Как найти моду непрерывной случайной величины

Математическое ожидание случайной величины

Закон
распределения
полностью характеризует случайную
величину с вероятностной точки зрения.
Однако при решении многих практических
задач нет необходимости приводить весь
закон распределения случайной 
величины,
достаточно указать некоторые величины,
называемые числовыми характеристиками,
назначение которых – это выражение
наиболее существенных особенностей
распределения. Для каждой случайной
величины необходимо знать некоторое
среднее значение, около которого
группируются ее возможные значения,
число, характеризующее степень
разбросанности этих значений относительно
среднего, а также некоторые другие
числовые характеристики.
Одной из
таких характеристик является математическое
ожидание случайной величины.

Определение
6. Математическое
ожидание –
это среднее значение случайной
величины.

Математическое ожидание
случайной величины  обозначается  или .
Если
случайная величина  –
дискретная и принимает конечное число
значений, то 

 (8)

Если случайная
величина  –
дискретная и принимает бесконечное, но
счетное число значений, то 

 (9)

Если случайная
величина  –
непрерывная и принимает значения на
конечном промежутке ,
то

 (10)

Если
случайная величина  –
непрерывная и принимает значения на
всей числовой оси, то

 (11) 

Встречаются
случайные величины, для которых
математическое ожидание не существует,
так как ряд (9) или 
интеграл (11)
расходятся, но такие случайные величины
встречаются редко.

Свойства
математического ожидания.

1. Математическое
ожидание константы равно этой
константе: ;
2. ;
3. ;
4. Определение
7. Две случайные
величины называются независимыми,
если закон распределения одной
из них
не меняется от того, какие возможные
значения приняла другая величина.
Если
случайные величины  и  независимы,
то 
;
5. =0.

Пример
9. Дан
ряд распределения дискретной случайной
величины :

Известно,
что математическое ожидание .
Найти .
Решение. Так
как дискретная случайная величина
принимает конечное число значений,
воспользуемся
формулой (8), получим
уравнение:

,
из
которого находим : .

Пример
10. Закон
распределения непрерывной случайной
величины  задан
с помощью плотности распределения:

Найти
математическое ожидание данной случайной
величины.
Решение. Так
как непрерывная случайная величина
принимает значения на конечном промежутке,
то для 
вычисления математического
ожидания воспользуемся формулой (10),
получаем:

.

Вопрос. Случайная
величина  принимает
только отрицательные значения.
Тогда  равно:
а)
0;
б) 1;
в) отрицательному числу;
г)
числу из отрезка .

в)

а)

г)

б)

Мода и медиана случайной величины

Определение
8. Модой дискретной
случайной величины  называется
ее значение , 
имеющее
наибольшую вероятность.

 (13)

Графическим
представлением закона распределения
дискретной случайной величины является
многоугольник
распределения, тогда
мода – это точка, имеющая наибольшую
ординату.

Рис.7

Определение
9. Модой непрерывной
случайной величины называется точка
локального максимума плотности
распределения.

 (14)

Рис.8

Мода может
не существовать, может иметь единственное
значение( тогда распределение случайной
величины
называется унимодальным),
может иметь множество значений( в этом
случае распределение называется
мультимодальным).

Определение
10. Медианой случайной
величины  называется
такое ее значение ,
относительно
которого равновероятны
получение большего и получение меньшего
значения.

Если  –
дискретная случайная величина, то  –
это число на отрезке ,
для которого

 (15)

Отрезок  называется медианным.

Если –
непрерывная случайная величина, то 

 (16)

то есть медиана
– это корень уравнения:

 (17)

Графически
медиана – это абсцисса точки, в которой
площадь под кривой распределения делится
пополам.

Рис.9

Если
распределение унимодальное и симметричное,
то математическое ожидание, мода и
медиана случайной
величины
совпадают.

Пример
11. Дан
ряд распределения дискретной случайной
величины :

Найти
моду и медиану случайной
величины.
Решение. Наибольшую
вероятность имеет значение ,
поэтому .
Так
как ,
а ,
то медианным отрезком является
отрезок ,
тогда
медианой является любое число из этого
отрезка.

Пример
12. Закон
распределения непрерывной случайной
величины  задан
плотностью распределения:

Найти моду и
медиану случайной величины.
Решение. Кривой
распределения является парабола, ветви
которой направлены вниз, поэтому она
имеет точку 
максимума, найдем
ее, для этого вычислим производную
функции  :
.
Точка максимума является корнем
уравнения ,
получаем уравнение
,
из которого находим .
Так
как парабола симметрична относительно
прямой, проходящей через точку ,
параллельно оси ординат,
то распределение
– симметричное, поэтому .

Рис.10

Вопрос. Непрерывная
случайная величина принимает значения
на отрезке ,
распределение симметричное,
.
Тогда .

верно

неверно

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Кроме математического ожидания и дисперсии в теории вероятностей применяется еще ряд числовых характеристик, в частности, мода и медиана случайной величины.

Модой Дискретной случайной величины X называется ее наиболее вероятное значение.

Модой непрерывной случайной величины X называется такое ее значение , при котором плотность распределения Имеет максимум, т. е. .

На рис. 3 и 4 показана мода для дискретной и непрерывной случайной величины.

Рис. 3 Рис. 4

Если многоугольник распределения (кривая распределения) имеет два или несколько максимумов, то распределение называется Двухмодальным или многомодальным.

Иногда встречаются распределения, которые имеют минимум, но не имеют максимум. Такие распределения называются Антимодальными.

Медианой непрерывной случайной величины X (обозначение:) называется такое ее значение , для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина Меньше или больше, т. е.

. (9)

Геометрически вертикальная прямая , Проходящая через точку с абсциссой, равной , делит площадь фигуры под кривой распределения на две равные части (рис. 5). Каждая из этих площадей равна , т. к. площадь, ограниченная кривой распределения, равна единице. Поэтому функция распределения в точке равна , т. е. .

Рис. 5

Для дискретной случайной величины медиана обычно не определяется.

Для нахождения моды и медианы случайной величины необходимы хорошие умения интегрировать и знания следующего теоретического материала. Модой дискретной случайной величины называют те ее возможное значение, которые соответствует наибольшей вероятности появления (т.е. такое значение величины , которое случается чаще всего при проведении экспериментов, опытов, наблюдений). В случае случайной величины модой называют то ее возможное значение, которому соответствует максимальное значение плотности вероятностей

В зависимости от вида функции случайная величина может иметь разное количество мод. Если случайная величина имеет одну моду, то такое распределение вероятностей называют одномодальным; если распределение имеет две моды — двухмодальным и более – мультимодальным.

Существуют и такие распределения, которые не имеют моды, их называют антимодальными. Медианой случайной величины называют то ее значения, для которого выполняются равенство вероятностей событий, то есть, плотность вероятностей справа и слева одинаковы и равны половине (0,5)

Графически мода и медиана изображенные на рисунке

При таком значению случайной величины график функции распределения делится на части с одинаковой площадью. Непрерывная случайная величина имеет только одно значение медианы. Для дискретной случайной величины медиану обычно не определяют, однако в некоторой литературе приводятся правила, согласно которым, для ряда случайных величин размещенных в порядке возрастания (вариационного ряда) моду определяют распределения: если есть нечетное количество случайных величин то медиана равна средней величине

в случае четного количества полусумме средних величин

Рассмотрим примеры определения моды и медианы.

Пример 1. В развлекательном центре работник обслуживает четыре дорожки для боулинга. Вероятность того, что какая-то дорожка нуждается в уборке в течение смены является постоянной величиной с вероятностью 85%.

Построить закон распределения вероятностей дискретной случайной величины — количество дорожек, которые требуют уборки. Найти моду .

Решение. Случайной величина может принимать значения

Вероятности появления значений определяем по образующей функцией

Для заданной задачи входные величины принимают значения

Искомые вероятности входят множителями при степенях аргумента

Закон распределения вероятностей запишем в виде таблицы

С таблице определяем моду , как значение при максимальной вероятности. Получили одномодальное распределение

Пример 2. По заданной плотностью вероятностей

найти параметр , плотность вероятностей , моду .

Решение. Применяя условие нормирования выполняем интегрирование

после того определяем параметр

Плотность вероятностей, учитывая найденное значение будет иметь вид

а ее график изображен на рисунке ниже

Из графика плотности вероятностей видим, что мода принимает значение . Определим медиану с помощью функции распределения вероятностей. Ее значение на промежутке находим интегрированием

Функция распределения иметь следующий вид

а ее график будет иметь вид

Для определения медианы случайной величины применяем формулу

Медиану можно найти с помощью плотности вероятностей

для дискретной случайной величины из промежутка

Таким образом медиану — возможное значение случайной величины , при котором прямая, проведенная перпендикулярно соответствующей точки на плоскости , делит площадь фигуры, ограниченной функцией плотности вероятностей на две равные части.

——————————-

Задача на определение моды и медианы случайной величины встречаются на практике не так часто, как плотности распределения вероятностей, однако вышеприведенный теоретический материал и решения распространенных примеров помогут Вам находить эти величины без больших затрат времени. При необходимости Вы всегда можете заказать решение задач по теории вероятностей в нас.

Мода непрерывной случайной величины

то значение случайной величины, для которого плотность распределения вероятностей имеет максимум.

Повышай знания с онлайн-тренажером от Автор24!

1. Напиши термин
2. Выбери определение из предложенных или загрузи свое
3. Тренажер от Автор24 поможет тебе выучить термины с помощью удобных и приятных
   карточек