Как найти множество точек пересечения прямых - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

В евклидовой геометрии пересечение двух прямых может быть пустым множеством, точкой или прямой. Различение этих случаев и поиск точки пересечения используется, например, в компьютерной графике, при планировании движения^[en] и для обнаружения столкновений.

В трёхмерной евклидовой геометрии, если две прямые не лежат в одной плоскости, они называются скрещивающимися и не имеют точек пересечения. Если прямые находятся в одной плоскости, имеется три возможности. Если они совпадают, они имеют бесконечно много общих точек (а именно, все точки на этих прямых). Если прямые различны, но имеют один и тот же наклон, они параллельны и не имеют общих точек. В противном случае они имеют одну точку пересечения.

В неевклидовой геометрии две прямые могут пересекаться в нескольких точках и число непересекающихся с данной прямой других прямых (параллельных) может быть больше единицы.

Пересечение двух прямых[править | править код]

Необходимым условием пересечения двух прямых является принадлежность их одной плоскости, то есть эти прямые не должны быть скрещивающимися. Выполнение этого условия эквивалентно вырожденности тетраэдра, у которого две вершины лежат на одной прямой, а две другие — на другой (т.е. объём этого тетраэдра равен нулю). Алгебраическую форму этого условия можно посмотреть в статье «Проверка скрещенности».

Если заданы по две точки на каждой прямой[править | править код]

Рассмотрим пересечение двух прямых ${displaystyle L_{1},}$ и ${displaystyle L_{2},}$ на плоскости, где прямая ${displaystyle L_{1},}$ определена двумя различными точками ${displaystyle (x_{1},y_{1}),}$ и ${displaystyle (x_{2},y_{2}),}$ , а прямая ${displaystyle L_{2},}$ — различными точками ${displaystyle (x_{3},y_{3}),}$ и ${displaystyle (x_{4},y_{4}),}$ ^[1].

Пересечение прямых ${displaystyle L_{1},}$ и ${displaystyle L_{2},}$ можно найти при помощи определителей.

${displaystyle P_{x}={frac {begin{vmatrix}{begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\x_{2}&y_{2}end{vmatrix}}&{begin{vmatrix}x_{1}&1\x_{2}&1end{vmatrix}}\\{begin{vmatrix}x_{3}&y_{3}\x_{4}&y_{4}end{vmatrix}}&{begin{vmatrix}x_{3}&1\x_{4}&1end{vmatrix}}end{vmatrix}}{begin{vmatrix}{begin{vmatrix}x_{1}&1\x_{2}&1end{vmatrix}}&{begin{vmatrix}y_{1}&1\y_{2}&1end{vmatrix}}\\{begin{vmatrix}x_{3}&1\x_{4}&1end{vmatrix}}&{begin{vmatrix}y_{3}&1\y_{4}&1end{vmatrix}}end{vmatrix}}},!qquad P_{y}={frac {begin{vmatrix}{begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\x_{2}&y_{2}end{vmatrix}}&{begin{vmatrix}y_{1}&1\y_{2}&1end{vmatrix}}\\{begin{vmatrix}x_{3}&y_{3}\x_{4}&y_{4}end{vmatrix}}&{begin{vmatrix}y_{3}&1\y_{4}&1end{vmatrix}}end{vmatrix}}{begin{vmatrix}{begin{vmatrix}x_{1}&1\x_{2}&1end{vmatrix}}&{begin{vmatrix}y_{1}&1\y_{2}&1end{vmatrix}}\\{begin{vmatrix}x_{3}&1\x_{4}&1end{vmatrix}}&{begin{vmatrix}y_{3}&1\y_{4}&1end{vmatrix}}end{vmatrix}}},!}$

Определители можно переписать в виде:

${displaystyle {begin{aligned}(P_{x},P_{y})={bigg (}&{frac {(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})(x_{3}-x_{4})-(x_{1}-x_{2})(x_{3}y_{4}-y_{3}x_{4})}{(x_{1}-x_{2})(y_{3}-y_{4})-(y_{1}-y_{2})(x_{3}-x_{4})}},\&{frac {(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})(y_{3}-y_{4})-(y_{1}-y_{2})(x_{3}y_{4}-y_{3}x_{4})}{(x_{1}-x_{2})(y_{3}-y_{4})-(y_{1}-y_{2})(x_{3}-x_{4})}}{bigg )}end{aligned}}}$

Заметим, что точка пересечения относится к бесконечным прямым, а не отрезкам между точками, и она может лежать вне отрезков. Если (вместо решения за один шаг) искать решение в терминах кривых Безье первого порядка, то можно проверить параметры этих кривых 0.0 ≤ t ≤ 1.0 и 0.0 ≤ u ≤ 1.0 (t и u — параметры).

Если две прямые параллельны или совпадают, знаменатель обращается в ноль:

${displaystyle (x_{1}-x_{2})(y_{3}-y_{4})-(y_{1}-y_{2})(x_{3}-x_{4})=0.}$

Если прямые очень близки к параллельности (почти параллельны), при вычислении на компьютере могут возникнуть числовые проблемы и распознавание такого условия может потребовать подходящего теста на «неопределённость» для приложения. Более устойчивое и общее решение может быть получено при вращении отрезков таким образом, что один из них станет горизонтальным, а тогда параметрическое решение второй прямой легко получить. При решении необходимо внимательное рассмотрение специальных случаев (параллельность/совпадение прямых, наложение отрезков).

Если заданы уравнения прямых[править | править код]

Координаты и точки пересечения двух невертикальных прямых можно легко найти с помощью следующих подстановок и преобразований.

Предположим, что две прямые имеют уравнения и , где и — угловые коэффициенты прямых, а и — пересечения прямых с осью y. В точке пересечения прямых (если они пересекаются), обе координаты будут совпадать, откуда получаем равенство:

Мы можем преобразовать это равенство с целью выделения ,

а тогда

${displaystyle x={frac {d-c}{a-b}}}$

Чтобы найти координату y, всё что нам нужно, это подставить значение x в одну из формул прямых, например, в первую:

${displaystyle y=a{frac {d-c}{a-b}}+c}$

Отсюда получаем точку пересечения прямых

${displaystyle Pleft({frac {d-c}{a-b}},a{frac {d-c}{a-b}}+cright)=Pleft({frac {d-c}{a-b}},{frac {ad-bc}{a-b}}right)}$

Заметим, что при a = b две прямые параллельны. Если при этом c ≠ d, прямые различны и не имеют пересечений, в противном же случае прямые совпадают ^[2].

Использование однородных координат[править | править код]

При использовании однородных координат точка пересечения двух явно заданных прямых может быть найдена достаточно просто. В 2-мерном пространстве любая точка может быть определена как проекция 3-мерной точки, заданной тройкой . Отображение 3-мерных координат в 2-мерные происходит по формуле . Мы можем преобразовать точки в 2-мерном пространстве в однородные координаты, приравняв третью координату единице — .

Предположим, что мы хотим найти пересечение двух бесконечных прямых в 2-мерном пространстве, которые заданы формулами ${displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0}$ и ${displaystyle a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0}$ . Мы можем представить эти две прямые в линейных координатах^[en] как ${displaystyle U_{1}=(a_{1},b_{1},c_{1})}$ и ${displaystyle U_{2}=(a_{2},b_{2},c_{2})}$ ,

Пересечение двух прямых тогда просто задаётся формулами ^[3]

${displaystyle P'=(a_{p},b_{p},c_{p})=U_{1}times U_{2}=(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1},a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2},a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})}$

Если ${displaystyle c_{p}=0}$ , прямые не пересекаются.

Пересечение n прямых[править | править код]

Существование и выражение пересечения[править | править код]

В двухмерном пространстве[править | править код]

В двухмерном пространстве прямые числом больше двух почти достоверно не пересекаются в одной точке. Чтобы определить, пересекаются ли они в одной точке, и, если пересекаются, чтобы найти точку пересечения, запишем i-ое уравнение (i = 1, …,n) как ${displaystyle (a_{i1}quad a_{i2})(xquad y)^{T}=b_{i},}$ и скомпонуем эти уравнения в матричный вид

где i-ая строка n × 2 матрицы A равна ${displaystyle (a_{i1},a_{i2})}$ , w является 2 × 1 вектором (x, y)^T, а i-ый элемент вектора-столбца b равен b_i. Если столбцы матрицы A независимы, ранг матрицы равен 2. Тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы^[en] [A | b ] равен также 2, существует решение матричного уравнения, а тогда существует и точка пересечения n прямых. Точка пересечения, если таковая существует, задаётся формулой

${displaystyle w=A^{g}b=(A^{T}A)^{-1}A^{T}b,}$

где ${displaystyle A^{g}}$ — псевдообратная матрица матрицы . Альтернативно решение может быть найдено путём решения любых двух независимых уравнений. Но если ранг матрицы A равен 1, а ранг расширенной матрицы равен 2, решений нет. В случае же, когда ранг расширенной матрицы равен 1, все прямые совпадают.

В трёхмерном пространстве[править | править код]

Представленный выше подход без труда распространяется на трёхмерное пространство. В трёхмерном и более высоких пространствах даже две прямые почти наверняка не пересекаются. Пары непараллельных непересекающихся прямых называются скрещивающимися. Но когда пересечение существует, его можно найти следующим образом.

В трёхмерном пространстве прямая представляется пересечением двух плоскостей, каждая из которых задаётся формулой ${displaystyle (a_{i1}quad a_{i2}quad a_{i3})(xquad yquad z)^{T}=b_{i}.}$ Тогда множество n прямых может быть представлено в виде 2n уравнений от 3-мерного координатного вектора w = (x, y, z)^T:

где A — матрица 2n × 3, а b — 2n × 1. Как и ранее, единственная точка пересечения существует тогда и только тогда, когда A имеет полный ранг по столбцам, а расширенная матрица [A | b ] таковой не является. Единственная точка пересечения, если существует, задаётся формулой

${displaystyle w=(A^{T}A)^{-1}A^{T}b.}$

Ближайшая точка к непересекающимся прямым[править | править код]

В размерностях два и выше можно найти точку, которая является ближайшей к этим двум (или более) прямым в смысле наименьшей суммы квадратов.

В двухмерном пространстве[править | править код]

В случае двухмерного пространства представим прямую i как точку $p_{i}$ на прямой и единичную нормаль ${displaystyle {hat {n}}_{i}}$ , перпендикулярную прямой. То есть, если $x_{1}$ и $x_{2}$ — точки на прямой 1, то пусть ${displaystyle p_{1}=x_{1}}$ и

${displaystyle {hat {n}}_{1}:={begin{bmatrix}0&-1\1&0end{bmatrix}}(x_{2}-x_{1})/|x_{2}-x_{1}|}$

который является единичным вектором вдоль прямой, повёрнутым на 90º.

Заметим, что расстояние от точки x до прямой задаётся формулой

${displaystyle d(x,(p,n))=|(x-p)cdot {hat {n}}|=|(x-p)^{top }{hat {n}}|={sqrt {(x-p)^{top }{hat {n}}{hat {n}}^{top }(x-p)}}.}$

Следовательно, квадрат расстояния от x до прямой равен

${displaystyle d(x,(p,n))^{2}=(x-p)^{top }({hat {n}}{hat {n}}^{top })(x-p).}$

Сумма квадратов расстояний до набора прямых является целевой функцией:

${displaystyle E(x)=sum _{i}(x-p_{i})^{top }({hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top })(x-p_{i}).}$

Выражение можно преобразовать:

${displaystyle {begin{aligned}E(x)&=sum _{i}x^{top }{hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }x-x^{top }{hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }p_{i}-p_{i}^{top }{hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }x+p_{i}^{top }{hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }p_{i}\&=x^{top }left(sum _{i}{hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }right)x-2x^{top }left(sum _{i}{hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }p_{i}right)+sum _{i}p_{i}^{top }{hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }p_{i}.end{aligned}}}$

Чтобы найти минимум, продифференцируем по x и приравняем результат нулю:

${displaystyle {frac {partial E(x)}{partial x}}=0=2left(sum _{i}{hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }right)x-2left(sum _{i}{hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }p_{i}right)}$

Таким образом,

${displaystyle left(sum _{i}{hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }right)x=sum _{i}{hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }p_{i}}$

откуда

${displaystyle x=left(sum _{i}{hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }right)^{-1}left(sum _{i}{hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }p_{i}right).}$

В трёхмерном пространстве[править | править код]

Хотя в размерностях выше двух нормаль ${displaystyle {hat {n}}_{i}}$ не определить, его можно обобщить на любую размерность, если заметить, что ${displaystyle {hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }}$ является просто (симметричной) матрицей со всеми собственными значениями, равными единице, кроме нулевого собственного значения в направлении прямой, что задаёт полунорму между точкой $p_{i}$ и другой точкой. В пространстве любой размерности, если ${displaystyle {hat {v}}_{i}}$ является единичным вектором вдоль i-ой прямой, то

${displaystyle {hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }}$

превращается в ${displaystyle E-{hat {v}}_{i}{hat {v}}_{i}^{top }}$

где E — единичная матрица, а тогда

${displaystyle x=left(sum _{i}E-{hat {v}}_{i}{hat {v}}_{i}^{top }right)^{-1}left(sum _{i}(E-{hat {v}}_{i}{hat {v}}_{i}^{top })p_{i}right).}$

См. также[править | править код]

Пересечение отрезков
Расстояние от точки до прямой на плоскости
Аксиома параллельности Евклида

Примечания[править | править код]

↑ Weisstein, Eric W. “Line-Line Intersection.” From MathWorld. A Wolfram Web Resource. Дата обращения: 10 января 2008. Архивировано 10 октября 2007 года.
↑ Похожие выкладки можно найти в книге Делоне и Райкова (стр. 202-203)
↑ Homogeneous coordinates. robotics.stanford.edu. Дата обращения: 18 августа 2015. Архивировано 23 августа 2015 года.

Литература[править | править код]

Б. Н. Делоне, Д. А. Райков. Аналитическая геометрия. — М., Л.: ОГИЗ, Государственнон издательство технико-теоретической литературы, 1948. — Т. 1.

Ссылки[править | править код]

Distance between Lines and Segments with their Closest Point of Approach, applicable to two, three, or more dimensions.

Источник

Точка пересечения двух прямых на плоскости

Пересечение прямых

Для создания компьютерных игр, программ математических графиков, расчетов движения объектов и т.п. очень часто требуется найти точку пресечения прямых. Сначала необходимо на бумаге вывести и упростить формулы вычисления и далее эти формулы перевести в программный код.

Прямые это бесконечные линии, поэтому на плоскости они всегда пересекаются. Если прямые не пересекаются значит они параллельны. Частные случаи поведения прямых на плоскости: прямые неопределенны, прямые параллельны, прямые совпадают, одна из прямых параллельна оси X или Y. Общие случаи “нормального” пересечения прямых и частные случаи учитываются в программном коде класса Intersections прикрепленного исходника.

Прямые пересекаются

Даны две прямые AB и CD расположенные на одной плоскости. Они пересекаются и необходимо найти точку пересечения. За основу берем классическое уравнение прямой и подставляя данные получаем систему уравнений для двух прямых.

Точку пересечения можно найти, решая совместно уравнения прямых. Два уравнения – две неизвестных величины. Если количество уравнений больше или равно количеству неизвестных, то система решаема. Точка пересечения двух прямых это такая точка, которая принадлежит обеим прямым.

Классическое уравнение прямой: Запишем уравнение в одну строчку: Вычислим коэффициенты и свободные члены: В итоге получаем уравнение прямой с коэффициентами:

Уравнение с линейными коэффициентами отличается от уравнения с угловым коэффициентом отсутствием операции деления. Минимум операций деления упрощает создание устойчивого программного кода.

Точка пересечения прямых

Координаты точки пересечения это числа которые являются решением для каждого из уравнений прямых. Решая систему из двух уравнений находим в какой точке пересекаются прямые AB и CD.

Подставляем известные данные: Получаем два уравнения: Решаем систему уравнений: Найдено, прямые пересекаются в точке с координатами:

Прямые параллельны

Если прямые параллельны и лежат друг от друга на расстоянии, то у них нет общих точек. Совместная система уравнений не имеет решений. Эти уравнения существуют как бы сами по себе. В точности как их параллельные прямые.

Две прямые могут полностью совпадать, в таком случае у них бесконечное количество общих точек. Совпадение прямых означает равность коэффициентов и свободных членов уравнений. Совпадающие прямые имеют идентичные уравнения.

Применяя формулу у.2 выведем уравнения прямых: Получаем систему уравнений:

Итог: система уравнений параллельных прямых не имеет решений.

Уравнение в программный код

На бумаге всё славненько, надо также сделать и в программном коде. Но программы не разбираются в уравнениях, им подавай переменные, постоянные и функции. Программный код не терпит неопределенности, он требует точные данные. Очень желательно строить выражения без операций деления. Преобразуем в программный код уравнение с коэффициентами (у.3) описанное выше. Для каждой прямой своё уравнение и переменные.

Точки определяющие прямые запишем в структуры Point. У каждой прямой две точки и они являются входными данными:
Определяем коэффициенты и свободные члены уравнений. Записываем их в соответствующие переменные:
Точка пересечения также будет храниться в структуре Point:

Вывод результата

В выражениях присутствует деление. Но знаменатель только тогда и только тогда будет равен нулю, когда обе прямые будут параллельны или оси X или оси Y. В этом случае они не пересекаются или совпадают. Это отслеживаемые состояния в классе Intersections , и вывод информации заканчивается до выбрасывания исключения при делении на ноль.

Проверка параллельности и совпадения

Проверка на перпендикулярность

Класс Intersections

Исходник представляет собой два класса: класс вычисления точки пересечения прямых и информационный класс выдающий множество дополнительных сведений о свойствах исследуемых прямых.

Краткий листинг исходника дающий представление о структуре классов:

Применение класса Intersections

Класс class Intersections легко встраивается в любой исходный код. Точки определяющие прямые являются входными данными. На выходе получаем результат пересечения, координаты точки пересечения. Для дальнейшей обработки результатов можно использовать идентификатор свойства пересечения и дополнительную текстовую информацию.

Прикрепленный файл

Прикрепленный файл архива содержит исходник классов Intersections, Info и программу демонстрирующую работу класса Intersections в режиме вычисления точки пересечения прямых на плоскости. Исходный код написан на языке C#, но его легко можно преобразовать в код на другом языке программирования. Для работы демонстрационной программы необходима установка платформы. .NET Core 3.1.

Скачать исходник

Файл: IntersectionsLineLine.zip
Размер: 84 Кбайт
Загрузки: 504

Похожая тематика

Пересечение луча и прямой на плоскости »

Пересечение прямых. Точка пересечения двух прямых

Если точка M, является точкой пересечения двух прямых, то она должна принадлежать этим прямым, а ее координаты удовлетворять уравнения этих прямых.

Точка пересечения двух прямых на плоскости

Если система уравнений:

имеет единственное решение, то прямые пересекаются;
имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают;
не имеет решений, то прямые не пересекаются (прямые параллельны между собой)

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

y = 2 x – 1 y = -3 x + 1

Вычтем из первого уравнения второе

y – y = 2 x – 1 – (-3 x + 1) y = -3 x + 1 => 0 = 5 x – 2 y = -3 x + 1

Из первого уравнения найдем значение x

5 x = 2 y = -3 x + 1 => x = 2 5 = 0.4 y = -3 x + 1

Подставим значение x во второе уравнение и найдем значение y

x = 0.4 y = -3·(0.4) + 1 = -1.2 + 1 = -0.2

Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты (0.4, -0.2)

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

y = 2 x – 1 x = 2 t + 1 y = t

В первое уравнение подставим значения x и y из второго и третьего уравнений.

t = 2·(2 t + 1) – 1 x = 2 t + 1 y = t => t = 4 t + 1 x = 2 t + 1 y = t =>

-3 t = 1 x = 2 t + 1 y = t => t = – 1 3 x = 2 t + 1 y = t

Подставим значение t во второе и третье уравнение

t = – 1 3 x = 2·(- 1 3 ) + 1 = – 2 3 + 1 = 1 3 y = – 1 3

Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты ( 1 3 , – 1 3 )

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

2 x + 3 y = 0 x – 2 3 = y 4

Из второго уравнения выразим y через x

2 x + 3 y = 0 y = 4· x – 2 3

Подставим y в первое уравнение

2 x + 3·4· x – 2 3 = 0 y = 4· x – 2 3 => 2 x + 4·( x – 2) = 0 y = 4· x – 2 3 =>

2 x + 4 x – 8 = 0 y = 4· x – 2 3 => 6 x = 8 y = 4· x – 2 3 =>

x = 8 6 = 4 3 y = 4· x – 2 3 => x = 8 6 = 4 3 y = 4· 4/3 – 2 3 = 4· -2/3 3 = – 8 9

Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты ( 4 3 , – 8 9 )

Решение: Обе прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом. Так как k ₁ = k ₂ = 2, то прямые параллельны. Так как эти прямые не совпадают то точек пересечения нет.

Решим также эту задачу используя систему уравнений:

y = 2 x – 1 y = 2 x + 1

Вычтем из первого уравнения второе

y – y = 2 x – 1 – (2 x + 1) y = -3 x + 1 => 0 = -2 y = -3 x + 1

В первом уравнении получили противоречие (0 ≠ -2), значит система не имеет решений – отсутствуют точки пересечения прямых (прямые параллельны).

Ответ. Прямые не пересекаются (прямые параллельны).

Решение: Подставим координаты точки N в уравнения прямых.

Ответ. Так как оба уравнения превратились в тождества, то точка N – точка пересечения этих прямых.

Точка пересечения двух прямых в пространстве

Если система уравнений:

имеет единственное решение, то прямые пересекаются;
имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают;
не имеет решений, то прямые не пересекаются (прямые параллельны или скрещиваются между собой)

Решение: Составим систему уравнений

x – 1 = a y – 1 = a z – 1 = a x – 3 -2 = b 2 – y = b z = b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 x – 3 -2 = b 2 – y = b z = b =>

Подставим значения x , y , z из 1, 2, 3 уравнений в 4, 5, 6 уравнения

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a + 1 – 3 -2 = b 2 – ( a + 1) = b a + 1 = b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a – 2 -2 = b 1 – a = b a + 1 = b

К шестому уравнению добавим пятое уравнение

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a – 2 -2 = b 1 – a = b a + 1 + (1 – a ) = b + b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a – 2 -2 = b 1 – a = b b = 1

Подставим значение b в четвертое и пятое уравнения

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a – 2 -2 = 1 1 – a = 1 b = 1 => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a – 2 = -2 a = 0 b = 1 =>

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a = 0 a = 0 b = 1 => x = 0 + 1 = 1 y = 0 + 1 = 1 z = 0 + 1 = 1 a = 0 a = 0 b = 1

Ответ. Прямые пересекаются в точке с координатами (1, 1, 1).

Решение: Составим систему уравнений заменив во втором уравнении параметр t на a

x = 2 t – 3 y = t z = – t + 2 x = a + 1 y = 3 a – 2 z = 3

Подставим значения x , y , z из 1, 2, 3 уравнений в 4, 5, 6 уравнения

x = 2 t – 3 y = t z = – t + 2 2 t – 3 = a + 1 t = 3 a – 2 – t + 2 = 3 => x = 2 t – 3 y = t z = – t + 2 2 t = a + 4 t = 3 a – 2 t = -1 =>

Подставим значение t из шестого уравнения в остальные уравнения

x = 2·(-1) – 3 y = (-1) z = -(-1) + 2 2·(-1) = a + 4 -1 = 3 a – 2 t = -1 => x = -5 y = -1 z = 3 a = -6 a = 1 3 t = -1

Ответ. Так как -6 ≠ 1 3 , то прямые не пересекаются.

Координаты точки пересечения двух прямых – примеры нахождения

Для того, чтобы решить геометрическую задачу методом координат, необходима точка пересечения, координаты которой используются при решении. Возникает ситуация, когда требуется искать координаты пересечения двух прямых на плоскости или определить координаты тех же прямых в пространстве. Данная статья рассматривает случаи нахождения координат точек, где пересекаются заданные прямые.

Точка пересечения двух прямых – определение

Необходимо дать определение точкам пересечения двух прямых.

Раздел взаимного расположения прямых на плоскости показывает, что они могут совпадать , быть параллельными, пересекаться в одной общей точке или скрещивающимися. Две прямые, находящиеся в пространстве, называют пересекающимися, если они имеют одну общую точку.

Определение точки пересечения прямых звучит так:

Точка, в которой пересекаются две прямые, называют их точкой пересечения. Иначе говоря, что точка пересекающихся прямых и есть точка пересечения.

Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Нахождение координат точки пересечения двух прямых на плоскости

Перед нахождением координат точки пересечения двух прямых, необходимо рассмотреть предлагаемый ниже пример.

Если на плоскости имеется система координат О х у , то задаются две прямые a и b . Прямой a соответствует общее уравнение вида A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 , для прямой b – A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Тогда M 0 ( x 0 , y 0 ) является некоторой точкой плоскости необходимо выявить , будет ли точка М 0 являться точкой пересечения этих прямых.

Чтобы решить поставленную задачу, необходимо придерживаться определения. Тогда прямые должны пересекаться в точке, координаты которой являются решением заданных уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Значит, координаты точки пересечения подставляются во все заданные уравнения. Если они при подстановке дают верное тождество, тогда M 0 ( x 0 , y 0 ) считается их точкой пересечения.

Даны две пересекающиеся прямые 5 x – 2 y – 16 = 0 и 2 x – 5 y – 19 = 0 . Будет ли точка М 0 с координатами ( 2 , – 3 ) являться точкой пересечения.

Чтобы пересечение прямых было действительным, необходимо, чтобы координаты точки М 0 удовлетворяли уравнениям прямых. Это проверяется при помощи их подстановки. Получаем, что

5 · 2 – 2 · ( – 3 ) – 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 · 2 – 5 · ( – 3 ) – 19 = 0 ⇔ 0 = 0

Оба равенства верные, значит М 0 ( 2 , – 3 ) является точкой пересечения заданных прямых.

Изобразим данное решение на координатной прямой рисунка, приведенного ниже.

Ответ: заданная точка с координатами ( 2 , – 3 ) будет являться точкой пересечения заданных прямых.

Пересекутся ли прямые 5 x + 3 y – 1 = 0 и 7 x – 2 y + 11 = 0 в точке M 0 ( 2 , – 3 ) ?

Для решения задачи необходимо подставить координаты точки во все уравнения. Получим, что

5 · 2 + 3 · ( – 3 ) – 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 · 2 – 2 · ( – 3 ) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

Второе равенство не является верным, значит, что заданная точка не принадлежит прямой 7 x – 2 y + 11 = 0 . Отсюда имеем, что точка М 0 не точка пересечения прямых.

Чертеж наглядно показывает, что М 0 – это не точка пересечения прямых. Они имеют общую точку с координатами ( – 1 , 2 ) .

Ответ: точка с координатами ( 2 , – 3 ) не является точкой пересечения заданных прямых.

Переходим к нахождению координат точек пересечения двух прямых при помощи заданных уравнений на плоскости.

Задаются две пересекающиеся прямые a и b уравнениями вида A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 , расположенных в О х у . При обозначении точки пересечения М 0 получим, что следует продолжить поиск координат по уравнениям A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .

Из определения очевидно, что М 0 является общей точкой пересечения прямых. В этом случае ее координаты должны удовлетворять уравнениям A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Иными словами это и есть решение полученной системы A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .

Значит, для нахождения координат точки пересечения , необходимо все уравнения добавить в систему и решить ее.

Заданы две прямые x – 9 y + 14 = 0 и 5 x – 2 y – 16 = 0 на плоскости. необходимо найти их пересечение.

Данные по условию уравнения необходимо собрать в систему, после чего получим x – 9 y + 14 = 0 5 x – 2 y – 16 = 0 . Чтобы решить его, разрешается первое уравнение относительно x , подставляется выражение во второе:

x – 9 y + 14 = 0 5 x – 2 y – 16 = 0 ⇔ x = 9 y – 14 5 x – 2 y – 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y – 14 5 · 9 y – 14 – 2 y – 16 = 0 ⇔ x = 9 y – 14 43 y – 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y – 14 y = 2 ⇔ x = 9 · 2 – 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2

Получившиеся числа являются координатами, которые необходимо было найти.

Ответ: M 0 ( 4 , 2 ) является точкой пересечения прямых x – 9 y + 14 = 0 и 5 x – 2 y – 16 = 0 .

Поиск координат сводится к решению системы линейных уравнений. Если по условию дан другой вид уравнения, тогда следует привести его к нормальному виду.

Определить координаты точек пересечения прямых x – 5 = y – 4 – 3 и x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R .

Для начала необходимо привести уравнения к общему виду. Тогда получаем, что x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R преобразуется таким образом:

x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ ⇔ λ = x – 4 9 λ = y – 2 1 ⇔ x – 4 9 = y – 2 1 ⇔ ⇔ 1 · ( x – 4 ) = 9 · ( y – 2 ) ⇔ x – 9 y + 14 = 0

После чего беремся за уравнение канонического вида x – 5 = y – 4 – 3 и преобразуем. Получаем, что

x – 5 = y – 4 – 3 ⇔ – 3 · x = – 5 · y – 4 ⇔ 3 x – 5 y + 20 = 0

Отсюда имеем, что координаты – это точка пересечения

x – 9 y + 14 = 0 3 x – 5 y + 20 = 0 ⇔ x – 9 y = – 14 3 x – 5 y = – 20

Применим метод Крамера для нахождения координат:

∆ = 1 – 9 3 – 5 = 1 · ( – 5 ) – ( – 9 ) · 3 = 22 ∆ x = – 14 – 9 – 20 – 5 = – 14 · ( – 5 ) – ( – 9 ) · ( – 20 ) = – 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = – 110 22 = – 5 ∆ y = 1 – 14 3 – 20 = 1 · ( – 20 ) – ( – 14 ) · 3 = 22 ⇒ y = ∆ y ∆ = 22 22 = 1

Ответ: M 0 ( – 5 , 1 ) .

Имеется еще способ для нахождения координат точки пересечения прямых, находящихся на плоскости. Он применим, когда одна из прямых задается параметрическими уравнениями, имеющими вид x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R . Тогда вместо значения x подставляется x = x 1 + a x · λ и y = y 1 + a y · λ , где получим λ = λ 0 , соответствующее точке пересечения, имеющей координаты x 1 + a x · λ 0 , y 1 + a y · λ 0 .

Определить координаты точки пересечения прямой x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R и x – 5 = y – 4 – 3 .

Необходимо выполнить подстановку в x – 5 = y – 4 – 3 выражением x = 4 + 9 · λ , y = 2 + λ , тогда получим:

4 + 9 · λ – 5 = 2 + λ – 4 – 3

При решении получаем, что λ = – 1 . Отсюда следует, что имеется точка пересечения между прямыми x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R и x – 5 = y – 4 – 3 . Для вычисления координат необходимо подставить выражение λ = – 1 в параметрическое уравнение. Тогда получаем, что x = 4 + 9 · ( – 1 ) y = 2 + ( – 1 ) ⇔ x = – 5 y = 1 .

Ответ: M 0 ( – 5 , 1 ) .

Для полного понимания темы, необходимо знать некоторые нюансы.

Предварительно необходимо понять расположение прямых. При их пересечении мы найдем координаты, в других случаях решения существовать не будет. Чтобы не делать эту проверку, можно составлять систему вида A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 При наличии решения делаем вывод о том, что прямые пересекаются. Если решение отсутствует, то они параллельны. Когда система имеет бесконечное множество решений, тогда говорят, что они совпадают.

Даны прямые x 3 + y – 4 = 1 и y = 4 3 x – 4 . Определить, имеют ли они общую точку.

Упрощая заданные уравнения, получаем 1 3 x – 1 4 y – 1 = 0 и 4 3 x – y – 4 = 0 .

Следует собрать уравнения в систему для последующего решения:

1 3 x – 1 4 y – 1 = 0 1 3 x – y – 4 = 0 ⇔ 1 3 x – 1 4 y = 1 4 3 x – y = 4

Отсюда видно, что уравнения выражаются друг через друга, тогда получим бесконечное множество решений. Тогда уравнения x 3 + y – 4 = 1 и y = 4 3 x – 4 определяют одну и ту же прямую. Поэтому нет точек пересечения.

Ответ: заданные уравнения определяют одну и ту же прямую.

Найти координаты точки пересекающихся прямых 2 x + ( 2 – 3 ) y + 7 = 0 и 2 3 + 2 x – 7 y – 1 = 0 .

По условию возможно такое, прямые не будут пересекаться. Необходимо составить систему уравнений и решать. Для решения необходимо использовать метод Гаусса, так как с его помощью есть возможность проверить уравнение на совместимость. Получаем систему вида:

2 x + ( 2 – 3 ) y + 7 = 0 2 ( 3 + 2 ) x – 7 y – 1 = 0 ⇔ 2 x + ( 2 – 3 ) y = – 7 2 ( 3 + 2 ) x – 7 y = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 – 3 y = – 7 2 ( 3 + 2 ) x – 7 y + ( 2 x + ( 2 – 3 ) y ) · ( – ( 3 + 2 ) ) = 1 + – 7 · ( – ( 3 + 2 ) ) ⇔ ⇔ 2 x + ( 2 – 3 ) y = – 7 0 = 22 – 7 2

Получили неверное равенство, значит система не имеет решений. Делаем вывод, что прямые являются параллельными. Точек пересечения нет.

Второй способ решения.

Для начала нужно определить наличие пересечения прямых.

n 1 → = ( 2 , 2 – 3 ) является нормальным вектором прямой 2 x + ( 2 – 3 ) y + 7 = 0 , тогда вектор n 2 → = ( 2 ( 3 + 2 ) , – 7 – нормальный вектор для прямой 2 3 + 2 x – 7 y – 1 = 0 .

Необходимо выполнить проверку коллинеарности векторов n 1 → = ( 2 , 2 – 3 ) и n 2 → = ( 2 ( 3 + 2 ) , – 7 ) . Получим равенство вида 2 2 ( 3 + 2 ) = 2 – 3 – 7 . Оно верное, потому как 2 2 3 + 2 – 2 – 3 – 7 = 7 + 2 – 3 ( 3 + 2 ) 7 ( 3 + 2 ) = 7 – 7 7 ( 3 + 2 ) = 0 . Отсюда следует, что векторы коллинеарны. Значит, прямые являются параллельными и не имеют точек пересечения.

Ответ: точек пересечения нет, прямые параллельны.

Найти координаты пересечения заданных прямых 2 x – 1 = 0 и y = 5 4 x – 2 .

Для решения составляем систему уравнений. Получаем

2 x – 1 = 0 5 4 x – y – 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x – y = 2

Найдем определитель основной матрицы. Для этого 2 0 5 4 – 1 = 2 · ( – 1 ) – 0 · 5 4 = – 2 . Так как он не равен нулю, система имеет 1 решение. Отсюда следует, что прямые пересекаются. Решим систему для нахождения координат точек пересечения:

2 x = 1 5 4 x – y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x – y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 · 1 2 – y = 2 ⇔ x = 1 2 y = – 11 8

Получили, что точка пересечения заданных прямых имеет координаты M 0 ( 1 2 , – 11 8 ) .

Ответ: M 0 ( 1 2 , – 11 8 ) .

Нахождения координат точки пересечения двух прямых в пространстве

Таким же образом находятся точки пересечения прямых пространства.

Когда заданы прямые a и b в координатной плоскости О х у z уравнениями пересекающихся плоскостей, то имеется прямая a , которая может быть определена при помощи заданной системы A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 а прямая b – A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 .

Когда точка М 0 является точкой пересечения прямых, тогда ее координаты должны быть решениями обоих уравнений. Получим линейные уравнения в системе:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0

Рассмотрим подобные задания на примерах.

Найти координаты точки пересечения заданных прямых x – 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 и 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x – 2 z – 4 = 0

Составляем систему x – 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x – 2 z – 4 = 0 и решим ее. Чтобы найти координаты, необходимо решать через матрицу. Тогда получим основную матрицу вида A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 – 2 и расширенную T = 1 0 0 1 0 1 2 – 3 4 0 – 2 4 . Определяем ранг матрицы по Гауссу.

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = – 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 – 3 3 2 0 – 3 4 0 – 2 4 = 0

Отсюда следует, что ранг расширенной матрицы имеет значение 3 . Тогда система уравнений x – 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x – 27 – 4 = 0 в результате дает только одно решение.

Базисный минор имеет определитель 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = – 4 ≠ 0 , тогда последнее уравнение не подходит. Получим, что x – 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x – 2 z – 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = – 3 3 x + 2 y – 3 . Решение системы x = 1 y + 2 z = – 3 3 x + 2 y = – 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = – 3 3 · 1 + 2 y = – 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = – 3 y = – 3 ⇔ ⇔ x = 1 – 3 + 2 z = – 3 y = – 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = – 3 .

Значит, имеем, что точка пересечения x – 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 и 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x – 2 z – 4 = 0 имеет координаты ( 1 , – 3 , 0 ) .

Ответ: ( 1 , – 3 , 0 ) .

Система вида A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 имеет только одно решение. Значит, прямые a и b пересекаются.

В остальных случаях уравнение не имеет решения, то есть и общих точек тоже. То есть невозможно найти точку с координатами, так как ее нет.

Поэтому система вида A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 решается методом Гаусса. При ее несовместимости прямые не являются пересекающимися. Если решений бесконечное множество, то они совпадают.

Можно произвести решение при помощи вычисления основного и расширенного ранга матрицы, после чего применить теорему Кронекера-Капелли. Получим одно, множество или полное отсутствие решений.

Заданы уравнения прямых x + 2 y – 3 z – 4 = 0 2 x – y + 5 = 0 и x – 3 z = 0 3 x – 2 y + 2 z – 1 = 0 . Найти точку пересечения.

Для начала составим систему уравнений. Получим, что x + 2 y – 3 z – 4 = 0 2 x – y + 5 = 0 x – 3 z = 0 3 x – 2 y + 2 z – 1 = 0 . решаем ее методом Гаусса:

1 2 – 3 4 2 – 1 0 – 5 1 0 – 3 0 3 – 2 2 1

1 2 – 3 4 0 – 5 6 – 13 0 – 2 0 – 4 0 – 8 11 – 11

1 2 – 3 4 0 – 5 6 – 13 0 0 – 12 5 6 5 0 0 7 5 – 159 5

1 2 – 3 4 0 – 5 6 – 13 0 0 – 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Очевидно, что система не имеет решений, значит прямые не пересекаются. Точки пересечения нет.

Ответ: нет точки пересечения.

Если прямые заданы при помощи кононических или параметрических уравнений, нужно привести к виду уравнений пересекающихся плоскостей, после чего найти координаты.

Заданы две прямые x = – 3 – λ y = – 3 · λ z = – 2 + 3 · λ , λ ∈ R и x 2 = y – 3 0 = z 5 в О х у z . Найти точку пересечения.

Задаем прямые уравнениями двух пересекающихся плоскостей. Получаем, что

x = – 3 – λ y = – 3 · λ z = – 2 + 3 · λ ⇔ λ = x + 3 – 1 λ = y – 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 – 1 = y – 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 – 1 = y – 3 x + 3 – 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x – y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y – 3 0 = z 5 ⇔ y – 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y – 3 = 0 5 x – 2 z = 0

Находим координаты 3 x – y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y – 3 = 0 5 x – 2 z = 0 , для этого посчитаем ранги матрицы. Ранг матрицы равен 3 , а базисный минор 3 – 1 0 3 0 1 0 1 0 = – 3 ≠ 0 , значит, что из системы необходимо исключить последнее уравнение. Получаем, что

3 x – y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y – 3 = 0 5 x – 2 z = 0 ⇔ 3 x – y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y – 3 = 0

Решим систему методом Крамер. Получаем, что x = – 2 y = 3 z = – 5 . Отсюда получаем, что пересечение заданных прямых дает точку с координатами ( – 2 , 3 , – 5 ) .

[spoiler title=”источники:”]

http://ru.onlinemschool.com/math/library/analytic_geometry/lines_intersection/

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/koordinaty-tochki-peresechenija-dvuh-prjamyh-prime/

[/spoiler]

Источник

Загрузить PDF

В двумерном пространстве две прямые пересекаются только в одной точке,^[1] задаваемой координатами (х,y). Так как обе прямые проходят через точку их пересечения, то координаты (х,y) должны удовлетворять обоим уравнениям, которые описывают эти прямые. Воспользовавшись некоторыми дополнительными навыками, вы сможете находить точки пересечения парабол и других квадратичных кривых.

1

Запишите уравнение каждой прямой, обособив переменную «у» на левой стороне уравнения. Другие члены уравнения должны размещаться на правой стороне уравнения. Возможно, данное вам уравнение вместо «у» будет содержать переменную f(x) или g(x); в этом случае обособьте такую переменную. Для обособления переменной выполните соответствующие математические операции на обеих сторонах уравнения.
2

Приравняйте выражения, расположенные с правой стороны каждого уравнения. Наша задача — найти точку пересечения обеих прямых, то есть точку, координаты (х,у) которой удовлетворяют обоим уравнениям. Так как на левой стороне каждого уравнения находится переменная «у», то выражения, расположенные с правой стороны каждого уравнения, можно приравнять. Запишите новое уравнение.
3

Найдите значение переменной «х». Новое уравнение содержит только одну переменную «х». Для нахождения «х» обособьте эту переменную на левой стороне уравнения, выполнив соответствующие математические операции на обеих сторонах уравнения. Вы должны получить уравнение вида х = __ (если это невозможно, перейдите в конец этого раздела).
4

Используйте найденное значение переменной «х» для вычисления значения переменной «у». Для этого подставьте найденное значение «х» в уравнение (любое) прямой.
5

Проверьте ответ. Для этого подставьте значение «х» в другое уравнение прямой и найдите значение «у». Если вы получите разные значение «у», проверьте правильность ваших вычислений.
6

Запишите координаты (х,у). Вычислив значения «х» и «у», вы нашли координаты точки пересечения двух прямых. Запишите координаты точки пересечения в виде (х,у).
7

Вычисления в особых случаях. В некоторых случаях значение переменной «х» найти нельзя. Но это не значит, что вы допустили ошибку. Особый случай имеет место при выполнении одного из следующих условий:

Реклама

1
Определение квадратичной функции. В квадратичной функции одна или несколько переменных имеют вторую степень (но не выше), например, $x^{2}$ или $y^{2}$ . Графиками квадратичных функций являются кривые, которые могут не пересекаться или пересекаться в одной или двух точках. В этом разделе мы расскажем вам, как найти точку или точки пересечения квадратичных кривых.
- Если уравнение включает выражение в скобках, раскройте их, чтобы удостовериться, что функция является квадратичной. Например, функция является квадратичной, так как, раскрыв скобки, вы получите $y=x^{2}+3x.$
- Функция, описывающая окружность, включает как $x^{2}$ , так и $y^{2}$ .^[2]^[3] Если у вас возникли проблемы при решении задач с такой функцией, перейдите в раздел «Советы».
2

Перепишите каждое уравнение, обособив переменную «у» на левой стороне уравнения. Другие члены уравнения должны размещаться на правой стороне уравнения.
3

Приравняйте выражения, расположенные с правой стороны каждого уравнения. Так как на левой стороне каждого уравнения находится переменная «у», то выражения, расположенные с правой стороны каждого уравнения, можно приравнять.
4

Перенесите все члены полученного уравнения на его левую сторону, а на правой стороне запишите 0. Для этого выполните базовые математические операции. Это позволит вам решить полученное уравнение.
5
6

Не забудьте про вторую точку пересечения двух графиков. В спешке можно забыть про вторую точку пересечения. Вот как найти координаты «х» двух точек пересечения:
7

Графики пересекаются в одной точке или вообще не пересекаются. Такие ситуации имеют место при соблюдении следующих условий:
8

Подставьте найденное значение переменной «х» в уравнение (любое) кривой. Так вы найдете значение переменной «у». Если у вас есть два значения переменной «х», проделайте описанный процесс с обоими значениями «х».
9

Запишите координаты точки пересечения в виде (х,у). Вычислив значения «х» и «у», вы нашли координаты точки пересечения двух графиков. Если вы определили по два значения «х» и «у», запишите две пары координат, не перепутав соответствующие значения «х» и «у».

Реклама

Советы

Функция, описывающая окружность, включает как $x^{2}$ , так и $y^{2}$ . Для нахождения точки (точек) пересечения окружности и прямой вычислите «х», используя линейное уравнение.^[4] Затем подставьте найденное значение «х» в функцию, описывающую окружность, и вы получите простое квадратное уравнение, которое может не иметь решения или иметь одно или два решения.
Окружность и кривая (квадратичная или иная) могут не пересекаться или пересекаться в одной, двух, трех, четырех точках. В этом случае необходимо найти значение x² (а не «х»), а затем подставить его во вторую функцию. Вычислив «у», вы получите одно или два решения или вообще не получите решений. Теперь подставьте найденное значение «у» в одну из двух функций и найдите значение «х». В этом случае вы получите одно или два решения или вообще не получите решений.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 94 474 раза.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Точка пересечения двух прямых – определение

Необходимо дать определение точкам пересечения двух прямых.

Определение точки пересечения прямых звучит так:

Определение 1

Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Нахождение координат точки пересечения двух прямых на плоскости

Если на плоскости имеется система координат Оху, то задаются две прямые a и b. Прямой a соответствует общее уравнение вида A1x+B1y+C1=0, для прямой b – A2x+B2y+C2=0. Тогда M0(x0, y0) является некоторой точкой плоскости необходимо выявить , будет ли точка М0 являться точкой пересечения этих прямых.

Чтобы решить поставленную задачу, необходимо придерживаться определения. Тогда прямые должны пересекаться в точке, координаты которой являются решением заданных уравнений A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0. Значит, координаты точки пересечения подставляются во все заданные уравнения. Если они при подстановке дают верное тождество, тогда M0(x0, y0) считается их точкой пересечения.

Пример 1

Даны две пересекающиеся прямые 5x-2y-16=0 и 2x-5y-19=0. Будет ли точка М0 с координатами (2,-3) являться точкой пересечения.

Решение

Чтобы пересечение прямых было действительным, необходимо, чтобы координаты точки М0 удовлетворяли уравнениям прямых. Это проверяется при помощи их подстановки. Получаем, что

5·2-2·(-3)-16=0⇔0=02·2-5·(-3)-19=0⇔0=0

Оба равенства верные, значит М0 (2, -3) является точкой пересечения заданных прямых.

Изобразим данное решение на координатной прямой рисунка, приведенного ниже.

Ответ: заданная точка с координатами (2,-3) будет являться точкой пересечения заданных прямых.

Пример 2

Пересекутся ли прямые 5x+3y-1=0 и 7x-2y+11=0 в точке M0 (2, -3)?

Решение

Для решения задачи необходимо подставить координаты точки во все уравнения. Получим, что

5·2+3·(-3)-1=0⇔0=07·2-2·(-3)+11=0⇔31=0

Второе равенство не является верным, значит, что заданная точка не принадлежит прямой 7x-2y+11=0. Отсюда имеем, что точка М0 не точка пересечения прямых.

Чертеж наглядно показывает, что М0– это не точка пересечения прямых. Они имеют общую точку с координатами (-1,2).

Ответ: точка с координатами (2,-3) не является точкой пересечения заданных прямых.

Переходим к нахождению координат точек пересечения двух прямых при помощи заданных уравнений на плоскости.

Задаются две пересекающиеся прямые a и b уравнениями вида A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0, расположенных в Оху. При обозначении точки пересечения М0 получим, что следует продолжить поиск координат по уравнениям A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0.

Из определения очевидно, что М0 является общей точкой пересечения прямых. В этом случае ее координаты должны удовлетворять уравнениям A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0. Иными словами это и есть решение полученной системы A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0.

Пример 3

Заданы две прямые x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0 на плоскости. необходимо найти их пересечение.

Решение

Данные по условию уравнения необходимо собрать в систему, после чего получим x-9y+14=05x-2y-16=0. Чтобы решить его, разрешается первое уравнение относительно x, подставляется выражение во второе:

x-9y+14=05x-2y-16=0⇔x=9y-145x-2y-16=0⇔⇔x=9y-145·9y-14-2y-16=0⇔x=9y-1443y-86=0⇔⇔x=9y-14y=2⇔x=9·2-14y=2⇔x=4y=2

Получившиеся числа являются координатами, которые необходимо было найти.

Ответ: M0 (4, 2) является точкой пересечения прямых x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0.

Пример 4

Определить координаты точек пересечения прямых x-5=y-4-3 и x=4+9·λy=2+λ, λ∈R.

Решение

Для начала необходимо привести уравнения к общему виду. Тогда получаем, что x=4+9·λy=2+λ, λ∈R преобразуется таким образом:

x=4+9·λy=2+λ⇔λ=x-49λ=y-21⇔x-49=y-21⇔⇔1·(x-4)=9·(y-2)⇔x-9y+14=0

После чего беремся за уравнение канонического вида x-5=y-4-3 и преобразуем. Получаем, что

x-5=y-4-3⇔-3·x=-5·y-4⇔3x-5y+20=0

Отсюда имеем, что координаты – это точка пересечения

x-9y+14=03x-5y+20=0⇔x-9y=-143x-5y=-20

Применим метод Крамера для нахождения координат:

∆=1-93-5=1·(-5)-(-9)·3=22∆x=-14-9-20-5=-14·(-5)-(-9)·(-20)=-110⇒x=∆x∆=-11022=-5∆y=1-143-20=1·(-20)-(-14)·3=22⇒y=∆y∆=2222=1

Ответ: M0 (-5, 1).

Имеется еще способ для нахождения координат точки пересечения прямых, находящихся на плоскости. Он применим, когда одна из прямых задается параметрическими уравнениями, имеющими вид x=x1+ax·λy=y1+ay·λ, λ∈R. Тогда вместо значения x подставляется x=x1+ax·λ и y=y1+ay·λ, где получим λ=λ0, соответствующее точке пересечения, имеющей координаты x1+ax·λ0, y1+ay·λ0.

Пример 5

Определить координаты точки пересечения прямой x=4+9·λy=2+λ, λ∈R и x-5=y-4-3.

Решение

Необходимо выполнить подстановку в x-5=y-4-3 выражением x=4+9·λ, y=2+λ, тогда получим:

4+9·λ-5=2+λ-4-3

При решении получаем, что λ=-1. Отсюда следует, что имеется точка пересечения между прямыми x=4+9·λy=2+λ, λ∈R и x-5=y-4-3. Для вычисления координат необходимо подставить выражение λ=-1 в параметрическое уравнение. Тогда получаем, что x=4+9·(-1)y=2+(-1)⇔x=-5y=1.

Ответ: M0 (-5, 1).

Для полного понимания темы, необходимо знать некоторые нюансы.

Предварительно необходимо понять расположение прямых. При их пересечении мы найдем координаты, в других случаях решения существовать не будет. Чтобы не делать эту проверку, можно составлять систему вида A1x+B1y+ C1=0A2x+B2+C2=0 При наличии решения делаем вывод о том, что прямые пересекаются. Если решение отсутствует, то они параллельны. Когда система имеет бесконечное множество решений, тогда говорят, что они совпадают.

Пример 6

Даны прямые x3+y-4=1 и y=43x-4. Определить, имеют ли они общую точку.

Решение

Упрощая заданные уравнения, получаем 13x-14y-1=0 и 43x-y-4=0.

Следует собрать уравнения в систему для последующего решения:

13x-14y-1=013x-y-4=0⇔13x-14y=143x-y=4

Отсюда видно, что уравнения выражаются друг через друга, тогда получим бесконечное множество решений. Тогда уравнения x3+y-4=1 и y=43x-4 определяют одну и ту же прямую. Поэтому нет точек пересечения.

Ответ: заданные уравнения определяют одну и ту же прямую.

Пример 7

Найти координаты точки пересекающихся прямых 2x+(2-3)y+7=0 и 23+2x-7y-1=0.

Решение

2x+(2-3)y+7=02(3+2)x-7y-1=0⇔2x+(2-3)y=-72(3+2)x-7y=1⇔⇔2x+2-3y=-72(3+2)x-7y+(2x+(2-3)y)·(-(3+2))=1+-7·(-(3+2))⇔⇔2x+(2-3)y=-70=22-72

Второй способ решения.

Для начала нужно определить наличие пересечения прямых.

n1→=(2, 2-3) является нормальным вектором прямой 2x+(2-3)y+7=0, тогда вектор n2→=(2(3+2), -7 – нормальный вектор для прямой 23+2x-7y-1=0.

Необходимо выполнить проверку коллинеарности векторов n1→=(2, 2-3) и n2→=(2(3+2), -7). Получим равенство вида 22(3+2)=2-3-7. Оно верное, потому как 223+2-2-3-7=7+2-3(3+2)7(3+2)=7-77(3+2)=0. Отсюда следует, что векторы коллинеарны. Значит, прямые являются параллельными и не имеют точек пересечения.

Ответ: точек пересечения нет, прямые параллельны.

Пример 8

Найти координаты пересечения заданных прямых 2x-1=0 и y=54x-2.

Решение

Для решения составляем систему уравнений. Получаем

2x-1=054x-y-2=0⇔2x=154x-y=2

Найдем определитель основной матрицы. Для этого 2054-1=2·(-1)-0·54=-2. Так как он не равен нулю, система имеет 1 решение. Отсюда следует, что прямые пересекаются. Решим систему для нахождения координат точек пересечения:

2x=154x-y=2⇔x=1245x-y=2⇔x=1254·12-y=2⇔x=12y=-118

Получили, что точка пересечения заданных прямых имеет координаты M0(12, -118).

Ответ: M0(12, -118).

Нахождения координат точки пересечения двух прямых в пространстве

Таким же образом находятся точки пересечения прямых пространства.

Когда заданы прямые a и b в координатной плоскости Охуz уравнениями пересекающихся плоскостей, то имеется прямая a , которая может быть определена при помощи заданной системы A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D1=0 а прямая b – A3x+B3y+C3z+D3=0A4x+B4y+C4z+D4=0.

Когда точка М0 является точкой пересечения прямых, тогда ее координаты должны быть решениями обоих уравнений. Получим линейные уравнения в системе:

A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0A3x+B3y+C3z+D3=0A4x+B4y+C4z+D4=0

Рассмотрим подобные задания на примерах.

Пример 9

Найти координаты точки пересечения заданных прямых x-1=0y+2z+3=0 и 3x+2y+3=04x-2z-4=0

Решение

Составляем систему x-1=0y+2z+3=03x+2y+3=04x-2z-4=0 и решим ее. Чтобы найти координаты, необходимо решать через матрицу. Тогда получим основную матрицу вида A=10001232040-2 и расширенную T=1001012-340-24. Определяем ранг матрицы по Гауссу.

Получаем, что

1=1≠0, 1001=1≠0, 100012320=-4≠0, 1001012-3320-340-24=0

Отсюда следует, что ранг расширенной матрицы имеет значение 3. Тогда система уравнений x-1=0y+2z+3=03x+2y+3=04x-27-4=0 в результате дает только одно решение.

Базисный минор имеет определитель 100012320=-4≠0, тогда последнее уравнение не подходит. Получим, что x-1=0y+2z+3=03x+2y+3=04x-2z-4=0⇔x=1y+2z=-33x+2y-3 . Решение системы x=1y+2z=-33x+2y=-3⇔x=1y+2z=-33·1+2y=-3⇔x=1y+2z=-3y=-3⇔⇔x=1-3+2z=-3y=-3⇔x=1z=0y=-3.

Значит, имеем, что точка пересечения x-1=0y+2z+3=0 и 3x+2y+3=04x-2z-4=0 имеет координаты (1, -3, 0).

Ответ: (1, -3, 0).

Система вида A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0A3x+B3y+C3z+D3=0A4x+B4y+C4z+D4=0 имеет только одно решение. Значит, прямые a и b пересекаются.

Поэтому система вида A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0A3x+B3y+C3z+D3=0A4x+B4y+C4z+D4=0 решается методом Гаусса. При ее несовместимости прямые не являются пересекающимися. Если решений бесконечное множество, то они совпадают.

Пример 10

Заданы уравнения прямых x+2y-3z-4=02x-y+5=0 и x-3z=03x-2y+2z-1=0. Найти точку пересечения.

Решение

Для начала составим систему уравнений. Получим, что x+2y-3z-4=02x-y+5=0x-3z=03x-2y+2z-1=0 . решаем ее методом Гаусса:

12-342-10-510-303-221~12-340-56-130-20-40-811-11~~12-340-56-1300-125650075-1595~12-340-56-1300-1256500031110

Очевидно, что система не имеет решений, значит прямые не пересекаются. Точки пересечения нет.

Ответ: нет точки пересечения.

Пример 11

Заданы две прямые x=-3-λy=-3·λz=-2+3·λ, λ∈R и x2=y-30=z5 в Охуz. Найти точку пересечения.

Решение

Задаем прямые уравнениями двух пересекающихся плоскостей. Получаем, что

x=-3-λy=-3·λz=-2+3·λ⇔λ=x+3-1λ=y-3λ=z+23⇔x+3-1=y-3=z+23⇔⇔x+3-1=y-3x+3-1=z+23⇔3x-y+9=03x+z+11=0x2=y-30=z5⇔y-3=0x2=z5⇔y-3=05x-2z=0

Находим координаты 3x-y+9=03x+z+11=0y-3=05x-2z=0, для этого посчитаем ранги матрицы. Ранг матрицы равен 3, а базисный минор 3-10301010=-3≠0, значит, что из системы необходимо исключить последнее уравнение. Получаем, что

3x-y+9=03x+z+11=0y-3=05x-2z=0⇔3x-y+9=03x+z+11=0y-3=0

Решим систему методом Крамер. Получаем, что x=-2y=3z=-5. Отсюда получаем, что пересечение заданных прямых дает точку с координатами (-2, 3, -5).

Ответ: (-2, 3, -5).

Источник

Нахождение точки пересечения двух прямых (и отрезков)

Время на прочтение
3 мин

Количество просмотров 41K

Введение

Довольно часто при разработке игр возникает необходимость находить точку пересечения прямых, отрезков, лучей и т.д. О том, как реализовать это максимально простым способом, в этой статье.

Мой способ

Задача

Даны координаты двух отрезков. Нужно узнать, пересекаются ли отрезки, и если да, в какой точке. Для этой цели напишем функцию.

Решение

Условные обозначения для исключения недопониманий: a — вектор a, a(y) — проекция вектора a на ось Y, a{x1,y1} — вектор a, заданный координатами x1,y1.

Представим наши отрезки в виде двух векторов: a{x2-x1; y2-y1} и b{x3-x4; y3-y4}. Обратите, внимание, что вектор b имеет противоположное от ожидаемого направление. Введём вектор c{x3-x1; y3-y1}. Заметим, что a*k+b*n=c, где k,n — некоторые коэффициенты. Таким образом, получаем систему уравнений:

a(x)*k+b(x)*n=c(x)
a(y)*k+b(y)*n=c(y)
Наша задача сводится к нахождению этих коэффициентов (правда сказать, достаточно найти лишь один из них).

Предлагаю домножить обе части нижнего уравнения на q= -a(x)/a(y). Так после сложения двух уравнений, мы сразу избавимся от k. Нахождение n сведётся к решению обыкновенного линейного уравнения. Важно обратить внимание, что у n может не быть решения.

Внимательный читатель заметит, что при a(y)=0, мы получим ошибку. Пропишем ветвление на этапе нахождения a(y). Этот случай ещё проще, ведь мы сразу получаем уравнение с одной неизвестной.

Рекомендую попробовать вывести n самостоятельно, так будет понятнее, что откуда берётся в коде ниже.

Зная n, можно найти точку пересечения, для этого мы отнимем от координаты точки (x3,y3) вектор b*n

Собираем воедино

float dot[2];  // точка пересечения

bool cross(float x1, float y1, float x2, float y2, float x3, float y3, float x4, float y4) {
    float n;
    if (y2 - y1 != 0) {  // a(y)
        float q = (x2 - x1) / (y1 - y2);   
        float sn = (x3 - x4) + (y3 - y4) * q; if (!sn) { return 0; }  // c(x) + c(y)*q
        float fn = (x3 - x1) + (y3 - y1) * q;   // b(x) + b(y)*q
        n = fn / sn;
    }
    else {
        if (!(y3 - y4)) { return 0; }  // b(y)
        n = (y3 - y1) / (y3 - y4);   // c(y)/b(y)
    }
    dot[0] = x3 + (x4 - x3) * n;  // x3 + (-b(x))*n
    dot[1] = y3 + (y4 - y3) * n;  // y3 +(-b(y))*n
    return 1;
}

Данная функция принимает координаты вершин и возвращает значение 1, если прямые отрезков (именно прямые) пересекаются, иначе 0. Если же вам нужны координаты вершин, вы сможете взять их из массива dot[].

Важно: при введении двух совпадающих прямых, алгоритм выводит отсутствие пересечения. Алгоритм находит точку пересечения прямых, на которых лежат отрезки, поэтому точка может оказаться за пределами отрезка (что вам придётся дополнительно проверить в уже своём коде).

Применим функцию:

int main() {
    if (cross(1,1,7,2, 7,3,5,6)) {
        std::cout << dot[0] << " " << dot[1] << std::endl;
    }
    else {
        std::cout<<"Not cross!"<<std::endl;
    }
    return 0;
}

Послесловие

Хоть я и не встретил этот способ в процессе гугления своей проблемы и вывел алгоритм самостоятельно, я не претендую на его полную оригинальность (и правильность). Поэтому добро пожаловать в комментарии!

Источник

Пересечение двух прямых[править | править код]

Если заданы по две точки на каждой прямой[править | править код]

Если заданы уравнения прямых[править | править код]

Использование однородных координат[править | править код]

Пересечение n прямых[править | править код]

Существование и выражение пересечения[править | править код]

В двухмерном пространстве[править | править код]

В трёхмерном пространстве[править | править код]

Ближайшая точка к непересекающимся прямым[править | править код]

В двухмерном пространстве[править | править код]

В трёхмерном пространстве[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Точка пересечения двух прямых на плоскости

Пересечение прямых

Прямые пересекаются

Точка пересечения прямых

Прямые параллельны

Уравнение в программный код

Вывод результата

Проверка параллельности и совпадения

Проверка на перпендикулярность

Класс Intersections

Применение класса Intersections

Прикрепленный файл

Скачать исходник

Похожая тематика

Пересечение прямых. Точка пересечения двух прямых

Точка пересечения двух прямых на плоскости

Точка пересечения двух прямых в пространстве

Координаты точки пересечения двух прямых – примеры нахождения

Точка пересечения двух прямых – определение

Нахождение координат точки пересечения двух прямых на плоскости

Нахождения координат точки пересечения двух прямых в пространстве

Советы

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Точка пересечения двух прямых – определение

Нахождение координат точки пересечения двух прямых на плоскости

Нахождения координат точки пересечения двух прямых в пространстве

Нахождение точки пересечения двух прямых (и отрезков)

Введение

Популярные способы и их критика

Мой способ

Задача

Решение

Собираем воедино

Послесловие

Вам также может понравиться

Как найти тлф если его украли

Востряковское кладбище могила вольфа мессинга как найти

Как найти товары на юле

Добавить комментарий Отменить ответ