Как найти модуль матрицы 3х3

1. 

   1

   Запишите матрицу размерностью 3 x 3. Запишем матрицу размерностью 3 x 3, которую обозначим M, и найдем ее определитель |M|. Далее приводится общая форма записи матрицы, которую мы будем использовать, и матрица для нашего примера:

   • 

2. 

   2

   Выберите строку или столбец матрицы. Эта строка (или столбец) будет опорной. Результат будет одинаков, независимо от того, какую строку или какой столбец вы выберете. В данном примере давайте возьмем первую строку. Чуть позже вы найдете несколько советов касательно того, как выбирать строку или столбец, чтобы упростить вычисления.

   • Давайте выберем первую строку матрицы M в нашем примере. Обведите числа 1 5 3. В общей форме обведите a₁₁ a₁₂ a₁₃.

3. 

   3

   Зачеркните строку или столбец с первым элементом. Обратитесь к опорной строке (или к опорному столбцу) и выберите первый элемент. Проведите горизонтальную и вертикальную черту через этот элемент, вычеркнув таким образом столбец и строку с этим элементом. Должно остаться четыре числа. Будем считать эти элементы новой матрицей размерностью 2 x 2.

   • В нашем примере, опорной строкой будет 1 5 3. Первый элемент находится на пересечении первого столбца и первой строки. Вычеркните строку и столбец с этим элементом, то есть первую сроку и первый столбец. Запишите оставшиеся элементы в виде матрицы 2 x 2:
   •  1  5 3
   •  2  4 7
   •  4  6 2

4. 

   4

   Найдите определитель матрицы 2 x 2. Запомните, что определитель матрицы вычисляется как ad – bc.^[1]
   Опираясь на это, вы можете вычислить определитель полученной матрицы 2 x 2, которую, если хотите, можете обозначить как X. Умножьте два числа матрицы X, соединенных по диагонали слева направо (то есть так: ). Затем вычтите результат умножения двух других чисел по диагонали справа налево (то есть так: / ). Используйте эту формулу, чтобы вычислить определитель матрицы, которую вы только что получили.

   • В нашем примере определитель матрицы = 4*2 – 7*6 = -34.
   • Этот определитель называется минором элемента, который мы выбрали в нашей первоначальной матрице.^[2]
     Другими словами, мы только что нашли минор a₁₁.

5. 

   5

   Умножьте полученный ответ на выбранный элемент матрицы M. Вспомните, какой элемент из опорной строки (или столбца) мы использовали, когда вычеркивали другие элементы строки и столбца, чтобы получить новую матрицу. Умножьте этот элемент на полученный минор (определитель матрицы 2×2, которую мы обозначили X).

   • В нашем примере мы выбирали элемент a₁₁, который равнялся 1. Умножим его на -34 (определитель матрицы 2×2), и у нас получится 1*-34 = -34.

6. 

   6

   Определите знак полученного результата. Далее вам понадобится умножить полученный результат на 1, либо на -1, чтобы получить алгебраическое дополнение (кофактор) выбранного элемента. Знак кофактора будет зависеть от того, в каком месте матрицы 3×3 стоит элемент. Запомните эту простую схему знаков, чтобы знать знак кофактора:

   • + – +
   • – + –
   • + – +
   • Поскольку мы работали с элементом a₁₁, для которого стоит знак +, то мы будем умножать полученное значение на +1 (то есть оставим его как есть). Алгебраическое дополнение нашего элемента будет равно -34.
   • Вы также можете найти знак алгебраического дополнения по формуле (-1)^{i+j, где i и j – номер столбца и строки выбранного элемента соответственно.[3]}
     

7. 

   7

   Повторите все вышеописанные действия со вторым элементом опорной строки (или столбца). Вернитесь к исходной матрице размерностью 3×3 и строке, которую мы обвели в самом начале вычислений. Повторите все действия с этим элементом:

8. 

   8

   Повторите с третьим элементом. Далее вам понадобится найти еще одно алгебраическое дополнение. Вычислите его для последнего элемента опорной строки или опорного столбца. Далее приводится краткое описание того, как вычисляется алгебраическое дополнение для a₁₃ в нашем примере:

   • Зачеркните первую строку и третий столбец, чтобы получить матрицу
   • Ее определитель равен 2*6 – 4*4 = -4.
   • Умножьте результат на элемент a₁₃: -4 * 3 = -12.
   • Элемент a₁₃ имеет знак + в приведенной выше таблице, поэтому ответ будет -12.

9. 

   9

   Сложите полученные результаты. Это последний шаг. Вам необходимо сложить полученные алгебраические дополнения элементов опорной строки (или опорного столбца). Сложите их вместе, и вы получите значение определителя матрицы 3×3.

   • В нашем примере определитель равен -34 + 120 + -12 = 74.

   Реклама

1. 

   1

   Выбирайте в качестве опорной строки (или столбца) ту, что имеет больше нулей. Помните, что в качестве опорной вы можете выбрать любую строку или столбец. Выбор опорной строки или столбца не влияет на результат. Если вы выберете строку с наибольшим количеством нулей, вам придется выполнять меньше вычислений, поскольку вам будет необходимо вычислить алгебраические дополнения только для ненулевых элементов. Вот почему:

   • Допустим, вы выбрали 2 строку с элементами a₂₁, a₂₂, and a₂₃. Чтобы найти определитель, вам будет необходимо найти определители трех различных матриц размерностью 2×2. Давайте назовем их A₂₁, A₂₂, and A₂₃.
   • То есть определитель матрицы 3×3 равен a₂₁|A₂₁| – a₂₂|A₂₂| + a₂₃|A₂₃|.
   • Если оба элемента a₂₂ и a₂₃ равны 0, то наша формула становится намного короче a₂₁|A₂₁| – 0*|A₂₂| + 0*|A₂₃| = a₂₁|A₂₁| – 0 + 0 = a₂₁|A₂₁|. То есть необходимо вычислить только алгебраическое дополнение одного элемента.

2. 

   2

   Используйте сложение строк, чтобы упростить матрицу. Если вы возьмете одну строку и прибавите к ней другую, то определитель матрицы не изменится. То же самое верно и для столбцов. Подобные действия можно выполнять несколько раз, кроме того, вы можете умножать значения строки на постоянную (перед сложением) для того, чтобы получить как можно больше нулей. Подобные действия могут сэкономить массу времени.

3. 

   3

   Помните, что вычислять определитель треугольных матриц намного проще. Определитель треугольных матриц вычисляется как произведение элементов на главной диагонали, от a₁₁ в верхнем левом углу до a₃₃ в нижнем правом углу. Речь в данном случае идет о треугольных матрицах размерностью 3×3. Треугольные матрицы могут быть следующих видов, в зависимости от расположения ненулевых значений:^[4]
   

   • Верхняя треугольная матрица: Все ненулевые элементы находятся на главной диагонали и выше нее. Все элементы ниже главной диагонали равны нулю.
   • Нижняя треугольная матрица: Все ненулевые элементы находятся ниже главной диагонали и на ней.
   • Диагональная матрица: Все ненулевые элементы находятся на главной диагонали. Является частным случаем вышеописанных матриц.

   Реклама

Советы

• Описанный метод распространяется на квадратные матрицы любого ранга. Например, если вы используете его для матрицы 4×4, то после «вычеркивания» будут оставаться матрицы 3×3, для которых определитель будет вычисляться вышеупомянутым способом. Будьте готовы к тому, что вычислять определитель для матриц таких размерностей вручную — очень трудоемкая задача!
• Если все элементы строки или столбца равны 0, то определитель матрицы тоже равен 0.

Реклама

Вычислите определитель для $M$ разложением по любой строчке:

$M = begin{pmatrix} -1 & 2 & 5 \ 7 & -4 & 3 \ -5 & 0 & 10 \ end{pmatrix}$

Решение:

В последней строчке присутствует нуль, поэтому удобно будет сделать разложение именно по ней:

$Δ= (-5) cdot begin{array}{|cc|} 2 & 5 \ -4 & 3 \ end{array} – 0 cdot begin{array} {|cc|} – 1 & 5 \ 7 & 3 \ end{array} + 10 cdot begin{array}{|cc|} -1 & 2 \ 7 & -4 \ end{array} = ( – 5 cdot (6 + 20) – 0 + 10 cdot (4 – 14) = (-5) cdot 26 – 0 – 100 = -230$.

Посчитайте определитель $М$ этим методом.

Решение:

$Δ = (-1) cdot (-4) cdot 10 + 2 cdot 3 cdot (-5) + 5 cdot 7 cdot 0 – 2 cdot 7 cdot 10 – (-1) cdot 3 cdot 0 – 5 cdot (-4) cdot (-5) = 40 – 30 + 0 -140 – 0 – 100 = 230$.

Найти определитель для М с помощью получения треугольной матрицы.

Решение:

Вспомним свойство определителя: из любой строки или столбца можно вынести общий для этой строчки или столбца множитель.

Поэтому:

$begin{array} {|ccc|} -1 & 2 & 5 \ 7 & -4 & 3 \ -5 & 0 & 10 \ end{array} = begin{array} {|ccc|} -1 & 2 & 5 \ 7 & -4 & 3 \ -1 cdot 5 & 0 cdot 5 & 2 cdot 5 \ end{array}= 5 cdot begin{array} {|ccc|} -1 & 2 & 5 \ 7 & -4 & 3 \ -1 & 0 & 2 \ end{array} = 5 cdot begin{array} {|ccc|} -1 & 1 cdot 2 & 5 \ 7 & -2 cdot 2 & 3 \ -1 & 0 cdot 2 & 2 \ end{array}= 10 cdot begin{array} {|ccc|} -1 & 1 & 5 \ 7 & -2 & 3 \ -1 & 0 & 2 \ end{array}$.

Теперь преобразуем полученную таблицу, для этого начинаем приводить к нулям элементы крайнего левого столбца. Строчки для удобства будем записывать как (n), где n — это номер строчки.

1) (2) $cdot frac17$ + (3), результат запишем в третьей строчке:

$ begin{array} {|ccc|} -1 & 1 & 5 \ 7 & -2 & 3 \ 0 & -frac27 & frac{17}{7} \ end{array}$ ;

2) (1) $ cdot 7$ + (2), полученное запишем во второй строчке:

$ begin{array} {|ccc|} -1 & 1 & 5 \ 0 & 5 & 38 \ 0 & -frac27 & frac{17}{7} \ end{array}$ ;

3) (2) $cdot frac{2}{35}$ + (3)$, пишем в 3-ью:, пишем в 3-ью:

$ begin{array} {|ccc|} -1 & 1 & 5 \ 0 & 5 & 38 \ 0 & 0 & frac{23}{5} \ end{array}$ ;

Получили матрицу нужного типа. Посчитаем $D$:

$Δ = 10 cdot (-1) cdot 5 cdot frac{23}{5} = -230$.

Во время использования данного способа внимательно следите за знаками, а также за порядком вычислений.

1. 

   1

   Write your 3 x 3 matrix. We’ll start with a 3 x 3 matrix A, and try to find its determinant |A|. Here’s the general matrix notation we’ll be using, and our example matrix:^[1]
   

   • 

2. 

   2

   Choose a single row or column. This will be your reference row or column. You’ll get the same answer no matter which one you choose. For now, just pick the first row. Later, we’ll give some advice on how to choose the easiest option to calculate.^[2]
   

   • Let’s choose the first row of our example matrix A. Circle the 1 5 3. In general terms, circle a₁₁ a₁₂ a₁₃.

   Advertisement

3. 

   3

   Cross out the row and column of your first element. Look at the row or column you circled and select the first element. Draw a line through its row and column. You should be left with four numbers. We’ll treat these as a 2 x 2 matrix.^[3]
   

   • In our example, our reference row is 1 5 3. The first element is in row 1 and column 1. Cross out all of row 1 and column 1. Write the remaining elements as a 2 x 2 matrix:
   •  1  5 3
      2  4 7
      4  6 2

4. 

   4

   Find the determinant of the 2 x 2 matrix. Remember, the matrix has a determinant of ad – bc. You may have learned this by drawing an X across the 2 x 2 matrix. Multiply the two numbers connected by the of the X. Then subtract the product of the two numbers connected by the /. Use this formula to calculate the determinate of the matrix you just found.^[4]
   

   • In our example, the determinant of the matrix = 4 * 2 – 7 * 6 = -34.
   • This determinant is called the minor of the element we chose in our original matrix.^[5]
     In this case, we just found the minor of a₁₁.

5. 

   5

   Multiply the answer by your chosen element. Remember, you selected an element from your reference row (or column) when you decided which row and column to cross out. Multiply this element by the determinant you just calculated for the 2×2 matrix.^[6]
   

   • In our example, we selected a₁₁, which had a value of 1. Multiply this by -34 (the determinant of the 2×2) to get 1*-34 = -34.

6. 

   6

   Determine the sign of your answer. Next, you’ll multiply your answer either by 1 or by -1 to get the cofactor of your chosen element. Which you use depends on where the element was placed in the 3×3 matrix. Memorize this simple sign chart to track which element causes which:

   • + – +
     – + –
     + – +
   • Since we chose a₁₁, marked with a +, we multiply the number by +1. (In other words, leave it alone.) The answer is still -34.
   • Alternatively, you can find the sign with the formula (-1)^i+j, where i and j are the element’s row and column.^[7]
     

7. 

   7

   Repeat this process for the second element in your reference row or column. Return to the original 3×3 matrix, with the row or column you circled earlier. Repeat the same process with this element:^[8]
   

8. 

   8

   Repeat with the third element. You have one more cofactor to find. Calculate i for the third term in your reference row or column. Here’s a quick rundown of how you’d calculate the cofactor of a₁₃ in our example:

   • Cross out row 1 and column 3 to get
   • Its determinant is 2*6 – 4*4 = -4.
   • Multiply by element a₁₃: -4 * 3 = -12.
   • Element a₁₃ is + on the sign chart, so the answer is -12.

9. 

   9

   Add your three results together. This is the final step. You’ve calculated three cofactors, one for each element in a single row or column. Add these together and you’ve found the determinant of the 3×3 matrix.

   • In our example the determinant is -34 + 120 + -12 = 74.

Advertisement

1. 

   1

   Pick the reference with the most zeroes. Remember, you can pick any row or column as your reference. You’ll get the same answer no matter which you pick. If you pick a row or column with zeros, you only need to calculate the cofactor for the nonzero elements. Here’s why:^[9]
   

   • Let’s say you pick row 2, with elements a₂₁, a₂₂, and a₂₃. To solve this problem, we’ll be looking at three different 2×2 matrices. Let’s call them A₂₁, A₂₂, and A₂₃.
   • The determinant of the 3×3 matrix is a₂₁|A₂₁| – a₂₂|A₂₂| + a₂₃|A₂₃|.
   • If terms a₂₂ and a₂₃ are both 0, our formula becomes a₂₁|A₂₁| – 0*|A₂₂| + 0*|A₂₃| = a₂₁|A₂₁| – 0 + 0 = a₂₁|A₂₁|. Now we only have to calculate the cofactor of a single element.

2. 

   2

   Use row addition to make the matrix easier. If you take the values of one row and add them to a different row, the determinant of the matrix does not change. The same is true of columns. You can do this repeatedly — or multiply the values by a constant before adding — to get as many zeroes in the matrix as possible. This can save you a lot of time.

3. 

   3

   Learn the shortcut for triangular matrices. In these special cases, the determinant is simply the product of the elements along the main diagonal, from a₁₁ in the top left to a₃₃ in the lower right. We’re still talking about 3×3 matrices, but “triangular” ones have special patterns of nonzero values:^[10]
   

   • Upper triangular matrix: All the non-zero elements are on or above the main diagonal. Everything below is a zero.
   • Lower triangular matrix: All the non-zero elements are on or below the main diagonal.
   • Diagonal matrix: All the non-zero elements are on the main diagonal. (A subset of the above.)
   • You can use the method of minors or the elementary row operations to find the inverse of a 3 x 3 matrix.^[11]
     
   • If you use the latter method to find the inverse of a matrix A, begin by setting up the formula [A | I]. Where I is the 3 x 3 identity matrix.^[12]
     
   • Then, use elementary row operations to reduce the left-hand side of the formula to I. The resulting formula will be [I | A-1], where A-1 is the inverse of A.^[13]
     

Advertisement

Advertisement

Video

• If all elements of a row or column are 0, the determinant of that matrix is 0.

• This method extends to square matrices of any size. For example, if using this for a 4×4 matrix, your “crossing out” leaves you with a 3×3 matrix, for which you calculate the determinate as described above. Be warned, this gets very tedious by hand!

Did this summary help you?