Как рассчитать моду из таблицы частот (с примерами)
17 авг. 2022 г.
читать 2 мин
Мода таблицы частот представляет значение, которое встречается чаще всего.
На практике может быть:
- Нулевые режимы , если ни одно значение не встречается чаще, чем любое другое.
- Один режим , если одно значение встречается чаще всего.
- Несколько режимов , если несколько значений встречаются чаще всего.
Чтобы определить режим таблицы частот, вам просто нужно определить значение (я) с самой высокой частотой.
В следующих примерах показано, как найти моду различных таблиц частот.
Пример 1: Поиск моды из таблицы частот (нулевые моды)
Следующая таблица частот показывает количество домашних животных, принадлежащих 10 разным семьям в определенном районе:
Обратите внимание, что каждое значение в таблице имеет одинаковую частоту.
Это означает, что для этой конкретной таблицы частот нет режима, поскольку каждое значение встречается одинаковое количество раз.
Пример 2: Поиск режима из таблицы частот (один режим)
В следующей таблице частоты показано общее количество побед 17 футбольных команд в определенной лиге:
Количество выигрышей с наибольшей частотой – 2 выигрыша.
Таким образом, мода для этой таблицы частот равна 2 .
Пример 3: Поиск режима из таблицы частот (несколько режимов)
В следующей таблице частот показан размер домохозяйства различных домохозяйств в определенном районе:
Размеры домохозяйств с наибольшей частотой составляют 3 , 4 и 7 .
Таким образом, эта таблица частот фактически имеет три моды: 3 , 4 и 7 .
Дополнительные ресурсы
Как рассчитать медиану из таблицы частот
Как рассчитать среднее значение из таблицы частот
Написано
Замечательно! Вы успешно подписались.
Добро пожаловать обратно! Вы успешно вошли
Вы успешно подписались на кодкамп.
Срок действия вашей ссылки истек.
Ура! Проверьте свою электронную почту на наличие волшебной ссылки для входа.
Успех! Ваша платежная информация обновлена.
Ваша платежная информация не была обновлена.
8.4. МОДА и МЕДИАНА (структурные средние)
Мода и медиана наиболее часто используемые в экономической практике структурные средние.
Мода – это величина признака (варианта), который наиболее часто встречается в данной совокупности, т.e. это варианта, имеющая наибольшую частоту.
В дискретном ряду мода определяется в соответствии с определением, т.е. это одна из вариант признака, которая в ряду распределения имеет наибольшую частоту.
Для интервального ряда моду находим по формуле (8.16), сначала по наибольшей частоте определив модальный интервал:
(8.16 – формула Моды)
где хо – начальная (нижняя) граница модального интервала;
h – величина интервала;
fМо – частота модального интервала;
fМо-1 – частота интервала, предшествующая модальному;
fМо+1– частота интервала следующая за модальным.
Медианой называется такое значение признака, которое приходится на середину ранжированного ряда, т.е. в ранжированном ряду распределения одна половина ряда имеет значение признака больше медианы, другая – меньше медианы.
В дискретном ряду медиана находится непосредственно по накопленной частоте, соответствующей номеру медианы.
В случае интервального вариационного ряда медиану определяют по формуле:
(8.17 – формула Медианы)
где хо – нижняя граница медианного интервала;
NМе– порядковый номер медианы (Σf/2);
S Me-1 – накопленная частота до медианного интервала;
fМе – частота медианного интервала.
Пример вычисления Моды.
Рассчитаем моду и медиану по данным табл. 8.4.
Таблица 8.4 – Распределение семей города N по размеру среднедушевого дохода в январе 2018 г. руб.(цифры условные)
| Группы семей по размеру дохода, руб. | Число
семей |
Накоп-
ленные частоты |
в % к итогу |
| До 5000 | 600 | 600 | 6 |
| 5000-6000 | 700 | 1300
(600+700) |
13 |
| 6000-7000 | 1700 (fМо-1) | 3000 (S Me-1 )
(1300+1700) |
30 |
| 7000-8000
(хо) |
2500
(fМо) (fМе) |
5500 (S Me) | 55 |
| 8000-9000 | 2200 (fМо+1) | 7700 | 77 |
| 9000-10000 | 1500 | 9200 | 92 |
| Свыше 10000 | 800 | 10000 | 100 |
| Итого | 10000 | – | – |
Пример вычисления Моды. Найдем моду по формуле (8.16) см. обозначения в таблице, а h = 8000-7000=1000, т.е. получаем:
Пример вычисления Моды
Пример вычисления Медианы интервального вариационного ряда. Рассчитаем медиану по формуле (8.17):
1) сначала находим порядковый номер медианы: NМе = Σfi/2= 5000.
2) по накопленным частотам в соответствии с номером медианы определяем, что 5000 находится в интервале (7000 – 8000), далее значение медианы определим по формуле (8.17):
Пример вычисления Медианы
Вывод: по моде – наиболее часто встречается среднедушевой доход в размере 7730 руб., по медиане – что половина семей города имеет среднедушевой доход ниже 7800 руб., остальные семьи – более 7800 руб.
Пример .СРЕДНИЙ, МЕДИАННЫЙ И МОДАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ ДЕНЕЖНЫХ ДОХОДОВ НАСЕЛЕНИЯ ЦЕЛОМ ПО РОССИИ И ПО СУБЪЕКТАМ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЗА 2013 год см. по ссылке. Источник: оценка на основании данных выборочного обследования бюджетов домашних хозяйств и макроэкономического показателя денежных доходов населения
Соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию.
Если Мо<Ме<Х – имеет место правосторонняя асимметрия.
При Х<Ме<Мо следует сделать вывод о левосторонней асимметрии ряда.
Средние величины (арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая) см. по ссылке
Оценка статьи:
Загрузка…
В статистике есть целый набор показателей, которые характеризуют центральную тенденцию. Выбор того или иного индикатора в основном зависит от характера данных, целей расчетов и его свойств.
Что подразумевается под характером данных? Прежде всего, мы говорим о количественных данных, которые выражены в числах. Но набор числовых данных может иметь разное распределение. Под распределением понимаются частоты отдельных значений. К примеру, в классе из 23 человек 2 школьника написали контрольную работу на двойку, 5 – на тройку, 10 – на четверку и 6 – на пятерку. Это и есть распределение оценок. Распределение очень наглядно можно представить с помощью специальной диаграммы – гистограммы. Для данного примера получится следующая гистограмма.
Во многих случаях количество уникальных значений намного больше, а распределение похоже на нормальное. Ниже приведена примерная иллюстрация нормального распределения случайных чисел.
Итак, центральная тенденция. Если частоты анализируемых значений распределены по нормальному закону, то есть симметрично вокруг некоторого центра, то центральная тенденция определяется вполне однозначно – это есть тот самый центр, и математически он соответствует средней арифметической.
Как нетрудно заметить, в этом же центре находится и максимальная частота значений. То есть при нормальном распределении центральная тенденция есть не только средняя арифметическая, но и максимальная частота, которая в статистике называется модой или модальным значением.
На диаграмме оба значения центральной тенденции совпадают и равны 10.
Но такое распределение встречается далеко не всегда, а при малом числе данных – совсем редко. Чаще бывает так, что частоты распределяются асимметрично. Тогда мода и среднее арифметическое не будут совпадать.
На рисунке выше среднее арифметическое по-прежнему составляет 10, а вот мода уже равна 9. Что в таком случае считать значением центральной тенденции? Ответ зависит от поставленных целей анализа. Если интересует уровень, сумма отклонений от которого равна нулю со всеми вытекающим отсюда свойствами и последствиями, то это средняя арифметическая. Если нужно максимально частое значение, то это мода.
Итак, зачем нужна мода? Приведу пару примеров. Экономист планово-экономического отдела обувной фабрики интересуется, какой размер обуви пользуется наибольшим спросом. Средний размер обуви, скорее всего, здесь не подойдет, тем более, что число может получится дробным. А вот мода – как раз нужный показатель.
Расчет моды
Теперь посмотрим, как рассчитать моду. Мода – это то значение в анализируемой совокупности данных, которое встречается чаще других, поэтому нужно посмотреть на частоты значений и отыскать максимальное из них. Например, в наборе данных 3, 4, 6, 7, 3, 5, 3, 4 модой будет значение 3 – повторяется чаще остальных. Это в дискретном ряду, и здесь все просто. Если данных много, то моду легче всего найти с помощью соответствующей гистограммы. Бывает так, что совокупность данных имеет бимодальное распределение.
Без диаграммы очень трудно понять, что в данных не один, а два центра. К примеру, на президентских выборах предпочтения сельских и городских жителей могут отличаться. Поэтому распределение доли отданных голосов за конкретного кандидата может быть «двугорбым». Первый «горб» – выбор городского населения, второй – сельского.
Немного сложнее с интервальными данными, когда вместо конкретных значений имеются интервалы. В этом случае говорят о модальном интервале (при анализе доходов населения, например), то есть интервале, частота которого максимальна относительно других интервалов. Однако и здесь можно отыскать конкретное модальное значение, хотя оно будет условным и примерным, так как нет точных исходных данных. Представим, что есть следующая таблица с распределением цен.
Для наглядности изобразим соответствующую диаграмму.
Требуется найти модальное значение цены.
Вначале нужно определить модальный интервал, который соответствует интервалу с наибольшей частотой. Найти его так же легко, как и моду в дискретном ряду. В нашем примере это третий интервал с ценой от 301 до 400 руб. На графике – самый высокий столбец. Теперь нужно определить конкретное значение цены, которое соответствует максимальному количеству. Точно и по факту сделать это невозможно, так как нет индивидуальных значений частот для каждой цены. Поэтому делается допущение о том, что интервалы выше и ниже модального в зависимости от своей частоты имеют разные вес и как бы перетягивают моду в свою сторону. Если частота интервала следующего за модальным больше, чем частота интервала перед модальным, то мода будет правее середины модального интервала и наоборот. Давайте еще раз посмотрим на рисунок, чтобы понять формулу, которую я напишу чуть ниже.
На рисунке отчетливо видно, что соотношение высоты столбцов, расположенных слева и справа от модального определяет близость моды к левому или правому краю модального интервала. Задача по расчету модального значения состоит в том, чтобы найти точку пересечения линий, соединяющих модальный столбец с соседними (как показано на рисунке пунктирными линиями) и нахождении соответствующего значения признака (в нашем примере цены). Зная основы геометрии (7-й класс), по данному рисунку нетрудно вывести формулу расчета моды в интервальном ряду.
Формула моды имеет следующий вид.
Где Мо – мода,
x0 – значение начала модального интервала,
h – размер модального интервала,
fМо – частота модального интервала,
fМо-1 – частота интервала, находящего перед модальным,
fМо1 – частота интервала, находящего после модального.
Второе слагаемое формулы моды соответствует длине красной линии на рисунке выше.
Рассчитаем моду для нашего примера.
Таким образом, мода интервального ряда представляет собой сумму, состоящую из значения начального уровня модального интервала и отрезка, который определяется соотношением частот ближайших интервалов от модального.
Расчет моды в Excel
В настоящее время большинство вычислений делается в MS Excel, где для расчета моды также предусмотрена специальная функция. В Excel 2013 я таких нашел ажно 3 штуки.
МОДА – пережиток старых изданий Excel. Функция оставлена для совмещения со старыми версиями.
МОДА.ОДН – рассчитывает моду по заданным значениям. Здесь все просто. Вставили функцию, указали диапазон данных и «Ок».
МОДА.НСК – позволяет рассчитать сразу несколько модальных значений (одинаковых максимальных частот) для одного ряда данных, если они есть. Функцию нужно вводить как формулу массива, перед этим выделив количество ячеек равное количеству требуемых модальных значений. Иногда действительно модальных значений может быть несколько. Однако для этих целей предварительно лучше посмотреть на диаграмму распределения.
Моду для интервальных данных одной функцией в Excel рассчитать нельзя. То есть такая функция в готовом виде не предусмотрена. Придется прописывать вручную.
Следующая статья посвящена медиане.
До встречи на statanaliz.info.
Поделиться в социальных сетях:
План урока:
Понятие выборки и генеральной совокупности
Среднее арифметическое выборки
Упорядоченный ряд и таблица частот
Размах выборки
Мода выборки
Медиана выборки
Ошибки в статистике
Понятие выборки и генеральной совокупности
Слово статистика, образованное от латинского status(состояние дел), появилось только в 1746 году, когда его употребил немец Готфрид Ахенвалль. Однако ещё в Древнем Китае проводились переписи населения, в ходе которых правители собирали информацию о своих владениях и жителях, проживающих в них.
В основе любого статистического исследования лежит массив информации, который называют выборкой данных. Покажем это на примере. Пусть в классе, где учится 20 учеников, проводился тест по математике, содержавший 25 вопросов. В результате учащиеся показали следующие результаты:
Ряд чисел, приведенный во второй строке таблицы (12, 19, 19, 14, 17, 16, 18, 20, 15, 25, 13, 20, 25, 16, 17, 12, 24, 13, 21, 13), будет выборкой. Также ее могут называть рядом данных или выборочной совокупностью.
В примере с классом выборка состоит из 20 чисел. Эту величину (количество чисел в ряду) называют объемом выборки. Каждое отдельное число в ряду именуют вариантой выборки.
В примере со школьным классом в выборку попали все его ученики. Это позволяет точно определить, насколько хорошо учащиеся написали математический тест. Однако иногда необходимо проанализировать очень большие группы населения, состоящие из десятков и даже сотен миллионов человек. Например, необходимо узнать, какая часть населения страны курит. Опросить каждого жителя государства невозможно, поэтому в ходе исследования опрашивают лишь его малую часть. В этом случае статистики выделяют понятие генеральная совокупность.
Так, если с помощью опроса 10 тысяч человек ученые делают выводы о распространении курения в России, то все российское население будет составлять генеральную совокупность исследования, а опрошенные 10 тысяч людей вместе образуют выборку.
Среднее арифметическое выборки
Сбор информации о выборке является лишь первой стадией статистического исследования. Далее ее необходимо обобщить, то есть получить некоторые цифры, характеризующие выборку. Самой часто используемой статистической характеристикой является среднее арифметическое.
Другими словами, для подсчета среднего арифметического необходимо просто сложить все числа в ряде данных, а потом поделить получившееся значение на количество чисел в ряде. Так, в примере с тестом по математике (таблица 1) средний балл учащихся составит: (12+19+19+14+17+16+18+20+15+25+13+20+25+16+17+12+24+13+21+13):20=
= 349:20 = 17,45.
Среднее арифметическое позволяет одним числом характеризовать какое-либо качество всех объектов группы. Чем больше средний балл учащихся в классе, тем выше их успеваемость. Чем меньше среднее количество голов, пропускаемых футбольной командой за один матч, тем лучше она играет в обороне. Если средняя зарплата программистов в городе составляет 90 тысяч рублей, а дворников – 25 тысяч рублей, то это значит, что программисты значительно более востребованы на рынке труда, а потому при выборе будущей профессии лучше предпочесть именно эту специальность.
Упорядоченный ряд и таблица частот
В ряде данных в таблице 1 числа приведены в произвольном порядке. Перепишем ряд так, чтобы все числа шли в неубывающем порядке, то есть от самого маленького к самому большому:
12, 12, 13, 13, 13, 14, 15, 16, 16, 17, 17, 18, 19, 19, 20, 20, 21, 24, 25, 25.
Такую запись называют упорядоченным рядом данных.
Его характеристики ничем не отличаются от изначальной выборки, однако с ним удобнее работать. С его помощью можно видеть, что ни одному ученику не удалось набрать 22 или 23 балла на тесте, но сразу двое учащихся дали 25 правильных ответов. На основе упорядоченного ряда данных несложно составить таблицу частот, в которой будет указано, как часто та или иная варианта выборки встречается в ряде. Выглядеть она будет так:
При составлении этой таблицы мы исключили из нее те варианты количества набранных баллов, частота которых равна нулю (от 0 до 12, 22 и 23).Заметим, что сумма чисел в нижней строке таблицы частот должна равняться объему выборки. Действительно,
2+3+1+1+2+2+1+2+2+1+1+2 = 20.
С помощью таблицы частот можно быстрее посчитать среднее арифметическое выборки. Для этого каждую варианту надо умножить на ее частоту, после чего сложить полученные результаты и поделить их на объем выборки:
(12•2+13•3+14•1+15•1+16•2+17•2+18•1+19•2+20•2+21•1+24•1+25•2):20 =
(24+39+14+15+32+34+18+38+40+42+24+50):20 = 349:20 = 17,45.
Размах выборки
Следующий важная характеристика ряда данных – это размах выборки.
Если выборка представлена в виде упорядоченного ряда данных, то достаточно вычесть из последнего числа ряда первое число. Так, размах выборки результатов теста в классе равен:
25 – 12 = 13,
так как самые лучшие ученики смогли решить все 25 заданий, а наихудший учащийся ответил правильно только на 13 вопросов.
Размах выборки характеризует стабильность, однородность исследуемых свойств. Например, пусть два спортсмена-стрелка в ходе соревнований производят по 5 выстрелов по круговой мишени, где за попадание начисляют от 0 до 10 очков. Первый стрелок показал результаты 8, 9, 9, 8, 9 очков. Второй же спортсмен в своих попытках показал результаты 7, 10, 10, 6, 10. Средние арифметические этих рядов равны:
(8+9+9+8+9):5 = 43:5 = 8,6;
(7+10+10+6+10):5 = 43:5 = 8,6.
Получается, что в среднем оба стрелка стреляют одинаково точно, однако первый спортсмен демонстрирует более стабильные результаты. У его выборки размах равен
9 – 8 = 1,
в то время как размах выборки второго спортсмена равен
10 – 6 = 4.
Размах выборки может быть очень важен в метеорологии. Например, в Алма-Ате и Амстердаме средняя температура в течение года почти одинакова и составляет 10°С. Однако в Алма-Ате в январе и феврале иногда фиксируются температуры ниже -30°С, в то время как в Амстердаме за всю историю наблюдений она никогда не падала ниже -20°С.
Мода выборки
Иногда важно знать не среднее арифметическое выборки, а то, какая из ее вариант встречается наиболее часто. Так, при управлении магазином одежды менеджеру не важен средний размер продаваемых футболок, а необходима информация о том, какие размеры наиболее популярны. Для этого используется такой показатель, как мода выборки.
В примере с математическим тестом сразу 3 ученика набрали по 13 баллов, а частота всех других вариант не превысила 2, поэтому мода выборки равна 13. Возможна ситуация, когда в ряде есть сразу две или более вариант, которые встречаются одинаково часто и чаще остальных вариант. Например, в ряде
1, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5
варианты 3 и 5 встречаются по три раза. В таком случае ряд имеет сразу две моды – 3 и 5, а всю выборку именуют мультимодальной. Особо выделяется случай, когда в выборке все варианты встречаются с одинаковой частотой:
6, 6, 7, 7, 8, 8.
Здесь числа 6, 7 и 8 встречаются одинаково часто (по два раза), а другие варианты отсутствуют. В таких случаях говорят, что ряд не имеет моды.
Медиана выборки
Иногда, например, при расчете средней зарплаты, среднее арифметическое не вполне адекватно отражает ситуацию. Это происходит из-за наличия в выборке чисел, очень сильно отличающихся от среднего. Так, из-за огромных зарплат некоторых начальников большинство рядовых сотрудников компаний обнаруживают, что их зарплата ниже средней. В таких случаях целесообразно использовать такую характеристику, как медиану ряда. Это такое значение, которое делит ряд данных пополам. В упорядоченном ряде 2, 3, 6, 8, 8, 12, 15, 15, 18, 19, 25 медианой будет равна 12, так как именно она находится в середине ряда:
Однако таким образом можно найти только медиану ряда, в котором находится нечетное количество чисел. Если же их количество четное, то за медиану условно принимают среднее арифметическое двух средних чисел. Так, для ряда 2, 3, 6, 8, 8, 12, 15, 15, 18, 19, 25, 30, содержащего 12 чисел, медиана будет равна среднему значению 12 и 15, которые занимают 6-ое и 7-ое место в ряду:
Вернемся к примеру с математическим тестом в школе. Так как его сдавали 20 учеников, а 20 – четное число, то для расчета медианы следует найти среднее арифметическое 10-ого и 11-ого числа в упорядоченном ряде
12, 12, 13, 13, 13, 14, 15, 16, 16, 17, 17, 18, 19, 19, 20, 20, 21, 24, 25, 25.
Эти места занимают числа 17 и 17 (выделены жирным шрифтом). Медиана ряда будет равна
(17+17):2 = 34:2 = 17.
Три приведенные основные статистические характеристики выборки, а именно среднее арифметическое, мода и медиана, называются мерами центральной тенденции. Они позволяют одним числом указать значение, относительно которого группируются все числа ряда.
Рассмотрим для наглядности ещё один пример. Врач в ходе диспансеризации измерил вес мальчиков в классе. В результате он получил 10 значений (в кг):
39, 41, 67, 36, 60, 58, 46, 44, 39, 69.
Найдем среднее арифметическое, размах, моду и медиану для этого ряда.
Решение. Сначала перепишем ряд в упорядоченном виде:
36, 39, 39, 41, 44, 46, 58, 60, 67, 69.
Так как в ряде 10 чисел, то объем выборки равен 10. Найдем среднее арифметическое. Для этого сложим все числа в ряде и поделим их на объем выборки (то есть на 10):
(36+39+39+41+44+46+58+60+67+69):10 =
= 499:10 = 49,9 кг.
Размах выборки равен разнице между наибольшей и наименьшей вариантой в ней. Самый тяжелый мальчик весит 69 кг, а самый легкий – 36 кг, а потому размах ряда равен
69 – 36 = 33 кг.
В упорядоченном ряде только одно число, 39, встречается дважды, а все остальные числа встречаются по одному разу. Поэтому мода ряда будет равна 39 кг.
В выборке 10 чисел, а это четное число. Поэтому для нахождения медианы надо найти два средних по счету значение найти их среднее. На 5-ом и 6-ом месте в ряде находятся числа 44 и 46. Их среднее арифметическое равно
(44+46):2 = 90:2 = 45 кг.
Поэтому и медиана ряда будет равна 45 кг.
Ошибки в статистике
Статистика является очень мощным инструментом для исследований во всех областях человеческой деятельности. Однако иногда ее иронично называют самой точной из лженаук. Известно и ещё одно высказывание, приписываемое политику Дизраэли, согласно которому существует просто ложь, наглая ложь и статистика. С чем же связана такая репутация этой дисциплины?
Дело в том, что некоторые люди и организации часто манипулируют данными статистики, чтобы убедить других в своей правоте или преимуществах товара, которые они продают. Требуются определенные навыки, чтобы правильно пользоваться статистикой. Одна из самых распространенных ошибок – это неправильный выбор выборки.
В 1936 году перед президентскими выборами в США был проведен телефонный опрос, который показал, что с большим преимуществом победу должен одержать Альфред Лендон. Однако на выборах Франклин Рузвельт набрал почти вдвое больше голосов. Ошибка была связана с тем, что в те годы телефон могли позволить себе только богатые люди, которые в большинстве своем поддерживали Лендона. Однако бедные люди (а их, конечно же, больше, чем богатых) голосовали за Рузвельта.
Ещё один пример – это агитация в конце XIX века в США к службе на флоте. Пропагандисты в своей рекламе указывали, что, согласно статистике, смертность на флоте во время войны (испано-американской) составляет 0,09%, в то время как среди населения Нью-Йорка она равнялась 0,16%. Получалось, что служить на флоте в военное время безопаснее, чем жить мирной жизнью. Однако на самом деле причина таких цифр заключается в том, что во флот всегда отбирали молодых мужчин с хорошим здоровьем, которые не могли умереть от «старческих» болезней, в то время как в население Нью-Йорка входят больные и старые люди.
При указании среднего значения исследователь может использовать разные характеристики – среднее арифметическое, медиана, мода. При этом почти всегда среднее арифметическое несколько больше медианы. Именно поэтому большинство людей, узнающих о средней зарплате в стране, удивляются, так как они столько не зарабатывают. Правильнее ориентироваться на медианную зарплату.
Ну и наконец, нельзя забывать, что любая статистика может показать только корреляцию между двумя величинами, но это не всегда означает причинно-следственную связь. Так, известно, что чем больше в городе продается мороженого, тем больше в это же время людей тонет на пляжах. Означает ли это, что поедание мороженого увеличивает риск во время плавания? Нет. Дело в том, что оба этих показателя, продажи мороженого и количество утонувших, зависят от третьей величины – температуры в городе. Чем жарче на улице, тем большее количество людей ходят на пляж и тем больше мороженого продается в магазинах.
Продолжаем изучать элементарные задачи по математике. Сегодня мы поговорим о статистике.
Статистика — это раздел математики в котором изучаются вопросы сбора, измерения и анализа информации, представленной в числовой форме. Происходит слово статистика от латинского слова status (состояние или положение дел).
Так, с помощью статистики мы можем узнать свое положение дел, касающихся финансов. С начала месяца можно вести дневник расходов и по окончании месяца, воспользовавшись статистикой, узнать сколько денег в среднем мы тратили каждый день или какая потраченная сумма была наибольшей в этом месяце либо узнать какую сумму мы тратили наиболее часто.
На основе этой информации можно провести анализ и сделать определенные выводы: следует ли в следующем месяце немного сбавить аппетит, чтобы тратить меньше денег, либо наоборот позволить себе не только хлеб с водой, но и колбасу.
Выборка. Объем. Размах
Что такое выборка? Если говорить простым языком, то это отобранная нами информация для исследования. Например, мы можем сформировать следующую выборку — суммы денег, потраченных в каждый из шести дней. Давайте нарисуем таблицу в которую занесем расходы за шесть дней
Выборка состоит из n-элементов. Вместо переменной n может стоять любое число. У нас имеется шесть элементов, поэтому переменная n равна 6
n = 6
Элементы выборки обозначаются с помощью переменных с индексами 
. Последний 
элемент является шестым элементом выборки, поэтому вместо n будет стоять число 6.
Обозначим элементы нашей выборки через переменные
Количество элементов выборки называют объемом выборки. В нашем случае объем равен шести.
Размахом выборки называют разницу между самым большим и маленьким элементом выборки.
В нашем случае, самым большим элементом выборки является элемент 250, а самым маленьким — элемент 150. Разница между ними равна 100
Среднее арифметическое
Понятие среднего значения часто используется в повседневной жизни.
Примеры:
- средняя зарплата жителей страны;
- средний балл учащихся;
- средняя скорость движения;
- средняя производительность труда.
Речь идет о среднем арифметическом — результате деления суммы элементов выборки на их количество.
Среднее арифметическое — это результат деления суммы элементов выборки на их количество.
Вернемся к нашему примеру
Узнаем сколько в среднем мы тратили в каждом из шести дней:
Средняя скорость движения
При изучении задач на движение мы определяли скорость движения следующим образом: делили пройденное расстояние на время. Но тогда подразумевалось, что тело движется с постоянной скоростью, которая не менялась на протяжении всего пути.
В реальности, это происходит довольно редко или не происходит совсем. Тело, как правило, движется с различной скоростью.
Когда мы ездим на автомобиле или велосипеде, наша скорость часто меняется. Когда впереди нас помехи, нам приходиться сбавлять скорость. Когда же трасса свободна, мы ускоряемся. При этом за время нашего ускорения скорость изменяется несколько раз.
Речь идет о средней скорости движения. Чтобы её определить нужно сложить скорости движения, которые были в каждом часе/минуте/секунде и результат разделить на время движения.
Задача 1. Автомобиль первые 3 часа двигался со скоростью 66,2 км/ч, а следующие 2 часа — со скоростью 78,4 км/ч. С какой средней скоростью он ехал?
Сложим скорости, которые были у автомобиля в каждом часе и разделим на время движения (5ч)
Значит автомобиль ехал со средней скоростью 71,08 км/ч.
Определять среднюю скорость можно и по другому — сначала найти расстояния, пройденные с одной скоростью, затем сложить эти расстояния и результат разделить на время. На рисунке видно, что первые три часа скорость у автомобиля не менялась. Тогда можно найти расстояние, пройденное за три часа:
66,2 × 3 = 198,6 км.
Аналогично можно определить расстояние, которое было пройдено со скоростью 78,4 км/ч. В задаче сказано, что с такой скоростью автомобиль двигался 2 часа:
78,4 × 2 = 156,8 км.
Сложим эти расстояния и результат разделим на 5
Задача 2. Велосипедист за первый час проехал 12,6 км, а в следующие 2 часа он ехал со скоростью 13,5 км/ч. Определить среднюю скорость велосипедиста.
Скорость велосипедиста в первый час составляла 12,6 км/ч. Во второй и третий час он ехал со скоростью 13,5. Определим среднюю скорость движения велосипедиста:
Мода и медиана
Модой называют элемент, который встречается в выборке чаще других.
Рассмотрим следующую выборку: шестеро спортсменов, а также время в секундах за которое они пробегают 100 метров
Элемент 14 встречается в выборке чаще других, поэтому элемент 14 назовем модой.
Рассмотрим еще одну выборку. Тех же спортсменов, а также смартфоны, которые им принадлежат
Элемент iphone встречается в выборке чаще других, значит элемент iphone является модой. Говоря простым языком, носить iphone модно.
Конечно элементы выборки в этот раз выражены не числами, а другими объектами (смартфонами), но для общего представления о моде этот пример вполне приемлем.
Рассмотрим следующую выборку: семеро спортсменов, а также их рост в сантиметрах:
Упорядочим данные в таблице так, чтобы рост спортсменов шел по возрастанию. Другими словами, построим спортсменов по росту:
Выпишем рост спортсменов отдельно:
180, 182, 183, 184, 185, 188, 190
В получившейся выборке 7 элементов. Посередине этой выборки располагается элемент 184. Слева и справа от него по три элемента. Такой элемент как 184 называют медианой упорядоченной выборки.
Медианой упорядоченной выборки называют элемент, располагающийся посередине.
Отметим, что данное определение справедливо в случае, если количество элементов упорядоченной выборки является нечётным.
В рассмотренном выше примере, количество элементов упорядоченной выборки было нечётным. Это позволило нам быстро указать медиану
Но возможны случаи, когда количество элементов выборки чётно.
К примеру, рассмотрим выборку в которой не семеро спортсменов, а шестеро:
Построим этих шестерых спортсменов по росту:
Выпишем рост спортсменов отдельно:
180, 182, 184, 186, 188, 190
В данной выборке не получается указать элемент, который находился бы посередине. Если указать элемент 184 как медиану, то слева от этого элемента будут располагаться два элемента, а справа — три. Если как медиану указать элемент 186, то слева от этого элемента будут располагаться три элемента, а справа — два.
В таких случаях для определения медианы выборки, нужно взять два элемента выборки, находящихся посередине и найти их среднее арифметическое. Полученный результат будет являться медианой.
Вернемся к нашим спортсменам. В упорядоченной выборке 180, 182, 184, 186, 188, 190 посередине располагаются элементы 184 и 186
Найдем среднее арифметическое элементов 184 и 186
Элемент 185 является медианой выборки, несмотря на то, что этот элемент не является членом исходной и упорядоченной выборки. Спортсмена с ростом 185 нет среди остальных спортсменов. Рост в 185 см используется в данном случае для статистики, чтобы можно было сказать о том, что срединный рост спортсменов составляет 185 см.
Поэтому более точное определение медианы зависит от количества элементов в выборке.
Если количество элементов упорядоченной выборки нечётно, то медианой выборки называют элемент, располагающийся посередине.
Если количество элементов упорядоченной выборки чётно, то медианой выборки называют среднее арифметическое двух чисел, располагающихся посередине этой выборки.
Медиана и среднее арифметическое по сути являются «близкими родственниками», поскольку и то и другое используют для определения среднего значения. Например, для предыдущей упорядоченной выборки 180, 182, 184, 186, 188, 190 мы определили медиану, равную 185. Этот же результат можно получить путем определения среднего арифметического элементов 180, 182, 184, 186, 188, 190
Но медиана в некоторых случаях отражает более реальную ситуацию. Например, рассмотрим следующий пример:
Было подсчитано количество имеющихся очков у каждого спортсмена. В результате получилась следующая выборка:
0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 5, 4, 5, 0, 1, 6, 1
Определим среднее арифметическое для данной выборки — получим значение 2,2
По данному значению можно сказать, что в среднем у спортсменов 2,2 очка
Теперь определим медиану для этой же выборки. Упорядочим элементы выборки и укажем элемент, находящийся посередине:
0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6
В данном примере медиана лучше отражает реальную ситуацию, поскольку половина спортсменов имеет не более одного очка.
Частота
Частота это число, которое показывает сколько раз в выборке встречается тот или иной элемент.
Предположим, что в школе проходят соревнования по подтягиваниям. В соревнованиях участвует 36 школьников. Составим таблицу в которую будем заносить число подтягиваний, а также число участников, которые выполнили столько подтягиваний.
По таблице можно узнать сколько человек выполнило 5, 10 или 15 подтягиваний. Так, 5 подтягиваний выполнили четыре человека, 10 подтягиваний выполнили восемь человек, 15 подтягиваний выполнили три человека.
Количество человек, повторяющих одно и то же число подтягиваний в данном случае являются частотой. Поэтому вторую строку таблицы переименуем в название «частота»:
Такие таблицы называют таблицами частот.
Частота обладает следующим свойством: сумма частот равна общему числу данных в выборке.
Это означает, что сумма частот равна общему числу школьников, участвующих в соревнованиях, то есть тридцати шести. Проверим так ли это. Сложим частоты, приведенные в таблице:
4 + 5 + 10 + 8 + 6 + 3 = 36
Относительная частота
Относительная частота это в принципе та же самая частота, которая была рассмотрена ранее, но только выраженная в процентах.
Относительная частота равна отношению частоты на общее число элементов выборки.
Вернемся к нашей таблице:
Пять подтягиваний выполнили 4 человека из 36. Шесть подтягиваний выполнили 5 человек из 36. Восемь подтягиваний выполнили 10 человек из 36 и так далее. Давайте заполним таблицу с помощью таких отношений:
Выполним деление в этих дробях:
Выразим эти частоты в процентах. Для этого умножим их на 100. Умножение на 100 удобно выполнить передвижением запятой на две цифры вправо:
Теперь можно сказать, что пять подтягиваний выполнили 11% участников, 6 подтягиваний выполнили 14% участников, 8 подтягиваний выполнили 28% участников и так далее.
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
