Как найти модуль наибольшего решения неравенства

Продолжаем изучать модуль числа. Сегодня мы научимся решать неравенства с модулем.

Чтобы решать неравенства с модулем, нужно прежде всего уметь решать простейшие линейные неравенства, а также знать что такое модуль и как его раскрывать.

Независимо от того, решаем мы уравнение или неравенство, нужно уметь раскрывать модуль.

Рассмотрим к примеру простейшее неравенство с модулем:

|x| > 2

Чтобы решить данное неравенство раскроем его модуль.

Если подмодульное выражение больше или равно нулю, то исходное неравенство примет вид:

> 2

Решением этого неравенства является множество всех чисел, бóльших 2. Отметим их на координатной прямой:

неравенство с модулем рис 1

А если подмодульное выражение меньше нуля, то исходное неравенство примет вид:

x > 2

Умнóжим обе части этого неравенства на −1. Тогда полýчим неравенство < −2. Решением этого неравенства является множество всех чисел, мéньших −2. Отметим эти решения на том же рисунке, где мы отметили решения для неравенства > 2

неравенство с модулем рис 2

Забавно, но получившиеся промежутки < −2 и > 2 являются ответом к нашей задаче. Если в исходное неравенство |x| > 2 подставить какое-нибудь значение x, удовлетворяющее данному неравенству, то это значение будет принадлежать промежутку (−∞ ; −2) или промежутку (2 ; +∞).

То есть решением исходного неравенства является совокупность из < −2 и > 2

неравенство с модулем рис 12

Совокупностью неравенств мы будем называть несколько неравенств, объединённых квадратной скобкой, и которые имеют множество решений, удовлетворяющих хотя бы одному из неравенств, входящих в данную совокупность.

Чтобы записать окончательный ответ, промежутки < −2 и > 2 следует объединить. В математике знаком объединения служит ∪. Тогда:

x ∈ (−∞ ; −2) ∪ (2 ; +∞)

Знак объединения читается как «или». Тогда запись x ∈ (−∞ ; −2) ∪ (2 ; +∞) можно прочитать так:

Значение переменной x принадлежит промежутку (−∞ ; −2) или промежутку (2 ; +∞)

Действительно, если подставить какое-нибудь значение x, являющееся решением исходного неравенства, то это значение будет принадлежать промежутку (−∞ ; −2) или промежутку (2 ; +∞).

Например, число 3, является решением исходного неравенства |x| > 2

|3| > 2      3 > 2

Значение 3 принадлежит промежутку (2 ; +∞). Также оно удовлетворяет хотя бы одному из неравенств совокупности неравенство с модулем рис 12, а именно неравенству x>2.

Значение −4 тоже является решением исходного неравенства |x| > 2. Это значение принадлежит промежутку (−∞ ; −2)

|−4| > 2        4 > 2

Также значение −4 удовлетворяет хотя бы одному из неравенств совокупности неравенство с модулем рис 12, а именно неравенству < −2.

Согласно определению, модуль числа x есть расстояние от начала координат до точки x. В неравенстве |x| > 2 это расстояние больше чем 2.

Действительно, от начала координат (точка 0) любое расстояние бóльшее двух, будет решением неравенства |x| > 2

неравенство с модулем рис 7

Ответ: x ∈ (−∞ ; −2) ∪ (2 ; +∞)

Обратите внимание, что границы −2 и 2 не включены в соответствующие промежутки. Это потому, что при подстановке этих чисел в исходное неравенство, получается неверное неравенство.

Теперь немного поменяем наш пример. В неравенстве|x| > 2 поменяем знак > на знак <

|x| < 2

Решим это неравенство.

Как и раньше для начала раскрываем модуль. Если подмодульное выражение больше или равно нулю, то получим неравенство < 2. Решениями этого неравенства являются все числа, мéньшие двух. Отметим их:

А если подмодульное выражение меньше нуля, то получим неравенство < 2. Умнóжим обе части этого неравенства на −1. Тогда получим неравенство > −2. Решениями этого неравенства являются все числа, бóльшие −2. Отметим эти решения на том же рисунке, где мы отметили решения для неравенства x < 2.

Для наглядности, решения неравенства > −2 отметим красным цветом:

неравенство с модулем рис 10

Если выражение |x| это расстояние от начала координат до точки x, то неравенство |x| < 2 говорит, что это расстояние меньше чем 2. На рисунке видно, что от начала координат расстояния, мéньшие двух, лежат в промежутках от −2 до 0 и от 0 до 2

неравенство с модулем рис 10

А эти расстояния одновременно будут принадлежать промежуткам < 2 и > −2

неравенство с модулем рис 13

Обратите внимание, что в этот раз промежутки обрамлены знáком системы, а не знáком совокупности как в прошлом примере. Это означает, что значения x одновременно удовлетворяют обоим неравенствам (промежуткам < 2 и > −2)

То есть решением неравенства |x| < 2 является пересечение промежутков < 2 и > −2. Напомним, что пересечением двух промежутков является промежуток, состоящий из чисел, которые принадлежат как первому промежутку так и второму:

x ∈  (−2 ; 0) ∩ (0 ; 2)

Знак пересечения ∩ читается как «и». Тогда запись ∈ (−∞ ; 2) ∩ (−2 ; +∞) можно прочитать так:

Значение переменной x одновременно принадлежит промежутку (−∞ ; 2) и промежутку (−2 ; +∞)

Действительно, если подставить какое-нибудь значение x, являющееся решением неравенства |x| < 2, то это значение будет принадлежать одновременно промежутку (−∞ ; 2) и (−2 ; +∞).

Например, число 1 является решением исходного неравенства |x| < 2

|1| < 2      1 < 2

Значение 1 одновременно принадлежит промежутку  (−∞ ; 2) и промежутку (−2 ; +∞)

неравенство с модулем рис 11

Также, значение 1 удовлетворяет обоим неравенствам системы неравенство с модулем рис 13

А если к примеру подставить значение, не являющееся решением неравенства |x| < 2, то это значение не будет одновременно принадлежать промежуткам (−∞ ; 2) и (−2 ; +∞). Например, значение 7

|7| < 2      7 < 2

Несмотря на то, что значение 7 принадлежит одному из промежутков, а именно промежутку (−2 ; +∞), данное значение не является решением исходного неравенства, поскольку оно не удовлетворяет ему. Также, данное значение не принадлежит одновременно обоим промежуткам: (−∞ ; 2) и (−2 ; +∞).

Для неравенства |x| < 2 ответ можно записать покороче:

x ∈ (−2 ; 2)

Из рассмотренных примеров видно, что решением неравенства с модулем может быть либо объединение промежутков либо их пересечение.

В первом примере мы решили неравенство |x| > 2, то есть неравенство вида |x| > a. Это неравенство при котором модуль больше какого-нибудь числа или буквенного выражения. Решением такого неравенства является объединение решений неравенств, получающихся после раскрытия модуля исходного неравенства. Неравенства, получающиеся после раскрытия модуля, следует записывать в виде совокупности:

неравенство с модулем рис 14

Совокупность свóдится потому, что итоговые решения будут удовлетворять хотя бы одному из неравенств, полученных после раскрытия модуля исходного неравенства.

Во втором примере мы решили неравенство |x| < 2, то есть неравенство вида |x| < a. От предыдущего неравенства оно отличается только знáком. Но это неравенство при котором модуль меньше какого-нибудь числа или буквенного выражения. Решением такого неравенства является пересечение решений неравенств, получающихся после раскрытия модуля исходного неравенства. Неравенства, получающиеся после раскрытия модуля, следует записывать в виде системы:

неравенство с модулем рис 15

Система записывается потому, что итоговые решения будут удовлетворять обоим неравенствам, полученным после раскрытия модуля исходного неравенства.

Эти же правила сохраняются и для неравенств, содержащих знаки ≥ и ≤

Например, решим неравенство |x| ≥ 1. Модуль больше или равен числу. Поэтому решением будет объединение решений неравенств, которые получатся после раскрытия модуля. После раскрытия модуля и выполнения необходимых тождественных преобразований, получим совокупность неравенств  1 и  −1

неравенство с модулем рис 16

неравенство с модулем рис 17

Решением служит объединение промежутков  −1 и  1

x ∈ (−∞ ; −1] ∪ [1 ; +∞)

Обратите внимание, что границы −1 и 1 включены в соответствующие промежутки. Это потому что при подстановке этих чисел в исходное неравенство, получается верное неравенство.

Решим теперь к примеру неравенство |x|  1. Модуль меньше или равен числу. Поэтому решением будет пересечение решений неравенств, которые получатся после раскрытия модуля. После раскрытия модуля и выполнения необходимых тождественных преобразований, получим систему неравенства:  1 и  −1

неравенство с модулем рис 18

неравенство с модулем рис 19

Решением служит пересечение промежутков  1 и  −1

x ∈ (−∞ ; 1] ∩ [−1 ; +∞)

или покороче:

x ∈ [−1 ; 1]

Обратите внимание, что границы −1 и 1 включены в соответствующие промежутки. Это потому что при подстановке этих чисел в исходное неравенство, получается верное неравенство.

Аналогично решаются неравенства, в левой части которого модуль, а справа не просто число, а буквенное выражение.

Пример 4. Решить неравенство |7 6| < + 12

Решение

Для начала раскроем модуль. Вспоминаем, что если неравенство содержит знак < или ≤, то неравенства получившиеся после раскрытия модуля, следует записать в виде системы. Это будет означать, что итоговые решения будут удовлетворять обоим неравенствам.

Итак, после раскрытия модуля получим следующую систему:

неравенство с модулем рис 20

В данном случае система содержит не совсем элементарные неравенства как в прошлых примерах. Данные неравенства следует упростить, используя известные тождественные преобразования.

Раскроем скобки во втором неравенстве. Тогда получим следующую систему:

неравенство с модулем рис 22

В обоих неравенствах выражения, содержащие неизвестные, перенесём в левую часть, а числовые выражения — в правую. Затем приведём подобные слагаемые. Тогда получим систему:

неравенство с модулем рис 23

В первом неравенстве разделим обе части на 6. Во втором неравенстве разделим обе части на −8. Тогда получим окончательную систему:

неравенство с модулем рис 24

Изобразим решения на координатной прямой:

неравенство с модулем рис 25

Решением является пересечение промежутков (−∞ ; 3) и , то есть промежуток неравенство с модулем рис 30

неравенство с модулем рис 29

Ответ: неравенство с модулем рис 30


Пример 5. Решить неравенство |1 − 2x| ≥ 4 − 5x

Решение

Для начала раскроем модуль. Вспоминаем, что если неравенство содержит знак > или ≥, то неравенства получившиеся после раскрытия модуля, следует записать в виде совокупности:

После раскрытия модуля получим следующую совокупность:

неравенство с модулем рис 31

Выполним необходимые тождественные преобразования в обоих неравенствах. В результате получим:

неравенство с модулем рис 32

Изобразим решения на координатной прямой:

неравенство с модулем рис 33

Решением является объединение промежутков неравенство с модулем рис 34 и [1 ; +∞), то есть промежуток неравенство с модулем рис 34

неравенство с модулем рис 35

Ответ: неравенство с модулем рис 34.

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Решить неравенство:

Решение:

Ответ: x ∈ (−36 ; 36).

Задание 2. Решить неравенство:

Решение:

Ответ: x ∈ (−∞ ; −2) ∪ (2 ; +∞).

Задание 3. Решить неравенство:

Решение:

Ответ:

Задание 4. Решить неравенство:

Решение:

Ответ: x ∈ [−5 ; 2]

Задание 5. Решить неравенство:

Решение:

Ответ: x ∈ (−∞ ; 0)

Задание 6. Решить неравенство:

Решение:

Ответ:


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже


Решение неравенств с модулем

4 февраля 2018

  • Домашняя работа
  • Ответы и решения

Сегодня, друзья, не будет никаких соплей и сантиментов. Вместо них я без лишних вопросов отправлю вас в бой с одним из самых грозных противников в курсе алгебры 8—9 класса.

Да, вы всё правильно поняли: речь идёт о неравенствах с модулем. Мы рассмотрим четыре основных приёма, с помощью которых вы научитесь решать порядка 90% таких задач. А что с остальными 10%? Что ж, о них мы поговорим в отдельном уроке.:)

Однако перед тем, как разбирать какие-то там приёмы, хотелось бы напомнить два факта, которые уже необходимо знать. Иначе вы рискуете вообще не понять материал сегодняшнего урока.

Что уже нужно знать

Капитан Очевидность как бы намекает, что для решения неравенств с модулем необходимо знать две вещи:

  1. Как решаются неравенства;
  2. Что такое модуль.

Начнём со второго пункта.

Определение модуля

Тут всё просто. Есть два определения: алгебраическое и графическое. Для начала — алгебраическое:

Определение. Модуль числа $x$ — это либо само это число, если оно неотрицательно, либо число, ему противоположное, если исходный $x$ — всё-таки отрицателен.

Записывается это так:

[left| x right|=left{ begin{align} & x, xge 0, \ & -x, x lt 0. \end{align} right.]

Говоря простым языком, модуль — это «число без минуса». И именно в этой двойственности (где-то с исходным числом ничего не надо делать, а где-то придётся убрать какой-то там минус) и заключается вся сложность для начинающих учеников.

Есть ещё геометрическое определение. Его тоже полезно знать, но обращаться к нему мы будем лишь в сложных и каких-то специальных случаях, где геометрический подход удобнее алгебраического (спойлер: не сегодня).

Определение. Пусть на числовой прямой отмечена точка $a$. Тогда модулем $left| x-a right|$ называется расстояние от точки $x$ до точки $a$ на этой прямой.

Если начертить картинку, то получится что-то типа этого:

Графическое определение модуля

Так или иначе, из определения модуля сразу следует его ключевое свойство: модуль числа всегда является величиной неотрицательной. Этот факт будет красной нитью идти через всё наше сегодняшнее повествование.

Решение неравенств. Метод интервалов

Теперь разберёмся с неравенствами. Их существует великое множество, но наша задача сейчас — уметь решать хотя бы самые простые из них. Те, которые сводятся к линейным неравенствам, а также к методу интервалов.

На эту тему у меня есть два больших урока (между прочем, очень, ОЧЕНЬ полезных — рекомендую изучить):

  1. Метод интервалов для неравенств (особенно посмотрите видео);
  2. Дробно-рациональные неравенства — весьма объёмный урок, но после него у вас вообще не останется каких-либо вопросов.

Если вы всё это знаете, если фраза «перейдём от неравенства к уравнению» не вызывает у вас смутное желание убиться об стену, то вы готовы: добро пожаловать в ад к основной теме урока.:)

1. Неравенства вида «Модуль меньше функции»

Это одна из самых часто встречающихся задач с модулями. Требуется решить неравенство вида:

[left| f right| lt g]

В роли функций $f$ и $g$ может выступать что угодно, но обычно это многочлены. Примеры таких неравенств:

[begin{align} & left| 2x+3 right| lt x+7; \ & left| {{x}^{2}}+2x-3 right|+3left( x+1 right) lt 0; \ & left| {{x}^{2}}-2left| x right|-3 right| lt 2. \end{align}]

Все они решаются буквально в одну строчку по схеме:

[left| f right| lt gRightarrow -g lt f lt gquad left( Rightarrow left{ begin{align} & f lt g, \ & f gt -g \end{align} right. right)]

Нетрудно заметить, что избавляемся от модуля, но взамен получаем двойное неравенство (или, что тоже самое, систему из двух неравенств). Зато этот переход учитывает абсолютно все возможные проблемы: если число под модулем положительно, метод работает; если отрицательно — всё равно работает; и даже при самой неадекватной функции на месте $f$ или $g$ метод всё равно сработает.

Естественно, возникает вопрос: а проще нельзя? К сожалению, нельзя. В этом вся фишка модуля.

Впрочем, хватит философствовать. Давайте решим парочку задач:

Задача. Решите неравенство:

[left| 2x+3 right| lt x+7]

Решение. Итак, перед нами классическое неравенство вида «модуль меньше» — даже преобразовывать нечего. Работаем по алгоритму:

[begin{align} & left| f right| lt gRightarrow -g lt f lt g; \ & left| 2x+3 right| lt x+7Rightarrow -left( x+7 right) lt 2x+3 lt x+7 \end{align}]

Не торопитесь раскрывать скобки, перед которыми стоит «минус»: вполне возможно, что из-за спешки вы допустите обидную ошибку.

[-x-7 lt 2x+3 lt x+7]

Поскольку дальше нужно решить каждое неравенство отдельно, пора переходить к системе (можно было сделать это и раньше, но тогда решение получится чуть более громоздким):

[left{ begin{align} & -x-7 lt 2x+3 \ & 2x+3 lt x+7 \ end{align} right.]

[left{ begin{align} & -3x lt 10 \ & x lt 4 \ end{align} right.]

[left{ begin{align} & x gt -frac{10}{3} \ & x lt 4 \ end{align} right.]

Задача свелась к двум элементарным неравенствам. Отметим их решения на параллельных числовых прямых:

Пересечение множеств

Пересечением этих множеств и будет ответ.

Ответ: $xin left( -frac{10}{3};4 right)$

Задача. Решите неравенство:

[left| {{x}^{2}}+2x-3 right|+3left( x+1 right) lt 0]

Решение. Это задание уже чуть посложнее. Для начала уединим модуль, перенеся второе слагаемое вправо:

[left| {{x}^{2}}+2x-3 right| lt -3left( x+1 right)]

Очевидно, перед нами вновь неравенство вида «модуль меньше», поэтому избавляемся от модуля по уже известному алгоритму:

[-left( -3left( x+1 right) right) lt {{x}^{2}}+2x-3 lt -3left( x+1 right)]

Вот сейчас внимание: кто-то скажет, что я немного извращенец со всеми этими скобками. Но ещё раз напомню, что наша ключевая цель — грамотно решить неравенство и получить ответ. Позже, когда вы в совершенстве освоите всё, о чём рассказано в этом уроке, можете сами извращаться как хотите: раскрывать скобки, вносить минусы и т.д.

А мы для начала просто избавимся от двойного минуса слева:

[-left( -3left( x+1 right) right)=left( -1 right)cdot left( -3 right)cdot left( x+1 right)=3left( x+1 right)]

Теперь раскроем все скобки в двойном неравенстве:

[3x+3 lt {{x}^{2}}+2x-3 lt -3x-3]

Переходим к двойному неравенству. В этот раз выкладки будут посерьёзнее:

[left{ begin{align} & {{x}^{2}}+2x-3 lt -3x-3 \ & 3x+3 lt {{x}^{2}}+2x-3 \ end{align} right.]

[left{ begin{align} & {{x}^{2}}+5x lt 0 \ & {{x}^{2}}-x-6 gt 0 \ end{align} right.]

Оба неравенства являются квадратными и решаются методом интервалов (потому и говорю: если не знаете, что это такое, лучше пока не браться за модули). Переходим к уравнению в первом неравенстве:

[begin{align} & {{x}^{2}}+5x=0; \ & xleft( x+5 right)=0; \ & {{x}_{1}}=0;{{x}_{2}}=-5. \end{align}]

Как видим, на выходе получилось неполное квадратное уравнение, которое решается элементарно. Теперь разберёмся со вторым неравенством системы. Там придётся применить теорему Виета:

[begin{align} & {{x}^{2}}-x-6=0; \ & left( x-3 right)left( x+2 right)=0; \& {{x}_{1}}=3;{{x}_{2}}=-2. \end{align}]

Отмечаем полученные числа на двух параллельных прямых (отдельная для первого неравенства и отдельная для второго):

Опять же, поскольку мы решаем систему неравенств, нас интересует пересечение заштрихованных множеств: $xin left( -5;-2 right)$. Это и есть ответ.

Ответ: $xin left( -5;-2 right)$

Думаю, после этих примеров схема решения предельно ясна:

  1. Уединить модуль, перенеся все другие слагаемые в противоположную часть неравенства. Таким образом мы получим неравенство вида $left| f right| lt g$.
  2. Решить это неравенство, избавившись от модуля по описанной выше схеме. В какой-то момент потребуется перейти от двойного неравенства к системе из двух самостоятельных выражений, каждое из которых уже можно решать отдельно.
  3. Наконец, останется лишь пересечь решения этих двух самостоятельных выражений — и всё, мы получим окончательный ответ.

Аналогичный алгоритм существует и для неравенств следующего типа, когда модуль больше функции. Однако там есть парочка серьёзных «но». Об этих «но» мы сейчас и поговорим.

2. Неравенства вида «Модуль больше функции»

Выглядят они так:

[left| f right| gt g]

Похоже на предыдущее? Похоже. И тем не менее решаются такие задачи совсем по-другому. Формально схема следующая:

[left| f right| gt gRightarrow left[ begin{align} & f gt g, \ & f lt -g \end{align} right.]

Другими словами, мы рассматриваем два случая:

  1. Сначала просто игнорируем модуль — решаем обычное неравенство;
  2. Затем по сути раскрываем модуль со знаком «минус», а затем умножаем обе части неравенства на −1, меня при этом знак.

При этом варианты объединены квадратной скобкой, т.е. перед нами совокупность двух требований.

Обратите внимание ещё раз: перед нами не система, а совокупность, поэтому в ответе множества объединяются, а не пересекаются. Это принципиальное отличие от предыдущего пункта!

Вообще, с объединениями и пересечениями у многих учеников сплошная путаница, поэтому давайте разберёмся в этом вопросе раз и навсегда:

  • «∪» — это знак объединения. По сути, это стилизованная буква «U», которая пришла к нам из английского языка и является аббревиатурой от «Union», т.е. «Объединения».
  • «∩» — это знак пересечения. Эта хрень ниоткуда не пришла, а просто возникла как противопоставление к «∪».

Чтобы ещё проще было запомнить, просто пририсуйте к этим знакам ножки, чтобы получились бокалы (вот только не надо сейчас обвинять меня в пропаганде наркомании и алкоголизма: если вы всерьёз изучаете этот урок, то вы уже наркоман):

Разница между пересечением и объединением множеств

В переводе на русский это означает следующее: объединение (совокупность) включает в себя элементы из обоих множеств, поэтому никак не меньше каждого из них; а вот пересечение (система) включает в себя лишь те элементы, которые одновременно находятся и в первом множестве, и во втором. Поэтому пересечение множеств никогда не бывает больше множеств-исходников.

Так стало понятнее? Вот и отлично. Переходим к практике.

Задача. Решите неравенство:

[left| 3x+1 right| gt 5-4x]

Решение. Действуем по схеме:

[left| 3x+1 right| gt 5-4xRightarrow left[ begin{align} & 3x+1 gt 5-4x \ & 3x+1 lt -left( 5-4x right) \end{align} right.]

Решаем каждое неравенство совокупности:

[left[ begin{align} & 3x+4x gt 5-1 \ & 3x-4x lt -5-1 \ end{align} right.]

[left[ begin{align} & 7x gt 4 \ & -x lt -6 \ end{align} right.]

[left[ begin{align} & x gt 4/7 \ & x gt 6 \ end{align} right.]

Отмечаем каждое полученное множество на числовой прямой, а затем объединяем их:

Объединение множеств

Совершенно очевидно, что ответом будет $xin left( frac{4}{7};+infty right)$

Ответ: $xin left( frac{4}{7};+infty right)$

Задача. Решите неравенство:

[left| {{x}^{2}}+2x-3 right| gt x]

Решение. Ну что? Да ничего — всё то же самое. Переходим от неравенства с модулем к совокупности двух неравенств:

[left| {{x}^{2}}+2x-3 right| gt xRightarrow left[ begin{align} & {{x}^{2}}+2x-3 gt x \ & {{x}^{2}}+2x-3 lt -x \end{align} right.]

Решаем каждое неравенство. К сожалению, корни там будут не оч:

[begin{align} & {{x}^{2}}+2x-3 gt x; \ & {{x}^{2}}+x-3 gt 0; \ & D=1+12=13; \ & x=frac{-1pm sqrt{13}}{2}. \end{align}]

Во втором неравенстве тоже немного дичи:

[begin{align} & {{x}^{2}}+2x-3 lt -x; \ & {{x}^{2}}+3x-3 lt 0; \ & D=9+12=21; \ & x=frac{-3pm sqrt{21}}{2}. \end{align}]

Теперь нужно отметить эти числа на двух осях — по одной оси для каждого неравенства. Однако отмечать точки нужно в правильном порядке: чем больше число, тем дальше сдвигам точку вправо.

И вот тут нас ждёт подстава. Если с числами $frac{-3-sqrt{21}}{2} lt frac{-1-sqrt{13}}{2}$ всё ясно (слагаемые в числителе первой дроби меньше слагаемых в числителе второй, поэтому сумма тоже меньше), с числами $frac{-3-sqrt{13}}{2} lt frac{-1+sqrt{21}}{2}$ тоже не возникнет затруднений (положительное число заведомо больше отрицательного), то вот с последней парочкой всё не так однозначно. Что больше: $frac{-3+sqrt{21}}{2}$ или $frac{-1+sqrt{13}}{2}$? От ответа на этот вопрос будет зависеть расстановка точек на числовых прямых и, собственно, ответ.

Поэтому давайте сравнивать:

[begin{matrix} frac{-1+sqrt{13}}{2}vee frac{-3+sqrt{21}}{2} \ -1+sqrt{13}vee -3+sqrt{21} \ 2+sqrt{13}vee sqrt{21} \end{matrix}]

Мы уединили корень, получили неотрицательные числа с обеих сторон неравенства, поэтому вправе возвести обе стороны в квадрат:

[begin{matrix} {{left( 2+sqrt{13} right)}^{2}}vee {{left( sqrt{21} right)}^{2}} \ 4+4sqrt{13}+13vee 21 \ 4sqrt{13}vee 3 \end{matrix}]

Думаю, тут и ежу понятно, что $4sqrt{13} gt 3$, поэтому $frac{-1+sqrt{13}}{2} gt frac{-3+sqrt{21}}{2}$, окончательно точки на осях будут расставлены вот так:

Случай некрасивых корней

Напомню, мы решаем совокупность, поэтому в ответ пойдёт объединение, а не пересечение заштрихованных множеств.

Ответ: $xin left( -infty ;frac{-3+sqrt{21}}{2} right)bigcup left( frac{-1+sqrt{13}}{2};+infty right)$

Как видите, наша схема прекрасно работает как для простых задач, так и для весьма жёстких. Единственное «слабое место» в таком подходе — нужно грамотно сравнивать иррациональные числа (и поверьте: это не только корни). Но вопросам сравнения будет посвящён отдельный (и очень серьёзный урок). А мы идём дальше.

3. Неравенства с неотрицательными «хвостами»

Вот мы и добрались до самого интересного. Это неравенства вида:

[left| f right| gt left| g right|]

Вообще говоря, алгоритм, о котором мы сейчас поговорим, верен н только для модуля. Он работает во всех неравенствах, где слева и справа стоят гарантированно неотрицательные выражения:

[f gt g,quad fge 0,gge 0]

Что делать с этими задачами? Просто помните:

В неравенствах с неотрицательными «хвостами» можно возводить обе части в любую натуральную степень. Никаких дополнительных ограничений при этом не возникнет.

Прежде всего нас будет интересовать возведение в квадрат — он сжигает модули и корни:

[begin{align} & {{left( left| f right| right)}^{2}}={{f}^{2}}; \ & {{left( sqrt{f} right)}^{2}}=f. \end{align}]

Вот только не надо путать это с извлечением корня из квадрата:

[sqrt{{{f}^{2}}}=left| f right|ne f]

Бесчисленное множество ошибок было допущено в тот момент, когда ученик забывал ставить модуль! Но это совсем другая история (это как бы иррациональные уравнения), поэтому не будем сейчас в это углубляться. Давайте лучше решим парочку задач:

Задача. Решите неравенство:

[left| x+2 right|ge left| 1-2x right|]

Решение. Сразу заметим две вещи:

  1. Это нестрогое неравенство. Точки на числовой прямой будут выколоты.
  2. Обе стороны неравенства заведомо неотрицательны (это свойство модуля: $left| fleft( x right) right|ge 0$).

Следовательно, можем возвести обе части неравенства в квадрат, чтобы избавиться от модуля и решать задачу обычным методом интервалов:

[begin{align} & {{left( left| x+2 right| right)}^{2}}ge {{left( left| 1-2x right| right)}^{2}}; \ & {{left( x+2 right)}^{2}}ge {{left( 2x-1 right)}^{2}}. \end{align}]

На последнем шаге я слегка схитрил: поменял последовательность слагаемых, воспользовавшись чётностью модуля (по сути, умножил выражение $1-2x$ на −1).

Дальше можно перенести всё вправо и расписать разность квадратов. Только аккуратно:

[begin{align} & {{left( 2x-1 right)}^{2}}-{{left( x+2 right)}^{2}}le 0; \ & left( left( 2x-1 right)-left( x+2 right) right)cdot left( left( 2x-1 right)+left( x+2 right) right)le 0; \ & left( 2x-1-x-2 right)cdot left( 2x-1+x+2 right)le 0; \ & left( x-3 right)cdot left( 3x+1 right)le 0. \end{align}]

Решаем методом интервалов. Переходим от неравенства к уравнению:

[begin{align} & left( x-3 right)left( 3x+1 right)=0; \ & {{x}_{1}}=3;{{x}_{2}}=-frac{1}{3}. \end{align}]

Отмечаем найденные корни на числовой прямой. Ещё раз: все точки закрашены, поскольку исходное неравенство — нестрогое!

Избавление от знака модуля

Напомню для особо упоротых: знаки мы берём из последнего неравенства, которое было записано перед переходом к уравнению. И закрашиваем области, требуемые в том же неравенстве. В нашем случае это $left( x-3 right)left( 3x+1 right)le 0$.

Ну вот и всё. Задача решена.

Ответ: $xin left[ -frac{1}{3};3 right]$.

Задача. Решите неравенство:

[left| {{x}^{2}}+x+1 right|le left| {{x}^{2}}+3x+4 right|]

Решение. Делаем всё то же самое. Я не буду комментировать — просто посмотрите на последовательность действий.

Возводим в квадрат:

[begin{align} & {{left( left| {{x}^{2}}+x+1 right| right)}^{2}}le {{left( left| {{x}^{2}}+3x+4 right| right)}^{2}}; \ & {{left( {{x}^{2}}+x+1 right)}^{2}}le {{left( {{x}^{2}}+3x+4 right)}^{2}}; \ & {{left( {{x}^{2}}+x+1 right)}^{2}}-{{left( {{x}^{2}}+3x+4 right)}^{2}}le 0; \ & left( {{x}^{2}}+x+1-{{x}^{2}}-3x-4 right)times \ & times left( {{x}^{2}}+x+1+{{x}^{2}}+3x+4 right)le 0; \ & left( -2x-3 right)left( 2{{x}^{2}}+4x+5 right)le 0. \end{align}]

Метод интервалов:

[begin{align} & left( -2x-3 right)left( 2{{x}^{2}}+4x+5 right)=0 \ & -2x-3=0Rightarrow x=-1,5; \ & 2{{x}^{2}}+4x+5=0Rightarrow D=16-40 lt 0Rightarrow varnothing . \end{align}]

Всего один корень на числовой прямой:

Ответ — целый интервал

Ответ: $xin left[ -1,5;+infty right)$.

Небольшое замечание насчёт последней задачи. Как точно подметил один мой ученик, оба подмодульных выражения в данном неравенстве заведомо положительны, поэтому знак модуля можно без ущерба для здоровья опустить.

Но это уже совсем другой уровень размышлений и другой подход — его условно можно назвать методом следствий. О нём — в отдельном уроке. А сейчас перейдём к финальной части сегодняшнего урока и рассмотрим универсальный алгоритм, который работает всегда. Даже тогда, когда все предыдущие подходы оказались бессильны.:)

4. Метод перебора вариантов

А что, если все эти приёмы не помогут? Если неравенство не сводится неотрицательным хвостам, если уединить модуль не получается, если вообще боль-печаль-тоска?

Тогда на сцену выходит «тяжёлая артиллерия» всей математики — метод перебора. Применительно к неравенствам с модулем выглядит он так:

  1. Выписать все подмодульные выражения и приравнять их к нулю;
  2. Решить полученные уравнения и отметить найденные корни на одной числовой прямой;
  3. Прямая разобьётся на несколько участков, внутри которого каждый модуль имеет фиксированный знак и потому однозначно раскрывается;
  4. Решить неравенство на каждом таком участке (можно отдельно рассмотреть корни-границы, полученные в пункте 2 — для надёжности). Результаты объединить — это и будет ответ.:)

Ну как? Слабо? Легко! Только долго. Посмотрим на практике:

Задача. Решите неравенство:

[left| x+2 right| lt left| x-1 right|+x-frac{3}{2}]

Решение. Эта хрень не сводится к неравенствам вида $left| f right| lt g$, $left| f right| gt g$ или $left| f right| lt left| g right|$, поэтому действуем напролом.

Выписываем подмодульные выражения, приравниваем их к нулю и находим корни:

[begin{align} & x+2=0Rightarrow x=-2; \ & x-1=0Rightarrow x=1. \end{align}]

Итого у нас два корня, которые разбивают числовую прямую на три участка, внутри которых каждый модуль раскрывается однозначно:

Разбиение числовой прямой нулями подмодульных функций

Рассмотрим каждый участок отдельно.

1. Пусть $x lt -2$. Тогда оба подмодульных выражения отрицательны, и исходное неравенство перепишется так:

[begin{align} & -left( x+2 right) lt -left( x-1 right)+x-1,5 \ & -x-2 lt -x+1+x-1,5 \ & x gt 1,5 \end{align}]

Получили довольно простое ограничение. Пересечём его с исходным предположением, что $x lt -2$:

[left{ begin{align} & x lt -2 \ & x gt 1,5 \end{align} right.Rightarrow xin varnothing ]

Очевидно, что переменная $x$ не может одновременно быть меньше −2, но больше 1,5. Решений на этом участке нет.

1.1. Отдельно рассмотрим пограничный случай: $x=-2$. Просто подставим это число в исходное неравенство и проверим: выполняется ли оно?

[begin{align} & {{left. left| x+2 right| lt left| x-1 right|+x-1,5 right|}_{x=-2}} \ & 0 lt left| -3 right|-2-1,5; \ & 0 lt 3-3,5; \ & 0 lt -0,5Rightarrow varnothing . \end{align}]

Очевидно, что цепочка вычислений привела нас к неверному неравенству. Следовательно, исходное неравенство тоже неверно, и $x=-2$ не входит в ответ.

2. Пусть теперь $-2 lt x lt 1$. Левый модуль уже раскроется с «плюсом», но правый — всё ещё с «минусом». Имеем:

[begin{align} & x+2 lt -left( x-1 right)+x-1,5 \ & x+2 lt -x+1+x-1,5 \& x lt -2,5 \end{align}]

Снова пересекаем с исходным требованием:

[left{ begin{align} & x lt -2,5 \ & -2 lt x lt 1 \end{align} right.Rightarrow xin varnothing ]

И снова пустое множество решений, поскольку нет таких чисел, которые одновременно меньше −2,5, но больше −2.

2.1. И вновь частный случай: $x=1$. Подставляем в исходное неравенство:

[begin{align} & {{left. left| x+2 right| lt left| x-1 right|+x-1,5 right|}_{x=1}} \ & left| 3 right| lt left| 0 right|+1-1,5; \ & 3 lt -0,5; \ & 3 lt -0,5Rightarrow varnothing . \end{align}]

Аналогично предыдущему «частному случаю», число $x=1$ явно не входит в ответ.

3. Последний кусок прямой: $x gt 1$. Тут все модули раскрываются со знаком «плюс»:

[begin{align} & x+2 lt x-1+x-1,5 \ & x+2 lt x-1+x-1,5 \ & x gt 4,5 \end{align}]

И вновь пересекаем найденное множество с исходным ограничением:

[left{ begin{align} & x gt 4,5 \ & x gt 1 \end{align} right.Rightarrow xin left( 4,5;+infty right)]

Ну наконец-то! Мы нашли интервал, который и будет ответом.

Ответ: $xin left( 4,5;+infty right)$

Напоследок — одно замечание, которое, возможно, убережёт вас от глупых ошибок при решении реальных задач:

Решения неравенств с модулями обычно представляют собой сплошные множества на числовой прямой — интервалы и отрезки. Гораздо реже встречаются изолированные точки. И ещё реже случается так, что границ решения (конец отрезка) совпадает с границей рассматриваемого диапазона.

Следовательно, если границы (те самые «частные случаи») не входят в ответ, то почти наверняка не войдут в ответ и области слева-справа от этих границ. И напротив: граница вошла в ответ — значит, и какие-то области вокруг неё тоже будут ответами.

Помните об этом, когда проверяете свои решения.

Смотрите также:

  1. Неравенства с модулем: графическое решение
  2. Уравнения, содержащие несколько модулей, вложенных друг в друга: как их решать?
  3. Решение ЕГЭ-2011: вариант 1, часть B
  4. Сводный тест по задачам B15 (1 вариант)
  5. Учимся расщеплять ответы в тригонометрических уравнениях
  6. Задача C1: тригонометрия и показательная функция — 1 вариант

Содержание:

Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Объяснение и обоснование:

Решать любое уравнение или неравенство, содержащее знак модуля можно одним из трех основных способов: по определению модуля, исходя из геометрического смысла модуля или по общей схеме. Некоторые уравнения или неравенства, содержащие знак модуля, могут быть также решены с использованием специальных соотношений (табл. 15).

В зависимости от выбранного способа решения получаем разные записи решения.

Пример №441

Решите уравнение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

I способ (по определению модуля)

Решение:

► 1) Если

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (1)

то получаем уравнение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

ТогдаУравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения что удовлетворяет и условию (1).

2) Если

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (2)

то получаем уравнение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Тогда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения что удовлетворяет и условию (2).

Ответ: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Комментарий:

Чтобы раскрыть знак модуля по определению, рассмотрим два случая:

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

По определению модулем положительного (неотрицательного) числа является само это число, а модулем отрицательного числа является противоположное ему число. Поэтому при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения а при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

В каждом случае решаем полученное уравнение и выясняем, удовлетворяет ли каждый из найденных корней тому условию, при котором мы его находили.

II способ (использование геометрического смысла модуля)

Решение:

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения или Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения или Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения или Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Ответ: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Комментарий:

С геометрической точки зрения Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — это расстояние от точки 0 до точки Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения По условию уравнения оно равно 6, но расстояние 6 может быть отложено от 0 как вправо (получаем число 6), так и влево (получаем число -6). Таким образом, равенство Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения возможно тогда и только тогда, когда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения илиУравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Замечание. При решении уравнения с использованием геометрического смысла модуля знак модуля раскрывается неявно, то есть определение модуля в явном виде не применяется.

Общая схема решения уравнений и неравенств, содержащих знак модуля, — это фактически немного измененный метод интервалов. Поясним содержание этой схемы на примере уравнения с двумя модулями вида

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Чтобы решить это уравнение, необходимо раскрыть знаки модулей, а для этого необходимо знать, где функции Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения будут положительными, а где — отрицательными. То есть фактически мы должны решить неравенства

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (1)

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (2)

Каждое из этих неравенств мы умеем решать методом интервалов. Перестроим прием решения неравенств методом интервалов таким образом, чтобы он давал возможность одновременно решать каждое из последних неравенств. Как известно, решение неравенства (1) методом интервалов начинается с нахождения его ОДЗ (то есть области определения функции Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения), а решение неравенства (2) — с нахождения его ОДЗ (то есть области определения функции Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения). Чтобы начать одновременно решать оба неравенства, необходимо найти общую область определения для функций Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то есть найти ОДЗ данного уравнения (это и есть первый из ориентиров необходимой схемы). Чтобы продолжить решение неравенств Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения методом интервалов, необходимо найти нули функций Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то есть найти нули всех подмодульных функций (это и есть второй ориентир). Если далее применить схему метода интервалов одновременно для двух неравенств, необходимо на ОДЗ отметить нули подмодульных функций и разбить ОДЗ на промежутки (это третий ориентир).

В каждом из полученных промежутков знаки функций Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения не могут измениться. Тогда мы можем найти знаки подмодульных функций на каждом промежутке (в любой точке этого промежутка), раскрыть знаки модулей и найти решение данного уравнения в каждом из этих промежутков (это и есть четвертый ориентир общей схемы). Обоснование возможности применения приведенной схемы к решению неравенств, содержащих знак модуля, проводится аналогично.

Примеры решения задач:

Пример №442

Решите уравнение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Решение:

► 1. ОДЗ: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

2. Нули подмодульных функций: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

3. Нули 0 и 2 разбивают ОДЗ на четыре промежутка, в которых подмодульные Рис. 67 функции имеют знакиУравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения, показанные на рисунке 67.

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

4. Находим решения данного уравнения в каждом из промежутков (поскольку знаки подмодульных функций одинаковы на промежутках I и III, удобно для решения объединить эти промежутки). Промежутки I и III: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решенияУчитывая знаки подмодульных функций на этих промежутках и определение модуля, получаем, что в этих промежутках данное уравнение равносильно уравнению Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Отсюда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения или Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения В рассмотренные промежутки полученные значения не входят, таким образом, в этих промежутках корней нет.

Промежуток II: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (Следует обратить внимание на то, чтобы не пропустить значение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения которое принадлежит ОДЗ.) В этом

промежутке получаем уравнение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Отсюда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — корень, поскольку принадлежит этому промежутку.

Промежуток IV: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (И в этом промежутке необходимо не

забыть значение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения) Получаем уравнение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Отсюда

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — корень, поскольку принадлежит этому промежутку. Объединяя все решения, которые мы получили в каждом промежутке, имеем решение данного уравнения на всей ОДЗ.

Ответ: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решенияНа рисунке 67 в каждом из промежутков первый знак — это знак функции

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения а второй — знак функции Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения При выполнении рисунка удобно сначала

отметить на числовой прямой ОДЗ, а потом нули подмодульных функций на ОДЗ.

Проиллюстрируем также получение и использование специальных соотношений, приведенных в таблице 15.

Обоснуем, например, соотношение 5: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Запишем заданное равенство в виде Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и проанализируем его, опираясь на известные из 6 класса правила действий над числами с одинаковыми и с разными знаками. Чтобы сложить два числа Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения мы сложили их модули, таким образом, эти числа имеют одинаковые знаки. Если бы эти числа были оба отрицательными, то и их сумма была бы тоже отрицательна, но Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Тогда получаем, что числа Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — оба неотрицательные. Наоборот, если Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то выполняется Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Таким образом, действительно уравнение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения равносильно системе неравенств Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Пример №443

Решите уравнение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Решение:

► Поскольку Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то данное уравнение имеет вид Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения но это равенство может выполняться тогда и только тогда, когда числа Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — оба неотрицательные. Таким образом, данное уравнение равносильно системе

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Отсюда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Таким образом, Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Ответ: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Комментарий:

Если обозначить Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и данное уравнение имеет вид Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения а по соотношению 5 такое уравнение равносильно системе

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Заметим, что данное уравнение можно решать и по общей схеме, но тогда решение будет более громоздким.

При решении неравенств, содержащих знак модуля, рассуждения, связанные с раскрытием знаков модулей, полностью аналогичны рассуждениям, которые использовались при решении уравнений, содержащих знак модуля.

Пример №444

Решите неравенство Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Решение:

► Учитывая геометрический смысл модуля, получаем, что заданное неравенство равносильно неравенству

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (1)

Тогда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения таким образом, Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Ответ: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Комментарий:

Неравенство вида Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (где Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения удобно решать, используя геометрический смысл модуля.

Поскольку заданное неравенство — это неравенство вида Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения а модуль числа — это расстояние на координатной прямой от точки, изображающей данное число, до точки 0, то заданному неравенству удовлетворяют все точки, находящиеся в промежутке Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Таким образом, Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Если возникают затруднения с решением двойного неравенства (1), то его заменяют на равносильную систему Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Пример №445

Решите неравенство Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (1)

Решение:

► 1. ОДЗ: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Тогда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то есть Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения таким образом: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения или Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

2. Нули подмодульных функций: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — не принадлежит ОДЗ) и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

3. Нуль 2 разбивает ОДЗ на четыре промежутка, на которых подмодульные функции имеют знаки, показанные на рисунке 68 (на каждом из промежутков первый знак — это знак функции Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения а второй — знак функции Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

4. Находим решения заданного неравенства в каждом из промежутков (поскольку знаки подмодульных функций являются одинаковыми на промежутках I и II, удобно для решения объединить эти промежутки). Промежутки I и II: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Учитывая знаки подмодульных функций в этих промежутках и определение модуля, получаем, что при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения заданное неравенство равносильно неравенству Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Тогда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то есть Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Отсюда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

В промежутки, которые мы рассмотрели, входят все значения Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения таким образом, в этом случае решением будет Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Промежуток III: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения На этом промежутке получаем неравенство Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то есть Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Но при этом значении Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения из промежутка III последнее неравенство обращается в неверное неравенство Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Таким образом, в промежутке III неравенство (1) решений не имеет.

Промежуток IV: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения В этом промежутке получаем неравенствоУравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то есть Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Как видим, при любом Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения из IV промежутка неравенство (1) обращается в верное числовое неравенство

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Таким образом, решением неравенства (1) в IV промежутке

есть любое число из этого промежутка Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Объединяя все решения, полученные в каждом из промежутков, имеем решение данного неравенства на всей ОДЗ: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения или Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Ответ: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Укажем, что для решения некоторых неравенств, содержащих знак модуля, удобно применять также специальные соотношения, приведенные в таблице 15.

Пример №446

Решите неравенство Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Решение:

► Поскольку Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и функция Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения монотонно возрастает на множестве неотрицательных чисел, то все разности модулей в неравенстве можно заменить на разности их квадратов (то есть воспользоваться соотношением 4: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Получаем неравенство, равносильное заданному

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Раскладывая на множители все разности квадратов, имеем:

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Далее методом интервалов получаем Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения или Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (рис. 70).

Ответ: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения или Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Общая схема, предложенная в таблице 15, может быть использована не только при решении уравнений или неравенств, содержащих знак модуля, но и при преобразовании выражений, содержащих знак модуля.

Например, для построения графика функции Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения удобно сначала по общей схеме раскрыть знаки модулей, а уже потом строить график функции Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Оформление решения подобного примера может быть таким.

Пример №447

Постройте график функции Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

► 1. Область определения функции: все Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

2. Нули подмодульных функций: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

3. Отмечаем нули на области определения и разбиваем область определения на промежутки (на рисунке 71 также указаны знаки подмодульных функций в каждом из промежутков).

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

4. Тогда

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Таким образом, Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Строим график этой функции (рис. 72).

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Уравнения и неравенства с параметрами

Решение уравнений и неравенств с параметрами

Если в запись уравнения или неравенства, кроме переменной и числовых коэффициентов, входят также буквенные коэффициенты — параметры, то при решении таких уравнений можно пользоваться следующим ориентиром.

Любое уравнение или неравенство с параметрами можно решать как обычное уравнение или неравенство до тех пор, пока все преобразования или рассуждения, необходимые для решения, можно выполнить однозначно. Если какое-то преобразование нельзя выполнить однозначно, то решения необходимо разбить на несколько случаев, чтобы в каждом из них ответ через параметры записывался однозначно.

На этапе поиска плана решения уравнения или неравенства с параметрами или в ходе решения часто удобно сопровождать соответствующие рассуждения схемами, по которым легко проследить, в какой момент мы не смогли однозначно выполнить необходимые преобразования, на сколько случаев пришлось разбить решение и чем отличается один случай от другого. Чтобы на таких схемах (или в записях громоздких решений) не потерять какой-то ответ, целесообразно помещать окончательные ответы в прямоугольные рамки. Записывая окончательный ответ, следует учитывать, что ответ должен быть записан для всех возможных значений параметра.

Пример №448

Решите неравенство с переменной Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Комментарий:

Заданное неравенство является линейным относительно переменной Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения поэтому используем известный алгоритм решения линейного неравенства:

1) переносим члены с переменной Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения в одну сторону, а без Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — в другую:

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

2) выносим в левой части за скобки общий множитель Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (то есть приводим неравенство к виду Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения): Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Для решения последнего неравенства мы хотели бы разделить обе его части на Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Но если обе части неравенства разделить на положительное число, то знак неравенства не изменится, а если на отрицательное, то знак неравенства необходимо изменить на противоположный. Кроме того, следует учесть, что на нуль делить нельзя. Следовательно, начиная с этого момента нужно рассмотреть три случая: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решенияУравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Приведенные выше рассуждения можно наглядно записать так:

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Решение:

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Ответ: 1) при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения 2) при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

3) при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — любое число.

При решении более сложных уравнений или неравенств следует помнить, что уравнения и неравенства с параметрами чаще всего решают с помощью равносильных преобразований, а все равносильные преобразования уравнений или неравенств выполняют на области допустимых значений (ОДЗ) заданного уравнения или неравенства (то есть на общей области определения для всех функций, которые входят в запись уравнения или неравенства). Поэтому, прежде чем записать ответ, нужно обязательно учесть ОДЗ заданного уравнения или неравенства.

Пример №449

Решите уравнение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения где Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — переменная.

Комментарий:

Заданные дробные выражения существуют тогда и только тогда, когда знаменатели заданных дробей не равны нулю, следовательно, ОДЗ уравнения: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Умножим обе части заданного уравнения на выражение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — общий знаменатель дробей — и получим целое уравнение, которое при условии Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (то есть на ОДЗ заданного уравнения) равносильно заданному: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Из этого уравнения получаем Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то есть Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Тогда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Для того чтобы найти значение переменной Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения, хотелось бы разделить обе части последнего уравнения на Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения но при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения пришлось бы делить на 0, что невозможно. Следовательно, начиная с этого момента нужно рассмотреть два случая.

Решение в соответствии с приведенными выше рассуждениями можно наглядно записать в виде схемы.

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Решение:

► ОДЗ: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Выясним, при каких значениях Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения найденные корни не входят в ОДЗ уравнения, то есть при каких значениях Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения получаем Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения тогда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — решений нет. Следовательно, при всех значениях Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения корень Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения не равен 3.

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения тогда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Следовательно, при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения имеем Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — посторонний корень (не входит в ОДЗ), то есть при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения заданное уравнение не имеет корней.

Ответ: 1) при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения корней нет; 2) при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Пример №450

Решите уравнение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения относительно переменной л: – а х

Комментарий:

Будем выполнять равносильные преобразования заданного уравнения. Для этого найдем его ОДЗ (знаменатели дробей не равны нулю). Если теперь обе части уравнения умножить на произведение выражений, которые стоят в знаменателях дробей (и которое не равно нулю на ОДЗ уравнения), то получим уравнение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения равносильное заданному (на ОДЗ заданного). Но последнее уравнение будет квадратным только при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения потому для его решения следует рассмотреть два случая (Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения).

Если Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то для исследования полученного квадратного уравнения нужно рассмотреть еще три случая: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — ив каждом из них проверить, входят найденные корни в ОДЗ или нет. При Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения удобно использовать, что значение корня соответствующего квадратного уравнения совпадает с абсциссой вершины параболы Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

то естьУравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Рассматривая случай Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения следует помнить также предыдущее ограничение: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Поскольку корни уравнения (1) записываются достаточно громоздкими формулами (см. решение), то вместо подстановки полученных корней в ограничение ОДЗ можно подставить «запрещенные» значения Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения в уравнение (1) и выяснить, при каких значениях параметра а мы получим те значения Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения, которые не входят в ОДЗ, а затем проверить полученные значения параметра.

Решение:

► ОДЗ: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения На этой ОДЗ заданное уравнение равносильно уравнениям: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (1)

1. Если Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то из уравнения (1) получаем Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — не входит в ОДЗ, следовательно, при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения корней нет.

2. Если Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то уравнение (1) — квадратное. Его дискриминант Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решенияУравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решенияРассмотрим три случая:

1) Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то есть Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Тогда уравнение (1) имеет одно

значение корня: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения. Если Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то корень Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения уравнения (1)

входит в ОДЗ и является корнем заданного уравнения. Если Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решениято корень Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения уравнения (1) тоже входит в ОДЗ и является корнем заданного уравнения.

2) Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то естьУравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения следовательно, Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения или Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Тогда уравнение (1) не имеет корней.

3) Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то есть Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения следовательно, Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения но Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Тогда уравнение (1) имеет два корня:

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (2)

Выясним, при каких значениях Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решенияа найденные корни не входят в ОДЗ, то есть при каких значениях Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения получаем Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Подставляя в уравнение (1) Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения, получаем Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения но при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения заданное уравнение не имеет корней.

Подставляя в уравнение (1) Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения получаем Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то естьУравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Тогда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (заданное уравнение не имеет корней), или Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Проверим эти значения Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

При Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения ОДЗ записывается так: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Из формулы корней (2) имеем Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (входит в ОДЗ) и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (не входит в ОДЗ). Следовательно, при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения заданное уравнение имеет только один корень: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения При Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения ОДЗ записывается так: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения а из формулы корней (2) получим: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения(входит в ОДЗ) и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (не входит в ОДЗ). Следовательно, при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения заданное уравнение имеет только один корень: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Таким образом, формулу корней (2) можно использовать, если Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения, только при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Ответ: 1) если Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

2) если Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

3) если Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения 4) если Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения 5) если Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

6) если Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения или Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то корней нет

Замечание. Чтобы облегчить запись ответа в этом и аналогичных примерах, можно пользоваться таким приемом. Перед записью ответа в сложных или громоздких случаях изобразим ось параметра (а) и отметим на ней все особые значения параметра, которые появились в процессе решения. Под осью параметра (левее от нее) выпишем все полученные решения (кроме решения «корней нет») и напротив каждого ответа отметим, при каких значениях параметра этот ответ можно использовать (рис. 73). После этого ответ записывают для каждого из особых значений параметра и для каждого из полученных промежутков оси параметра. В частности, перед записью ответа в рассмотренном примере, на черновике удобно изобразить такую схему (рис. 73).

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Исследовательские задачи с параметрами

Некоторые исследовательские задачи с параметрами удается решить по такой схеме: 1) решить заданное уравнение или неравенство; 2) исследовать полученное решение.

Пример №451

Найдите все значения Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения при которых уравнение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения имеет единственный корень.

Решение:

► ОДЗ: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения На ОДЗ получаем равносильное уравнение

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Тогда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения или Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Получаем Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения или Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Учтем ОДЗ. Для этого выясним, когда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Тогда при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения получаем: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — посторонний корень; Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — единственный корень.

При Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения получаем: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решенияпосторонний корень; Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

единственный корень. Также заданное уравнение будет иметь единственный корень, если Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то есть при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (тогдаУравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения).

Ответ: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Комментарий:

Поскольку дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, то на ОДЗ Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решенияУравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения заданное уравнение равносильно уравнению Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Дальше учитываем, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю (а второй имеет смысл).

После этого выясним, при каких значениях Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения найденные корни не входят в ОДЗ, то есть Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения приравниваем корни к -7 и находим соответствующие значения Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения. При найденных значениях Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения один из двух полученных корней будет посторонним (Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения), и уравнение будет иметь единственный корень (одно значение корня). Кроме того, заданное уравнение будет иметь единственный корень еще и в том случае, когда два полученных корня (Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения) будут совпадать (и, конечно, будут входить в ОДЗ).

Исследование количества решении уравнении и их систем

При решении некоторых задач с параметрами можно пользоваться таким ориентиром: если в задаче с параметрами речь идет о количестве решений уравнения (неравенства или системы), то для анализа заданной ситуации часто удобно использовать графическую иллюстрацию решения.

Наиболее простым соответствующее исследование является в том случае, когда заданное уравнение можно преобразовать к виду Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения поскольку график функции Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — это прямая, параллельная оси Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (которая пересекает ось Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения в точке Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения). Отметим, что, заменяя заданное уравнение на уравнение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решениянужно следить за равносильностью выполненных преобразований, чтобы полученное уравнение имело те же корни, что и заданное, а следовательно, и количество корней у них будет одинаковым. Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения достаточно определить, сколько точек пересечения имеет график функции Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения с прямой Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения при различных значениях параметра Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (Для этого на соответствующем рисунке целесообразно изобразить все характерные положения прямой.)

  • Заказать решение задач по высшей математике

Пример №452

Сколько корней имеет уравнение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения в зависимости от значения параметра Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения?

Решение:

► Построим графики функций Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Анализируя взаимное размещение полученных графиков, получаем ответ:

1) при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения уравнение корней не имеет;

2) при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения уравнение имеет 3 корня;

3) при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения уравнение имеет 6 корней;

4) при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения уравнение имеет 4 корня;

5) при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения уравнение имеет 2 корня.

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Комментарий:

Поскольку в этом задании речь идет о количестве решений уравнения, то для анализа заданной ситуации попробуем использовать графическую иллюстрацию решения.

1. Строим график функции (учитывая, что Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения построение может происходить, например, по таким этапам:

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

2) Строим график функции Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

3) Анализируем взаимное размещение полученных графиков и записываем ответ (количество корней уравнения Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения равно количеству точек пересечения графика функции Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения с прямой Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения).

Отметим, что значительное количество исследовательских заданий не удается решить путем непосредственных вычислений (или такие вычисления являются очень громоздкими). Поэтому часто приходится сначала обосновывать какое-то свойство заданного уравнения или неравенства, а затем, пользуясь этим свойством, уже давать ответ на вопрос задачи.

Например, принимая во внимание четность функций, которые входят в запись заданного уравнения, можно использовать такой ориентир.

Если в уравнении Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения функция Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения является четной или нечетной, то вместе с каждым корнем а мы можем указать еще один корень этого уравнения Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Пример №453

Найдите все значения параметра Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения при которых уравнение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (1) имеет единственный корень.

Решение:

► Функция Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решенияУравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения является четной Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Если Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — корень уравнения (1), то Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения тоже является корнем этого уравнения. Потому единственный корень у заданного уравнения может быть только тогда, когда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то есть Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Следовательно, единственным корнем заданного уравнения может быть только Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Если Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то из уравнения (1) получаем Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения тогда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения или Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения При Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения уравнения (1) превращается в уравнение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Тогда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решенияУравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Получаем Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (тогда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то есть Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения) или Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (тогда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то есть Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения). Следовательно, при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения уравнение (1) имеет три корня и условие задачи не выполняется. При Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решенияуравнение (1) превращается в уравнение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Тогда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Поскольку Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решенияУравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то получаем Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Тогда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то есть Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — единственный корень. Следовательно, Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения удовлетворяет условию задачи.

Ответ: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Комментарий:

Замечаем, что в левой части заданного уравнения стоит четная функция, и используем ориентир, приведенный выше. Действительно, если Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — корень уравнения Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — правильное числовое равенство. Учитывая четность функции Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения имеем Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Следовательно, Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — тоже корень уравнения Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Единственный корень у этого уравнения может быть только тогда, когда корни Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения совпадают. Тогда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Выясним, существуют ли такие значения параметра Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения при которых Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решенияявляется корнем уравнения (1). (Это значение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения)

Поскольку значение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения мы получили из условия, что Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — корень уравнения (1), то необходимо проверить, на самом ли деле при этих значениях а заданное уравнение будет иметь единственный корень. При решении полученных уравнений целесообразно использовать, что Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Использование условий расположения корней квадратного трехчлена

Использование условий расположения корней квадратного трехчлена Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения относительно заданных чисел Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Решение некоторых исследовательских задач с параметрами можно свести к использованию необходимых и достаточных условий расположения корней квадратного трехчлена. Основные из этих условий приведены в таблице 16 (в таблице использованы традиционные обозначения:

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Объяснение и обоснование:

Для обоснования указанных условий достаточно воспользоваться тем, что график функции Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — сплошная (неразрывнаяУравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения) линия. Если такая функция на концах какого-то промежутка принимает значения с разными знаками (то есть соответствующие точки графика находятся в разных полуплоскостях относительно оси Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения), то внутри этого промежутка есть по крайней мере одна точка, в которой функция равна нулю (рис. 74).

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Например, для того чтобы два различных корня квадратного трехчлена Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения были расположены по разные стороны от заданного числа Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения, достаточно зафиксировать только одно условие: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (рис. 75).

Действительно, график квадратичной функции Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — парабола, ветки которой направлены вверх. Тогда в случае, когда аргумент Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения стремится к Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения или к Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (это обозначают обычно так: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения или Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения функция Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения стремится к Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения следовательно, Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения или при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Если выполняется условие Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то с изменением значения аргумента Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения от Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения до Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения квадратичная функция Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения изменяет свой знак с «-» на « + », таким образом, Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения имеет по крайней мере один корень Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Точно так же с изменением значения аргумента Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения от Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения до Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения квадратичная функция Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения изменяет свой знак с « + » на «-», следовательно, Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения имеет по крайней мере один корень Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Но квадратный трехчлен Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения не может иметь более двух корней, значит, при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения условие Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения необходимое и достаточное для того, чтобы два различных корня квадратного трехчлена были расположены по разные стороны от заданного числа Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Аналогичные рассуждения при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения показывают, что для выполнения этого требования необходимо и достаточно, чтобы Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Эти два условия можно объединить в одно: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решенияСоответствующее свойство будет обосновано более строго в 11 классе при рассмотрении так называемых непрерывных функций.

Действительно, Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения или Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Следовательно,

квадратный трехчлен Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения имеет два различных корня, которые расположены по разные стороны от заданного числа Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения тогда и только тогда, когда выполняется условие Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Аналогично можно обосновать и другие условия, приведенные в таблице 16.

Заметим, что приведенные условия не обязательно запоминать: для их записи можно пользоваться графиком квадратичной функции (изображенным для нужного расположения корней) и таким ориентиром.

Для того чтобы корни квадратного трехчлена Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения были расположены заданным образом относительно данных чисел Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения необходимо и достаточно выполнения системы условий, которая включает:

1) знак коэффициента при старшем члене;

2) знаки значений Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

3) знак дискриминанта Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

4) положение абсциссы вершины параболы Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения относительно данных чисел Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Отметим, что для случаев, в которых хотя бы одно из данных чисел расположено между корнями квадратного трехчлена (см. вторую, пятую, шестую и седьмую строки табл. 16), достаточно выполнения первых двух условий этого ориентира, а для других случаев приходится рассматривать все четыре условия. Заметим также, что, записывая каждое из указанных условий, следует выяснить, будет ли выполняться требование задачи в том случае, когда в этом условии будет записан знак нестрогого неравенства.

Пример №454

Найдите все значения параметра Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения для которых уравнение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения имеет один корень больше двух, а второй — меньше единицы.

Комментарий:

Поскольку заданное уравнение имеет два различных корня, то оно квадратное (то есть Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения). Тогда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и, чтобы получить ответ на вопрос задачи, достаточно решить совокупность из Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения или Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Но такой путь решения достаточно громоздкий.

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Попробуем воспользоваться условиями расположения корней квадратного трехчлена. Для этого можно непосредственно использовать соответствующие условия, зафиксированные в таблице 16, или получить их с помощью предложенного ориентира. В частности, обозначим Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и изобразим график квадратичной функции Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (параболу) в таких положениях, которые удовлетворяют условию задачи (рис. 76, а и б).

Для того чтобы корни квадратного трехчлена располагались по разные стороны от чисел 1 и 2, необходимо и достаточно выполнения совокупности условий Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения или Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Замечаем, что в этих системах знаки Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения а также Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения иУравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения противоположны, поэтому полученную совокупность систем можно заменить одной равносильной системой Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения которая и позволяет получить план решения задачи.

Решение:

► Поскольку заданное уравнение имеет два различных корня, то оно является квадратным (то есть Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения). Обозначим Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Как известно, корни квадратного трехчлена будут располагаться по разные стороны от данных чисел 1 и 2 тогда и только тогда, когда выполняется система условий: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Получаем систему

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Решаем неравенства (1) и (2) и находим общее решение системы (рис. 77).

Ответ: заданное уравнение имеет один корень больше двух, а второй — меньше единицы при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Сведения из истории:

Напомним, что алгебра — раздел математики, посвященный изучению буквенных выражений и уравнений. Долгое время алгебра была частью науки о числе — арифметики. Значительное количество задач, возникающих в процессе практической деятельности человека, решают одинаковыми способами. Используя вместо чисел буквы, математики научились решать такие задачи в общем виде. Так и образовалась математическая наука — алгебра.

Исторически зачатки алгебры были известны вавилонянам, египтянам и грекам задолго до нашей эры. Сохранился египетский папирус Ахмеса (XVII в. до н. э.) с решением алгебраических задач. Ученые Вавилона (более 4000 лет назад) умели находить приближенное значение квадратного корня из любого натурального числа, а также решать квадратные уравнения. Это было связано с решением задач на нахождение площадей земельных участков и с развитием астрономии. Однако у вавилонян еще не было понятия отрицательного числа, и поэтому корень квадратного уравнения мог быть только положительным.

Диофант, греческий математик, живший в III в. в Александрии, написал трактат «Арифметика», в котором он уже решал линейные и другие уравнения. В Средние века особенно активно алгебра развивалась в арабских странах и Средней Азии.

Задачи, связанные с квадратными уравнениями, можно найти и в трудах индийских математиков V в. Квадратные уравнения классифицировал в трактате «Алгебра» аль-Хорезми. Он же привел и способы их решения.

В течение многих веков развитие алгебры сильно тормозилось, потому что математикам долго не удавалось ввести в свои исследования удобные обозначения. Поэтому изложение математических работ выглядело громоздко. Только начиная с XVI в. постепенно в математику начали вводить современные обозначения. Символы Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и т. п. впервые применил французский ученый Рене Декарт (1596-1650). Символ Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения для произвольного числа Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения предложил английский ученый Исаак Ньютон (1643-1727).

Благодаря исследованиям французского математика Франсуа Виета (1540-1603) уравнения второй степени, третьей и четвертой степеней впервые стали рассматривать в буквенных обозначениях. Он ввел буквенные обозначения для неизвестных величин и коэффициентов уравнений. Особенно ценил открытые им формулы, названные впоследствии формулами Виета. Однако Виет признавал только положительные корни. Лишь в XVII в., после работ Г. Декарта, И. Ньютона и других математиков, решение квадратных и других уравнений приобрело современный вид.

Идея зависимости величин тоже берет начало от древнегреческой науки. Но греки рассматривали лишь величины, которые имеют «геометрическую» природу, и не ставили вопрос об общем изучении разных зависимостей. Графическое изображение зависимостей между величинами широко использовали Г. Галилей (1564-1642), П. Ферма (1601-1665) и Г. Декарт, который ввел понятие переменной величины. Развитие механики и техники привело к необходимости введения общего понятия функции, что сделал немецкий философ и математик Г. Лейбниц (1646-1716). Большие классы функций изучал в ходе своих исследований И. Ньютон.

В 1718 г. ученик Лейбница, И. Бернулли (1667-1748), дал определение функции, лишенное геометрических образов. Следующий шаг в развитии понятия функции сделал его ученик, член Петербуржской академии наук Л. Ейлер (1707-1783).

После работ ряда математиков (Ж. Фурье (1768-1830), М. И. Лобачевский, П. Дирихле и др.) было дано следующее определение: «Переменная величина Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения называется функцией переменной величины Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения если каждому значению величины Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения отвечает единственное значение величины Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения». П. Дирихле (1805-1859)

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

На современном этапе к словам «каждому значению величины л:» добавляют «принадлежащему некоторому множеству», а вместо переменных величин говорят об элементах этих множеств. Такой подход позволяет рассматривать с единой точки зрения как числовые функции, так и, например, геометрические преобразования и т. п.

Несоизмеримость стороны квадрата и его диагонали была открыта в V в. до н. э. в Древней Греции. Это открытие показало, что для измерения геометрических величин недостаточно рациональных чисел. Поэтому греческие математики отказались от обозначения геометрических величин числами и стали развивать геометрическую алгебру (поэтому и сейчас говорят «квадрат числа», «куб числа» и т. п.).

Греческий математик Евдокс (IV в. до н. э.) разработал теорию отношений геометрических величин, которая заменяла для древнегреческих математиков современную теорию действительных чисел. В основе теории Евдокса лежит идея о бесконечной делимости отрезков и других фигур.

Р. Декарт ввел произвольно выбранный единичный отрезок, что позволило ему выразить все действия над числами через действия над отрезками. В сущности, он уже работал с положительными действительными числами. Лишь во второй половине XIX в. теория действительных чисел была приведена к теории натуральных чисел.

О понятии действительного числа

Первые представления о числах формировались постепенно под влиянием практики. С давних времен числа применялись в ходе счета и измерения величин.

Ответ на вопрос «Сколько элементов содержит данное конечное множество?» всегда выражается или натуральным числом, или числом «нуль». Следовательно, множество

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

всех неотрицательных чисел обслуживает все потребности счета.

Иначе с измерением величин. Расстояние между двумя пунктами может равняться 3,5 километра, площадь комнаты — 16,45 квадратных метра и т. п.

Исторически положительные действительные числа появились как отношение длин отрезков. С открытием несоизмеримости диагонали единичного квадрата с его стороной стало понятным, что отношение длин отрезков не всегда можно выразить не только натуральным, но и рациональным числом. Чтобы числовое значение каждого отрезка при фиксированной единице измерения было определено, необходимо было ввести новые числа — иррациональные.

Все практические измерения величин имеют только приближенный характер. Их результат с необходимой точностью можно выразить с помощью рациональных дробей или конечных десятичных дробей.

Например, измеряя диагональ квадрата со стороной 1 м с точностью до 1 см, мы выясним, что ее длина приближенно равна Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения м. Измеряя с точностью до 1 мм, получим, что эта длина приближенно равна Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения м.

Однако в математике часто уклоняются от приближенного характера практических измерений. Последовательный теоретический подход к измерению длин отрезков приводит к необходимости рассмотрения бесконечных десятичных дробей. (Именно такими дробями являются числа

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Отношение длины любого отрезка к длине отрезка, принятого за единицу измерения, всегда можно выразить числом, представленным в виде бесконечной десятичной дроби.

Полная теория действительных чисел достаточно сложна и не входит в программу средней школы. Она обычно рассматривается в курсах математического анализа. Однако с одним из способов ее построения мы ознакомимся в общих чертах.

1. Пусть:

а) каждому действительному числу соответствует (как его запись) бесконечная десятичная дробь:

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

б) каждая бесконечная десятичная дробь является записью действительного числа.

Но при этом естественно считать десятичную дробь, оканчивающуюся бесконечной последовательностью девяток, только другой записью числа, представленного десятичной дробью, оканчивающей бесконечной последовательностью нулей: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Только исключив из рассмотрения десятичные дроби с девяткой в периоде, получим взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством бесконечных десятичных дробей. Число Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — это целая часть положительного числа Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения а Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решениядробная часть числа Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Число Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения называют десятичным приближением с точностью до Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения с недостатком, а число Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решенияназывают десятичным приближением с точностью до Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения с избытком для числа

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Если число Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения отрицательно, то есть Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то считают, что

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

2. Вводят правило сравнения двух действительных чисел. По определению число Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения меньше числа Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения когда по меньшей мере для одного Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения выполняется неравенство Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения где Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — десятичные приближения с точностью до Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения с недостатком для чисел Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (Мы воспользовались тем, что правило сравнения конечных десятичных дробей уже известно.)

3. Определяют арифметические действия над действительными числами (при этом также пользуются тем, что эти действия уже определены для конечных десятичных дробей).

Суммой двух действительных чисел Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (обозначается Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения) называют такое действительное число Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения, что для любого Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения выполняются неравенства

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

В курсах математического анализа доказывается, что такое число существует и оно единственное.

Аналогично произведением двух неотрицательных чисел Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения называют такое число Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (обозначают Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения), что при любом Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения выполняются неравенства

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Такое число существует, и оно единственное.

Напомним, что примеры выполнения таким образом определенных действий сложения и умножения действительных чисел было рассмотрено в курсе алгебры 8 класса.

Воспользовавшись тем, что произведение неотрицательных чисел Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения уже определено, полагают, что для действительных чисел разных знаков Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения а для чисел одинаковых знаков — Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (как обычно, модулем каждого из чисел Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения называют число Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения).

Вычитание определяется как действие, обратное сложению: разностью Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения чисел Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения называется такое число Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения, что Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Деление определяется как действие, обратное умножению: частным Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения называется такое число Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения что Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

4. Показывают, что неравенства и арифметические операции, определенные выше, сохраняют основные свойства, присущие им во множестве рациональных чисел.

Теория действительного числа была построена сразу в нескольких формах немецкими математиками Р. Дедекиндом (1831-1916), К. Вейерштрассом (1815-1897) и Г. Кантором (1845-1918).

  • Уравнение
  • Метод математической индукции
  • Система координат в пространстве
  • Иррациональные числа
  • Прямые и плоскости в пространстве
  • Интеграл и его применение
  • Первообразная и интегра
  • Уравнения и неравенства

Неравенства с модулем

Изобразим график функции (y = |x|) и несколько прямых, параллельных оси Ох.

Модуль больше отрицательного числа. Модуль меньше отрицательного числа.

Глядя на график, легко убедиться, что если неравенство имеет вид (left| x right| > – 1) , то его решением будет любое число.

В тоже время неравенство (left| x right| < – 1) решение иметь не будет, так как неотрицательное число не может быть меньше отрицательного.

Модуль больше положительного числа. Модуль меньше положительного числа.

Теперь сравним модуль с положительным числом. Рассмотрим такой пример: (left| x right| < 1). На графике это соответствует нижней части «уголка».

Раскроем модуль как обычно.

На положительном промежутке числовой прямой раскрываем модуль с изначальным знаком:

(left{ begin{matrix} \ x geq 0 \ x < 1 \ \ end{matrix} right. ) (rightarrow x in lbrack 0;1))

На отрицательном промежутке числовой прямой раскрываем модуль с противоположным знаком:

(left{ begin{matrix} \ x < 0 \ – x < 1 \ \ end{matrix} right. )

Имеем (left{ begin{matrix} \ x < 0 \ x > – 1 \ \ end{matrix} right. ) (rightarrow x in ( – 1;0)).

Мы рассматривали 2 случая, то есть формально получили совокупность двух систем.

(leftlbrack begin{matrix} \ left{ begin{matrix} \ x geq 0 \ x < 1 \ \ end{matrix} right. \ left{ begin{matrix} \ x < 0 \ x > – 1 \ \ end{matrix} right. \ \ end{matrix} right. )

Значит, решения, полученные в каждом случае, необходимо объединить.

Получим, что (x in ( – 1;1))

В общем виде решение неравенства, вида (left| fleft( x right) right| < a) будет иметь вид:

(left| fleft( x right) right| < a Longleftrightarrow leftlbrack begin{matrix} \ left{ begin{matrix} \ fleft( x right) < a \ f(x) geq 0 \ \ end{matrix} right. \ left{ begin{matrix} \ – fleft( x right) < a \ fleft( x right) < 0 \ \ end{matrix} right. \ \ end{matrix} right. )

(leftlbrack begin{matrix} \ left{ begin{matrix} \ fleft( x right) < a \ f(x) geq 0 \ \ end{matrix} right. \ left{ begin{matrix} \ fleft( x right) > – a \ fleft( x right) < 0 \ \ end{matrix} right. \ \ end{matrix} right. Longleftrightarrow – a < fleft( x right) < a)

Более кратко имеем:

(|fleft( x right)| leq a Longleftrightarrow – a < fleft( x right) < a)

Теперь давайте перейдем к неравенству вида (left| x right| > 1). На графике ему соответствуют «рожки». Раскроем модули для каждого случая.

На положительном промежутке числовой прямой раскрываем модуль с изначальным знаком

(left{ begin{matrix} \ x geq 0 \ x > 1 \ \ end{matrix} right. rightarrow x in (1; + infty))

На отрицательном промежутке числовой прямой раскрываем модуль с противоположным знаком:

(left{ begin{matrix} \ x < 0 \ – x > 1 \ \ end{matrix} right. ) Имеем (left{ begin{matrix} \ x < 0 \ x < – 1 \ \ end{matrix} right. rightarrow x in ( – infty;1))

Теперь нам опять оба случая необходимо объединить совокупностью и затем объединить решения.

(leftlbrack begin{matrix} \ left{ begin{matrix} \ x geq 0 \ x > 1 \ \ end{matrix} right. \ left{ begin{matrix} \ x < 0 \ x < – 1 \ \ end{matrix} right. \ \ end{matrix} right. )

Тогда (x in ( – infty;1) cup (1; + infty)).

Этот результат соответствует тому, что видно на графике.

В общем виде решение неравенства, вида (left| fleft( x right) right| > a) будет иметь вид:

(left| fleft( x right) right| > a Longleftrightarrow leftlbrack begin{matrix} text{ } \ left{ begin{matrix} \ fleft( x right) > a \ f(x) geq 0 \ \ end{matrix} right. \ left{ begin{matrix} \ – fleft( x right) > a \ fleft( x right) < 0 \ \ end{matrix} right. \ \ end{matrix} right. )

(leftlbrack begin{matrix} \ left{ begin{matrix} \ fleft( x right) > a \ f(x) geq 0 \ \ end{matrix} right. \ left{ begin{matrix} \ fleft( x right) < – a \ fleft( x right) < 0 \ \ end{matrix} right. \ \ end{matrix} right. Longleftrightarrow leftlbrack begin{matrix} \ fleft( x right) > a \ fleft( x right) < – a \ \ end{matrix} right. )

Более кратко имеем:

(left| fleft( x right) right| > a Longleftrightarrow leftlbrack begin{matrix} \ fleft( x right) > a \ fleft( x right) < – a \ \ end{matrix} right. )

Несколько модулей

Неравенство может так же содержать несколько модулей.

(left| fleft( x right) right| + left| gleft( x right) right| + ldots + left| pleft( x right) right| < a) или (left| fleft( x right) right| + left| gleft( x right) right| + ldots + left| pleft( x right) right| > a).

Для решения такого вида неравенств следует воспользоваться алгоритмом:

  1. Определить критические точки и разделить прямую на промежутки;

  2. В каждом из промежутков раскрыть модуль с соответствующим знаком;

  3. Для каждого случая решить систему неравенств;

  4. Объединить полученные результаты.

Пример.

(left| x + 3 right| + left| 2x – 1 right| > 5)

  1. Определим критические точки:

(x + 3 = 0 rightarrow x = – 3)

(2x – 1 = 0 rightarrow x = 0,5)

Таким образом имеем 3 промежутка: (x in left( – infty; – 3 rightrbrack;x in left( – 3;0,5 rightrbrack;x in (0,5; + infty)).

  1. (leftlbrack begin{matrix} \ left{ begin{matrix} \ x in ( – infty; – 3rbrack \ – x – 3 – 2x + 1 > 5 \ \ end{matrix} right. \ left{ begin{matrix} \ x in ( – 3;0,5rbrack \ x + 3 – 2x + 1 > 5 \ \ end{matrix} right. \ left{ begin{matrix} \ x in (0,5; + infty) \ x + 3 + 2x – 1 > 5 \ \ end{matrix} right. \ \ end{matrix} right. )

  2. Решим каждую из полученных систем:

(leftlbrack begin{matrix} \ left{ begin{matrix} \ x in ( – infty; – 3rbrack \ – 3x > 7 \ \ end{matrix} right. \ left{ begin{matrix} \ x in ( – 3;0,5rbrack \ – x > 1 \ \ end{matrix} right. \ left{ begin{matrix} \ x in (0,5; + infty) \ 3x > 3 \ \ end{matrix} right. \ \ end{matrix} right. rightarrow leftlbrack begin{matrix} \ left{ begin{matrix} \ x in ( – infty; – 3rbrack \ x < frac{7}{3} \ \ end{matrix} right. \ left{ begin{matrix} \ x in ( – 3;0,5rbrack \ x < – 1 \ \ end{matrix} right. \ left{ begin{matrix} \ x in (0,5; + infty) \ x > 1 \ \ end{matrix} right. \ \ end{matrix} right. )

  1. Объединим полученные результаты:

(leftlbrack begin{matrix} \ x in ( – infty; – 3rbrack \ x in ( – 3; – 1) rightarrow x in ( – infty; – 1) cup (1; + infty) \ x in (1; + infty) \ \ end{matrix} right. ).

Возведение в квадрат

Неравенства вида (left| fleft( x right) right| < left| gleft( x right) right|) решают возведением в квадрат обеих частей.

Пример.

(left| x + 3 right| < left| x – 1 right|)

(left( x + 3 right)^{2} < left( x – 1 right)^{2})

(x^{2} + 6x + 9 < x^{2} – 2x + 1)

(6x + 2x < 1 – 9)

(8x > – 8)

(x > – 1)

Добавить комментарий