Как найти множество сходимости функционального ряда - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Лекция
4 1

4.1.
Функциональные ряды: основные понятия,
область сходимости 1

4.2.
Степенные ряды: основные понятия,
теорема Абеля 2

4.3.
Свойства степенных рядов 5

4.4.
Формула Тейлора 5

4.1. Функциональные ряды: основные понятия, область сходимости

Определение
1.
Ряд, члены которого являются функциями
одной
или нескольких независимых переменных,
определёнными
на некотором множестве,
будем называть функциональным
рядом.

Рассмотрим
функциональный ряд,
члены которого являются функциями одной
независимой переменной х.
Сумма первых n
членов ряда

является частичной суммой данного
функционального ряда. Общий член

есть функция от х,
определенная в некоторой области. Если
положить
,
получим числовой ряд
,
и если он сходится, т.е. существует предел
частичных сумм этого ряда,
где

− сумма числового ряда, тогда говорят,
что

− точка сходимости функционального
ряда
,
а если числовой ряд

расходится, то

называется точкой расходимости
функционального ряда.

Определение
2.
Областью
сходимости
функционального ряда

называется множество всех таких значений
х,
при которых функциональный ряд сходится.
Область сходимости, состоящая из всех
точек сходимости, обозначается
.
Отметим, что
.

Будем
говорить, что функциональный ряд сходится
в области
,
если для любого

он сходится как числовой, при этом его
сумма будет некоторой функцией

(это так называемая предельная
функция
последовательности
:
).

Как
находить область сходимости функционального
ряда
?
Можно использовать признак, аналогичный
признаку Даламбера. Для ряда

составляем

и рассматриваем предел при фиксированном
х:
.
Тогда

является решением неравенства

и решением уравнения

(берем только те решения уравнения, в
которых соответствующие числовые ряды
сходятся).

Пример
1.
Найти область сходимости ряда
.

Решение.
Обозначим
,
.
Составим и вычислим предел
,
тогда область сходимости определяется
неравенством

и уравнением
.
Исследуем дополнительно сходимость
исходного ряда в точках, являющимися
корнями уравнения: а) если
,
,
то получается расходящийся ряд
;
б) если
,
,
то ряд

сходится условно (по признаку Лейбница,
пример 1, лекция 3).
Таким образом,
область сходимости

ряда

имеет вид:
.

4.2. Степенные ряды: основные понятия, теорема Абеля

Рассмотрим
частный случай функционального ряда,
так называемый степенной
ряд:
,
где
.

Определение
3.
Степенным
рядом
называется функциональный ряд вида
,
где

−
постоянные числа, называемые
коэффициентами
ряда.

Степенной
ряд есть «бесконечный многочлен»,
расположенный по возрастающим степеням
.
(Любой числовой ряд

является частным случаем степенного
ряда при
.)

Рассмотрим
частный случай степенного ряда при
:
.
Выясним, какой вид имеет область
сходимости данного ряда
.

Теорема
1 (теорема Абеля).
1) Если степенной ряд
(*)
сходится в точке
,
то он абсолютно сходится при всяком х,
для которого справедливо неравенство
.
2)
Если же степенной ряд расходится при
,
то он расходится при всяком х,
для
которого
.

Доказательство.
1) По условию степенной ряд сходится в
точке
,
т е. сходится числовой ряд
(**),
а значит, по необходимому признаку
сходимости его общий член стремится к
0, т.е.
.
Следовательно, существует такое число
,
что все члены ряда ограничены этим
числом:
.

Рассмотрим
теперь любое х,
для которого
,
и составим ряд из абсолютных величин:
.
Запишем этот ряд в другом виде: т.к.
,
то
(***).

Из
неравенства

получаем
,
т.е. ряд
(****)
состоит из членов, которые больше
соответствующих членов ряда (***). Ряд

представляет собой сходящийся ряд
геометрической прогрессии с знаменателем
,
причем
,
т.к.
.
Следовательно, ряд (***) сходится при
.
Таким образом, степенной ряд

абсолютно сходится.

2)
Пусть теперь ряд

расходится при
,
иными словами, расходится числовой ряд
.
Докажем, что для любого х
()
ряд расходится. Доказательство ведется
от противного. Пусть при некотором
фиксированном

()
ряд сходится, тогда он сходится при всех

(см. первую часть данной теоремы), в
частности, при
,
что противоречит условию 2 теоремы.
Теорема доказана.

Следствие.
Теорема Абеля позволяет судить о
расположении точки сходимости степенного
ряда.
Если точка

является точкой сходимости степенного
ряда, то интервал

заполнен точками сходимости; если точкой
расходимости является точка
,
то бесконечные интервалы

заполнены точками расходимости (см.
рис. 1).

Рис.
1.

Можно
показать, что существует такое число
,
что при всех

степенной ряд

абсолютно сходится, а при

− расходится. Будем считать, что если
ряд сходится только в одной точке 0, то
,
а если ряд сходится при всех
,
то
.

Определение
4.
Интервалом
сходимости
степенного ряда

называется такой интервал
,
что при всех

этот ряд сходится и притом абсолютно,
а для всех х,
лежащих вне этого интервала, ряд
расходится. Число R
называется радиусом
сходимости
степенного ряда.

Замечание.
На концах интервала

вопрос о сходимости или расходимости
степенного ряда решается отдельно для
каждого конкретного ряда.

Покажем
один из способов определения интервала
и радиуса сходимости степенного ряда.

Рассмотрим
степенной ряд

и обозначим
.
Составим ряд из абсолютных величин его
членов:

и применим к нему признак
Даламбера.

Пусть
существует
,
где
.
По признаку Даламбера ряд сходится,
если
,
и расходится, если
.
Отсюда ряд сходится при
,
тогда интервал сходимости:
.
При

ряд расходится, т.к.
.
Используя обозначение
,
получим формулу для определения радиуса
сходимости степенного ряда:
,
где

− коэффициенты степенного ряда. Если
окажется, что предел
,
то полагаем
.

Для
определения интервала и радиуса
сходимости степенного ряда также можно
использовать радикальный признак Коши,
радиус сходимости ряда определяется
из соотношения
.

Определение
5.
Обобщенным
степенным рядом называется ряд вида
.
Его также называют рядом по степеням
.
Для такого ряда интервал сходимости
имеет вид:
,
где

− радиус сходимости.

Покажем,
как находится радиус сходимости для
обобщенного степенного ряда.

,
т.е.
,
где
.

Если
,
то
,
;
если
,
то

и область сходимости
.

Пример
2.
Найти область сходимости ряда
.

Решение.
Обозначим
.
Составим предел
.
Решаем неравенство:
,

,
следовательно, интервал сходимости
имеет вид:
,
причем R
= 5. Дополнительно исследуем концы
интервала сходимости: а)
,
,
получаем ряд
,
который
расходится;
б)
,

,
получаем ряд
,
который сходится условно. Таким образом,
область сходимости:
,
.

Пример
3.
Ряд

расходится для всех
,
т.к.

при
,
радиус сходимости
.

Пример
4.
Ряд

сходится при всех
,
радиус сходимости
.

Источник

Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция .

Решение функциональных рядов

Область сходимости

Функциональным рядом называется ряд

членами которого являются функции определенные на некотором множестве Е числовой оси. Например, члены ряда

определены на интервале а члены ряда

определены на отрезке

Функциональный ряд (1) называется сходящимся в точке если сходится числовой ряд Если ряд (1) сходится в каждой точке х множества и расходится в каждой точке, множеству D не принадлежащей, то говорят, что ряд сходится на множестве D, и называют D областью сходимости ряда.

Ряд (1) называется абсолютно сходящимся на множестве D, если на этом множестве сходится ряд

В случае сходимости ряда (1) на множестве D его сумма S будет являться функцией, определенной на D,

Область сходимости некоторых функциональных рядов можно найти с помощью известных достаточных признаков, установленных для рядов с положительными членами, например, признака Даламбера, признака Коши.

Пример:

Найти область сходимости ряда

Так как числовой ряд

сходится при р > 1 и расходится при р 1, то, полагая р = lg x, получим данный ряд, который будет сходиться при Ig x > 1, т.е. если x > 10, и расходиться при Ig x 1, т.е. при 0 < х 10. Таким образом, областью сходимости ряда является луч

Пример:

Найти область сходимости ряда

Рассмотрим ряд

Члены этого ряда положительны при всех значениях х. Применим к нему признак Даламбера. Имеем

При т. е. при х < 0, этот ряд будет сходиться. Следовательно, заданный ряд сходится абсолютно на интервале

При х > 0 ряд расходится, так как Расходимость ряда при x = 0 очевидна.

Пример:

Найти область сходимости ряда

Члены данного ряда определены и непрерывны на множестве Применяя признак Коши, найдем

для любого Следовательно, ряд расходится при всех значениях x.

Обозначим через (x) n-ю частичную сумму функционального ряда (1). Если этот ряд сходится на множестве D и его сумма равна S(x), то ее можно представить в виде

где есть сумма сходящегося на множестве D ряда

который называется n-м остатком функционального ряда (1). Для всех значений имеет место соотношение

и поэтому.

т. е. остаток сходящегося ряда стремится к нулю при каково бы ни было .

Равномерная сходимость

Среди всех сходящихся функциональных рядов важную роль играют так называемые равномерно сходящиеся ряды.

Пусть дан сходящийся на множестве D функциональный ряд

сумма которого равна S(x). Возьмем его n-ю частичную сумму

Определение:

Функциональный ряд

называется равномерно сходящимся на множестве если для любого числа найдется число N > 0 такое, что неравенство

будет выполняться для всех номеров n > N и для всех х из множества

Замечание:

Здесь число N является одним и тем же для всех т. е. не зависит от х, однако зависит от выбора числа так что пишут

Равномерную сходимость функционального ряда к функции S(x) на множестве часто обозначают так:

Определение равномерной сходимости ряда на множестве можно записать короче с помощью логических символов:

Поясним геометрически смысл равномерной сходимости функционального ряда. Возьмем в качестве множества отрезок [а, b] и построим графики функций у = S(x), Неравенство выполняющееся для номеров n > N и для всех можно записать в следующем виде

Полученные неравенства показывают, что графики всех функций с номерами n > N будут целиком заключены внутри полосы, ограниченной кривыми

Пример:

Показать, что функциональный ряд

равномерно сходится на отрезке

Данный ряд является знакочередующимся, удовлетворяет условиям признака Лейбница при всяком и, следовательно, сходится на отрезке Пусть S(x) — его сумма, a Sn(x) — его n-я частичная сумма. Остаток ряда

по абсолютной величине не превосходит абсолютной величины своего первого члена:

а поскольку и для всех n = 1, 2, … . Возьмем любое Тогда неравенство будет выполняться, если Отсюда находим, что Если взять число

(Здесь через [а] обозначено наибольшее целое число, не превосходящее а), то неравенство |S(x) — будет выполняться для всех номеров n > N и для всех Это означает, что данный ряд равномерно сходится на отрезке [-1,1].

Замечание:

Не всякий сходящийся на множестве D функциональный ряд является равномерно сходящимся на D.

Пример:

Покажем, что ряд

сходится на отрезке но не равномерно.

Вычислим n-ю частичную сумму Sn(x) ряда. Имеем

Откуда

Данный ряд сходится на отрезке [0,1] и его сумма

Абсолютная величина разности (остатка ряда) равна

Возьмем число Пусть

Разрешим неравенство относительно n. Имеем откуда

(так как 0 < х < 1, то In х < 0, и при делении на In х знак неравенства меняется на обратный). Неравенство будет выполняться при

Поэтому такого не зависящего от х числа N(e), чтобы неравенство

выполнялось для каждого n > N(e) сразу для всех х из отрезка не существует.

Если же заменить отрезок меньшим отрезком то на последнем данный ряд будет сходиться к функции S(x) = 0 равномерно. В самом деле,

и поэтому

сразу для всех

Признак Вейерштрасса

Достаточный признак равномерной сходимости функционального ряда дается теоремой Вейерштрасса.

Теорема:

Признак Вейерштрасса. Пусть для всех х из множества члены функционального ряда

по абсолютной величине не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда

с положительными членами, т. е.

для всех Тогда функциональный ряд (1) на множестве сходится абсолютно и равномерно.

Тек как по условию теоремы члены ряда (1) удовлетворяют условию (3) на всем множестве , то по признаку сравнения ряд сходится при любом следовательно, ряд (1) сходится на абсолютно

Докажем равномерную сходимость ряда (1). Пусть

Обозначим через частичные суммы рядов (1) и (2) соответственно. Имеем

для всех

Возьмем любое (сколь угодно малое) число Тогда из сходимости числового ряда (2) следует существование номера и, следовательно, для всех номеров ряд (1) сходится равномерно на множестве

Замечание:

Числовой ряд (2) часто называют мажорирующим, или мажорантным, для функционального ряда (1).

Пример:

Исследовать на равномерную сходимость ряд

Неравенство

выполняется для всех n = 1, 2, … и для всех Числовой ряд

сходится. В силу признака Вейерштрасса рассматриваемый функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно на всей оси.

Пример:

Исследовать на равномерную сходимость ряд

Члены ряда определены и непрерывны на отрезке [-2,2]. Так как

на отрезке [-2,2] для любого натурального n, то

Таким образом, неравенство

выполняется для n = 1, 2, … и для всех Так как числовой ряд

сходится, то по признаку Вейерштрасса исходный функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно на отрезке [-2,2].

Замечание:

Функциональный ряд (1) может сходится равномерно на множестве и в том случае, когда не существует числового мажорантного ряда (2), т.е. признак Вейерштрасса является лишь достаточным признаком для равномерной сходимости, но не является необходимым.

Пример:

Как было показано выше (пример 1 в § 2), ряд

равномерно сходится на отрезке [-1,1 ]. Однако для него мажорантного сходящегося числового ряда (2) не существует. В самом деле, для всех натуральных n и для всех выполняется неравенство

причем равенство достигается при х = — 1 и х = 1. Поэтому члены искомого мажорантного ряда (2) непременно должны удовлетворять условию

но числовой ряд

расходится. Значит, будет расходиться и ряд

Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов

Равномерно сходящиеся функциональные ряды обладают рядом важных свойств.

Теорема:

Если все члены ряда

равномерно сходящегося на отрезке [а, b], умножить на одну и ту же функцию g(х), ограниченную на [а, b], то полученный функциональный ряд

будет равномерно сходиться на [а, b].

Пусть на отрезке [а, b] ряд равномерно сходится к функции S(x), а функция g(х) ограничена, т. е. существует постоянная С > 0 такая, что

По определению равномерной сходимости ряда для любого числа существует номер N такой, что для всех n > N и для всех [а,b] будет выполняться неравенство

где Sn(x) — частичная сумма рассматриваемого ряда. Поэтому будем иметь

для n > N и для любого [a,b], т. е. ряд

равномерно сходится на [а, b] к функции g(x) S(x).

Теорема:

Пусть все члены fn(x) функционального ряда

непрерывны и ряд сходится равномерно на отрезке [a, b]. Тогда сумма S(x) ряда непрерывна на этом отрезке.

Возьмем на отрезке [a,b] две произвольные точки Так как данный ряд сходится на отрезке [а, b] равномерно, то для любого числа > 0 найдется номер N = N() такой, что для всех n > N будут выполняться неравенства

где Sn(х) — частичные суммы ряда Эти частичные суммы Sn(x) непрерывны на отрезке [а, b] как суммы конечного числа непрерывных на [a, b] функций fn(х). Поэтому для фиксированного номера и взятого числа найдется число такое, что для приращения удовлетворяющего условию будет иметь место неравенство

Приращение можно представить в следующем виде:

Учитывая неравенства (1) и (2), для приращений удовлетворяющих условию получим

Это означает, что непрерывна в точке х. Так как х является произвольной точкой отрезка [а,b], то S(x) непрерывна на [а,b].

Замечание:

Функциональный ряд

члены которого непрерывны на отрезке [a, b], но который сходится на [а, b] неравномерно, может иметь суммой разрывную функцию.

Пример:

Рассмотрим функциональный ряд

на отрезке [0,1]. Вычислим его n-ю частичную сумму

т.е. сумма ряда

Она разрывна на отрезке [0, 1], хотя члены ряда непрерывны на нем. В силу доказанной теоремы данный ряд не является равномерно сходящимся на отрезке [0,1].

Пример:

Рассмотрим ряд

Как было показано выше, этот ряд сходится при ряд будет сходиться равномерно по признаку Вейерштрасса, так как

и числовой ряд

сходится. Следовательно, для любого х > 1 сумма этого ряда непрерывна.

Замечание:

Функция

называется функцией Римана (эта функция играет большую роль в теории чисел).

Теорема:

О почленном интегрировании функционального ряда. Пусть все члены fn(x) ряда

непрерывны, и ряд сходится равномерно на отрезке [а, b] к функции S(х). Тогда справедливо равенство

т. е. данный ряд можно почленно интегрировать в пределах от до х при любых х и [а, b]. Полученный ряд будет сходиться равномерно по х на отрезке [а, b], каково бы ни было [а, b].

В силу непрерывности функций fn(x) и равномерной сходимости данного ряда на отрезке [а, b] его сумма S(x) непрерывна и, следовательно, интегрируема на [а, b]. Рассмотрим разность

где

Из равномерной сходимости ряда на [a,b] следует, что для любого > 0 найдется число N() > 0 такое, что для всех номеров n > N() и для всех будет выполняться неравенство

Но тогда

для любого n > N(). Иными словами,

Если ряд не является равномерно сходящимся, то его, вообще говоря, нельзя почленно интегрировать, т. е.

Теорема:

О почленном дифференцировании функционального ряда. Пусть все клены fn(x) сходящегося ряда

имеют непрерывные производные и ряд

составленный из этих производных, равномерно сходится на отрезке [а, b]. Тогда в любой точке справедливо равенство

т. е. данный ряд можно почленно дифференцировать.

Положим

Возьмем две любые точки Тогда в силу теоремы 4 будем иметь

Функция непрерывна как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Поэтому, дифференцируя равенство

т.е.

Дополнение к функциональным рядам

Смотрите также:

Решение заданий и задач по предметам:

Математика
Высшая математика
Математический анализ
Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

Тождественные преобразования алгебраических выражений
Функции и графики
Преобразования графиков функций
Квадратная функция и её графики
Алгебраические неравенства
Неравенства
Неравенства с переменными
Прогрессии в математике
Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия
Показатели в математике
Логарифмы в математике
Исследование уравнений
Уравнения высших степеней
Уравнения высших степеней с одним неизвестным
Комплексные числа
Непрерывная дробь (цепная дробь)
Алгебраические уравнения
Неопределенные уравнения
Соединения
Бином Ньютона
Число е
Непрерывные дроби
Функция
Исследование функций
Предел
Интеграл
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Интегрирование
Неопределённый интеграл
Определенный интеграл
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Несобственные интегралы
Кратные интегралы
Интегралы, зависящие от параметра
Квадратный трехчлен
Производная
Применение производной к исследованию функций
Приложения производной
Дифференциал функции
Дифференцирование в математике
Формулы и правила дифференцирования
Дифференциальное исчисление
Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальные уравнения в частных производных
Тригонометрические функции
Тригонометрические уравнения и неравенства
Показательная функция
Показательные уравнения
Обобщенная степень
Взаимно обратные функции
Логарифмическая функция
Уравнения и неравенства
Положительные и отрицательные числа
Алгебраические выражения
Иррациональные алгебраические выражения
Преобразование алгебраических выражений
Преобразование дробных алгебраических выражений
Разложение многочленов на множители
Многочлены от одного переменного
Алгебраические дроби
Пропорции
Уравнения
Системы уравнений
Системы уравнений высших степеней
Системы алгебраических уравнений
Системы линейных уравнений
Системы дифференциальных уравнений
Арифметический квадратный корень
Квадратные и кубические корни
Извлечение квадратного корня
Рациональные числа
Иррациональные числа
Арифметический корень
Квадратные уравнения
Иррациональные уравнения
Последовательность
Ряды сходящиеся и расходящиеся
Тригонометрические функции произвольного угла
Тригонометрические формулы
Обратные тригонометрические функции
Теорема Безу
Математическая индукция
Показатель степени
Показательные функции и логарифмы
Множество
Множество действительных чисел
Числовые множества
Преобразование рациональных выражений
Преобразование иррациональных выражений
Геометрия
Действительные числа
Степени и корни
Степень с рациональным показателем
Тригонометрические функции угла
Тригонометрические функции числового аргумента
Тригонометрические выражения и их преобразования
Преобразование тригонометрических выражений
Комбинаторика
Вычислительная математика
Прямая линия на плоскости и ее уравнения
Прямая и плоскость
Линии и уравнения
Прямая линия
Уравнения прямой и плоскости в пространстве
Кривые второго порядка
Кривые и поверхности второго порядка
Числовые ряды
Степенные ряды
Ряды Фурье
Преобразование Фурье
Функции многих переменных
Метод координат
Гармонический анализ
Вещественные числа
Предел последовательности
Аналитическая геометрия
Аналитическая геометрия на плоскости
Аналитическая геометрия в пространстве
Функции одной переменной
Высшая алгебра
Векторная алгебра
Векторный анализ
Векторы
Скалярное произведение векторов
Векторное произведение векторов
Смешанное произведение векторов
Операции над векторами
Непрерывность функций
Предел и непрерывность функций нескольких переменных
Предел и непрерывность функции одной переменной
Производные и дифференциалы функции одной переменной
Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Матрицы
Линейные и евклидовы пространства
Линейные отображения
Дифференциальные теоремы о среднем
Теория устойчивости дифференциальных уравнений
Функции комплексного переменного
Преобразование Лапласа
Теории поля
Операционное исчисление
Системы координат
Рациональная функция
Интегральное исчисление
Интегральное исчисление функций одной переменной
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Отношение в математике
Математическая логика
Графы в математике
Линейные пространства
Первообразная и неопределенный интеграл
Линейная функция
Выпуклые множества точек
Система координат

Источник

Функциональные последовательности и ряды
в комплексной области

Основные понятия, связанные с функциональными последовательностями и рядами в комплексной области, вводятся так же, как и в действительной.

Определение функциональной последовательности

1. Рассмотрим функции f_1(z),f_2(z),ldots,f_n(z) , определенные на некотором множестве . Для любой точки z_0 этого множества (z_0in M) получаем последовательность комплексных чисел ${c_n},~n=1,2ldots$ , где c_n=f_n(z_0) . Если последовательность ${c_n}$ сходится, т.е. существует предел последовательности $lim_{ntoinfty}c_n=A$ , или, что то же самое, $lim_{ntoinfty}f_n(z_0)=A$ , то говорят, что функциональная последовательность ${f_n(z_0)}$ сходится в точке z_0 .

Множество точек , для которых существует предел последовательности $bigl{f_n(z)bigr}_{ninmathbb{N}}$ , называется областью сходимости функциональной последовательности (область ).

Пределом функциональной последовательности является функция, которая называется предельной функцией последовательности: $lim_{ntoinfty}f_n(z)=f(z),~zin D$ , что можно записать, учитывая определение сходимости числовой последовательности, следующим образом:

$lim_{ntoinfty}f_n(z)=f(z),~zin D quad Leftrightarrowquad forall varepsilon>0quad exists N(varepsilon,z)colon, bigl|f_n(z)-f(z)bigr|<varepsilon$ для n>N(varepsilon,z),~zin D .

Заметим, что в отличие от числовой последовательности (см. соответствующее определение) номер зависит не только от varepsilon , но и от .

Это естественно, так как для каждого фиксированного zin D получает определенная числовая последовательность и для нее номер , начиная с которого выполняется соответствующее неравенство, свой при одном и том же выбранном значении varepsilon . Для различных значений z_kin D получаем различные N(varepsilon,z_k) , т.е. последовательность номеров N_k,~k=1,2,ldots .

Равномерная сходимость функциональной последовательности

2. Если последовательность N_k,~k=1,2,ldots ограничена, т.е. существует N=N(varepsilon) , такое, что N_k<N для любого , то говорят, что функциональная последовательность f_n(z) сходится к f(z) на множестве равномерно, что обозначается f_n(z)Rightarrow f(z) . Таким образом,

f_n(z)Rightarrow f(z),~zin Dquad Leftrightarrowquad forall varepsilon>0quad exists N(varepsilon)colon, bigl|f_n(z)-f(z)bigr|<varepsilon для n>N(varepsilon) и forall zin D .

Функциональный ряд в комплексной области

3. Ряд, членами которого являются функции комплексного переменного u_n(z),~ n=1,2,ldots , определенные на некотором множестве комплексной плоскости, называется функциональным рядом в комплексной плоскости и обозначается

$sum_{n=1}^{infty}u_n(z).$

(3.1)

4. Последовательность $bigl{S_n(z)bigr}_{ninmathbb{N}}$ , где $S_n(z)= sum_{k=1}^{n}u_k(z)$ , называется последовательностью частичных сумм ряда (3.1), где S_1(z)= u_1(z),S_2(z)=u_1(z)+u_2(z),ldots — частичные суммы.

5. Ряд (3.1) называется сходящимся ни множестве , если на множестве сходится последовательность его частичных сумм, т.е. существует предел этой последовательности, который называется суммой ряда S(z)colon

$lim_{ntoinfty}S_n(z)=S(z),~ zin D;qquad sum_{n=1}^{infty}u_n(z)=S(z),~ zin D.$

(3.2)

Область сходимости и равномерная сходимость рядов

6. Множество точек zin D , для которых сходится ряд, называется областью сходимости ряда (3.1). Очевидно, для суммы S(z) ряда в области сходимости справедливо неравенство

$bigl|S_n(z)-S(z)bigr|<varepsilonquad text{for}quad n>N(varepsilon,z),~ zin D.$

(3.3)

7. Ряд (3.1) называется равномерно сходящимся на множестве , если на этом множестве равномерно сходится последовательность ${S_n(z)}$ , то есть

$bigl|S_n(z)-S(z)bigr|<varepsilonquad text{for}quad n>N(varepsilon),~ forall zin D.$

(3.4)

Равномерно сходящиеся ряды (и последовательности) непрерывных функций комплексной переменной, как и аналогичные ряды в действительной области, обладают свойствами конечных сумм, в частности сумма такого ряда является функцией, непрерывной на множестве, где ряд сходится равномерно. Кроме того, ряд можно почленно интегрировать. Это означает, что полученный ряд, т.е. ряд, членами которого являются интегралы от членов данного ряда, сходится и его сумма равна интегралу от суммы данного ряда:

$sum_{n=1}^{infty}int u_n(z),dz= int sum_{n=1}^{infty}u_n(z),dz= int S(z),dz,.$

(3.5)

Признак Вейерштрасса и равномерная сходимость

8. Для исследования функционального ряда на равномерную сходимость и нахождения области его равномерной сходимости можно использовать, как и в действительной области, достаточный признак равномерной сходимости.

Теорема 3.1 (признак Вейерштрасса). Если ряд (3.1) на множестве мажорируется сходящимся числовым рядом с положительными членами, то он сходится на равномерно, т.е. из условия

$bigl|u_n(z)bigr|<c_n,~ n>k,~ kgeqslant1,~ zin D;qquad sum_{n=1}^{infty}c_n~ text{shoditsya},~c_n>0$

(3.6)

следует равномерная сходимость ряда (3.1) на множестве .

9. Для равномерно сходящихся рядов аналитических функций справедливы отмеченные выше свойства непрерывности суммы ряда и почленного интегрирования. Кроме того, имеет место свойство, связанное с почленным дифференцированием ряда.

Теорема Вейерштрасса для рядов аналитических функций

Теорема 3.2 (теорема Вейерштрасса для рядов аналитических функций). Если ряд (3.1) аналитических в области функций u_n(z) равномерно сходится внутри , т.е. на любом замкнутом подмножестве overline{B}subset D , то сумма S(z) ряда аналитична в ; ряд можно почленно дифференцировать любое число раз, причем ряд, членами которого являются производные $u_n^{(k)}(z)$ , равномерно сходится на любом overline{B}subset D , и сумма такого ряда равна производной $S^{(k)}(z)$ от суммы исходного ряда, т.е.

$sum_{n=1}^{infty}u_{n}^{(k)}(z)= S_{n}^{(k)}(z),quad kin mathbb{N}.$

(3.7)

Нахождение области сходимости рядов

Так как по определению ряд (3.1) сходится в точке z_0 , если сходится числовой ряд $sum_{n=1}^{infty}u_n(z_0)$ , то для нахождения всех таких точек, т.е. области сходимости ряда, можно использовать известные признаки сходимости числовых рядов (признаки абсолютной сводимости). Так, можно найти пределы:

$lim_{ntoinfty}left|frac{u_{n+1}(z)}{u_n(z)}right|=bigl|f(z)bigr|,qquad lim_{ntoinfty}sqrt[LARGE{n}]{bigl|u_n(z)bigr|}= bigl|f(z)bigr|.$

(3.8)

Согласно признакам Даламбера (в первом случае) и Коши (во втором случае) область абсолютной сходимости ряда образуют те точки , для которых |f(z)|<1 .

Граничные точки, т.е. точки, для которых выполняется равенство |f(z)|<1 , могут быть как точками абсолютной или условной сходимости, так и точками расходимости.

Примеры исследования сходимости рядов с комплексными членами

Пример 3.1. Исследовать сходимость рядов с комплексными членами:

а) $sum_{n=1}^{infty}z^n$ ; б) $frac{z^n}{2^n}$ ; в) $sum_{n=1}^{infty} n!z^n$ ; г) $sum_{n=1}^{infty}frac{z^n}{n!}$ .

Решение

Все ряды, очевидно, сходятся в точке z=0 , так как $lim_{ntoinfty}S_n(0)=0$ . Исследуем их сходимость в других точках. Для первых двух рядов используем признак Коши (найдем $lim_{ntoinfty}sqrt[LARGE{n}]{|u_n(z)|}=|f(z)|$ ), а для других — признак Даламбера (найдем $lim_{ntoinfty} left|frac{u_{n+1}(z)}{u_n(z)}right|= |f(z)|$ ).

а) Имеем $lim_{ntoinfty}sqrt[LARGE{n}]{|z|^n}=|z|$ ; неравенство |z|<1 определяет область сходимости ряда. Границей области является окружность |z|<1 или, в комплексной форме, $z=e^{ivarphi},~ 0leqslantvarphi<2pi$ . Для точек границы получаем числовые ряды вида $sum_{n=1}^{infty}e^{invarphi}$ , или $sum_{n=1}^{infty} cos nvarphi+ i sum_{n=1}^{infty}sin nvarphi$ , очевидно, расходящиеся, так как пределы $lim_{ntoinfty}cos nvarphi$ и $lim_{ntoinfty}sin nvarphi$ не существуют. Область сходимости ряда — круг |z|<1 .

б) $lim_{ntoinfty}sqrt[LARGE{n}]{left|frac{z^n}{2^n}right|}= frac{|z|}{2}<1$ . Неравенство |z|<2 определяет область сходимости ряда. В точках границы, уравнение которой $z=2e^{ivarphi}$ , получаем расходящиеся ряды. Область сходимости ряда — круг |z|<2 .

в) $lim_{ntoinfty}left|frac{(n+1)!z^{n+1}}{n!z^n}right|= |z| lim_{ntoinfty}(n+1)=infty$ для любого zne0 . Ряд сходится только в одной точке z=0 .

г) $lim_{ntoinfty}left|frac{z^{n+1}n!}{(n+1)!z^n}right|= |z|lim_{ntoinfty}frac{1}{n+1}= 0<1$ для любого zne0 . Ряд сходится всюду, во всей комплексной плоскости mathbb{C} .

Пример 3.2. Исследовать сходимость комплексных функциональных рядов:

а) $sum_{n=1}^{infty}frac{1}{z^n}$ ; б) $sum_{n=1}^{infty}frac{2^n}{z^n}$ ; в) $sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n!z^n}$ ; г) $sum_{n=1}^{infty}frac{n!}{z^n}$ .

Решение

Пример 3.3. Найти области сходимости рядов: а) $sum_{n=1}^{infty}3^n(z-i)^n$ ; б) $sum_{n=1}^{infty}frac{n}{2^{n^2}(z+i)^n}$ .

Решение

Пример 3.4. Исследовать сходимость комплексного ряда $sum_{n=1}^{infty} left(frac{2^n}{z^n}+ frac{z^n}{3^n}right)$ .

Решение

Общий член данного ряда имеет вид $u_n(z)= frac{2^n}{z^n}+ frac{z^n}{3^n}$ , то есть

$u_1(z)= frac{2}{z}+frac{z}{3}=frac{6+z^2}{3z},quad u_2(z)= frac{4}{z^2}+ frac{z^2}{9}= frac{36+z^4}{9z^2},quad ldots$

Рассмотрим два вспомогательных ряда $sum_{n=1}^{infty}frac{2^n}{z^n}$ и $sum_{n=1}^{infty}frac{z^n}{3^n}$ , найдем их области сходимости. Первый ряд сходится в области |z|>2 , второй — в круге |z|<3 (см. п. “б” примеров 3.1 и 3.2). Пересечение областей сходимости рядов образует кольцо 2<|z|<3 . В любой точке этого кольца сходятся оба ряда, т.е. сходятся соответствующие числовые ряды. По свойствам числовых рядов сходящиеся ряды можно складывать, общий член полученного при сложении ряда равен сумме общих членов рядов — слагаемых. В данном случае, складывая два ряда, сходящиеся при любом , принадлежащем кольцу 2<|z|<3 , получим ряд с общим членом $left(frac{2^n}{z^n}+ frac{z^n}{3^n}right)$ . Следовательно, исходный функциональный ряд сходится в кольце 2<|z|<3 .

Пример 3.5. Найти область сходимости ряда $sum_{n=1}^{infty} left(frac{z-2i}{z+i}right)^n$ .

Решение

Находим предел $lim_{ntoinfty}sqrt[LARGE{n}]{|u_n(z)|}= lim_{ntoinfty}sqrt[LARGE{n}]{left|frac{z-2i}{z+i}right|^n|}= left|frac{z-2i}{z+i}right|$ . Область сходимости определяем из неравенства $left|frac{z-2i}{z+i}right|<1$ , то есть |z-2i|<|z+i| . Границей множества является линия, комплексное уравнение которой |z-2i|= |z+i| . Геометрически — это прямая, проходящая через середину отрезка, соединяющего точки z=2i и z=-i перпендикулярно этому отрезку. Уравнение этой линии $y=frac{1}{2}$ , то есть $operatorname{Im}z= frac{1}{2}$ . Эта линия разделяет плоскость на две части: $operatorname{Im}z>frac{1}{2}$ и $operatorname{Im}z<frac{1}{2}$ . Областью сходимости ряда будет Imz > —, так как, например, для точки z=i , принадлежащей этой области, неравенство |z-2i|< |z+i| выполняется.

Пример 3.6. Доказать, что ряд $sum_{n=1}^{infty}frac{z^n}{3^n}$ сходится равномерно в круге |z|<1 .

Решение

Для точек , удовлетворяющих неравенству |z|<1 , выполняется неравенство $left|frac{z^n}{3^n}right|<frac{1}{3^n}$ , т.е. функциональный ряд в круге |z|<1 мажорируется числовым рядом $sum_{n=1}^{infty}frac{1}{3^n}$ . Так как ряд $sum_{n=1}^{infty}left(frac{1}{3}right)^n$ сходится, то по признаку Вейерштрасса данный функциональный ряд в круге |z|<1 сходится равномерно.

Заметим, что, очевидно, ряд сходится равномерно и в большей области, а именно в любой области overline{B} вида |z|leqslant r,~ 0<r<3 , так как мажорируется в этой области сходящимся числовым рядом: $left|frac{z}{3}right|^n leqslant left(frac{r}{3} right)^n=q^n$ , а при q<1 ряд $sum_{n=1}^{infty}q^n$ сходящийся. Как отмечено выше, в таком случае говорят, что ряд сходится равномерно внутри круга |z|<3 .

Пример 3.7. Найти область равномерной сходимости ряда $sum_{n=1}^{infty} frac{e^{nz}}{n^2}$ .

Решение

Воспользуемся признаком Вейерштрасса. Поскольку числовой ряд $sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^2}$ сходится, то область равномерной сходимости данного ряда будут составлять те , для которых справедливо неравенство $|e^{nz}|<1$ , так как при этом справедливо неравенство $left|frac{e^{nz}}{n^2} right|<frac{1}{n^2}$ . Учитывая равенство $|e^z|=e^{operatorname{Re}z}$ , получаем $|e^{nz}|=e^{nx}$ . Для нахождения области равномерной сходимости нужно рассмотреть неравенство $e^{nx}<1$ , которое, очевидно, выполняется при любых отрицательных значениях . Поэтому областью равномерной сходимости данного ряда является множество operatorname{Re}z<0 — левая полуплоскость, или любое множество вида operatorname{Re}zleqslant a,~ a<0 .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

4.1. Функциональные ряды: основные понятия, область сходимости

4.2. Степенные ряды: основные понятия, теорема Абеля

Решение функциональных рядов

Область сходимости

Равномерная сходимость

Признак Вейерштрасса

Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов

Дополнение к функциональным рядам

Функциональные последовательности и рядыв комплексной области

Определение функциональной последовательности

Равномерная сходимость функциональной последовательности

Функциональный ряд в комплексной области

Область сходимости и равномерная сходимость рядов

Признак Вейерштрасса и равномерная сходимость

Теорема Вейерштрасса для рядов аналитических функций

Нахождение области сходимости рядов

Примеры исследования сходимости рядов с комплексными членами

Вам также может понравиться

Скрыла папку на телефоне как ее найти

Как найти хорошего психолога в москве отзывы

Как составить анкету да нет

Добавить комментарий Отменить ответ

Функциональные последовательности и ряды
в комплексной области