности f (x), получим Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.
Переходя к пределу в равенстве (6.40), получим
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, то есть Ф’ (x) = f (x).

Но Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных  а  потому  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Однако, базовой при вычислении определенного интеграла, является следующая теорема.

ТЕОРЕМА 16. (Ньютона-Лейбница). Определенный интеграл от непрерывной функции      f (x) равна разности значений ее первообразной F (x) при x = b и x = a, где a и b — нижний и верхний пределы интегрирования, то есть имеет место формула:
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных                                                                      (6.41)
Доказательство. Рассмотрим функцию Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных По теореме 15 функция Ф (х) является первообразной для f (x) на промежутке [a, b]. Значит Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Но две первообразные для одной и той же функции отличаются только на константу. То есть Ф (х) = F (x) + C. Если же x = a, получим Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Поскольку Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных   и   0 = F (a) + C, то   F (a) = -C,     C = -F (a).
А значит    Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.
При x = b  получим   Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.
Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница и дает самый простой метод для нахождения определенного интеграла. Ее принято записывать так: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Методы вычисления определенного интеграла

В большинстве случаев вычисления определенного интеграла сводится к нахождению первообразной для соответствующего неопределенного интеграла, а затем используется формула Ньютона-Лейбница. Поэтому все методы, которые используются для нахождения неопределенного интеграла, используются для нахождения определенного интеграла.

Замена переменной в определенном интеграле

Пусть дано  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных f (x) — непрерывная на [a; b]. Замена переменной для определенного интеграла заключается в том, что вводится новая переменная, связанная с предыдущей соотношением x = φ (t) такая, что φ (t) — непрерывно дифференцируемая на [a; b]. Если при изменении t  от α до β, х изменяется от a до b, a = φ (α), b = φ (β) , и сложная функция f (φ (t)) определена и непрерывна на отрезке [α; β],  то правильная формула Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных                                                           (6.42)

Пример 22. Вычислить   Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.
Решение. Вводим новую переменную по формуле x = 2 sin t. Определим новые пределы интегрирования. Если х = 0, то 2 sin t = 0 и t = 0 — нижняя граница интегрирования. Если х = 2, то 2 sin t = 2 и  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных — верхняя граница интегрирования. Итак, t будет меняться от 0 до
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных . Тогда Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Метод интегрирования по частям

Заключается в применении формулы: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных                          (6.43)
Пример 23. Вычислить Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Решение. Используем формулу интегрирования по частям. Пусть u = x, dv = e-xdx. Получим du = dx, v = -e-x.
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Приближенное вычисление определенных интегралов

Нахождению интеграла посвящены все предыдущие выкладки этого раздела. Однако, как мы уже знаем, есть ряд функций, для которых первообразную невозможно выразить в элементарных функциях. С другой стороны, в применении определенного интеграла не обязательно иметь ему соответствующий неопределенный интеграл. Достаточно иметь его значение или найти его определенное численное приближение. Рассмотрим некоторые методы приближенного вычисления определенных интегралов.

Разложение подынтегрального выражения

При нахождении определенного интеграла раскладывают подынтегральную функцию по формулам Тейлора или Маклорена и интегрированием разложения находят соответствующий интеграла.

Пример 24. Вычислить  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Интегрирование с помощью таблиц

Ряд интегралов хорошо изучены и для них составлены таблицы. Это так называемые табулированные не элементарные “специальные” функции. Например интегралы Френеля: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных интегральная показательная функция, интегральные синус и косинус, функция Лапласа   Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных  и др.

Интегралы, для которых найдено точное значение определенного интеграла, без нахождения неопределенного интеграла

Например, Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных,   если (-1 < p < 1) ,  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных и др.

Численное интегрирование

Методы численного интегрирования дают приближенное численное значение определенного интеграла, если возможно вычислить значение подынтегральной функции в некоторых точках промежутка интегрирования.

Пусть надо найти Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.  Промежуток интегрирования [a; b] разбивают на 2n промежутков одинаковой длины Δ и находят значения функции yi = f (xi) в точках разбиения y0, y1, y2, y3 , …, y2n. Тогда Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных где Si — площадь криволинейной трапеции Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Выделим криволинейную трапецию Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных (рис. 6) и будем искать ее площадь. Если площадь фигуры (рис. 7)  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменныхИнтегральное исчисление функций одной и нескольких переменных заменить площадью прямоугольника с основанием Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменныхИнтегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, то получим формулу прямоугольников приближенного вычисления определенного интеграла.

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных 

Рис. 5.

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Рис. 6.                                Рис. 7.                            Рис. 8.                          Рис. 9.

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.                 (6.44)

Если же дугу Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных  заменить отрезком Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных (рис. 8), то фигура Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных — трапеция, и получаем формулу трапеций
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.                                    (6.45)

Несобственные интегралы и их нахождение

При определении  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных  предполагалось выполнение условий:
1. промежуток интегрирования [a, b]  конечный.
2. подынтегральная функция f (x) определена и непрерывна на [a, b].

В случае если хотя бы одно из условий не выполняется, интеграл называется несобственным. Рассмотрим два самых простых случаях.

Интеграл с бесконечными пределами интегрирования

Определение 6. Пусть f (x) определена на [a, Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных) и интегрируема на [a, Z], где [a, Z] — любой конечный промежуток. Тогда
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных                                                                              (6.47)
несобственный интеграл с бесконечными границами интегрирования.

По формуле Ньютона-Лейбница Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Если, при Z → Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных (F (Z) – F (a)) имеет конечный предел, то этот предел будет определен, и интеграл данной функции на (a, Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных) равен Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Аналогично рассматривается и интеграл вида  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.  В случае, когда нужно вычислить интеграл Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных , его разбивают на сумму двух Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных  и вычисляют каждый интеграл отдельно.

Интеграл от разрывной функции

Пусть f (x) определена на [a, b) и имеет точку разрыва при x = b. Итак Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных— соответствующий несобственный интеграл от разрывной функции. Если f (x) определена на (a, b]  и  x = a  точка разрыва, то Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.  Если же f (x) имеет точку разрыва с ∈ (a, b), то  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.

Если для интегралов пунктов (6.3.1) и (6.3.2) соответствующие им пределы существуют, то интегралы называются сходящимися. Если границы не существуют или бесконечные, то интегралы называются расходящимися.

Пример 26.
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных Это расходящийся  интеграл.

Значит, данный интеграл расходится при p ≤ 1 и сходится при p > 1. Его часто используют при исследовании рядов на сходимость.

Применение определенных интегралов

Вычисление площадей

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = f (x), прямыми x = a и x = b, а также осью Ox, определяется по формуле
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.  Площадь же фигуры, ограниченной графиками функций y = fв (x) и y = fн (x) (fв (x) ≥ fн (x)), прямыми x = a и x = b, определяется по формуле
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.                                                                                       (6.48)

Пример 28. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2 – х2у = х (рис. 10).

Решение. а) Строим эскиз графиков функций: у = 2 – х(парабола, которая пересекает ось Ох в точках  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных  и  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, вершина параболы находится в точке В (0; 2)), у = х — прямая, биссектриса 1-го и 3-го координатных углов.

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Рис. 10.

б) Найдем точки пересечения графиков данных функций (границы интегрирования). Решим уравнение: 2 – х2 = х;      –х– х + 2 = 0.
Получаем решения: х1 = 1, х2 = –2.

в) далее, по формуле (6.46) вычисляем площадь фигуры:
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных  (кв. ед.).

Пример 29. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = sin x, y = 0, Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменныхИнтегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.

Решение. Строим графики функций (рис. 11). Записываем формулу для нахождения площади Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.  Видим, что fв (x) записать одним выражением невозможно. Верхняя граница данной площади состоит из двух: y = sin x (на интервале  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных)  и  у = 0 (на интервале  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных ).   y = π  является нулем функции y = sin x.
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Рис. 11.

Поэтому
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
= – (-1 + 0) + (0 + 1) = 2  (кв. ед.).
Интеграл же   Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.  Поэтому, при применении определенного интеграла, для нахождения площадей, необходимо учитывать нули функций, которые ограничивают площадь (рис. 3). Промежуток интегрирования, учитывая нули функций, разбивают, и тогда искомая площадь равна сумме абсолютных величин соответствующих определенных интегралов.

Задача о распределении доходов населения государства

Уровень развития государства характеризуется тем, как оно обеспечивает уровень жизни своих граждан. Одним из таких показателей является материальное благосостояние. Легко и достаточно точно проводить такой сравнительный анализ, имея определенные количественные характеристики. Хорошей характеристикой для этого есть коэффициент Джини, показывающий неравенство в распределении доходов населения. Он непосредственно связан с кривой Лоренца, отражающей зависимость процента доходов от процента тех, которые эти доходы имеют. Рассмотрим это на примере.

Пример 30. Пусть Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных — кривая Лоренца, определенная по исследованиями распределения доходов в какой-то стране, где х — процент населения, y — процент доходов населения. Вычислить коэффициент Джини (0 < k < 1).

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Рис. 14.

Решение. Из рисунка видно, что  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных , Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Для нахождения  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных  введем замену x = 2 sin t, тогда нижняя граница t = 0, а верхняя Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.  Вычисляем
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменныхИнтегральное исчисление функций одной и нескольких переменных        Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Поэтому Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Большой коэффициент k показывает неравномерность распределения доходов среди населения данной страны.

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Вычисление объемов

Определение и вычисление объема тел по площадям параллельных сечений

Пусть в пространстве дано тело, находящееся между двумя плоскостями x = a и x = b, и
известно, что всякая плоскость, параллельная плоскости Oyz и которая находится от нее на расстоянии x, пересекает тело по плоской фигуре, площадь которой является функцией S (x) (рис. 12).
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Рис. 12.

Спроецируем тело на плоскость Oxy. Получим плоскую фигуру, которую снова спроецируем на ось Ох (а < b).

Разобьем промежуток [a, b] точками x1, x2, … xn-1. Через точки деления проведем перпендикулярные плоскости σ1, σ2, σ3, …, σn-1 — к плоскости Oxy и обозначим S (x1), S (x2), … S (xn-1— площади соответствующих параллельных друг другу сечений. Построим на каждом сечении, как на основании, цилиндр высотой, соответственно, Δx1Δx2, …,  Δxi = x– xi-1 Таким образом, получим n цилиндров. Запишем сумму, которая является интегральной:
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Перейдем к пределу при Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных Получим
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Если такой предел существует, то говорят, что данное тело имеет объем.

Вычисление объема тела вращения
Пусть криволинейная трапеция образована линией y = f (x), прямыми х = а и х = b и осью Ох, вращается в пространстве вокруг оси Ох. Найти объем фигуры вращения, которая образовалась.

Учитывая, что для объема тела вращения площадь поперечного сечения S (x) = πf 2 (x) получим:
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных                                                             (6.49)
Если же криволинейная трапеция образована линией x = φ (y), прямыми y = с и у = d и осью Оу, вращается в пространстве вокруг оси Оу то
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Рис. 13.

Пример 31. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных  х = 1, х = 4.
Решение. Объем тела вращения вычисляем по формуле Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных(куб. ед.).

Вычисления длины дуги плоской кривой

Запишем, без вывода, формулу для нахождения дуги плоской кривой, заданной уравнением y = f (x), при условии непрерывности на [a, b] функций f (x) и f’ (x).
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных                                          (6.50)

Пример 32. Найти длину дуги плоской кривой линии Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных от точки О (0; 0) до точки М(4; 8).

Решение. В задачи а = 0, b = 4, Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.  Тогда  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Введем замену   Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.   Тогда Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Изменим границы интегрирования. Если t = 1, то x = 0; если t = 10, то x = 4. Вычислив интеграл, получаем длину дуги:
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных (ед. длины)
 

Задача о максимизации прибыли по времени

Целью всякого производства является достижение максимальной прибыли. То есть, достижение максимальной разницы между доходами и расходами. Обозначим P (t), D (t), V(t) — соответственно функции прибыли, дохода и расходов от времени. Тогда P (t) = D (t) -V (t). Функция достигает своего экстремума, если ее производная равна 0. То есть P ‘(t) = D'(t) -V'(t) = 0. То есть D’ (t) = V’ (t). Определим момент tk , в который скорость изменения дохода и расходов уравниваются. Общую прибыль за время tk можно найти по формуле:
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.

Пример 33. Скорости изменения затрат и дохода предприятия после начала его деятельности определялись формулам:  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных , V и D измеряли в миллионах рублей, а t — в годах. Определить продолжительность прибыльного существования предприятия и найти общий доход, полученный за это время.

Решение. Оптимальное время t1 для прибыли предприятия получим из условия D’ (t) = V’ (t). Из уравнения  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных определяем  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.
Таким образом, предприятие было прибыльным 1 год. За это время получено прибыли:
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных  (руб. млн.)

Задача о расходах, доход и прибыль

Пусть теперь V (х) — функция общих расходов на производство х единиц продукции, V’ (х) — функция маржинальных расходов. P’ (x), D’ (х) — функции, соответственно, маржинальных прибыли и дохода. Тогда при росте количества единиц продукции от a до b,
изменение общих расходов исчисляется по формуле
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных .

При возрастании реализации продукции изменения прибыли и дохода определим по формулам: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Понятие о двойном интеграле. Сведение двойного интеграла к повторному

Понятие о двойном интеграле:

При введении понятия определенного интеграла мы решали задачу о нахождении площади криволинейной трапеции. Однако, часто необходимо найти объем некоторой пространственной фигуры. Решим задачу: найти объем тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью z = f (x, y) (f (x, y) ≥ 0), снизу — конечной замкнутой областью S плоскости Oxy, по бокам — прямой цилиндрической поверхностью, построенной на границе области S, перпендикулярно к плоскости Oxy.  Найдем объем V тела изображенного на рисунке 14.

Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Рис. 14.

Разобьем область S несколькими линиями на n частей с площадями соответственно S1, S2, …, SnВ каждой из частей выберем по одной точке P1 (x1, y1)P2 (x2, y2), …, Pn (xn, yn) и построим цилиндры с основами Si и высотами Pi Qi = f (xi, yi). Тогда объем V:
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных = f (x1, y1) ⋅ S1 f (x2, y2) ⋅ S2 +…….+  f (xn, yn) ⋅ Sn                       (6.51)

Эта сумма называется двухмерной интегральной суммой для функции z = f (x, y) по области S. Для этой суммы выполняется теорема существования двойного интеграла:
Если функция z = f (x, y) непрерывна в ограниченной замкнутой области S, и если число частиц n, на которые разбита область S, неограниченно возрастает, а наибольшее
расстояние между двумя точками каждой частицы, которые лежат на границе (diamSi), стремится к 0, то существует предел двухмерной интегральной суммы (6.50), величина которого не зависит ни от способа разбиения S, ни от выбора точки Pi внутри частицы с площадью Si
.

Этот предел называется двойным интегралом от функции z = f (x, y), распространенным на область S и обозначается Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.  То есть    Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.

Надо отметить, что если  Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, то автоматически n → Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Поэтому можно записать Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных                                                           (6.52)

Повторный интеграл. Переход от двойного интеграла к повторному

Подойдем к задаче о нахождении объема V поверхности z = f (x, y) по иному. Учтем, что область S в плоскости Oxy ограничена сверху и снизу определенными линиями y = φ1 (x) и y = φ2 (x) . Вместе с тем, функции φ1 (x) и φ2 (x) непрерывные на [а; b]. Проведем сечение нашего тела плоскостью х = хi, параллельно координатной плоскости Oyz так, что a<x<b (рис. 15). Площадь пересекается и обозначается как некоторая функция от х, то есть S = F(x)
 Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Рис. 14

В таком случае объем тела
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных                                                                                                  (6.53)
Определим теперь функцию F (x). Так Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. А это значит, что
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных                                                                               (6.54)

Объединив формулы (6.53) и (6.54) получаем
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных.                                                                                  (6.55)

Интеграл (6.55) называется повторным интегралом, распространенным на произвольную
область S. Заметим, что если бы область была ограничена кривыми x = ψ1 (y) и x = ψ2 (y) (непрерывными на (c; d)) то получили бы, что Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных также повторный интеграл.

Итак, вычисления двойного интеграла можно свести к вычислению повторного.

Интеграл Эйлера-Пуассона

В теории вероятности и математической статистике большую роль играет интеграл
Эйлера-Пуассона: 
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных                                                                                                                    (6.56)

Он относится к интегралам, которые не выражаются в элементарных функциях. Вычислим его с помощью двойного интеграла. Применим формулы связи
между декартовыми и полярными координатами:
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Учтем, что определенный интеграл не зависит от обозначения переменной (инвариантность определенного интеграла относительно переменной).

Поэтому можем записать Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных                                         (6.57)
Перемножив формулы (6.56) и (6.57), получим
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Геометрически, интеграл Пуассона выражает собой площадь фигуры (рис. 16.), ограниченной графиком функции Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных (кривая Гаусса) и осью Ох.
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Рис.  16.

Лекции:

  • Предел сложной функции
  • Нахождение предела функции по таблице значений функции и по графику
  • Производная частного
  • Экстремум функции нескольких переменных
  • Интегрирование некоторых классов функций
  • Векторное произведение примеры решения
  • Найти производную функцию
  • Поток вектора через незамкнутую поверхность. Теорема Гаусса—Остроградского
  • Элементарные преобразования графиков функций
  • Нормальный закон распределения случайной величины

Добавить комментарий