Как найти модуль перемещения по графику скорости - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Вычисление перемещения по графику проекции скорости

Из кодификатора по физике, 2020.
«1.1.3. Вычисление перемещения по графику зависимости υ(t).»

Теория

Пусть задан график зависимости проекции скорости ${ v }_{ x }$ от времени t (рис. 1).

Проекция перемещении тела ${ s }_{ x }$ за промежуток времени от ${ t }_{ 1 }$ до ${ t }_{ 2 }$ численно равна по величине площади фигуры, ограниченной графиком ${ v }_{ x }(t)$ , осью времени 0t и перпендикулярами к ${ t }_{ 1 }$ и ${ t }_{ 2 }$ (см. рис. 1, площадь выделена штриховкой).

Проекцию перемещения на ось 0Х будем считать:

— положительной, если проекция скорости на данную ось будет положительной (тело движется по направлению оси) (см. рис. 1);

— отрицательной, если проекция скорости на данную ось будет отрицательной (тело движется против оси) (рис. 2).

Путь s может быть только положительным:

Напоминаем формулы для расчета площадей фигур:

— прямоугольника –

— треугольника – $S=frac { acdot h }{ 2 }$

— трапеции – $S=frac { a+b }{ 2 } cdot h$

Задачи

Задача 1. По графику проекции скорости тела (рис. 3) определите проекцию его перемещения между 1 и 5 с.

Ответ: ____ м.

Решение. Проекция перемещения за промежуток времени Δt= ${ t }_{ 2 }$ – ${ t }_{ 1 }$ =5с–1с=4c численно равна площади фигуры, ограниченной графиком ${ v }_{ x }(t)$ , осью времени 0t и перпендикулярами к ${ t }_{ 1 }=1$ с и ${ t }_{ 2 }=5$ с (рис. 4, площадь выделена штриховкой). Фигура ABCD — это трапеция, ее площадь равна

$S=frac { a+b }{ 2 } cdot h=frac { AD+BC }{ 2 } cdot DC$

где DC = Δt = 4 c, AD = 3 м/c, BC = 5 м/c. Тогда S = 16 м.
Проекция перемещения ${ s }_{ x }>0$ , т.к. проекция скорости ${ v }_{ x }>0$ .
${ s }_{ x }=S=16$ м.

Ответ: 16.

Задача 2. Автомобиль движется по прямой улице вдоль оси X. На рисунке 5 представлен график зависимости проекции скорости автомобиля от времени. Определите путь, пройденный автомобилем в течение указанных интервалов времени.

Интервал времени	Путь
от 0 до 10 с	Ответ: м.
от 30 до 40 с	Ответ: м.

В бланк ответов перенесите только числа, не разделяя их пробелом или другим знаком.

Решение. Путь за промежуток времени Δt = ${ t }_{ 2 }$ – ${ t }_{ 1 }$ численно равна площади фигуры, ограниченной графиком ${ v }_{ x }(t),$ осью времени 0t и перпендикулярами к ${ t }_{ 1 }$ и ${ t }_{ 2 }$ .

На интервале [0 с, 10 с] ищем площадь треугольника (рис. 6).

${ S }_{ 1 }=frac { acdot h }{ 2 }$ ,

где a = 20 м/c, $h=triangle { t }_{ 1 }=10c-0c=10c$ . Тогда ${ S }_{ 1 }=100$ м.

Путь равен значению площади (путь всегда положительный, т.е. s > 0).

${ s }_{ 1 }={ S }_{ 1 }=100$ м.

На интервале [30 с, 40 с] ищем площадь трапеции (см. рис. 6).

${ S }_{ 2 }=frac { a+b }{ 2 } cdot h$ ,

где a = 10 м/c, b = 15 м/c, h = Δt = 40 c – 30 с = 10 с. Тогда ${ s }_{ 2 }={ S }_{ 2 }=125$ м.

Ответ: 100125.

Задача 3. Определите за первые 4 с (рис. 7):

а) проекцию перемещения тела;

б) пройденный путь.

Ответ: а) ____ м; б) ____ м.

Решение. Проекция перемещения за время $triangle t={ t }_{ 2 }-{ t }_{ 1 }=4c-0=4c$ (пер-вые 4 с) численно равна площади фигуры, ограниченной графиком ${ v }_{ x }(t)$ , осью времени 0t и перпендикулярами к ${ t }_{ 1 }=0$ с и ${ t }_{ 2 }=4$ с (рис. 8, площадь выделена штриховкой).

Так как при ${ t }_{ 0 }=3$ с проекция скорости поменяла знак, то получили две фигуры, два треугольника, площади которых равны:

${ S }_{ 1 }=frac { { a }_{ 1 }cdot { h }_{ 1 } }{ 2 } ,quad { S }_{ 2 }=frac { { a }_{ 2 }cdot { h }_{ 2 } }{ 2 }$ ,

где

${ a }_{ 1 }=30quad$ м/с, $quad { h }_{ 1 }=triangle { t }_{ 1 }=3c-0c=3c$

${ a }_{ 2 }$ =|-10 м/c|=10 м/c, $quad { h }_{ 2 }=triangle { t }_{ 2 }=4c-3c=1c$ .

Тогда ${ S }_{ 1 }=45$ м, $quad { S }_{ 2 }=5$ м.

а) Проекция перемещения ${ s }_{ 1x }>0$ , т.к. проекция скорости ${ v }_{ 1x }>0$ ; проекция перемещения ${ s }_{ 2x }<0$ , т.к. проекция скорости ${ v }_{ 2x }<0$ . В итоге получаем: ${ s }_{ x }={ s }_{ 1x }+{ s }_{ 2x }={ S }_{ 1 }-{ S }_{ 2 },quad { s }_{ 1x }=$ 45м – 5м = 40 м. б) Путь равен значению площади (путь всегда положительный, т.е. s>0).

$s={ S }_{ 1 }+{ S }_{ 2 }$ , s = 45 м + 5 м = 50 м.

Ответ: а) 40; б) 50.

Задача 4. График зависимости проекции скорости материальной точки, движущейся вдоль оси 0Х, от времени изображен на рисунке 9. Определите перемещение точки, которое она совершила за первые 6 с.

Ответ: ____ м.

Решение. Проекция перемещения за время $triangle t={ t }_{ 2 }-{ t }_{ 1 }=6c-0=6c$ (пер-вые 6 с) численно равна площади фигуры, ограниченной графиком ${ v }_{ x }(t)$ , осью времени 0t и перпендикулярами к ${ t }_{ 1 }=0 c$ и ${ t }_{ 2 }=6 c$ (рис. 10, площадь выделена штриховкой).

Так как при ${ t }_{ 01 }=2c$ и ${ t }_{ 02 }=4c$ проекция скорости меняет знак, то получили три фигуры, три треугольника, площади которых равны:

${ S }_{ 1 }=frac { { a }_{ 1 }cdot { h }_{ 1 } }{ 2 } ,quad { S }_{ 2 }=frac { { a }_{ 2 }cdot { h }_{ 2 } }{ 2 } ,quad { S }_{ 3 }=frac { { a }_{ 3 }cdot { h }_{ 3 } }{ 2 } ,$

где

${ a }_{ 1 }=3$ м/с, $h_{ 1 }=triangle { t }_{ 1 }=2c-0c=2c$

${ a }_{ 2 }=$ |-2 м/c| = 2 м/с, $h_{ 2 }=triangle { t }_{ 2 }=4c-2c=2c$

${ a }_{ 2 }=$ 3м/c, $h_{ 3 }=triangle { t }_{ 3 }=6c-4c=2c$ .

Тогда ${ S }_{ 1 }=3$ м, ${ S }_{ 2 }=2$ м, ${ S }_{ 3 }=3$ м.

Проекция перемещения ${ s }_{ 1x }>0$ , т.к. проекция скорости ${ v }_{ 1x }>0$ .

Проекция перемещения ${ s }_{ 2x }<0$ , т.к. проекция скорости ${ v }_{ 2x }<0$ . Проекция перемещения ${ s }_{ 3x }>0$ , т.к. проекция скорости ${ v }_{ 3x }>0$ . В итоге получаем:

${ s }_{ x }={ s }_{ 1x }+{ s }_{ 2x }+{ s }_{ 3x }={ S }_{ 1 }-{ S }_{ 2 }+{ S }_{ 3 },quad { s }_{ x }=$ 3 м – 2 м + 3 м = 4 м.

Ответ: 4.

Задача 5. На рисунке приведен график зависимости v_x скорости тела от времени .

Определите путь, пройденный телом в интервале времени от 0 до 5 с.

Ответ: ____ м.

Решение. Решение любых графических задач основывается на умении «читать» графики. В данной задаче рассматривается зависимость проекции скорости тела от времени. На интервале от 0 до 3с проекция скорости уменьшается от значения 15 м/с до 0. На интервале от 3 до 5с модуль проекции начинает возрастать от нулевого значения до 10 м/с. Причем важно «увидеть», что тело в этом временном интервале начинает движение в направлении, противоположном оси ОХ.

Пройденный путь будет определяться площадью геометрической фигуры, образованной под графиком проекции скорости.

Рис.1

Дальнейшее решение задачи сводится к нахождению площадей двух треугольников, заштрихованных на рис.1

$S_1=frac{15cdot 3}{2}=22,5$ (м).

$S_2=frac{10cdot 2}{2}=10$ (м).

Тогда, общий путь в интервале времени от 0 до 5с будет определяться суммой отдельных путей S_1 и S_2 .

(м).
Ответ: 32,5 м

По условию этой задачи можно поставить второй вопрос: найти проекцию перемещения в интервале времени от 0 до 5с.

В этом случае надо учесть, что проекция перемещения в интервале времени от 0 до 3 с положительная и её значение равно пройденному пути на этом интервале.

$S_{1x}=S_1=22,5$ (м).

В интервале времени от 3 с до 5 с проекция перемещения отрицательная, так как тело движется в направлении противоположном оси ОХ.

$S_{2x}=-10$ (м).

Проекция перемещения за весь интервал времени будет равна $S_{o.x}=S_{1x}+S_{2x}$
$S_{o.x}=22,5+(-10)=12,5$ (м).

Ответ: 12,5 м

Задача 6. На рисунке представлен график зависимости модуля скорости v прямолинейно движущегося тела от времени t. Определите по графику путь, пройденный телом в интервале времени от 1 до 5 с.

Ответ: ____ м.

Решение. Для нахождения пройденного пути в интервале времени от 1с до 5с необходимо рассчитать площадь геометрической фигуры под графиком модуля скорости.

Рис.1

Дальнейшее решение сводится к расчету площади трапеции, заштрихованной на графике (см. рис.1).

$S=frac{4+2}{2}cdot 10=30$ (м).

Особенностью подобной задачи является то, что при решении, необходимо внимательно отследить временной интервал, на котором требуется рассчитать пройденный путь.
Ответ: 30 м.

Задача 7. Из двух городов навстречу друг другу с постоянной скоростью двиижутся два автомобиля. На графике показана зависимость расстояния между автомобилями от времени. Скорость первого автомобиля равна 15 м/с. Какова скорость второго автомобиля?

Ответ: ____ м.

Решение. При движении навстречу друг к другу расстояние между двумя автомобилями уменьшается от значения 144 км до 0. На графике видно, что встреча автомобилей произошла в момент времени 60 минут, так как расстояние между автомобилями стало равным 0. Расчеты в этой задаче требуют обязательного применения системы «СИ».

144 км = 144000 м; 60 мин = 3600 с.
Используя эти данные, можно рассчитать скорость сближения автомобилей.

$v=frac{144000}{3600}=40$ м/с

Так как автомобили движутся навстречу друг другу, то отсюда скорость второго автомобиля можно выразить как

(м/с)

Ответ: 25 м/с.

Задача 8. На рисунке представлен график зависимости модуля скорости тела от времени. Найдите путь, пройденный телом за время от момента времени 0 с до момента времени 5 с. (Ответ дайте в метрах.)

Ответ: ____ м.

Решение. Для нахождения пройденного пути необходимо рассчитать площадь геометрической фигуры (трапеции) под графиком модуля скорости (см.рис.1). Это относится к интервалу времени от 0 до 3 с. От 3 с до 5 с скорость тела равна 0, следовательно, тело находилось в состоянии покоя и пройденный путь в этом интервале равен 0.

Рис.1

$S_1=frac{3+1}{2}cdot 10=20$ (м).
S_2=0
(м).

Сакович А.Л., 2020

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Вычисление перемещения по графику проекции скорости» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Физическую задачу в кинематике можно решить несколькими способами:

аналитический — решение задачи основано на формулах (физических законах), которые связывают искомую величину и данные в условии задачи;
графический — решение задачи осуществляется с помощью графика.

Основные закономерности графического способа решения задач по кинематике

1.1. График зависимости модуля скорости (v(t)) равномерного движения от времени — прямая линия, параллельная оси (OX) (рис. (1)).

Рис. (1). График модуля скорости равномерного движения

Если изображается зависимость проекции скорости от времени (v_x(t)), то возможны следующие варианты интерпретации:

а) график расположен над осью времени — тело движется в положительном направлении оси (OX);

б) график расположен под осью времени — тело движется в отрицательном направлении оси (OX).

1.2. Модуль перемещения (или пройденный путь при одномерном прямолинейном движении) на графике (v(t)) в момент времени (t_1) будет равен площади фигуры (прямоугольника) под графиком модуля скорости (рис. (2)).

Рис. (2). Определение модуля перемещения по графику скорости

2.1. График модуля перемещения (s(t)) для равномерного движения (рис. (3)) — прямая под углом ({alpha}) к оси времени:

Рис. (3). График модуля перемещения

Если изображается зависимость проекции перемещения от времени (s_x(t)), то возможны следующие варианты интерпретации:

а) график расположен над осью времени — тело движется в положительном направлении оси (OX);

б) график расположен под осью времени — тело движется в отрицательном направлении оси (OX).

2.2. Модуль скорости равномерного движения на графике модуля перемещения (s(t)) равен тангенсу угла (tgalpha) наклона прямой на графике (рис. (4)).

Рис. (4). Определение модуля скорости по графику модуля перемещения

Решение задачи аналитическим и графическим способами

Два катера, между которыми расстояние (30) м, равномерно движутся навстречу друг другу со значениями модулей скоростей υ1 (=) (2) м/с и υ2 (=) (4) м/c. Определи время встречи катеров. Какой путь успеет пройти первый катер до встречи?

Дано:

начальная координата первого катера —

x01

(=) (0) м, а второго —

x02

(=) (30) м.

Вектор скорости первого катера (vec{v_1}) сонаправлен оси (OX), его проекция будет положительна ({v_1}_x > 0), а вектор скорости второго катера (vec{v_2}) направлен противоположно оси (OX), поэтому его проекция будет отрицательна: ({v_2}_x < 0) (рис. (5)).

Рис. (5). Задача

Аналитический способ решения

1. Запишем уравнения движения тел, исходя из формулы (x(t) = x_0 + v_x(t – t_0)).

2. В момент встречи (t_{встр}) тела будут иметь одинаковую координату (x_1 = x_2):

2tвстр=30−4tвстр;6tвстр=30;[tвстр]=мм/с=c;tвстр=306=5c.

— расчёт времени встречи катеров.

3. Для ответа на второй вопрос воспользуемся следующей формулой:

L=υ1⋅tвстр;[L]=мc⋅c=м;L=2⋅5=10м.

— расчёт пути, пройденного первым катером до момента встречи (t_{встр}).

Графический способ решения

1. Запишем для первого катера уравнение движения:

x1=0+2t=2t

2. Заполним таблицу значений (x(t)) для построения графика движения первого катера.

(x), м	(0)	(2)	(4)
(t), с	(0)	(1)	(2)

3. Запишем для второго катера уравнение движения:

x2=30−4t

4. Заполним таблицу значений (x(t)) для построения графика движения второго катера.

(x), м	(30)	(26)	(22)
(t), с	(0)	(1)	(2)

5. Построим графики движений двух катеров.

Рис. (6). График движения катеров

6. Находим по графику (рис. (6)):

а) время встречи (точка пересечения)

tвстр

(=) (5) c;

б) путь, пройденный первым катером, равен изменению координаты (L) (=) (x(t_{встр})) —

x01

(=) (10) м.

Ответ: (5) с; (10) м.

Источники:

Рис. 1. График модуля скорости равномерного движения. © ЯКласс.

Рис. 2. Определение модуля перемещения по графику скорости. © ЯКласс.

Рис. 3. График модуля перемещения. © ЯКласс.

Рис. 4. Определение модуля скорости по графику модуля перемещения. © ЯКласс.

Рис. 5. Задача. © ЯКласс.

Рис. 6. График движения катеров. © ЯКласс.

Источник

По графику скорости от времени v(t) можно найти перемещение тела. Для этого нужно уметь рассчитывать площади плоских фигур.

По-английски «Square» – значит «площадь». Первая буква этого слова – буква «S». Перемещение обозначают буквой S потому, что S – это площадь фигуры, заключенной между линией скорости и горизонтальной осью времени.

Как вычислить площади плоских фигур

Рис.1. Чтобы рассчитать перемещение по графику v(t) нужно уметь вычислять площади трех плоских фигур

Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника (рис. 1а) можно найти, перемножив две его перпендикулярные стороны:

[ large boxed{ S_{text{прямоуг}} = a cdot b }]

Площадь трапеции

Примечание: Трапеция – это четырехугольник, две его стороны параллельные, а две другие – не параллельные. Параллельные стороны называются основаниями трапеции.

Умножив полусумму оснований трапеции на ее высоту, получим площадь (рис. 1б) трапеции:

[ large boxed{ S_{text{трапец}} = frac{1}{2} (a + b) cdot h }]

Площадь прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника (рис. 1в) площадь можно вычислить, перемножив два его катета и взяв половину от получившегося произведения:

[ large boxed{ S_{text{треуг}} = frac{1}{2} cdot a cdot b }]

Скорость не меняется

Пусть тело движется по прямой и при этом его скорость не изменяется (остается одной и той же). На языке математики «скорость не изменяется» можно записать так:

[v=const]

На графике для скорости v(t) такая скорость обозначается горизонтальной линией. На рисунке 2 эта линия обозначена синим цветом.

Рис.2. Площадь прямоугольника на графике v(t), если скорость тела не изменяется, будет численно равна перемещению тела

Примечание: Движение с постоянной (т. е. с одной и той же) скоростью называют равномерным движением.

Если скорость направлена по оси движения – линия лежит выше оси t времени (рис. 2а).

А когда скорость направлена против оси движения – линия скорости располагается ниже оси t времени (рис. 2б). Математики в таком случае говорят: «Скорость имеет отрицательную проекцию на ось».

Какую бы проекцию не имела скорость – положительную, или отрицательную, длина вектора скорости остается положительной. Поэтому, когда мы вычисляем площадь фигуры, то не учитываем знак «минус» для скорости (рис. 2б).

В обоих случаях перемещение тела можно вычислить по формуле:

[ large S = v_{0} cdot (t_{2} — t_{1}) ]

Примечание: Перемещение тела – это всегда либо нулевая, либо положительная величина S. Математики словосочетание «либо нулевая, либо положительная» заменят одним словом «не отрицательная».

Скорость увеличивается

Когда скорость тела увеличивается, то линия скорости на графике v(t) всегда располагается так, чтобы с ростом времени удаляться от оси времени. Чем больше времени пройдет, тем дальше от горизонтали располагаются точки, лежащие на линии скорости (рис. 3).

Рис.3. Так выглядит зависимость скорости от времени v(t), когда тело увеличивает свою скорость, двигаясь по оси – рис а) и против оси – рис. б)

Примечание: Движение с возрастающей скоростью называют равноускоренным движением.

Когда тело движется по направлению оси, линия скорости расположена выше горизонтальной оси времени (рис 3а).

А если тело движется против оси, линия скорости располагается ниже горизонтальной оси времени (рис. 3б).

Вычислим перемещение тела, движущегося в положительном направлении оси Ox. Для тела, движущегося противоположно оси, перемещение рассчитывается аналогично.

Выбор интервала времени влияет на то, будем ли мы вычислять площадь трапеции (рис. 4а), или прямоугольного треугольника (рис. 4б).

Рис.4. График v(t) — тело движется в положительном направлении оси и увеличивает свою скорость. От того, какой интервал времени мы выберем, зависит, будем ли мы вычислять путь, пройденный телом, с помощью площади трапеции – рис. а), или прямоугольного треугольника — рис. б)

На графике скорости v(t) для рисунка 4а перемещение с помощью трапеции вычисляется так:

[ large S = frac{1}{2} cdot (v_{1} + v_{2}) cdot (t_{2} — t_{1}) ]

А для рисунка 4б перемещение тела найдем с помощью площади треугольника:

[ large S = frac{1}{2} cdot v_{2} cdot (t_{2} — 0) ]

Скорость уменьшается

Когда тело замедляется и его скорость уменьшается, с ростом времени линия скорости приближается к горизонтальной оси t

сверху – если тело движется по оси (рис. 5а),
или снизу – когда тело движется против оси (рис. 5б).

Рис.5. Так выглядит зависимость скорости от времени v(t), когда тело уменьшает свою скорость, двигаясь по оси – рис а) и против оси – рис. б)

Примечание: Движение с уменьшающейся по модулю скоростью называют равнозамедленным движением.

Будем вычислять перемещение тела, движущегося в положительном направлении оси Ox. Аналогичным способом рассчитывается перемещение тела, движущегося противоположно оси.

От того, какой интервал времени нас интересует, зависит, будем ли мы вычислять площадь трапеции (рис. 6а), или треугольника (рис. 6б).

Рис.6. График v(t) — тело движется в положительном направлении оси и уменьшает свою скорость. Выбор интервала времени определяет, будем ли мы вычислять путь, пройденный телом, с помощью трапеции – рис. а), или треугольника — рис. б)

Найдем на графике v(t) перемещение с помощью площади трапеции для рисунка 6а:

[ large S = frac{1}{2} cdot (v_{1} + v_{2}) cdot (t_{2} — t_{1}) ]

А для рисунка 6б перемещение тела найдем с помощью площади треугольника:

[ large S = frac{1}{2} cdot v_{1} cdot (t_{2} — t_{1}) ]

Выводы

На графике v(t) перемещение – это:

площадь прямоугольника, когда скорость не изменяется;
площадь треугольника, или трапеции, когда скорость изменяется — падает, или растет.

Источник

1. Нахождение пути по графику зависимости скорости от времени

Покажем, как можно найти пройденный телом путь с помощью графика зависимости скорости от времени.

Начнем с самого простого случая – равномерного движения. На рисунке 6.1 изображен график зависимости v(t) – скорости от времени. Он представляет собой отрезок прямой, параллельной осн времени, так как при равномерном движении скорость постоянна.

Фигура, заключенная под этим графиком, – прямоугольник (он закрашен на рисунке). Его площадь численно равна произведению скорости v на время движения t. С другой стороны, произведение vt равно пути l, пройденному телом. Итак, при равномерном движении

путь численно равен площади фигуры, заключенной под графиком зависимости скорости от времени.

Покажем теперь, что этим замечательным свойством обладает и неравномерное движение.

Пусть, например, график зависимости скорости от времени имеет вид кривой, изображенной на рисунке 6.2.

Разобьем мысленно все время движения на столь малые промежутки, чтобы в течение каждого из них движение тела можно было считать практически равномерным (это разбиение показано штриховыми линиями на рисунке 6.2).

Тогда путь, пройденный за каждый такой промежуток, численно равен площади фигуры под соответствующим ком графика. Поэтому и весь путь равен площади фигур заключенной под всем графиком. (Использованный нами прием лежит в основе интегрального исчисления, основы которого вы будете изучать в курсе «Начала математического анализа».)

2. Путь и перемещение при прямолинейном равноускоренном движении

Применим теперь описанный выше способ нахождения пути к прямолинейному равноускоренному движению.

Начальная скорость тела равна нулю

Направим ось x в сторону ускорения тела. Тогда a_x = a, v_x = v. Следовательно,

v = at. (1)

На рисунке 6.3 изображен график зависимости v(t).

? 1. Используя рисунок 6.3, докажите, что при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости путь l выражается через модуль ускорения a и время движения t формулой

l = at²/2. (2)

Главный вывод:

при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости пройденный телом путь пропорционален квадрату времени движения.

Этим равноускоренное движение существенно отличается от равномерного.

На рисунке 6.4 приведены графики зависимости пути от времени для двух тел, одно из которых движется равномерно, а другое – равноускоренно без начальной скорости.

? 2. Рассмотрите рисунок 6.4 и ответьте на вопросы.
а) Каким цветом изображен график для тела, движущегося равноускоренно?
б) Чему равно ускорение этого тела?
в) Чему равны скорости тел в тот момент, когда они прошли одинаковый путь?
г) В какой момент времени скорости тел равны?

? 3. Тронувшись с места, автомобиль за первые 4 с проехал расстояние 20 м. Движение автомобиля считайте прямолинейным равноускоренным. Не вычисляя ускорения автомобиля, определите, какое расстояние проедет автомобиль:
а) за 8 с? б) за 16 с? в) за 2 с?

Найдем теперь зависимость проекции перемещения s_x от времени. В данном случае проекция ускорения на ось x положительна, поэтому s_x = l, a_x = a. Таким образом, из формулы (2) следует:

s_x = a_xt²/2. (3)

Формулы (2) и (3) очень похожи, что приводит порой к ошибкам при решении простых задач. Дело в том, что значение проекции перемещения может быть отрицательным. Так будет, если ось x направлена противоположно перемещению: тогда s_x < 0. А путь отрицательным быть не может!

? 4. На рисунке 6.5 изображены графики зависимости от времени пути и проекции перемещения для некоторого тела. Какой цвет у графика проекции перемещения?

Начальная скорость тела не равна нулю

Напомним, что в таком случае зависимость проекции скорости от времени выражается формулой

v_x = v_0x + a_xt, (4)

где v_0x – проекция начальной скорости на ось x.

Мы рассмотрим далее случай, когда v_0x > 0, a_x > 0. В этом случае снова можно воспользоваться тем, что путь численно равен площади фигуры под графиком зависимости скорости от времени. (Другие комбинации знаков проекции начальной скорости и ускорения рассмотрите самостоятельно: в результате получится та же общая формула (5).

На рисунке 6.6 изображен график зависимости v_x(t) при v_0x > 0, a_x > 0.

? 5. Используя рисунок 6.6, докажите, что при прямолинейном равноускоренном движении с начальной скоростью проекция перемещения

s_x = v_0x + a_xt²/2. (5)

Эта формула позволяет найти зависимость координаты x тела от времени. Напомним (см. формулу (6), § 2), что координата x тела связана с проекцией его перемещения s_x соотношением

s_x = x – x₀,

где x₀ — начальная координата тела. Следовательно,

x = x₀ + s_x, (6)

Из формул (5), (6) получаем:

x = x₀ + v_0xt + a_xt²/2. (7)

6. Зависимость координаты от времени для некоторого тела, движущегося вдоль оси x, выражается в единицах СИ формулой x = 6 – 5t + t².
а) Чему равна начальная координата тела?
б) Чему равна проекция начальной скорости на ось x?
в) Чему равна проекция ускорения на ось x?
г) Начертите график зависимости координаты x от времени.
д) Начертите график зависимости проекции скорости от времени.
е) В какой момент скорость тела равна нулю?
ж) Вернется ли тело в начальную точку? Если да, то в какой момент (моменты) времени?
з) Пройдет ли тело через начало координат? Если да, то в какой момент (моменты) времени?
и) Начертите график зависимости проекции перемещения от времени.
к) Начертите график зависимости пути от времени.

3. Соотношение между путем и скоростью

При решении задач часто используют соотношения между путем, ускорением и скоростью (начальной v₀, конечной v или ими обеими). Выведем эти соотношения. Начнем с движения без начальной скорости. Из формулы (1) получаем для времени движения:

t = v/a. (8)

Подставим это выражение в формулу (2) для пути:

l = at²/2 = a/2(v/a)² = v²/2a. (9)

Главный вывод:

при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости пройденный телом путь пропорционален квадрату конечной скорости.

? 7. Тронувшись с места, автомобиль набрал скорость 10 м/с на пути 40 м. Движение автомобиля считайте прямолинейным равноускоренным. Не вычисляя ускорения автомобиля, определите, какой путь от начала движения проехал автомобиль, когда его скорость была равна: а) 20 м/с? б) 40 м/с? в) 5 м/с?

Соотношение (9) можно получить также, вспомнив, что путь численно равен площади фигуры, заключенной под графиком зависимости скорости от времени (рис. 6.7).

Это соображение поможет вам легко справиться со следующим заданием.

? 8. Используя рисунок 6.8, докажите, что при торможении с постоянным ускорением тело проходит до полной остановки путь l_т = v₀²/2a, где v₀ – начальная скорость тела, a – модуль ускорения.

В случае торможения транспортного средства (автомобиль, поезд) путь, пройденный до полной остановки, называют тормозным путём. Обратите внимание: тормозной путь при начальной скорости v₀ и путь, пройденный при разгоне с места до скорости v₀ с тем же по модулю ускорением a, одинаковы.

? 9. При экстренном торможении на сухом асфальте ускорение автомобиля равно по модулю 5 м/с². Чему равен тормозной путь автомобиля при начальной скорости: а) 60 км/ч (максимальная разрешенная скорость в городе); б) 120 км/ч? Найдите тормозной путь при указанных скоростях во время гололеда, когда модуль ускорения равен 2 м/с². Сравните найденные вами значения тормозного пути с длиной классной комнаты.

? 10. Используя рисунок 6.9 и формулу, выражающую площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований, докажите, что при прямолинейном равноускоренном движении:
а) l = (v² – v₀²)/2a, если скорость тела увеличивается;
б) l = (v₀² – v²)/2a, если скорость тела уменьшается.

? 11. Докажите, что проекции перемещения, начальной и конечной скорости, а также ускорения связаны соотношением

s_x = (v_x² – v_0x²)/2ax (10)

? 12. Автомобиль на пути 200 м разогнался от скорости 10 м/с до 30 м/с.
а) С каким ускорением двигался автомобиль?
б) За какое время автомобиль проехал указанный путь?
в) Чему равна средняя скорость автомобиля?

Лютый опыт

Дополнительные вопросы и задания

13. От движущегося поезда отцепляют последний вагон, после чего поезд движется равномерно, а вагон – с постоянным ускорением до полной остановки.
а) Изобразите на одном чертеже графики зависимости скорости от времени для поезда и вагона.
б) Во сколько раз путь, пройденный вагоном до остановки, меньше пути, пройденного поездом за то же время?

14. Отойдя от станции, электричка какое-то время ехала равноускоренно, затем в течение 1 мин – равномерно со скоростью 60 км/ч, после чего снова равноускоренно до остановки на следующей станции. Модули ускорений при разгоне и торможении были различны. Расстояние между станциями электричка прошла за 2 мин.
а) Начертите схематически график зависимости проекции скорости электрички от времени.
б) Используя этот график, найдите расстояние между станциями.
в) Какое расстояние проехала бы электричка, если бы на первом участке пути она разгонялась, а на втором – тормозила? Какова была бы при этом ее максимальная скорость?

15. Тело движется равноускоренно вдоль оси x. В начальный момент оно находилось в начале координат, а проекция его скорости была равна 8 м/с. Через 2 с координата тела стала равной 12 м.
а) Чему равна проекция ускорения тела?
б) Постройте график зависимости v_x(t).
в) Напишите формулу, выражающую в единицах СИ зависимость x(t).
г) Будет ли скорость тела равна нулю? Если да, то в какой момент времени?
д) Побывает ли тело второй раз в точке с координатой 12 м? Если да, то в какой момент времени?
е) Вернется ли тело в начальную точку? Если да, то в какой момент времени, и чему будет равен пройденный при этом путь?

16. После толчка шарик вкатывается вверх по наклонной плоскости, после чего возвращается в начальную точку. На расстоянии b от начальной точки шарик побывал дважды через промежутки времени t₁ и t₂ после толчка. Вверх и вниз вдоль наклонной плоскости шарик двигался с одинаковым по модулю ускорением.
а) Направьте ось x вверх вдоль наклонной плоскости, выберите начало координат в точке начального положения шарика и напишите формулу, выражающую зависимость x(t), в которую входят модуль начальной скорости шарика v0 и модуль ускорения шарика a.
б) Используя эту формулу и тот факт, что на расстоянии b от начальной точки шарик побывал в моменты времени t₁ и t₂ составьте систему двух уравнений с двумя неизвестными v₀ и a.
в) Решив эту систему уравнений, выразите v₀ и a через b, t₁ и t₂.
г) Выразите весь пройденный шариком путь l через b, t₁ и t₂.
д) Найдите числовые значения v₀, a и l при b = 30 см, t₁ = 1с, t₂ = 2 с.
е) Постройте графики зависимости v_x(t), s_x(t), l(t).
ж) С помощью графика зависимости sx(t) определите момент, когда модуль перемещения шарика был максимальным.

Источник

Определение

Равномерное прямолинейное движение — это такое движение, при котором тело совершает за любые равные промежутки времени равные перемещения.

Скорость при прямолинейном равномерном движении

Если тело движется равномерно и прямолинейно, его скорость остается постоянной как по модулю, так и по направлению. Ускорение при этом равно нулю.

Векторный способ записи скорости при равномерном прямолинейном движении:

s — вектор перемещения, ΔR— изменение радиус-вектора, t — время, а ∆t — его изменение.

Проекция скорости на ось ОХ:

s_x— проекция перемещения на ось ОХ, ∆x — изменение координаты точки (ее абсциссы).

Знак модуля скорости зависит от направления вектора скорости и оси координат:

Основная единица измерения скорости — 1 метр в секунду. Сокращенно — 1 м/с.

Дополнительные единицы измерения

1 км/ч (километр в час) = 1000 м/3600 с.
1 км/мин (километр в минуту) = 1000 м/60 с.
1 км/с (километр в секунду) = 1000 м/с.
1 м/мин (метр в минуту) = 1 м/60 с.
1 см/с (сантиметр в секунду) = 0,01 м/с.

Спидометр — прибор для измерения модули скорости тела.

График зависимости скорости от времени представляет собой прямую линию, перпендикулярную оси скорости и параллельную оси времени. Выглядит он так:

Определение направления движения по графику скорости

Если график скорости лежит выше оси времени, тело движется в направлении оси ОХ.
Если график скорости лежит ниже оси времени, тело движется против оси ОХ.
Если график скорости совпадает с осью времени, тело покоится.

Чтобы сравнить модули скоростей на графике, нужно оценить их удаленность от оси времени. Чем дальше график от оси, тем больше модуль.

Пример №1. Найти модуль скорости и направление движения тела относительно оси ОХ. Выразить скорость в км/ч.

График скорости пересекает ось в точке со значением 10. Единица измерения — м/с. Поэтому модуль скорости равен 10 м/с. График лежит выше оси времени. Это значит, что тело движется по направлению оси ОХ. Чтобы выразить скорость в км/ч, нужно перевести 10 м в километры и 1 с в часы:

Теперь нужно разделить километры на часы:

Перемещение и координаты тела при равномерном прямолинейном движении

Геометрический смысл перемещения заключается в том, что его модуль равен площади фигуры, ограниченной графиком скорости, осями скорости и времени, а также линией, проведенной перпендикулярно оси времени.

При прямолинейном равномерном движении эта фигура представляет собой прямоугольник. Поэтому модуль перемещения вычисляется по следующей формуле:

Вектор перемещения равен произведению вектора скорости на время движения:

Внимание!

При равномерном прямолинейном движении путь и перемещение совпадают. Поэтому путь, пройденный телом, можно найти по этим же формулам.

Формула проекции перемещения:

График проекции перемещения

График проекции перемещения показывает зависимость этой проекции от времени. При прямолинейном равномерном движении он представляет собой луч, исходящий из начала координат. Выглядит он так:

Определение направления движения по графику проекции перемещения

Если луч лежит выше оси времени, тело движется в направлении оси ОХ.
Если луч лежит ниже оси времени, тело движется против оси ОХ.
Если луч совпадает с этой осью, тело покоится.

Чтобы по графику проекции перемещения сравнить модули скоростей, нужно сравнить углы их наклона к оси s_x.Чем меньше угол, тем больше модуль. Согласно рисунку выше, модули скорости тел, которым соответствуют графики 1 и 3, равны. Они превосходят модуль скорости тела 2, так как их угол наклона к оси s_x меньше.

График координаты

График координаты представляет собой график зависимости координаты от времени. Выглядит он так:

Так как график координаты представляет собой график линейной функции, уравнение координаты принимает вид:

Определение направления движения тела по графику координаты

Если с течением времени координата увеличивается (график идет снизу вверх), тело движется в направлении оси ОХ. На картинке выше этому соответствуют графики тел 1 и 2.
Если с течением времени координата уменьшается (график идет сверху вниз), тело движется противоположно направлению оси ОХ. На картинке выше этому соответствует график тела 3.
Если координата не изменяется, тело покоится.

Чтобы сравнить модули скоростей тел по графику координат, нужно сравнить углы наклона графика к оси координат. Чем меньше угол, тем больше модуль скорости. На картинке выше наибольший модуль скорости соответствует графику 1. У графиков 2 и 3 модули равны.

Чтобы по графику координат найти время встречи двух тел, нужно из точки пересечения их графиков провести перпендикуляр к оси времени.

Пример №2. График зависимости координаты тела от времени имеет вид:

Изучите график и на его основании выберите два верных утверждения:

На участке 1 скорость тела постоянна, а на участке 2 равна нулю.
Проекция ускорения тела на участке 1 положительна, а на участке 2 — отрицательна.
На участке 1 тело движется равномерно, а на участке 2 оно покоится.
На участке 1 тело движется равноускорено, а на участке 2 оно движется равномерно.
Проекция ускорения тела на участке 1 отрицательна, а на участке 2 — положительна.

На участке 1 координата растет, и ее график представляет собой прямую. Это значит, что на этом участке тело движется равномерно (с постоянной скоростью). На участке 2 координата с течением времени не меняется, что говорит о том, что тело покоится. Исходя из этого, верными утверждениями являются номера 1 и 3.

Пример №3. На рисунке изображен график движения автомобиля из пункта А (х=0 км) в пункт В (х=30 км). Чему равна минимальная скорость автомобиля на всем пути движения туда и обратно?

Согласно графику, с начала движения до прибытия автомобиля в пункт 2 прошло 0,5 часа. А с начала движения до возвращения в пункт А прошло 1,5 часа. Поэтому время, в течение которого тело возвращалось из пункта В в пункт А, равно:

1,5 – 0,5 = 1 (час).

Туда и обратно автомобиль проходил равные пути, каждый из которых равен 30 км. Поэтому скорость во время движения от А к В равна:

Скорость во время движения от В к А равна:

Минимальная скорость автомобиля на всем пути движения составляет 30 км/ч.

Задание EF17553

На рисунке представлены графики зависимости пройденного пути от времени для двух тел. Скорость второго тела v₂ больше скорости первого тела v₁ в n раз, где n равно…

Алгоритм решения

Выбрать любой временной интервал.
Выбрать для временного интервала начальные и конечные пути для каждого из графиков.
Записать формулу скорости и вычислить ее для 1 и 2 тела.
Найти n — отношение скорости второго тела к скорости первого тела

Решение

Рассмотрим графики во временном интервале от 0 до 4 с. Ему соответствуют следующие данные:

Для графика 1: начальный путь s₁₀ = 0 м. Конечный путь равен s₁ = 80 м.
Для графика 2: начальный путь s₂₀ = 0 м. Конечный путь равен s₂ = 120 м.

Скорость определяется формулой:

Так как начальный момент времени и скорость для обоих тел нулевые, формула примет вид:

Скорость первого тела:

Скорость второго тела:

Отношение скорости второго тела к скорости первого тела:

Ответ: 1,5

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF18768

На рисунке приведён график зависимости координаты тела от времени при прямолинейном движении тела по оси Ox.

Какой из графиков соответствует зависимости от времени для проекции υ_x скорости этого тела на ось Ox?

Алгоритм решения

Записать уравнение координаты при равномерном прямолинейном движении.
Выразить из уравнения проекцию скорости.
Определить начальную и конечную координаты, а также время, в течение которого двигалось тело.
Вычислить проекцию скорости.
Выбрать соответствующий график.

Решение

Уравнение координаты при равномерном прямолинейном движении имеет вид:

Отсюда проекция скорости равна:

Начальная координата x_o = 10 м, конечная x = –10 м. Общее время, в течение которого двигалось тело, равно 40 с.

Вычисляем проекцию скорости:

Этому значению соответствует график «в».

Ответ: в

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF18831

На рисунке представлен график зависимости модуля скорости υ автомобиля от времени t. Определите по графику путь, пройденный автомобилем в интервале времени от t₁=20 с до t₂=50 с.

Алгоритм решения

Охарактеризовать движение тела на различных участках графика.
Выделить участки движения, над которыми нужно работать по условию задачи.
Записать исходные данные.
Записать формулу определения искомой величины.
Произвести вычисления.

Решение

Весь график можно поделить на 3 участка:

От t₁ = 0 c до t₂ = 10 с. В это время тело двигалось равноускоренно (с положительным ускорением).
От t₁ = 10 c до t₂ = 30 с. В это время тело двигалось равномерно (с нулевым ускорением).
От t₁ = 30 c до t₂ = 50 с. В это время тело двигалось равнозамедленно (с отрицательным ускорением).

По условию задачи нужно найти путь, пройденный автомобилем в интервале времени от t₁ = 20 c до t₂ = 50 с. Этому времени соответствуют два участка:

От t₁ = 20 c до t₂ = 30 с — с равномерным движением.
От t₁ = 30 c до t₂ = 50 с — с равнозамедленным движением.

Исходные данные:

Для первого участка. Начальный момент времени t₁ = 20 c. Конечный момент времени t₂ = 30 с. Скорость (определяем по графику) — 10 м/с.
Для второго участка. Начальный момент времени t₁ = 30 c. Конечный момент времени t₂ = 50 с. Скорость определяем по графику. Начальная скорость — 10 м/с, конечная — 0 м/с.

Записываем формулу искомой величины:

s = s₁ + s₂

s₁ — путь тела, пройденный на первом участке, s₂ — путь тела, пройденный на втором участке.

s₁ и s₂ можно выразить через формулы пути для равномерного и равноускоренного движения соответственно:

Теперь рассчитаем пути s₁ и s₂, а затем сложим их:

s₁ + s₂ = 100 + 100 = 200 (м)

Ответ: 200

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Алиса Никитина | Просмотров: 13.5k

Источник

Вычисление перемещения по графику проекции скорости

Теория

Задачи

Как вычислить площади плоских фигур

Площадь прямоугольника

Площадь трапеции

Площадь прямоугольного треугольника

Скорость не меняется

Скорость увеличивается

Скорость уменьшается

Выводы

1. Нахождение пути по графику зависимости скорости от времени

2. Путь и перемещение при прямолинейном равноускоренном движении

Начальная скорость тела равна нулю

Начальная скорость тела не равна нулю

3. Соотношение между путем и скоростью

Лютый опыт

Дополнительные вопросы и задания

Скорость при прямолинейном равномерном движении

Перемещение и координаты тела при равномерном прямолинейном движении

График проекции перемещения

График координаты

Вам также может понравиться

Как найти деньги если банки отказывают

Как найти периметр неровного квадрата

Как найти панель управления hd графикой intel

Добавить комментарий Отменить ответ