Как найти множество значений функции дроби

Была ли эта статья полезной?

Зачастую в рамках решения задач по тригонометрии нам приходится искать множество значений функции на области определения или отрезке. Например, такой поиск нужно делать, если приходится решать разные типы неравенств, при оценке выражений и др.

В рамках этого материала мы расскажем, что из себя представляет область значений функции, приведем основные методы, которыми  можно вычислить область значения и область определения функции, и разберем задачи различной степени сложности. Для наглядности отдельные положения проиллюстрированы графически. Прочитав эту статью, вы получите исчерпывающее представление о том, что такое область значения функции.

Начнем с базовых определений.

Множество значений функции y = f(x) – это множество всех значений на некотором интервале x, которые данная функция принимает при переборе всех значений x∈X.

Область значений функции y=f(x) – это множество всех ее значений, которые она может принять при переборе значений x из области x∈(f).

Область значений некоторой функции обычно принято называть и обозначать E(f).

Обратите внимание, что понятие множества значений функции не всегда тождественно области ее значений. Эти понятия будут равнозначны только в том случае, если интервал значений x при нахождении множества значений совпадет с областью определения функции.

Важно также различать область значений и область допустимых значений переменной x для выражения в правой части y=f(x). Область допустимых значений x для выражения f(x) и будет областью определения данной функции.

Ниже приводится иллюстрация, на которой показаны некоторые примеры, как построить графики функций и их построение. Синие линии – это графики функций, красные – асимптоты, рыжие точки и линии на оси ординат – это области значений функции.

Как найти область значения функции? Очевидно, что область или множество значений функции можно найти или получить при проецировании графика функции на ось Oy. При этом она может представлять собой как одно число, так и множество чисел, отрезок, интервал, открытый луч, объединение числовых промежутков и др.

Рассмотрим основные способы, как определить область значения функции.

Первый этап – определить тип функции. Функция может быть квадратичной, а также содержать дроби и корни. 

Начнем с определения множества значений непрерывной функции y = f(x) на некотором отрезке, обозначенном [a; b]. Мы знаем, что функция, непрерывная на некотором отрезке, достигает на нем своего минимума и максимума, то есть наибольшего maxx∈a; bf(x) и наименьшего значения minx∈a; bf(x). Значит, у нас получится отрезок minx∈a; bf(x); maxx∈a; bf(x), в котором и будут находиться множества значений исходной функции. Тогда все, что нам нужно сделать, – это найти на этом отрезке указанные точки минимума и максимума.

Возьмем задачу, в которой нужно определить область значений арксинуса.

Перейдем к нахождению множества значений непрерывной функции y = f(x) в промежутках (a; b), причем a; +∞, -∞; b, -∞; +∞.

Начнем с определения наибольшей и наименьшей точки, а также промежутков возрастания и убывания на заданном интервале. После этого нам нужно будет вычислить односторонние пределы в концах интервала и/или пределы на бесконечности. Иными словами, нам надо определить поведение функции в заданных условиях. Для этого у нас есть все необходимые данные.

Если нам надо определить множество значений функции y = f(x) на промежутках [a; b), (a; b], [a; +∞), (-∞; b], то нам понадобится провести точно такие же исследования. Эти случаи мы пока не будем разбирать: далее они нам еще встретятся в задачах.

А как быть в случае, если область определения некоторой функции представляет из себя объединение нескольких промежутков? Тогда нам надо вычислить множества значений на каждом из этих промежутков и объединить их.

Это можно увидеть на графике:

Особый случай – периодические функции. Их область значения совпадает с множеством значений на том промежутке, который отвечает периоду этой функции.

Если вам нужно знать области значений таких функций, как степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрическая, обратная тригонометрическая, то советуем вам перечитать статью об основных элементарных функциях. Теория, которую мы приводим здесь, позволяет проверить указанные там значения (или указать). Их желательно выучить, поскольку они часто требуются при решении задач. Если вы знаете области значений основных функций, то легко сможете находить области функций, которые получены из элементарных с помощью геометрического преобразования.

Еще один пример запишем без пояснений, т.к. он полностью аналогичен предыдущему.

Теперь разберем, как найти область значений функции, которая не является непрерывной. Для этого нам надо разбить всю область на промежутки и найти множества значений на каждом из них, после чего объединить то, что получилось. Чтобы лучше понять это, советуем повторить основные виды точек разрыва функции.

Решение показано на графике:

НАХОЖДЕНИЕ ОБЛАСТИ ЗНАЧЕНИЙ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке “Файлы работы” в формате PDF

 

ВВЕДЕНИЕ

К свойствам функции относится область значений функции. Проблема нахождения области значений, например, дробно-рациональной функции, привела к необходимости ознакомиться со способами ее нахождения.

Цель исследования: найти различные методы нахождения области значений дробно-рациональных функций. Задачи исследования:1). Ознакомиться со способами решения задач на нахождение области значений функции;

2). Изучить инверсию функций;

3). Использовать алгебраические неравенства для нахождения области значений функции;

4). Составить банк функций с нахождением области значений функций различными методами. Сравнить эти методы с точки зрения затрат времени и трудоёмкости;

5). Использовать программу Graphи различные свойства функций для построения графиков функций.При ознакомлении с некоторыми методами нахождения области значений функции в различных источниках, указанных ниже, не нашлось таких примеров решения, в которых бы использовались различные методы. В данной исследовательской работе сопоставляются разные, возможные, методы нахождения области значений функции для выделения самого рационального.ГЛАВА I.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

§1. Некоторые сведения об области значений функции.Определение области значений функции.Областью (множеством) значений E(у) функции y = f(x) называется множество таких чисел y₀, для каждого из которых найдётся такое число x₀, что: f(x₀) = y₀.

Свойства функций, используемые при нахождении области значений функцииДля успешного нахождения области значений функции надо хорошо знать свойства основных элементарных функций, особенно их области определения и характер монотонности. Приведём свойства функции, которые учитываются при нахождении Е(у):непрерывность;монотонность;дифференцируемость;чётность, нечётность;обратимость;периодичность и т.д.Известны следующие способы нахождения областей значений функций:а) последовательное нахождение значений сложных аргументов функции;б) метод оценок;в) использование свойств непрерывности и монотонности функции;г) использование производной;д) использование наибольшего и наименьшего значений функции;е) графический метод;ж) метод введения параметра;з) метод обратной функции. Определение.Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается задан­ным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренно­му множеству.Определение. Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Например, если функция от x даёт y, то обратная ей функция от y даёт x. {displaystyle f^{-1}}§2. Инверсия. Известна теорема о том, что если функция возрастает и принимает только положительные значения, то функция убывает.

Целесообразно рассматривать преобразования плоскости, при которых точки с координатами переходят в точки с координатами , ибо легко заметить, что именно с помощью такого преобразования можно построить рассмотренный график.

Определение. Точка В называется инвертной точке А относительно данной прямой (оси) l, если:

1. эти точки лежат по одну сторону относительно оси l;

2. отрезок, их соединяющий, перпендикулярен оси l;

3. произведение расстояний от этих точек до оси lравно 1.

У точек оси инвертных точек нет.

Определение. Преобразование плоскости, при котором каждая точка переходит в инвертную ейотносительно данной прямой, называется инверсией. Для точек этой прямой преобразование не определяется.

Замечание. При инверсии относительно осиОх точка А с координатами , , переходит в точку В с координатами , где

В самом деле, , так как отрезок АВ перпендикулярен осиОх, должны быть одного знака, так как А и В лежат в одной полуплоскости относительно оси Ох, наконец, так как произведение расстояний от А и В до оси равно единице, т.е.

Свойства инверсии. Построение графиков.

А – неподвижная точка инверсии относительно осиОх тогда и только тогда, когда т.е. – неподвижная точка инверсии относительно оси Оутогда и только тогда, когда т.е.

Чем дальше от оси инверсии точка, тем ближе к ней инвертная ей точка.

Теорема.График функции получается из графика функции инверсией относительно осиОх.

Теорема.График функции получается из графика функции преобразованием инверсии относительно оси Оу.

§3. Некоторые неравенства, используемые в работе.

Доказательства некоторых неравенств (проведенные самостоятельно).Неравенство 1. .Доказательство.

Теорема о высоте: CD =.в частном случае, если,ч.т.д.

Неравенство 2. Доказательство.

Преобразуем выражение: . По теореме катета:. ПотеоремеПифагора:

В частности, если Ч. т. д.

Неравенство 3. Доказательство.

Значит, , ч. т. д.

ГЛАВА II.ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ§1.Примеры нахождения области значений функций, графики которых можно построить с помощью инверсии, представив в виде или представив в виде .

Пример 1.Построить график функции и найти область значений E(f) данной функции.

Решение. Строится график функции , отмечаются точки с ординатой, равной 1, замечается, что искомый график имеет асимптоты так как график функции при абсциссах, «близких» к , все ближе подходит к оси инверсии, а при «больших» абсциссах уходит от неё неограниченно далеко. Показывается, что надо, таким образом, от точки (0,1) «вести вправо и вверх» к прямой и «влево и вниз» к прямой и т.п.

Ответ:.

Пример 2.Построить график функции и найти область значений E(f) данной функции.

Решение.

График функции получается из графика функции смещением на 1 единицу вправо. Для построения графика функции заменим значения абсцисс графика функции на обратные числа. . Прямаяявляется асимптотой. Если сравнить выражение с единицей: то оно меньше ее при , значит, точки графика функции не поднимутся выше прямой которая является асимптотой графика рассматриваемой функции. Эта функция является неотрицательной, значит ниже осиОх точки графика не появятся.

Ответ:.

§2. Метод введения параметра для нахождения области значений функции.

Пример 3.Найти область значений E(f) функции.

Решение.Решим пример методом введения параметра, согласно которому E(f) совпадает с множеством значений параметра а, для которых уравнениеимеет хотя бы один корень.

Если_,уравнение является линейным с ненулевым коэффициентом при неизвестной, поэтому имеет решение. Если _, уравнение является квадратным, поэтому оно разрешимо тогда и только тогда, когда его дискриминант.

Так как точка принадлежит отрезку, то искомым множеством значений параметра а, значит, и областью значений E(f) будет весь отрезок.

Ответ:.

§3. Метод обратной функции. Как непосредственное развитие метода введения параметра при нахождении множества значений функции, можно рассматривать метод обратной функции, для нахождения которой надо решить относительно х уравнение f(x)= y, считая y параметром. Если это уравнение имеет единственное решение x =g(y), то область значений E(f) исходной функции f(x) совпадает с областью определения D(g) обратной функции g(y). Если же уравнение f(x)= y имеет несколько решений x =g₁(y), x =g₂(y) и т.д., то E(f) равна объединению областей определений функции g₁(y), g₂(y) и т.д.Пример4. (самостоятельное решение).Найдите область значений E(f) функции.

Решение.Решим уравнение относительно , учитывая, что

Неравенство методом интервалов, получаем, что

Ответ:.

§4. Использованиепроизводной, непрерывности и монотонности функции и графика функции

Пример 5. (самостоятельное решение с применением программы Grahf).Найти область значений E(f) функции .

Решение.График функции не пересекает ось абсцисс, т.к. уравнение не имеет решения.

Функция непрерывна на, значит, дифференцируема. Найдем производную функции:

Найдем критические точки первого рода:

Выясним характер монотонности функции:

Найдем асимптоты функции:

Вертикальных асимптот нет, т.к. .Наклонная асимптота:. Получили горизонтальную асимптоту .

Найдём

Заметим, что последний метод является наглядным, однако времяёмким и трудоемким.

Ответ:.

§ 5. Задачи на нахождение области значений функций с помощью алгебраических неравенств

Пример 6. Найти область значений E(f) функции(используя неравенство).

Решение.

Учитывая, что заданная функция является нечетной, получаем

Ответ:.

Пример 7. Найти область значений E(f) функции(используя неравенство).

Решение. Учитывая, что заданная функция является нечетной, получаем

А так у функции один нуль, , и она меняет монотонность от убывания к возрастанию, а затем от возрастания к убыванию, то можно определить, как меняются ее значения: .

Ответ:.

Пример 8. Найти область значений E(f) функции(используя неравенство).

Решение.

График имеет вертикальную асимптоту , не пересекает ось абсцисс.

Найдем производную функции

Найдем критические точки первого рода:

Выясним характер монотонности функции:

Ответ:.

§ 6. Нахождение области значений функций разными способами

Ранее решённые Примеры 3, 4, 5 указывают на то, что найти область значений функции можно было тремя способами: методом введения параметра, методом обратной функции, а также с использованием производной, непрерывности функции, монотонности и графика. Применить инверсию для построения графика этой функции не удается, так как она не представима в виде или в виде . Также не получится представить эту функцию в виде суммы двух слагаемых, к которой можно было бы применить одно из указанных алгебраических свойств. Наиболее рациональными являются первые два метода.

Решим и другие Примерыразличнымидоступнымиметодами и способами.Пример 1.Построить график функции и найти область значений E(f) данной функции. (См. стр. I-IIПРИЛОЖЕНИЕ 1)Пример 2.Построить график функции и найти область значений E(f) данной функции. (См. стр. II-IIIПРИЛОЖЕНИЕ 2)Пример 6.Найти область значений E(f) функции(См. стр. III-VПРИЛОЖЕНИЕ 3)Пример 7. Найти область значений E(f) функции(См. стр. V-VIIПРИЛОЖЕНИЕ 4)Пример 8. Найти область значений E(f) функции(См. стр. VII-VIIIПРИЛОЖЕНИЕ 5)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная тема имеет практическое применение, так как при изучении тех или иных процессов из реальной жизни, описываемых математическими формулами, чаще всего вычисляют значения функций. В школьном курсе математики изучается тема «Область значения функции». Такие задачи обязательно содержатся в заданиях различных математических тестов, в частности в заданиях единого государственного экзамена.Если выбирать универсальный способ нахождения области значений функции, то это графический с применением производной, таких свойств как четность, асимптоты, нули функции. Удобно использовать инверсию для построения график функций, но не все функции инвертируются. Если есть выбор способов, то к рациональным способам можно отнести и введение параметра и метод обратной функции. Знание различных способов решения одной и той же задачи позволяет осуществить проверку полученных результатов.СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сильвестров В.В. Множество значений функции: Учебное пособие./Сильвестров В.В. – Чебоксары: 2004. – 200-204 с.2. Карп А.П. Даю урокипо математике /Карп А.П. – М.: Просвещение, 1992. – 21-31с.3. Райский В. Математика: Сборник задач и упражнений для VI класса./Райский В. – Кишинёв:PrutInternaţional, 2002.- 25-33 с.4. Щербаков П.А. Нахождение области значений функции (Электронный ресурс) http://pandia.ru/text/77/355/6329.php (дата обращения 29.10.2016)5. Сикорский К.П. Факультатив. Математика 7-8 класс./Сикорский К.П. – М.: Просвещение, 1969.- 256-263 с.

Просмотров работы: 3598

Из этого определения следует, что множество (область) значений функции — это те значения функции $y(x)$, которые она может принимать соответственно области её определения. Теперь перейдём к следующему определению.

Чаще всего в учебной литературе встречается термин «множество значений функции». Кратко его обозначают $E(f)$.

Как определить область значения функции

Для определения множества значений функции пользуются графическим методом, методом поисков минимума и максимума, вычислением производной и другими.

Определение множества значений функции графическим методом

Графический метод подразумевает построение графика функции и изучение этого графика. Этот метод наиболее удобен, если не известна какая-либо закономерность изменения функции $f(x)$, а есть только набор произвольных точек или собственно сам график.

«Множество значений функции» 👇

Метод нахождения области значения функции через производную

Метод нахождения области значения функции через производную состоит в том, чтобы сначала оценить область её определения (то есть определить те значения, которые может принимать аргумент $x$, а затем осуществить процедуру нахождения самой производной. После этого осуществляют поиск значений $x$, при которых производная функции равна нулю и при которых производная не существует.

Рассмотрим пример нахождения области значений функции через производную.

Метод поиска минимума и максимума

Метод поиска минимума и максимума основан на том, чтобы найти максимальное и и минимальное значение, которые функция принимает на изучаемой области.

Разница между областью значения и областью определения функции

Стоит обратить внимание, что область значений функции — не одно и то же с термином «область определения функции».

Например, рассмотрим функцию $y(x)=x^2$. В данном случае область определения этой функции будет множеством вещественных (действительных) чисел $mathbb{R}$, а сама функция будет принимать значения только положительных действительных чисел $mathbb{R}^+$, так как вещественное число, возведённое в квадрат, не может давать отрицательное значение. То есть, в этом примере множество значений функции — это множество положительных вещественных чисел $mathbb{R}^+$.

Также имеют место случаи, когда область определения функции совпадает с областью значений.
В качестве иллюстрации можно рассмотреть функцию $y(x)=2x$. За аргумент $x$ данная функция может принимать любое действительное число из множества $mathbb{R}$, а значения, которые будет принимать сама функция — это удвоенные числа из множества всех действительных чисел. То есть, в данном случае областью значений $E(y)$ будет также всё множество вещественных чисел $mathbb{R}$.