Определение интеграла на множестве и его свойства
Пусть
задано множество ,
элементы этого множества обозначим М.
Пусть в каждой точке М
множества
определена функция U=f(M).
Проделаем следующие операции:
1)разбиваем
множество
произвольным образом на n
подмножеств величиной 1,
2,…,
n;
обозначим наибольший диаметр этих
подмножеств через :
=max
diam
i
– ранг дробления;
2)на
каждом из n
подмножеств выберем произвольным
образом по точке Мi
и вычислим значение функции в них
Ui=f(Mi);
3)составим
интегральную сумму;
4)устремляя
ранг дробления
к нулю, найдем предел интегральных сумм:
Определение.
Интегралом функции U=f(Mi)
на множестве
называется предел последовательности
интегральных сумм, когда ранг дробления
стремится к нулю, и обозначается
(1)
Определение.
Функция U=f(Mi),
для которой существует интеграл (1),
называется
интегрируемой на множестве .
Теорема.
Достаточным условием интегрируемости
функции является ее непрерывность.
Основные
свойства интеграла.
-
,
где K=const. -
если
=1+2
, то -
,
где
–
некоторая определенная точка множества
, а
– величина
(площадь,
длина и т.д.)
Элемент
М
множества
геометрически изображается точкой с
соответствующими координатами. Потому
в зависимости от вида множества
интегрирования ,
интегралы делятся на несколько классов,
приведенных ниже в таблице:
№ |
|
d |
название |
|
1 |
dx |
|
определенный |
|
2 |
dS |
|
двойной |
|
3 |
dV |
|
тройной |
|
4 |
d |
|
поверхностный |
|
5 |
dl |
|
криволинейный |
Двойной интеграл
Множество
интегрирования
изображается множеством точек плоскости
(х;у), будем
его обозначать S;
подынтегральная функция является
функцией двух аргументов U=f(M)=f(x;y);
d=dS
– дифференциал площади (элемент площади);
в декартовой системе координат dS=dxdy.
По определению (1)
При вычислении
двойной интеграл заменяется повторным
интегралом (интеграл от интеграла) по
правилу:
пусть
область интегрирования S
есть часть плоскости (x;y),
ограничена линиями: x=a,
x=b,
(a<b)
y=1(x),
y=2(x),
(1(x)2(x),
x[a;b]),
тогда
Для
удобства формулу записывают иначе
(2)
Здесь
интеграл по х
называется внешним интегралом, интеграл
по у
– внутренним. При вычислении внутреннего
интеграла аргумент х
считается постоянным. Если область S
сверху (или снизу) ограничена двумя
линиями, то прямой х=с,
проведенной через точку их пересечения
перпендикулярно оси Оx,
область разбивается на две области
первого типа, и интеграл заменяется
суммой интегралов на основании свойства
интегралов:
Пусть
область интегрирования S
ограничена линиями: y=c,
y=d,
(c<d),
x=1(y),
x=2(y),
(1(y)2(y),
y[c;d]).
Тогда
Для
удобства формулу записывают в виде
(3)
Выбрать порядок
интегрирования для вычисления двойного
интеграла – это значит выбрать одну из
двух формул (2) или (3).
Пример.
Вычислить
,
гдеS ограничена
линиями y=x2+1;
y=5; x=0,
(x
S –
область 1-го типа, потому вычисляем по
(2).
Вычисляем
внутренний интеграл; х=const.
;
Пример.
Изменить порядок интегрирования в
интеграле
По
заданным четырем пределам интегрирования
записываем уравнение четырех линий,
ограничивающих область интегрирования
S;
x=0;
x=2;
y=0;
.
Строим эти линии
Разрешаем
уравнение дуги гиперболы
относительно абсциссы
.
Область интегрированияS
не принадлежит к 2-му типу, т.к. слева
ограничена двумя различными линиями
x=0
и
.
Поэтому прямойy=1
разбиваем ее на две области 2-го типа:
S1
и S2.
Тогда по (3)
Пределы
интегрирования в повторном интеграле
определяются уравнениями границ области
интегрирования S.
Потому, как правило, чем проще уравнения
границ, тем проще вычисления интегралов.
В разных системах координат уравнение
одной и той же линии имеют различный
вид.
Например:
окружность с центром в начале координат
и радиусом R
в декартовой системе координат задается
уравнением x2+y2+R2,
а в полярной системе координат R.
Если область
интегрирования Sограничена линиями, заданными в полярной
системе координат
1
2,
то пределы интегрирования расставляются
по правилу
(4)
При вычислении
двойного интеграла удобно, чаще всего,
переходить к полярным координатам, если
область интегрирования ограничена
окружностью. Для перехода к полярным
координатам необходимо:
1)записать уравнения
границ в полярной системе координат,
найти координаты точек их пересечения;
2)в
подынтегральной функции декартовы
координаты х
и у
заменить полярными по формулам хcos,
уsin;
3)элемент
площади в декартовых координатах
заменить по формуле dS=dxdy=dd;
4)расставить пределы
интегрирования по (4).
(5)
Пример.
Вычислить, перейдя к полярным координатам
интеграл
,
где область интегрированияS:
1x2+y24.
-
Уравнения
границ x2+y2=1
и x2+y2=4.
В полярной
системе
координат: (cos)2+(sin)2=1
и (cos)2+(sin)2=4,
или =1
и =2;
02
= =
Соседние файлы в папке ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Содержание:
Интеграл
Центр Гейдара Алиева славится своим архитектурным стилем и является уникальной архитектурной работой. Красота архитектуры была достигнута при помощи решения многих систематических задач. Стены здания выполнены в виде волны и можно сказать, что в проекте не использовались прямые линии. Структура здания крыши, касаясь земли, формирует гладкое и гармоничное изображение. Такая структура представляет собой постмодернистскую архитектуру, а также эффект бесконечности. Линии здания символизируют связь прошлого и будущего. Для построения здания были использованы конструкции в виде металлической решетки, общая длина которой составила 90 км. При установки крыши, общая площадь которой составила 4 га, были использованы 12027 штук специальных панелей, имеющих форму треугольников, прямоугольников, трапеций и параллелограммов различных размеров. Если мы захотим найти площадь какой-либо части здания в виде волны, то нам придется прибегнуть к интегрированию.
Первообразная функции. Неопределенный интеграл
Исследование. Путь, пройденный свободно падающим телом за время
экспериментально. Дифференцируя, находим скорость: Дифференцируя второй раз, найдем ускорение: А как, зная ускорение, найти закон, по которому изменяется скорость а также закон движения
Дифференцирование – это нахождение производной функции. Нахождение функции с заданной производной является действием, обратным к дифференцированию. В этом случае, зная производную или дифференциал, надо найти саму функцию, т. е для функции заданной на определенном интервале, нужно найти такую функцию что на этом интервале выполнялось или
Определение. Функция удовлетворяющая равенству для всех точек на заданном промежутке, называется первообразной для функции заданной на том же промежутке.
Например, функция есть первообразная для функции на промежутке так как для всех справедливо
С другой стороны, вообще для любой постоянной имеем поэтому каждая из функций является первообразной для функции
Таким образом, для заданной функции первообразная функция не является единственной. Если, функции и первообразные функции на определенном промежутке, то для функции на этом же промежутке выполняется тождество Тогда касательная к графику функции в каждой точке параллельна оси абсцисс. Значит график функции будет параллелен оси абсцисс, т. е. на том же промежутке (здесь произвольная постоянная). Отсюда Таким образом получаем, что если функция на заданном промежутке является первообразной для функции то для любой постоянной
называется общим выражением для первообразных функций.
Неопределенный интеграл
Определение. Множество всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом, обозначается и читается как “интеграл эф от икс де икс”.
Если функция является одной из первообразных для то но определению
Здесь – знак интеграла, – подынтегральная функция, – переменная интегрирования, – постоянная интегрирования. За переменную интегрирования можно принять любую переменную. Нахождение функции по производной называется интегрированием.
Пример 1. По определению найдите неопределенные интегралы.
a) b) с)
Решение:
Так как:
Пример 2. Найдите интеграл
Решение: подумаем, производной какой функции является функция Например, известно, что производной функции является функция Значит, множителем искомой функции является дробь которая
потом сократиться с коэффициентом 4 и получится
Такой функцией является функция Значит,
Интеграл постоянной и степенной функции
Интеграл постоянной:
Интеграл степенной
функции
Пример 1. Найдите неопределенный интеграл
Решение:
Пример 2. Найдите общий вид первообразных функции
Решение: Так как функция одна из первообразных функции то одна из первообразных функции будет
Тогда общий вид первообразных имеет вид:
Значит,
Свойства неопределенного интеграла
При интегрировании используют следующие свойства:
Пример 1. Найдите интеграл
Решение:
В отличии от производной, у интеграла нет формулы для интегрирования произведения и частного. Поэтому, если это возможно, функцию представляют в виде суммы или разности, а потом находят первообразную.
Пример. Найдите первообразную функции
Решение: запишем заданную функцию в виде
Тогда получим,
Интегралы показательной функции и функции
Интеграл показательной функции
Интеграл функции
При
При
При в любом промежутке
В общем случае:
Пример. Найдите неопределенные интегралы: a) b)
Решение: a)
b)
Интегралы тригонометрических функций
Пример 1. Найдите интеграл
Решение:
При интегрировании тригонометрических функций удобно использовать тригонометрические тождества.
Пример 2. Найдите первообразную функции
Решение: Так как то
Пример 3. Вычислите интеграл
Решение: Воспользуемся тождеством Тогда,
Пример 4. Найдите интеграл
Решение: Воспользуемся формулой
Прикладные задания
Задании на нахождение постоянной интегрирования
Пример. Найдите первообразную функции график которой проходит через точку:
Решение: Сначала запишем общий вид первообразных функции на промежутке
a) По условию Тогда отсюда Значит, первообразная функции график которой проходит через точку имеет вид
b) По условию Тогда отсюда Значит, первообразная функции график которой проходит через точку имеет вид:
Задания на реальную жизненную ситуацию
Пример 1. Движение. Скорость мяча, брошенного с высоты 1 м вверх, можно выразить как Здесь показывает время в секундах. Запишите функцию, которая позволит найти на какой высоте находится мяч через секунд после начала движения и найдите на какой высоте окажется мяч на 2 секунде.
Решение: гак как то для функции неопределенным интегралом является функция
Как можно найти постоянную
Мяч брошен с высоты 1 м. Т. е. в момент мяч находился на высоте 1 м и Тогда отсюда Значит, в момент высоту на которой находится мяч, можно найти но формуле При получим
Т. е. в момент секундам мяч будет находится на высоте 5,4 м.
Пример 2. Прирост населении. Статистические исследования показывают, что при помощи отношения можно найти прирост городского населения за год. Здесь показывает количество лег после 1960 года, – численность населения в данный год в тыс. человек. Если в 1990 году в городе было 820 тыс. человек, то сколько, приблизительно, тыс. человек будет в городе в 2020 году?
Решение: найдем первообразную для функции показывающую численность населения, соответствующую функции
Теперь найдем постоянную
Например, по условию при численность населения достигла 820 тыс. человек. Подставим (30; 820) в формулу функции. Тогда и
Численность населения в 2020 году соответствует значению функции в
Т. е. в 2020 году численность городского населения будет приблизительно равна 1979800 человек.
Площадь, ограниченная кривой
Представьте, что вы проводите следующее исследование: определение количества солнечной энергии, которую получает растение. Для этого вам необходимо узнать площадь поверхности листа. Разместите лист на бумаге в клетку и приблизительно найдите площадь.
Если продолжить уменьшать размер клеток, то площадь листа можно найти, подсчитав сумму клеток, и, уменьшая приближения, можно достаточно точно найти значение действительной площади. Применяя этот способ, можно найти площади фигур различной формы. Например, можно найти площадь, ограниченную графиком неотрицательной функции непрерывной на отрезке и ограниченной осью абсцисс слева прямой справа прямой
Пример 1. Определите, приблизительно, площадь фигуры, ограниченной графиком осью абсцисс и прямыми и
Решение: На рисунке изображена площадь, ограниченная графиком функции осью абсцисс и прямыми и Показанную площадь можно приблизительно найти при помощи прямоугольников высотой и
Площадь:
Разбивая показанную площадь на еще более маленькие прямоугольники и найдя сумму площадей полученных прямоугольников, можно достаточно точно найти значение, близкое к реальному.
Если отрезок [2; 4] разделить на две части ([2;3] и [3;4]) (рис.а и b), то площадь, приблизительно, равна сумме площадей двух прямоугольников.
a) площадь, приблизительно, равна сумме площадей прямоугольников шириной, равной 1, с высотами и
b) площадь, приблизительно, равна сумме площадей прямоугольников шириной равной 1 с высотами и Значит реальное значение площади удовлетворяет соотношению
В рассмотренном случае площадь точно можно найти по формуле площади трапеции: и дать оценку погрешности, проведенных вычислений.
В 1-ом случае количество интервалов и вычисления отличаются от действительных размеров площади на 1 кв.ед., во 2-ом случае и разность уменьшается до 0,5 кв.ед. Если заданный интервал разделить на еще большее количество малых интервалов, то площадь можно найти как сумму более маленьких прямоугольников и получить значение, достаточно близкое к точному.
Под площадью фигуры, ограниченной графиком функции на отрезке понимают площадь фигуры, ограниченной графиком функции осью абсцисс и прямыми и (эту фигуру также называют криволинейной трапецией). В заданиях мы коротко будем называть это как “площадь, ограниченная кривой”. Здесь функция/должна удовлетворять условиям.
Интеграл и его применение
Первообразная
Вы умеете по заданной функции находить ее производную, знаете, что производная применяется во многих областях. В частности, умея дифференцировать, по данному закону движения материальной точки по координатной прямой можно найти закон изменения ее скорости, а именно:
Нередко в механике приходится решать обратную задачу: находить закон движения по известному закону изменения скорости.
Например, из курса физики вам известен такой факт: если скорость изменяется по закону и и то закон движения задается формулой
Вы знаете, что нахождение производной заданной функции называют дифференцированием. Обратную операцию, то есть нахождение функции по ее производной, называют интегрированием.
Определение. Функцию называют первообразной функцией (или коротко первообразной) функции на промежутке если для всех выполняется равенство
Например, функция является первообразной функции на промежутке поскольку на выполняется равенство
Часто в задачах, связанных с первообразной функции, промежуток опускают. В таких случаях считают, что Так, функция является первообразной функции поскольку выполняется равенство
Рассмотрим еще один пример. Функция является первообразной функции на промежутке поскольку на этом промежутке выполняется равенство
Однако на промежутке функция не является первообразной функции так как в точке не выполняется равенство
Рассмотрим функции и Каждая из них имеет одну и ту же производную Поэтому обе функции и являются первообразными функции Понятно, что каждая из функций вида где любое число, является первообразной функции Следовательно, задача нахождения первообразной имеет бесконечно много решений.
Цель интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные на заданном промежутке.
Как связаны между собой все первообразные данной функции, указывает следующая теорема.
Теорема 24.1 (основное свойство первообразной). Если функция является первообразной функции на промежутке и любое число, то функция также является первообразной функции на промежутке . Любую первообразную функции на промежутке можно представить в виде , где некоторое число.
Доказательство. Поскольку функция первообразная функции на промежутке то для всех выполняется равенство Тогда
Следовательно, функция является первообразной функции на промежутке
Пусть функция одна из первообразных функции на промежутке Тогда для всех Имеем:
Согласно признаку постоянства функции (теорема 11.1) получаем, что функция является константой на промежутке то есть где некоторое число. Отсюда
Если функция является первообразной функции на промежутке то запись где любое число, называют общим видом первообразных функции на промежутке
Из основного свойства первообразной следует, что графики любых двух первообразных данной функции можно получить друг из друга параллельным переносом вдоль оси координат (рис. 24.1).
Совокупность всех первообразных функции на промежутке называют ее неопределенным интегралом и обозначают (читают: «интеграл эф от икс де икс»).
Например, функция является первообразной функции на промежутке Из теоремы 24.1 следует, что любую первообразную функции на промежутке можно представить в виде где некоторое число. Это можно записать так:
При решении задач на первообразную удобно пользоваться таблицей, приведенной на форзаце 3.
Покажем на примерах, с помощью каких соображений можно обосновать утверждения, приведенные в этой таблице.
Пример:
Найдите общий вид первообразных функции
Решение:
Поскольку то одной из первообразных функции является функция
Тогда согласно теореме 24.1 запись где любое число, является общим видом первообразных.
Из решения примера 1 следует, что
Пример:
Найдите общий вид первообразных функции на каждом из промежутков и
Решение:
На промежутке имеет место равенствона промежутке имеют место равенства
Следовательно, функция является первообразной функции на промежутке а функция является первообразной функции на промежутке .
Поскольку то на любом промежутке, не содержащем точку 0, запись где любое число, является общим видом первообразных функции
Пример:
Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку
Решение:
Поскольку то функция является одной из первообразных функции Следовательно, искомая первообразная имеет вид где некоторое число. Найдем это число.
Из условия следует, что Тогда Отсюда
Таким образом, искомая первообразная имеет вид
Замечание.
Можно доказать, что функция является первообразной функции на промежутке Пользуясь этим, можно найти, например, первообразную функции на промежутке Поскольку то функция является первообразной функции на промежутке Учитывая равенства можно записать:
Правила нахождения первообразной
При нахождении производных функций вы пользовались не только формулами, записанными в таблице (см. форзац 2), но и правилами дифференцирования. В этом пункте мы рассмотрим три правила нахождения первообразных.
Теорема 25.1. Если функции и являются соответственно первообразными функций и на промежутке то на этом промежутке функция является первообразной функции
Доказательство. Из условия следует, что для любого выполняются равенства и Тогда для любого из промежутка имеем:
Из теоремы 25.1 следует, что
где произвольное число.
Аналогично можно доказать, что
Теорема 25.2. Если функция является первообразной функции на промежутке и некоторое число, то на этом промежутке функция является первообразной функции
Докажите теорему 25.2 самостоятельно.
Теперь можно записать: где произвольное число.
Теорема 25.3. Если функция является первообразной функции на промежутке и некоторое число, отличное от нуля, то на соответствующем промежутке функция является первообразной функции
Доказательство. Используя правило нахождения производной сложной функции, запишем:
Коротко записывают: где произвольное число.
Пример:
Найдите общий вид первообразных функции на промежутке
Решение:
Напомним, что функция является первообразной функции на промежутке Поскольку на данном промежутке выполняется равенство то функция то есть функция является первообразной функции на промежутке Поскольку то функция то есть функция является первообразной функции на промежутке Тогда по теореме 25.2 функция является первообразной функции
Воспользовавшись теоремой 25.1, получаем, что функцияявляется первообразной заданной в условии функции Тогда запись является общим видом первообразных функции
Решение примера 1 можно записать и так:
Пример:
Найдите одну из первообразных функции:
на промежутке
Решение:
1) Поскольку функция является первообразной функции то по теореме 25.3 функция то есть функция является первообразной функции 2) Поскольку то первообразной функции является функция то есть
Тогда первообразная функции имеет вид то есть
Пример:
Для функции найдите первообразную на промежутке график которой проходит через точку
Решение:
Согласно теореме 25.3 запись где любое число, является общим видом первообразных функции на данном промежутке.
На промежутке искомая первообразная имеет вид
где некоторое число. Из условия следует, что Тогда отсюда Следовательно,
Пример:
Скорость движения материальной точки по координатной прямой изменяется по закону Найдите закон движения если (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах).
Решение:
Функция является первообразной функции на промежутке Тогда можно записать
то есть
где некоторое число. Найдем из условия
Имеем: отсюда
Тогда искомый закон движения задается формулой
В пункте 8 вы узнали, как найти производные произведения функций, частного функций и производную сложной функции. Наверное, после ознакомления с материалом этого пункта у вас возник вопрос: как найти первообразные функций или если известны первообразные функций и К сожалению, общих правил нахождения первообразных таких функций не существует.
Площадь криволинейной трапеции. Определенный интеграл
Рассмотрим функцию которая непрерывна на отрезке и принимает на этом промежутке неотрицательные значения. Фигуру, ограниченную графиком функции и прямыми и называют криволинейной трапецией.
На рисунке 26.1 приведены примеры криволинейных трапеций.
Рассмотрим теорему, которая позволяет вычислять площади криволинейных трапеций.
Теорема 26.1. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и прямыми и можно вычислить по формуле
где любая первообразная функции на отрезке
Доказательство. Рассмотрим функцию где которая определена таким правилом.
Если то если то это площадь криволинейной трапеции, показанной штриховкой на рисунке 26.2.
Докажем, что для всех
Пусть произвольная точка отрезка и приращение аргумента в точке Ограничимся рассмотрением случая, когда (случай, когда рассматривают аналогично).
Имеем:
Получаем, что это площадь криволинейной трапеции, заштрихованной на рисунке 26.3.
На отрезке как на стороне построим прямоугольник, площадь которого равна (рис. 26.4). Длины сторон этого прямоугольника равны и где некоторая точка промежутка Тогда Отсюда
Если то Поскольку функция непрерывна в точке то Отсюда, если то
Имеем
Поскольку произвольная точка области определения функции то для любого выполняется равенство Получили, что функция является одной из первообразных функции на отрезке
Пусть некоторая первообразная функции на отрезке Тогда по основному свойству первообразной можно записать где некоторое число.
Имеем:
По определению функции искомая площадь криволинейной трапеции равна Следовательно,
Пример:
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции и прямыми и
Решение:
На рисунке 26.5 изображена криволинейная трапеция, площадь которой требуется найти.
Одной из первообразных функции на отрезке я
является функция Тогда
Пример:
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции и прямой
Решение:
График функции пересекает прямую в точках и (рис. 26.6). Тогда фигура, площадь которой требуется найти, является криволинейной трапецией, ограниченной графиком функции и прямыми
Одной из первообразных функции на отрезке является функция Тогда
Определение. Пусть первообразная функции на промежутке , числа и где принадлежат промежутку . Разность называют определенным интегралом функции на отрезке
Определенный интеграл функции на отрезке обозначают (читают: «интеграл от а до Ъ эф от икс де икс»). Следовательно,
где произвольная первообразная функции на промежутке
Например, функция является первообразной функции на промежутке Тогда для произвольных чисел и где можно записать:
Заметим, что значение разности не зависит от того, какую именно первообразную функции выбрали.
Действительно, каждую первообразную функции на промежутке можно представить в виде где некоторая постоянная. Тогда
Равенство (1) называют формулой Ньютона—Лейбница.
Следовательно, для вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница надо:
- найти любую первообразную функции на отрезке
- вычислить значение первообразной в точках и
- найти разность
При вычислении определенных интегралов разность обозначают
Используя такое обозначение, вычислим, например, Имеем:
Пример:
Вычислите
Решение:
Имеем:
Если функция имеет первообразную на отрезке и то из формулы Ньютона-Лейбница следует такое свойство определенного интеграла:
Действительно,
Если каждая из функций и имеет первообразную на отрезке то, используя теоремы 25.1 и 25.2, можно доказать (сделайте это самостоятельно) такие свойства определенного интеграла:
Формула Ньютона-Лейбница позволяет установить связь между определенным интегралом и площадью криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и прямыми и
Используя теорему 26.1, можно записать:
Заметим, что в этой формуле рассматриваются непрерывные функции , которые на отрезке принимают только неотрицательные значения. Однако определенный интеграл можно использовать для вычисления площадей более сложных фигур.
Рассмотрим непрерывные на отрезке функции и такие, что для всех выполняется неравенство
Покажем, как найти площадь фигуры , ограниченной графиками функций и и прямыми и (рис. 26.7).
Перенесем фигуру вверх на единиц так, чтобы полученная фигура находилась выше оси абсцисс (рис. 26.8). Фигура ограничена графиками функций и и прямыми
Поскольку фигуры и имеют равные площади, то искомая площадь равна разности где площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и прямыми и (рис. 26.9, а);
площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и прямыми и (рис. 26.9, б)
Таким образом, используя свойства определенного интеграла, можем записать:
Следовательно, если функции и непрерывны на отрезке и для всех выполняется неравенство то площадь фигуры, ограниченной графиками функций и и прямыми и можно вычислить по формуле
Пример:
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций и
Решение:
На рисунке 26.10 изображена фигура, площадь которой требуется найти.
Решив уравнение устанавливаем, что графики функций и пересекаются в двух точках с абсциссами и
Тогда искомая площадь
Вычисление объемов тел
В предыдущем пункте вы узнали, как с помощью интегрирования можно вычислять площадь криволинейной трапеции. Напомним, что если фигура ограничена графиками функций и и прямыми и (рис. 27.1), то ее площадь можно вычислить по формуле
Рассмотрим функцию Величина равна длине отрезка, по которому вертикальная прямая пересекает данную фигуру (рис. 27.2). Следовательно, можно записать:
Оказывается, что последнюю формулу можно обобщить для решения задач на вычисление объемов пространственных тел.
В пространственной прямоугольной декартовой системе координат рассмотрим тело , объем которого равен Пусть плоскость пересекает тело по фигуре с площадью а проекцией тела на ось абсцисс является отрезок (рис. 27.3). Если непрерывная на отрезке функция, то объем тела можно вычислить по формуле
Эту формулу можно доказать, используя идею доказательства теоремы 26.1.
Покажем, как с помощью полученной формулы вывести формулу объема пирамиды.
Пусть дана пирамида с высотой , равной и основанием, площадь которого равна (рис. 27.4). Докажем, что объем пирамиды равен Введем систему координат так, чтобы вершина пирамиды совпала с началом координат, а высота пирамиды принадлежала положительной полуоси абсцисс (рис. 27.5). Тогда основание пирамиды лежит в плоскости Поэтому проекцией пирамиды на ось абсцисс является отрезок
Пусть плоскость пересекает пирамиду по многоугольнику с площадью Понятно, что плоскость сечения параллельна плоскости основания пирамиды. Поэтому многоугольник, образованный в сечении, подобен многоугольнику основания пирамиды. При этом коэффициент неподобия равен Воспользовавшись теоремой об отношении площадей подобных фигур, можно записать:
Отсюда Теперь можно записать:
Пример:
Фигура, ограниченная графиком функции и прямыми (рис. 27.6), вращается вокруг оси абсцисс, образуя тело объема (рис. 27.7). Найдите .
Решение:
При пересечении образовавшегося тела плоскостью где получаем круг (рис. 27.8), радиус которого равен Тогда площадь этого круга равна
Поэтому
Вообще, имеет место такое утверждение.
Если при вращении фигуры, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке функции и прямыми вокруг оси абсцисс образуется тело объема то
Интеграл и его применения
Понятия первообразной и неопределённого интеграла
А вы знаете, что если точка двигаясь по прямой, за время t после начала движения проходит путь s(t), то её мгновенная скорость равна производной функции. На практике встречается обратная задача: найти пройденный путь s(t), если задана скорость движения v(t).
Эту задачу можно переформулировать так: найти функцию s(t), если задана ее производная v(t).
Если , то функция s(t) называется первообразной функцией функции v(t). В общем случае можно ввести такое определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(х) на заданном промежутке (a; b), если для всех х из промежутка (а; b) выполнено.
Пример:
Пусть а – заданное число, a v(t)=at. Тогда функция
является первообразной для функции v(t), так как
Пример:
Пусть . Тогда функция является первообразной для функции , так как
Пример:
Пусть , при
Тогда функция является первообразной для функции ,
так как
Пример:
Пусть ,*>0, Тогда функция
является первообразной для функции , так как
Пример:
Докажите, что функции ,
являются первообразными для функции
Используя таблицу производных, мы можем написать:
Из этой задачи можно сделать вывод:
где С -постоянная является первообразной функцией для функции .
Действительно,
Для заданной функции её первообразная однозначно не определяется.
Именно, любая первообразная для функции на некотором промежутке может быть записана в виде , где F(x) – одна из первообразных для функции на этом промежутке, (С -произвольная постоянная).
Совокупность всех функций вида называется неопределённым интегралом функции и обозначается так: . Таким образом,
В этом обозначении – знак интеграла, f(x) – подынтегральная функция, а выражение – подынтегральное выражение.
Пример:
, так как согласно таблице производных, .
Пример:
Так как .
Пусть
Согласно примеру 4.
График функции можно получить из графика функции с помощью параллельного переноса вдоль оси Оу (рисунок 1). За счет выбора постоянной С можно добиться, чтобы график первообразной проходил через заданную точку.
Пример:
Найдите первообразную для функции , график которой проходит через точку А(3; 10).
Решение:
Любая первообразная функции имеет вид ,
так как .
Подберём постоянную С такую, чтобы график функции
проходил через точку (3; 10): Для этого необходимо,
чтобы при х=3 выполнялось F (3)=10. Отсюда , С = 1.
Следовательно, искомая первообразная имеет вид .
Ответ:
Пример:
Найдите первообразную для функции , график которой проходит через точку А(5; 15).
Решение:
Любая первообразная функции имеет вид
, так как Подберём постоянную С такую, чтобы график функции
проходил через точку (5; 15).
Для этого необходимо, чтобы выполнялось .
Значит отсюда С= 3.
Следовательно, искомая первообразная имеет вид
Ответ:
Пример:
Докажите, что
Решение:
Таблица интегралов
Опираясь на таблицу производных можно составить таблицу интегралов.
Для того, чтобы функция F(x) была первообразной для функции f(х) на некотором промежутке X, необходимо, чтобы обе функции F(x) и f(х) были определены на этом промежутке X.
Например, при , то есть при х > 1,6, согласно таблице интегралов, первообразная равна —
Используя правила дифференцирования, можно сформулировать некоторые правила интегрирования.
Пусть функции F(x) и G(x) на некотором промежутке являются первообразными для функций и соответственно. Справедливы правила:
Правило 1: Функция является первообразной для функции , то есть
Правило 2: Функция является первообразной для функции, то есть:
Пример:
Проинтегрируйте функцию
Решение:
Согласно правилу 1 и 9 пункту таблицы интегралов:
Так как согласно таблице интегралов
Ответ:
Пример:
Проинтегрируйте функцию
Решение:
Найдём интеграл этой функции, используя правила 1, 2 интегирования, а также пункты 1 и 10 таблицы интегралов:
Ответ:
Пример:
Вычислить интеграл
Решение:
При решении таких примеров удобно использовать замену переменных.
Именно, обозначим х2 + 8 = u тогда, Отсюда
Проверка: Найдём производную от полученной функции и получим
подынтегральную функцию. Действительно,
Ответ:
Пример:
Вычислить интеграл
Решение:
Сделаем замену sinx = t. Тогда и заданный интеграл
получит вид . Согласно пункту 3 таблицы интегралов ,
Проверка.
Ответ:
Пример:
Вычислить интеграл
Решение:
При вычислении этого интеграла помогает тождество
Тогда
Ответ:
Пример:
Вычислить интеграл
Решение:
Согласно тождеству и пункту 10 таблицы интегралов:
Ответ:
Пример:
Вычислить интеграл
Решение:
Для подынтегральной функции справедлива равенства:
Тогда
Ответ:
Пример:
Вычислить интеграл
Решение:
Для вычисления этого интеграла воспользуемся
и . Тогда
Проверка:
Ответ:
Пример:
Вычислить интеграл
Решение:
Для вычисления этого интеграла воспользуемся
Ответ:
Приведём также правило интегрирования по частям.
Правило 3*.
Если на некотором интервале X функции и имеют непрерывные производные и , то справедлива формула
(1)
Эта формула называется формулой интегрирования по частям.
Доказательство формулы следует из правила дифференцирования произведения функций и
Примечание. Для использования этого правила: 1) Подъинтсграль-ная функция представляется в виде произведения и ; 2) выражения и подбираются таким образом, чтобы интеграл в правой части формулы вычислялся непосредственно.
Пример:
Вычислить интеграл
Решение:
Подберём . Поэтому
. Согласно (1),
Поэтому
Ответ:
Пример:
Вычислить интеграл .
Решение:
Представим подынтегральную функцию в виде произведения функций. Поэтому:.
Тогда
Согласно формуле (1),
Значит,
Проверка:
Ответ:
Пример 3.
Для нахождения интеграла удобно положить .
Решение:
В этом случае (здесь мы взяли первообразную без постоянной С). Согласно формуле интегрирования по частям,
Ответ:
Определенный интеграл, формула ньютона – лейбница
Фигура, изображённая на рисунке 2, называется криволинейной трапецией. Криволинейная трапеция – фигура, ограниченная сверху графиком функции , снизу – отрезком [а; b], а по бокам -отрезками прямых х = а, х = b. Отрезок[а; b] называется основанием криволинейной трапеции.
Возникает вопрос: «Как вычислить площадь криволинейной трапеции?»
Обозначим эту площадь через S. Оказывается, площадь S можно вычислить, опираясь на первообразную для функции f(х). Приведём соответствующие рассуждения.
Обозначим площадь криволинейной трапеции с основанием [a; х] через S (х) (рисунок 3). Точка х – произвольная точка из отрезка [a; b]. В случае х = а отрезок [а; х] превращается в точку, поэтому S(a)=0; а при х = b S(b) = S.
Покажем, что функция S(х) является первообразной для функции f(х), то есть .
Рассмотрим разность , где h > 0 (случай h < 0 рассматривается аналогично). Эта разность равна площади криволинейной трапеции с основанием [х; x + h] (рисунок 4). Отмeтим, что при достаточно малых h эта площадь приблизительно равна то есть Значит,
По определению производной, левая часть этого приближенного равенства при стремится к S'(х). Поэтому при получим равенство . Поэтому S(x) является первообразной для функции
Первообразная S(x) отличается от произвольной первообразной F(x) па постоянную величину, то есть
Положим в этом равенстве х=а получим Отсюда следует, что . Тогда равенство (1) можно записать в виде: . Положим в этом равенстве х=b, получим .
Значит, площадь криволинейной трапеции (рисунок 2) можно вычислить по формуле: , (2)
где F(x) – любая первообразная для функции f (х).
Таким образом, вычисление площади криволинейной трапеции сводится к нахождению первообразной функции F(x) для функции f(х), то есть к интегрированию функции f(х).
Разность F(b) – F(a) называется определённым интегралом от функции f(х) на отрезке [а; b] и обозначается так: (читается как «интеграл от а до б от эф икс де икс»).
Таким образом,
Формула (3) называется формулой Ньютона-Лейбница. Из (2) и (3) имеем:
Обычно при вычислении определенного интеграла принято обозначение:
. В этом случае:
Приведём дополнительные сведения.
Задачу нахождения криволинейной фигуры свели к вычислению определённого интеграла. Рассмотрим непрерывную функцию, определённую на отрезке [а; b]. Разобьем этот отрезок точками а=х0, х1.., х1-n , хn= b на равные отрезки , и на каждом из этих отрезков , отметим произвольную точку . Умножим длину отрезка на значение заданной функции f(х) в точке и составим сумму
(6)
Видно, что каждое слагаемое в этой сумме есть площадь прямоугольника с основанием и высотой Sn. Тогда сумма S приближенно равна площади криволинейной трапеции (рисунок 5).
Сумма (6) называется интегральной суммой функции f(х) по отрезку [а; b]. Пусть при стремлении n к бесконечности стремится к нулю. Тогда интегральная сумма Sn стремится к некоторому числу. Вот это число называется определенным интегралом от функции f (х) на отрезке [а; b].
Пример:
Найдите площадь криволинейной трапеции, изображённой на рисунке 6.
Решение:
Согласно формуле (4) . Вычислим это значение по
формуле Ньютона – Лейбиица (3). Очевидно, что функция
одна из первообразных для функции. Значит, Ответ: S = 21 (кв. единиц).
Пример:
Найдите площадь заштрихованной фигуры на рисунке 7.
Решение:
По формуле Ньютона-Лейбница и формуле (5): (кв.единиц) Ответ: 2 (кв.единиц).
Пример:
Вычислить определённый интеграл .
Решение:
По формуле Ньютона-Лейбница и формуле (5):
Ответ: 0.
Пример:
Вычислить определённый интеграл
Решение:
По формуле Ньютона-Лейбница и формуле (5):
Ответ: 13,5.
Пример:
Вычислить определенный интеграл
Решение:
Сначала найдём неопределенный интеграл:
Значит
Ответ:
Пример:
Вычислить определённый интеграл
Решение:
Сначала найдем неопределенный интеграл:
Согласно таблице интегралов Значит Ответ:
Определённый интеграл обладает следующими свойствами:
1. Действительно
2.
Значит,
3.Пусть а, b, с – действительные числа. Тогда
(свойство аддитивности определённого интеграла).
4.Пусть – четная функция, тогда
5.Если , тогда .
6.Если ,тогда .
——
Эйлеровы интегралы
Определение 1. Эйлеровым интегралом 1-го рода или бета-функцией называется интеграл
Эйлеровым интегралом 2-го рода или гамма-функцией называется интеграл
(2)
Теорема 1. При интеграл (1) сходится.
Доказательство.
Если то функция − ограничена, при сходится, поэтому – сходится .
Если то функция − ограничена, при сходится, поэтому – сходится.
Таким образом сходится.
Теорема 2. При a >0 интеграл (2) – сходится.
Доказательство.
Если x∈[0,1], то функция − ограничена, при сходится, поэтому
∫-сходится.
Если − ограничена,
сходится, поэтому -сходится.
Следовательно сходится.
Свойства функций В(а,b), Г(а)
Найти
Решение. По формуле (11):
n.4. Перепишем формулу (4) в виде: (14)
что позволяет доопределить функцию Г (а) для отрицательных значений а:
Пример 2.
Найти
Решение.
Пример 3.
Вычислить интеграл
Решение.
n.5. Рассмотрим
Поэтому значение интеграла Пуассона.
—-в математике
Интеграл и его применение
1. Первообразная
Определение:
- Функция F (х) называется первообразной для функции на заданном промежутке, если для любого х из этого промежутке F’ (х) = f (х).
Пример:
Для функции на интервалепервообразной является функция поскольку
2. Основное свойство первообразной
Свойство:
Пример:
Поскольку функция яляется первообразной для функции на интервале (см. выше), то общий вид всех первообразных для функции можно записать следующим образом: где С — произвольная постоянная.
Геометрический смысл:
- Графики любых первообразных для данной функции получаются один из другого параллельным переносом вдоль оси Оу.
3. Неопределенный интеграл
Определение:
Совокупность всех первообразных для данной функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается символом то есть где F (х) — одна из первообразных для функции f(x), а С — произвольная постоянная.
Пример:
поскольку для функции на интервале все первообразные можно записать следующим образом: .
4. Правила нахождения первообразных (правила интегрирования)
- Если F — первообразная для f, a G — первообразная для g, то F + G — первообразная для f + g. Первообразная для суммы равна сумме первообразных для слагаемых.
- Если F — первообразная для f и с — постоянная, то cF — первообразная для функции
- Если F — первообразная для f, а k и b — постоянные (причем то — первообразная для функции
Пример:
5. Таблица первообразных (неопределенных интегралов) Функция
- 1.
- 2.
- 3.
- 4.
Общий вид первообразных где С — произвольная постоянная
- 1.
- 2.
- 3.
- 4.
Запись с помощью неопределенного интеграла
- 1.
- 2.
- 3.
- 4.
Объяснение и обоснование:
Понятие первообразной. Основное свойство первообразной
В первом разделе мы по заданной функции находили ее производную и применяли эту операцию дифференцирования к решению разнообразных задач. Одной из таких задач было нахождение скорости и ускорения прямолинейного движения по известному закону изменения координаты х (t) материальной точки: Например, если в начальный момент времени t = 0 скорость тела равна нулю, то есть v (0) = 0, то при свободном падении тело на момент времени t пройдет путь Тогда скорость и ускорение находят с помощью дифференцирования:
Важно уметь не только находить производную заданной функции, но и решать обратную задачу: находить функцию f (х) по ее заданной производной Например, в механике часто приходится определять координату х (t), зная закон изменения скорости v(t), а также определять скорость v (t), зная закон изменения ускорения Нахождение функции f (х) по ее заданной производной f’ (х) называют операцией интегрирования.
Таким образом, операция интегрирования является обратной операции дифференцирования. Операция интегрирования позволяет по заданной производной f’ (х) найти (восстановить) функцию (латинское слово integratio означает «восстановление»).
Приведем определения понятий, связанных с операцией интегрирования.
Функция F (х) называется первообразной для функции f (х) на данном промежутке, если для любого х из этого промежутка
Например, для функции на интервалепервообразной является функция поскольку
Отметим, что функция имеет ту же производную Следовательно, функция также является первообразной для функции на множестве R. Понятно, что вместо числа 5 можно подставить любое другое число. Поэтому задача нахождения первообразной имеет бесконечное множество решений. Найти все эти решения позволяет основное свойство первообразной.
Если функция F (х) является первообразной для функции f (х) на заданном промежутке, а С — произвольной постоянной, то функция F (х) + С также является первообразной для функции при этом любая первообразная для функции на данном промежутке может быть записана в виде F (х) + С, где С — произвольная постоянная.
Выражение F (х) + С называют общим видом первообразных для функции f (х).
1) По условию функция F (х) является первообразной для функции f (х) на некотором промежутке I. Следовательно, F’ (х) = f (х) для любого х из этого промежутка Тогдато есть F (х) + С также является первообразной для функции f (х).
2) Пусть функция — другая первообразная для функции f (х) на том же промежутке I, то есть для всехТогда По условию постоянства функции, если производная функции равна нулю на промежутке I, то эта функция принимает некоторое постоянное значение С на этом промежутке. Следовательно, для всех функция Отсюда Таким образом, любая первообразная для функции f (х) на данном промежутке может быть записана в виде F (х) + С, где С — произвольная постоянная. Например, поскольку для функции f (х) = 2х на интервале одной из первообразных является функция (действительно, F’ (х) = то общий вид всех первообразных функции можно записать так: где С — произвольная постоянная.
Замечание. Для краткости при нахождении первообразной функции f (х) промежуток, на котором задана функция , чаще всего не указывают. При этом имеются в виду промежутки возможно большей длины.
Геометрически основное свойство первообразной означает, что графики любых первообразных для данной функции f (х) получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу (рис. 100). Действительно, график произвольной первообразной F (х) + С можно получить из графика первообразной F (х) параллельным переносом вдоль оси Оу на С единиц.
- Заказать решение задач по высшей математике
Неопределенный интеграл
Пусть функция f (х) имеет на некотором промежутке первообразную F (х). Тогда по основному свойству первообразной совокупность всех первообразных для функции f (х) на заданном промежутке задается формулой F (х) + С, где С — произвольная постоянная.
Совокупность всех первообразных для данной функции f (х) называется неопределенным интегралом и обозначается символом то есть где F (х) — одна из первообразных для функции f (х), а С — произвольная постоянная.
В приведенном равенстве знак называют знаком интеграла, функцию — подынтегральной функцией, выражение f (х) dx — подынтегральным выражением, переменную х — переменной интегрирования и слагаемое С — постоянной интегрирования.
Например, как отмечалось выше, общий вид первообразных для функции записывается так: следовательно,
Правила нахождения первообразных (правила интегрирования)
Эти правила аналогичны соответствующим правилам дифференцирования.
Правило 1. Если F — первообразная для f, a G — первообразная для g, то F + G — первообразная для f + g.
Первообразная для суммы равна сумме первообразных для слагаемых.
1 ) Действительно, если F — первообразная для f (в этой кратком формулировке имеется в виду, что функция F(x) — первообразная для функции f (х)), то F’ = f. Аналогично, если G — первообразная для g, то G’ = g. Тогда по правилу вычисления производной суммы имеем (F + G)’ = F’ + G’ = f + g, а это и означает, что F + G — первообразная для f + g. С помощью неопределенного интеграла это правило можно записать так:
то есть интеграл от суммы равен сумме интегралов от слагаемых. Отметим, что правило 1 может быть распространено на любое количестве слагаемых (поскольку производная от любого количества слагаемых равна сумме производных слагаемых).
Правило 2. Если F — первообразная для — постоянная, то cF — первообразная для функции cf.
Действительно, если F — первообразная для f, то F’ = f. Учитывая, что постоянный множитель можно выносить за знак производной, имеем следовательно, cF — первообразная для cf.
С помощью неопределенного интеграла это правило можно записать так:
где с — постоянная, то есть постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
Правило З. Если F — первообразная для f, — постоянные (причем то— первообразная для функции
Действительно, если F — первообразная для f, то F’ = f. Учитывая правило вычисления производной сложной функции, имеем
а это и означает, что — первообразная для функции
С помощью неопределенного интеграла это правило можно записать так:
Таблица первообразных (неопределенных интегралов)
Для вычисления первообразных (или неопределенных интегралов), кроме правил нахождения первообразных, полезно помнить табличные значения первообразных для некоторых функций. Чтобы обосновать правильность этих формул, достаточно проверить, что производная от указанной первообразной (без постоянного слагаемого С) равна заданной функции. Это будет означать, что рассмотренная функция действительно является первообразной для заданной функции. Поскольку в записи всех первообразных во второй колонке присутствует постоянное слагаемое С, то по основному свойству первообразных можно сделать вывод, что это действительно общий вид всех первообразных заданной функции. Приведем обоснование формул для нахождения первообразных функций а для других функций предлагаем провести аналогичную проверку самостоятельно.
Для всех
Следовательно, функция является первообразной для функции Тогда по основному свойству первообразных общий вид всех первообразных для функции будет
С помощью неопределенного интеграла это утверждение записывается так:
У функции область определения Рассмотрим функцию
Следовательно, на каждом из промежутков функция
является первообразной для функции Тогда
общий вид всех первообразных для функции С помощью неопределенного интеграла это утверждение записывается так:
Примеры решения задач:
Пример №292
Проверьте, что функция является первообразной для функции на промежутке
Решение:
а это и означает, что F (х) является первообразной для функции
Комментарий:
По определению функция F (х) является первообразной для функции f (х), если
Пример №293
1) Найдите одну из первообразных для функции
2) Найдите все первообразные для функции
3*) Найдите
Решение:
1) Одной из первообразных для функции на множестве R
будет функция поскольку
Комментарий:
1) Первообразную для функции можно попытаться найти подбором. При этом можно рассуждать так: чтобы после нахождения производной получить необходимо брать производную от Но Чтобы производная равняласьдостаточно поставить перед функцией коэффициент
2) По основному свойству первообразных все первообразные для функции можно записать в виде 1 где С — произвольная.
где С — произвольная постоянная. Проще непосредственно использовать формулу из пункта 5 таблицы 17: одной из первообразных для для функции является функция
2) если мы знаем одну первообразную F (х) для функции f (х), то по основному свойству первообразных любую первообразную для функции f (х) можно записать в виде F (х) + С, где С — произвольная постоянная.
3) По определению то есть неопределенный интеграл – это просто специальное обозначение общего вида всех первообразных для данной функции f (х) (которые мы уже нашли в пункте 2 решения).
Пример №294
Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку М (9; 10).
Решение:
Общий вид всех первообразных для функции f (х) следующий:
По условию график первообразной проходит через точку М (9; 10). Следовательно, при х = 9 получаем
Отсюда С = -8. Тогда искомая первообразная:
Комментарий:
Сначала запишем общий вид первообразных для заданной функции F(x) + С, затем воспользуемся тем, что график полученной функции проходит через точку М (9; 10). Следовательно, при х = 9 значение функции F (х) + С равно 10. Чтобы найти первообразную для функцииучтем, что область определения этой функции Тогда эту функцию можно записать так: и использовать формулу нахождения первообразной для функции а именно:
Пример №295
Найдите общий вид первообразных для функции
Решение:
Запишем одну из первообразных для каждого слагаемого. Для функции
первообразной является функция Второе слагаемое запишем так: Тогда первообразной для этой функции будет функция:
Первообразной для функции будет функция будет функция
Тогда общий вид первообразных для заданной функции будет:
Комментарий:
Используем правила нахождения первообразных. Сначала обратим внимание на то, что заданная функция является алгебраической суммой трех слагаемых. Следовательно, ее первообразная равна соответствующей алгебраической сумме первообразных для слагаемых (правило 1). Затем учтем, что все функции-слагаемые являются сложными функциями от аргументов видаСледовательно, по правилу 3 мы должны перед каждой функцией-первообразной (аргумента), которую мы получим по таблице первообразных, поставить 1 множитель
Для каждого из слагаемых удобно сначала записать одну из первообразных (без постоянного слагаемого С), а затем уже записать общий вид первообразных для заданной функции (прибавить к полученной функции постоянное слагаемое С).
Для третьего слагаемого также учтем, что постоянный множитель 2 можно поставить перед соответствующей первообразной (правило 2).
Для первого слагаемого учитываем, что первообразной для является (-ctg х), для второго первообразной для являетсятретьего — первообразной для cos х является sin х (конечно, преобразование второго слагаемого выполняются на области определения этой функции, то есть при 2 – х > 0).
Определенный интеграл и его применение
1. Вычисление определенного интеграла (формула Ньютона-Лейбница)
Формула:
Если функция f (х) определена и непрерывна на отрезке [а; b], a F (х)— произвольная ее первообразная на этом отрезке (то есть F’ (х) = f (х)), то
Пример:
Так как для функции одной из первообразных является
2. Криволинейная трапеция
Определение:
Пусть на отрезке оси Ох задана непрерывная функция f(x), принимающая на этом отрезке только неотрицательные значения. Фигуру, ограниченную графиком функции у = f (х), отрезком оси Ох и прямыми х = а и называют криволинейной трапецией.
Иллюстрация:
3. Площадь криволинейной трапеции
Формула:
Пример:
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
Изображая эти линии, видим, что заданная фигура — криволинейная трапеция. Тогда
4. Свойства определенных интегралов
Если функция f (х) интегрируема на и тои
5. Определение определенного интеграла через интегральные суммы
Пусть функция непрерывна на отрезке . Выполним следующие операции.
- Разобьем отрезок на отрезков точками (полагаем, что
- Обозначим длину первого отрезка через , второго — через и т. д. (то есть
- На каждом из полученных отрезков выберем произвольную точку
- Составим сумму
Эту сумму называют интегральной суммой функции на отрезке
Если и длины отрезков разбиения стремятся к нулю, то интегральная сумма стремится к некоторому числу, которое называют определенным интегралом функции на отрезке и обозначают
Объяснение и обоснование:
Геометрический смысл и определение определенного интеграла
Как отмечалось, интегрирование — это действие, обратное дифференцированию. Оно позволяет по заданной производной функции найти (восстановить) эту функцию. Покажем, что эта операция тесно связана с задачей вычисления площади.
Например, в механике часто приходится определять координату точки при прямолинейном движении, зная закон изменения ее скорости (напомним, что
Рассмотрим сначала случай, когда точка двигается с постоянной скоростью Графиком скорости в системе координат является прямая , параллельная оси времени t (рис. 101). Если считать, что в начальный момент времени t = 0 точка находилась в начале координат, то ее путь s, пройденный за время t, вычисляется по формуле . Величина равна площади прямоугольника, ограниченного графиком скорости, осью абсцисс и двумя вертикальными прямыми, то есть путь точки можно вычислить как площадь под графиком скорости.
Рассмотрим случай неравномерного движения. Теперь скорость можно считать постоянной только на маленьком отрезке времени . Если скорость v изменяется по закону v = v (t), то путь, пройденный за отрезок времени приближенно выражается произведением. А на графике это произведение равно площади прямоугольника со сторонами (рис. 102). Точное значение пути за отрезок времени равно площади криволинейной трапеции, выделенной на этом рисунке. Тогда весь путь за отрезок времени может быть вычислен в результате сложения площадей таких криволинейных трапеций, то есть путь будет равняться площади заштрихованной фигуры под графиком скорости (рис. 103).
Приведем соответствующие определения и обоснования, которые позволяют сделать эти рассуждения более строгими.
Пусть на отрезке оси задана непрерывная функция , которая принимает на этом отрезке только положительные значения. Фигуру, ограниченную графиком функции отрезком оси и прямыми , называют криволинейной трапецией (рис. 104).
Отрезок называют основанием этой криволинейной трапеции. Выясним, как можно вычислить площадь криволинейной трапеции с помощью первообразной для функции f (х).
Обозначим через S (х) площадь криволинейной трапеции с основанием [а; х] (рис. 105, а), где х — любая точка отрезка При х = а отрезок [а; х] вырождается в точку, и поэтому S (а) = 0, при х = b имеем S (6) = S, где S — площадь криволинейно
Покажем, что S (х) является первообразной для функции , то есть что
По определению производной нам необходимо доказать, что
при Для упрощения рассуждений рассмотрим случай (случай рассматривается аналогично).
Поскольку , то геометрически — площадь фигуры, выделенной на рисунке 105, б.
Рассмотрим теперь прямоугольник с такой же площадью AS, одной из сторон которого является отрезок (рис. 105, в). Поскольку функция f (х) непрерывна, то верхняя сторона этого прямоугольника пересекает график функции в некоторой точке с абсциссой (иначе, рассмотренный прямоугольник или содержит криволинейную трапецию, выделенную на рисунке 105, в, или содержится в ней, и соответственно его площадь будет больше или меньше площади ). Высота прямоугольника равна f (с).
По формуле площади прямоугольника имеем . Тогда(Эта формула будет верной и при
Поскольку точка с лежит между то с стремится к х, если Учитывая непрерывность функции f (х), также получаем, что то есть S (х) является первообразной для функции
Поскольку S (х) является первообразной для функции f (х), то по основному свойству первообразных любая другая первообразная F (х) для функции f (х) для всех отличается от S (х) на постоянную С, то есть
Чтобы найти С, подставим х = а. Получаем F (а) = S (а) + С. Поскольку S (а) = 0, то С = F (а), и равенство (1) можно записать так:
Учитывая, что площадь криволинейной трапеции равна S (b), подставляем в формулу (2) х = b и получаем S = S (b) = F (b) – F (а). Следовательно, площадь криволинейной трапеции (рис. 104) можно вычислить по формуле
где — произвольная первообразная для функции
Таким образом, вычисление площади криволинейной трапеции сводится к нахождению первообразной F (х) для функции f (x), то есть к интегрированию функции f (х).
Разность называют определенным интегралом функции на отрезке и обозначают так:
Запись читается: «Интеграл от а до b эф от икс де икс». Числа а и b называются пределами интегрирования: а — нижним пределом, b — верхним. Следовательно, по приведенному определению
Формулу (4) называют формулой Ньютона—Лейбница.
Вычисляя определенный интеграл, удобно разность F (b) -F (а) обозначать следующим образом: Пользуясь этим обозначением, формулу Ньютона-Лейбница можно записать в следующем виде:
Например, поскольку для функции одной из первообразных является
Отметим, что в том случае, когда для функции f (х) на отрезке существует определенный интеграл функцию f (х) называют интегрируемой на отрезке
Из формул (3) и (4) получаем, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке функции у = f (х), отрезком оси Ох и прямыми х = а и х = b (рис. 104), можно вычислить по формуле Например, площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у = cos х, отрезком оси Ох и прямыми х = 0 и х = — (рис. 106), можно вычислить по формуле
(При вычислении определенного интеграла учтено, что для функции f (х) = cos х одной из первообразных является функция
Замечание. В задачах из курса алгебры и начал анализа на вычисление площадей как ответ чаще всего приводится числовое значение площади. Поскольку на координатной плоскости, где изображается фигура, всегда указывается единица измерения по осям, то в этом случае мы всегда имеем и единицу измерения площади — квадрат со стороной 1. Иногда, чтобы подчеркнуть, что полученное число выражает именно площадь, ответ записывают так: (кв.ед.),то есть квадратных единиц. Отметим, что так записываются только числовые ответы. Если в результате вычисления площади мы получили, например, что то никаких обозначений квадратных единиц не записывается, поскольку отрезок а был измерен в каких-то линейных единицах и тогда выражениеуже содержит информацию о тех квадратных единицах, в которых измеряется площадь в этом случае.
Свойства определенных интегралов
При формулировании определения определенного интеграла мы полагали, что Удобно расширить понятие определенного интеграла и для случая а > b принять по определению, что
Для случая а = b также по определению будем считать, что
Отметим, что формальное применение формулы Ньютона-Лейбница к вычислению интегралов в формулах (5) и (6) дает такой же результат. Действительно, если функция F (х) является первообразной для функции f (х), то
С помощью формулы Ньютона-Лейбница легко обосновываются и другие свойства определенных интегралов, приведенные в пункте 4 таблицы 18.
Если F (х) является первообразной для функции f (х), то для функции первообразной будет функция Тогда
Если F (x) является первообразной для функции f (х), a G (х) — первообразной для функции g (х), то для функции f (х) + g (х) первообразной будет функция F (х) + +G (х). Тогда
Если F (x) является первообразной для функции то
Следовательно, если функция f (х) интегрируема на отрезке и то
Определение определенного интеграла через интегральные суммы
Исторически интеграл возник в связи с вычислением площадей фигур, ограниченных кривыми, в частности, в связи с вычислением площади криволинейной трапеции.
Рассмотрим криволинейную трапецию, изображенную на рисунке 107 (функция f (х) — непрерывна на отрезке ). На этом рисунке основание трапеции— отрезок — разбито на отрезков (не обязательно равных) точками (для удобства будем считать, что Через эти точки проведены вертикальные прямые. На первом отрезке выбрана произвольная точка и на этом отрезке как на основании построен прямоугольник с высотой Аналогично на втором отрезке выбрана произвольная точкаи на этом отрезке f /с ^ как на основании построен прямоугольник с высотой и т. д.
Площадь S заданной криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей построенных прямоугольников. Обозначим эту сумму через длину первого отрезка через
Следовательно, площадь S криволинейной трапеции можно приближенно вычислять по формуле (9), то есть
Сумму (9) называют интегральной суммой функции f (х) на отрезке При этом считают, что функция f (х) непрерывна на отрезке и может принимать любые значения: положительные, отрицательные и равные нулю (а не только неотрицательные, как для случая криволинейной трапеции). Если и длины отрезков, на которые разбито основание трапеции, стремятся к нулю, то интегральная сумма стремится к некоторому числу, которое называют определенным интегралом функции f (х) на отрезке и обозначают Можно доказать, что при этом также выполняется формула Ньютона — Лейбница и все рассмотренные свойства определенного интеграла.
Замечание. Изменяя способ разбиения отрезка на частей (то есть фиксируя другие точки и выбирая на каждом из полученных отрезков другие точки мы будем получать для функции f (х) другие интегральные суммы. В курсе математического анализа доказывается, что для любой непрерывной на отрезке функции f (х) независимо от способа разбиения этого отрезка и выбора точек если и длины отрезков стремятся к нулю, то интегральные суммыстремятся к одному и тому же числу.
Определение определенного интеграла через интегральные суммы позволяет приближенно вычислять определенные интегралы по формуле (9). Но такой способ требует громоздких вычислений, и его используют в тех случаях, когда для функции f (х) не удается найти первообразную (в этих случаях приближенное вычисление определенного интеграла обычно проводят на компьютере с использованием специальных программ). Если же первообразная для функции f(x) известна, то интеграл можно вычислить точно, используя формулу Ньютона-Лейбница (см. пример в пункте 1 таблицы 19 и примеры, приведенные далее).
Примеры решения задач:
Пример №296
Вычислите
Решение:
Ответ: 1.
Комментарий:
Поскольку для функции мы знаем первообразную — это F(x) = tg х , то заданный интеграл вычисляется непосредственным применением формулы Ньютона-Лейбница
Пример №297
Вычислите
Решение:
I способ
Для функции одной из первообразных является
Комментарий:
Возможны два способа вычисления заданного интеграла.
1) Сначала найти первообразную для функции используя правила вычисления первообразных и таблицу первообразных, а затем найти интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.
2) Использовать формулу (8)
и записать заданный интеграл как алгебраическую сумму двух интегралов, каждый из которых можно непосредственно вычислить, как в задаче 1 (для первого слагаемого можно также использовать формулу (7) и вынести постоянный множитель 4 за знак интеграла).
Замечание. Заданный интеграл рассматривается на отрезке [1; 3], где х > 0. Но при х > 0 одной из первообразных для функции является функция F (х) = In х. Поэтому, учитывая, что х > 0, можно, например, записать,что Хотя, конечно, приведенная выше запись первообразной также является верной (поскольку при
Пример №298
Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямыми х = 1, х = 8, осью Ох и графиком функции
Решение:
Изображая эти линии, видим, что заданная фигура — криволинейная трапеция (рис. 108).
Тогда ее площадь ровна
Комментарий:
Заданная фигура является криволинейной трапецией, и поэтому ее площадь можно вычислить по формуле
Также необходимо учесть, что на заданном отрезке [1; 8] значения х > 0, и при этом условии можно записать
Вычисление площадей и объемов с помощью определенных интегралов
1. Площадь криволинейной трапеции
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной неотрицательной на отрезке функции осью Ох и прямыми х = а иравна
2. Площадь фигуры, ограниченной графиками двух функций и прямыми х = а и
Формула
Если на заданном отрезке непрерывные функции и имеют такое свойство, что для всех то Пример Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
Изобразим заданные линии и абсциссы их точек пересечения. Абсциссы точек пересечения:
3. Объемы тел
Если тело помещено между двумя перпендикулярными к оси Ох плоскостями, проходящими через точки где — площадь сечения тела плоскостью, которая проходит через точку и перпендикулярна к оси Ох.
Если тело получено в результате вращения вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке функции у = f (х) и прямыми х = а и то
Объяснение и обоснование:
Вычисление площадей фигур
Обоснование формулы площади криволинейной трапеции и примеры ее применения были приведены выше.
Выясним, как можно вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке 109. Эта фигура ограничена сверху графиком функции снизу графиком функции а также вертикальными прямыми функции непрерывны и неотрицательны на отрезке
Площадь S этой фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций ( — площадь криволинейной трапеции — площадь криволинейной трапеции Но
Следовательно, Таким образом, площадь заданной фигуры можно вычислить по формуле
Эта формула будет верной и в том случае, когда заданные функции не являются неотрицательными на отрезке для этого достаточно выполнения условий, что функции непрерывны на отрезке и (рис. 110, а). Для обоснования справедливости формулы достаточно перенести заданную фигуру параллельно вдоль оси Оу на единиц так, чтобы она разместилась над осью Ох (рис. 110, б). Такое преобразование означает, что заданные функции мы заменили соответственно на функции Площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций и прямыми х = а и равна площади заданной фигуры. Следовательно, искомая площадь
Например, площадь фигуры, изображенной на рисунке 111, равна
Вычисление объемов тел
Задача вычисления объема тела с помощью определенного интеграла аналогична задаче нахождение площади криволинейной трапеции.
Пусть задано тело объемом V, причем есть такая прямая (ось Ох на рисунке 112), что какую бы ни взяли плоскость, перпендикулярную к этой прямой, нам известна площадь S сечения тела этой плоскостью. Но плоскость, перпендикулярная к оси Ох, пересекает ее в некоторой точке х. Следовательно, каждому числу х из отрезка (см. рис. 112) поставлено в соответствие единственное число — площадь сечения тела этой плоскостью. Таким образом, на отрезке задана функция S (х). Если функция S непрерывна на отрезке , то справедлива Полное доказательство этой формулы приведено в курсе математического анализа, а мы остановимся на наглядных соображениях, которые приводят к этой формуле.
Разделим отрезок на отрезков одинаковой длины точками
Через каждую точку проведем плоскость перпендикулярную к оси Ох. Эти плоскости разрезают данное тело на слои (рис. 113, а). Объем слоя между плоскостями (рис. 113, б) при достаточно больших п приближенно равен площади сечения, умноженной на «толщину слоя» и поэтому
Точность этого приближенного равенства тем выше, чем тоньше слои, на которые разрезано тело, то есть чем больше
Поэтому По определению определенного интеграла через интегральные суммы получаем, что Следовательно,
Используем полученный результат для обоснования формулы объема тел вращения.
Пусть криволинейная трапеция опирается на отрезок оси Ох и ограничена сверху графиком функции у = f (х), неотрицательной и непрерывной на отрезке . Вследствие вращения этой криволинейной трапеции вокруг оси Ох образуется тело (рис. 114, а), объем которого можно найти по формуле
Действительно, каждая плоскость, которая перпендикулярна к оси Ох и пересекает отрезок этой оси в точке х, дает в сечении с телом круг радиуса f (х) и площадью (рис. 114, б). Отсюда по формуле (2) получаем формулу (3).
Примеры решения задач:
Пример №299
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями и
Решение:
Изобразим заданные линии (рис. 115) и найдем абциссы точек их пересечения:
Комментарий:
Изображая заданные линии (рис. 115), видим, что искомая фигура находится между графиками двух функций. Сверху она ограничена графиком функции а снизу — графиком функции Следовательно, ее площадь можно вычислить по формуле
(оба корня удовлетворяют уравнению (1)).Площадь заданной фигуры равна
Комментарий:
Чтобы найти пределы интегрирования, найдем абсциссы точек пересечения графиков заданных функций. Поскольку ординаты обеих кривых в точках пересечения одинаковы, то достаточно решить уравнение
Для решения полученного иррационального уравнения можно использовать уравнения-следствия (в конце выполнить проверку) или равносильные преобразования (на ОДЗ, то есть при ).
Отметим также, что на полученном отрезке [-1; 0] значение Задача 2 Вычислите объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями Решение
Найдем абциссы точек пересечения заданных линий.
Поскольку заданная фигура — криволинейная трапеция, то объем тела вращения равен
Комментарий:
Изобразим заданную фигуру (рис. 116) и убедимся, что она является криволинейной трапецией. В этом случае объем тела вращения можно вычислять по формуле:
Чтобы найти пределы интегрирования, достаточно найти абсциссы точек пересечения заданных линий.
Как и для задач на вычисление площадей, в ответ записывают числовое значение объема, но можно подчеркнуть, что мы получили именно величину объема, и записать ответ: куб. ед. (то есть кубических единиц).
Замечание. Можно было обратить внимание на то, что заданная фигура симметрична относительно оси и поэтому объем тела, полученного вращением всей фигуры вокруг оси абсцисс, будет вдвое больше объема тела, полученного вращением криволинейной трапеции, которая опирается на отрезок [0; 2].
Простейшие дифференциальные уравнения
Понятия дифференциального уравнения и его решения
До сих пор мы рассматривали уравнения, в которых неизвестными были числа. В математике и ее применениях приходится рассматривать уравнения, в которых неизвестными являются функции. Так, задача о нахождении пути s (t) по заданной скорости сводится к решению уравнения s’ (t) = v (t), где v (t) — заданная функция, a s (t) — искомая функция.
Например, если v (t) = 3 – то для нахождения s (t) необходимо решить уравнение s’ (t) = 3 –
Это уравнение содержит производную неизвестной функции. Такие уравнения называют дифференциальными уравнениями. Решением дифференциального уравнения называется любая функция, удовлетворяющая этому уравнению (то есть функция, при подстановке которой в заданное уравнение получаем тождество).
Пример №300
Решите дифференциальное уравнение
Решение:
Необходимо найти функцию у (х), производная которой равна х + 3, то есть
найти первообразную для функции х + 3. По правилам нахождения первообразных получаем где С — произвольная постоянная.
При решении дифференциальных уравнений следует учитывать, что решение дифференциального уравнения определяется неоднозначно, с точностью до постоянной. Такое решение называют общим решением заданного уравнения.
Обычно к дифференциальному уравнению добавляется условие, из которого эта постоянная определяется. Решение, полученное с использованием такого условия, называют частным решением заданного дифференциального уравнение.
Пример №301
Найдите решение у (х) дифференциального уравнения у’ = sin х, удовлетворяющего условию у (0) = 2.
Решение:
Все решения этого уравнения записываются формулой у (х) = -cos х + С. Из условия у (0) = 2 находим -cos 0 + С = 2. Тогда С = 3. Ответ: у = -cos х + 3.
Решения многих физических, биологических, технических и других практических задач сводится к решению дифференциального уравнения
где k — заданное число. Решениями этого уравнения являются функции
где С — постоянная, которая определяется условиями конкретной задачи.
Например, в опытах установлено, что скорость размножения бактерий (для которых достаточно пищи) связана с массой бактерий в момент времени t уравнением
где — положительное число, которое зависит от вида бактерий и внешних условий. Решениями этого уравнение являются функции
Постоянную С можно найти, например, при условии, что в момент t = 0 масса бактерий известна. Тогда и, следовательно,
Другим примером применения уравнения (1) является задача о радиоактивном распаде вещества. Если — скорость радиоактивного распада в момент времени t, то — постоянная, которая зависит от радиоактивности вещества. Решениями этого уравнения являются функции
Если в момент времени t масса вещества равна и тогда
Отметим, как на практике скорость распада радиоактивного вещества характеризуется периодом полураспада, то есть промежутком времени, в течение которого распадается половина исходного вещества.
Пусть Т — период полураспада, тогда из равенства (3) при t = Т получаем
В этом случае формула (3) записывается
так:
Гармонические колебания
На практике часто встречаются процессы, которые периодически повторяются, например колебательные движения маятника, струны, пружины и т. п.; процессы, связанные с переменным электрическим током, магнитным полем и т. д. Решение многих таких задач сводится к решению дифференциального уравнения
где — заданное положительное число,
Решением уравнения (4) является функция
где — постоянные, которые определяются условиями конкретной задачи. Уравнение (4) называют дифференциальным уравнением гармонических колебаний.
Например, если у (t) — отклонение точки струны, которая свободно колеблется, от положения равновесия в момент времени t, то
где А — амплитуда колебания, — угловая частота, — начальная фаза колебания.
Графиком гармонического колебания является синусоида.
Примеры применения первообразной и интеграла к решению практических задач
Пример №302
Цилиндрический бак, высота которого равна 4,5 м, а радиус основания равен 1 м, заполнен водой. За какое время вода вытечет из бака через круглое отверстие в дне, если радиус отверстия равен 0,05 м?
Решение:
Обозначим высоту бака Н, радиус его основания R, радиус отверстия (длины измеряем в метрах, время — в секундах) (рис. 117).
Скорость вытекания жидкости v зависит от высоты столба жидкости х и вычисляется по формуле Бернулли
где — коэффициент, который зависит от свойства жидкости; для воды Поэтому при уменьшении уровня воды в баке скорость вытекания уменьшается (а не остается постоянной).
Пусть t (х) — время, за которое из бака высоты х с основанием радиуса R вытекает вода через отверстие радиуса (рис. 117).
Найдем приближенно отношение считая, что за время скорость вытекания воды постоянна и выражается формулой (6).
За время объем воды, которая вытекла из бака, равен объему цилиндра высоты с основанием радиуса R (см. рис. 117), то есть равен С другой стороны, этот объем равен объему цилиндра, основанием которого служит отверстие в дне бака, а высота равна произведению скорости вытекания о на время , то есть объем равен Следовательно, Учитывая формулу (6), получаем
Тогда при получаем равенство
Если x = 0 (в баке нет воды), то t (0) = 0, отсюда С = 0. При х = Н находим искомое время
Используя данные задачи, получаем
Пример №303
Вычислите работу силы F при сжатии пружины на 0,06 м, если для ее сжатия на 0,01 м необходима сила 5 Н.
Решение:
По закону Гука, сила F пропорциональна растяжению или сжатию пружины, то есть где х — величина растяжения или сжатия (в метрах), — постоянная. По условию задачи находим . Поскольку при х = 0,01 м
сила.
Следовательно,
Найдем формулу для вычисления работы при перемещении тела (оно рассматривается как материальная точка), которое двигается под действием переменной силы F (х), направленной вдоль оси Ох. Пусть тело переместилось из точки х = а в точку
Обозначим через А (х) работу, выполненную при перемещении тела из точки а в точку х. Дадим х приращение Тогда работа, которая выполняется силой F (х) при перемещении тела из точки х в точкубудем считать постоянной и равной F (х). Поэтому
Тогда при Последнее равенство означает, что А (х) является первообразной для функции F (х).
Учитывая, что А (а) = 0, по формуле Ньютона-Лейбница получаем
Таким образом, работа переменной силы F (х) при перемещении тела из точки а в точку равна
Используя данные задачи, получаем
Сведения из истории:
Интегральное исчисление и само понятие интеграла возникло из необходимости вычисления площадей плоских фигур и объемов тел. Идеи интегрального исчисления берут свое начало в работах древних математиков. В частности, важное значение для развития интегрального исчисления имел метод исчерпывания, предложенный Евдоксом Книдским (ок. 408 — ок. 355 гг. до н. э.) и усовершенствованный А р х им е д о м. По этому методу для вычисления площади плоской фигуры вокруг нее описывается ступенчатая фигура и в нее вписывается ступенчатая фигура. Увеличивая количество сторон полученных многоугольников, находят предел, к которому стремятся площади ступенчатых фигур (именно так в курсе геометрии вы доказывали формулу площади круга). Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. Но прошло более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи были доведены до уровня исчисления. Отметим, что математики XVII в., получившие множество новых результатов, учились на работах Архимеда. Именно в XVII в. было сделано много открытий, касающихся интегрального исчисления, введены основные понятия и термины.
Символ ввел Лейбниц (1675 г.). Этот знак является измененной латинской буквой S (первая буква слова summa). Само слово интеграл ввел Я. Бернулли (1690 г.). Другие известные вам термины, касающие интегрального исчисления, появились значительно позже. Название первообразная для функции, которое применяется сейчас, заменило более раннее «примитивная функция», введенное Лагранжем (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как «начальный»: функция — начальная (или первообразная) для функции f (х), которая образуется из F (х) дифференцированием. Понятие неопределенного интеграла и его обозначение ввел Лейбниц, а обозначение определенного интеграла ввел К. Ф у р ь е (1768—1830).
Следует отметить, что при всей значимости результатов, полученных математиками XVII в., интегрального исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, на которых основывается решение многих отдельных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования. Это сделали Ньютон и Лейбниц, которые независимо друг от друга открыли факт, известный нам под названием формулы Ньютона-Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Необходимо было еще научиться находить первообразные для многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисления созданы. Методы интегрального исчисления активно развивались в следующем столетии (прежде всего следует назвать имена Л.Эйлера, который закончил систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитие интегрального исчисления значительный вклад внесли российские математики украинского происхождения М. В. Остроградский (1801 — 1862), В.Я.Буняковский (1804-1889).
—11клас
Применение интеграла
С помощью интегралов можно определять не только площади фигур, но и многие другие величины, приближённые значения которых выражаются интегральными суммами, т.е. суммами вида Такие суммы принято обозначать Подграфик функции — математическая модель каждой такой величины, поэтому вычислять границы этих сумм можно по формуле Ньютона—Лейбница. Рассмотрим четыре примера таких задач.
Объём тела вращения
Пусть тело образовано вращением подграфика функции вокруг оси Каждое тело вращения можно представить составленным из очень большого количества круглых пластинок, цилиндров с малыми высотами (рис. 127). Радиус каждого такого цилиндра зависит от и равен Объём одного цилиндрика, соответствующего переменной равен Всему телу вращения соответствует интегральная сумма
Следовательно, его объём
Пример №594
Пусть надо найти вместимость сосуда высотой 4 дм, осевое сечение которого — график функции (рис. 128). Для неотрицательных значений график такой функции симметричен относительно биссектрисы первого координатного угла графику функции Поэтому искомый объём сосуда равен объёму тела, образованного вращением подграфика функции на вокруг оси (рис. 129). Итак, искомый объём
С помощью определённых интегралов можно вычислять не только объёмы тел вращения, но и многих других тел: пирамид, усечённых пирамид и т. д.
Работа переменной силы
Если в результате действия постоянной силы тело перемещается в направлении её действия на расстояние то при этом выполняется работа А если на тело действует сила не постоянная, а переменная?
Например, чтобы растянуть пружину на 1 см, на 2 см и т. д., надо прикладывать всё большую и большую силу. Согласно закона Гука, сила которую необходимо приложить, чтобы растянуть пружину на расстояние пропорциональна этому расстоянию (для допустимых значений Коэффициент различен для разных пружин. Например, если для растяжения пружины на 1 м надо приложить силу 50 Н, то Какую выполняют работу, растягивая такую пружину на расстояние
Поделим отрезок на который растягивается пружина, точками на равных частей (рис. 130). Пусть — длина каждой части. Чтобы растянуть пружину на
расстояние т. е. переместить её конец из точки надо приложить силу При этом выполненная работа приближённо равна Чтобы растянуть пружину на расстояние надо приложить силу и выполнить работу, которая приближённо равна и т. д. Следовательно, чтобы растянуть пружину на расстояние надо выполнить работу, приближенное значение которой равно интегральной сумме
Значение с увеличением (и соответствующим уменьшением всё меньше отличается от точного значения искомой работы т. е. если Следовательно,
Если
Сила давления жидкости
Пусть разница уровней воды по обе стороны от ворот шлюза равна 8 м. Ворота имеют прямоугольную форму, их ширина (рис. 131). Чему равна сила давления воды на ворота?
Известно, что с увеличением глубины давление воды увеличивается. Оно выражается формулой — глубина в метрах, — давление воды в килопаскалях. Пусть — разница уровней воды.
Разобьём этот отрезок точками на равных частей и через них мысленно проведём горизонтальные прямые, которые разделят ворота шлюза на равных полос. Если , то площадь каждой полосы равна Давление на первую, вторую, третью и т. д. полосы приближённо равно соответственно Поэтому общая сила давления воды на ворота шлюза приближённо равна сумме
Полученное произведение ширины ворот на интегральную сумму — приближённое значение силы давления воды на ворота. Точное её значение
Экономическое содержание интеграла
Пусть функция описывает изменение производительности некоторого производства в течение определённого времени. Найдём объём продукции произведённой за промежуток времени
Отметим, что когда производительность не изменяется в течение времени — постоянная функция), то объём продукции произведённой за некоторый промежуток времени задаётся формулой В общем случае справедливо приближённое равенство Оно тем точнее, чем меньше
Разобьём отрезок равных частей точками Для объёма продукции произведённой за промежуток времени имеем
Следовательно,
Если то каждое из использованных приближённых paвенств становится более точным, следовательно
Если — производительность труда в момент времени то объём произведённой продукции за промежуток можно вычислить по формуле
Известный вам определённый интеграл учёные называют интегралом Римана, он применяется к ограниченным функциям и конечным интервалам интегрирования. Но решение многих важных задач нуждалось в нахождении границ бесконечных сумм, определённых широким классом функций и на бесконечных промежутках. Впоследствии были введены такие интегралы: интегралы Лебега, Стилтьеса, интегралы кратные, криволинейные и т. д. Их рассматривают в высших учебных заведениях.
Пример №595
Керосин содержится в цилиндрическом резервуаре (рис. 132), осевое сечение которого — квадрат со стороной 2 м. Какую работу нужно выполнить, чтобы откачать весь керосин из резервуара через отверстие в его верхнем основании, если плотность керосина равна
Решение:
Решим сначала задачу в общем виде. Разобьём высоту цилиндра равных частей точками Через каждую точку деления параллельно основанию цилиндра проведём плоскость. Объём каждого из образовавшихся маленьких цилиндров равен а масса — где — плотность жидкости в резервуаре, — радиус основания цилиндра, а
Чтобы тело массой поднять на высоту нужно выполнить работу В этих условиях работа по откачке жидкости, содержащейся в цилиндре, выражается формулой а общая работа (по откачке жидкости из всего резервуара) —
По условию задачи поэтому
Ответ.
Пример №596
Производительность труда бригады рабочих в течение смены приближённо определяется формулой — рабочее время в часах. Определите объём продукции, выпущенной за 5 рабочих часов.
Решение:
Объём выпуска продукции в течение смены является первообразной от функции, выражающей производительность труда. Поэтому
Ответ. единиц.
- Первообразная и интегра
- Уравнения и неравенства
- Уравнения и неравенства содержащие знак модуля
- Уравнение
- Рациональные уравнения
- Рациональные неравенства и их системы
- Геометрические задачи и методы их решения
- Прямые и плоскости в пространстве
Содержание:
- Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
- Понятие первоначальной функции и неопределенного интеграла
- Неопределенный интеграл. Определение и свойства, таблица основных интегралов
- Непосредственное интегрирование
- Метод интегрирования заменой переменной
- Метод интегрирования по частям
- Интегрирование элементарных рациональных алгебраических дробей
- Интегрирование рациональных алгебраических дробей
- Интегрирование некоторых видов иррациональных функций
- Интегрирование простейших иррациональностей
- Интегрирования функций, рационально зависящих от тригонометрических функций
- Интегральное исчисление функции одной переменной
- Первоначальная функция и неопределенный интеграл
- Основные свойства неопределенного интеграла
- Таблица неопределенных интегралов
- Методы вычисления интегралов
- Непосредственное интегрирование
- Метод разложения
- Метод подстановки (метод замены переменной)
- Метод интегрирования по частям
- Интегрирование рациональных дробей
- Метод неопределенных коэффициентов
- Интегралы от простейших рациональных дробей
- Интегрирование неправильных рациональных дробей
- Метод Остроградского интегрирования рациональных функций
- Интегрирование тригонометрических функций
- Интегрирование некоторых иррациональных функций
- Понятие о неопределенном интеграле, не имеющем первообраных в элементарных функциях
- Определенный интеграл
- Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
- Задача об объеме производства с переменной производительностью труда
- Определенный интеграл, как предел интегральных сумм
- Основные свойства определенного интеграла
- Теорема о среднем значении определенного интеграла
- Геометрический смысл определенного интеграла
- Связь неопределенного и определенного интегралов. Формула Ньютона-Лейбница
- Методы вычисления определенного интеграла
- Замена переменной в определенном интеграле
- Метод интегрирования по частям
- Приближенное вычисление определенных интегралов
- Разложение подынтегрального выражения
- Интегрирование с помощью таблиц
- Численное интегрирование
- Несобственные интегралы и их нахождение
- Интеграл с бесконечными пределами интегрирования
- Интеграл от разрывной функции
- Применение определенных интегралов
- Вычисление площадей
- Задача о распределении доходов населения государства
- Вычисление объемов
- Понятие о двойном интеграле. Сведение двойного интеграла к повторному
- Повторный интеграл. Переход от двойного интеграла к повторному
- Интеграл Эйлера-Пуассона
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных
Одной из основных задач дифференциального исчисления является нахождение производной заданной функции. Исследования во многих областях науки, в том числе и экономической, приводят к обратной задачи, а именно: возникает необходимость по данной функцией найти такую функцию, производная от которой равнялась бы исходной функции. В экономике это означает, что по предельным характеристикам (скоростями) процессов необходимо воссоздать их общие свойства (общие расходы, общая прибыль и т.д.).
После изучения данной темы вы сможете:
- ● интерпретировать содержание интегралов в математических моделях экономических процессов;
- ● владеть методами интегрирования различных функций;
- ● распознавать типы задач в экономике, для решения которых целесообразно применять интегралы;
- ● применять инструменты интегрального исчисления для нахождения исходных величин по известным функциями факторов, влияющих на них;
- ● исследовать экономическую динамику процессов с применением интегралов.
Понятие первоначальной функции и неопределенного интеграла
Функция называется первоначальной для на множестве , если в каждой точке этого множества является производной от , или, что то же самое, произведение является дифференциалом функции
Первоначальной для на множестве есть функция
Проверить это утверждение можно, если продифференцировать функцию Поскольку действительно является первоначальной для
Нахождение для всех ее первоначальных называют интегрированием функции а соответствующий раздел математики, в котором решается задача нахождения функции по ее производной или дифференциалом, называется интегральным исчислением.
Теорема 21.1 (о множестве первичных). Если для функции которая определена на множестве существуют первобытные, то:
1) их бесконечно много;
2) все они отличаются друг от друга только постоянной величиной.
Доказательство.
1. Пусть функция является первоначальной для на множестве , тогда по определению . Поскольку производная постоянной величины равна нулю, то функция также является первоначальной для по определению: Следовательно, если существует одна первоначальная, то существовать также бесчисленное множество других первобытных, отличающиеся на произвольную постоянную C.
2. Пусть и является некоторым первичных для функции то есть по определению: и Построим вспомогательную функцию Для любого имеем:
Поскольку для любого имеем то отсюда то есть Следовательно, по данной теоремы следует: если – одна из первоначальных для то множество всех первобытных имеет вид
Например, для функции на множестве первоначальными является и функция и функция (убедитесь!). Хотя на вид они разные, но отличаются лишь постоянным слагаемым:
Следовательно, для нахождения первичных заданной функции достаточно знать только одну, а каждая другая представляет собой сумму найденной первоначальной и произвольной действительной постоянной.
Неопределенный интеграл. Определение и свойства, таблица основных интегралов
Множество всех первобытных для на области ее определения называется неопределенным интегралом функции и обозначается:
где – символ (знак) неопределенного интеграла;
подынтегральная функция;
дифференциал переменной интегрирования
подынтегральное выражение.
Относительно выражения в правой части равенства (21.3) говорят, что он описывает однопараметрическую семью первобытных для
Современное обозначение неопределенного интеграла знаком было предложено Лейбницем, который трансформировал букву , является первой буквой в слове summa (сумма).
С геометрической точки зрения любая первоначальная – это линия а неопределенный интеграл – семья линий которую получаем смещением одной из них параллельно самой себе вдоль оси (рис. 21.1).
Рис. 21.1
По геометрическим содержанием производной имеем, что является угловым коэффициентом касательной к кривой в точке с абсциссой Тогда найти первоначальную для означает найти такую кривую , угловой коэффициент касательной к которой в произвольной точке равен бы значению функции в этой точке.
Теорема 21.2 (теорема существования неопределенного интеграла). Если функция непрерывна на области ее определения , то для нее существует неопределенный интеграл как множество функций, производная каждой из которых равна Теорема принимаем без доказательства.
Основные свойства неопределенного интеграла вытекают из определения первичной, соотношение (21.3) с привлечением свойств производной.
1 (о производной интеграла). Производная от неопределенного интеграла по переменной интегрирования равна под интегральной функции:
Действительно, согласно (21.3) и (21.2) имеем:
2 (о дифференциал интеграла). Дифференциал от неопределенного интеграла по переменной интегрирования равна подынтегральному выражению:
потому что дифференциал функции – это произведение производной функции и дифференциала аргумента.
3 (о неопределенном интеграле от дифференциала). Неопределенный интеграл от дифференциала любой функции, имеет производную, которая является однопараметрической семьей этой функции:
Обоснование такое же, как и для свойства 2.
4 (о интеграле от производной). Неопределенный интеграл от производной любой дифференцируемой функции является однопараметрической семьей этой функции:
Ниже приведены свойства, которые называют также правилами интегрирования, доводятся посредством сравнения множеств, соответствующих левой и правой частям равенств, или дифференцированием левой и правой частей равенств, которые надо доказать.
5 (об устойчивом множителе). Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:
Найдем производные от обеих частей равенства. Для левой части по свойству 1 имеем: По той же свойством для правой части имеем: Следовательно, производные от обеих частей приведенного выше соотношения равны между собой, то есть описывают одно и то же множество первичных (обдумайте случай ).
6 (о интеграле от алгебраической суммы функций). Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме неопределенных интегралов от слагаемых этой суммы:
Снова найдем производные от обеих частей этого равенства. Так, для левой части имеем:
Для правой части имеем:
Как видим, производные от обеих частей равенств совпали, значит, правильная и самая равенство.
Свойство 6 обобщается на любое конечное число слагаемых.
7 (о интеграле от функции составного линейного аргумента). Если неопределенный интеграл от функции является известным, то неопределенный интеграл от этой функции с аргументом , где – , порождается той же первоначальной, но от аргумента и с коэффициентом
Для доказательства свойства 7 найдем производные от обеих частей равенства (21.11):
где – промежуточный аргумент.
Например, непосредственное применение формулы (21.11) дает:
8 (об инвариантности формулы неопределенного интеграла). Вид формулы интегрирования не зависит от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или функцией от нее:
В таблицу основных интегралов относят, как правило, те интегралы, которые можно получить непосредственно по таблице производных, если прочитать ее справа налево. В таблице 21.1 к таким интегралов еще добавлены формулы (7), (8), (15) и (16). Полный перечень интегралов от элементарных функций можно найти в справочнике по высшей математике.
Таблица основных интегралов Таблица 21.1
Справедливость каждой формулы таблицы, как и вообще результата интегрирования, проверяется дифференцированием по свойством 1 (о производной неопределенного интеграла).
Например, проверим справедливость формулы (16). Для этого найдем производную от правой части этого равенства:
Действительно, мы получили подынтегральную функцию, что и требовалось доказать.
Интегрирования функций как операция, является обратной к дифференцировке, является более сложной задачей, чем нахождение производной. Для определения производных от произведения или частного функций существуют определенные соотношения, а для интегрирования таких соотношений нет. Каким бы ни было сложным выражение, для которого нужно найти производную, это всегда можно сделать, чего нельзя утверждать относительно интегрирования. Овладение техникой интегрирования требует, прежде всего, знания неопределенных интегралов основных элементарных функций, приведены в
таблицы 21.1 и свойств неопределенных интегралов 1-8.
Непосредственное интегрирование
Непосредственным интегрированием называется нахождение неопределенных интегралов с помощью таблицы основных интегралов и основных свойств неопределенного интеграла с привлечением тождественных преобразований подынтегральной функции. Этот подход, как правило, не вызывает затруднений, но охватывает лишь узкий класс функций.
Общий порядок непосредственного интегрирования таков:
1) анализируем подынтегральное выражение с целью установления того, какие свойства неопределенных интегралов надо учесть и которые алгебраические преобразования следует предпринять, чтобы воспользоваться табличным интегралом;
2) выполняем соответствующие действия;
3) применяем соответствующие табличные формулы.
Процесс нахождения неопределенного интеграла записывается цепочкой, возможно, с указанием справочных сведений.
Приведем несколько примеров непосредственного интегрирования.
Например, найдем интеграл:
Разность двух параметров и мы заменили одним – , поскольку разница двух произвольных постоянных с тоже является произвольной постоянной с .
Проверяем правильность интегрирования с помощью дифференцирования полученной первоначальной:
Поскольку получено подынтегральная функция, то интегрирование выполнено верно.
В данном примере при интегрировании использованы свойства 3, 5 и 6, а затем были применены соответствующие формулы таблицы интегралов. Предлагаем самостоятельно проверить, является ли полученный результат правильным.
При преобразовании подынтегральной функции было использовано соотношение , и формулы (6) и (5) таблицы интегралов.
Метод интегрирования заменой переменной
Если неопределенный интеграл не является табличным, то во многих случаях цели приведет метод интегрирования заменой переменной. Нахождение неопределенного интеграла с помощью перехода от переменной интегрирования к новой переменной , что позволяет свести выходной интеграл к проще или даже табличного, называют методом замены переменной, или методом подстановки.
Основой этого метода является свойство 8 (об инвариантности формулы неопределенного интеграла).
Связь между переменными интегрирования – выходной и новой – в зависимости от вида подынтегральной функции описывается соотношением, которое разрешено или относительно , или относительно . Поэтому надо различать два типа подстановок: или
1. Подстановка выполняется в случаях, когда подынтегральная функция является произведением сложной функции и производной промежуточного аргумента или выражением, отличающийся от производной постоянным множителем:
После нахождения интеграла по переменной возвращаются к исходной переменной :
На базе соотношений (21.13) и (21.14) получаем:
Найдем неопределенный интеграл:
Подынтегральная функция содержит составленную функцию и множитель , отличающийся от производной постоянным множителем 3. Следовательно, целесообразно применить подстановку :
Заметим, что без предварительных тождественных преобразований подынтегральной функции не всегда сразу удается осуществить выбор соответствующей подстановки:
2. Подстановка выполняется преимущественно для осуществления перехода от одного класса функций к другому, например, от иррациональных функций к рациональным, или от степенных к тригонометрических, или от показательных до степенных и тому подобное. При этом для возвращения к исходной переменной функция должна иметь обратную функцию
Найдем неопределенный интеграл:
Чтобы избавиться иррациональности, выполняем подстановку Тогда имеем: Следовательно,
Подстановка, которая помогает упростить подынтегральная функцию и свести интеграл к табличному, может быть и не единственной.
Как обобщение того, что рассматривалось выше, приведем общий порядок интегрирования методом подстановки:
1) выбираем тип замены переменной или и находим связь между дифференциалами новой и выходной переменных
2) переходим в подынтегральное выражение в новой переменной ;
3) находим неопределенный интеграл по новой переменной интегрирования;
4) возвращаемся к исходной переменной
Приведем иллюстративный пример.
Соотношение (21.18) часто используется как готовая формула. Итак, если под интегральной функцией является дробь, числитель которой является производной знаменателя, то одна из первоначальных – это натуральный логарифм модуля знаменателю.
Метод интегрирования по частям
Теорема 21.3 (формула интегрирования по частям). Если в неопределенном интеграле подынтегральное выражение представлен в виде произведения , где и – дифференцируемы на некотором множестве функции, то справедливо соотношение:
Доказательство. Если – дифференцируемы функции, тогда по формуле дифференциала произведения имеем: откуда Интегрируя последнее равенство, получаем:
В формуле (21.19) произвольную постоянную не пишут, потому что она «поглощается» интегралом, который присутствует в правой части формулы. Тогда:
Нахождение неопределенного интеграла с помощью формулы (21.19) называют методом интегрирования по частям.
Вполне понятно, что представление подынтегрального выражения в виде , которое называют разбивкой его на части, необходимо осуществлять таким образом, чтобы неопределенный интеграл в правой части формулы был более простым, чем исходный.
Общий порядок интегрирования по частям:
1) разбиваем подынтегральное выражение на части и , то есть какой-то фрагмент подынтегральной функции принимаем за , а то, что осталось в подынтегральное выражение – по ;
2) находим дифференциал функции , а за дифференциалом интегрированием восстанавливаем одну из первоначальных ;
3) применяем формулу интегрирования по частям (21.19)
4) берем неопределенный интеграл и записываем окончательный ответ.
Рассмотрим примеры интегрирования по частям и образец оформления символических записей:
Формула интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем метод подстановки. Однако существуют такие типы подынтегральных функций, интегралы от которых можно найти только интегрированием по частям. В таблице 21.2 приведены три типа стандартных интегралов, к которым применяется метод интегрирования по частям с особенностями разбиения подынтегрального выражения на и
Типы интегралов, для нахождения которых применяется метод интегрирования по частям Таблица 21.2
К первому типу относят неопределенные интегралы, подынтегральные функции которых являются произведением многочлена -й степени с показательной функцией или тригонометрическими функциями и Для таких функций возлагают а будет содержать второй множитель (случаи 1, 2, 3 в табл. 21.2). Так же действуют, если аргументом второго множителя есть линейная функция от , где – постоянные с
Второй тип охватывает неопределенные интегралы, подынтегральные функции которых представляют собой произведение многочлена с натуральной степенью логарифмической функции или обратными тригонометрическими функциями (случаи 4, 5, 6 в табл. 21.2). В таком случае возлагают а функция определяется другим сомножителем подынтегрального выражения. Принципиальных изменений не будет, если вместо аргумента будет выступать линейная функция от него.
К третьему типу относятся неопределенные интегралы, при двукратном интегрировании которых по формуле (21.19) получаем линейное уравнение относительно исходного интеграла. Решение этого уравнения и дает искомый интеграл. Для произведений показательной функции с тригонометрическими где (случай 7 в табл. 21.2) возлагают или (по предпочтениям). Для неопределенных интегралов в случае 8 табл. 21.2 за принимают . В более общем случае вместо может быть линейная функция вида
Приведем примеры нахождения неопределенных интегралов каждого типа.
где
Для тоже применяем формулу интегрирования по частям:
В заключении:
Следовательно, неопределенный интеграл первого типа требует применения формулы интегрирования по частям раз, где – степень многочлена
Итак, окончательный ответ:
До последнего интеграла тоже применяем формулу интегрирования по частям:
Таким образом, получаем уравнение относительно исходного интеграла:
Решаем его и записываем окончательный результат:
Интегрирование элементарных рациональных алгебраических дробей
Простейшими рациональными алгебраическими дробями называются дроби четырех типов, а именно:
где – больше единицы натуральное число; квадратные трехчлены не имеют действительных корней, то есть Эти дроби еще называют элементарными.
При нахождении неопределенных интегралов от дробей первого и второго типов не возникает трудностей, они легко берутся методом непосредственного интегрирования:
На практике такие неопределенные интегралы, как правило, берутся устно: условие – ответ.
Например:
Аналогично действуют, когда знаменатели дробей являются линейными функциями от общего вида: где и – постоянные:
При интегрировании простого дроби третьего типа сначала в знаменателе выделяем полный квадрат, а затем вводим новую переменную.
интегрируем методом подстановки.
Выделяем в знаменателе полный квадрат двучлена
Выполняем замену переменной и подаем выходной интеграл в виде суммы двух неопределенных интегралов:
Поскольку (многочлен знаменателя не имеет действительных корней), то эту постоянную можно обозначить как . Тогда первый из интегралов вычисляем по формуле (21.18), а второй – это табличный интеграл. Итак:
Возвращаясь к исходной переменной, получаем:
где
Приведем пример взятия неопределенного интеграла от дроби типа.
Рассмотрен подход к интегрированию простейших дробей третьего типа без принципиальных изменений переносят на некоторые не элементарные дроби, знаменатель которых содержит квадратный трехчлен, а именно:
– неопределенный интеграл, в котором квадратный трехчлен имеет положительный дискриминант С учетом замены переменной знаменатель в выражении (22.5) принимает вид Тогда второе слагаемое (22.5) является табличным интегралом, который можно найти по формуле (15) табл. 21.1;
– неопределенный интеграл, в котором знаменателем является квадратный трехчлен общего вида. Для его взятия сначала выносят за скобки коэффициент (а за знак интеграла ), а затем действуют так же, как и при интегрировании элементарных дробей типа;
– неопределенный интеграл, у которого квадратный трехчлен стоит под знаком квадратного корня. Такие интегралы находят так же, как и в прошлом случае.
Интегрирование дроби типа вообще очень громоздкое: путем -кратного интегрирования по частям его сводят к интегралу от дроби типа.
Рекуррентная формула для случая имеет вид:
По известному можно найти интеграл для любого натурального показателя
Интегрирование рациональных алгебраических дробей
Рациональной алгебраической дробью называется отношение двух многочленов относительно переменной
где – коэффициенты при степенях – для всех от 0 до являются действительными числами;
Если все коэффициенты при степенях , ниже степень старшего члена, равны нулю, то многочлен превращается в одночлен.
Правильной рациональной дробью называется дробь, степень числителя которого меньше степень знаменателя т.е. в противном случае, при дробь называется неправильной.
Если дробь неправильный, то его всегда можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби:
где называют целой частью дроби
Представление дроби в виде (22.8) называется выделением целой части.
Для этого надо выполнить деление «ступеньками» числителя дроби на его знаменатель. Рассмотрим это на примере.
Найдем целую часть неправильной дроби
Деление «ступеньками» дает:
Следовательно,
Поскольку интегрирование многочлена как суммы степенных функций не вызывает затруднений, то для интегрирования любых – правильных и неправильных – рациональных дробей надо уметь интегрировать правильные дроби.
Примем без доказательства теорему высшей алгебры, которая позволяет свести интегрирования любого дроби к интегрированию рассмотренных выше простых дробей.
Теорема 22.1. Любой правильный рациональный алгебраический дробь можно представить как сумму элементарных дробей – разложить на сумму элементарных дробей.
Разложение на сумму элементарных дробей (далее – просто разложение ) осуществляется следующим образом:
1) раскладываем знаменатель дроби – многочлен – на простые множители, то есть подаем его в виде произведения линейных множителей и квадратичных множителей с отрицательными дискриминантами:
где однотипные множители могут повторяться (например, множитель – повторяется раз, а множитель повторяется раз);
2) ставим в соответствие каждому множителю самый рациональный алгебраический дробь или их сумму (табл. 22.1)
3) записываем как сумму всех полученных дробей.
Соответствие между множителями знаменателя и простейшими дробями Таблица 22.1
Следовательно, получаем:
где – некоторые постоянные, которые называются коэффициентами разложения.
Надо заметить, что в этом раскладе будет столько дробей, сколько корней имеет многочлен учитывая их кратность а именно:
4) определяем числовые параметры расписания, то есть его коэффициенты.
Реализацию этого шага осуществляют с помощью так называемого метода неопределенных коэффициентов, согласно которому нахождение коэффициентов разложения сводится к решению системы линейных уравнений. В основе метода лежат следующие свойства:
а) равенство не нарушится, если обе его части умножить на одно и то же выражение, определенное на множестве действительных чисел;
б) в равных многочленов коэффициенты при одинаковых степенях переменной равны между собой.
Рассмотрим примеры интегрирования рациональных алгебраических дробей.
Подынтегральная функция является правильным рациональным дробью. Разложим эту дробь на простейшие дроби:
Умножим обе части равенства на знаменатель в результате чего получим:
Находим коэффициенты Сначала в обе части подставим корни знаменателя:
Осталось найти . Для этого приравняем коэффициенты, например при , в многочленов левой и правой частей равенства:
Следовательно,
Под знаком интеграла знаменатель правильной дроби имеет только один действительный корень а уравнение не имеет действительных корней, тогда расписание выходного дроби на сумму элементарных иметь вид:
Опять умножим обе части равенства на знаменатель
Определяем коэффициенты
Следовательно, исходный интеграл запишется в виде суммы двух интегралов от простых дробей, которые легко берутся:
Интегрирование некоторых видов иррациональных функций
Иррациональным называется алгебраическое выражение, содержащее операцию извлечения корня.
Интегрирование простейших иррациональностей
Так называют нахождения неопределенного интеграла от функций, зависящих от дробных степеней переменной или дробных степеней линейной и дробно-линейной функции от .
1. Неопределенный интеграл функции, рационально зависит от дробных степеней переменной имеет вид:
Такой интеграл сводится к интеграла от рациональной функции относительно новой переменной (рационализируется) с помощью подстановки , где – наименьшее общее кратное знаменателей дробных показателей степени. Действительно, при замене исходной переменной на все показатели степени новой переменной в под интегральной функции становятся целыми числами, поскольку число делится нацело на все числа
Выполним в интеграле (22.10) подстановку:
где – рациональная функция от , то есть многочлен или рациональный алгебраический дробь.
Рассмотрим интеграл:
Анализ степеней переменной с дробными показателями дает: поэтому Применим подстановку
Обратите внимание, что выделение целой части неправильной дроби в данном примере осуществлялось не делением «ступеньками», а путем тождественных преобразований.
2. Неопределенный интеграл от функции, рационально зависит от дробных степеней линейной функции переменной :
Такой неопределенный интеграл рационализируется с помощью подстановки , где, как и выше, – наименьшее общее кратное знаменателей дробных показателей.
Нахождение неопределенного интеграла (22.11) ничем принципиально не отличается от интегрирования по формуле (22.10), но соответствующие изложения – символические записи – более громоздкие, особенно при возвращении к исходной переменной.
Пусть в предыдущем примере вместо выступать линейная функция от , например, , тогда будем иметь:
и первоначальная под знаком радикала содержать не просто , а выражение
3. Неопределенный интеграл от функции, рационально зависит от дробных степеней дробно-линейной функции переменной :
где
рационализируется подстановкой: , где – наименьшее общее кратное знаменателей показателей степени, как и в пунктах, рассмотренных выше.
Замена переменной осуществляется с учетом преобразований:
где – рациональная функция от переменной .
Найдем неопределенный интеграл:
Осуществляем подстановку:
Получили подынтегральную функцию, которая является правильным рациональным алгебраическим дробью.
Вместо трех отдельных неопределенных интегралов от простейших иррациональностей можно было бы рассматривать только (22.12), поскольку все другие являются его частными случаями.
Неопределенные интегралы, первобытные которых не выражаются через конечное число элементарных функций, называют интегралами, которые не берутся в конечном виде. К таким интегралов, например, относятся:
Интегрирования функций, рационально зависящих от тригонометрических функций
І. Интегрирование произвольных рациональных функций от
Рассмотрим способы, с помощью которых берутся интегралы вида
где является интегрируемой рациональной функцией от и
Общий подход к интегрированию таких функций заключается в применении подстановки которую называют универсальной тригонометрической подстановкой. С ее помощью подынтегральная функция становится рациональным алгебраическим дробью
Действительно:
как видим, является рациональной функцией переменной .
Привлечем тригонометрические формулы представления функций через тангенс половинного угла, тогда:
Заданный интеграл принимает вид:
так результатом арифметических операций над дробями есть дроби.
Применим эту подстановку к интегралам вида:
и
Найдем
Сделаем подстановку
Тогда получим:
Найдем
Используя универсальную тригонометрическую подстановку и подставляя в интеграл , получим:
Найдем
Надо отметить, что интегралы, содержащие в знаменателе степени при использовании универсальной тригонометрической подстановки сводятся к более простым рациональных дробей, поэтому сделаем замену:
и
и получим:
Найдем
С помощью подстановки осуществляем переход к новой переменной:
Подынтегральная функция является правильным рациональным дробью.
Раскладываем его на сумму простейших:
После умножения обеих частей равенства на имеем:
Если тогда при получаем или
Для нахождения и составим систему двух уравнений, для чего приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях равенства:
Подставляем в систему Тогда
Следовательно,
Универсальная тригонометрическая подстановка часто приводит к сложным, громоздких выражений, поэтому целесообразно рассмотреть отдельные случаи интегралов типа
ІІ. Интегрирования функций, нечетных (четных) относительно синуса или (и) косинуса. Функция называется нечетным относительно функции если выполняется условие:
есть знак функции меняется на противоположное, если в ней заменить или на или на
Функция называется парной относительно функций и , если выполняется условие:
есть функция не меняется, если в ней одновременно заменить и на и соответственно.
Правило введения новой переменной. Если функция
1) нечетная относительно функции , то выполняется подстановка и применяется тождество
2) парная относительно функций и то выполняется подстановка или и применяются тождества:
Найдем неопределенный интеграл
Поскольку подынтегральная функция нечетная относительно функции , поэтому выполняем подстановку
Предлагаем интегрирование суммы дробей осуществить самостоятельно.
Если в подынтегральной функции показатель степени косинуса увеличить на единицу, то она станет парной относительно и , и тогда возлагаем
ІІІ. Интегрирование произведения целых степеней синуса и косинуса:
кроме
Такие неопределенные интегралы являются частным случаем рассмотренных выше (см. II), поэтому если:
– нечетное, возлагаем
– нечетное, возлагаем
парные, возлагаем
В третьем случае часто вместо предложенных подстановок используют формулы снижения степени (тригонометрических функций):
Они позволяют в ряде случаев избежать введения новой переменной.
Найдем интеграл
Поскольку подынтегральная функция содержит в нечетном степени, то выполняем подстановку подаем как и применяем тождество
Неопределенные интегралы, для нахождения которых используются формулы преобразования произведения тригонометрических функций на сумму, выделяют в отдельный вид.
IV. Интегрирование произведения первых степеней синусов и косинусов, имеющих различные аргументы.
Так называют взятие неопределенных интегралов вида:
где и – действительные числа.
Нахождение неопределенных интегралов (22.21) сводится к непосредственному интегрированию благодаря применению таких тригонометрических формул:
Найдем, например, интеграл от произведения синусов:
V. Интегрирование натуральных степеней тангенса и котангенса:
Нахождение таких интегралов можно осуществлять введением новой переменной соответственно. Например,
Подынтегральная функция будет неправильным рациональным дробью, ее интегрирования потребует выделения целой части этой дроби.
Аналогично поступают при взятии интегралов от натуральных степеней функции
Найдем интеграл
Вводим новую переменную тогда получим:
К нахождению рассмотренных интегралов сводятся неопределенные интегралы вида:
Действительно, если использовать соотношение (22.16) и (22.17), получим:
Раскрыв скобки, получим интеграл от суммы степеней или
VІ. Интегрирование квадратичных иррациональностей (тригонометрические подстановки).
Общий подход к рационализации соответствующих интегралов
где рассматриваются все пары знаков, кроме , заключается в применении подстановок вида , с помощью которых подынтегральная функция становится рационально зависит от тригонометрических функций. Ниже в таблице 22.2 приведены соответствующие замены переменной.
Анализируя подынтегральное выражение, убеждаемся, что благодаря тригонометрическим подстановки переменная , ее дифференциал , квадратные корни из двучлена становятся рационально зависимыми от функций
Например:
Для того чтобы избавиться от радикала в интегралах 1, 2, 3 (табл. 22.2), используют соответственно такие тригонометрические формулы:
Таблица 22.2 Тригонометрические подстановки для рационализации неопределенных интегралов
Найдем неопределенный интеграл
Под знаком радикала имеем двучлен Следовательно, возлагаем
Ответ значительно упрощается, если задействовать формулу тангенса половинного угла и некоторые другие соотношения:
Таким образом,
Интегральное исчисление функции одной переменной
Одной из основных задач раздела IV “Дифференциальное исчисление функций одной переменной” является задача нахождения производной от заданной функции. Раздел математики, который решает обратную задачу — нахождение функции по ее производной (интегрирование), а также другие задачи, непосредственно связанные с интегрированием, называется интегральным исчислением. Предметом изучения данного раздела являются интегралы: определенный, неопределенный, поверхностный, криволинейный, двойной, тройной, и их свойства, методы нахождения,
их применение к решению различных задач.
Интегральное исчисление практически возникло из задач вычисления площадей и объемов различных фигур и тел. Впервые такие задачи пытались решить ученые Древней Греции (Евдокс Книдский, Архимед и др.). В XVI – XVII вв. интенсивное промышленное развитие в Европе привел к развитию интегрального исчисления и его применения. Труды ученых И. Кеплера, Б. Кавальери, П. Ферма, Э. Торричелли, Дж. Валлиса, Б. Паскаля, Х. Гюйгенса углубили теоретические основы интегрального исчисления. Ученые И. Ньютон и Лейбниц создали ряд общих методов нахождения интегральных сумм. Их работы много
задач интегрального исчисления свели к чисто технического уровня. Г. Лейбниц ввел удобную символику, которая применяется и сейчас. А формула Ньютона-Лейбница, которая связала неопределенный и определенный интегралы, является центральной формулой интегрального исчисления. Дальнейшее историческое развитие интегрального исчисления связано с именами И. Бернулли, Л. Эйлера, П. Чебышева, О. Коши, В. Буняковского. Существенными для развития интегрального исчисления являются работы
выдающегося украинского математика М. В. Остроградского (12.09.1801–20.12.1861, родился в с. Пашеновка, Козельского р-на Полтавской обл.), учился в Харьковском университете, где его учителями были Т. Ф. Осиповский и А.Ф. Павловский. Во время пребывания в Париже слушал лекции А. М. Ампера, О. Л. Коши, П. С. Лапласа, С. Д. Пуассона, Ж. Б. Ж. Фурье. Друг В. Я. Буняковского. Находясь в Петербурге, подружился с Т. Г. Шевченко. Основные труды М. В. Остроградского касаются математической физики, математического анализа (формула связи интеграла по объему с интегралом по поверхности, принцип разложения функций в ряд по собственными функциями, принцип локализации для тригонометрических рядов, правило преобразования переменных в двойных интегралах, метод интегрирования рациональных функций и др.), теоретической механики. Решил некоторые задачи по теории чисел, алгебры, дифференциальных уравнений, теории рядов.
Первоначальная функция и неопределенный интеграл
Задача нахождения для функции f (x) такой функции F (x), что F’ (x) = f (x) является основной задачей интегрального исчисления. Операция интегрирования (нахождение интеграла) является обратной операцией к дифференцированию (нахождение производной). Термин
“интеграл” происходит от латинского integer — целый. Иногда использует термин “антипроизводная”.
Определение 1. Функция F (x) называется первообразной для функции f (x), если для любого х из области определения f (x),
F’ (x) = f (x) или dF (x) = f (x) dx. (6.1)
Например,
а) для f (x) = 2cos x, первообразной есть F (x) = 2 sin x, потому что
F’ (x) = (2 sin x) ‘= 2cos x = f (x).
б) для f (x) = 4x3 — F (x) = x4, потому что F’ (x) = (x4) ‘= 4x3 = f (x).
Отыскание первообразной является операцией неоднозначной. Так F (x) = x4 + 5, F (x) = x4 – 24,3 и F (x) = x4 + 179 и т. д. и вообще, F (x) = x4 + C, где С — произвольное постоянное число является первообразной для f (x) = 4 x3.
ТЕОРЕМА 1. Если F1 (x) и F2 (x) — две первообразные для функции f (x) на отрезке [a; b], то разница между ними равна постоянному числу.
Доказательство. Пусть и Тогда
, а значит, по следствию из теоремы Лагранжа о конечных приращениях, что
или . (6.2)
Определение 2. Совокупность всех первообразных для функции f (x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается
(6.3)
При этом F’ (x) = f (x), f (x) называется подынтегральной функцией, f (x) dx —подынтегральным выражением, ∫ — знак неопределенного интеграла.
Операция отыскания первообразной для данной функции называется интегрированием. Таким образом, неопределенный интеграл — это множество всех функций, производная которых равна подынтегральной функции, а дифференциал равен подынтегральному выражению.
Основой для интегрального исчисления является такая теорема.
ТЕОРЕМА 2. Если функция непрерывна, то для нее существует первообразная, а следовательно, и неопределенный интеграл.
(Доказывается в фундаментальных курсах высшей математики). С геометрической точки зрения неопределенный интеграл — это семейство кривых, каждая из которых образуется смещением одной из них параллельно себе вверх или вниз (рис. 1).
Рис. 1.
Основные свойства неопределенного интеграла
ТЕОРЕМА 3. (Свойство 1) Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
(6.4)
Доказательство. Согласно определению (6.2), а потому
Итак производная от первообразной равна подынтегральной функции.
ТЕОРЕМА 4. (Свойство 2) Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
(6.5)
Доказательство. По определению дифференциала d (f (x)) = f ‘(x) dx.
Поэтому
ТЕОРЕМА 5. (Свойство 3) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции F (x) равен этой функции с точностью до произвольной постоянной:
(6.6)
Доказательство. Продифференцируем левую и правую части равенства.
Получим: и
.
Правые части равенств одинаковы. Значит равны и левые. Теорему доказано.
Аналогично, дифференцированием левой и правой частей равенства доказываются теоремы 6 и 7.
ТЕОРЕМА 6. (Свойство 4) Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:
(6.7)
ТЕОРЕМА 7. (Свойство 5) Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:
(6.8)
Таблица неопределенных интегралов
Интегрирования является операцией, обратной к дифференцированию. Поэтому формулы интегрирования получают из формул для нахождения производных. А универсальность применения формул интегрирования следует из теоремы о независимости вида неопределенного интеграла от выбора аргумента (инвариантность неопределенного интеграла относительно переменной интегрирования).
ТЕОРЕМА 8. Пусть f (x) — некоторая непрерывная функция на данном промежутке, х — независимая переменная, F (x) — ее первообразная, ∫ f (x) dx = F (x) + C , и пусть u = φ (x) непрерывно дифференцируемая функция. Тогда ∫ f (u) du = F (u) + C. (6.9)
Доказательство. Рассмотрим интеграл ∫ f (u) du = ∫ f (u) u’dx. В этом случае сложная функция F (u) = F (φ (x)) является первообразной для f (u).
Действительно, вследствие независимости дифференциала первого порядка от выбора независимой переменной, получаем
dF (u) = F’ (u) du = f (u) du. При этом
.
Поэтому, из справедливости формулы (6.3), следует справедливость формулы
(6.9)
Итак формулами интегрирования можно пользоваться при любой переменной интегрирования. Используя таблицу дифференциалов основных элементарных функций, выведем некоторые формулы интегрирования. Другие выводятся аналогично.
1) Интегрируя формулу , получим
. (6.10)
2) В случае показательной функции, используем формулу . Интегрируя это равенство, получим:
. И далее . Вследствие того, что ln a — величина постоянная, то и — тоже произвольная постоянная, которую принято записывать С.
(6.11)
3) Выведем формулу интегрирования из формулы:
.
Получим
Итак, (6.12)
4) Интегрируя формулу дифференцирования получаем или .
Используя эту формулу, будем иметь:
(6.13)
5)
Для вывода этой формулы используют формулу для нахождения дифференциала . Если показатель степени равен n + 1 , формула запишется так: .
Интегрируя эту формулу (левую и правую часть) и, сделав преобразование, получим
(6.14)
6) Формулы (6.15)
и (6.16)
доказываются дифференцированием левой и правой частей равенства.
Такой метод доказательства формул можно использовать для любой формулы интегрирования.
7) Докажем справедливость формулы .
Пусть х > 0. Тогда . Если х < 0, то
. Формула доказана.
Для компактности все формулы сводят в таблицу.
Методы вычисления интегралов
Непосредственное интегрирование
Непосредственное интегрирование — это метод, который заключается в прямом применении табличной формулы и свойств неопределенного интеграла.
Пример 1.
Использовали формулу .
Пример 2. .
Для нахождения этого интеграла использована формула
.
Пример 3. .
В данном случае, после элементарных преобразований, интегрируем по формуле .
Метод разложения
Метод разложения заключается в том, что интеграл раскладывают на сумму (разность) табличных интегралов.
Пример 4.
.
При интегрировании этого выражения учтено то, что постоянный множитель выносится за знак интеграла, а также то, что сумма произвольных постоянных интегрирования тоже постоянна, и ее записывают как одну.
Метод подстановки (метод замены переменной)
Метод заключается в том, что вводится новая переменная x = φ (t), или t = ψ (x). Удачной заменой часто удается существенно упростить интеграл и даже свести его к табличному.
Пусть x = φ (t) — дифференцируемая функция от t, производная φ’ (t) которой сохраняет знак на промежутке интегрирования.
Формулу замены переменной получаем на основе свойства инвариантности неопределенного интеграла (теорема 8) и, учитывая, что dx = φ'(t) dt. Для доказательства продифференцируем правую и левую части формулы
Формула доказана.
Пример 5. Найти ∫ tg (x – 3) dx.
Решение. При интегрировании данного выражения вводим замену t = cos (x-3). Тогда dt = dcos (x – 3) = –sin (x – 3) dx. Получаем:
Пример 6. Найти .
Решение. Вводим замену x2 + 3 = t. Определяем dt = 2xdx. Учитывая, что , получаем .
Рассмотрим еще две важные формулы, которые существенно ускоряют интегрирование: (6.17)
и . (6.18)
Выведем их. Если ∫ f (u) du = F (u) + C и u = ax + b — линейная функция от х, то du = d (ax + b) = adx. Подставив в выражение для интеграла, получим ∫ f (ax + b) d (ax + b) = a∫ f (ax + b) dx = F (ax + b) + C.
Из последнего равенства следует, что.
Вторая формула выводится на основании формулы , с учетом того, что .
Пример 7. .
Пример 8. Найти .
Решение.
Метод интегрирования по частям
Пусть заданы две непрерывно дифференцированные функции u (x) и v (x). Рассмотрим дифференциал произведения: d (u ⋅ v) = udv + vdu. Проинтегрируем это выражение: ∫d (u⋅ v) = ∫ udv + ∫vdu. Преобразовав, получаем формулу интегрирования по частям:
∫ udv = uv – ∫ vdu. (6.19)
Применяя эту формулу, подынтегральное выражение f (x) dx подают в виде произведения множителей u и dv. Для данного метода имеет большое значение правильный выбор функций u и v. Необходимо, чтобы множитель dv был выражением, которое интегрируется. Есть несколько видов интегралов, для которых правила выбора функций u и v известны.
а)
Подынтегральное выражение содержит произведение многочлена на тригонометрическую, или многочлена на показательную функцию. Выбираем за u многочлен, а за dv — оставшееся выражение.
Пример 9. Вычислить ∫ x sin 3 xdx.
Решение. Применяем метод интегрирования по частям (6.19): ∫udv = uv-∫vdu. Выбираем: u = x, dv = sin 3x dx. Тогда du = dx, Получаем
.
б) .
Подынтегральное выражение — произведение многочлена на логарифмическую или многочлена на аркфункцию. За dv берем произведение многочлена на dx, а за u — логарифмическую или аркфункцию.
Пример 10. Вычислить ∫ arctg xdx.
Решение. За u берем arctg x, за dv — dx. Тогда а v = x, и по формуле интегрирования по частям
в)
В этом случае выбор u и v несущественны.
Пример 11. Найти
Решение. Выберем u = e3x, а dv = sin xdx. Тогда du = 3e3xdx, v = –cos x. Итак,
— интегрируем по частям. Опять выберем u = e3x.
Тогда dv = cos xdx, v = sin x. Получаем
Искомый интеграл есть в правой и в левой частях равенства. Определим его:
Итак
Такие интегралы иногда называют циклическими или круговыми. При их интегрировании обязательно по u дважды выбирать ту же самую функцию.
Примечание: В случае, если подынтегральное выражение является произведением многочлена на одну из рассмотренных функций, можно интеграл разложить на сумму нескольких интегралов. Например,
Интегрирование рациональных дробей
Функциями, которые всегда интегрируются, есть рациональные дроби. Пусть и два многочлена с действительными коэффициентами. Выражение называется рациональной дробью.
Если степень числителя меньше степени знаменателя, то дробь называется правильной. Если же степень числителя больше или равна степени знаменателя, то дробь называется неправильной. Так, например, — правильная дробь, а дробь — неправильная.
Теорема Вейерштрасса о приближении. Любую функцию f (x), непрерывную на (а, b), можно с заранее заданной произвольной погрешностью заменить многочленом
То есть, практически, много интегралов можно свести к интегрированию рациональных функций. Из алгебры известно, что всякий многочлен можно разложить на произведение множителей вида (x – b) и (x2 + px + q), так называемых неприводимых многочленов, где (x2 + px + q) — квадратный трехчлен, который имеет действительные корни. И всякую правильную дробь можно разложить на сумму простых:
(6.20)
Это делают методом неопределенных коэффициентов.
Метод неопределенных коэффициентов
Метод неопределенных коэффициентов дает алгоритм для нахождения коэффициентов разложения правильной рациональной дроби на сумму простых.
Пусть
(6.21)
Сводим правую часть равенства к общему знаменателю. Приравниваем соответствующие коэффициенты числителя левой части к коэффициентам числителя правой. Получаем систему линейных алгебраических уравнений. Ее решения являются коэффициентами разложения.
Пример 12.
Это пример разложения правильной рациональной дроби на сумму простых, где А1, А2, В, Мi, Ni — неопределенные коэффициенты.
Пример 13. Найти интеграл .
Решение.
— правильная дробь. Раскладываем знаменатель на произведение неприводимых множителей:
х3 + х – 10 = (х – 2) (х2 + 2 х + 5). Для уравнения х2 + 2х + 5 = 0, D = 4 – 20 < 0. Поэтому уравнение не имеет действительных корней.
Итак, .
Сведя к общему знаменателю и приравняв числительные
получим: .
Приравнивая соответствующие коэффициенты получаем:
N = 9 + 4M; – 13M – 18 = 8; – 13M = 26; M = -2; N = 1; A = 2.
Мы получили интегралы от дробей (6.20). Итак:
.
Найдем, соответствующие простым дробям (6.20) интегралы, а затем завершим пример, использовав полученные результаты.
Интегралы от простейших рациональных дробей
а) . (6.21)
При решении использована формула (6.7) и табличный интеграл .
б) . (6.22)
в)
(6.23)
Пример 14. Найти
Используя формулу (6.23), запишем
.
Однако, на практике это громоздкую формулу применяют редко, а интеграл ищут, выделив в знаменателе полный квадрат.
x2 – 4x + 8 = x2 – 4x + 4 + 4 = (x – 2) 2 + 22. Сделаем замену (х – 2) = u.
Тогда
.
г) . Выделив в знаменателе полный квадрат, определяем замену:
. Введя ее, получаем сумму двух выражений:
.
Интеграл находим, например, новой заменой t2 + 1 = u, tdt = du.
Интеграл найдем, выведя рекуррентную формулу.
и далее
Это рекуррентная формула, которой
понижается порядок знаменателя. Использовав ее (к – 1) раз, приходим к интегралу который является табличным.
Мы рассмотрели четыре случая, к которым сводится интегрирование правильных рациональных дробей. Завершим решение примера 13, используя выведенные формулы:
Итак:
Интегрирование неправильных рациональных дробей
Интегрирования неправильных рациональных дробей сводится (после выделения целой части дроби) к интегрированию многочлена и интегрированию правильной рациональной дроби.
Пример 15. Вычислить интеграл
Решение. Рациональная дробь неправильная. Выделяем целую часть и записываем ее в виде суммы целой и дробной частей.
Тогда
Используя метод неопределенных коэффициентов, раскладываем дробь на сумму простых:
Получим:
Итак .
Метод Остроградского интегрирования рациональных функций
Это метод выделения алгебраической части в неопределенных интегралах от рациональных функций. Пусть Р (х) и Q (x) — многочлены с действительными коэффициентами. Степень Р (х) меньше степень Q (x). То есть — правильная рациональная дробь и
Пусть, также и — многочлены. То существуют
многочлены Р1 (х), Р2 (х), степени которых меньше степени Q1 (x), Q2 (x) соответственно, такие что (6.25)
Коэффициенты многочленов Р1 (х) и Р2 (х) можно найти методом неопределенных
коэффициентов, продифференцировав (6.25). Q1 (x) является наибольшим общим делителем Q (x) и его производной Q’ (x) и можно определить с помощью метода Евклида.
Q2 (x) = Q (x) / Q1 (x). Формула сводит интегрирование правильной рациональной дроби к интегрированию правильной рациональной дроби, знаменатель которой имеет простые
корни.
Пример 16. Найти интеграл .
Решение. Разложим многочлен (x3 + 1) на простые множители: x3 + 1 = (x + 1) (x2 – x + 1). Тогда, по методу Остроградского, запишем:
Дифференцируем это выражение и сводим к общему знаменателю.
Приравниваем числители:
1 = -Ax4 – 2Bx3 – 3Cx2 + 2Ax + B + D (x5 – x4 + x3 + x2 – x + 1) + (Mx + N) (x4 + x2 + x + 1). Приравнивая соответствующие коэффициенты, получаем
0 = D + N; 0 = –A – D + M + N; 0 = –2B + D + N; 0 = –3C + D + M; 0 = 2A – D + M + N; 1 = B + D + N.
Решением этой системы уравнений является: A = C = 0; B = 1/3; D = 2/9; M = -2/9; N = 4/9.
Итак
Интегрирование тригонометрических функций
При интегрировании тригонометрических функций важно уметь использовать тригонометрические формулы, удачно подобранной заменой или подстановкой свести
интеграл к более простому (дробно-рациональному выражению), а в результате — и к табличному. Есть некоторые виды интегралов (однако не все), для которых существуют правила их нахождения.
а) Интегралы вида
Если хотя бы одно из чисел m или n — положительное целое нечетное число, например
m, то вводим замену cosx = t. Тогда
Если же n — положительное нечетное, то sin x = t,
Пример 17. Найти .
Решение.
Если m и n — четные неотрицательные числа, то понижают степени по формулам:
Пример 18. Найти ∫ cos2 xdx
Решение.
б) интегралы вида .
Эти интегралы упрощаются применением формул преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:
Такие интегралы имеют широкое применение в теории рядов Фурье.
Пример 19. Найти ∫ sin5 x cos 3x dx.
в) интегралы вида ∫ R (sin x, cos x) dx, универсальная тригонометрическая подстановка.
Для интегралов вида где — рациональная функция относительно sin x, cos x, часто применяют универсальную подстановку. Это подстановка (6.26)
Тогда:
Пример 20. Найти .
и дальше интегрируем как рациональную дробь (пункт 6.1.5.). Интегрирование тригонометрических функций и интегрирование иррациональных функций удачно подобранной заменой часто сводится к интегралу от рациональной дроби, который и всегда интегрируется.
Интегрирование некоторых иррациональных функций
Интегралы вида сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки ax + b = t k, где k — наименьшее общее кратное чисел m, …, n.
Пример 21. Найти
Решение. Использована замена: x – 3 = t6, dx = 6t5dt, .
А дальше ищем интеграл от рациональной функции (пункт 6.1.5.).
Интегралы можно свести, выделив под знаком радикала полный квадрат, до трех таких интегралов:
вводим замену x = a sin t (x = a cos t).
замена x = atg t (x = actg t).
замена
Для интегралов вида часто используют подстановку (подстановка Эйлера)
В заключение следует заметить, что различные способы интегрирования
могут привести к различным аналитическим выражениям первообразной. Однако мы
получаем выражения, которые отличаются разве что на постоянную.
Понятие о неопределенном интеграле, не имеющем первообраных в элементарных функциях
До этого момента мы удачно решали задачу нахождения неопределенного интеграла для функции. Однако, мы увидели, что эта задача не является простой. Более того, доказано, что есть ряд функций, первообразная для которых не может быть представлена, как выражение, образованное “элементарными” функциями. Приведем в качестве примера некоторые такие интегралы: .
Определенный интеграл
При решении некоторых важных задач необходимо находить бесконечную сумму бесконечно малых слагаемых. Это приводит к одному из центральных понятий математики — определенному интегралу.
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
Задача о площади криволинейной трапеции
Рис. 2.
Найдем площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции y = f (x) на
отрезке [a, b], осью абсцисс, и прямыми x = a и x = b. Назовем ее криволинейной трапецией (рис. 2). Для простоты, рассмотрим случай, когда f (x) ≥ 0 на данном отрезке [a, b]. Разобьем промежуток [a, b] на n отрезков [xi-1 , xi] (i = 1, 2, 3 … n), x0 = a , xn = b. На каждом из отрезков [xi-1 , xi] — выберем по произвольной точке (i = 1, 2, 3 … n). Тогда площадь i-го прямоугольника , а площадь ступенчатой фигуры данного разбиения , где — значение функции f в точке ξi , а . Если теперь количество точек разбиения увеличивать, одновременно уменьшая, то площадь S трапеции можно записать, как .
Доказано, что выбор точек разбиения на площадь S не влияет.
Задача об объеме производства с переменной производительностью труда
Анализируя любое производство видно, что производительность есть величина переменная и в разные моменты разная. Пусть производительность за период от 0 до t (определенный период времени) описывается функцией f (t). Разобьем промежуток [0; t] на n промежутков продолжительностью Δti и считая производительность за время Δti постоянной и равной f (ti) определим, приблизительно, объем продукции произведенной за промежуток времени (tk; tl) как . Тогда, увеличивая количество промежутков разбиения, получаем все более точные формулы для вычисления объема изготовленной продукции. Если же и Δti → 0, то .
Определенный интеграл, как предел интегральных сумм
Проведем рассуждения аналогично соображениям предыдущего пункта. Для непрерывной функции f (x) , определенной на [a, b], и для разбиения (рис. 2.) запишем сумму
(6.27)
Сумму (6.27) называют интегральной суммой. Введем еще одну величину maxΔxi — это длина наибольшего из отрезков Δxi = xi – xi-1
Определение 3. Функция f (x) называется интегрируемой на [a, b], если существует конечный предел
, не зависящий от того, каким образом промежуток [a, b] разделен на частичные промежутки, и каким образом выбираются точки ξi на этих частичных промежутках, лишь бы длина максимального из них стремилась к нулю (max Δxi → 0).
Определение 4. Число I называется пределом интегральной суммы , если для любого произвольного ε > 0 найдется такое δ > 0, что как только Δmax xi < δ, то выполняется неравенство
, независимо от выбора частных промежутков и точек ξi на этих промежутках.
Определение 5. Определенным интегралом от функции f (x) на промежутке [a, b] называется предел .
Обозначается .
Числа a i b называются, соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования, а [a, b] — промежуток интегрирования.
На основе этих определений можно записать, что
— формула для нахождения площади фигуры (рис. 2) и
— формула для нахождения объема производства. (6.2.1)
Для пределов интегральных сумм сохраняются многие свойства пределов последовательностей или функций. Однако, из определения определенного интеграла не следует, что любая функция интегрируема на любом интервале. Есть такие функции, для которых не существует определенный интеграл. Ответ на вопрос о существовании определенного интеграла дает такая теорема.
ТЕОРЕМА 9. Если функция f (x) непрерывна на замкнутом промежутке [a, b], то она интегрируема на этом промежутке, то есть для нее существует определенный интеграл
Теорема доказывается в широких курсах высшей математики.
ТЕОРЕМА 10. Если по [a, b] функция ограничена и имеет лишь конечное число точек разрывов, то она интегрируема на [a, b].
Эта теорема дает возможность интегрировать разрывные функции.
Интеграл был обозначен для случая a < b.
Дополним определение. Если a > b, то (6.28)
а если a = b, то (6.29)
Основные свойства определенного интеграла
Из определения получаем:
Свойство 1. (6.30)
Свойство 2. (6.31)
Докажем еще несколько других свойств.
ТЕОРЕМА 11. (Свойство 3) Пусть c — промежуточная точка промежутка [a, b] (a < c < b). Тогда выполняется равенство
если все три интеграла
и существуют.
Доказательство. По условию a < c < b , и все три интеграла, о которых идет речь, существуют. Разобьем промежуток [a, b] на n частичных промежутков: с длинами, соответственно, так чтобы точка с была точкой деления. (Например, .) Тогда интегральная сумма , что соответствует промежутку [a, b] , разобьется на два слагаемых:
Перейдя к пределу при , получим:
(6.32)
ТЕОРЕМА 12. (Свойство 4) Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.
(6.33)
Доказательство. По определению
На основании свойства пределов, о том, что константу можно выносить за знак предела, и определения интеграла, получаем:
ТЕОРЕМА 13. (Свойство 5) Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких непрерывных функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций.
Доказательство. В общем случае все можно свести к рассмотрению такого выражения [f (6.34)
По определению интеграла, и учитывая свойство пределов (пункт 3.4.1.), получаем:
Теорема о среднем значении определенного интеграла
ТЕОРЕМА 14. (О среднем значении определенного интеграла). Если функция f (x) непрерывна на промежутке [a, b], то внутри него найдется такая точка с, что
(6.35)
Доказательство. Если функция f (x) непрерывна на промежутке [a, b], то она достигает своих наибольшего и наименьшего значений М и m на промежутке [a, b] (пункт 3.6.2.). Разобьем промежуток [a, b] на n частичных промежутков длиной Поскольку для любого ξi из промежутка , то
Учитывая, что
Получим (6.36)
Аналогично, поэтому (6.37)
Объединив эти два неравенства (6.36) и (6.37), получим
Если , то
или
Учтем теорему о том, что функция f (x), непрерывная на промежутке [a, b] и приобретает на нем все промежуточные значения между своим наибольшим и наименьшим значениями, соответственно M и m. Пусть в точке с: m ≤ f (c) ≤ M, где (а ≤ с ≤ b).
Тогда значит (6.38)
А это и требовалось доказать.
Геометрический смысл определенного интеграла
Ранее мы выяснили, что площадь криволинейной трапеции, которая ограничена сверху кривой y = f (x), снизу — промежутком [a, b] оси Ох (a ≤ x ≤ b) и с боковых сторон — прямыми х = а и х = в, равна: Это значит, что
Если же функция на (а; b) меняет знак — на (а; с) и (d; b) — положительная, а на (c; d) — отрицательная, то и соответствующие значения интегралов будут положительными и отрицательным (рис. 3).
Рис. 3.
Поэтому площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке, вычисляют по формуле:
Это нужно учитывать при нахождении площадей с помощью определенного интеграла и при вычислении определенного интеграла. В случае, если y = f (x) — нечетная функция, то , если же четная, то .
Связь неопределенного и определенного интегралов. Формула Ньютона-Лейбница
Одним из важных моментов этого раздела является нахождение связи между определенным и неопределенным интегралами. Неопределенный интеграл ∫ f (x) dx — это функция, а определенный интеграл — число. Какая между ними связь? Если величину b заменить переменной x и рассмотреть как функцию, то для этого интеграла выполняется теорема о свойство определенного интеграла с переменной верхней границей.
ТЕОРЕМА 15. Если функция f (x) непрерывна на [a, b], то производная определенного интеграла с переменной верхней границей х по этой границе равна значению подынтегральной функции при t = x, то есть (6.39)
Доказательство. Рассмотрим функцию , где f (t) — непрерывная на [a, b] функция. Докажем, что Ф (х) имеет производную Ф’ (х) = f (x). Зададим переменной х приращение . Тогда Ф (х) будет иметь приращение которое на рисунке 4 изображается площадью криволинейной трапеции СВВ1С1.
Рис. 4.
Но .
Поэтому .
На основании теоремы (11) получим
Значит . Применяя теорему (14), находим
где x < c <x + Δx. Отсюда следует, что. (6.40)
Направим к нулю. Тогда будет стремиться к х, а значит и с будет стремиться к х. Вследствие непрерывности f (x), получим .
Переходя к пределу в равенстве (6.40), получим
, то есть Ф’ (x) = f (x).
Но а потому
Однако, базовой при вычислении определенного интеграла, является следующая теорема.
ТЕОРЕМА 16. (Ньютона-Лейбница). Определенный интеграл от непрерывной функции f (x) равна разности значений ее первообразной F (x) при x = b и x = a, где a и b — нижний и верхний пределы интегрирования, то есть имеет место формула:
(6.41)
Доказательство. Рассмотрим функцию По теореме 15 функция Ф (х) является первообразной для f (x) на промежутке [a, b]. Значит . Но две первообразные для одной и той же функции отличаются только на константу. То есть Ф (х) = F (x) + C. Если же x = a, получим .
Поскольку и 0 = F (a) + C, то F (a) = -C, C = -F (a).
А значит .
При x = b получим .
Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница и дает самый простой метод для нахождения определенного интеграла. Ее принято записывать так:
Методы вычисления определенного интеграла
В большинстве случаев вычисления определенного интеграла сводится к нахождению первообразной для соответствующего неопределенного интеграла, а затем используется формула Ньютона-Лейбница. Поэтому все методы, которые используются для нахождения неопределенного интеграла, используются для нахождения определенного интеграла.
Замена переменной в определенном интеграле
Пусть дано f (x) — непрерывная на [a; b]. Замена переменной для определенного интеграла заключается в том, что вводится новая переменная, связанная с предыдущей соотношением x = φ (t) такая, что φ (t) — непрерывно дифференцируемая на [a; b]. Если при изменении t от α до β, х изменяется от a до b, a = φ (α), b = φ (β) , и сложная функция f (φ (t)) определена и непрерывна на отрезке [α; β], то правильная формула (6.42)
Пример 22. Вычислить .
Решение. Вводим новую переменную по формуле x = 2 sin t. Определим новые пределы интегрирования. Если х = 0, то 2 sin t = 0 и t = 0 — нижняя граница интегрирования. Если х = 2, то 2 sin t = 2 и — верхняя граница интегрирования. Итак, t будет меняться от 0 до
. Тогда
Метод интегрирования по частям
Заключается в применении формулы: (6.43)
Пример 23. Вычислить
Решение. Используем формулу интегрирования по частям. Пусть u = x, dv = e-xdx. Получим du = dx, v = -e-x.
Приближенное вычисление определенных интегралов
Нахождению интеграла посвящены все предыдущие выкладки этого раздела. Однако, как мы уже знаем, есть ряд функций, для которых первообразную невозможно выразить в элементарных функциях. С другой стороны, в применении определенного интеграла не обязательно иметь ему соответствующий неопределенный интеграл. Достаточно иметь его значение или найти его определенное численное приближение. Рассмотрим некоторые методы приближенного вычисления определенных интегралов.
Разложение подынтегрального выражения
При нахождении определенного интеграла раскладывают подынтегральную функцию по формулам Тейлора или Маклорена и интегрированием разложения находят соответствующий интеграла.
Пример 24. Вычислить .
Интегрирование с помощью таблиц
Ряд интегралов хорошо изучены и для них составлены таблицы. Это так называемые табулированные не элементарные “специальные” функции. Например интегралы Френеля: интегральная показательная функция, интегральные синус и косинус, функция Лапласа и др.
Интегралы, для которых найдено точное значение определенного интеграла, без нахождения неопределенного интеграла
Например, , если (-1 < p < 1) , и др.
Численное интегрирование
Методы численного интегрирования дают приближенное численное значение определенного интеграла, если возможно вычислить значение подынтегральной функции в некоторых точках промежутка интегрирования.
Пусть надо найти . Промежуток интегрирования [a; b] разбивают на 2n промежутков одинаковой длины Δ и находят значения функции yi = f (xi) в точках разбиения y0, y1, y2, y3 , …, y2n. Тогда где Si — площадь криволинейной трапеции . Выделим криволинейную трапецию (рис. 6) и будем искать ее площадь. Если площадь фигуры (рис. 7) заменить площадью прямоугольника с основанием ; , то получим формулу прямоугольников приближенного вычисления определенного интеграла.
Рис. 5.
Рис. 6. Рис. 7. Рис. 8. Рис. 9.
. (6.44)
Если же дугу заменить отрезком (рис. 8), то фигура — трапеция, и получаем формулу трапеций
. (6.45)
Несобственные интегралы и их нахождение
При определении предполагалось выполнение условий:
1. промежуток интегрирования [a, b] конечный.
2. подынтегральная функция f (x) определена и непрерывна на [a, b].
В случае если хотя бы одно из условий не выполняется, интеграл называется несобственным. Рассмотрим два самых простых случаях.
Интеграл с бесконечными пределами интегрирования
Определение 6. Пусть f (x) определена на [a, ) и интегрируема на [a, Z], где [a, Z] — любой конечный промежуток. Тогда
(6.47)
несобственный интеграл с бесконечными границами интегрирования.
По формуле Ньютона-Лейбница
Если, при Z → (F (Z) – F (a)) имеет конечный предел, то этот предел будет определен, и интеграл данной функции на (a, ) равен
Аналогично рассматривается и интеграл вида . В случае, когда нужно вычислить интеграл , его разбивают на сумму двух и вычисляют каждый интеграл отдельно.
Интеграл от разрывной функции
Пусть f (x) определена на [a, b) и имеет точку разрыва при x = b. Итак — соответствующий несобственный интеграл от разрывной функции. Если f (x) определена на (a, b] и x = a точка разрыва, то . Если же f (x) имеет точку разрыва с ∈ (a, b), то .
Если для интегралов пунктов (6.3.1) и (6.3.2) соответствующие им пределы существуют, то интегралы называются сходящимися. Если границы не существуют или бесконечные, то интегралы называются расходящимися.
Пример 26.
Это расходящийся интеграл.
Значит, данный интеграл расходится при p ≤ 1 и сходится при p > 1. Его часто используют при исследовании рядов на сходимость.
Применение определенных интегралов
Вычисление площадей
Площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = f (x), прямыми x = a и x = b, а также осью Ox, определяется по формуле
. Площадь же фигуры, ограниченной графиками функций y = fв (x) и y = fн (x) (fв (x) ≥ fн (x)), прямыми x = a и x = b, определяется по формуле
. (6.48)
Пример 28. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2 – х2, у = х (рис. 10).
Решение. а) Строим эскиз графиков функций: у = 2 – х2 (парабола, которая пересекает ось Ох в точках и , вершина параболы находится в точке В (0; 2)), у = х — прямая, биссектриса 1-го и 3-го координатных углов.
Рис. 10.
б) Найдем точки пересечения графиков данных функций (границы интегрирования). Решим уравнение: 2 – х2 = х; –х2 – х + 2 = 0.
Получаем решения: х1 = 1, х2 = –2.
в) далее, по формуле (6.46) вычисляем площадь фигуры:
(кв. ед.).
Пример 29. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = sin x, y = 0, .
Решение. Строим графики функций (рис. 11). Записываем формулу для нахождения площади . Видим, что fв (x) записать одним выражением невозможно. Верхняя граница данной площади состоит из двух: y = sin x (на интервале ) и у = 0 (на интервале ). y = π является нулем функции y = sin x.
Рис. 11.
Поэтому
= – (-1 + 0) + (0 + 1) = 2 (кв. ед.).
Интеграл же . Поэтому, при применении определенного интеграла, для нахождения площадей, необходимо учитывать нули функций, которые ограничивают площадь (рис. 3). Промежуток интегрирования, учитывая нули функций, разбивают, и тогда искомая площадь равна сумме абсолютных величин соответствующих определенных интегралов.
Задача о распределении доходов населения государства
Уровень развития государства характеризуется тем, как оно обеспечивает уровень жизни своих граждан. Одним из таких показателей является материальное благосостояние. Легко и достаточно точно проводить такой сравнительный анализ, имея определенные количественные характеристики. Хорошей характеристикой для этого есть коэффициент Джини, показывающий неравенство в распределении доходов населения. Он непосредственно связан с кривой Лоренца, отражающей зависимость процента доходов от процента тех, которые эти доходы имеют. Рассмотрим это на примере.
Пример 30. Пусть — кривая Лоренца, определенная по исследованиями распределения доходов в какой-то стране, где х — процент населения, y — процент доходов населения. Вычислить коэффициент Джини (0 < k < 1).
Рис. 14.
Решение. Из рисунка видно, что ,
Для нахождения введем замену x = 2 sin t, тогда нижняя граница t = 0, а верхняя . Вычисляем
Поэтому . Большой коэффициент k показывает неравномерность распределения доходов среди населения данной страны.
Вычисление объемов
Определение и вычисление объема тел по площадям параллельных сечений
Пусть в пространстве дано тело, находящееся между двумя плоскостями x = a и x = b, и
известно, что всякая плоскость, параллельная плоскости Oyz и которая находится от нее на расстоянии x, пересекает тело по плоской фигуре, площадь которой является функцией S (x) (рис. 12).
Рис. 12.
Спроецируем тело на плоскость Oxy. Получим плоскую фигуру, которую снова спроецируем на ось Ох (а < b).
Разобьем промежуток [a, b] точками x1, x2, … xn-1. Через точки деления проведем перпендикулярные плоскости σ1, σ2, σ3, …, σn-1 — к плоскости Oxy и обозначим S (x1), S (x2), … S (xn-1) — площади соответствующих параллельных друг другу сечений. Построим на каждом сечении, как на основании, цилиндр высотой, соответственно, Δx1, Δx2, …, Δxi = x– xi-1 Таким образом, получим n цилиндров. Запишем сумму, которая является интегральной:
Перейдем к пределу при Получим
Если такой предел существует, то говорят, что данное тело имеет объем.
Вычисление объема тела вращения
Пусть криволинейная трапеция образована линией y = f (x), прямыми х = а и х = b и осью Ох, вращается в пространстве вокруг оси Ох. Найти объем фигуры вращения, которая образовалась.
Учитывая, что для объема тела вращения площадь поперечного сечения S (x) = πf 2 (x) получим:
(6.49)
Если же криволинейная трапеция образована линией x = φ (y), прямыми y = с и у = d и осью Оу, вращается в пространстве вокруг оси Оу то
Рис. 13.
Пример 31. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями
х = 1, х = 4.
Решение. Объем тела вращения вычисляем по формуле .
(куб. ед.).
Вычисления длины дуги плоской кривой
Запишем, без вывода, формулу для нахождения дуги плоской кривой, заданной уравнением y = f (x), при условии непрерывности на [a, b] функций f (x) и f’ (x).
(6.50)
Пример 32. Найти длину дуги плоской кривой линии от точки О (0; 0) до точки М(4; 8).
Решение. В задачи а = 0, b = 4, . Тогда . Введем замену . Тогда . Изменим границы интегрирования. Если t = 1, то x = 0; если t = 10, то x = 4. Вычислив интеграл, получаем длину дуги:
(ед. длины)
Задача о максимизации прибыли по времени
Целью всякого производства является достижение максимальной прибыли. То есть, достижение максимальной разницы между доходами и расходами. Обозначим P (t), D (t), V(t) — соответственно функции прибыли, дохода и расходов от времени. Тогда P (t) = D (t) -V (t). Функция достигает своего экстремума, если ее производная равна 0. То есть P ‘(t) = D'(t) -V'(t) = 0. То есть D’ (t) = V’ (t). Определим момент tk , в который скорость изменения дохода и расходов уравниваются. Общую прибыль за время tk можно найти по формуле:
.
Пример 33. Скорости изменения затрат и дохода предприятия после начала его деятельности определялись формулам: , V и D измеряли в миллионах рублей, а t — в годах. Определить продолжительность прибыльного существования предприятия и найти общий доход, полученный за это время.
Решение. Оптимальное время t1 для прибыли предприятия получим из условия D’ (t) = V’ (t). Из уравнения определяем .
Таким образом, предприятие было прибыльным 1 год. За это время получено прибыли:
(руб. млн.)
Задача о расходах, доход и прибыль
Пусть теперь V (х) — функция общих расходов на производство х единиц продукции, V’ (х) — функция маржинальных расходов. P’ (x), D’ (х) — функции, соответственно, маржинальных прибыли и дохода. Тогда при росте количества единиц продукции от a до b,
изменение общих расходов исчисляется по формуле
.
При возрастании реализации продукции изменения прибыли и дохода определим по формулам:
Понятие о двойном интеграле. Сведение двойного интеграла к повторному
Понятие о двойном интеграле:
При введении понятия определенного интеграла мы решали задачу о нахождении площади криволинейной трапеции. Однако, часто необходимо найти объем некоторой пространственной фигуры. Решим задачу: найти объем тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью z = f (x, y) (f (x, y) ≥ 0), снизу — конечной замкнутой областью S плоскости Oxy, по бокам — прямой цилиндрической поверхностью, построенной на границе области S, перпендикулярно к плоскости Oxy. Найдем объем V тела изображенного на рисунке 14.
Рис. 14.
Разобьем область S несколькими линиями на n частей с площадями соответственно S1, S2, …, Sn. В каждой из частей выберем по одной точке P1 (x1, y1), P2 (x2, y2), …, Pn (xn, yn) и построим цилиндры с основами Si и высотами Pi Qi = f (xi, yi). Тогда объем V:
= f (x1, y1) ⋅ S1 + f (x2, y2) ⋅ S2 +…….+ f (xn, yn) ⋅ Sn (6.51)
Эта сумма называется двухмерной интегральной суммой для функции z = f (x, y) по области S. Для этой суммы выполняется теорема существования двойного интеграла:
Если функция z = f (x, y) непрерывна в ограниченной замкнутой области S, и если число частиц n, на которые разбита область S, неограниченно возрастает, а наибольшее
расстояние между двумя точками каждой частицы, которые лежат на границе (diamSi), стремится к 0, то существует предел двухмерной интегральной суммы (6.50), величина которого не зависит ни от способа разбиения S, ни от выбора точки Pi внутри частицы с площадью Si.
Этот предел называется двойным интегралом от функции z = f (x, y), распространенным на область S и обозначается . То есть .
Надо отметить, что если , то автоматически n → . Поэтому можно записать (6.52)
Повторный интеграл. Переход от двойного интеграла к повторному
Подойдем к задаче о нахождении объема V поверхности z = f (x, y) по иному. Учтем, что область S в плоскости Oxy ограничена сверху и снизу определенными линиями y = φ1 (x) и y = φ2 (x) . Вместе с тем, функции φ1 (x) и φ2 (x) непрерывные на [а; b]. Проведем сечение нашего тела плоскостью х = хi, параллельно координатной плоскости Oyz так, что a<x<b (рис. 15). Площадь пересекается и обозначается как некоторая функция от х, то есть S = F(x).
Рис. 14
В таком случае объем тела
(6.53)
Определим теперь функцию F (x). Так . А это значит, что
(6.54)
Объединив формулы (6.53) и (6.54) получаем
. (6.55)
Интеграл (6.55) называется повторным интегралом, распространенным на произвольную
область S. Заметим, что если бы область была ограничена кривыми x = ψ1 (y) и x = ψ2 (y) (непрерывными на (c; d)) то получили бы, что также повторный интеграл.
Итак, вычисления двойного интеграла можно свести к вычислению повторного.
Интеграл Эйлера-Пуассона
В теории вероятности и математической статистике большую роль играет интеграл
Эйлера-Пуассона:
(6.56)
Он относится к интегралам, которые не выражаются в элементарных функциях. Вычислим его с помощью двойного интеграла. Применим формулы связи
между декартовыми и полярными координатами:
Учтем, что определенный интеграл не зависит от обозначения переменной (инвариантность определенного интеграла относительно переменной).
Поэтому можем записать (6.57)
Перемножив формулы (6.56) и (6.57), получим
Геометрически, интеграл Пуассона выражает собой площадь фигуры (рис. 16.), ограниченной графиком функции (кривая Гаусса) и осью Ох.
Рис. 16.
Лекции:
- Предел сложной функции
- Нахождение предела функции по таблице значений функции и по графику
- Производная частного
- Экстремум функции нескольких переменных
- Интегрирование некоторых классов функций
- Векторное произведение примеры решения
- Найти производную функцию
- Поток вектора через незамкнутую поверхность. Теорема Гаусса—Остроградского
- Элементарные преобразования графиков функций
- Нормальный закон распределения случайной величины