Как найти модуль числа в степени

Математические термины

Во всём последующем материале никак не фигурирует понятие “модуль числа”
в привычном смысле ((lvert x rvert)). Речь идёт о “сравнении по модулю”.
Если вы не знакомы с этим понятием, вкратце сравнение по модулю выглядит
следующим образом:

[a equiv b pmod{m}.]

Это читается “(a) сравнимо с (b) по модулю (m)”, и в привычных для
информатики терминах обозначает следующее:

[(a – b) bmod m = 0]

или

[a bmod m = b bmod m,]

где (bmod) – операция взятия остатка от деления.

Поле по модулю

В некоторых задачах фигурирует условие следующего вида: “выведите остаток от
деления ответа на 1000000007” или “выведите ответ по модулю 1000000007”. Это
вовсе не значит, что вам нужно посчитать ответ обычным способом и вывести
ans % 1000000007. Ответ в таких задачах
часто настолько огромен, что его сложно представить даже с помощью длинной
арифметики. Для их решения нужно вносить изменения во все
промежуточные вычисления, чтобы не выйти за границы целочисленного типа.

Можно сказать, что в таких задачах мы оперируем не числами, а
их остатками от деления на 1000000007. Это возможно благодаря
следующим свойствам вычислений с остатком:

[(a + b) bmod m = ((a bmod m) + (b bmod m)) bmod m \
(a – b) bmod m = ((a bmod m) – (b bmod m)) bmod m \
(ab) bmod m = ((a bmod m) * (b bmod m)) bmod m]

Таким образом, мы можем выполнять три важнейшие математические операции,
даже не зная точных значений чисел, только их остатки от деления на заданное
число (модуль). Деление – отдельная тема,
которую мы обсудим позже.

Не углубляясь в определения терминов из высшей математики, операции с остатками
от деления на модуль называются операциями в поле по модулю, а сами
остатки – числами по модулю.

Примечание: термин “поле” применим только в том случае, когда модуль –
простое число. В противном случае это называется “кольцо”. Отличие
заключается в том, что для поля определена операция деления, а для кольца –
нет.

Доказательство возможности сложения, вычитания и умножения по модулю

Для начала докажем достаточно очевидное утверждение:

[forall n in mathbb{Z}: x bmod m = (x + nm) bmod m.]

Доказательство:

[((x + nm) – x) bmod m = nm bmod m = 0]

Значит, по определению сравнимости, (forall n in mathbb{Z}: x equiv x + nm pmod{m}),
что и требовалось доказать.

Докажем возможность сложения ((x) и (y) – целые части от
деления (a) и (b) на (m) соответственно):

[(a + b) bmod m = \
= (xm + a bmod m + ym + b bmod m) bmod m = \
= (a bmod m + b bmod m + m(x + y)) bmod m, = \
= (a bmod m + b bmod m) bmod m,]

что и требовалось доказать.

Вычитание и умножение доказываются похожим образом:

[(a – b) bmod m = \
= (xm + a bmod m – ym – b bmod m) bmod m = \
= (a bmod m – b bmod m + m(x – y)) bmod m, = \
= (a bmod m – b bmod m) bmod m,]

[(a * b) bmod m = \
= ((xm + a bmod m) * (ym + b bmod m)) bmod m = \
= (a bmod m * b bmod m + a bmod m * ym + b bmod m * xm + xym^2) bmod m = \
= (a bmod m * b bmod m + m(a bmod m * y + b bmod m * x + xym)) bmod m = \
= (a bmod m * b bmod m) bmod m]

Пример: вычисление факториала по модулю

В качестве примера, вычислим значение (10^8!) по модулю (10^9 + 7):

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12



const long long MOD = 1e9 + 7;

long long fact_mod() {
    long long result = 1;

    for (int i = 1; i <= 100000000; i++) {
        result *= i;
        result %= MOD;  //Самая важная строка.
    }

    return result;
}









  


                       
  




Как видите, на практике вычисления в поле по модулю отличаются от обычных

лишь наличием взятия всех промежуточных результатов по модулю (строка 8).

Однако существует два момента, которые нужно всегда учитывать для избежания

ошибок:


Взятие отрицательных чисел по модулю.

Согласно математическому определению, (-1 bmod 5 = 4), так как (-1 = -1 * 5 + 4).

К сожалению, оператор % в С++ реализован иначе, и по его версии (-1 bmod 5 = -1).

Это может привести к ошибкам в вычислениях, поэтому нужно вручную обрабатывать такие

случаи следующим образом:

long long result;
//...
result -= x;
result %= MOD;
if (result < 0) result += MOD;   //Теперь всё должно работать.




Переполнение типа int при умножении.

Не рекомендуется использовать тип int для хранения чисел по модулю

1000000007, так как при умножении двух таких чисел результат может достигать (10^{18}),

что вызывет переполнение. При умножении чисел по модулю всегда используйте тип

long long!


Возведение в степень по модулю. Бинарное возведение в степень
Возможность умножения по модулю позволяет нам естественным образом возводить

числа в различные степени по модулю. При операциях в поле по модулю степени часто

сильно превышают привычные значения, и тривиальный алгоритм с линейным временем

работы оказывается неприменимым. В таких ситуациях чаще всего используется

алгоритм бинарного возведения в степень.
Алгоритм бинарного возведения в степень достаточно лаконичен. Его идея

заключается в том, чтобы использовать возведение в квадрат промежуточных

результатов, когда это возможно. Используется следующее очевидное свойство:
[x^{2n} = x^n * x^n]
Таким образом засчёт одной операции умножения можно уменьшить степень вдвое.

Если же текущая степень нечётная, то можно просто уменьшить её на единицу простым

умножением, и получить чётную.



  


                       
  




Простой рекурсивный вариант на C++:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15



const long long MOD = 1e9 + 7;

//base ^ p
long long bin_pow(long long base, long long p) {
    if (p == 1) {
        return base;    //Выход из рекурсии.
    }

    if (p % 2 == 0) {
        long long t = bin_pow(base, p / 2);
        return t * t % MOD;
    } else {
        return bin_pow(base, p - 1) * base % MOD;
    }
}






Можно заметить, что в худшем случае на каждом втором вызове функции

степень будет уменьшаться вдвое. Значит, время работы алгоритма можно оценить

как (O(log p)).
Разумеется, бинарное возведение в степень можно использовать и без модуля,

но степени в таких случаях слишком малы, чтобы заметить разницу в скорости.
Деление в поле по модулю
К сожалению, деление не так легко адаптируется к полю по модулю, как другие

арифметические операции. В этом разделе описывается один из способов деления

по модулю, но не приводится его доказательство, так как оно значительно

усложнило бы эту лекцию.
С делением по модулю связана одна особенность. Чтобы операция (a/b bmod m)

имела смысл, необходимо, чтобы числа (b) и (m) были взаимнопростыми. Если модуль

(m) – простое число, он является взаимнопростым со всеми числами по модулю

(m), то есть, делить можно на все числа. Но если модуль составной, то операция

деления имеет смысл лишь для некоторых чисел, и определяется значительно сложнее.

На практике считается, что делить можно только в поле по простому модулю.
Деление по модулю определяется через умножение следующим образом:



  


                       
  




[{a over b} bmod b = (a * {1 over b}) bmod m = ab^{-1} bmod m.]
Ключевую роль играет значение (b^{-1}), называющееся обратный элемент в

поле по модулю. Оно никак не связано с классическим понятием обратного

числа, хотя бы тем, что всегда является целым (так как в поле по модулю

существуют только целые числа). Для обратного элемента должно выполняться

следующее условие:
[(x * x^{-1}) bmod m = 1.]
Например, обратным элементов в поле по модулю (1000000007) для числа (2) является

число (500000004), так как ((2 * 500000004) bmod 1000000007 = 1). Следовательно, в

поле по модулю (1000000007) делению на (2) соответствует умножение на (500000004)
Алгоритм нахождения обратного элемента в поле по простому модулю

достаточно прост (в реализации) и выражается следующей формулой:
[x^{-1} bmod m = x^{m – 2} bmod m]
Как можно заметить, число (x) возводится в достаточно большую степень, и

линейный алгоритм в этой ситуации не подойдёт. Вот и пример необходимости

использования бинарного возведения в степень по модулю.



  


                       
  




Реализация на C++:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24



const long long MOD = 1e9 + 7;

//base ^ p
long long bin_pow(long long base, long long p) {
    if (p == 1) {
        return base;
    }

    if (p % 2 == 0) {
        long long t = bin_pow(base, p / 2);
        return t * t % MOD;
    } else {
        return bin_pow(base, p - 1) * base % MOD;
    }
}

long long inverse_element(long long x) {
    return bin_pow(x, MOD - 2);
}

//(a / b) mod m
long long divide(long long a, long long b) {
    return a * inverse_element(b) % MOD;
}






Стоит заметить что из-за использования бинарного возведения в степень,

деление по модулю имеет сложность (O(log m)), тогда как все остальные

арифметические операции по модулю работают за (O(1)).

Возведение в степень по модулю — одна из операций над натуральными числами — возведение в степень, — выполняемая по модулю. Находит применение в информатике, особенно, в области криптографии с открытым ключом.

Возведение в степень по модулю — это вычисление остатка от деления натурального числа a (основание), возведенного в степень n (показатель степени), на натуральное число m (модуль). Обозначается:

Например, пусть нам даны a = 5, n = 3 и m = 13, тогда решение c = 8 — это остаток от деления на 13.

Если a, n и m неотрицательны и a < m, то единственное решение c существует, причем 0 ⩽ c < m.

Возведение в степень по модулю может быть выполнено и с отрицательным показателем степени n. Для этого необходимо найти число d, обратное числу a по модулю m. Это легко сделать с помощью алгоритма Евклида. Таким образом,

, где n < 0 и

Возвести в степень по модулю довольно легко, даже при больших входных значениях. А вот вычисление дискретного логарифма, то есть нахождение показателя степени n при заданных a, c и m, намного сложнее. Такое одностороннее поведение функции делает её кандидатом для использования в криптографических алгоритмах.

Простой метод[править | править код]

Самый простой способ возвести в степень по модулю — это непосредственное вычисление числа , а затем нахождение остатка от деления этого числа на m. Рассчитаем c, если a = 4, n = 13 и m = 497:

Можно использовать калькулятор для вычисления 4¹³, получим 67,108,864. Теперь возьмем это число по модулю 497 и получим 445.

a имеет только один символ в длину, n имеет только два символа в длину, а значение aⁿ имеет 8 символов в длину.

В криптографии a часто имеет 256 двоичных разрядов (77 десятичных цифр). Рассмотрим a = 5 × 10⁷⁶ и n = 17, они оба принимают вполне реальные значения. В этом примере a 77 символов в длину, а n — 2 символа в длину, но результат возведения в степень имеет 1304 символов в длину. Такие расчеты возможны на современных компьютерах, но скорость вычисления таких чисел невелика. Значения a и n увеличивают, чтобы добиться большего уровня безопасности, из-за чего значение aⁿ становится громоздким.

Время, необходимое для возведения в степень, зависит от операционной системы и процессора. Описанный выше способ требует O(n) умножений.

Метод, эффективно использующий память[править | править код]

Данный метод требует большего числа операций, по сравнению с предыдущим. Однако, так как памяти требуется меньше и операции занимают меньшее время, то алгоритм работает гораздо быстрее.

Данный алгоритм основывается на том факте, что для заданных a и b следующие 2 уравнения эквивалентны:

Алгоритм следующий:

1. Пусть c = 1, n′ = 0.
2. Увеличим n′ на 1.
3. Установим .
4. Если n′ < n, возвращаемся к шагу 2. В противном случае, c содержит правильный ответ .

При каждом проходе шага 3, выражение верно. После того, как шаг 3 был выполнен n раз, в c содержится искомое значение. Таким образом, алгоритм основывается на подсчитывании n′ до тех пор, пока n′ не достигнет n при умножении c (из предыдущей итерации цикла) на b по модулю m в текущей итерации цикла (чтобы гарантировать, что результат будет маленьким).

Например, b = 4, n = 13 и m = 497. Алгоритм проходит через шаг 3 тринадцать раз.

• n′ = 1. c = (1 * 4) mod 497 = 4 mod 497 = 4.
• n′ = 2. c = (4 * 4) mod 497 = 16 mod 497 = 16.
• n′ = 3. c = (16 * 4) mod 497 = 64 mod 497 = 64.
• n′ = 4. c = (64 * 4) mod 497 = 256 mod 497 = 256.
• n′ = 5. c = (256 * 4) mod 497 = 1024 mod 497 = 30.
• n′ = 6. c = (30 * 4) mod 497 = 120 mod 497 = 120.
• n′ = 7. c = (120 * 4) mod 497 = 480 mod 497 = 480.
• n′ = 8. c = (480 * 4) mod 497 = 1920 mod 497 = 429.
• n′ = 9. c = (429 * 4) mod 497 = 1716 mod 497 = 225.
• n′ = 10. c = (225 * 4) mod 497 = 900 mod 497 = 403.
• n′ = 11. c = (403 * 4) mod 497 = 1612 mod 497 = 121.
• n′ = 12. c = (121 * 4) mod 497 = 484 mod 497 = 484.
• n′ = 13. c = (484 * 4) mod 497 = 1936 mod 497 = 445.

Конечный ответ c равняется 445, как и в первом методе.

Как и в первом методе, требуется O(n) умножений для завершения. Однако, так как числа используемые в этих расчетах намного меньше, то время выполнения данного алгоритма уменьшается.

В псевдокоде это выглядит так:

 function modular_pow(base, index_n, modulus)
    c := 1
    for index_n_prime = 1 to index_n 
        c := (c * base) mod modulus
    return c

Алгоритм быстрого возведения в степень по модулю[править | править код]

Основной источник: ^[1]

Применяя алгоритм быстрого возведения в степень для 595⁷⁰³ (mod 991):

Имеем n = 703 =(1010111111)₂ = 2⁰+2¹+2²+2³+2⁴+2⁵+ 2⁷+2⁹.

595⁷⁰³ = ((((((((595²)²*595)²)²* 595)²*595)² * 595)²*595)²*595)²*595

= (((((((238²*595)²)²* 595)²*595)² * 595)²*595)²*595)²*595

= ((((((261²)²* 595)²*595)² * 595)²*595)²*595)²*595

= (((((733²* 595)²*595)² * 595)²*595)²*595)²*595

= (((((167* 595)²*595)² * 595)²*595)²*595)²*595

= ((((265²*595)² * 595)²*595)²*595)²*595

= (((342² * 595)²*595)²*595)²*595

= ((605²*595)²*595)²*595

= (733²*595)²*595

= (167*595)²*595

= 265²*595

= 342.

Схема «справа налево»[править | править код]

Основной источник: ^[2]

Другим вариантом является схема типа «справа налево». Её можно представить следующей формулой:

Пример. Посчитаем с помощью простой двоичной схемы возведения в степень типа «справа налево» значение 175²³⁵ mod 257.

Представим число 235 в двоичном виде:

235₁₀ = 11101011₂.

1. d := 1 * 175 mod 257 = 175,

t := 175² mod 257 = 42;

2. d := 175 * 42 mod 257 = 154,

t := 42² mod 257 = 222;

3. t := 222² mod 257 = 197;

4. d := 154 * 197 mod 257 = 12,

t := 197² mod 257 = 2;

5. t := 2² mod 257 = 4;

6. d := 12 * 4 mod 257 = 48,

t := 4² mod 257 = 16;

7. d := 48 * 16 mod 257 = 254,

t := 16² mod 257 = 256;

8. d := 254 * 256 mod 257 = 3,

9. → d = 3. Потребовалось 7 возведений в квадрат и 6 умножений.

Матрицы[править | править код]

Числа Фибоначчи по модулю n можно эффективно найти путём вычисления A^m (mod n) для определенного m и определенной матрицы A. Перечисленные методы легко могут быть применены в данном алгоритме. Это обеспечивает хороший тест простоты для больших чисел n (500 бит).

Псевдокод[править | править код]

Рекуррентный алгоритм для ModExp(A, b, c) = A^b (mod c), где A является квадратной матрицей.

matrix ModExp(matrix A, int b, int c) {
   if (b == 0) return I; // Единичная матрица
   if (b % 2 == 1) return (A * ModExp(A, b-1, c)) % c; 
   matrix D = ModExp(A, b/2, c);
   return (D * D) % c;
}

Конечность циклических групп[править | править код]

Обмен ключами Диффи — Хеллмана использует возведение в степень в конечных циклических группах. Приведенный выше метод возведения матрицы в степень полностью распространяется и на циклические группы. Умножение матриц по модулю C = AB (mod n) просто заменяется групповым умножением c = ab.

Реверсивное и квантовое возведение в степень по модулю[править | править код]

В квантовых вычислениях возведение в степень по модулю является частью алгоритма Шора. Также, в данном алгоритме можно узнать основание и показатель степени при каждом вызове, которые позволяют различные модификации схемы^[3].

В языках программирования[править | править код]

Возведение в степень по модулю является важной операцией в информатике и есть эффективные алгоритмы (см. выше), которые гораздо быстрее, чем простое возведение в степень и последующее взятие остатка. В языках программирования существуют библиотеки, содержащие специальную функцию для возведения в степень по модулю:

• Python содержит встроенную функцию pow()^[4]
• .NET Framework содержит BigInteger class, включающий в себя ModPow()^[5]
• Java содержит java.math.BigInteger class, включающий в себя modPow()^[6]
• Perl содержит Math::BigInt модуль, включающий в себя метод bmodpow()^[7]
• Go содержит big.Int тип, включающий в себя метод Exp()^[8]
• PHP содержит BC Math библиотеку, включающую в себя функцию bcpowmod()^[9]
• GNU Multi-Precision Library (GMP) библиотека содержит функцию mpz_powm()^[10]

См. также[править | править код]

• Алгоритм Монтгомери для расчета остатка, когда модуль очень велик.
• Алгоритм быстрого возведения в степень для ускорения расчетов.
• Алгоритмы быстрого возведения в степень по модулю

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Молдовян Н. А. Теоретический минимум и алгоритмы цифровой подписи. — СПб.: БВХ-Петербург: Книжный Дом «ЛИБРОКОМ», 2010. — 304 с. — ISBN 978-5-9775-0585-7.
• Schneier, Bruce. Applied Cryptography: Protocols, Algorithms, and Source Code in C, Second Edition. — 2nd. — Wiley, 1996. — ISBN 978-0-471-11709-4.
• Валицкас А. И. Конспект лекций по дисциплине: Элементы абстрактной и компьютерной алгебры. // Тобольск, ТГПИ им. Д. И. Менделеева, 2004.
• Габидулин Э. М, Кшевецкий А. С, Колыбельников А. И, Владимиров С. М. Защита информации (Учебное пособие): Возведение в степень по модулю (стр. 253) // МФТИ, 2014.

Этот калькулятор можно использовать для возведения в степень целого числа по модулю. Калькулятор позволяет задать большие целые числа и в модуле, и в основании, и в показателе степени. Используется быстрый алгоритм, описанный сразу за калькулятором.

Алгоритмы быстрого возведения в степень

Если применять наивный способ возведения в степень – просто перемножить p-1 раз основание, нам потребуется на единицу меньше умножений, чем показатель степени. Несмотря на всю мощь современных компьютеров, такой способ нам не подходит, так как мы собираемся использовать для показателя числа даже большие, чем стандартные 64-битные целые. Например, в простом числе Мерсена: 618970019642690137449562111, уменьшая на единицу которое мы используем как значение показателя степени по-умолчанию, насчитывается 89 двоичных разрядов (см. Сколько бит занимает число).
Чтобы оперировать подобными показателями требуются алгоритмы быстрого возведения в степень.

В калькуляторе Возведение полинома в степень мы уже задействовали один быстрый алгоритм возведения в степень, основанный на дереве степеней, который позволяет свести к минимуму число операций умножения. Однако для огромных показателей реализация этого алгоритма с хранением в памяти всего дерева степеней не подходит из-за ограничений по ресурсам.
Поэтому в данном калькуляторе для вычисления степени мы применяем библиотеку bigInt, реализующую двоичный алгоритм, не требующий дополнительной памяти. Вариант этого алгоритма описан в той же статье, однако обработка двоичных разрядов показателя степени происходит там последовательно со старшего бита до младшего. В нашем случае это несколько неудобно, так как мы используем большие целые и не вдаваясь в реализацию хранилища целых, мы заранее не представляем, сколько разрядов они занимают в памяти.

Двоичный алгоритм возведения в степень справа налево

Поэтому алгоритм обрабатывает двоичное представление показателя степени начиная с младшего бита и кончая старшим (слева направо), согласно следующему алгоритму:

a //основание степени
e //показатель степени
m //модуль
 //Вычисление степени
r ⟵ 1      
while (e!=0) {
            if (e mod 2 = 1) r ⟵ r * a mod m;
            e ⟵ e / 2;
            a = a*a mod m;
        }
output ⟵ r

Модуль — это математическая операция, которая превращает отрицательные числа в положительные. Обозначается при помощи двух вертикальных черточек: (|…|).
Проще всего понять, что делает функция модуля, на примерах:

Пример 1
$$|-2|=2;$$
$$|-123|=123;$$
$$|-35453443|=35453443;$$
$$|-4,56|=4,56;$$
$$|-frac{2}{7}|=frac{2}{7};$$

Посмотрите на примеры: если взять модуль из любого отрицательного числа, вы всегда будете получать положительное.

А что, если взять модуль из положительного числа? Оказывается, не будет ничего: какое число было, такое оно и останется. Модулем от положительного числа будет то же самое положительное число:

Пример 2
$$|5|=5;$$
$$|frac{5}{6}|=frac{5}{6};$$

Так как модуль всегда равен положительному числу, он сам по себе тоже всегда положителен. Значение модуля не может быть отрицательным.

Кстати, модуль от ноля будет просто ноль:

$$|0|=0;$$

В общем виде определение модуля числа можно записать в виде формул:

$$ |a|=begin{cases}
a, qquad a geq 0, \
-a, qquad a le 0.
end{cases}$$

Глядя на это определение, у вас может возникнуть вопрос: почему (|a|=-a ;при ; a le 0)? Все очень просто, если (a) отрицательное, то как превратить отрицательное число в положительное? Правильно, поставить перед ним еще минус (минус на минус дает плюс), именно это мы и сделали.

Вот и все, теперь вы знаете, что такое модуль от числа. Зачем же нужна такая странная математическая операция, которая только и умеет, что превращать отрицательные числа в положительные?

Модуль широко используется для обозначения, например, абсолютного значения величин. В физике знаки плюса и минуса нужны для указания направления. Например, знак минус перед скоростью означает, что тело движется в одну сторону, а знак плюс – в другую. Если же вам нужно просто значение величины скорости, без указания направления, то используется модуль.

Кроме алгебраического, полезно еще знать и геометрическое определение модуля. Представьте, что автомобиль переместился из начальной координаты (x_1) в конечную координату (x_2) (См. Рис.1).

Тогда расстояние, которое проехал автомобиль будет равно разности координат:
$$S=x_2-x_1;$$
А что, если автомобиль ехал влево, и конечная координата будет меньше начальной? Тогда расстояние, которое он проехал, будет отрицательным? Такого быть не может, расстояние всегда положительно. Поэтому в такой ситуации ставят знак модуля, чтобы расстояние было положительным независимо от того, какая координата больше, начальная или конечная:
$$S=|x_2-x_1|;$$

Таким образом, модуль с геометрической точки зрения — это расстояние между двумя точками на числовой прямой.

Например:
(S=|2-5|=|-3|=3) — это расстояние между точками с координатами (5) и (2) на числовой прямой;
(S=|7-0|=|7|=7) — расстояние между точками с координатами (7) и (0).

Глядя на последний пример, можно сделать вывод, что модуль от числа (a) — это расстояние от точки с координатой (a) до нуля.

Рассмотрим теперь разные интересные примеры на вычисления модуля:

Пример 3
$$|3-12|=|-9|=0;$$
$$|2*(-3)|=|-6|=6;$$
$$|0|=0;$$
$$|-2*(-5)|=|10|=10;$$
$$|7|^2=7^2=49;$$
$$|-3|^2=3^2=9;$$
$$|-5|^3=5^3=125;$$

Иррациональные примеры с модулем:

Пример 4

Раскрыть модуль:

$$|2-sqrt{3}|=?$$

Под знаком модуля тут стоит иррациональное выражение (иррациональное, потому что есть корень, который без помощи калькулятора мы не можем посчитать). Но зато мы можем оценить примерно, чему равен (sqrt{3}approx1,73). Кто не помнит, что такое квадратный корень и как считать их приблизительное значение загляните сюда. Оценим знак подмодульного выражения:

$$2-sqrt{3} = 2-1,73 >0;$$

Выражение под модулем будет положительным, поэтому модуль можно просто убрать:

$$|2-sqrt{3}|=2-sqrt{3};$$

Пример 5

Раскрыть модуль:

$$|sqrt{8}-4|=?$$

Оценим знак выражения под модулем.

$$sqrt{8}=sqrt{4*2}=2sqrt{2}approx 2*1,4=2,8;$$
$$sqrt{8}-4 approx 2,8-4=-1,2<0;$$

Подмодульное выражение получилось отрицательным, значит модуль должен превратить его в положительное. Это можно осуществить при помощи знака минус: берем все выражение под модулем в скобки и ставим перед ними минус:

$$|sqrt{8}-4|=-(sqrt{8}-4)=-sqrt{8}+4=4-sqrt{8};$$

Пример 6

Найдите значение выражения:

$$|a|+|b|=? quad при quad a=1-sqrt{2}; ; b=3-sqrt{2};$$

Оценим значения (a) и (b):

$$1-sqrt{2} approx 1-1,4=-0,4<0;$$
$$3-sqrt{2} approx 3-1,7=1,3>0;$$

Подставим значения (a) и (b) в исходное выражение, при этом первый модуль будет раскрываться со знаком минус, а второй с плюсом:

$$|a|+|b|=|1-sqrt{2}|+|3-sqrt{2}|=-(1-sqrt{2})+3—sqrt{2}=-1+sqrt{2}+3-sqrt{2}=2;$$
Ответ: (|a|+|b|=2.)

Свойства модуля

Модуль от произведения двух множителей равен произведению модулей от этих множителей:

$$|a*b|=|a|*|b|;$$

Пример 7
$$|2*3|=|2|*|3|=2*3=6;$$
$$|4*(-5)|=|4|*|-5|=4*5=20;$$

Модуль от частного двух чисел равен частному их модулей:

$$left|frac{a}{b}right|=frac{|a|}{|b|};$$

Пример 8
$$left|frac{6}{-3}right|=frac{|6|}{|-3|}=frac{6}{3}=2;$$
$$left|frac{-18}{-9}right|=frac{|-18|}{|-9|}=frac{18}{9}=2;$$

Можно выносить константу (число (a geq 0)) из-под знака модуля:
$$|a*f(x)|=a*|f(x)|;$$

Эта формула может быть полезна, когда под модулем стоит некоторая переменная или выражение, зависящее от переменной. В таком случае знак переменной мы не знаем, а вот если под модулем еще есть числа, то их можно вынести за знак модуля:

Пример 9
$$|3*x|=3*|x|;$$

Модуль в степени
Если возвести модуль в четную степень, то знак модуля можно убрать. Четная степень сама по себе превращает любое число или выражение в положительное, поэтому модуль теряет свой смысл:

$$|x|^2=x^2;$$
$$|x|^6=x^6;$$

Если же возводить в нечетную степень, то знак модуля ни в коем случае убирать нельзя. Будьте внимательны.

$$|x|^3=|x^3|;$$

Модуль суммы двух чисел будет меньше или равен суммы модулей этих чисел:

$$|a+b| leq |a|+|b|;$$

Если немного подумать, эта формула логична: числа (a) и (b) могут быть как положительными, так и отрицательными, если, например, они имеют разные знаки, то при их сложении под знаком модуля они будут вычитаться. А если сложить модули этих чисел по-отдельности, то никакого вычитания не будет — всегда будет сложение. Если же числа (a) и (b) одного знака, то левая часть неравенства будет равна правой. Посмотрим на примерах, так станет понятнее:

(a>0, quad b<0:)
$$|5-2| leq |5|+|-2|;$$
$$3 leq 5+2;$$
$$3 leq 7;$$

(a>0, quad b>0:)
$$|6+4| leq |6|+|4|;$$
$$10 leq 6+4;$$
$$10=10;$$

(a<0, quad b<0;)
$$|-7-2| leq |-7|+|-2|;$$
$$|-9| leq 7+2;$$
$$9 = 9;$$

Разобрали все возможные случаи, и во всех случаях формула верна.

Запишем свойства модуля в одном месте:

$$ |a|=begin{cases}
a, qquad a geq 0, \
-a, qquad a le 0.
end{cases}$$
$$|0|=0;$$
$$|x| geq 0;$$
$$|-a|=|a|;$$
$$|a*b|=|a|*|b|;$$
$$left|frac{a}{b}right|=frac{|a|}{|b|};$$
$$|a*x|=a*|x|, ; a ge 0;$$
$$|x|^2=x^2;$$
$$|x|^3=x^3;$$
$$|a+b| geq |a|+|b|;$$

График похож на галочку, симметричную относительно оси (y). Именно это и делает модуль: симметрично отображает график, в данном случае, относительно вертикальной оси. Ось (y) служит как будто зеркалом, в котором отражается правая часть графика. Почему так? Все просто: модуль, стоящий у (x), превращает любые отрицательные (x) в положительные, поэтому функция (y=|x|) при отрицательных значениях (x) будет иметь точно такие же значения, что и при положительных, отсюда и симметрия.

Ответ:

Наиболее простой вид

Наиболее простой вид уравнения с модулем выглядит так:

где x — корень уравнения, a — произвольное число, бóльшее или рáвное нулю. То есть a ≥ 0

Если условие a ≥ 0 не выполнено, то уравнение |x|= a корней не имеет. Это следует из определения модуля. Действительно, модуль всегда неотрицателен.

Приведем несколько примеров уравнений вида |x| = a

Пример 1. Решить уравнение |x| = 2

Решение

В данном случае сразу видно, что корнями являются числа 2 и −2. Ведь если вместо x подставить эти числа, то получим верное равенство: |−2| = 2 и |2| = 2. Решение для этого уравнения можно записать, сведя его в совокупность:

«Если выражение |x| равно 2, то подмодульное выражение x равно 2 или −2«

Ответ: 2 и −2

Пример 2. Решить уравнение |−x| = 4

Решение

Если выражение |−x| равно 4, то подмодульное выражение равно 4 или −4

Умножим оба уравнения на −1

Ответ: −4 и 4.

Пример 3. Решить уравнение |x| = −7

В данном случае корней нет, поскольку модуль всегда неотрицателен. А в данном случае модуль равен отрицательному числу.

Если уравнение с модулем не имеет корней, обычно пишут что x принадлежит пустому множеству:

Напомним, что пустым называют множество, не имеющее элементов.

Модуль внутри модуля

В этом уравнении слева располагается модуль, который в свою очередь содержит внутри себя другой модуль, а справа уравнения располагается число. Такой вид уравнения с модулем можно решить, сведя его в совокупность с помощью схемы, которую мы рассмотрели ранее:

В нашем случае если выражение равно 9, то подмодульное выражение |2 + x| + 3 равно 9 или −9

В получившейся совокупности имеется два уравнения с модулем. Эти уравнения тоже в свою очередь следует свести в совокупность. Но сначала немного упростим эти уравнения. В первом и во втором уравнении перенесем 3 в правую часть, изменив знак. Тогда получим:

Теперь сведём эти уравнения в совокупности. Первое уравнение распадётся на следующую совокупность:

Сразу решим совокупность . Первый корень равен 4, второй −8.

Теперь решим второе уравнение |2 + x| = −12 . Но замечаем, что его правая часть равна отрицательному числу. Это уравнение не имеет корней, потому что модуль не может равняться отрицательному числу.

Значит уравнение имеет корни 4 и −8 . Проверим эти корни, подставив их в исходное уравнение

В данном случае оба корня удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: 4 и −8 .

Вообще, уравнение с модулем внутри которого содержится другой модуль, тоже решается различными способами. Какой способ использовать зависит от самогó уравнения. Решим например следующее уравнение:

Здесь уже нельзя использовать схему потому что слева располагается не только модуль, но и переменная x . Конечно, переменную x можно перенести в правую часть, и тогда можно будет свести данное уравнение в совокупность:

Но тогда справа появляется переменная x, на которую нужно будет вводить дополнительное ограничение, чтобы правая часть уравнения не стала отрицательной. Такой способ решения мы рассмотрим позже. А пока решим исходное уравнение с помощью правила раскрытия модуля.

Чтобы раскрыть модули данного уравнения нужно сначала определиться где внешний и где внутренний модуль.

В уравнении внешним модулем является полностью левая часть , а внутренним модулем — выражение

Значение внешнего модуля зависит от внутреннего модуля, и раскрываться внешний модуль будет исходя от результата который получился в результате вычисления его подмодульного содержимого.

Например, если x = 3 , то внутренний модуль |3 − x| примет значение 0, и в результате всё подмодульное выражение внешнего модуля станет равно −2 . А это значит что внешний модуль будет раскрываться с минусом.

||3 − x| − x + 1| = ||3 − 3| − 3 + 1| = ||0| − 3 + 1| = |−2| = −(−2) = 2

А если например x = −2 , то внутренний модуль |3 − x| примет значение 5, и в результате всё подмодульное выражение внешнего модуля станет равно 8. А это значит что внешний модуль будет раскрываться с плюсом:

||3 − x| − x + 1| = ||3 − (−2)| − (−2) + 1| = ||5| − (−2) + 1| = | 8 |=8

Поэтому решение будем начинать с раскрытия внутреннего модуля.

Если внутренний модуль раскроется с плюсом, то есть если 3 − x ≥ 0 (что равносильно неравенству x ≤ 3 ), то исходное уравнение примет вид:

Теперь уравнение имеет только внешний модуль. Решим его раскрыв модуль:

Если −2x + 4 ≥ 0, то:

Сейчас нас интересуют только те значения x при которых внутренний модуль раскрывается с плюсом, а это произойдет при условии x ≤ 3. Поэтому для наглядности рядом с найденным корнем указано, что он удовлетворяет условию x ≤ 3

Решаем далее. Если −2x + 4 , то:

Несмотря на то, что оба найденных корня удовлетворяют уравнению |−2x+4|=6−x , мы исключаем корень из решений, потому что нас сейчас интересуют только те значения x, при которых внутренний модуль изначального уравнения раскрывается с плюсом. Поэтому рядом с корнем указано, что он не удовлетворяет условию x ≤ 3 .

Итак, если внутренний модуль раскрывается с плюсом, исходное уравнение принимает вид |−2x + 4| = 6 − x и корнем этого уравнения является число −2 .

Теперь решим исходное уравнение для случая, когда внутренний модуль раскрывается с минусом, то есть когда 3 − x (что равносильно неравенству x > 3 ). Внутренний модуль будет раскрываться с минусом при всех значениях x больших 3.

Если внутренний модуль раскроется с минусом, то исходное уравнение примет вид:

Модуль −2 равен 2 . Тогда получаем простейшее линейное уравнение, корень которого равен 4

Получили корень 4 , который удовлетворяет условию x > 3 .

В итоге корнями уравнения являются числа −2 и 4.

Ответ: 2 и 4.

Пример 3. Решить уравнение ||x − 1| − 7| = 10

Решение

Слева располагается модуль, а справа число, значит можно применить схему:

В данном случае если выражение ||x − 1| − 7| равно 10, то подмодульное выражение |x − 1| − 7 равно 10 или −10. Получится совокупность из двух уравнений:

Упростим получившиеся уравнения. Перенесём число −7 в обоих уравнениях в правую часть, изменив знак:

Второе уравнение корней не имеет. Первое уравнение распадется на совокупность , корни которой 18 и −16.

Ответ: 18 и −16 .

Решим это же уравнение с помощью раскрытия модулей. Начнем с внутреннего модуля.

Если x − 1 ≥ 0 (что равносильно x ≥ 1 ), то исходное уравнение примет вид:

Решим получившееся уравнение раскрыв модуль:

Далее решаем уравнение для случаев когда x − 8 ≥ 0 и x − 8

Сейчас нас интересуют те значения, при которых внутренний модуль исходного уравнения раскрывается с плюсом. А это будет при условии, что x ≥ 1 . Этому условию удовлетворяет только значение 18 , поэтому мы пометили его зеленой галочкой для наглядности.

Теперь решим исходное уравнение для случая, когда внутренний модуль раскрывается с минусом, то есть когда x − 1 (или что равносильно неравенству x ).

Если x − 1 , то исходное уравнение примет вид:

Решим получившееся уравнение раскрыв модуль:

Далее решаем уравнение для случаев когда −x − 6 ≥ 0 и −x − 6

Из найденных корней только −16 удовлетворяет условию x .

В итоге корнями уравнения ||x − 1| − 7| = 10 являются числа 18 и −16 .

Видно, что с помощью схемы данное уравнение решилось легче и быстрее, чем способом раскрытия модулей.

Слева модуль, а справа выражение с переменной

Решим следующее уравнение с модулем:

Здесь так же применима схема:

То есть, если выражение |4x − 3| равно 3x, то подмодульное выражение 4x − 3 должно равняться 3x или −3x.

Но в исходном уравнении переменная x содержится не только под знáком модуля, но и в правой части. Нам пока неизвестно какое значение примет переменная x . Если x примет отрицательное значение, то правая часть станет полностью отрицательной. В этом случае корней не будет, потому что модуль не может равняться отрицательному числу.

Поэтому, если мы хотим решить данное уравнение, то при сведéнии его в совокупность, дополнительно следует ввести ограничение в виде условия 3x ≥ 0 . Это будет означать, что правая часть уравнения |4x − 3| = 3x должна быть больше либо равна нулю:

Совокупность и условие обрамлены знаком системы, потому что решения совокупности должны удовлетворять условию 3x ≥ 0.

Итак, решим совокупность. Условие 3x ≥ 0 является неравенством, которое тоже можно решить:

Получившиеся корни можно подставить в условие x ≥ 0 и посмотреть выполняется ли оно. Если выполняется, то найденные корни удовлетворяют уравнению. В данном случае при подстановке обеих корней в неравенство, оно выполняется. Проверка также показывает, что корни удовлетворяют уравнению:

Пример 2. Решить уравнение |2x − 1| = 5x − 10

Решение

Решим это уравнение таким же образом, как и предыдущее. Введём условие, требующее чтобы правая часть была больше либо равна нулю:

В данном случае только значение 3 удовлетворяет условию x ≥ 2 . Оно же является единственным корнем исходного уравнения. Проверка показывает это:

А число не удовлетворяет условию x ≥ 2 и не является корнем исходного уравнения. Проверка также показывает это:

Видим, что модуль стал равен отрицательному числу, а это противоречит определению модуля и нашему условию x ≥ 2 .

Пример 3. Решить уравнение

Решение

Это уравнение мы решили, когда учились решать уравнения с модулем внутри которых другой модуль. Теперь данное уравнение можно решить, сведя его в совокупность.

Для начала перенесём x в правую часть, изменив знак:

Теперь сведём данное уравнение в совокупность. Дополнительно введём условие в виде неравенства 6 − x ≥ 0

В левой части первого уравнения оставим модуль, остальные члены перенесём в правую часть. Тоже самое сделаем и со вторым уравнением. Также будем решать неравенство 6 − x ≥ 0 , оно позволит в конце проверять найденные корни на соответствие:

Решим первое уравнение. Оно распадётся на следующую совокупность:

Получились корни −2 и 8 . Из них только −2 удовлетворяет условию x ≤ 6 .

Теперь решим второе уравнение. Оно является уравнением, содержащим переменную в правой части. При сведении его в совокупность дополним его условием −7 + 2x ≥ 0

При решении второго уравнения получились корни и 4. Прежде чем сверять их с условием x ≤ 6 следует сверить их с условием под которое решалось уравнение |3 − x| = −7 + 2 x . Условию удовлетворяет только корень 4 .

В итоге корнями исходного уравнения являются числа −2 и 4.

Пример 4. Решить уравнение |4x + 20| = −6x

Решение

На первый взгляд покажется, что данное уравнение не имеет решений, потому что правая часть отрицательна. Но это не совсем так. Правая часть содержит переменную x, которая может принять отрицательное значение или ноль, и это приведёт к тому что правая часть станет положительной либо равной нулю. А такое уравнение имеет право на существование.

В данном случае мы решим это уравнение, сведя его в совокупность. Но при этом укажем, что правая часть должна быть больше или равна нулю:

Из найденных корней только корень −2 удовлетворяет исходному уравнению. Также он удовлетворяет нашему условию x ≤ 0 .

Ответ: −2.

Когда обе части — модули

Решим следующее уравнение:

Обе части этого уравнения являются модулями. Раскроем эти модули. Будем учитывать все возможные случаи при их раскрытии.

Случай 1. Если x + 7 ≥ 0 и 1 + 3x ≥ 0 , то модули в обеих частях раскроются со знаком плюс и тогда исходное уравнение примет вид:

Это простейшее линейное уравнение. Решим его:

Случай 2. Если x + 7 и 1 + 3x то модули в обеих частях раскроются со знаком минус и тогда исходное уравнение примет вид:

Раскроем скобки, получим:

Замечаем, что если умножить обе части этого уравнения на −1 , то получается уравнение x + 7 = 1 + 3 x . А это уравнение мы получали в результате раскрытия модулей со знаком плюс.

То есть уравнения x + 7 = 1 + 3x и −x − 7 = −1 − 3x являются равносильными, а значит имеют одни и те же корни. Убедимся в этом, решив уравнение −x − 7 = −1 − 3x

Поэтому, раскрыв модули со знаком плюс, нет необходимости раскрывать их со знаком минус, потому что в обоих случаях получаются уравнения, имеющие одни и те же корни.

Следующий случай это когда x + 7 ≥ 0 и 1 + 3x . Тогда исходное уравнение примет вид x + 7 = −1 − 3x. Найдём корень этого уравнения:

И последний случай это когда x + 7 и 1 + 3x ≥ 0 . Тогда уравнение примет вид −x − 7 = 1 + 3 x . Если умножить это уравнение на −1 , то получим уравнение x + 7 = −1 − 3x. А это уравнение мы получали, когда рассматривали предыдущий случай (случай x + 7 ≥ 0 и 1 + 3x ).

Следовательно, уравнение −x − 7 = 1 + 3x равносильно предыдущему уравнению x + 7 = −1 − 3 x . Убедимся в этом решив уравнение −x − 7 = 1 + 3x

Значит раскрыв левую часть со знаком плюс, а правую часть со знаком минус, нет необходимости раскрывать левую часть со знаком минус, а правую часть со знаком плюс, потому что в обоих случаях получаются уравнения, имеющие одни и те же корни.

Вообще, если в уравнении обе части являются модулями как в данном примере, то это уравнение можно свести в следующую совокупность:

В этой конструкции уравнение вида |a| = |b| сведено в совокупность из двух уравнений a = b и a = −b . Видно что первое уравнение получается путем раскрытия обоих модулей со знаком плюс, а второе уравнение — путем раскрытия модуля |a| со знаком плюс, а модуля |b| — со знаком минус.

Важно. Данная схема работает только тогда, когда обе части являются модулями без посторонних членов. Проще говоря, если будет дано уравнение, например |a| = |b| + c , то приведенную схему использовать нельзя.

Пример 2. Решить уравнение |2 − 3x| = |x + 5|

Решение

Обе части данного уравнения являются модулями. Воспользуемся схемой:

У нас получится совокупность из двух уравнений. В первом уравнении оба модуля будут раскрыты со знаком плюс, во втором уравнении — модуль |2 − 3x| будет раскрыт со знаком плюс, а модуль |x + 5| со знаком минус:

Ответ: и

Пример 3. Решить уравнение |x 2 − 13x + 35|=|35 − x 2 |

Решение

Обе части данного уравнения являются модулями. Воспользуемся схемой:

У нас получится совокупность из двух уравнений. В первом уравнении оба модуля будут раскрыты со знаком плюс. Во втором уравнении — модуль |x 2 − 13x + 35| будет раскрыт со знаком плюс, а модуль |35 − x 2 | со знаком минус:

Приведём подобные члены в обоих уравнениях:

Первое уравнение является неполным квадратным. Решим его, вынеся x за скобки. Второе уравнение решается элементарно:

Ответ: , , 0.

Когда решение — числовой промежуток

Нередко приходиться решать уравнения с модулем, где корнями являются не один или два числа, а числовой промежуток. Таковым, например, является уравнение:

Раскроем модуль этого уравнения:

Если раскрыть модуль со знаком плюс, то получается уравнение 5x + 3 = −5x − 3 . Решим его:

А если раскрыть модуль со знаком минус, то получится уравнение −5x − 3 = −5x − 3 . В этом уравнении обе части являются одинаковыми, а значит данное равенство является тождеством. Оно будет верно при любом значении x . Значит корнями уравнения −5x − 3 = −5x − 3 являются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности:

Но надо помнить про условия, согласно которым были раскрыты модули. В первом случае мы получили корень . Он будет верен только при условии что . Это условие соблюдено. Проверка также показывает что корень подходит:

Значит один из корней уравнений равен

Во втором случае мы получили множество корней от минус бесконечности до плюс бесконечности. Но это будет верно только при условии что

Например, если взять любое число из промежутка (−∞; +∞) , но которое не будет удовлетворять условию , то это число не будет обращать наше уравнение в верное равенство.

Например, число 2 принадлежит промежутку (−∞; +∞), но не удовлетворяет условию , а значит число 2 не является корнем исходного уравнения. Проверка также покажет это:

А если взять к примеру число −5 , то оно будет принадлежать промежутку (−∞; +∞) и удовлетворять условию , а значит будет обращать исходное уравнение в верное равенство:

Поэтому ответ надо записать так, чтобы были выполнены оба условия и . Для наглядности нарисуем координатную прямую и обозначим её как x

Отметим на ней наш первый корень

Раскрыв модуль со знаком минус и решив получившееся уравнение, мы получили в ответе множество всех чисел от минус бесконечности до плюс бесконечности, но при этом было дано условие . Значит более точным ответ в этом случае будет таким:

Корнями уравнения −5x − 3 = −5x − 3 при условии являются все числа от минус бесконечности до

Значит на координатной прямой нужно заштриховать область слева от числа . Они будут иллюстрировать числа, меньшие

Число тоже является верным корнем исходного уравнения. Он был получен при раскрытии модуля со знаком плюс. Поэтому на координатной прямой пустой кружок нужно закрасить. Так мы включим число во множество решений:

Тогда окончательный ответ будет выглядеть так:

Ответ:

Также, можно решить это уравнение сведя его в совокупность, дополнительно указав, что правая часть должна быть больше либо равна нулю:

Пример 2. Решить уравнение |2x − 3| = 3 − 2x

Решение

Решим исходное уравнение для случаев когда 2x − 3 ≥ 0 и 2x − 3

Ответ:

Использование координатной прямой

Рассмотрим ещё один способ решения элементарных уравнений с модулем — с помощью координатной прямой. Этот способ используется редко, но знать о нём не помешает.

Решим наше самое первое уравнение |x − 2| = 5 с помощью координатной прямой. Напомним, что корнями этого уравнения были числа 7 и −3.

Модуль есть расстояние от начала координат до точки A . Либо расстояние между двумя числами на координатной прямой.

Расстояние между двумя числами выражается в виде разности |x₁ − x₂| , где x₁ — первое число, x₂ — второе число.

Если внимательно посмотреть на уравнение |x − 2|= 5 , то можно увидеть что его левая часть это расстояние от x до 2 (или от 2 до x) и это расстояние равно 5. Отмéтим на координатной прямой число x и число 2

Правая часть уравнения |x − 2|= 5 говорит о том, что расстояние от x до 2 составляет пять единиц:

Если расстояние от x до 2 равно 5, то и расстояние от 2 до x тоже равно 5. Это позволяет отсчитать пять целых шагов от числа 2 к числу x и таким образом узнать значение x

Видно, что отсчитав пять шагов влево мы попали в точку с координатой −3. А это один из корней, который мы находили для уравнения |x − 2|= 5.

Но пять целых шагов от числа 2 можно отсчитать не только влево, но и вправо:

Если отсчитать пять целых шагов вправо, то попадём в точку с координатой 7. Это тоже был корень уравнения |x − 2|= 5

Несколько модулей в одной части

Решим следующее уравнение:

Это уравнение содержит два модуля в левой части. Чтобы решить данное уравнение нужно раскрыть его модули. Рассмотреть нужно каждый из случаев:

• когда оба модуля больше либо равны нулю;
• когда оба модуля меньше нуля;
• когда первый модуль больше либо равен нулю, а второй модуль меньше нуля;
• когда первый модуль меньше нуля, а второй модуль больше либо равен нулю.

Не будем комментировать каждый случай, а сразу приведём решение:

Первые два случая корней не дали. В третьем случае нашелся корень 3, но он не удовлетворяет условиям x − 5 ≥ 0 и x , поэтому не является корнем исходного уравнения.

В четвёртом случае нашёлся корень 2, который удовлетворяет условиям x − 5 и x ≥ 0 . Также он удовлетворяет исходному уравнению.

Заметно, что такой способ решения уравнения неудобен. Если модулей в уравнении будет три, четыре или более, то придётся рассматривать намного больше случаев. Человек запутавшись, может забыть рассмотреть какой-то из случаев, и получится что уравнение решено не полностью.

Поэтому такой вид уравнения как в данном примере удобнее решать методом интервалов. Об этом мы поговорим в следующем уроке.

Уравнения с модулем

Эта статья посвящена приёмам решения различных уравнений и неравенств, содержащих
переменную под знаком модуля.

Если на экзамене вам попадётся уравнение или неравенство с модулем, его можно решить,
вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда,
занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.

Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.

Прежде всего вспомним, что

Рассмотрим различные типы уравнений с модулем. (К неравенствам перейдём позже.)

Слева модуль, справа число

Это самый простой случай. Решим уравнение

Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение
равносильно совокупности двух простых:

Второе уравнение не имеет решений. Решения первого: x = 0 и x = 5.

Переменная как под модулем, так и вне модуля

Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!

Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.
Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:

Решение первой системы: . У второй системы решений нет.
Ответ: 1.

Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:

Число , будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является корнем исходного уравнения.

Выясним, удовлетворяет ли данному условию число . Для этого составим разность и определим её знак:

Значит, больше трёх и потому является корнем исходного уравнения

Стало быть, годятся лишь и .

Ответ:

Квадратные уравнения с заменой |x| = t

Поскольку , удобно сделать замену |x| = t. Получаем:

Модуль равен модулю

Речь идёт об уравнениях вида |A| = |B|. Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:

Например, рассмотрим уравнение: . Оно равносильно следующей совокупности:

Остаётся решить каждое из уравнений совокупности и записать ответ.

Два или несколько модулей

Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.

Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении.)

Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.

Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются «с плюсом»:

Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.

Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается «с минусом»:

Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.

Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка [1; 2] служат решениями данного уравнения.

Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.

Модуль в модуле

Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.

1) x ≤ 3. Получаем:

Выражение под модулем обращается в нуль при . Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.

1.1) Получаем в этом случае:

Это значение x не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.

1.2) . Тогда:

Это значение x также не годится.

Итак, при x ≤ 3 решений нет. Переходим ко второму случаю.

Здесь нам повезло: выражение x + 2 положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается «с плюсом»:

Это значение x находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного уравнения.

Так решаются все задачи данного типа — раскрываем вложенные модули по очереди, начиная с внутреннего.

Читайте также о том, как решать неравенства с модулем.

Алгебра

План урока:

Модуль числа

Напомним, что такое модуль числа. Так называют значение числа, взятое без учета его знака. То есть модуль чисел 9 и (– 9) одинаков и равен 9. Для обозначения модуля применяют специальные прямоугольные скобки:

|2,536| = |– 2,536| = 2,536

Грубо говоря, операция нахождения модуля сводится к отбрасыванию у числа знака «минус», если он у него есть. Вообще, если число х неотрицательно, то его модуль |х| = х. Если же число отрицательно, то его модуль имеет противоположное значение: |х| = х. Математически это можно записать так:

Именно такое определение обычно и применяется в математике.

Модуль играет важную роль в математике. Дело в том, с его помощью удобно записывать расстояние между двумя точками на координатной прямой. Пусть на ней отмечены точки a и b. Расстояние между ними равно |a – b|, причем неважно, какое из этих чисел больше, а какое меньше:

Также модуль возникает при извлечении квадратного корня из четной степени числа:

В частности, если n = 1, получим формулу:

Для того чтобы получить график функции у = |x|, сначала надо построить график функции без учета знака модуля:

Далее следует выполнить преобразование. Те точки графика, которые располагаются выше оси Ох, остаются на своем месте. В данном случае это та часть графика, которая находится в I четверти. Те же точки, которые располагаются ниже оси Ох, должны быть симметрично (относительно этой самой оси Ох) отображены. В результате они окажутся выше оси Ох:

В результате получилась «галочка».

Пример. Постройте график ф-ции у = |х 2 – 4х + 3|

Решение. Для построения графика функции, содержащей модуль, сначала надо построить график для «подмодульного» выражения. Поэтому построим график у = х 2 – 4х + 3. Это квадратичная ф-ция, ее график – это парабола:

Часть графика, в промежутке от 1 до 3, находится ниже оси Ох. Чтобы построить ф-цию у = |х 2 – 4х + 3|, надо перевернуть эту часть графика:

Решение уравнений с модулем

Изучим простейший случай уравнения, содержащего модуль, когда вся его слева записано выр-ние в модульных скобках, а справа находится число. То есть уравнение имеет вид

где b – какое-то число, а у(х) – произвольная ф-ция.

Если b 10 + 97x 4 – 12,56х 3 + 52х 2 + 1001х – 1234| = – 15

Решение: Справа стоит отрицательное число. Однако модуль не может быть меньше нуля. Это значит, что у ур-ния отсутствуют корни.

Ответ: корни отсутствуют.

Если b = 0, то мы получим какое-то произвольное ур-ние у(х) = 0, у которого могут быть корни. Проще говоря, модульные скобки в таком случае можно просто убрать.

Пример. Решите ур-ние

Ясно, что подмодульное выр-ние равно нулю:

Наиболее интересен случай, когда b> 0, то есть в правой части стоит положительное число. Ясно, что тогда под модулем находится либо само это число b, либо противоположное ему число – b:

То есть мы получаем два различных ур-ния: у(х) = bи у(х) = – b.

Пример. Решите ур-ние

Решение. В правой части – положительное число, поэтому либо х = – 10, либо х = 10.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Исходное ур-ние разбивается на два других ур-ния:

10х + 5 = 7 или 10х + 5 = – 7

10х = 2 или 10х = – 12

х = 0,2 или х = – 1,2

Пример. Найдите корни ур-ния

Решение. Снова заменим исходное равенство на два других:

x 2 – 2х – 4 = 4 или x 2 – 2х – 4 = – 4

Имеем два квадратных ур-ния. Решим каждое из них:

D = b 2 – 4ас = (– 2) 2 – 4•1•(– 8) = 4 + 32 = 36

Нашли корни (– 2) и 4. Решаем второе ур-ние:

х = 0 или х – 2 = 0

Получили ещё два корня: 0 и 2.

Встречаются случаи, когда в уравнении, содержащем знак модуля, под ним находятся обе части равенства:

Здесь возможны два варианта. Либо подмодульные выр-ния равны друг другу (у(х) = g(x)), либо у них противоположные значения (у(х) = – g(x)). То есть снова надо решить два ур-ния.

Пример. Решите ур-ние

|x 2 + 2x– 1| = |х + 1|

Решение. Выр-ния справа и слева (без знака модуля) либо равны, либо противоположны. Можно составить два ур-ния:

x 2 + 2x– 1 = х + 1 или x 2 + 2x– 1 = – (х + 1)

х 2 + х – 2 = 0 или х 2 + 3х = 0

Решим 1-ое ур-ние:

D = b 2 – 4ас = 1 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9

Теперь переходим ко 2-омуур-нию:

х = 0 или х + 3 = 0

Всего удалось найти 4 корня: (– 1), (– 2), 2 и 0.

Возможен случай, когда в левой части равенства находится модуль выр-ния, а в правой – обычное выражение, без модуля. Такое ур-ние имеет вид |у(х)| = g(x). Здесь также возможны два варианта: у(х) = g(x) или у(х) = – g(x). Однако следует учитывать ещё один факт. Модуль не может быть отрицательным, а потому должно выполняться нер-во g(x)⩾ 0. Но это неравенство не надо решать. Достаточно просто подставить в него все полученные корни и проверить, справедливо ли нер-во.

Пример. Найдите решение уравнения, содержащего модуль:

|х 2 + 3,5х – 20| = 4,5х

Решение. Рассмотрим два отдельных равенства:

х 2 + 3,5х – 20 = 4,5х илих 2 + 3,5х – 20 = – 4,5х

х 2 – х – 20 = 0 или х 2 + 8х – 20 = 0

Решим каждое из полученных квадратных ур-ний.

D = b 2 – 4ас = 1 2 – 4•1•(– 20) = 1 + 80 = 81

D = b 2 – 4ас = 8 2 – 4•1•(– 20) = 64 + 80 = 144

Итак, получили 4 корня: (– 4), 5, (– 10) и 2. Однако правая часть исходного ур-ния, 4,5x, не может быть отрицательной, ведь модуль числа – это всегда неотрицательная величина:

Для х = – 4 и х = – 10 это условие не выполняется, поэтому эти корни должны быть исключены.

Мы рассмотрели три случая, когда ур-ние имеет вид:

Однако порою ур-ние не удается свести ни к одному из этих видов. Тогда для решения уравнений и неравенств, содержащих модуль, следует рассматривать их на отдельных интервалах, где подмодульные выр-ния не изменяют свой знак.

Пример. Найдите корни ур-ния

Решение. Выр-ния х + 1 и х – 4 меняют знак при переходе через точки (– 1) и 4:

Если отметить обе точки на прямой, то они образуют на ней 3 интервала:

Исследуем ур-ние на каждом из полученных промежутков.

Так как при х 2 + bx + c = 0

Параметры встречаются не только при описании ур-ний, но и, например, при рассмотрении функций. Так, линейная функция задается формулой у = kx + b. Здесь числа k и b являются параметрами. Так как ур-ние у = kx + b задает на плоскости прямую линию, то величины k и b порою называют параметрами уравнения прямой.

Если при решении обычного ур-ния мы определяем значение его корней в виде конкретных чисел, то при решении ур-ний с параметром находят формулу, позволяющую при заданном значении параметра вычислить значение корня.

Пример. Решите ур-ние

и найдите его корни при значении параметра а, равном 3.

Решение. Вынесем множитель х за скобки:

х = 0 или х – 2а = 0

Получили, что при любом значении параметра а ур-ние имеет два корня. Один из них равен нулю при любом значении а, а второй вычисляется по формуле х = 2а:

при а = 3х = 2•3 = 6

Ответ: есть два корня – 0 и 2а. При а = 2 корни равны 0 и 6.

Пример. Решите ур-ние

р 2 х – 3рх = р 2 – 9

Решение. Слева вынесем за скобки множитель рх, а выр-ние справа преобразуем, используя формулу разности квадратов:

рх(р – 3) = (р – 3)(р + 3)

Возникает желание поделить обе части рав-ва на р(р – 3), чтобы выразить х. Однако сразу так делать нельзя, ведь если величина р(р – 3) равна нулю, то получится деление на ноль.

Поэтому сначала изучим случаи, когда один из множителей слева равен нулю. Если р = 0, то мы получим рав-во

0•х•(0 – 3) = (0 – 3) (3 – 0)

Это неверное тождество, а потому при р = 0 ур-ние корней не имеет.

Если р – 3 = 0, то есть р = 3, получится следующее

Это равенство верно при любом х. Значит, при р = 3 корнем ур-ния является любое число.

Если же р≠ 0 и р ≠ 3, то произведение р(р – 3) также не равно нулю, а потому обе части равенства можно поделить на р(р – 3). Тогда получим

В этом случае ур-ние имеет единственный корень.

Ответ: при р = 0 корней нет; при р = 3 корнем является любое число; при других рх = (р + 3)/р.

Часто в задаче требуется не выразить корень ур-ния через параметр, а лишь оценить количество корней ур-ния или диапазон их значений.

Пример. Сколько корней имеет ур-ние

при различных значениях параметра b.

Решение. Будем решать ур-ние графическим методом. Для этого сначала построим график у = |х 2 – 6х + 5|. В модульных скобках находится обычная квадратичная функция, чьи ветви смотрят вверх. Найдем нули функции:

D = b 2 – 4ас = (– 6) 2 – 4•1•5 = 36 + 20 = 16

Итак, нули ф-ции – это точки 1 и 5. Найдем координату х₀ вершины параболы по формуле:

Подставив х₀ в квадратичную ф-цию найдем координату у₀ вершины параболы:

3 2 – 6•3 + 5 = 9 – 18 + 5 = – 4

Теперь построим квадратичную ф-цию:

Для построения графика, содержащего модуль функции, надо отобразить точки с отрицательными ординатами (они находятся ниже оси Ох) симметрично относительно оси Ох:

Мы построили график левой части ур-ния. График правой части представляет собой горизонтальную прямую у = b. Можно выделить 5 различных случаев взаимного расположения этих графиков:

При b 4 есть горизонтальная прямая пересекает график лишь в 2 точках, то есть получаем 2 корня.

Ответ: нет корней при b 4; 3 корня при b = 4; 4 корня при 0 4 – (а + 2)х 2 + 3а – 3 = 0

имеет ровно 4 корня?

Решение. Это ур-ние является биквадратным, то есть для его решения нужно произвести замену у = х 2 :

у 2 – (а + 2)у + 3а – 3 = 0 (1)

Для того, чтобы исходное ур-ние имело 4 корня, необходимо, чтобы у квадратного уравнения с параметром(1) было два положительных корня: у₁ и у₂. Тогда, проводя обратную замену х 2 = у₁ и х 2 = у₂, мы получим два разных квадратных ур-ния, корни которых будут равны

Если же хоть один из двух корней, например, у₁, окажется равным нулю, то величины

Совпадут (они обе будут равны нулю), и останется лишь 3 корня. Если же у₁ будет отрицательным числом, то ур-ние

вовсе не будет иметь решений, и тогда останется не более 2 корней.

Итак, решим ур-ние (1):

у 2 – (а + 2)у + 3а – 3 = 0

D = b 2 – 4ас = (– (а + 2)) 2 – 4•1•(3а – 3) = (а + 2) 2 – 12 а + 12 =

= а 2 + 4а + 4 – 12а + 12 = а 2 – 8а + 16 = а 2 – 2•4•а + 4 2 = (а – 4) 2

Чтобы у ур-ния (1) было два различных корня, дискриминант должен быть положительным. Величина (а – 4) 2 положительна при всех значениях а, кроме а = 4, которое обращает дискриминант в ноль. Значит, а ≠ 4.

Извлечем корень из дискриминанта:

Корни ур-ния (1) можно вычислить по формулам:

И у₁, и у₂ должны быть положительными величинами, однако у₁ меньше, чем у₂ (ведь для его вычисления дискриминант брали со знаком «минус», а не «плюс»). Поэтому достаточно записать нер-во:

Получили неравенство, содержащее модуль. Для избавления от модульных скобок в нер-ве рассмотрим 2 случая. Если а – 4>0, то есть а > 4, выполняется равенство

Это нер-во выполняется при любом допустимом значении а, поэтому при а >4 исходное ур-ние имеет 4 корня.

Итак, при условии, что а 1. Это значит, что а∊(1; 4). С учетом первого случая, при котором было получено решение

можно записать окончательный ответ: а∊(1; 4)∪(4; + ∞).

Пример. При каких параметрах а у ур-ния

х 2 – 2(а + 1)х + а 2 + 2а – 3 = 0

существует два корня, которые принадлежат интервалу (– 5; 5)?

Решение. Данное ур-ние является квадратным. Найдем его дискриминант:

D = b 2 – 4ас = (– 2(а + 1)) 2 – 4•1•( а 2 + 2а – 3) = 4(а 2 + 2а + 1) – 4(а 2 + 2а – 3) =

= 4(а 2 + 2а + 1 – а 2 – 2а + 3) = 4•4 = 16

Получаем, что при любом а дискриминант положителен, а потому уур-ния 2 корня. Вычислить их можно по формулам

Для того, чтобы оба решения уравнения с параметром принадлежали интервалу (– 5; 5), нужно, чтобы меньший из них (это х₁) был больше – 5, больший (это х₂) – меньше – 5:

Значит, должны выполняться два нер-ва

х₁>– 5и х₂ – 5 и а + 3 – 4 и а 1 (-1)

[spoiler title=”источники:”]

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/uravneniya-i-neravenstva-s-modulem/

http://100urokov.ru/predmety/urok-4-uravneniya-s-modulem

[/spoiler]