Как найти множество точек на комплексной плоскости

I. Комплексные числа. Множества в комплексной плоскости.

1. Действия над комплексными числами.

Множеством комплексных чисел называют множество выражений вида , где х, y – действительные числа, i – символ, называемый мнимой единицей, на котором введены операции сложения и умножения по следующим правилам:

1) ;

2) .

Из определения следует равенство . Совокупность всех комплексных чисел обозначается символом . Введенные операции сложения и умножения обладают всеми свойствами операций сложения и умножения на множестве всех действительных чисел. Два комплексных числа и считаются равными, если и . Если , то х называют действительной частью, а y – мнимой частью числа z и пишут , . Множество всех действительных чисел можно рассматривать как подмножество множества – это комплексные числа, мнимая часть которых равна 0.

Разностью чисел и называют такое число , что , при этом пишут ; несложно убедиться, что . Частным от деления на называют корень уравнения ; при этом пишут . Деление возможно лишь в том случае, когда делитель отличен от 0. Докажем это. Пусть и . Требуется найти такое, что

,

или

.

Приравнивая действительные и мнимые части выражений, приходим к системе линейных уравнений (относительно х и y):

Определитель этой системы , следовательно, эта система имеет единственное решение.

Множество комплексных чисел отождествляют с множеством векторов или множеством точек на плоскости с заданной декартовой прямоугольной системой координат; при таком отождествлении плоскость называют комплексной плоскостью. Число называют модулем числа z и обозначают . Угол между вектором и положительным направлением оси ОХ называют аргументом числа z и пишут . Модуль числа определяется однозначно, а аргумент может принимать бесконечно много значений, которые отличаются друг от друга на , . Обычно договариваются о главном значении аргумента; как правило, берут или .

Если и , то

, где

Если же , то

Аргумент числа не определен.

Из определения и следует, что

откуда получаем . Последнее равенство называется тригонометрической формой комплексного числа z (в отличие от алгебраической формы ).

Число называют сопряженным к числу , при этом пишут . Справедливы равенства:

; ; .

Операция сопряжения удобна при проведении деления чисел:

.

Введем обозначение:

.

Это равенство называется формулой Эйлера. Применив формулу Эйлера к тригонометрической форме числа, приходим к равенству ; это есть показательная форма числа z. В частности, , .

Справедливы равенства:

; ;

;

(равенства, связанные с , понимаются с точностью до ).

Тригонометрическая и показательная формы удобны при проведении операций умножения и деления комплексных чисел. Из выше перечисленных свойств следует формула Муавра в тригонометрической форме

и показательной форме

.

Число называется корнем n-й степени из числа , если . Любое отличное от 0 число имеет ровно n различных корней степени n; их находят по формулам

,

где k пробегает значения 0, 1, 2, … , ; – арифметический корень n-й степени из числа ρ.

Модуль разности чисел и равен расстоянию между точками и комплексной плоскости.

Пример 1. Выполнить действия: .

Решение. Представим числа , , в показательной форме.

Отсюда находим:

Такова показательная форма числа z. В тригонометрической форме результат имеет вид

Пример 2. Извлечь корень .

Решение. Представим число в тригонометрической форме:

Тогда:

, где

Отсюда находим четыре корня:

или

Пример 3. Изобразить на плоскости множество точек, удовлетворяющих условиям: а) ; б) ; в)

Решение. а) Перепишем уравнение в виде . Это уравнение окружности радиуса 1 с центром в точке .

б) Перепишем двойное неравенство в виде . Величина выражает расстояние от точки z до точки . Таким образом, двойное неравенство определяет кольцо с центром в точке , внутренний радиус которого равен 1, а внешний равен 3; при этом внутренняя окружность не принадлежит множеству, а внешняя принадлежит.

в) Первое условие задает кольцо с центром в точке , второе – угол, сторонами которого являются лучи и . В результате получаем сектор кольца.

2. Множества в комплексной плоскости.

ε-окрестностью точки в комплексной плоскости называется открытый круг радиуса ε с центром в точке : . Если из этого круга выколоть центр (то есть убрать точку ), то получится проколотая ε — окрестность точки .

Множество в называется открытым, если оно наряду с каждой своей точкой содержит и некоторую ее ε-окрестность.

Точка называется граничной для множества М, если любая ε-окрестность точки z содержит как точки, принадлежащие М, так и точки, не принадлежащие М (при этом не важно, принадлежит ли сама точка z множеству М или нет).Совокупность всех граничных точек множества М называется границей М и обозначается . Множество М называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки. Принято обозначать .

Множество называется ограниченным, если оно содержится в некотором круге конечного радиуса, то есть если существует положительное число а, такое что для любого .

Множество называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этом множестве; в противном случае множество называется несвязным.

Множество называется односвязным, если любой (замкнутый) контур в нем можно непрерывной деформацией стянуть в точку, не покидая этого множества; в противном случае множество называется многосвязным.

Открытое связное множество в назовем (открытой) областью. Если М – область, то назовем замкнутой областью в .

Пусть задано правило, по которому каждому натуральному числу поставлено в соответствие комплексное число : . В таком случае говорят, что задана последовательность в плоскости . Число называется пределом последовательности , если , и при этом пишут . Если , , то равенство равносильно системе

Практически все свойства пределов последовательности в переносятся на случай (кроме связанных с неравенствами).

3. Два дополнения.

1. Множество является расширением множества , при этом сохраняются все свойства операций сложения и умножения чисел в , связанные с равенствами (коммутативность по сложению и умножению, ассоциативность и т. д.). Возникает мысль о возможности дальнейшего расширения до еще более широкого множества с сохранением тех же свойств. Это, однако, оказывается невозможным (теорема Ф. Фробениуса). Другими словами, можно добиться расширения множества , но при этом придется пожертвовать некоторыми привычными свойствами операций сложения и умножения чисел.

2. Формула Эйлера требует некоторых комментариев. Есть несколько способов ее обоснования: 1) принять формулу как определение функции и доказать, что соблюдаются все известные свойства степени; 2) определить равенством , доказав, что существует конечный предел при любом , а затем, исходя из этого, вывести формулу Эйлера; 3) определить функцию комплексного переменного , , как сумму степенного ряда (о рядах будет сказано ниже)

и вывести формулу Эйлера, положив и использую известные разложения в ряд Тейлора функций и .

II. Функции комплексного переменного. Дифференцируемость функции.

1. Функции комплексного переменного. Непрерывность функции.

Пусть (D) – множество в комплексной плоскости и пусть задано правило f, по которому каждой точке поставлено в соответствие вполне определенное комплексное число . В таком случае говорят, что на множестве (D) задана функция . Так как при каждом является комплексным числом, то, обозначив , , получим разложение . Представив z в виде (или ), приходим к равенству . То есть, задать функцию комплексного переменного – это все равно что задать две действительные функции и от двух действительных переменных.

Очевидным образом вводятся понятия предела и непрерывности функции комплексного переменного. Пусть функция определена в некоторой (возможно, проколотой) окрестности точки . Число называется пределом функции при , если для любого положительного числа ε найдется положительное число δ, такое что для любого z, удовлетворяющего неравенству , , справедливо неравенство . При этом пишут . Можно дать другое, равносильное этому, определение. Число является пределом функции при , если для любой последовательности чисел , такой что и , справедливо равенство . Пусть , и , , . Тогда равенство равносильно системе равенств

Функция , определенная в некоторой окрестности точки , называется непрерывной в этой точке, если . Непрерывность функции равносильна непрерывности ее составляющих и . Все свойства пределов и непрерывности функций действительного переменного, не связанные с неравенствами, переносятся и на функции комплексного переменного.

Отметим некоторые часто употребляемые функции комплексного переменного.

1. Степенная функция , .

2. Многочлен , где – коэффициенты многочлена.

3. Показательная функция . Для определения этой функции воспользуемся формулой Эйлера. Пусть , тогда

.

Это позволяет определить функцию равенством .

4. Рациональная функция , где , – многочлены степени m и n соответственно.

5. Дробно-линейная функция , где , при этом .

6. Для определения тригонометрических функций и заметим, что из формулы Эйлера следует система равенств

(второе равенство получается из первого путем замены φ на (–φ)). Образуем новую систему, равносильную этой, один раз складывая, другой раз вычитая эти равенства:

откуда получаем

Это позволяет по аналогии определить функции и :

, .

При этом сохраняются все тригонометрические тождества, известные из школьного курса. Очевидным образом определяются функции и :

, .

Все перечисленные функции непрерывны в области своего определения.

Пример. Найдите и функций: а) ; б) .

Решение. а) Согласно определению, ; следовательно, , .

б) Пусть . Тогда

отсюда получаем , .

2. Производная функции комплексного переменного.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Придадим переменному z в этой точке приращение Δz (достаточно малое, чтобы не вывести z за пределы области определения). Тогда функция получит приращение

.

Рассмотрим отношение . Устремим Δz к нулю. Если существует конечный предел этого отношения при , то он называется производной функции в точке и обозначается :

.

Принято и другое обозначение производной: .

Существование производной у функции комплексного переменного является более жестким ограничением и влечет за собой большие последствия, чем в случае функции действительного переменного. Дело в том, что в случае функции действительного переменного стремление к числу возможно только слева или справа, в случае же функции комплексного переменного стремление к числу возможно по разным направлениям, и для любого направления предел отношения должен быть один и тот же.

Функция, имеющая производную в точке , должна быть непрерывной в этой точке. Действительно, при малых значениях Δz

,

и правая часть стремится к 0 при .

Пусть определена в некоторой окрестности точки ; придадим переменному z в этой точке приращение Δz. Предположим, что существует число такое, что приращение функции представимо в виде

, (1)

где – бесконечно малая величина при , то есть . В таком случае говорят, что функция дифференцируема в точке , а линейную (главную) часть приращения функции называют дифференциалом функции и обозначают :

.

Теорема 1. Функция дифференцируема в точке в том и только в том случае, если она имеет производную в этой точке, при этом .

Доказательство. Пусть дифференцируема в точке , то есть имеет место равенство (1). Разделим обе части (1) на Δz:

.

Переходя к пределу при и учитывая, что , получим .

Обратно, пусть существует . Обозначим . Тогда , и это приводит к равенству , то есть дифференцируема в точке . Теорема доказана.

Таким образом, дифференцируемость функции и существование производной функции – равносильные требования. Поэтому процесс нахождения производной называют дифференцированием.

Пусть . Возникает вопрос: какие ограничения накладывает дифференцируемость функции на ее составляющие и ? Ответ на этот вопрос дает следующая

Теорема 2. Функция , определенная в некоторой окрестности точки , дифференцируема в этой точке в том и только в том случае, если в этой точке выполнены следующие равенства, называемые условиями Коши-Римана:

(2)

(Предполагается, что функции и дифференцируемы.)

Доказательство. Пусть функция дифференцируема в точке , то есть справедливо равенство (1), и пусть . Тогда , , , где , таковы, что , . Равенство (1) принимает вид

, (3)

или

. (4)

Приравнивая действительные и мнимые части выражений, приходим к системе

(5)

Из этих равенств следует, что

поэтому получаем

(6)

откуда и следуют равенства (2).

Обратно, пусть справедливы равенства (2). Тогда справедливы (последовательно) равенства (6), (5), (4) и (3), а последнее из них и говорит о дифференцируемости . Теорема доказана.

Из доказательства теоремы 2 следует, что

.

Если функция дифференцируема в каждой точке области (D), то она называется дифференцируемой в области (D).

Если функция дифференцируема в каждой точке некоторой окрестности точки , то она называется аналитической в точке . Если функция является аналитической в каждой точке области (D), то она называется аналитической в области (D).

Для дифференцируемых функций комплексного переменного справедливы те же правила дифференцирования, что и в вещественном случае (при этом они выводятся так же):

; ;

;

;

(здесь С – постоянная величина). То же верно и для таблицы производных:

; ; ; ; .

В частности, справедлив аналог формулы Лагранжа.

3. Геометрический смысл производной. Конформные отображения.

Пусть функция аналитична в точке , причем . Пусть в комплексной плоскости z задана гладкая линия (γ), определяемая системой уравнений

,

или, что то же самое, уравнением , , при этом , . (Гладкость линии (γ) означает, что в каждой точке линии можно провести касательную к ней; гладкость линии без самопересечений равносильна дифференцируемости функций и .) Под действием функции эта линия перейдет в гладкую линию (Γ) в плоскости , заданную уравнением

, .

Мы знаем, что комплексные числа и векторы отождествляются по определенному правилу. Вектор направлен по касательной к линии (γ) в точке в плоскости Oxy, а вектор – по касательной к линии (Γ) в точке в плоскости Ouv. Согласно правилу дифференцирования сложной функции, , откуда получаем

, (7)

. (8)

Равенство (8) говорит о том, что направление вектора получается из направления вектора путем поворота последнего на угол , а равенство (7) – что длина вектора отличается от длины вектора в раз. Придадим переменному t в точке приращение Δt. Тогда

,

.

Отсюда

,

.

В пределе при получим точное равенство.

Полученный результат можно сформулировать следующим образом.

Теорема 3. Пусть функция аналитична в точке и . Пусть в комплексной плоскости z задана гладкая линия (γ) уравнением , , , ; и эта линия под действием функции переходит в линию (Γ): , . Тогда угол наклона касательной к линии (Γ) в точке отличается от угла наклона касательной к линии (γ) в точке на величину (то есть касательная поворачивается на угол θ). Элемент линии (Γ) в точке отличается от соответствующего элемента линии (γ) в точке в раз.

В этом и состоит геометрический смысл производной . Отметим еще следствие теоремы 3.

Следствие. Пусть функция аналитична в точке и . В плоскости проведем окружность радиуса r с центром в точке . Тогда под действием функции эта окружность перейдет в замкнутую линию, близкую к окружности радиуса R с центром в точке ; при этом . В пределе при получим точное равенство.

В плоскости Oxy через точку проведем две гладкие линии и , угол между которыми равен α (точнее говоря, α – угол между касательными к этим линиям в точке ). Тогда под действием функции эти линии перейдут в гладкие линии и , угол между которыми также будет равен α. Иначе говоря, дифференцируемая функция сохраняет углы между линиями.

Отображения, сохраняющие углы между линиями, называются конформными. Таким образом, аналитическая функция является конформным отображением.

4. Связь между аналитическими и гармоническими функциями.

Дважды дифференцируемая функция называется гармонической, если она удовлетворяет уравнению Лапласа

.

Пусть аналитична в некоторой области (D). Тогда, согласно условиям Коши-Римана, во всех точках этой области справедливы равенства

Предположим, что и дважды непрерывно дифференцируемы (этот факт будет обоснован ниже при рассмотрении формулы Коши для производных). Продифференцируем первое из этих равенств по х, а второе – по y:

Сложив эти равенства и учитывая равенство смешанных производных, приходим к тождеству

,

то есть функция оказывается гармонической. Аналогичным образом устанавливается гармоничность функции . Таким образом, составляющие аналитической функции являются гармоническими функциями.

Возникает естественный вопрос: следует ли из гармоничности функций и аналитичность функции ? Оказывается, нет; для этого необходимо и достаточно соблюдения условий Коши-Римана.

III. Интеграл от функции комплексного переменного. Формула Коши.

1. Определение и свойства интеграла от функции комплексного переменного.

Пусть в области определена функция и (Γ) – некоторая ориентированная линия в (D) (ориентация линии означает, что определено направление движения вдоль линии). Разобьем дугу точками (соответствует А), , , … , (соответствует В) на n частей. Обозначим , . На каждом частичном участке линии возьмем по точке и рассмотрим сумму

,

называемую интегральной суммой. Если существует конечный предел интегральных сумм при неограниченном измельчении разбиения , то говорят, что функция интегрируема на линии , а сам предел называется интегралом от по линии и обозначается

или .

Отметим, что непрерывная функция является интегрируемой, если линия имеет конечную длину. Если и , то , и интеграл примет вид криволинейного интеграла второго рода:

. (1)

Для вычисления интеграла нужно воспользоваться заданием линии (Γ); обычно она задается в параметрической форме

,

где , – дифференцируемые функции. Тогда , , и интеграл сводится к определенному интегралу

Интеграл от функции комплексного переменного обладает обычными свойствами интеграла:

1) ;

2) ;

3) при изменении направления обхода интеграл меняет свой знак:

(это касается и замкнутой линии, то есть контура);

4) ,

где означает элемент длины линии: ; в случае параметрического задания ;

5) если для любого и l – длина дуги , то

.

Свойство 4) является следствием неравенства треугольника, а неравенство 5) – следствием неравенства 4) и того факта, что

.

Пример 1. Вычислить интеграл , где (Γ) – часть параболы , .

Решение. Пусть , тогда , ; следовательно,

Пример 2. Вычислить, где (Γ) – часть окружности , ; направление обхода взять от точки (2;0) до точки (–2;0).

Решение. Запишем уравнение окружности в показательной форме: . В случае полуокружности (Γ) действует ограничение . Тогда , и, следовательно,

Пример 3. Вычислить , где (Γ) – окружность радиуса R с центром в точке , n – целое число; направление обхода – против часовой стрелки.

Решение. Данную окружность можно описать уравнением , . Сделаем замену ; тогда , . Отсюда получим

.

Рассмотрим сначала случай . Интеграл равен

При имеем

.

Таким образом,

Это очень важный результат, имеющий большие последствия.

2. Теорема Коши для односвязной и многосвязной области.

Теорема 1. Пусть аналитична в односвязной области (D) и (Γ) – граница области (D). Тогда

.

Доказательство. Согласно формулу (1),

.

Так как аналитична, то для нее выполнены условия Коши-Римана

Из теории криволинейных интегралов известно, что первое условие обращает в 0 первый интеграл, второе – второй, следовательно, теорема доказана.

Эта теорема допускает обобщение и на более сложные области.

Теорема 2. Пусть аналитична в (D) – -связной области, (Γ) – внешняя граница области, охватывающая контуры , , … , , границей области является . Тогда

, (2)

где обход вдоль каждого контура ведется в положительном направлении, то есть движение вдоль контура осуществляется так, чтобы ближайшие точки области оставались слева от направления движения (на приведенном рисунке движение по (Γ) осуществляется против часовой стрелки, а вдоль , , … , – по часовой стрелке).

Доказательство. Приведем доказательство для случая трехсвязной области. Отметим точки A, B, C, E, F, G, H, K, M, N как показано на рисунке, при этом возьмем достаточно близкими друг к другу пары А и С, N и Е, G и K; и проведем достаточно узкие каналы CENA и FGKM. Если из трехсвязной области (D) вырезать эти каналы, то получится односвязная область (D´), и, согласно теореме 1,

.

Воспользуемся свойством 2) интеграла:

Теперь устремим точку С к точке А, точку N – к точке Е, M – к F, K – к G, а ширину каналов – к 0. Тогда

,

,

откуда следует

,

и в пределе получим равенство

,

или

,

что и требовалось доказать.

Общий случай разбирается аналогично.

Теоремы 1 и 2 справедливы и в том случае, когда аналитична в области (D) и непрерывна в .

Следствие. В условиях теоремы 2

, (2´)

где все обходы контуров совершаются против часовой стрелки.

Путем, соединяющим точки А и В, в области (D) назовем непрерывную линию без самопересечений в (D), соединяющую точки А и В. Пути и с общими концами в (D) назовем гомотопными, если один из них можно перевести в другой непрерывной деформацией, не выходя за пределы области (D).

Аналогично: ориентированные контуры и без самопересечений называются гомотопными, если один из них путем непрерывной деформации удается перевести в другой, не покидая пределов области (D) и с сохранением ориентации.

Из теоремы 1 вытекает следующий результат.

Теорема 3. Если аналитична в области (D) и , гомотопны в (D), то

.

Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда и – гомотопные пути, соединяющие точки А и В. Будем считать, что и не пересекаются (иначе приводимые ниже рассуждения придется проводить многократно). Поскольку аналитична внутри контура, то, согласно теореме 1,

,

или

,

откуда следует требуемое равенство .

Пусть теперь и – гомотопные контуры, причем лежит внутри и их ориентации совпадают. Проведем достаточно узкий канал BCGH, как показано на рисунке. Функция аналитична в области, ограниченной контуром ABCFGH, и, согласно теореме 1,

.

Отсюда

.

Неограниченно сужая канал, приходим к соотношениям

,

и в пределе получим

,

или

.

Если контуры и не имеют общих точек и один из них не охватывает другой, то либо внутри этих контуров аналитична, и, по теореме 1,

,

либо по крайней мере внутри одного из контуров имеется точка неаналитичности (особая точка) и эти контуры негомотопны.

Мы оставили без рассмотрения случай, когда контуры пересекаются – он сводится к уже рассмотренным.

3. Интегральная формула Коши.

Теорема 4. Пусть функция аналитична в ограниченной замкнутой односвязной области (D) и пусть (Γ) – граница (D). Тогда для любой точки z, лежащей внутри (D), справедливо равенство

, (3)

где обход вдоль (Γ) ведется в положительном направлении.

Доказательство. Пусть (γ) – окружность достаточно малого радиуса r с центром в точке z. Так (Γ) и (γ) гомотопны, то для функции , аналитичной во всей области (D), за исключением точки z, справедливы равенства

Осталось доказать, что первое слагаемое в последнем выражении равно 0. Зададим произвольное достаточно малое число . Ввиду непрерывности можно подобрать число так, чтобы при любом и для любого выполнялось неравенство . Тогда для таких r

Получается, что для любого можно подобрать r настолько малым, что будет выполняться неравенство

.

Однако этот интеграл не зависит от r ввиду того, что все окружности достаточно малого радиуса гомотопны между собой, а это возможно лишь в том случае, если интеграл равен 0:

.

Это и доказывает формулу (3).

Небольшая модификация доказательства позволяет установить справедливость (3) и для многосвязной области.

Формулу (3), имеющую многочисленные следствия, называют формулой Коши. Замечательность ее состоит в том, что задание функции на границе (Γ) области (D) определяет ее однозначно во всей области (D).

Пример 1. Вычислить: а) ; б) .

Решение. а) Функция аналитична в круге . Поэтому можно воспользоваться формулой Коши (3):

.

б) Функция аналитична в круге . Следовательно, согласно формуле (3),

.

4. Теорема Гаусса о среднем значении.

Из формулы (3) вытекает следующий любопытный результат.

Теорема 5. Пусть функция аналитична в круге . Тогда значение функции в центре круга является средним арифметическим значений функции на окружности :

.

(Заметим, что окружность может быть задана уравнением .)

Доказательство. Согласно формуле (3),

5. Формула Коши для производных. Теорема Лиувилля.

Если формально продифференцировать n раз равенство (3), то получится формула Коши для производных:

. (4)

Законность такой операции можно доказать, но мы это опускаем. Из формулы (4) следует, что если функция является аналитической, то ее производная также является аналитической. Иначе говоря, аналитическую функцию можно дифференцировать сколько угодно раз; в этом состоит существенное отличие картины от случая функции действительного переменного.

Из формулы (4) вытекает следующая

Теорема 6. Пусть аналитична в круге и пусть . Тогда

.

(Это и есть неравенство Коши для производных.)

Доказательство. Согласно формуле (4),

.

(Мы воспользовались тем, что равен длине линии (γ).)

Иначе говоря, производные функции в данной точке не могут расти очень быстро (по n).

Пример. Вычислить: а) ; б) .

Решение. а) Функция аналитична в круге , поэтому, согласно формуле Коши для производных,

.

Имеем:

.

Отсюда находим

.

б) В круг попадают две особые точки функции : и . Заключим каждую из них в контур, представляющий собой окружность радиуса 1 с центром в соответствующей точке: : и : . Тогда, согласно формуле (2´),

Функция аналитична в круге , поэтому, согласно формуле Коши для производных,

.

Имеем:

;

.

Отсюда находим

.

Функция аналитична в круге , поэтому, согласно интегральной формуле Коши,

.

Таким образом,

.

Справедливо следующее любопытное утверждение.

Теорема 7 (Лиувилль). Если функция аналитична во всей комплексной плоскости и ограничена, то – постоянная функция.

Доказательство. Пусть для любого . Тогда для любого , согласно неравенству Коши для ,

.

Правая часть стремится к 0 при . Однако не зависит от R; следовательно, последнее соотношение возможно лишь в случае . А это означает, что .

6. Неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

Функция называется первообразной для аналитической функции , если . Если – первообразная для аналитической функции , то также будет первообразной для . До некоторой степени верно и обратное утверждение.

Утверждение. Если и – две первообразные для функции , аналитической в связной области (D), то , где С – постоянная величина.

Доказательство. Пусть . Тогда

,

то есть , . Согласно условиям Коши-Римана, это влечет , . Все это в совокупности означает, что , , то есть .

Таким образом, совокупность всех первообразных функции , аналитической в связной области (D), имеет вид , где – некоторая (фиксированная) первообразная для , а C – постоянная величина. Эта совокупность называется неопределенным интегралом функции и обозначается :

.

Известные нам свойства неопределенного интеграла переносятся и на этот случай. Справедлива хорошо знакомая таблица интегралов:

; ; ;

; .

Пусть функция аналитична в связной области (D). Рассмотрим функцию

,

где – фиксированная точка, а z – переменная величина, . Так как интеграл не зависит от линии, соединяющей точки и z (теорема 3), то функция определена корректно. Ее можно записать в виде

.

Теорема 8. Функция является первообразной для .

Доказательство. Придадим переменному z приращение Δz. Тогда функция получит приращение , и

где t – некоторая точка отрезка, соединяющего точки z и . Отсюда

.

Теперь устремим Δz к 0. Тогда и

,

что и означает .

Теорема 9. Пусть аналитична в односвязной области (D) и – первообразная для . Тогда справедлива формула Ньютона-Лейбница

.

Доказательство. отличается от на постоянную величину: . Тогда

.

Учитывая, что , получим , откуда ; следовательно,

.

Пример. Вычислить , где , .

Решение. Функция является первообразной для функции . Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:

IV. Степенные ряды. Ряд Лорана.

1. Числовые ряды.

Числовым рядом называется выражение

, (1)

где (члены ряда) – комплексные числа. n—й частичной суммой ряда называется число . Если существует конечный предел , то говорят, что ряд (1) сходится к числу S, а само число S называется суммой ряда. Если же не существует конечного предела последовательности , то ряд называется расходящимся. Естественным образом определяются сумма числовых рядов и произведение ряда на число.

Если ряд (1) сходится, то (необходимое условие сходимости).

Если ряды и сходятся, то сходятся и ряды и , . При этом

; .

Обозначим . Тогда ; называется n-м остатком ряда. Если ряд (1) сходится, то .

Говорят, что ряд (1) сходится абсолютно, если сходится ряд .

Утверждение 1. Абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.

Утверждение 2 (первый признак сравнения). Пусть для любого . Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда и при этом .

Утверждение 3 (второй признак сравнения). Если существует конечный предел , то ряды и ведут себя одинаково в смысле сходимости.

Утверждение 4 (признак Даламбера). Пусть существует предел . Тогда

а) если , то ряд (1) сходится;

б) если , то ряд (1) расходится.

Утверждение 5 (признак Коши). Пусть существует предел . Тогда

а) если , то ряд (1) сходится;

б) если , то ряд (1) расходится.

Доказательства этих утверждений фактически повторяют доказательства аналогичных утверждений в случае рядов над полем .

2. Функциональные ряды. Равномерная сходимость.

Пусть – последовательность функций с общей областью определения (D). Выражение

(2)

называется функциональным рядом. Если зафиксировать значение , то ряд (2) становится числовым. Совокупность всех , для которых ряд (2) сходится, называется областью сходимости ряда. Суммы и называются соответственно n-й частичной суммой и n-м остатком ряда (2). Говорят, что ряд (2) сходится поточечно (или просто сходится) к функции на множестве (D), если для любого .

Ряд (2) называется равномерно сходящимся к функции на множестве (D), если для любого положительного числа ε существует число , такое что (то есть ) для любого .

Теорема 1 (Вейерштрасс). Пусть – последовательность положительных чисел, удовлетворяющая двум условиям: 1) для любого и любого ; 2) ряд сходится. Тогда ряд (2) сходится равномерно на множестве (D).

Доказательство. Пусть ε – произвольное положительное число. Возьмем настолько большим, чтобы для любого выполнялось неравенство . Тогда для любого и любого будет справедливо неравенство

.

Ввиду произвольности отсюда следует равномерная сходимость ряда (2).

Числовой ряд , участвующий в этой теореме, называется мажорирующим рядом или мажорантой.

Теорема 2. Если функции непрерывны и ряд (2) сходится в (D) к функции равномерно, то функция также непрерывна в (D).

Доказательство. Пусть и произвольны. Найдется такое , что для любого и любого будет выполняться неравенство . Из непрерывности следует, что существует такое , при котором как только . Тогда для любого z, удовлетворяющего неравенству и любого справедлива цепочка соотношений

что и доказывает теорему.

Теорема 3. В условиях теоремы 2 ряд (2) можно интегрировать почленно вдоль любой линии (Γ), лежащей в (D):

.

Доказательство. Пусть произвольно. Ввиду равномерной сходимости ряда (2) к существует такое , что для всех и для любого . Тогда для таких n

,

где l – длина линии (Γ). А так как при , то теорема доказана.

Оказывается, равномерно сходящиеся ряды при некотором ограничении допускают и почленное дифференцирование. Приведем без доказательства следующий результат.

Теорема 4. Пусть функции аналитичны в области (D) и ряд (2) сходится к функции равномерно в (D). Тогда также аналитична в (D) и при этом

,

то есть ряд (2) можно дифференцировать почленно сколь угодно раз.

3. Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда.

Степенным рядом называется функциональный ряд

, (3)

где – коэффициенты (числа), а z – переменная величина.

Теорема 5 (Абель). Пусть дан степенной ряд (3). Тогда

а) если ряд (3) сходится в точке , то он будет абсолютно сходиться и в любой точке , удовлетворяющей неравенству , то есть расположенной к ближе, чем ;

б) если ряд (3) расходится в точке , то он будет расходиться и в любой точке , удовлетворяющей неравенству , то есть расположенной от дальше, чем .

Доказательство. а) Так как числовой ряд сходится, то его члены ограничены, то есть существует такое число , что для всех . Тогда

.

Так как , то ряд сходится и, по признаку сравнения, ряд сходится абсолютно. Отсюда следует абсолютная сходимость ряда .

б) Пусть ряд (3) расходится в точке и . Допустим, вопреки утверждению, что ряд сходится. Тогда, согласно уже доказанному пункту а), ряд (3) сходится в точке – противоречие. Следовательно, ряд расходится.

На самом деле в пункте а) теоремы 5 доказано больше: если ряд (3) сходится в точке , то он сходится абсолютно и равномерно в любом круге при условии (для доказательства достаточно вспомнить теорему 1 о мажоранте).

Область сходимости степенного ряда (3) есть непустое множество – ряд (3) сходится по крайней мере в точке . Обозначим . Согласно теореме Абеля, ряд (3) сходится в открытом круге радиуса R с центром в точке и расходится вне этого круга. Точки окружности могут принадлежать или не принадлежать области сходимости. Этот круг называется кругом сходимости, а R – радиусом сходимости степенного ряда.

Степенной ряд можно почленно интегрировать вдоль линии внутри круга сходимости. Ряд (3) можно также почленно дифференцировать внутри круга сходимости; при дифференцировании будет получаться степенной ряд, имеющий те же круг и радиус сходимости.

4. Ряд Тейлора.

Теорема 6. Если функция аналитична в точке , то в некоторой окрестности этой точки допускает разложение в степенной ряд:

; (4)

при этом коэффициенты находятся из равенств

; (5)

( по соглашению).

Сначала докажем лемму.

Лемма. Если , то

(6)

Доказательство. Легко проверяется тождество

.

Переходя к пределу при , получим требуемое. При этом ряд (6) сходится абсолютно и равномерно в любом замкнутом множестве из круга .

Доказательство теоремы 6. Пусть аналитична в точке . Проведем вокруг этой точки окружность (γ): достаточно малого радиуса r. Тогда, согласно интегральной формуле Коши, для любого z из круга

. (7)

Для справедливы равенства

Вернемся к равенству (7); воспользуемся возможностью почленного интегрирования степенного ряда:

.

Согласно формуле Коши для производных,

,

что означает

.

Степенной ряд (4), коэффициенты которого находятся по формуле (5), называется рядом Тейлора функции .

Теорема 7. Если функция в окрестности точки разлагается в степенной ряд (то есть разлагается по степеням ), то этот ряд является рядом Тейлора функции .

Доказательство. Пусть наряду с равенством (4) в окрестности точки справедливо равенство

(4´)

Положив в этом равенстве, получим , то есть . Продифференцируем ряд (4´):

;

отсюда находим . Продифференцируем ряд (4´) еще раз:

;

отсюда получаем , . Продолжая этот процесс далее, убеждаемся, что для всех .

Теорема 7 говорит о том, что если аналитична в точке , то эту функцию можно единственным образом разложить в степенной ряд в некоторой окрестности этой точки.

Приведем примеры разложений основных элементарных функций в ряд Тейлора в окрестности точки :

1) , ;

2) ,

(получается из предыдущего разложения, если вместо z взять );

3) ;

4) ;

5)

(Иногда функции , , определяют этими равенствами.)

Пример. Разложить функцию в окрестности точки .

Решение.

Пример. Разложить функцию в ряд по степеням z.

Решение.

.

Пример. Разложить функцию в ряд по степеням .

Решение.

при этом , или .

Пример. Разложить функцию в окрестности точки .

Решение.

5. Ряд Лорана.

Теорема 8 (Лоран). Если функция аналитична в кольце . Тогда функция в этом кольце разлагается в ряд Лорана

(8)

при этом коэффициенты определяются по формуле

, (9)

где (Γ) – произвольный контур, заключенный между окружностями кольца и охватывающий меньшую окружность.

Доказательство. Пусть z – произвольная точка кольца . Возьмем две окружности и с радиусами и в кольце так, чтобы (то есть чтобы точка z оказалась между окружностями и ). Функция аналитична в кольце, образованном окружностями и , и, согласно интегральной формуле Коши,

.

Рассмотрим каждый интеграл в отдельности.

1) Пусть . Тогда

Отсюда получаем

где

.

2) Пусть . Тогда

Отсюда получаем

где

.

Теорема Лорана доказана (контур (Γ) в формулировке теоремы гомотопен окружностям и в доказательстве).

Ряд (8), коэффициенты которого находятся по формуле (9), называется рядом Лорана функции .

Ряд Лорана представляет собой сумму двух функциональных рядов:

.

Первое слагаемое, содержащее отрицательные степени , называется главной частью, а второе слагаемое, содержащее неотрицательные степени , – правильной частью ряда Лорана.

Отметим некоторые свойства ряда Лорана.

Свойство 1. Ряд Лорана сходится абсолютно и равномерно в любом замкнутом множестве, содержащемся в кольце .

Свойство 2. Ряд Лорана можно интегрировать почленно вдоль любой линии, лежащей внутри кольца .

Свойство 3. Ряд Лорана можно дифференцировать почленно в кольце .

Свойство 4. Разложение функции в ряд (8) в кольце является единственно возможным.

Пример. Разложить функцию в ряд Лорана в кольце: а) ; б) ; в) .

Решение. Сначала представим функцию , являющуюся правильной дробью, в виде суммы простых дробей.

Таким образом, .

V. Изолированные особые точки. Вычеты.

1. Нули функции.

Число называется нулем функции , если .

Теорема 1. Пусть аналитична в точке . Следующие утверждения равносильны:

1) , где аналитична в точке и ;

2) разложение в ряд Тейлора в окрестности точки имеет вид

,

где ;

3) , однако .

Доказательство. . Пусть , . Так как , то разложение функции в ряд Тейлора по степеням имеет вид

, .

Тогда

.

. Пусть , .

Тогда

;

, ;

, ;

… … …

, ;

, .

. Пусть , . Тогда разложение в ряд Тейлора в окрестности точки имеет вид

.

Осталось в качестве взять функцию . Теорема доказана.

Число n, участвующее в теореме, называется порядком нуля (или кратностью нуля) . Нуль порядка 1 называют также простым нулем функции. (Можно договориться считать, что если , то является нулем порядка 0.)

Теорема 2. Пусть функции и аналитичны в точке и точка является нулем порядка m для и порядка n для , , . Тогда

а) является нулем порядка для функции ;

б) при условии точка является нулем порядка для функции

Доказательство. Согласно теореме 1, , , , .

а) и , что и доказывает часть а).

б) , при этом , что и доказывает часть б).

Пример. Найти нули функции и их порядок: а) ; б) ; в) ; г) .

Решение. а) . Видно, что у функции три нуля: , , . При этом имеет порядок 3, а и – простые нули.

б) Функция обращается в нуль (как и в случае функции действительного переменного) в точках , . Так как , , то все эти нули – простые.

в) Нулями функции являются нули сомножителей и . При этом является нулем порядка 2 для первого множителя и простым нулем для второго, следовательно, – нуль порядка 3 для . Точки , , , являются (простыми) нулями лишь для второго множителя, поэтому они являются простыми нулями и для .

г) .

Видно, что является нулем порядка 3 для функции . Других нулей для функции нет: лишь в случае .

2. Изолированные особые точки. Их классификация.

Число называется изолированной особой точкой (ИОТ) функции , если дифференцируема во всех точках некоторой окрестности точки , кроме самой этой точки, а в точке функция не дифференцируема или не определена.

Различают три типа изолированных особых точек: устранимые особые точки, полюсы и существенно особые точки.

1) ИОТ называется устранимой особой точкой функции , если существует конечный предел

,

однако он не совпадает с или не определено. Если положить

то функция станет аналитичной в точке и тем самым устранится особенность в этой точке; этим фактом и объясняется название особой точки.

Пример. Функция имеет единственную особую точку . Выясним ее тип.

.

Следовательно, – устранимая особая точка. Если положить

то станет аналитической на всей плоскости .

Теорема 3. ИОТ является устранимой особой точкой функции в том и только в том случае, если в разложении в ряд Лорана функции в окрестности точки присутствует лишь правильная часть.

Доказательство. Пусть – устранимая особая точка , то есть существует конечный предел . Тогда ограничена в некотором круге радиуса δ с центром в точке : для всех z, удовлетворяющих неравенству . Пусть ; согласно формуле (9) для коэффициентов ряда Лорана,

.

Если , то при . А так как не зависят от r, то это возможно лишь в случае , , что означает отсутствие главной части ряда Лорана в разложении.

Докажем обратное утверждение. Пусть ряд Лорана функции в окрестности точки содержит лишь правильную часть:

.

Тогда , то есть – устранимая особая точка, что и требовалось доказать.

2) ИОТ называется полюсом, если (или, что то же самое, ).

Пример. Для функции точка является полюсом, так как .

Теорема 4. ИОТ является полюсом для функции в том и только в том случае, если ряд Лорана функции в окрестности точки содержит конечное (ненулевое) число слагаемых из главной части ряда:

, .

Доказательство. Пусть – полюс, то есть . Функция аналитична в некоторой проколотой окрестности точки (то есть в некоторой окрестности точки , за исключением самой точки ): . Тогда и точка является устранимой особой точкой для функции , следовательно, согласно теореме 3, допускает следующее разложение:

,

где , . Обозначим ; тогда , . Так как , то функция аналитична в некоторой окрестности точки : , поэтому функцию можно разложить в ряд Тейлора в окрестности точки :

,

при этом . Отсюда получаем

.

Докажем вторую часть теоремы; пусть в разложении в ряд Лорана по степеням присутствует лишь конечное (ненулевое) число слагаемых из главной части:

,

где ; то есть

.

Тогда , иначе говоря, – полюс функции . Теорема полностью доказана.

Число n, участвующее в этой теореме, называется порядком полюса. При полюс называется простым.

Из доказательства теоремы 4 вытекает

Следствие. Число является полюсом порядка n функции в том и только в том случае, если является нулем порядка n для функции

Аналогичным образом доказывается и более общее утверждение:

Теорема 5. Пусть и является нулем порядка m для и нулем порядка n для . Тогда

а) если , то является нулем порядка для функции

(то есть – устранимая особая точка для );

б) если , то является полюсом порядка для функции .

3) ИОТ называется существенно особой точкой для функции , если не существует ни конечного, ни бесконечного предела . Из доказанных выше теорем следует

Теорема 6. Число является существенно особой точкой для функции в том и только в том случае, если ряд Лорана в окрестности точки содержит бесконечно много (ненулевых) слагаемых из главной части.

Пример. Найти ИОТ и определить их тип для функции: а) ; б) .

Решение. а) Единственной изолированной особой точкой является . Разложим в ряд Лорана в окрестности этой точки, используя разложение в ряд Тейлора:

Ряд Лорана содержит конечное число (ровно два) ненулевых слагаемых из главной части, следовательно, является полюсом для . Порядок полюса равен 3.

б) имеет одну ИОТ: . Разложим функцию в ряд Лорана по степеням , пользуясь известным разложением в ряд Тейлора:

Главная часть ряда содержит бесконечное число слагаемых, поэтому является существенно особой точкой.

3. Вычет функции. Теорема Коши о вычетах. Вычет в полюсе.

Пусть – ИОТ функции . Окружим точку контуром (γ) так, чтобы внутри контура не оказалось других особых точек. Вычет функции в точке определяется равенством

.

(Если аналитична в точке , то этот интеграл равен 0.)

Теорема 7 (теорема Коши о вычетах). Пусть аналитична внутри контура (Γ), за исключением конечного числа ИОТ , , … , . Тогда

.

Доказательство. Окружим каждую из точек контуром так, чтобы внутри контура не оказалось других особых точек. Тогда

.

Теорема 8. Пусть – ИОТ функции и – разложение в ряд Лорана в окрестности точки . Тогда

.

Доказательство. Это непосредственное следствие формулы коэффициентов ряда Лорана – достаточно взять .

Следствие. Если – устранимая особая точка функции , то

.

Доказательство. В этом случае ряд Лорана функции в окрестности точки содержит лишь правильную часть, следовательно, .

Теорема 9. Если – простой полюс функции , то

.

Доказательство. Запишем разложение в ряд Лорана в окрестности точки :

.

Отсюда

;

.

Теорема 10. Пусть , функции и аналитичны в точке , – простой нуль для и (отсюда следует, что – простой полюс для ). Тогда

.

Доказательство. Воспользуемся теоремой 9:

.

Теорема 11. Если – полюс порядка n для функции , то

. (10)

Доказательство. Запишем разложение в ряд Лорана в окрестности точки :

.

Тогда

.

Продифференцировав последнее равенство раз, получим

.

Устремив z к , получим

,

или

.

Отметим, что теорема 9 является частным случаем теоремы 11 – достаточно взять и положить .

Пример. Найти вычеты в ИОТ функции: а) ; б) ; в) .

Решение. а) Функция имеет две ИОТ: и . Для числителя число является простым нулем:

.

Для знаменателя число также является простым нулем. Следовательно, – устранимая особая точка для (теорема 5 а)), и .

Число не является нулем для числителя и является нулем порядка 2 для знаменателя. Следовательно, – полюс порядка 2 для (теорема 5 б)), и, согласно формуле (10),

б) Функция имеет единственную ИОТ: . Воспользуемся известным разложением по степеням z:

.

Отсюда находим .

в) Функция имеет одну ИОТ: . Воспользуемся разложением функции в степенной ряд:

является существенно особой точкой, и .

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Изолированными особыми точками подынтегральной функции являются , , и , из них лишь первые три находятся внутри круга , при этом ИОТ слагаемых не пересекаются. Согласно теореме Коши о вычетах,

.

Разложим в ряд Лорана по степеням :

Отсюда находим .

Перейдем к особой точке .

Отсюда следует, что ( оказалась устранимой особой точкой).

Перейдем к третьему слагаемому . Число является простым нулем для знаменателя и не является нулем для числителя, следовательно, – простой полюс для дроби. Согласно теореме 9,

.

Итак,

.

4. Применение вычетов для вычисления интегралов.

1°. Интегралы вида . Для вычисления таких интегралов используется подстановка . В этом случае отрезок на числовой прямой переходит в единичную окружность комплексной плоскости. Из формулы Эйлера следует, что , . Кроме того, , откуда находим . Это приводит нас к равенству

,

и интеграл справа можно вычислить с помощью вычетов.

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Сделаем подстановку . Тогда, согласно изложенному выше, получаем:

Найдем ИОТ функции – нули знаменателя дроби:

Из этих двух корней лишь один, , удовлетворяет условию , то есть попадает внутрь окружности . Действительно,

Поэтому

.

Учитывая, что – простой полюс, получим, согласно теореме 10,

Следовательно,

.

2°. Интегралы вида , где – рациональная функция. Пусть , где и – многочлены степени m и n соответственно и (в противном случае интеграл расходится); пусть, наконец, не имеет действительных нулей. Введем в рассмотрение функцию комплексного переменного , полученную из путем замены действительного переменного x на комплексное переменное z. В комплексной плоскости проведем окружность радиуса R настолько большого, что все нули функции удовлетворяли неравенству . Рассмотрим контур, состоящий из отрезка действительной оси и верхней полуокружности окружности . Тогда, обозначив , можно записать

,

и, согласно теореме Коши о вычетах,

,

где суммирование ведется по ИОТ функции (нулям ), которые лежат в верхней полуплоскости. Если таково, что

, (11)

то, переходя к пределу при , получим

. (12)

Условие (11) будет выполнено, если . Действительно, в таком случае (при z, достаточно далеких от 0, большую роль играют старшие слагаемые многочленов). Поэтому

при , отсюда и вытекает условие (11). Следовательно, при можно пользоваться равенством (12).

Пример. Вычислить интегралы: а) ; б) .

Решение. а) В этом случае , следовательно, согласно формуле (12),

.

Функция имеет 4 ИОТ ­– нули знаменателя. Решим уравнение ; . Найдем эти числа из равенства

, .

, .

Отсюда, придавая k значения 0, 1, 2, 3, находим ;

Из них лишь и удовлетворяют условию . Поэтому

.

и являются простыми полюсами (простые нули для знаменателя, числитель в этих точках в нуль не обращается). Поэтому

,

.

Таким образом,

б) Для данной функции , поэтому действует равенство (12). У функции две особые точки – корни уравнения ; . Обе они являются полюсами второго порядка; однако, лишь одна из них, , удовлетворяет условию . Следовательно,

.

Поскольку

то интеграл равен

.

3°. Интегралы вида , где – рациональная функция. Нам понадобится

Теорема 12 (лемма Жордана). Пусть и функция , непрерывная в полуплоскости , удовлетворяет условию

при , (13)

где – полуокружность , . Тогда

. (14)

Доказательство. Число может быть представлено в тригонометрической форме , ; тогда

Нам понадобится неравенство: при ; оно следует из выпуклости вверх графика функции на отрезке (смотрите рисунок). Проделаем выкладки:

при (мы воспользовались легко доказываемым равенством ). Теорема доказана.

Пусть требуется вычислить несобственный интеграл , где и – многочлены степени m и n соответственно, , и не имеет нулей на действительной оси. Рассмотрим функцию комплексного переменного . При для нее выполняется условие (13), а, следовательно, и (14) (так как при ). Обозначив и проведя те же рассуждения, что и выше, приходим к тому, что для функции справедливы равенства (11) и (12):

.

Как видим, в данном случае на m и n накладываются менее жесткие ограничения: для срабатывания метода достаточно выполнения неравенства .

Учитывая, что , приходим к равенству

,

или

;

приравнивая затем действительные и мнимые части, получаем равенства

,

.

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Для подынтегральной функции , поэтому

.

Функция имеет две ИОТ – нули знаменателя: , . Обе они являются простыми полюсами, но лишь одна из них, , удовлетворяет условию . Следовательно,

Отсюда находим

VI. Операционное исчисление.

1. Преобразование Лапласа и его свойства.

Функцией-оригиналом называется комплекснозначная функция действительного аргумента , удовлетворяющая следующим условиям:

1)  определена и является кусочно-гладкой на всей числовой оси;

2)  при ;

3)  Существуют числа и , такие что ;

точная нижняя грань таких s называется порядком роста функции .

Простейшим примером функции-оригинала является функция Хевисайда

Произведение функций и обнуляет функцию при и не меняет ее значений при :

Для краткости всюду в дальнейшем будем писать вместо произведения .

Если – функция-оригинал, то преобразование Лапласа, определяемое равенством

,

ставит в соответствие функции другую функцию комплексного переменного . При этом называют изображением функции и пишут или .

Теорема 1. Если – функция-оригинал с показателем роста , то функция определена и является аналитической в полуплоскости .

Преобразование Лапласа обладает следующими свойствами (считаем , ):

Свойство 1 (линейность).

.

Свойство 2 (подобие).

.

Свойство 3 (запаздывание оригинала).

.

Свойство 4 (смещение изображения).

.

Свойство 5 (дифференцирование оригинала).

где .

Свойство 6 (дифференцирование изображения).

Свойство 7 (интегрирование оригинала).

.

Свойство 8 (интегрирование изображения).

,

где путь интегрирования соединяет точку p и бесконечно удаленную точку и целиком лежит в полуплоскости .

Имеет место следующая формула обращения преобразования Лапласа (формула Меллина): если , то

,

где интеграл берется вдоль любой прямой .

2. таблица оригиналов и изображений.

3. нахождение изображения по оригиналу.

Пример 1. Найти изображение функции .

Решение.

Пример 2. Найти изображение оригинала , заданного графически.

Решение. Запишем оригинал в аналитическом виде:

Представим в виде суммы оригиналов.

1) В промежутке .

2) В промежутке . Поэтому при

или

.

3) В промежутке . Поэтому при

или

.

4) Аналогично находим: при

или

Отсюда получим:

4. нахождение оригинала по изображению.

Пример 3. Найти оригинал изображения .

Решение. Найдем разложение функций и на сумму простейших дробей.

1) ;

;

Таким образом, .

Пользуясь теоремой запаздывания оригинала, находим:

.

2) .

Тогда: и .

Итак,

.

Сверткой функций-оригиналов и называется функция , определяемая правилом

.

Свертка функций-оригиналов также является функцией-оригиналом. Операция свертки обладает свойством коммутативности:

.

Теорема 2 (о произведении изображений). Если , , то

.

Пример 4. Найти оригинал функции (это первое слагаемое из предыдущего примера).

Решение. Обозначим , . Тогда

, .

Согласно теореме 2,

Следовательно,

.

Теорема 3 (первая теорема разложения). Если функция является аналитической в бесконечно удаленной точке (то есть функция

является аналитической в нуле), , и

,

то оригиналом является функция

.

Теорема 4 (вторая теорема разложения). Если является дробно-рациональной функцией и , то является изображением функции , где

,

где сумма берется по всем полюсам функции .

Пример. Найти оригинал функции (функция взята из предыдущего примера).

Решение. Функция имеет три изолированные особые точки: 0; ; . Согласно теореме 4,

.

Найдем эти вычеты. Точки 0 и являются простыми полюсами, поэтому

Таким образом,

.

И, наконец, пользуясь свойством запаздывания оригинала, получим:

.

5. решение задачи Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Пусть требуется решить задачу Коши

(1)

(2)

где – кусочно-дифференцируемая функция, имеющая конечный порядок роста. Решение задачи ищется в классе функций-оригиналов.

Пусть , . Применяя к обеим частям (1) преобразование Лапласа и пользуясь свойствами этого преобразования, получим операторное уравнение

.

Отсюда находим

,

и, зная , находим его оригинал – решение задачи (1)-(2).

Аналогично решаются уравнения более высокого порядка.

Пример 6. Решить задачу Коши

Решение. Ищем решение задачи в виде оригинала ; пусть . Имеем:

;

;

.

Данному уравнению соответствует операторное уравнение

;

отсюда находим

.

Для нахождения разложим на сумму простейших дробей:

;

;

Таким образом,

;

.

Решение задачи Коши с начальными условиями в точке ,

,

сводится к рассмотренному случаю путем замены .

6. Формула дюамеля.

Если , – функции-оригиналы и , , то имеют место равенства (формулы Дюамеля):

Эти формулы применяют при решении задачи Коши со сложной правой частью. Пусть требуется решить линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

(3)

с начальными условиями

, (4)

где – функция-оригинал, . Сначала решается уравнение

(5)

с теми же начальными условиями (4); пусть – решение задачи (5)-(4). Сведение уравнений (3) и (5) к операторным приводит к равенствам

(6)

для (3) и

(7)

для (5), где – некоторый многочлен относительно p. Из (6) выражаем :

; (8)

из (7) находим . Подставляя в (8), получим

.

Наконец, пользуясь формулой Дюамеля, находим

.

Пример 7. Решить задачу Коши

Решение. Решим вспомогательную задачу Коши

;

решение этой задачи обозначим ; пусть . Имеем:

;

;

.

Получаем операторное уравнение

,

откуда находим

.

Далее:

Решением исходной задачи является функция

7. решение систем линейных дифференциальных уравнений.

Операционное исчисление позволяет также решать системы линейных дифференциальных уравнений.

Пример 8. Решить систему линейных дифференциальных уравнений

с начальными условиями

.

Решение. Будем искать решение в виде функций-оригиналов и . Пусть , . Получим:

;

;

;

.

Системе дифференциальных уравнений соответствует следующая система линейных уравнений относительно и :

или

Решим эту систему уравнений методом Крамера:

Отсюда находим: