Как найти моду в теории вероятности онлайн

Мода и медиана функции плотности распределения f(x)

Задача 5. Плотность распределения вероятностей случайной величины Х имеет вид



1. Найти:

а) параметр распределения С (в виде дроби);

а) математическое ожидание M(X);

б) дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(Х);

в) функцию распределения F(x) случайной величины X;

г) моду M₀;

д) медиану M_e;

е) вероятность осуществления неравенств    и   .

2. Построить графики функций f(x) и F(x). Изобразить на графике функции f(x) найденные характеристики и вероятности.

Решение находим с помощью калькулятора.

Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x):

0, x ≤ 0

2•A(⁸/₅-x), 0 < x < ⁸/₅

0, x ≥ ⁸/₅

Найдем параметр A из условия:

или

64/25*A-1 = 0

Откуда,

A = ²⁵/₆₄

Поскольку находили квадрат A, то

а) Математическое ожидание.

б) Дисперсия.

= ^-25/₁₂₈•(⁸/₅)⁴+⁵/₁₂•(⁸/₅)³ – (^-25/₁₂₈•0⁴+⁵/₁₂•0³) – (⁸/₁₅)² = ³²/₂₂₅

Среднеквадратическое отклонение.

в) Функция распределения F(x) случайной величины X.

г) Мода M₀.

Модой M₀(X) называют то возможное значение X, при котором плотность распределения имеет максимум.

Построим график функции плотности распределения.



Как видим, максимум функции соответствует  x = 0.

M_o( 0) = 2•25/64(⁸/₅-0) = 5/4

д) Медиана M_e.

Медианой M_e(X) называют то возможное значение X, при котором ордината f(x) делит пополам площадь, ограниченную кривой распределения.

Необходимо найти такое x, при котором функция распределения равна ½.





Решая уравнение:



получаем:

 



Поскольку функция ограничена на интервале (0; 1,6), то искомое значение x = 0,46.

Построим график функции распределения.

е) Вероятность осуществления неравенств    и   .

Перейти к онлайн решению своей задачи

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Мода и медиана случайной величины.
Квантиль уровня случайной величины

• Краткая теория
• Примеры решения задач

Краткая теория

---

Кроме
математического ожидания и дисперсии, в теории вероятностей применяется еще ряд
числовых характеристик, отражающих те или иные особенности распределения.

Мода непрерывной и дискретной случайной величины

Модой
случайной величины называется ее наиболее вероятное значение, для которого
вероятность

 или плотность вероятности

 достигает максимума.

В
частности, наивероятнейшее значение числа успехов в схеме Бернулли – это мода
биномиального распределения.

Если
вероятность или плотность вероятности достигает максимума не в одной, а в
нескольких точках, распределение называется полимодальным.

Полимодальное распределение

Медиана непрерывной и дискретной случайной величины

Медианой случайной величины

 называют число

, такое, что

.

То есть вероятность того, что
случайная величина

 примет
значение, меньшее медианы

 или больше ее,
одна и та же и равна

.

Для дискретной случайной величины

 это число может
не совпадать ни с одним из значений

. Поэтому медиану дискретной случайной величины
определяют как любое число

, лежащее между двумя соседними возможными значениями

 и

 такими, что

.

Для непрерывной случайной величины,
геометрически, вертикальная прямая

, проходящая через точку с абсциссой, равной

, делит площадь фигуры под кривой распределения на две
равные части.

Медиана на графике плотности вероятности непрерывной
случайной величины

Очевидно, что в точке

  функция распределения непрерывной случайной
величины равна

, то есть

.

Медиана на графике функции распределения непрерывной
случайной величины

Квантили и процентные точки случайной величины

Наряду с отмеченными выше числовыми
характеристиками для описания случайной величины используется понятие квантилей
и процентных точек.

Квантилем уровня

 (или

 – квантилем)
называется такое значение

 случайной
величины, при котором функция ее распределения принимает значение, равное

, то есть:

Некоторые квантили получили особое
называние. Очевидно, что введенная выше медиана случайной величины есть
квантиль уровня 0,5, то есть

. Квантили

 и

 получили
название соответственно верхнего и нижнего квантилей. Также в литературе
встречаются термины: децили (под которыми понимают квантили

) и процентили (квантили

).

С понятием квантиля тесно связано
понятие процентной точки. Под

 точкой
подразумевается квантиль

, то есть такое значение случайной величины

, при котором

.

Смежные темы решебника:

• Структурные средние в статистике – мода, медиана, квантиль, дециль
• Дискретная случайная величина
• Непрерывная случайная величина

Примеры решения задач

---

Пример 1

Найти
моду, медиану, квантиль

 и 40%-ну точку случайной величины

 c плотностью распределения:

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Исследуем
функцию на наибольшее и наименьшее значение на отрезке

Производная:

Производная
не обращается в нуль.

Значения
на концах отрезка:

Следовательно,
мода:

Медиану

 найдем из условия:

В нашем
случае получаем:

Значение

 принадлежит отрезку

,
следовательно, искомая медиана:

Квантиль

 найдем из уравнения:

Значение

 принадлежит отрезку

,
следовательно, искомый квантиль:

Найдем
40%-ную точку случайной величины

, или квантиль

 из уравнения:

Значение

 принадлежит отрезку

,
следовательно, искомая точка:

Ответ:

.

---

Пример 2

Найти
моду, медиану, квантиль

 случайной величины

, заданной функцией
распределения:

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Найдем
плотность распределения:

Исследуем
функцию на наибольшее и наименьшее значение на отрезке

Производная:

Значения
функции

 в стационарных точках и на концах отрезка:

Распределение
полимодальное:

Медиану

 найдем из уравнения:

Итак,
медиана:

Квантиль

 найдем из уравнения:

Итак:

Ответ:

.

• Краткая теория
• Примеры решения задач

Значение случайной
величины
,
принимаемое с наибольшей вероятностью,
называетсямодойи обозначается

Мода называется
еще наивероятнейшим значениемслучайной величины.

Если эксперимент
описывается случайной величиной, то в
результате проведенной серии этого
эксперимента чаще всего встречается
мода случайной величины.

Медианаявляется значением случайной величины.
Вероятность того, что случайная величина
принимает значение меньше медианы,
равна 0,5:

Не все дискретные
случайные величины имеют медиану.

Пример 1. Задан
закон распределения случайной величины

		3	5	6
	0,2	0,3	0,4	0,1

Найти моду и медиану
случайной величины
.

Найдем моду:

.

Тогда
.

Для нахождения
медианы нужно рассмотреть
,
гдезначения
случайной величины.

.

Заметим, что
.

Из данных закона
распределения случайной величины

.

Тогда
.
Нет необходимости находить.

Пример 2. Задан
закон распределения случайной величины

	0	1
	0,9	0,1

Найти моду и медиану
случайной величины
.
Значение 0 принимается с наибольшей
вероятностью

.

Тогда
.

Найдем медиану

.

Нет значения
случайной величины,
при котором.
Поэтому случайная величинамедианы не имеет.

3.6. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции

Вводится величина,
характеризующая зависимость между
двумя случайными величинами. Задано
совместное распределение случайных
величин
и

.

Корреляционным
моментомслучайных величини(иликовариациеймеждуи)
называется число

Для дискретных
случайных величин
иимеем

.

Непосредственно
из свойств математического ожидания
вытекают свойства ковариации:

1. ;

2. ;

Для дискретных
случайных величин имеем
.

1. ;

2. ;

3. Если случайные
   величины независимы, то их ковариация
   равна нулю.

Обратное не верно.
Если
,
то случайные величиныимогут быть как зависимыми, так и
независимыми.

Коэффициентом
корреляциимежду случайными величинамииназываются число

.

Приведем некоторые
свойства коэффициента корреляции.

1. 

Пусть
и введем случайную величину

.

Знакоположительная
случайная величина
имеет не отрицательное математическое
ожидание:

при любом
.

Распишем

.

Получаем квадратичное
неравенство

,
где
,.

Неравенство
выполняется при любом
,
если дискриминант неположительный.
Тогда

,
откуда

.

Таким образом,
.

1. Если
   инезависимы, то,
   что следует из свойства 5 ковариации.

2. Коэффициент
   корреляции равен
   тогда и только тогда, когда случайные
   величины линейно зависимы

Пусть
.
Тогдаи,

.

Тогда
.

Пусть
.

Рассмотрим случайную
величину

.

Найдем

,

.

Из свойства
математического ожидания

.

Тогда

и

.

Получим линейное
выражение
через.

Случай
разбирается аналогично. Вводится
случайная величина.

Пример 1. Задано
совместное распределение случайных
величини

	2	4
0	0,1	0,3
1	0,2	0,4

Найти
.

Запишем распределения
случайных величин
и

	0	1	;
	0,4	0,6

	2	4	.
	0,3	0,7

Найдем основные
характеристики случайных величин
и:

;

;

.

Используем формулу
.

Найдем
:

.

Тогда
и

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Для нахождения моды и медианы случайной величины необходимы хорошие умения интегрировать и знания следующего теоретического материала. Модой дискретной случайной величины называют те ее возможное значение, которые соответствует наибольшей вероятности появления (т.е. такое значение величины , которое случается чаще всего при проведении экспериментов, опытов, наблюдений). В случае случайной величины модой называют то ее возможное значение, которому соответствует максимальное значение плотности вероятностей

В зависимости от вида функции случайная величина может иметь разное количество мод. Если случайная величина имеет одну моду, то такое распределение вероятностей называют одномодальным; если распределение имеет две моды — двухмодальным и более – мультимодальным.

Существуют и такие распределения, которые не имеют моды, их называют антимодальными. Медианой случайной величины называют то ее значения, для которого выполняются равенство вероятностей событий, то есть, плотность вероятностей справа и слева одинаковы и равны половине (0,5)

Графически мода и медиана изображенные на рисунке

При таком значению случайной величины график функции распределения делится на части с одинаковой площадью. Непрерывная случайная величина имеет только одно значение медианы. Для дискретной случайной величины медиану обычно не определяют, однако в некоторой литературе приводятся правила, согласно которым, для ряда случайных величин размещенных в порядке возрастания (вариационного ряда) моду определяют распределения: если есть нечетное количество случайных величин то медиана равна средней величине

в случае четного количества полусумме средних величин

Рассмотрим примеры определения моды и медианы.

Пример 1. В развлекательном центре работник обслуживает четыре дорожки для боулинга. Вероятность того, что какая-то дорожка нуждается в уборке в течение смены является постоянной величиной с вероятностью 85%.

Построить закон распределения вероятностей дискретной случайной величины — количество дорожек, которые требуют уборки. Найти моду .

Решение. Случайной величина может принимать значения

Вероятности появления значений определяем по образующей функцией

Для заданной задачи входные величины принимают значения

Искомые вероятности входят множителями при степенях аргумента

Закон распределения вероятностей запишем в виде таблицы

С таблице определяем моду , как значение при максимальной вероятности. Получили одномодальное распределение

Пример 2. По заданной плотностью вероятностей

найти параметр , плотность вероятностей , моду .

Решение. Применяя условие нормирования выполняем интегрирование

после того определяем параметр

Плотность вероятностей, учитывая найденное значение будет иметь вид

а ее график изображен на рисунке ниже

Из графика плотности вероятностей видим, что мода принимает значение . Определим медиану с помощью функции распределения вероятностей. Ее значение на промежутке находим интегрированием

Функция распределения иметь следующий вид

а ее график будет иметь вид

Для определения медианы случайной величины применяем формулу

Медиану можно найти с помощью плотности вероятностей

для дискретной случайной величины из промежутка

Таким образом медиану — возможное значение случайной величины , при котором прямая, проведенная перпендикулярно соответствующей точки на плоскости , делит площадь фигуры, ограниченной функцией плотности вероятностей на две равные части.

——————————-

Задача на определение моды и медианы случайной величины встречаются на практике не так часто, как плотности распределения вероятностей, однако вышеприведенный теоретический материал и решения распространенных примеров помогут Вам находить эти величины без больших затрат времени. При необходимости Вы всегда можете заказать решение задач по теории вероятностей в нас.