Как найти модуль импульса частицы - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Определение

Импульс тела — векторная физическая величина, обозначаемая как p и равная произведению массы тела на его скорость:

p = mv

Единица измерения импульса — килограмм на метр в секунду (кг∙м/с).

Направление импульса всегда совпадает с направлением скорости (p↑↓v), так как масса — всегда положительная величина (m > 0).

Пример №1. Определить импульс пули массой 10 г, вылетевшей со скоростью 300 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Импульс пули есть произведение массы на ускорение. Прежде чем выполнить вычисления, нужно перевести единицы измерения в СИ:

10 г = 0,01 кг

Импульс равен:

p = mv = 0,01∙300 = 3 (кг∙м/с)

Относительный импульс

Определение

Относительный импульс — векторная физическая величина, равная произведению массы тела на относительную скорость:

p_1отн2 = m₁v_1отн2 = m₁(v₁ – v₂)

p_1отн2 — импульс первого тела относительно второго, m₁ — масса первого тела, v_1отн2 — скорость первого тела относительно второго, v₁ и v₂ — скорости первого и второго тела соответственно в одной и той же системе отсчета.

Пример №2. Два автомобиля одинаковой массы (15 т) едут друг за другом по одной прямой. Первый — со скоростью 20 м/с, второй — со скоростью 15 м/с относительно Земли. Вычислите импульс первого автомобиля в системе отсчета, связанной со вторым автомобилем.

Сначала переведем единицы измерения в СИ:

15 т = 15000 кг

p_1отн2 = m₁(v₁ – v₂) = 15000(20 – 15) = 75000 (кг∙м/с) = 75∙10³ (кг∙м/с)

Изменение импульса тела

ОпределениеИзменение импульса тела — векторная разность между конечным и начальным импульсом тела:

∆p = p – p₀ = p + (– p₀)

∆p — изменение импульса тела, p — конечный импульс тела, p₀ — начальный импульс тела

Частные случаи определения изменения импульса тела

Абсолютно неупругий удар
	Конечная скорость после удара: v = 0. Конечный импульс тела: p = 0. Модуль изменения импульса тела равен модулю его начального импульса: ∆p = p0.
Абсолютно упругий удар
	Модули конечной и начальной скоростей равны: v = v₀. Модули конечного и начального импульсов равны: p = p₀. Модуль изменения импульса тела равен удвоенному модулю начального (конечного) импульса: ∆p = 2p₀ = 2p.
Пуля пробила стенку
	Модуль изменения импульса тела равен разности модулей начального и конечного импульсов: ∆p = p₀ – p = m(v₀ – v)
Радиус-вектор тела повернул на 180 градусов
	Модуль изменения импульса тела равен удвоенному модулю начального (конечного) импульса: ∆p = 2p₀ = 2p = 2mv₀
Абсолютно упругое отражение от горизонтальной поверхности под углом α к нормали
	Модули конечной и начальной скоростей равны: v = v₀. Модули конечного и начального импульсов равны: p = p₀. Угол падения равен углу отражения: α = α’ Модуль изменения импульса в этом случае определяется формулой:

Пример №3. Шайба абсолютно упруго ударилась о неподвижную стену. При этом направление движения шайбы изменилось на 90 градусов. Импульс шайбы перед ударом равен 1 кг∙м/с. Чему равен модуль изменения импульса шайбы в результате удара? Ответ округлите до десятых.

В данном случае 90 градусов и есть 2α (угол между векторами начального и конечного импульсов), в то время как α — это угол между вектором импульса и нормалью. Учтем, что при абсолютно упругом отражении модули конечного и начального импульсов равны.

Вычисляем:

Второй закон Ньютона в импульсном виде

Второй закон Ньютона говорит о том, что ускорение тела прямо пропорционально силе, действующей на него. Записывается он так:

Но ускорение определяется отношением разности конечной и начальной скоростей ко времени, в течение которого менялась скорость:

Подставим это выражение во второй закон Ньютона и получим:

Или:

F∆t — импульс силы, ∆p — изменение импульса тела

Пример №4. Тело движется по прямой в одном направлении. Под действием постоянной силы за 3 с импульс тела изменился на 6 кг∙м/с. Каков модуль силы?

Из формулы импульса силы выразим модуль силы:

Реактивное движение

Определение

Реактивное движение — это движение, которое происходит за счет отделения от тела с некоторой скоростью какой-либо его части. В отличие от других видов движения реактивное движение позволяет телу двигаться и тормозить в безвоздушном пространстве, достигать первой космической скорости.

Ракета представляет собой систему двух тел: оболочки массой M и топлива массой m. v — скорость выброса раскаленных газов. ∆m/∆t — расход реактивного топлива, V — скорость ракеты.

Второй закон Ньютона в импульсном виде:

Реактивная сила:

Второй закон Ньютона для ракеты:

Пример №5. Космический корабль массой 3000 кг начал разгон в межпланетном пространстве, включив реактивный двигатель. Из сопла двигателя каждую секунду выбрасывается 3 кг горючего газа со скоростью 600 м/с. Какой будет скорость корабля через 20 секунд после разгона? Изменением массы корабля во время разгона пренебречь. Принять, что поле тяготения, в котором движется корабль, пренебрежимо мало.

Корабль начинает движение из состояния покоя. Поэтому скорость будет равна:

V = a∆t

Выразим ускорение из второго закона Ньютона для ракеты:

Изменение импульса определяется произведением суммарной массы выброшенного горючего на скорость его выброса. Так как мы знаем, сколько выбрасывалось горючего каждую секунду, формула примет вид:

Отсюда ускорение равно:

Выразим формулу для скорости и сделаем вычисления:

Суммарный импульс системы тел

Определение

Суммарный импульс системы тел называется полным импульсом системы. Он равен векторной сумме импульсов всех тел, которые входят в эту систему:

Пример №6. Найти импульс системы, состоящей из двух тел. Векторы импульсов этих тел указаны на рисунке.

Между векторами прямой угол (его косинус равен нулю). Модуль первого вектора равен 4 кг∙м/с (т.к. занимает 2 клетки), а второго — 6 кг∙м/с (т.к. занимает 3 клетки). Отсюда:

Закон сохранения импульса

Закон сохранения импульсаПолный импульс замкнутой системы сохраняется:

Левая часть выражения показывает векторную сумму импульсов системы, состоящей из двух тел, до их взаимодействия. Правая часть выражения показывает векторную сумму этой системы после взаимодействия тел, которые в нее входят.

Закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось

Если до и после столкновения скорости тел направлены вдоль горизонтальной оси, то закон сохранения импульса следует записывать в проекциях на ось ОХ. Нельзя забывать, что знак проекции вектора:

положителен, если его направление совпадает с направлением оси ОХ;
отрицателен, если он направлен противоположно направлению оси ОХ.

Важно!

При неупругом столкновении двух тел, движущихся навстречу друг другу, скорость совместного движения будет направлена в ту сторону, куда до столкновения двигалось тело с большим импульсом.

Частные случаи закона сохранения импульса (в проекциях на горизонтальную ось)

Неупругое столкновение с неподвижным телом	m₁v₁ = (m₁ + m₂)v
Неупругое столкновение движущихся тел	± m₁v₁ ± m₂v₂ = ±(m₁ + m₂)v
В начальный момент система тел неподвижна	0 = m₁v’₁ – m₂v’₂
До взаимодействия тела двигались с одинаковой скоростью	(m₁ + m₂)v = ± m₁v’₁ ± m₂v’₂

Сохранение проекции импульса

В незамкнутых системах закон сохранения импульса выполняется частично. Например, если из пушки под некоторым углом α к горизонту вылетает снаряд, то влияние силы реакции опоры не позволит орудию «уйти под землю». В момент отдачи оно будет откатываться от поверхности земли.

Пример №7. На полу лежит шар массой 2 кг. С ним сталкивается шарик массой 1 кг со скоростью 2 м/с. Определить скорость первого шара при условии, что столкновение было неупругим.

Если столкновение было неупругим, скорости первого и второго тел после столкновения будут одинаковыми, так как они продолжат двигаться совместно. Используем для вычислений следующую формулу:

m₂v₂ = (m₁+ m₂)v

Отсюда скорость равна:

Задание EF17556

Импульс частицы до столкновения равен −p₁, а после столкновения равен −p₂, причём p₁= p, p₂= 2p, −p₁⊥−p₂. Изменение импульса частицы при столкновении Δ−p равняется по модулю:

а) p

б) p√3

в) 3p

г) p√5

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные.

2.Построить чертеж, обозначить векторы начального и конечного импульсов, а также вектор изменения импульса. Для отображения вектора изменения импульса использовать правило сложения векторов методом параллелограмма.

3.Записать геометрическую формулу для вычисления длины вектора изменения импульса.

4.Подставить известные значения и вычислить.

Решение

Запишем исходные данные:

• Модуль импульса частицы до столкновения равен: p₁= p.

• Модуль импульса частицы после столкновения равен: p₂= 2p.

• Угол между вектором начального и вектором конечного импульса: α = 90^о.

Построим чертеж:

Так как угол α = 90^о, вектор изменения импульса представляет собой гипотенузу треугольника, катами которого являются вектора начального и конечного импульсов. Поэтому изменение импульса можно вычислить по теореме Пифагора:

Δp=√p21+p22

Подставим известные данные:

Δp=√p2+(2p)2=√5p2=p√5

Ответ: г

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF17695

На рисунке приведён график зависимости проекции импульса на ось Ox тела, движущегося по прямой, от времени. Как двигалось тело в интервалах времени 0–1 и 1–2?

а) в интервале 0–1 не двигалось, а в интервале 1–2 двигалось равномерно

б) в интервале 0–1 двигалось равномерно, а в интервале 1–2 двигалось равноускорено

в) в интервалах 0–1 и 1–2 двигалось равномерно

г) в интервалах 0–1 и 1–2 двигалось равноускорено

Алгоритм решения

1.Записать формулу, связывающую импульс тема с его кинематическими характеристиками движения.

2.Сделать вывод о том, как зависит характер движения от импульса.

3.На основании вывода и анализа графика установить характер движения тела на интервалах.

Решение

Импульс тела есть произведение массы тела на его скорость:

p = mv

Следовательно, импульс и скорость тела — прямо пропорциональные величины. Если импульс с течением времени не меняется, то скорость тоже. Значит, движение равномерное. Если импульс растет линейно, то и скорость увеличивается линейно. В таком случае движение будет равноускоренным.

На участке 0–1 импульс тела не менялся. Следовательно, на этом участке тело двигалось равномерно. На участке 1–2 импульс тела увеличивался по линейной функции, следовательно, на этом участке тело двигалось равноускорено.

Верный ответ: б.

Ответ: б

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF22730

Камень массой 3 кг падает под углом α = 60° к горизонту в тележку с песком общей массой 15 кг, покоящуюся на горизонтальных рельсах, и застревает в песке (см. рисунок). После падения кинетическая энергия тележки с камнем равна 2,25 Дж. Определите скорость камня перед падением в тележку.

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные.

2.Записать закон сохранения импульса применительно к задаче.

3.Записать формулу кинетической энергии тела.

4.Выполнить общее решение.

5.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.

Решение

Запишем исходные данные:

• Масса камня: m₁ = 3 кг.

• Масса тележки с песком: m₂ = 15 кг.

• Кинетическая энергия тележки с камнем: E_k = 2,25 Дж.

Так как это абсолютно неупругий удар, закон сохранения импульса принимает вид:

m1v1+m2v2=(m1+m2)v

Учтем, что скорость тележки изначально была равна нулю, а к ее движению после столкновения привела только горизонтальная составляющая начальной скорости камня:

m1v1cosα=(m1+m2)v

Выразить конечную скорость системы тел после столкновения мы можем через ее кинетическую энергию:

Ek=(m1+m2)v22

Отсюда скорость равна:

v=√2Ekm1+m2

Выразим скорость камня до столкновения через закон сохранения импульса и подставим в формулу найденную скорость:

v1=(m1+m2)vm1cosα=(m1+m2)m1cosα·√2Ekm1+m2

Подставим известные данные и произведем вычисления:

v1=(3+15)3cos60o·√2·2,253+15=12·√0,25=12·0,5=6 (мс)

Ответ: 6

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF22520

Снаряд, имеющий в точке О траектории импульсp₀, разорвался на два осколка. Один из осколков имеет импульс −p1
. Импульс второго осколка изображается вектором:

а) −−→AB

б) −−→BC

в) −−→CO

г) −−→OD

Алгоритм решения

1.Сформулировать закон сохранения импульса и записать его в векторной форме.

2.Применить закон сохранения импульса к задаче.

3.Выразить из закона импульс второго осколка и найти на рисунке соответствующий ему вектор.

Решение

Согласно закону сохранения импульса, импульс замкнутой системы тел сохраняется. Записать его можно так:

−p1+−p2=−p′
1+−p′2

Можем условно считать осколки замкнутой системой, так как они не взаимодействуют с другими телами. Применяя к ним закон сохранения импульса, получим:

−p0=−p1+−p2

Отсюда импульс второго осколка равен векторной разности импульса снаряда и импульса первого осколка:

−p2=−p0−−p1

Известно, что разностью двух векторов является вектор, начало которого соответствует вычитаемому вектору, а конец — вектору уменьшаемому. В нашем случае вычитаемый вектор — вектор импульса первого осколка. Следовательно, начало вектора импульса второго осколка лежит в точке А. Уменьшаемый вектор — вектор импульса снаряда. Следовательно, конец вектора лежит в точке В. Следовательно, искомый вектор — −−→AB.

Ответ: а

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF18122

Летящая горизонтально со скоростью 20 м/с пластилиновая пуля массой 9 г попадает в груз неподвижно висящий на нити длиной 40 см, в результате чего груз с прилипшей к нему пулей начинает совершать колебания. Максимальный угол отклонения нити от вертикали при этом равен α = 60°. Какова масса груза?

Ответ:

а) 27 г

б) 64 г

в) 81 г

г) 100 г

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные и перевести единицы измерения величин в СИ.

2.Сделать чертеж, отобразив начальное, промежуточное и конечное положение тел.

3.Записать закон сохранения импульса для момента столкновения и закон сохранения механической энергии для момента максимального отклонения нити от положения равновесия.

4.Выполнить решение задачи в общем виде.

5.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.

Решение

Запишем исходные данные:

• Масса пластилиновой пули: m = 9 г.

• Скорость пластилиновой пули: v = 20 м/с.

• Максимальный угол отклонения нити: α = 60°.

Переведем единицы измерения величин в СИ:

Сделаем чертеж:

Нулевой уровень — точка А.

После неупругого столкновения пули с грузом они начинают двигаться вместе. Поэтому закон сохранения импульса для точки А выглядит так:

mv=(m+M)V

После столкновения система тел начинается двигаться по окружности. Точка В соответствует верхней точке траектории. В этот момент скорость системы на мгновение принимает нулевое значение, а потенциальная энергия — максимальное.

Закон сохранения энергии для точки В:

(m+M)V22=(m+M)gh

V22=gh

Высоту h можно определить как произведение длины нити на косинус угла максимального отклонения. Поэтому:

V=√2glcosα

Подставим это выражение в закон сохранения импульса для точки А и получим:

Выразим массу груза:

Ответ: в

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Алиса Никитина | Просмотров: 20k

Источник

Импульс тела, закон сохранения импульса

теория по физике 🧲 законы сохранения

Единица измерения импульса — килограмм на метр в секунду (кг∙м/с).

Направление импульса всегда совпадает с направлением скорости ( p ↑↓ v ), так как масса — всегда положительная величина (m > 0).

p = mv = 0,01∙300 = 3 (кг∙м/с)

Относительный импульс

p _1отн2— импульс первого тела относительно второго, m₁ — масса первого тела, v _1отн2 — скорость первого тела относительно второго, v ₁и v ₂ — скорости первого и второго тела соответственно в одной и той же системе отсчета.

Сначала переведем единицы измерения в СИ:

Изменение импульса тела

∆ p — изменение импульса тела, p — конечный импульс тела, p ₀ — начальный импульс тела

Частные случаи определения изменения импульса тела

Абсолютно неупругий удар

Конечный импульс тела:

Модуль изменения импульса тела равен модулю его начального импульса:

Абсолютно упругий удар

Модули конечной и начальной скоростей равны:

Модули конечного и начального импульсов равны:

Модуль изменения импульса тела равен удвоенному модулю начального (конечного) импульса:

Пуля пробила стенку

Модуль изменения импульса тела равен разности модулей начального и конечного импульсов:

Радиус-вектор тела повернул на 180 градусов

Модуль изменения импульса тела равен удвоенному модулю начального (конечного) импульса:

Абсолютно упругое отражение от горизонтальной поверхности под углом α к нормали

Модули конечной и начальной скоростей равны:

Модули конечного и начального импульсов равны:

Угол падения равен углу отражения:

Модуль изменения импульса в этом случае определяется формулой:

Вычисляем:

Второй закон Ньютона в импульсном виде

Подставим это выражение во второй закон Ньютона и получим:

F ∆t — импульс силы, ∆ p — изменение импульса тела

Из формулы импульса силы выразим модуль силы:

Реактивное движение

Второй закон Ньютона в импульсном виде:

Второй закон Ньютона для ракеты:

Корабль начинает движение из состояния покоя. Поэтому скорость будет равна:

Выразим ускорение из второго закона Ньютона для ракеты:

Отсюда ускорение равно:

Выразим формулу для скорости и сделаем вычисления:

Суммарный импульс системы тел

Пример №6. Найти импульс системы, состоящей из двух тел. Векторы импульсов этих тел указаны на рисунке.

Закон сохранения импульса

Закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось

положителен, если его направление совпадает с направлением оси ОХ;
отрицателен, если он направлен противоположно направлению оси ОХ.

Частные случаи закона сохранения импульса (в проекциях на горизонтальную ось)

Неупругое столкновение с неподвижным телом	m₁v₁ = (m₁ + m₂)v
Неупругое столкновение движущихся тел	± m₁v₁ ± m₂v₂ = ±(m₁ + m₂)v
В начальный момент система тел неподвижна	0 = m₁v’₁ – m₂v’₂
До взаимодействия тела двигались с одинаковой скоростью	(m₁ + m₂)v = ± m₁v’₁ ± m₂v’₂

Сохранение проекции импульса

Отсюда скорость равна:

Импульс частицы до столкновения равен − p ₁, а после столкновения равен − p ₂, причём p₁ = p, p₂ = 2p, − p ₁⊥ − p ₂. Изменение импульса частицы при столкновении Δ − p равняется по модулю:

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Так как угол α = 90 о , вектор изменения импульса представляет собой гипотенузу треугольника, катами которого являются вектора начального и конечного импульсов. Поэтому изменение импульса можно вычислить по теореме Пифагора:

Δ p = √ p 2 1 + p 2 2

Подставим известные данные:

Δ p = √ p 2 + ( 2 p ) 2 = √ 5 p 2 = p √ 5

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

а) в интервале 0–1 не двигалось, а в интервале 1–2 двигалось равномерно

б) в интервале 0–1 двигалось равномерно, а в интервале 1–2 двигалось равноускорено

в) в интервалах 0–1 и 1–2 двигалось равномерно

г) в интервалах 0–1 и 1–2 двигалось равноускорено

Модуль импульса частицы по окружности

Заряженная частица массой m, несущая положительный заряд q, движется перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля по окружности радиусом R. Действием силы тяжести пренебречь.

Установите соответствие между физическими величинами и формулами, по которым их можно рассчитать.

К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

А) модуль импульса частицы

Б) период обращения частицы по окружности

4) qBR

ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ

ФОРМУЛЫ

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

Центростремительное ускорение частицы равно отношению силы Лоренца к её массе откуда получаем Модуль импульса частицы равен (А — 4)

Период обращения равен (Б — 3)

Задача 9868 Заряженная частица массой m, несущая.

Условие

Заряженная частица массой m, несущая положительный заряд q, движется перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля В по окружности радиусом R. Действием силы тяжести пренебречь.

Установите соответствие между физическими величинами и формулами, по которым их можно рассчитать.

А) модуль импульса частицы
Б) период обращения частицы по окружности

[spoiler title=”источники:”]

http://phys-ege.sdamgia.ru/problem?id=8012

http://reshimvse.com/zadacha.php?id=9868

[/spoiler]

Источник

Импульс

Размерность	LMT⁻¹
Единицы измерения
СИ	кг·м/с
СГС	г·см/с
Примечания
векторная величина

И́мпульс (коли́чество движе́ния) — векторная физическая величина, являющаяся мерой механического движения тела.

В классической механике импульс тела равен произведению массы этого тела на его скорость направление импульса совпадает с направлением вектора скорости:

В релятивистской физике импульс вычисляется как:

${displaystyle {vec {p}}={frac {m{vec {v}}}{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},}$

где — скорость света; в пределе для малых формула переходит в классическую.

Важнейший физический закон, в котором фигурирует импульс тела, — второй закон Ньютона:

${displaystyle {frac {{mbox{d}}{vec {p}}}{{mbox{d}}t}}={vec {F}},}$

здесь — время, vec{F} — сила, приложенная к телу.

В записи через импульс (в отличие от — ускорение) закон применим не только в классической, но и в релятивистской механике.

В самом общем виде, определение звучит: импульс — это аддитивный интеграл движения механической системы, связанный согласно теореме Нётер с фундаментальной симметрией — однородностью пространства.

Понятие «импульс» имеет обобщения в теоретической механике, для случая наличия электромагнитного поля (как для частицы в поле, так и для самого поля), а также в квантовой механике.

История появления термина[править | править код]

Средневековые натурфилософы, в соответствии с учением Аристотеля, полагали, что для поддержания движения непременно требуется некоторая сила, без силы движение прекращается. Часть учёных выдвинула возражение против этого утверждения: почему брошенный камень продолжает двигаться, хотя связь с силой руки утрачена?

Для ответа на подобные вопросы Жан Буридан (XIV век) изменил ранее известное в философии понятие «импетус». По Буридану, летящий камень обладает «импетусом», который сохранялся бы в отсутствие сопротивления воздуха. При этом «импетус» прямо пропорционален скорости. В другом месте он пишет о том, что тела с бо́льшим весом способны вместить больше импетуса.

В первой половине XVII века Рене Декартом было введено понятие «количества движения». Он высказал предположение о том, что сохраняется не только количество движения одного тела, изолированного от внешних воздействий, но и любой системы тел, взаимодействующих лишь друг с другом. Физическое понятие массы в то время ещё не было формализовано — и он определил количество движения как произведение «величины тела на скорость его движения». Под скоростью Декарт подразумевал абсолютную величину (модуль) скорости, не учитывая её направление. Поэтому теория Декарта согласовывалась с опытом лишь в некоторых случаях (например, Валлис, Рен и Гюйгенс в 1678 году использовали её для исследования абсолютно упругого столкновения в системе центра масс).

Валлис в 1668 году первым предложил считать количество движения не скалярной, а направленной величиной, учитывая направления с помощью знаков «плюс» и минус”^[1]. В 1670 году он окончательно сформулировал закон сохранения количества движения. Экспериментальным доказательством закона послужило то, что новый закон позволял рассчитывать неупругие удары, а также удары в любых системах отсчёта.

Закон сохранения количества движения был теоретически доказан Исааком Ньютоном через третий и второй закон Ньютона. Согласно Ньютону, «количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе».

Формальное абстрактное определение[править | править код]

Импульсом называется сохраняющаяся физическая величина, связанная с однородностью пространства (то есть инвариант относительно трансляций).

Из свойства однородности пространства следует независимость лагранжиана замкнутой системы от её положения в пространстве: для хорошо изолированной системы её поведение не зависит от того, в какое место пространства она помещена. По теореме Нётер из этой однородности следует сохранение некоторой физической величины, которую и называют импульсом.

В разных разделах физики применительно к реальным задачам даются более конкретные определения импульса, с которыми можно работать и производить расчёты.

Определения импульса тела в механике[править | править код]

Классическая механика[править | править код]

В классической механике полным импульсом системы материальных точек называется векторная величина, равная сумме произведений масс материальных точек на их скорости:

${vec p}=sum _{{i}}m_{i}{vec {v}}_{i},$

соответственно, величина ${vec p}_{i}=m_{i}{vec {v}}_{i}$ называется импульсом одной материальной точки. Это векторная величина, направленная в ту же сторону, что и скорость частицы. Единицей измерения импульса в Международной системе единиц (СИ) является килограмм-метр в секунду (кг·м/с).

Импульс тела конечных размеров находится путём его мысленного разбиения на малые части, которые можно считать материальными точками, с последующим интегрированием по ним:

{displaystyle {vec {p}}=int rho (x,y,z){vec {v}}(x,y,z)dxdydz.}

Стоящее под интегралом произведение называют плотностью импульса.

Релятивистская механика[править | править код]

В релятивистской механике импульсом системы материальных точек называется величина:

${displaystyle {vec {p}}=sum _{i}{frac {m_{i}{vec {v}}_{i}}{sqrt {1-v_{i}^{2}/c^{2}}}},}$

где m_i — масса -й материальной точки, vec v_i — её скорость.

Также вводится четырёхмерный импульс, который для одной материальной точки массой определяется как:

${displaystyle p_{mu }=(E/c,{vec {p}})=left({frac {mc}{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},{frac {m{vec {v}}}{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}right).}$

На практике часто применяются соотношения между массой, импульсом и энергией частицы:

${displaystyle E^{2}-mathbf {p} ^{2}c^{2}=m^{2}c^{4},qquad qquad mathbf {p} ={frac {E}{c^{2}}},mathbf {v} .}$

Свойства импульса[править | править код]

Сохранение импульса следует из второго и третьего законов Ньютона: записав второй закон для каждой из составляющих систему материальных точек, представив силу, действующую на каждую точку, как внешнюю ${displaystyle {vec {F}}_{i,ext}}$ плюс силу взаимодействия со всеми остальными точками, затем просуммировав, получим:

${displaystyle {frac {d{vec {p}}}{dt}}=sum _{i}{frac {d{vec {p}}_{i}}{dt}}=sum _{i}{vec {F}}_{i}=sum _{i}left({vec {F}}_{i,ext}+sum _{j,jneq j}{vec {F}}_{i,j}right)=sum _{i}{vec {F}}_{i,ext}+sum _{i}sum _{j,jneq i}F_{i,j}.}$

Первое слагаемое равно нулю из-за компенсации внешних сил, а второе — вследствие третьего закона Ньютона (слагаемые ${displaystyle {vec {F}}_{a,b}}$ и ${displaystyle {vec {F}}_{b,a}}$ в двойной сумме попарно уничтожают друг друга).

Импульс не изменяется при взаимодействиях, изменяющих лишь механические характеристики системы. Это свойство инвариантно по отношению к преобразованиям Галилея^[2]. Свойства сохранения кинетической энергии, сохранения импульса и второго закона Ньютона достаточно для получения математического выражения импульса^[3]^[4].

При наличии электромагнитного взаимодействия между материальными точками третий закон Ньютона может не выполняться — и тогда сохранения суммы импульсов точек не будет. В таких случаях, особенно в релятивистской механике, удобнее включать в понятие «система» не только совокупность точек, но и поле взаимодействия между ними. Соответственно, будут учтены не только импульсы составляющих систему частиц, но и импульс поля взаимодействия. При этом вводится величина — тензор энергии-импульса, которая в полной мере удовлетворяет законам сохранения.

Что касается 4-импульса, то для системы не взаимодействующих материальных точек их совокупный 4-импульс равен сумме по всем частицам. При наличии взаимодействия такое суммирование теряет смысл.

Обобщённый импульс[править | править код]

В теоретической механике в целом[править | править код]

В теоретической механике обобщённым импульсом называется частная производная лагранжиана системы по обобщённой скорости:

${displaystyle p_{i}={{partial {mathcal {L}}} over {partial {dot {q}}_{i}}}.}$

Обобщенный импульс, как и не обобщённый, обозначается буквой обычно из контекста ясно, о чём идёт речь.

Размерность обобщённого импульса зависит от размерности обобщённой координаты. Если размерность $q_{i}$ — длина, то $p_{i}$ будет иметь размерность обычного импульса, если же координатой $q_{i}$ выступает угол (величина безразмерная), то $p_{i}$ обретёт размерность момента импульса. Если лагранжиан системы не зависит от некоторой обобщённой координаты, то из уравнений Лагранжа ${displaystyle dp_{i}/dt=0.}$

Если обобщённая координата — это обычная координата (и тогда её производная по времени — просто скорость), а внешних полей нет, обобщённый импульс тождественен обычному. Так, для свободной частицы функция Лагранжа имеет вид:

${mathcal L}=-mc^{2}{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

, отсюда: ${displaystyle {vec {p}}=m{vec {v}}/{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

Для частицы в электромагнитном поле[править | править код]

В электромагнитном поле лагранжиан частицы будет отличаться от приведённого выше наличием дополнительных членов, а именно ${displaystyle {mathcal {L}}=-mc^{2}{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}-qvarphi +q{vec {v}}cdot {vec {A}}.}$ Соответственно, обобщённый импульс частицы равен:

${mathbf {p}}={frac {m{mathbf {v}}}{{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}+q{mathbf A},$

где — векторный потенциал электромагнитного поля, — заряд частицы; в выражении для фигурировал также скалярный потенциал varphi .

Импульс электромагнитного поля[править | править код]

Электромагнитное поле, как и любой другой материальный объект, обладает импульсом, который легко можно найти, проинтегрировав вектор Пойнтинга по объёму:

${mathbf p}={frac {1}{c^{2}}}int {mathbf S}dV={frac {1}{c^{2}}}int [{mathbf E}times {mathbf H}]dV$

(в системе СИ).

Существованием импульса у электромагнитного поля объясняется, например, такое явление как давление электромагнитного излучения.

Импульс в квантовой механике[править | править код]

Определение через оператор[править | править код]

В квантовой механике оператором импульса частицы называют оператор — генератор группы трансляций. Это эрмитов оператор, собственные значения которого отождествляются с импульсом системы частиц. В координатном представлении для системы нерелятивистских частиц он имеет вид:

${hat {{mathbf {P}}}}=sum _{j}{hat {{mathbf {p}}}}_{j}=sum _{j}-ihbar nabla _{j}$

где $nabla _{j}$ — оператор набла, соответствующий дифференцированию по координатам -ой частицы.

Гамильтониан системы выражается через оператор импульса:

${hat {H}}=sum _{i}{frac {1}{2m_{i}}}{hat {{mathbf {p}}}}_{i}^{2}+U({mathbf {r_{1}}},dots )$ .

Для замкнутой системы ( U=0 ) оператор импульса коммутирует с гамильтонианом, и импульс сохраняется.

Определение через волны де Бройля[править | править код]

Формула де Бройля связывает импульс и длину волны де Бройля рассматриваемого объекта.

Модуль импульса обратно пропорционален длине волны

$p={frac hlambda }$

где — постоянная Планка.

Для частиц не очень высокой энергии, движущихся со скоростью vll c (скорости света), модуль импульса равен p=mv (где — масса частицы), и:

${displaystyle lambda ={frac {h}{p}}={frac {h}{mv}}}$

Следовательно, длина волны де Бройля тем меньше, чем больше модуль импульса.

В векторном виде это записывается как:

${displaystyle {vec {p}}={frac {h}{2pi }}{vec {k}}=hbar {vec {k}}}$

где {vec k} — волновой вектор.

Как и в классической механике, в квантовой имеет место сохранение импульса в изолированных системах^[5]^[6]. В тех явлениях, когда проявляются корпускулярные свойства частиц, их импульс записывается «классически» как p=mv , а если проявляются волновые свойства, действует^[7] связь ${displaystyle p=hlambda ^{-1}}$ . При этом, как и в классической механике, сохранение импульса выступает следствием симметрии относительно сдвигов по координатам^[8].

Импульс в гидродинамике[править | править код]

В гидродинамике вместо массы материальной точки рассматривают массу единицы объёма, то есть плотность жидкости или газа При этом вместо импульса фигурирует вектор плотности импульса, совпадающий по смыслу с вектором плотности потока массы

Поскольку в турбулентном потоке характеристики состояния вещества (в том числе плотность и скорость) подвержены хаотическим пульсациям, физический интерес представляют осреднённые величины. Влияние гидродинамических флуктуаций на динамику потока учитывается методами статистической гидромеханики, в которой уравнения движения, описывающие поведение средних характеристик потока в соответствии с методом О. Рейнольдса получаются путём осреднения уравнений Навье-Стокса^[9].

Если в согласии с методом Рейнольдса представить , где черта сверху — знак осреднения, а штрих — отклонения от среднего, то вектор осреднённой плотности импульса приобретёт вид:

{displaystyle {overline {vec {s}}}={overline {rho {vec {v}}}}={overline {rho }}~{overline {vec {v}}}+{vec {S}},}

где — вектор плотности флуктуационного потока массы (или «плотность турбулентного импульса»^[9]).

Импульсное представление в квантовой теории поля[править | править код]

В квантовой теории поля часто употребляется импульсное представление на основе использования преобразования Фурье. Его преимуществами являются: удобство описания физических систем при помощи энергий и импульсов, а не при помощи пространственно-временных координат; более компактная и наглядная структура динамических переменных^[10].

См. также[править | править код]

Импульс силы
Момент импульса
Электрический импульс

Примечания[править | править код]

↑ Григорьян А. Т. Механика от античности до наших дней. — М.: Наука, 1974.
↑ ¹ ² ³ Айзерман, 1980, с. 49.
↑ Айзерман, 1980, с. 54.
↑ Сорокин В. С. «Закон сохранения движения и мера движения в физике» Архивная копия от 1 января 2015 на Wayback Machine // УФН, 59, с. 325—362, (1956)
↑ Перкинс Д.^[en] Введение в физику высоких энергий. — М., Мир, 1975. — c. 94
↑ Широков Ю. М., Юдин Н. П. Ядерная физика. — М.: Наука, 1972. — С. 276. — 670 с.
↑ Фейнман Р. Ф. ]. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 1 Современная наука о природе. Законы механики.. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — С. 194. — 440 с. — ISBN 5-354-00699-6.
↑ Ферми Э. Квантовая механика. — М.: Мир, 1968. — С. 183. — 367 с.
↑ ¹ ² Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. Часть 1. — М.: Наука, 1965. — 639 с.
↑ Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Квантовые поля. — М., Наука, 1980. — с. 25

Литература[править | править код]

Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. — Издание 4-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 215 с. — («Теоретическая физика», том I). — ISBN 5-02-013850-9.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Издание 4-е. — М.: Физматлит, 2002. — Т. I. Механика. — 792 с. — ISBN 5-9221-0225-7.
Айзерман М. А. Классическая механика. — М.: Наука, 1980. — 368 с.

Источник

Гольдфарб Н., Новиков В. Импульс тела и системы тел // Квант. — 1977. — № 12. — С. 52-58.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

Понятие импульса (количества движения) было впервые введено в механику Ньютоном. Напомним, что под импульсом материальной точки (тела) понимается векторная величина , равная произведению массы тела на его скорость:

Наряду с понятием импульса тела используется понятие импульса силы. Импульс силы специального обозначения не имеет. В частном случае, когда действующая на тело сила постоянна, импульс силы по определению равен произведению силы на время ее действия: . В общем случае, когда сила изменяется со временем , импульс силы определяется как .

Используя понятие импульса тела и импульса силы, первый и второй законы Ньютона можно сформулировать следующим образом.

Первый закон Ньютона: существуют системы отсчета, в которых сохраняется неизменным импульс тела, если на него не действуют другие тела или действия других тел компенсируются.

Второй закон Ньютона: в инерциальных системах отсчета изменение импульса тела равно импульсу приложенной к телу силы, то есть

В отличие от привычной галилеевской формы второго закона: , «импульсная» форма этого закона позволяет применять его к задачам, связанным с движением тел переменной массы (например, ракет) и с движениями в области околосветовых скоростей (когда масса тела зависит от его скорости).

Подчеркнем, что импульс, приобретаемый телом, зависит не только от действующей на тело силы, но и от продолжительности ее действия. Это можно проиллюстрировать, например, на опыте с выдергиванием листа бумаги из-под бутылки — мы оставим ее стоящей практически неподвижно, если сделаем это рывком (рис. 1). Сила трения скольжения, действующая на бутылку в течение очень малого промежутка времени, то есть небольшой импульс силы, вызывает соответственно малое изменение импульса бутылки.

Рис. 1.

Второй закон Ньютона (в «импульсной» форме) дает возможность по изменению импульса тела определить импульс силы, действующей на данное тело, и среднее значение силы за время ее действия. В качестве примера рассмотрим такую задачу.

Задача 1. Мячик массой 50 г ударяет в гладкую вертикальную стенку под углом 30° к ней, имея к моменту удара скорость 20 м/с, и упруго отражается. Определить среднюю силу, действующую на мячик во время удара, если соударение мячика со стенкой длится 0,02 с.

На мячик во время удара действуют две силы — сила реакции стенки (она перпендикулярна стенке, так как трения нет) и сила тяжести. Пренебрежем импульсом силы тяжести, полагая, что по абсолютной величине он много меньше импульса силы (это предположение мы подтвердим позже). Тогда при столкновении мячика со стенкой проекция его импульса на вертикальную ось Y не изменится, а на горизонтальную ось X — останется такой же по абсолютной величине, но изменит знак на противоположный. В результате, как видно на рисунке 2, импульс мячика изменится на величину , причем

Следовательно, со стороны стенки на мячик действует сила такая, что

По третьему закону Ньютона мячик действует на стенку с такой же по абсолютной величине силой.

Сравним теперь абсолютные значения импульсов сил и :

= 1 Н·с, = 0,01 Н·с.

Мы видим, что , и импульсом силы тяжести действительно можно пренебречь.

Рис. 2.

Импульс замечателен тем, что под действием одной и той же силы он изменяется одинаково у всех тел, независимо от их массы, если только время действия силы одинаково. Разберем следующую задачу.

Задача 2. Две частицы массами m и 2m движутся во взаимно перпендикулярных направлениях со скоростями соответственно 2 и (рис. 3). На частицы начинают действовать одинаковые силы. Определить величину и направление скорости частицы массой 2m в момент времени, когда скорость частицы массой m стала такой, как показано пунктиром: а) на рисунке 3, а; б) на рисунке 3, б.

Рис. 3.

Изменение импульсов обеих частиц одно и то же: на них одинаковое время действовали одинаковые силы. В случае а) модуль изменения импульса первой частицы равен

Вектор направлен горизонтально (рис. 4, а). Так же меняется и импульс второй частицы. Поэтому модуль импульса второй частицы будет равен

модуль скорости равен , а угол .

Аналогично найдем, что в случае б) модуль изменения импульса первой частицы равен (рис. 4, б). Модуль импульса второй частицы станет равным (это нетрудно найти, воспользовавшись теоремой косинусов), модуль скорости этой частицы равен и угол (согласно теореме синусов).

Рис. 4.

Когда мы переходим к системе взаимодействующих тел (частиц), то оказывается, что полный импульс системы — геометрическая сумма импульсов взаимодействующих тел — обладает замечательным свойством сохраняться во времени. Этот закон сохранения импульса является прямым следствием второго и третьего законов Ньютона. В учебнике «Физика 8» этот закон выведен для случая двух взаимодействующих тел, образующих замкнутую систему (эти тела не взаимодействуют ни с какими другими телами). Легко обобщить этот вывод на замкнутую систему, состоящую из произвольного числа n тел. Покажем это.

Согласно второму закону Ньютона изменение импульса i-гo тела системы за малый промежуток времени Δt равно сумме импульсов сил взаимодействия его со всеми другими телами системы:

Изменение полного импульса системы есть сумма изменений импульсов, составляющих систему тел: по второму закону Ньютона, равно сумме импульсов всех внутренних сил системы:

В соответствии с третьим законом Ньютона силы взаимодействия между телами системы попарно одинаковы по абсолютной величине и противоположны по направлению: . Поэтому сумма всех внутренних сил равна нулю, значит,

Но если изменение некой величины за произвольный малый промежуток времени Δt равно нулю, то сама эта величина неизменна во времени:

Таким образом, изменение импульса любого из тел, составляющих замкнутую систему, компенсируется противоположным изменением в других частях системы. Иными словами, импульсы тел замкнутой системы могут как угодно изменяться, но сумма их остается постоянной во времени. Если же система не замкнута, то есть на тела системы действуют не только внутренние, но и внешние силы, то, рассуждая подобным образом, придем к выводу, что приращение полного импульса системы за промежуток времени Δt будет равно сумме импульсов внешних сил за тот же промежуток времени:

Импульс системы могут изменить только внешние силы.

Если , то незамкнутая система ведет себя подобно замкнутой, и к ней применим закон сохранения импульса.

Рассмотрим теперь несколько конкретных задач.

Задача 3. Орудие массы m соскальзывает по гладкой наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. В момент, когда скорость орудия равна , производят выстрел, в результате которого орудие останавливается, а вылетевший в горизонтальном направлении снаряд «уносит» импульс (рис. 5). Продолжительность выстрела равна τ. Каково среднее за время τ значение силы реакции со стороны наклонной плоскости?

Начальный импульс системы тел орудие — снаряд равен , конечный импульс равен . Рассматриваемая система не замкнута: за время τ она получает приращение импульса . Изменение импульса системы обусловлено действием двух внешних сил: силы реакции (перпендикулярной наклонной плоскости) и силы тяжести , поэтому можно записать

Рис. 5.

Представим это соотношение графически (рис. 6). Из рисунка сразу видно, что искомое значение определяется формулой

Рис. 6.

Импульс — величина векторная, поэтому закон сохранения импульса можно применять к каждой из его проекций на оси координат. Иначе говоря, если сохраняется , то независимо сохраняются p_x, p_y и p_z (если задача трехмерная).

В случае, когда сумма внешних сил не равна нулю, но проекция этой суммы на некоторое направление — нуль, проекция полного импульса на это же направление сохраняется неизменной. Например, при движении системы в поле силы тяжести сохраняется проекция ее импульса на любое горизонтальное направление.

адача 4. Горизонтально летящая пуля попадает в деревянный брусок, подвешенный на очень длинном шнуре, и застревает в бруске, сообщив ему скорость u = 0,5 м/с. Определить скорость пули перед ударом. Масса пули m = 15 г, масса бруска М = 6 кг.

Торможение пули в бруске — сложный процесс, но для решения задачи нет никакой необходимости вникать в его детали. Так как в направлении скорости пули до удара и скорости бруска после застревания пули (подвес очень длинный, поэтому скорость бруска горизонтальна) не действуют внешние силы, то можно применить закон сохранения импульса:

Отсюда скорость пули

υ » 200 м/с.

В реальных условиях — в условиях земного притяжения — не существует замкнутых систем, если не включать в них Землю. Однако, если взаимодействие между телами системы много сильнее, чем их взаимодействие с Землей, то можно с большой точностью применять закон сохранения импульса. Так можно поступать, например, при всех кратковременных процессах: взрывах, столкновениях и т. п. (см. например, задачу 1).

Задача 5. Третья ступень ракеты состоит из ракеты-носителя массой m_p = 500 кг и головного конуса массой m_к = 10 кг. Между ними помещена сжатая пружина. При испытаниях на Земле пружина сообщила конусу скорость υ = 5,1 м/с по отношению к ракете-носителю. Каковы будут скорости конуса υ_к и ракеты-носителя υ_p, если их отделение произойдет на орбите при движении со скоростью υ = 8000 м/с?

Согласно закону сохранения импульса

Кроме того,

Из этих двух соотношений получим

Эту задачу можно решать и в системе отсчета, движущейся со скоростью в направлении полета. Заметим в связи с этим, что если импульс сохраняется в одной инерциальной системе отсчета, то он сохраняется и в любой другой инерциальной системе отсчета.

Закон сохранения импульса лежит в основе реактивного движения. Струя газа, вырывающаяся из ракеты, уносит импульс. Этот импульс должен быть скомпенсирован таким же по модулю изменением импульса оставшейся части системы ракета-газ.

Задача 6. Из ракеты массой М выбрасываются продукты сгорания порциями одной и той же массы m со скоростью относительно ракеты. Пренебрегая действием силы тяжести, определить скорость ракеты, которой она достигнет после вылета n-й порции.

Пусть — скорость ракеты относительно Земли после выброса 1-й порции газа. По закону сохранения импульса

где — скорость первой порции газа относительно Земли в момент разделения системы ракета-газ, когда ракета уже приобрела скорость . Отсюда

Найдем теперь скорость ракеты после вылета второй порции. В системе отсчета, движущейся со скоростью ракета перед вылетом второй порции неподвижна, а после выброса приобретает скорость . Воспользовавшись предыдущей формулой и сделав в ней замену , получим

Тогда будет равно

Продолжая этот процесс дальше, нетрудно получить

Закону сохранения импульса можно придать другую форму, упрощающую решение многих задач, если ввести понятие центра масс (центра инерции) системы. Координаты центра масс (точки с) по определению связаны с массами и координатами частиц, составляющих систему, следующими соотношениями:

Следует заметить, что центр масс системы в однородном поле тяжести совпадает с центром тяжести.

Для выяснения физического смысла центра масс вычислим его скорость , а точнее, проекции этой скорости. По определению

В этой формуле

поэтому

Точно так же найдем, что

Отсюда следует, что

или

— полный импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.

Центр масс (центр инерции) системы, таким образом, приобретает смысл точки, скорость которой равна скорости движения системы как целого. Если , то система как целое покоится, хотя при этом тела системы относительно центра инерции могут двигаться произвольным образом.

С помощью формулы закон сохранения импульса может быть сформулирован так: центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается неподвижным. Если система не замкнута, то можно показать, что

— ускорение центра инерции определяется равнодействующей всех внешних сил, приложенных к системе.

Рассмотрим такие задачи.

3адача 7. На концах однородной платформы длиной l находятся два человека, массы которых и (рис. 7). Первый прошел до середины платформы. На какое расстояние х надо переместиться по платформе второму человеку, чтобы тележка вернулась на прежнее место? Найти условие, при котором задача имеет решение.

Рис. 7.

Найдем координаты центра масс системы в начальный и конечный моменты и приравняем их (поскольку центр масс остался на том же месте). Примем за начало координат точку, где в начальный момент находился человек массой m₁. Тогда

(здесь М — масса платформы). Отсюда

Очевидно, что если m₁ > 2m₂, то x > l — задача теряет смысл.

Задача 8. На нити, перекинутой через невесомый блок, подвешены два груза, массы которых m₁ и m₂ (рис. 8). Найти ускорение центра масс этой системы, если m₁ > m₂.

Рис. 8.

Система, состоящая из грузов, нити и блока, незамкнутая. Извне на систему действуют силы тяжести грузов и и сила, приложенная к блоку со стороны подвеса, равная удвоенной силе натяжения нити (см. рис. 8). Напишем уравнение движения системы в проекциях на вертикальную ось Y, направленную вниз:

Силу можно найти, написав уравнения движения для каждого груза в отдельности (учтем при этом, что a₁ = –a₂ = a):

откуда

Подставив полученное значение в наше исходное уравнение, найдем, что

Задачу можно решить и по-другому. Непосредственно из определения центра масс следует, что

(здесь — ускорение центра масс, и — ускорения грузов m₁ и m₂ соответственно), или в проекциях на ось Y:

Учитывая, что

получим

Упражнения

1. Два человека стоят на коньках на расстоянии l друг от друга. Один из них бросает мяч массы m, другой подхватывает его через промежуток времени t. С какой скоростью начнет скользить человек, бросавший мяч, если его масса М?

2. По клину с углом при основании α, который может двигаться по гладкому горизонтальному столу, движется заводной игрушечный автомобиль с постоянной по отношению к клину скоростью . Как велика скорость клина и чему равна сила давления автомобиля на клин? Масса клина М, автомобиля m. Автомобиль начал двигаться, когда клин покоился.

3. Гимнаст массой М, имея при себе груз массой m, прыгает под углом α к горизонту с начальной скоростью . В момент, когда им достигнута наибольшая высота, он бросает груз назад с горизонтальной скоростью относительно себя. На сколько увеличилась дальность прыжка от бросания груза?

4. Снаряд выброшен орудием с начальной скоростью под углом α к горизонту. В верхней точке своей параболической траектории снаряд разрывается на два осколка с массами m₁ и m₂. Осколок массой m₁ после взрыва падает вертикально, имея начальную скорость . Найти уравнение движения второго осколка.

5. Лодка массой М неподвижно стоит в озере. На корме и на носу лодки на расстоянии l друг от друга находятся рыболовы массами m₁ и m₂ (m₁ > m₂). Рыболовы меняются местами. На сколько переместится при этом лодка? Сопротивлением воды пренебречь.

6. На краю покоящегося плота массой М стоят n мальчиков, масса каждого из которых равна m. Найти скорость плота после того, как мальчики спрыгнут с одной и той же горизонтальной скоростью и относительно плота: а) одновременно; б) поочередно. В каком случае скорость плота будет больше? Сопротивлением воды пренебречь.

7. На тележке стоят два бака, соединенных между собой трубкой с краном. Один из них наполнен водой (рис. 9). При открывании крана вода переливается в другой бак. Описать характер движения тележки.

Рис. 9.

Ответы

3. Указание. Удобнее всего решать задачу в системе отсчета, движущейся поступательно со скоростью .

4. где и (начало координат находится в точке, в которой установлено орудие).

6. а) б) скорость плота больше в случае б).

7. Положение центра масс системы не может измениться под действием внутренних сил. Поэтому вначале тележка должна двигаться в сторону, противоположную движению воды. После того, как уровни в баках окончательно сравняются, движение тележки прекратится.

Источник

Импульс
[math]displaystyle{ vec p = mvec v }[/math]
Размерность	LMT⁻¹
Единицы измерения
СИ	кг·м/с
СГС	г·см/с
Примечания
векторная величина

В классической механике импульс тела равен произведению массы [math]displaystyle{ m }[/math] этого тела на его скорость [math]displaystyle{ vec{v}, }[/math] направление импульса совпадает с направлением вектора скорости:

[math]displaystyle{ vec{p} = mvec{v}. }[/math]

В релятивистской физике импульс вычисляется как:

[math]displaystyle{ vec{p}=frac{mvec{v}}{sqrt{1-v^2/c^2}}, }[/math]

где [math]displaystyle{ c }[/math] — скорость света; в пределе для малых [math]displaystyle{ v }[/math] формула переходит в классическую.

Важнейший физический закон в котором фигурирует импульс тела, — второй закон Ньютона:

[math]displaystyle{ frac{mbox{d}vec{p}}{mbox{d}t} = vec{F}, }[/math]

здесь [math]displaystyle{ t }[/math] — время, [math]displaystyle{ vec{F} }[/math] — сила, приложенная к телу.

В записи через импульс (в отличие от [math]displaystyle{ vec{F} = mvec{a}, }[/math] [math]displaystyle{ vec{a} }[/math] — ускорение) закон применим не только в классической, но и в релятивистской механике.

История появления термина

Формальное абстрактное определение

Определения импульса тела в механике

Классическая механика

[math]displaystyle{ vec p=sum_{i}m_i vec{v}_i, }[/math]

соответственно, величина [math]displaystyle{ vec p_i=m_i vec{v}_i }[/math] называется импульсом одной материальной точки. Это векторная величина, направленная в ту же сторону, что и скорость частицы. Единицей измерения импульса в Международной системе единиц (СИ) является килограмм-метр в секунду (кг·м/с).

[math]displaystyle{ vec p=int rho(x,y,z)vec{v}(x,y,z)dx dy dz. }[/math]

Стоящее под интегралом произведение [math]displaystyle{ vec{s} = rhovec{v} }[/math] называют плотностью импульса.

Релятивистская механика

В релятивистской механике импульсом системы материальных точек называется величина:

[math]displaystyle{ vec p = sum_i frac{m_i vec v_i}{sqrt{1-v_i^2/c^2}}, }[/math]

где [math]displaystyle{ m_i }[/math] — масса [math]displaystyle{ i }[/math]-й материальной точки,

[math]displaystyle{ vec v_i }[/math] — её скорость.

Также вводится четырёхмерный импульс, который для одной материальной точки массой [math]displaystyle{ m }[/math] определяется как:

[math]displaystyle{ p_{mu}=(E/c,vec p)=left(frac{m c}{sqrt{1-v^2/c^2}},frac{m vec v}{sqrt{1-v^2/c^2}}right). }[/math]

На практике часто применяются соотношения между массой, импульсом и энергией частицы:

[math]displaystyle{ E^2-mathbf{p}^2c^2=m^2c^4, qquadqquad mathbf{p} = frac{E}{c^2}, mathbf{v}. }[/math]

Свойства импульса

Аддитивность. Это свойство означает, что импульс механической системы, состоящей из материальных точек, равен сумме импульсов всех материальных точек, входящих в систему^[2].
Инвариантность абсолютной величины импульса по отношению к повороту ИСО.^[2] При этом в общем случае при смене ИСО инвариантности импульса или его модуля нет ни в релятивистской механике, ни в классическом пределе.
Причиной изменения импульса со временем является сила (по второму закону Ньютона, [math]displaystyle{ mbox{d}vec{p}/mbox{d}t = vec{F} }[/math]).
Сохранение. Импульс системы, на которую не действуют никакие внешние силы (или они скомпенсированы), сохраняется во времени: [math]displaystyle{ mbox{d}vec{p}/mbox{d}t = 0 }[/math] (см. статью Закон сохранения импульса).

Сохранение импульса следует из второго и третьего законов Ньютона: записав второй закон для каждой из составляющих систему материальных точек, представив силу, действующую на каждую точку, как внешнюю [math]displaystyle{ vec{F}_{i,ext} }[/math] плюс силу взаимодействия со всеми остальными точками, затем просуммировав, получим:

[math]displaystyle{ frac{dvec p}{dt} = sum_ifrac{dvec{p}_i}{dt} = sum_i vec{F}_i = sum_i left(vec{F}_{i, ext} + sum_{j,jne j}vec{F}_{i, j}right) = sum_i vec{F}_{i, ext} + sum_isum_{j,jne i} F_{i,j}. }[/math]

Первое слагаемое равно нулю из-за компенсации внешних сил, а второе — вследствие третьего закона Ньютона (слагаемые [math]displaystyle{ vec{F}_{a,b} }[/math] и [math]displaystyle{ vec{F}_{b,a} }[/math] в двойной сумме попарно уничтожают друг друга).

Обобщённый импульс

В теоретической механике в целом

[math]displaystyle{ p_i = {{partial {mathcal L}} over {partial dot{q}_i}}. }[/math]

Обобщенный импульс, как и не обобщённый, обозначается буквой [math]displaystyle{ vec{p}; }[/math] обычно из контекста ясно, о чём идёт речь.

Размерность обобщённого импульса зависит от размерности обобщённой координаты. Если размерность [math]displaystyle{ q_i }[/math] — длина, то [math]displaystyle{ p_i }[/math] будет иметь размерность обычного импульса, если же координатой [math]displaystyle{ q_i }[/math] выступает угол (величина безразмерная), то [math]displaystyle{ p_i }[/math] обретёт размерность момента импульса. Если лагранжиан системы не зависит от некоторой обобщённой координаты, то из уравнений Лагранжа [math]displaystyle{ dp_i/dt=0. }[/math]

[math]displaystyle{ mathcal L=-mc^2 sqrt{1-v^2/c^2} }[/math], отсюда: [math]displaystyle{ vec {p}= m vec {v}/sqrt{1-v^2/c^2} }[/math].

Для частицы в электромагнитном поле

В электромагнитном поле лагранжиан частицы будет отличаться от приведённого выше наличием дополнительных членов, а именно [math]displaystyle{ mathcal L=-mc^2 sqrt{1-v^2/c^2}-qvarphi + qvec{v}cdotvec{A}. }[/math] Соответственно, обобщённый импульс частицы равен:

[math]displaystyle{ mathbf {p} = frac{m mathbf {v}}{ sqrt{1-v^2/c^2}} + q mathbf A, }[/math]

где [math]displaystyle{ mathbf A }[/math] — векторный потенциал электромагнитного поля, [math]displaystyle{ q }[/math] — заряд частицы; в выражении для [math]displaystyle{ mathcal L }[/math] фигурировал также скалярный потенциал [math]displaystyle{ varphi }[/math].

Импульс электромагнитного поля

[math]displaystyle{ mathbf p = frac{1}{c^2}int mathbf S dV = frac{1}{c^2} int [mathbf E times mathbf H] dV }[/math] (в системе СИ).

Импульс в квантовой механике

Определение через оператор

[math]displaystyle{ hat{mathbf{P}}=sum_jhat{mathbf{p}}_j=sum_j -ihbarnabla_j }[/math],

где [math]displaystyle{ nabla_j }[/math] — оператор набла, соответствующий дифференцированию по координатам [math]displaystyle{ j }[/math]-ой частицы.

Гамильтониан системы выражается через оператор импульса:

[math]displaystyle{ hat{H} = sum_i frac{1}{2m_i}hat{mathbf{p}}_i^2 + U(mathbf{r_1},dots) }[/math].

Для замкнутой системы ([math]displaystyle{ U = 0 }[/math]) оператор импульса коммутирует с гамильтонианом, и импульс сохраняется.

Определение через волны де Бройля

Формула де Бройля связывает импульс и длину волны де Бройля рассматриваемого объекта.

Модуль импульса обратно пропорционален длине волны [math]displaystyle{ lambda: }[/math]

[math]displaystyle{ p = frac h lambda }[/math],

где [math]displaystyle{ h }[/math] — постоянная Планка.

Для частиц не очень высокой энергии, движущихся со скоростью [math]displaystyle{ vll c }[/math] (скорости света), модуль импульса равен [math]displaystyle{ p=mv }[/math] (где [math]displaystyle{ m }[/math] — масса частицы), и:

[math]displaystyle{ lambda = frac{h}{p} = frac{h}{mv} }[/math].

Следовательно, длина волны де Бройля тем меньше, чем больше модуль импульса.

В векторном виде это записывается как:

[math]displaystyle{ vec p = frac h {2 pi} vec k = hbar vec k }[/math],

где [math]displaystyle{ vec k }[/math] — волновой вектор.

Как и в классической механике, в квантовой имеет место сохранение импульса в изолированных системах^[5]^[6]. В тех явлениях, когда проявляются корпускулярные свойства частиц, их импульс записывается «классически» как [math]displaystyle{ p=mv }[/math], а если проявляются волновые свойства, действует^[7] связь [math]displaystyle{ p=hlambda^{-1} }[/math]. При этом, как и в классической механике, сохранение импульса выступает следствием симметрии относительно сдвигов по координатам^[8].

Импульс в гидродинамике

В гидродинамике вместо массы материальной точки рассматривают массу единицы объёма, то есть плотность жидкости или газа [math]displaystyle{ rho. }[/math] При этом вместо импульса фигурирует вектор плотности импульса, совпадающий по смыслу с вектором плотности потока массы

[math]displaystyle{ vec s = rhovec v. }[/math]

Если в согласии с методом Рейнольдса представить [math]displaystyle{ rho = overline {rho} + rho’ , }[/math] [math]displaystyle{ vec v = overline {vec v} + vec v’ , }[/math], где черта сверху — знак осреднения, а штрих — отклонения от среднего, то вектор осреднённой плотности импульса приобретёт вид:

[math]displaystyle{ overline{vec s} = overline{rho vec v}=overline{rho}~overline{ vec v} + vec S, }[/math]

где [math]displaystyle{ vec S = overline{rho’ vec v’} }[/math] — вектор плотности флуктуационного потока массы (или «плотность турбулентного импульса»^[9]).

Импульсное представление в квантовой теории поля

См. также

Импульс силы
Момент импульса
Электрический импульс

Примечания

↑ Григорьян А. Т. Механика от античности до наших дней. — М.: Наука, 1974.
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 Айзерман, 1980, с. 49.
↑ Айзерман, 1980, с. 54.
↑ Сорокин В. С. «Закон сохранения движения и мера движения в физике» Архивная копия от 1 января 2015 на Wayback Machine // УФН, 59, с. 325—362, (1956)
↑ Перкинс Д.^[en] Введение в физику высоких энергий. — М., Мир, 1975. — c. 94
↑ Широков Ю. М., Юдин Н. П. Ядерная физика. — М.: Наука, 1972. — С. 276. — 670 с.
↑ Фейнман Р. Ф. ]. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 1 Современная наука о природе. Законы механики.. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — С. 194. — 440 с. — ISBN 5-354-00699-6.
↑ Ферми Э. Квантовая механика. — М.: Мир, 1968. — С. 183. — 367 с.
↑ ^9,0 ^9,1 Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. Часть 1. — М.: Наука, 1965. — 639 с.
↑ Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Квантовые поля. — М., Наука, 1980. — с. 25

Литература

Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. — Издание 4-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 215 с. — («Теоретическая физика», том I). — ISBN 5-02-013850-9.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Издание 4-е. — М.: Физматлит, 2002. — Т. I. Механика. — 792 с. — ISBN 5-9221-0225-7.
Айзерман М. А. Классическая механика. — М.: Наука, 1980. — 368 с.

Источник

Относительный импульс

Изменение импульса тела

Частные случаи определения изменения импульса тела

Абсолютно неупругий удар

Абсолютно упругий удар

Пуля пробила стенку

Радиус-вектор тела повернул на 180 градусов

Абсолютно упругое отражение от горизонтальной поверхности под углом α к нормали

Второй закон Ньютона в импульсном виде

Реактивное движение

Суммарный импульс системы тел

Закон сохранения импульса

Закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось

Частные случаи закона сохранения импульса (в проекциях на горизонтальную ось)

Сохранение проекции импульса

Импульс тела, закон сохранения импульса

теория по физике 🧲 законы сохранения

Относительный импульс

Изменение импульса тела

Частные случаи определения изменения импульса тела

Абсолютно неупругий удар

Абсолютно упругий удар

Пуля пробила стенку

Радиус-вектор тела повернул на 180 градусов

Абсолютно упругое отражение от горизонтальной поверхности под углом α к нормали

Второй закон Ньютона в импульсном виде

Реактивное движение

Суммарный импульс системы тел

Закон сохранения импульса

Закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось

Частные случаи закона сохранения импульса (в проекциях на горизонтальную ось)

Сохранение проекции импульса

Модуль импульса частицы по окружности

Задача 9868 Заряженная частица массой m, несущая.

Условие

История появления термина[править | править код]

Формальное абстрактное определение[править | править код]

Определения импульса тела в механике[править | править код]

Классическая механика[править | править код]

Релятивистская механика[править | править код]

Свойства импульса[править | править код]

Обобщённый импульс[править | править код]

В теоретической механике в целом[править | править код]

Для частицы в электромагнитном поле[править | править код]

Импульс электромагнитного поля[править | править код]

Импульс в квантовой механике[править | править код]

Определение через оператор[править | править код]

Определение через волны де Бройля[править | править код]

Импульс в гидродинамике[править | править код]

Импульсное представление в квантовой теории поля[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

История появления термина

Формальное абстрактное определение

Определения импульса тела в механике

Классическая механика

Релятивистская механика

Свойства импульса

Обобщённый импульс

В теоретической механике в целом

Для частицы в электромагнитном поле

Импульс электромагнитного поля

Импульс в квантовой механике

Определение через оператор

Определение через волны де Бройля

Импульс в гидродинамике

Импульсное представление в квантовой теории поля

См. также

Примечания

Литература

Вам также может понравиться

Как найти реквизиты своей карты тинькофф

Как найти идентификатор аис

Сила ампера формула как найти силу тока

Добавить комментарий Отменить ответ