Как найти множество решений системы неравенств

Прежде чем перейти к разбору темы «Как решать
систему линейных неравенств» обязательно внимательно изучите
урок «Как решать неравенства».

Потренируйтесь в решении неравенств, тогда с системами неравенств у вас не возникнет трудностей.

Рассмотрим пример системы неравенств.

Как видно на примере выше, систему неравенств легко определить по фигурной скобке.

Как решить систему неравенств

Вернемся к нашему примеру системы неравенств.

Так как оба неравенства в системе уже решены и представляют собою готовый ответ, то
сразу переходим к поиску общего решения всей системы.

Для этого проведем две числовые оси (для каждого из неравенств свою). На осях заштрихуем результат решения неравенств.

После того как мы построили числовые оси с решениями неравенств, необходимо провести через отмеченные
на осях числа перпендикулярные прямые.

Проведем прямые через числовые точки на осях.

Для определения ответа найдем те области решения, которые удовлетворяют ответам обоим неравенствам.
Другими словами, те области, где в обоих случаях области решений заштрихованы.

Исходя из полученного анализа, мы получаем, что решением системы неравенств будет
«x > 5». Запишем полученный ответ.

Ответ: x > 5

Рассмотрим другой пример системы неравенств.

Так как неравенства в системе снова представляют собой готовые ответы — сразу перейдем к поиску общего
решения системы неравенств.

Нарисуем числовые оси для каждого неравенства и отметим на них решения. Проведем
через каждое отмеченное число на осях прямую по правилам, описанным выше.

Выберем те области решений, которые удовлетворяют обоим неравенствам.

Как видно на рисунке выше, область решений, которая подходит для обоих неравенств, находится между числами
«−2» и «0».

Когда область решений находится между двумя числами, принято записывать ответ с помощью двойного неравенства.

Ответ: −2 ≤ x < 0

Другие примеры решения систем неравенств

В отличии от примеров выше, как правило, в системах неравенств перед поиском общего решения всей системы необходимо
предварительно решить каждое из неравенств.

Рассмотрим и решим систему, где неравенства требуют предварительного решения.

Решим линейные неравенства по правилам, описанным в уроке
«Решение линейных неравенств». Затем найдем общий
ответ системы.

	5(x + 1) − x > 2x + 2
4(x + 1) − 2 ≤ 2(2x + 1) − x

	5x + 5 − x > 2x + 2
4x + 4 − 2 ≤ 4x + 2 − x

	5x − x + 5 > 2x + 2
4x + 4 − 2 ≤ 4x + 2 − x

	4x + 5 > 2x + 2
4x + 2 ≤ 3x + 2

	4x − 2x > 2 − 5
4x − 3x ≤ 2 − 2

Ответ: −1 < x ≤ 0

---

При решении систем неравенств, в которых есть неравенства, содержащие пропорцию, используем
правило пропорции.

	5(x + 1) ≤ 3(x + 3) + 1
≤

	5x + 5 ≤ 3x + 9 + 1
(2x − 1) · 2 ≤ (x + 1) · 7

	5x − 3x ≤ 10 − 5
4x − 2 ≤ 7x + 7

	2x ≤ 5           | (:2)
− 3x ≤ 9       | (:−3)

	2x (:2) ≤ 5 (:2)
− 3x (:−3) ≥ 9 (:−3)

Ответ: −3 ≤ x ≤ 2

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Неравенства” на канале Ёжику Понятно.

Содержание страницы:

Неравенства

Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак     =     поменять на любой из знаков неравенства:

>    больше,

≥    больше или равно,

<    меньше,

≤    меньше или равно,

то получится неравенство.

Линейные неравенства

Линейные неравенства – это неравенства вида:

a x < b a x ≤ b a x > b a x ≥ b

где a и b – любые числа, причем a ≠ 0, x – переменная.

Примеры линейных неравенств:

3 x < 5 x − 2 ≥ 0 7 − 5 x < 1 x ≤ 0

Решить линейное неравенство – получить выражение вида:

x < c x ≤ c x > c x ≥ c

где c – некоторое число.

Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.

Таблица числовых промежутков

Неравенство	Графическое решение	Форма записи ответа
x < c		x ∈ ( − ∞ ; c )
x ≤ c		x ∈ ( − ∞ ; c ]
x > c		x ∈ ( c ; + ∞ )
x ≥ c		x ∈ [ c ; + ∞ )

Алгоритм решения линейного неравенства

Примеры решения линейных неравенств:

№1. Решить неравенство    3 ( 2 − x ) > 18.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6 − 3 x > 18

− 3 x > 18 − 6 − 3 x > 12 | ÷ ( − 3 )

Делим обе части неравенства на (-3) – коэффициент, который стоит перед  x. Так как    − 3 < 0 ,   знак неравенства поменяется на противоположный. x < 12 − 3 ⇒ x < − 4 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 4 )

№2. Решить неравество    6 x + 4 ≥ 3 ( x + 1 ) − 14.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6 x + 4 ≥ 3 x + 3 − 14

6 x − 3 x ≥ 3 − 14 − 4

3 x ≥ − 15         |     ÷ 3 Делим обе части неравенства на (3) – коэффициент, который стоит перед  x. Так как 3 > 0,   знак неравенства после деления меняться не будет.

x ≥ − 15 3 ⇒ x ≥ − 5 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Ответ: x ∈ [ − 5 ;     + ∞ )

Особые случаи (в 14 задании ОГЭ 2019 они не встречались, но знать их полезно).

Примеры:

№1. Решить неравенство    6 x − 1 ≤ 2 ( 3 x − 0,5 ).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6 x − 1 ≤ 6 x − 1

6 x − 6 x ≤ − 1 + 1

0 ≤ 0

Получили верное неравенство, которое не зависит от переменной x. Возникает вопрос, какие значения может принимать переменная x, чтобы неравенство выполнялось? Любые! Какое бы значение мы ни взяли, оно все равно сократится и результат неравенства будет верным. Рассмотрим три варианта записи ответа.

Ответ:

1. x – любое число
2. x ∈ ( − ∞ ; + ∞ )
3. x ∈ ℝ

№2. Решить неравенство    x + 3 ( 2 − 3 x ) > − 4 ( 2 x − 12 ).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

x + 6 − 9 x > − 8 x + 48

− 8 x + 8 x > 48 − 6

0 > 42

Получили неверное равенство, которое не зависит от переменной x. Какие бы значения мы ни подставляли в исходное неравенство, результат окажется одним и тем же – неверное неравенство. Ни при каких значениях x исходное неравенство не станет верным. Данное неравенство не имеет решений. Запишем ответ.

Ответ: x ∈ ∅

Квадратные неравенства

Квадратные неравенства – это неравенства вида: a x 2 + b x + c > 0 a x 2 + b x + c ≥ 0 a x 2 + b x + c < 0 a x 2 + b x + c ≤ 0 где a, b, c – некоторые числа, причем   a ≠ 0, x – переменная.

Существует универсальный метод решения неравенств степени выше первой (квадратных, кубических, биквадратных и т.д.) – метод интервалов. Если его один раз как следует осмыслить, то проблем с решением любых неравенств не возникнет.

Для того, чтобы применять метод интервалов для решения квадратных неравенств, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения (см. урок 4).

Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов

Примеры решения квадратных неравенств:

№1. Решить неравенство    x 2 ≥ x + 12.

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c   ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

x 2 ≥ x + 12

x 2 − x − 12 ≥ 0

x 2 − x − 12 = 0

a = 1, b = − 1, c = − 12

D = b 2 − 4 a c = ( − 1 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 12 ) = 1 + 48 = 49

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 1 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 1 ± 7 2 = [ 1 + 7 2 = 8 2 = 4 1 − 7 2 = − 6 2 = − 3

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 6. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 − x − 1 = 6 2 − 6 − 1 = 29 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 6 будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

В ответ пойдут два интервала. В математике для объединения нескольких интервалов используется знак объединения: ∪ .

Точки -3 и 4 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ:   x ∈ ( − ∞ ; − 3 ] ∪ [ 4 ; + ∞ )

№2. Решить неравенство    − 3 x − 2 ≥ x 2 .

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c   ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

− 3 x − 2 ≥ x 2

− x 2 − 3 x − 2 ≥ 0

− x 2 − 3 x − 2 = 0

a = − 1, b = − 3, c = − 2

D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 2 ) = 9 − 8 = 1

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 1 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 1 − 2 = [ 3 + 1 − 2 = 4 − 2 = − 2 3 − 1 − 2 = 2 − 2 = − 1

x 1 = − 2, x 2 = − 1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0. Подставляем эту точку в исходное выражение:

− x 2 − 3 x − 2 = − ( 0 ) 2 − 3 ⋅ 0 − 2 = − 2 < 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет   − .

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства   ≥ , выбираем в ответ интервал со знаком   +.

Точки -2 и -1 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ:   x ∈ [ − 2 ; − 1 ]

№3. Решить неравенство   4 < x 2 + 3 x .

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c   ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

4 < x 2 + 3 x

− x 2 − 3 x + 4 < 0

− x 2 − 3 x + 4 = 0

a = − 1, b = − 3, c = 4

D = b 2 − 4 a c =   ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 4 = 9 + 16 = 25

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 25 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 5 − 2 = [ 3 + 5 − 2 = 8 − 2 = − 4 3 − 5 − 2 = − 2 − 2 = 1

x 1 = − 4, x 2 = 1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение:

− x 2 − 3 x + 4 = − ( 2 ) 2 − 3 ⋅ 2 + 4 = − 6 < 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет   -.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства   < ,  выбираем в ответ интервалы со знаком   − .

Точки -4 и 1 будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ:   x ∈ ( − ∞ ; − 4 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

№4. Решить неравенство   x 2 − 5 x < 6.

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c   ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

x 2 − 5 x < 6

x 2 − 5 x − 6 < 0

x 2 − 5 x − 6 = 0

a = 1, b = − 5, c = − 6

D = b 2 − 4 a c = ( − 5 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 25 + 25 = 49

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 5 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 5 ± 7 2 = [ 5 + 7 2 = 12 2 = 6 5 − 7 2 = − 2 2 = − 1

x 1 = 6, x 2 = − 1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 10. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 − 5 x − 6 = 10 2 − 5 ⋅ 10 − 6 = 100 − 50 − 6 =   44 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 10 будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства   < , выбираем в ответ интервал со знаком   -.

Точки -1 и 6 будут в круглых скобках, так как они выколотые

Ответ:   x ∈ ( − 1 ; 6 )

№5. Решить неравенство   x 2 < 4.

Решение:

Переносим 4 в левую часть, раскладываем выражение на множители по ФСУ и находим корни уравнения.

x 2 < 4

x 2 − 4 < 0

x 2 − 4 = 0

( x − 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ [ x − 2 = 0 x + 2 = 0   [ x = 2 x = − 2

x 1 = 2, x 2 = − 2

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 3. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 − 4 = 3 2 − 4 = 9 − 4 = 5 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 3 будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства   < ,   выбираем в ответ интервал со знаком   − .

Точки -2 и 2 будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ:   x ∈ ( − 2 ; 2 )

№6. Решить неравенство   x 2 + x ≥ 0.

Решение:

Выносим общий множитель за скобку, находим корни уравнения   x 2 + x = 0.

x 2 + x ≥ 0

x 2 + x = 0

x ( x + 1 ) = 0 ⇔ [ x = 0 x + 1 = 0 [ x = 0 x = − 1

x 1 = 0, x 2 = − 1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 1. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 + x = 1 2 + 1 = 2 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 1 будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства   ≥ ,  выбираем в ответ интервалы со знаком   +.

В ответ пойдут два интервала. Точки -1 и 0 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ:   x ∈ ( − ∞ ; − 1 ] ∪ [ 0 ; + ∞ )

Вот мы и познакомились с методом интервалов. Он нам еще пригодится при решении дробно рациональных неравенств, речь о которых пойдёт ниже.

Дробно рациональные неравенства

Дробно рациональное неравенство – это неравенство, в котором есть дробь, в знаменателе которой стоит переменная, т.е. неравенство одного из следующих видов:

f ( x ) g ( x ) < 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0

Дробно рациональное неравенство не обязательно сразу выглядит так. Иногда, для приведения его к такому виду, приходится потрудиться (перенести слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю).

Примеры дробно рациональных неравенств:

x − 1 x + 3 < 0 3 ( x + 8 ) ≤ 5 x 2 − 1 x > 0 x + 20 x ≥ x + 3

Как же решать эти дробно рациональные неравенства? Да всё при помощи того же всемогущего метода интервалов.

Алгоритм решения дробно рациональных неравенств:

Примеры решения дробно рациональных неравенств:

№1. Решить неравенство   x − 1 x + 3 > 0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

Ответ:   x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

№2. Решить неравенство   3 ( x + 8 ) ≤ 5.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

Ответ:   x ∈ ( − ∞ ; − 8 ) ∪ [ − 7,4 ; + ∞ )

№3. Решить неравенство   x 2 − 1 x > 0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

Ответ:   x ∈ ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

Системы неравенств

Сперва давайте разберёмся, чем отличается знак { системы от знака [ совокупности. Система неравенств ищет пересечение решений, то есть те точки, которые являются решением и для первого неравенства системы, и для второго. Проще говоря, решить систему неравенств – это найти пересечение решений всех неравенств этой системы друг с другом. Совокупность неравенств ищет объединение решений, то есть те точки, которые являются решением либо для первого неравенства, либо для второго, либо одновременно и для первого неравенства, и для второго. Решить совокупность неравенств означает объединить решения обоих неравенств этой совокупности. Более подробно об этом смотрите короткий видео-урок.

Системой неравенств называют два неравенства с одной неизвестной, которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы неравенств:

{ x + 4 > 0 2 x + 3 ≤ x 2

Алгоритм решения системы неравенств

Примеры решений систем неравенств:

№1. Решить систему неравенств   { 2 x − 3 ≤ 5 7 − 3 x ≤ 1

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Ответ:   x ∈ [ 2 ; 4 ]

№2. Решить систему неравенств   { 2 x − 1 ≤ 5 1 < − 3 x − 2

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Ответ:   x ∈ ( − ∞ ; − 1 )

№3. Решить систему неравенств   { 3 x + 1 ≤ 2 x x − 7 > 5 − x

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Ответ:   x ∈ ∅

№4. Решить систему неравенств   { x + 4 > 0 2 x + 3 ≤ x 2

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Ответ:   x ∈ ( − 4 ; − 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞ )

Скачать домашнее задание к уроку 8.

13. Системы неравенств

Например:

Решение системы неравенств

Пример. Решим систему (begin{cases}x>4\xleq7end{cases})
Решение: Первое неравенство становится верным, если икс больше (4). То есть, решения первого неравенства – все значения иксов из интервала ((4;infty)), или на числовой оси:

Второму неравенству подойдут значения иксов меньшие чем 7, включая саму семерку, то есть любой икс  из интервала ((-infty;7]) или на числовой оси:

А какие значения подойдут обоим неравенствам? Те, которые принадлежат обоим промежуткам, то есть где промежутки пересекаются.

Ответ: ((4;7])

Как вы могли заметить для пересечения решений неравенств в системе удобно использовать числовые оси.

Пример: (Задание из ОГЭ)  Решить систему (begin{cases} 7(3x+2)-3(7x+2)>2x\(x-5)(x+8)<0end{cases})

Решение:

(begin{cases} 7(3x+2)-3(7x+2)>2x\(x-5)(x+8)<0end{cases})	Давайте каждое неравенство решим отдельно от другого.
1) (7(3x+2)-3(7x+2)>2x)	Раскроем скобки.
(21x+14-21x-6>2x)	Приведем подобные слагаемые.
(8>2x)	Перевернем получившееся неравенство.
(2x<8)	Поделим все неравенство на (2).
(x<4)	Отметим решение на числовой прямой.
	Запишем ответ для первого неравенства.
(x∈(-∞;4))	Теперь решим второе неравенство.
2) ((x-5)(x+8)<0)	Неравенство уже в идеальном виде для применения метода интервалов.
	Запишем ответ для второго неравенства.
(x∈(-8;5))	Объединим оба решения с помощью числовых осей.
	Выпишем в ответ промежуток, на котором есть решение обоих неравенств – и первого, и второго.

Ответ: ((-8;4))

Пример: (Задание из ОГЭ)  Решить систему (begin{cases} frac{10-2x}{3+(5-2x)^2}≥0\ 2-7x≤14-3x end{cases})

Решение:

(begin{cases} frac{10-2x}{3+(5-2x)^2}≥0\ 2-7x≤14-3x end{cases})	Снова будем решать неравенства по отдельности.
1)(frac{10-2x}{3+(5-2x)^2})(≥0)	Если вас испугал знаменатель – не бойтесь, сейчас мы его уберем. Дело в том, что (3+(5-2x)^2)– всегда положительное выражение. Посудите сами: ((5-2x)^2 )из-за квадрата либо положительно, либо равно нулю. ((5-2x)^2+3) – точно положительно. Значит можно неравенство смело умножать на (3+(5-2x)^2)
(10-2x≥0)	Перед нами обычное линейное неравенство – выразим (x). Для этого перенесем (10) в правую часть.
(-2x≥-10)	Поделим неравенство на (-2). Так как число отрицательное меняем знак неравенства.
(x≤5)	Отметим решение на числовой прямой.
	Запишем ответ к первому неравенству.
(x∈(-∞;5])	На данном этапе главное не забыть, что есть второе неравенство.
2) (2-7x≤14-3x)	Опять линейное неравенство – опять выражаем (x).
(-7x+3x≤14-2)	Приводим подобные слагаемые.
(-4x≤12)	Делим все неравенство на (-4), перевернув при этом знак.
(x≥-3)	Изобразим решение на числовой оси и выпишем ответ для этого неравенства.
(x∈[-3;∞))	А теперь объединим решения.
	Запишем ответ.

Ответ: ([-3;5])

Пример:  Решить систему (begin{cases}x^2-55x+250<(x-14)^2\x^2-55x+250≥0\x-14>0end{cases})

Решение:

(begin{cases}x^2-55x+250<(x-14)^2\x^2-55x+250≥0\x-14>0end{cases})	В первом неравенстве раскроем скобку,  во втором – разложим квадратный трехчлен на множители, а в третьем – перенесем 14 в правую
(begin{cases}x^2-55x+250<x^2-28x+196\(x-5)(x-50)≥0\x>14end{cases})	В первом перенесем все слагаемые в левую часть. И приведем подобные слагаемые.
(begin{cases}-27x+54<0\(x-5)(x-50)≥0\x>14end{cases})	Теперь в нем же перенесем (54) в левую сторону и поделим обе части на ((-27)), не забыв при этом перевернуть знак сравнения.
(begin{cases}x>2\(x-5)(x-50)≥0\x>14end{cases})	Отметим решения неравенств на числовых прямых.
	Решения подходящие всем неравенствам системы находятся от (50) и дальше. Запишем ответ.

Ответ: ([50;+∞))

Смотрите также:

Системы линейных неравенств
Совокупности неравенств

Понятие системы неравенств с одной переменной и его решения

Например:

$$ {left{ begin{array}{c} x^2-x-2 le 0 \ x ge 0end{array} right.} iff {left{ begin{array}{c} (x+1)(x-2) le 0 \ x ge 0 end{array} right.} iff {left{ begin{array}{c} -1 le x le 2\x ge 0 end{array} right.} iff 0 le x le 2 $$

$x in [0;2]$

Алгоритм решения системы неравенств с одной переменной

Шаг 1. Найти множество частных решений для каждого из неравенств системы. Если хотя бы одно из частных решений является пустым множеством, вся система неравенств не имеет решений; перейти к шагу 4.

Шаг 2. Начертить друг под другом числовые прямые, число которых равно числу полученных частных решений. Начала отсчёта числовых прямых должны находиться на общем перпендикуляре, единичный отрезок должен совпадать .

Шаг 3. На числовых прямых изобразить полученные частные решения, на отдельной прямой найти их пересечение – это и будет общим решением системы .

Шаг 4. Работа завершена.

Примеры

Пример 1. Решите систему неравенств:

$ а) {left{ begin{array}{c} frac{x+3}{x-1} gt frac{x-2}{x+4} \ 2x+5 lt x+7 end{array} right.} $

$$ {left{ begin{array}{c} frac{x+3}{x-1} – frac{x-2}{x+4} gt 0 \ 2x-x lt 7-5 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} frac{(x+3)(x+4)-(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+4)} gt 0 \ x lt 2 end{array} right.} Rightarrow $$

$$ Rightarrow {left{ begin{array}{c}frac{x^2+7x+12-(x^2-3x+2)}{(x-1)(x+4)} \ x lt 2 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c}frac{4x+10}{(x-1)(x+4)} gt 0 \ x lt 2 end{array} right.} Rightarrow $$

$$ Rightarrow {left{ begin{array}{c}frac{4(x+2,5)}{(x-1)(x+4)} gt 0 \ x lt 2 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} frac{x+2,5}{(x-1)(x+4)} gt 0 \ x lt 2end{array} right.} $$

Ответ: $x in (-4;-2,5) cup (1;2)$

$ б) {left{ begin{array}{c} frac{5x+1}{x-4} ge 2 \ 3(x+2) gt 4x end{array} right.}$

$$ {left{ begin{array}{c} frac{5x+1}{x-4} ge 2 \ 3(x+2) gt 4xend{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} frac{5x+1}{x-4} -2 ge 0 \ 3x+6 gt 4x end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} frac{5x+1-2(x-4)}{x-4} ge 0 \ 6 gt 4x-3xend{array} right.} Rightarrow $$

$$ Rightarrow {left{ begin{array}{c} frac{3x+9}{x-4} ge 0\ x lt 6 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} frac{3(x+3)}{x-4} ge 0\ x lt 6 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} frac{x+3}{x-4} ge 0\ x lt 6 end{array} right.} $$

Ответ: $x in (-infty;-3] cup (4;6)$

Пример 2. Решите неравенства:

а)$ frac{(x-2)^2 (x+5)}{x^2-4x+3} lt 0$

Разложим знаменатель на множители. Неравенство строгое, поэтому уберём скобку с чётной степенью в числителе и добавим требование неравенства корню в систему:

$$ {left{ begin{array}{c} frac{x+5}{(x-1)(x-3)} lt 0 \ x neq 2end{array} right.} $$

Ответ: $x in (-infty;-5) cup (1;2) cup (2;3)$

$ б) frac{(2x+5) (x-1)^4}{x^2-10x+21} gt 0 $

Разложим знаменатель на множители. Неравенство строгое, поэтому уберём скобку с чётной степенью в числителе и добавим требование неравенства корню в систему:

$$ {left{ begin{array}{c} frac{2(x+2,5)}{(x-7)(x-3)} gt 0 \x neq 1 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} frac{x+2,5}{(x-7)(x-3)} gt 0 \x neq 1 end{array} right.} $$

Ответ: $x in (-2,5;1) cup (1;3) cup (7;+infty) $

Пример 3. Решите двойные неравенства:

$а) -1 le frac{x+5}{x-3} le 3$

Запишем и решим систему:

$$ {left{ begin{array}{c} frac{x+5}{x-3} ≥ -1\ frac{x+5}{x-3} ≤ 3 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c}frac{x+5}{x-3} +1 ≥ 0 \frac{x+5}{x-3} -3 ≤ 0 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c}frac{x+5+x-3}{x-3} ≥ 0 \ frac{x+5-3x+9}{x-3} ≤ 0 end{array} right.} Rightarrow $$

$$ Rightarrow {left{ begin{array}{c} frac{2x+2}{x-3} ≥ 0 \ frac{-2x+14}{x-3} ≤ 0 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} frac{2(x+1)}{x-3} ≥ 0\ frac{-2(x-7)}{x-3} ≤ 0 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} frac{x+1}{x-3} ≥ 0 \ frac{x-7}{x-3} ≤ 0 end{array} right.} $$

Ответ: $x in (-infty;-1] cup [7;+infty) $

б*)$ 0 < frac{x^2+6x+5}{x^2+x-2} ≤ 2$

Запишем и решим систему:

$$ {left{ begin{array}{c} frac{x^2+6x+5}{x^2+x-2} > 0 \ frac{x^2+6x+5}{x^2+x-2} ≤ 2 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} frac{(x+5)(x+1)}{(x+2)(x-1)} > 0 \ frac{x^2+6x+5}{(x^2+x-2)-2} ≤ 0 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} frac{(x+5)(x+1)}{(x+2)(x-1)} > 0 \ frac{x^2+6x+5-2x^2-2x+4}{x^2+x-2} ≤ 0 end{array} right.} $$

$$ Rightarrow {left{ begin{array}{c} frac{(x+5)(x+1)}{(x+2)(x-1)} > 0\ frac{-x^2+4x+9}{x^2+x-2} ≤ 0 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} frac{(x+5)(x+1)}{(x+2)(x-1)} > 0\ frac{x^2-4x-9}{x^2+x-2} ≥ 0 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} frac{(x+5)(x+1)}{(x+2)(x-1)} > 0\ frac{(x-x_1 )(x-x_2 )}{(x+2)(x-1)} ≥ 0 end{array} right.} $$

$$ D = 4^2-4 cdot 1 cdot (-9) = 16+36 = 52, x_{1, 2} = frac{4 pm 2 sqrt{13}}{2} = 2 pm sqrt{13} $$

Ответ: $x in (-infty;-5) cup [2-sqrt{13};-1) cup [2+sqrt{13};+infty) $