|
Как найти модуль перемещения тела (формула)?
Общая формула для всех видов движения по которой можно найти модуль перемещения выглядит так. s = x-x0, где х0 – начальная координата, х – координата через промежуток времени, за которое совершено перемещение. Для более простых видов перемещения есть частные формулы. Для равномерного прямолинейного движения x = x0 + vt, где м – скорость тела. Для равноускоренного прямолинейного движения x = x0 + v0t + (a t^2)/2. система выбрала этот ответ лучшим
Zolotynka 6 месяцев назад Прежде чем писать/запоминать формулу, давайте разберемся, что представляет собой само понятие перемещения тела – это разница между двумя положениями объекта. Далее: это векторная величина, потому что у нее также есть направление – от начальной позиции к финальной. Формула перемещения выглядит следующим образом: Sx = x – x0. __ Перемещение не обязательно всегда положительно, оно также может быть нулевым или отрицательным. Знаете ответ? |
Как найти модуль вектора перемещения
В кинематике для нахождения различных величин используются математические методы. В частности, чтобы найти модуль вектора перемещения, нужно применить формулу из векторной алгебры. В ней фигурируют координаты точек начала и конца вектора, т.е. первоначального и итогового положения тела.
Инструкция
Во время движения материальное тело меняет свое положение в пространстве. Его траектория может быть прямой линией или произвольной, ее длина составляет путь тела, но не расстояние, на которое оно переместилось. Эти две величины совпадают только в случае прямолинейного движения.
Итак, пусть тело совершило некоторое перемещение из точки А (х0, у0) в точку В (х, у). Чтобы найти модуль вектора перемещения, нужно вычислить длину вектора АВ. Начертите координатные оси и нанесите на них известные точки начального и конечного положения тела А и В.
Проведите отрезок из точки А в точку В, укажите направление. Опустите проекции его концов на оси и нанесите на графике параллельные и равные им отрезки, проходящие через рассматриваемые точки. Вы увидите, что на рисунке обозначился прямоугольный треугольник с катетами-проекциями и гипотенузой-перемещением.
По теореме Пифагора найдите длину гипотенузы. Этот метод широко применяется в векторной алгебре и носит название правила треугольника. Для начала запишите длины катетов, они равны разностям между соответствующими абсциссами и ординатами точек А и В:
ABx = x – x0 – проекция вектора на ось Ох;
ABy = y – y0 – его проекция на ось Оу.
Определите перемещение |AB|:
|AB| = √(ABx² + ABy²) = ((x – x0)² + (y – y0)²).
Для трехмерного пространства добавьте в формулу третью координату – аппликату z:
|AB| = √(ABx² + ABy² + ABz²) = ((x – x0)² + (y – y0)² + (z – z0)²).
Полученную формулу можно применять для любой траектории и типа движения. При этом величина перемещения обладает важным свойством. Она всегда меньше либо равна длине пути, в общем случае ее линия не совпадает с кривой траектории. Проекции – величины математические, могут быть как больше, так и меньше нуля. Однако это не имеет значения, поскольку в расчете они участвуют в четной степени.
Источники:
- модуль перемещения
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Траектория (от позднелатинского trajectories – относящийся к перемещению) – это линия, по которой движется тело (материальная точка). Траектория движения может быть прямой (тело перемещается в одном направлении) и криволинейной, то есть механическое движение может быть прямолинейным и криволинейным.
Траектория прямолинейного движения в данной системе координат – это прямая линия. Например, можно считать, что траектория движения автомобиля по ровной дороге без поворотов является прямолинейной.
Криволинейное движение – это движение тел по окружности, эллипсу, параболе или гиперболе. Пример криволинейного движения – движение точки на колесе движущегося автомобиля или движение автомобиля в повороте.
Движение может быть сложным. Например, траектория движения тела в начале пути может быть прямолинейной, затем криволинейной. Например, автомобиль в начале пути движется по прямой дороге, а затем дорога начинает «петлять» и автомобиль начинает криволинейное движение.
Путь
Путь – это длина траектории. Путь является скалярной величиной и в международной системе единиц СИ измеряется в метрах (м). Расчёт пути выполняется во многих задачах по физике. Некоторые примеры будут рассмотрены далее в этом учебнике.
Вектор перемещения
Вектор перемещения (или просто перемещение) – это направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением (рис. 1.1). Перемещение – величина векторная. Вектор перемещения направлен от начальной точки движения к конечной.
Модуль вектора перемещения (то есть длина отрезка, который соединяет начальную и конечную точки движения) может быть равен пройденному пути или быть меньше пройденного пути. Но никогда модуль вектора перемещения не может быть больше пройденного пути.
Модуль вектора перемещения равен пройденному пути, когда путь совпадает с траекторией (см. разделы Траектория и Путь), например, если из точки А в точку Б автомобиль перемещается по прямой дороге. Модуль вектора перемещения меньше пройденного пути, когда материальная точка движется по криволинейной траектории (рис. 1.1).
Рис. 1.1. Вектор перемещения и пройденный путь.
На рис. 1.1:
Ещё пример. Если автомобиль проедет по кругу один раз, то получится, что точка начала движения совпадёт с точкой конца движения и тогда вектор перемещения будет равен нулю, а пройденный путь будет равен длине окружности. Таким образом, путь и перемещение – это два разных понятия.
Правило сложения векторов
Векторы перемещений складываются геометрически по правилу сложения векторов (правило треугольника или правило параллелограмма, см. рис. 1.2).
Рис. 1.2. Сложение векторов перемещений.
На рис 1.2 показаны правила сложения векторов S1 и S2:
а) Сложение по правилу треугольника
б) Сложение по правилу параллелограмма
Проекции вектора перемещения
При решении задач по физике часто используют проекции вектора перемещения на координатные оси. Проекции вектора перемещения на координатные оси могут быть выражены через разности координат его конца и начала. Например, если материальная точка переместилась из точки А в точку В, то при этом вектор перемещения 
(см.рис. 1.3).
Выберем ось ОХ так, чтобы вектор 
лежал с этой осью в одной плоскости. Опустим перпендикуляры из точек А и В (из начальной и конечной точек вектора перемещения) до пересечения с осью ОХ. Таким образом мы получим проекции точек А и В на ось Х. Обозначим проекции точек А и В соответственно Аx и Вx. Длина отрезка АxВx на оси ОХ – это и есть проекция вектора перемещения на ось ОХ, то есть
Sx = AxBx
ВАЖНО!
Напоминаю для тех, кто не очень хорошо знает математику: не путайте вектор с проекцией вектора на какую-либо ось (например, Sx). Вектор всегда обозначается буквой или несколькими буквами, над которыми находится стрелка. В некоторых электронных документах стрелку не ставят, так как это может вызвать затруднения при создании электронного документа. В таких случаях ориентируйтесь на содержание статьи, где рядом с буквой может быть написано слово «вектор» или каким-либо другим способом вам указывают на то, что это именно вектор, а не просто отрезок.
Рис. 1.3. Проекция вектора перемещения.
Проекция вектора перемещения на ось ОХ равна разности координат конца и начала вектора, то есть
Sx = x – x0
Аналогично определяются и записываются проекции вектора перемещения на оси OY и OZ:
Sy = y – y0 Sz = z – z0
Здесь x0, y0, z0 — начальные координаты, или координаты начального положения тела (материальной точки); x, y, z — конечные координаты, или координаты последующего положения тела (материальной точки).
Проекция вектора перемещения считается положительной, если направление вектора и направление координатной оси совпадают (как на рис 1.3). Если направление вектора и направление координатной оси не совпадают (противоположны), то проекция вектора отрицательна (рис. 1.4).
Если вектор перемещения параллелен оси, то модуль его проекции равен модулю самого Вектора. Если вектор перемещения перпендикулярен оси, то модуль его проекции равен нулю (рис. 1.4).
Рис. 1.4. Модули проекции вектора перемещения.
Разность между последующим и начальным значениями какой-нибудь величины называется изменением этой величины. То есть проекция вектора перемещения на координатную ось равна изменению соответствующей координаты. Например, для случая, когда тело перемещается перпендикулярно оси Х (рис. 1.4) получается, что относительно оси Х тело НЕ ПЕРЕМЕЩАЕТСЯ. То есть перемещение тела по оси Х равно нулю.
Рассмотрим пример движения тела на плоскости. Начальное положение тела – точка А с координатами х0 и у0, то есть А(х0, у0). Конечное положение тела – точка В с координатами х и у, то есть В(х, у). Найдём модуль перемещения тела.
Из точек А и В опустим перпендикуляры на оси координат ОХ и OY (рис. 1.5).
Рис. 1.5. Движение тела на плоскости.
Определим проекции вектора перемещения на осях ОХ и OY:
Sx = x – x0 Sy = y – y0
На рис. 1.5 видно, что треугольник АВС – прямоугольный. Из этого следует, что при решении задачи может использоваться теорема Пифагора, с помощью которой можно найти модуль вектора перемещения, так как
АС = sx CB = sy
По теореме Пифагора
S2 = Sx2 + Sy2
Откуда можно найти модуль вектора перемещения, то есть длину пути тела из точки А в точку В:
Ну и напоследок предлагаю вам закрепить полученные знания и рассчитать несколько примеров на ваше усмотрение. Для этого введите какие-либо цифры в поля координат и нажмите кнопку РАССЧИТАТЬ. Ваш браузер должен поддерживать выполнение сценариев (скриптов) JavaScript и выполнение сценариев должно быть разрешено в настройках вашего браузера, иначе расчет не будет выполнен. В вещественных числах целая и дробная части должны разделяться точкой, например, 10.5.
Как найти модуль вектора перемещения
Содержание
- Вектор перемещения
- Правило сложения векторов
- Проекции вектора перемещения
- Физика А.В. Перышкин
Скорость (v) — физическая величина, численно равна пути (s), пройденного телом за единицу времени (t).
Путь (S) — длина траектории, по которой двигалось тело, численно равен произведению скорости (v) тела на время (t) движения.
Время движения (t) равно отношению пути (S), пройденного телом, к скорости (v) движения.
Средняя скорость (vср) равна отношению суммы участков пути (s1 s2, s3, . ), пройденного телом, к промежутку времени (t1+ t2+ t3+ . ), за который этот путь пройден.
Средняя скорость — это отношение длины пути, пройденного телом, ко времени, за которое этот путь был пройден.
Средняя скорость при неравномерном движении по прямой: 
это отношение всего пути ко всему времени.
Два последовательных этапа с разными скоростями: 
где 
При решении задач — сколько этапов движения столько будет составляющих: 
Проекция вектора перемещения на ось ОХ:
Проекция вектора перемещения на ось OY:
Проекция вектора на ось равна нулю, если вектор перпендикулярен оси.
Знаки проекций перемещения: проекцию считают положительной, если движение от проекции начала вектора к проекции конца происходит по направлению оси, и отрицательной, если против оси. В данном примере 
Модуль перемещения — это длина вектора перемещения:
По теореме Пифагора:
Проекции перемещения и угол наклона
В данном примере:
Уравнение координаты (в общем виде):
Радиус-вектор — вектор, начало которого совпадает с началом координат, а конец — с положением тела в данный момент времени. Проекции радиус-вектора на оси координат определяют координаты тела в данный момент времени.
Радиус-вектор позволяет задать положение материальной точки в заданной системе отсчета:
Равномерное прямолинейное движение — движение, при котором тело за любые равные промежутки времени, совершает равные перемещения.
Скорость при равномерном прямолинейном движении. Скорость 
— векторная физическая величина, которая показывает, какое перемещение совершает тело за единицу времени.
В векторном виде:
В проекциях на ось ОХ:
Дополнительные единицы измерения скорости:
1 км/ч = 1000 м/3600 с,
Измерительный прибор — спидометр — показывает модуль скорости.
Знак проекции скорости зависит от направления вектора скорости и оси координат:
График проекции скорости представляет собой зависиость проекции скорости от времени:
График скорости при равномерном прямолинейном движении — прямая, параллельная оси времени (1, 2, 3).
Если график лежит над осью времени (.1), то тело движется по направлению оси ОХ. Если график расположен под осью времени, то тело движется против оси ОХ (2, 3).
Чем дальше график от оси времени, тем больше модуль скорости (3).
Геометрический смысл перемещения.
При равномерном прямолинейном движении перемещение определяют по формуле 
. Такой же результат получим, если вычислим площадь фигуры под графиком скорости в осях 
. Значит, для определения пути и модуля перемещения при прямолинейном движении необходимо вычислять площадь фигуры под графиком скорости в осях 
:
График проекции перемещения — зависимость проекции перемещения от времени.
График проекции перемещения при равномерном прямолинейном движении — прямая, выходящая из начала координат (1, 2, 3).
Если прямая (1) лежит над осью времени, то тело движется по направлению оси ОХ, а если под осью (2, 3), то против оси ОХ.
Чем больше тангенс утла наклона (1) графика, тем больше модуль скорости.
График координаты — зависимость координаты тела от времени:
График координаты при равномерном прямолинейном движении — прямые (1, 2, 3).
Если с течением времени координата увеличивается (1, 2), то тело движется по направлению оси ОХ; если координата уменьшается (3), то тело движется против направления оси ОХ.
Чем больше тангенс угла наклона (1), тем больше модуль скорости.
Если графики координат двух тел пересекаются, то из точки пересечения следует опустить перпендикуляры на ось времени и ось координат.
Под относительностью мы понимаем зависимость чего-либо от выбора системы отсчета. Например, покой относителен; движение относительно и положение тела относительно.
Правило сложения перемещений. Векторная сумма перемещений
где 
— перемещение тела относительно подвижной системы отсчета (ПСО); 
— перемещение ПСО относительно неподвижной системы отсчета (НСО); 
— перемещение тела относительно неподвижной системы отсчета (НСО).
Векторное сложение: 
Сложение векторов, направленных вдоль одной прямой:
Сложение векторов, перпендикулярных друг другу 
По теореме Пифагора 
Сложение векторов, расположенных под углом 
друг к другу
Правило сложения скоростей. Векторная сумма скоростей:
где 
— скорость тела относительно подвижной системы отсчета (ПСО); 
— скорость ПСО относительно неподвижной системы отсчета (НСО); 
— скорость тела относительно неподвижной системы отсчета (НСО).
Относительная скорость. Векторная разность скоростей:
где 
— скорость первого тела относительно второго (относительная скорость); 
— скорость первого тела; 
— скорость второго тела.
Вычитание векторов, направленных по одной прямой:
Вычитание векторов перпендикулярных друг другу 
Вычитание векторов, расположенных под углом 
друг к другу:
Траектория (от позднелатинского trajectories – относящийся к перемещению) – это линия, по которой движется тело (материальная точка). Траектория движения может быть прямой (тело перемещается в одном направлении) и криволинейной, то есть механическое движение может быть прямолинейным и криволинейным.
Траектория прямолинейного движения в данной системе координат – это прямая линия. Например, можно считать, что траектория движения автомобиля по ровной дороге без поворотов является прямолинейной.
Криволинейное движение – это движение тел по окружности, эллипсу, параболе или гиперболе. Пример криволинейного движения – движение точки на колесе движущегося автомобиля или движение автомобиля в повороте.
Движение может быть сложным. Например, траектория движения тела в начале пути может быть прямолинейной, затем криволинейной. Например, автомобиль в начале пути движется по прямой дороге, а затем дорога начинает «петлять» и автомобиль начинает криволинейное движение.
Путь – это длина траектории. Путь является скалярной величиной и в международной системе единиц СИ измеряется в метрах (м). Расчёт пути выполняется во многих задачах по физике. Некоторые примеры будут рассмотрены далее в этом учебнике.
Вектор перемещения
Вектор перемещения (или просто перемещение) – это направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением (рис. 1.1). Перемещение – величина векторная. Вектор перемещения направлен от начальной точки движения к конечной.
Модуль вектора перемещения (то есть длина отрезка, который соединяет начальную и конечную точки движения) может быть равен пройденному пути или быть меньше пройденного пути. Но никогда модуль вектора перемещения не может быть больше пройденного пути.
Модуль вектора перемещения равен пройденному пути, когда путь совпадает с траекторией (см. разделы Траектория и Путь), например, если из точки А в точку Б автомобиль перемещается по прямой дороге. Модуль вектора перемещения меньше пройденного пути, когда материальная точка движется по криволинейной траектории (рис. 1.1).
Рис. 1.1. Вектор перемещения и пройденный путь.
Ещё пример. Если автомобиль проедет по кругу один раз, то получится, что точка начала движения совпадёт с точкой конца движения и тогда вектор перемещения будет равен нулю, а пройденный путь будет равен длине окружности. Таким образом, путь и перемещение – это два разных понятия.
Правило сложения векторов
Векторы перемещений складываются геометрически по правилу сложения векторов (правило треугольника или правило параллелограмма, см. рис. 1.2).
Рис. 1.2. Сложение векторов перемещений.
На рис 1.2 показаны правила сложения векторов S1 и S2:
а) Сложение по правилу треугольника
б) Сложение по правилу параллелограмма
Проекции вектора перемещения
При решении задач по физике часто используют проекции вектора перемещения на координатные оси. Проекции вектора перемещения на координатные оси могут быть выражены через разности координат его конца и начала. Например, если материальная точка переместилась из точки А в точку В, то при этом вектор перемещения 
(см.рис. 1.3).
Выберем ось ОХ так, чтобы вектор лежал с этой осью в одной плоскости. Опустим перпендикуляры из точек А и В (из начальной и конечной точек вектора перемещения) до пересечения с осью ОХ. Таким образом мы получим проекции точек А и В на ось Х. Обозначим проекции точек А и В соответственно Аx и Вx. Длина отрезка АxВx на оси ОХ – это и есть проекция вектора перемещения на ось ОХ, то есть
Рис. 1.3. Проекция вектора перемещения.
Проекция вектора перемещения на ось ОХ равна разности координат конца и начала вектора, то есть
Аналогично определяются и записываются проекции вектора перемещения на оси OY и OZ:
Здесь x, y, z — начальные координаты, или координаты начального положения тела (материальной точки); x, y, z — конечные координаты, или координаты последующего положения тела (материальной точки).
Проекция вектора перемещения считается положительной, если направление вектора и направление координатной оси совпадают (как на рис 1.3). Если направление вектора и направление координатной оси не совпадают (противоположны), то проекция вектора отрицательна (рис. 1.4).
Если вектор перемещения параллелен оси, то модуль его проекции равен модулю самого Вектора. Если вектор перемещения перпендикулярен оси, то модуль его проекции равен нулю (рис. 1.4).
Рис. 1.4. Модули проекции вектора перемещения.
Разность между последующим и начальным значениями какой-нибудь величины называется изменением этой величины. То есть проекция вектора перемещения на координатную ось равна изменению соответствующей координаты. Например, для случая, когда тело перемещается перпендикулярно оси Х (рис. 1.4) получается, что относительно оси Х тело НЕ ПЕРЕМЕЩАЕТСЯ. То есть перемещение тела по оси Х равно нулю.
Рассмотрим пример движения тела на плоскости. Начальное положение тела – точка А с координатами х и у, то есть А(х, у). Конечное положение тела – точка В с координатами х и у, то есть В(х, у). Найдём модуль перемещения тела.
Из точек А и В опустим перпендикуляры на оси координат ОХ и OY (рис. 1.5).
Рис. 1.5. Движение тела на плоскости.
Определим проекции вектора перемещения на осях ОХ и OY:
На рис. 1.5 видно, что треугольник АВС – прямоугольный. Из этого следует, что при решении задачи может использоваться теорема Пифагора, с помощью которой можно найти модуль вектора перемещения, так как
По теореме Пифагора
Откуда можно найти модуль вектора перемещения, то есть длину пути тела из точки А в точку В:
Ну и напоследок предлагаю вам закрепить полученные знания и рассчитать несколько примеров на ваше усмотрение. Для этого введите какие-либо цифры в поля координат и нажмите кнопку РАССЧИТАТЬ. Ваш браузер должен поддерживать выполнение сценариев (скриптов) JavaScript и выполнение сценариев должно быть разрешено в настройках вашего браузера, иначе расчет не будет выполнен. В вещественных числах целая и дробная части должны разделяться точкой, например, 10.5.
Физика А.В. Перышкин
1.Что называется скоростью равномерного прямолинейного движения?
2. Как найти проекцию вектора перемещения тела, движущегося прямолинейно и равномерно, если известны проекция вектора скорости и время движения?
3. При каком условии модуль вектора перемещения, совершённого телом за некоторый промежуток времени, равен пути, пройденному телом за тот же промежуток времени?
4. Какую информацию о движении двух тел можно получить по графикам, изображённым на рисунке 7?
Скорость равномерного прямолинейного движения прямо пропорциональна перемещению тела и обратно пропорциональна значению времени этого перемещения.
v→=s→t.
Можно выразить перемещение из этой формулы, умножив обе части на значение времени: s→=v→⋅t.
О направлении векторов этих величин относительно друг друга можно судить, в частности, по уравнениям, записанным в векторной форме.
Проекция перемещения на ось (OX) рассчитывается по формуле
sx=vxt
, где (upsilon_x) — проекция скорости на ось (OX) принимает положительное значение, если направление перемещения совпадает с направлением оси (OX); принимает отрицательное значение, если перемещение противоположно направлено относительно оси (OX).
Если при решении задач направление движения не влияет на смысл условия и ход решения задачи, то направление векторных величин можно не учитывать. Тогда говорят о модулях величин, то есть их размере без учёта направления: (|vec{s}|=|vec{upsilon}|cdot t) можно заменить на s=vt.
При прямолинейном равномерном движении модуль перемещения равен пройденному пути: (|vec{s}|=s), если направление скорости совпадает с направлением вектора перемещения.
На рисунке представлена зависимость (v(t)) для равномерного движения.
Формула для расчета модуля перемещения: s=v1⋅t1.
Однако произведение v1⋅t1, т.е. скорости на промежуток времени, численно равно площади (S) закрашенной фигуры (в данном случае прямоугольника).
Это наблюдение позволяет сделать вывод; что при прямолинейном равномерном движении модуль перемещения численно равен площади прямоугольника, которые образуется между графиком скорости и осью времени. При этом необходимо учитывать моменты времени: начало наблюдения за объектом и конец наблюдения. В данном случае начало наблюдения соответствует точке (O,) а конец наблюдения — точке t1.
Можно говорить о равенстве пройденного пути и площади под графиком скорости.
