Как найти модуль силы торможения

Физик и ролики

Однажды я купил слишком бюджетный велосипед и с самого начала с ним стали постоянно возникать какие-то проблемы: то развалится сиденье, то слетит цепь, то лопнут спицы. После нескольких лет неравной борьбы я сдался и забросил его куда подальше. Конечно, в мире фитнеса есть не только велосипеды, можно было бы кататься на лыжах или просто бегать, но снега в последние годы мало, регулярно бегать утомительно, так что мне пришлось стать рядовым пешеходом.

Жизнь так и шла своим чередом, пока не случилось историческое событие — у нас построили велодорожку к парку Космонавтов. Народ стал понемногу кататься, и мне тоже не хотелось оставаться в стороне. Но, поскольку впечатления о борьбе с великом еще не изгладились из памяти, я приобрел лыжероллеры.

Вообще-то, классические лыжероллеры очень прикольная и полезная для здоровья штука, но надо учитывать, что по ровной местности на них особо не разгонишься, а вот на горке лыжник превращается в неуправляемую торпеду без тормозов. Скорость по равнине не очень высокая, 10—12 км/ч, и вас будут обгонять буквально все: дети, девушки, дачники, бодрые спортсмены. С этим нужно было срочно что-то делать и тогда я решил купить роликовые коньки и освоить фитнес спидскейтинг.

Дело оказалось непростым. Научить и подсказать было некому, в провинции не хватает хорошего асфальта, и в основном все катают на великах или самокатах, а до ближайшей роллер школы полста километров. Пришлось, как всегда, выискивать крупинки полезной информации в глубинах интернета и учиться на своих ошибках. Если двигаться вперед у меня еще как-то получалось, то с освоением торможения совершенно не складывалось. Отвага на горке закончилась здоровым синяком и ссадиной (хорошо, что я был в полной защите и упал сразу, не набирая скорость).

Интернет тем временем жил собственной жизнью. Симпатичные барышни с Ютуба непринужденно демонстрировали чудеса катания, а роллерские сайты пестрели броскими терминами «плуг», «Т-стоп», «штатник». Любое из этих слов почему-то обладало магическим свойством вызывать бурные споры. Сторонники Т-стопа неутомимо дискутировали с поклонниками плуга и обе партии снисходительно пеняли робких штатников. Не будучи просветленным гуру, разобраться в этом полете творческой мысли и приложить ее на практике было решительно невозможно.

И вот здесь посреди хаоса возникла идея: «Если не знаешь, как этого добиться, то возможно надо понять, что и почему должно получиться?» Она и вдохновила меня написать заметку о физике торможения на роликах и о пользе, которую можно из них извлечь.

1. Исходные положения

Проведем оценки эффективности различных способов торможения на роликовых коньках исходя из того, что для малых скоростей сила трения при скольжении или качении тела зависит лишь от его веса P (а точнее от силы реакции опоры N) и материалов пары трения:

В случае скольжения параметр k называют коэффициентом трения скольжения, обозначим его k_p. В случае качения параметр k называется коэффициентом сопротивления качению, мы будем обозначать его k_s. Заметим, что k_s — составная безразмерная величина, прямо пропорциональная коэффициенту трения качения (он мал у твердых материалов) и обратно пропорциональная диаметру колеса.

Рассмотрим основные физические случаи торможения.

A) Чистое скольжение

Замедление происходит из-за прижатия резины тормоза к асфальту, либо постановки колес одного или обоих коньков строго поперек направления движения. При горизонтальном движении сила реакции опоры равна весу тела. Следовательно, сила трения скольжения:

Где ϰ = 0 ÷ 1 — доля веса роллера, приходящаяся на тормозящий элемент, m — масса роллера, g — ускорение свободного падения.

Ускорение торможения: a = F_Т / m = k_p g ϰ

Путь равноускоренного движения определяется ускорением и начальной скоростью:
S = at 2 / 2 = v 2 / (2a)

Отсюда тормозной путь:

B) Проскальзывание

При постановке конька под некоторым углом скольжения Θ к направлению движения, он частично катится, а частью скользит. Разложим перемещение конька S на продольное качение S_1​ и поперечное скольжение S₂​ (см. Рис.1).

Рис.1. Траектория проскальзывания конька.

Общая работа силы трения будет суммой работ на участках:

Отсюда общий коэффициент трения:

При угле скольжения Θ = 0 0 имеем чистое качение, а при Θ = 90 0 чистое скольжение. Фактически, при торможении угол Θ будет не менее 5 0 , поэтому трением качения можно пренебречь. Тогда общий коэффициент трения k ≈ k_p sin θ, а тормозной путь:

C) Противодействие разгону на горке

Вес тела P вызывает давление на склон P_N и силу тяги вдоль склона F. С увеличением угла наклона давление на склон и трение уменьшаются, а сила тяги быстро растет (см. Рис.2). Поэтому, начиная с некоторого критического угла, затормозить становится невозможно.

Рис.2. Сила, разгоняющая роллера на склоне.

Из Рис.2 получаются следующие соотношения:

Сила тяги: F = P sin α
Сила реакции опоры: N = P cos α
Сила трения: F_Т = k N ϰ

При равенстве тяги и трения F = F_Т​ скорость не набирается, и из соотношения
P sin α = P cos α k ϰ получаем условие критического угла:

В строительстве тангенс угла наклона (отношение высоты склона к длине его основания) называется уклоном дороги и выражается в процентах или промилле.

2. Параметры модели и результаты расчетов

Формулы (1), (2) и (3) дают простейшую математическую модель торможения на роликах. Ее параметры во многом зависят от умений роллера и окружающих условий. Например, коэффициент трения полиуретана и резины об асфальт сильно зависит от сорта материала и состояния покрытия. Постараемся провести более менее правдоподобную их оценку.

— Предположим, что k_p = 0,5 ÷ 0,7 где меньшие значения соответствуют скользким колесам либо слегка влажному покрытию.
— Ускорение свободного падения g = 10 м/c 2
— Скорость движения при прогулочном катании примем равной 3 м/c или 11 км/ч.

Остальные параметры перечислены в табличке:

На велосипеде (задним колесом)

Штатный пяточный тормоз

Слайды Parallel или Magic

Плуг со скольжением

Слайд Soul (одноногий плуг)

Таблица 1. Параметры модели торможения.

Предсказания модели можно представить в виде рейтинга с пояснениями:

1) Велосипед, выбранный в качестве эталона, показал наилучшие результаты.
Считаем, что он тормозит задним колесом, на которое приходится 70% веса, а сцепление протектора хорошее k_p = 0,7. При этом тормозной путь на скорости 11 км/ч составит 0,9 м.
На склоне tg α = 0,7 ∙ 0,7 = 0,49 и критический угол α = 26 0 . Для горного велосипеда с двойной системой торможения ϰ = 1 , tg α = 0,7 ∙ 1 = 0,7 и критический угол α = 35 0
Таким образом, средний критический угол склона для велосипеда α ≈ 30 0

2) Второе место занял способ торможение роллера обоими ногами.
Самым эффективным торможением на роликах будет постановка обоих коньков поперек движения, где на тормозящие элементы придется 100% роллера веса. Это слайды Parallel и Magic.
Тормозной путь для наилучшего случая 0,6 м, а для наихудшего 0,9 м. Средний тормозной путь Magic и Parallel слайдов равен 0,8 м.

3) Третье место у торможения штатным пяточным тормозом.
Оно осуществляется одной ногой, на которую плавно переносится 30..50% веса.
Тормозной путь для наилучшего случая составит 1,3 м, а для наихудшего 3 м. Средний тормозной путь равен 2,1 м.
На склоне для наихудшего случая tg α = 0,15 и α = 8,5 0 , а для наилучшего tg α = 0,35 и α = 19 0 . Средний критический угол склона для штатного тормоза α ≈ 14 0

4) Одноногий плуг (Soul слайд)
Обычный двуногий плуг не очень хороший способ торможения, он занимает много места и неустойчив на плохом покрытии. Если под колесо попадет выбоина, камешек или крупная ветка, конек резко затормозится и роллер упадет вперед. Еще хуже встретить лужу или песок на асфальте, конек проскользнет, и роллер упадет назад.
Гораздо безопасней и эффективней использовать одноногий плуг. Здесь опорная нога свободно катится, а тормозящая выставляется вперед и ее стопа поворачивается и наклоняется к поверхности до получения устойчивого скольжения.
Если на тормозящую ногу приходится 30..50% веса роллера, а угол поворота стопы Θ = 45 0 , то в наилучшем случае тормозной путь составит 1,8 м, а в наихудшем 4,2 м. Средний тормозной путь равен 3 м.

5) Торможение плугом со скольжением (Double Soul слайд)
Здесь требуется хорошая растяжка, гибкость и координация движений, которые определяют достижимый угол поворота коньков (обычно не более 20 0 ) и эффективность торможения.
Роллер расставляет обе ноги и колеса коньков под углом примерно 45 0 к вертикали и переносит свой вес на переднюю часть стоп (колени согнуты над носками, руки для безопасности вытянуты вперед).
Затем он подворачивает обе стопы внутрь и за счет бокового усилия пяток заставляет ролики проскальзывать, не позволяя им съехаться.
Чтобы возникло скольжение, боковая сила должна превысить силу трения покоя, т.е. каждая нога должна давить наружу в направлении S₂ с силой не менее 25..35% веса роллера.
Для углов поворота Θ = 10..15 0 в наилучшем случае тормозной путь 2,5 м, а в наихудшем 5,2 м. Средний тормозной путь равен 3,8 м.
На склоне для наихудшего случая tg α = 0,09 и α = 5 0 , а для наилучшего α = 10 0 . Средний критический угол склона α ≈ 7 0 .

6) Торможение роллера T-стопом
Задний конек ставится перпендикулярно движению и на него переносится 10..20% веса. Опытный роллер может слегка присесть на тормозящую ногу, увеличивая долю веса.
Минимальный тормозной путь составит 3 м, максимальный 9 м. Средний тормозной путь равен 6 м.
На склоне для наихудшего случая tg α = 0,05 и α = 3 0 . Для наилучшего случая tg α = 0,14 и α = 8 0 . Средний критический угол склона при торможении Т-стопом α ≈ 6 0 .

7) Торможение плугом с упором
Этот способ простой, но самый неэффективный. Роллер не подворачивает стопы специально, а просто сильно давит широко расставленными ногами вбок, до начала их проскальзывания. Поворот стоп происходит автоматически, за счет моментов боковых сил от пяток относительно точек приложения веса в начале стоп. Коньки с длинной рамой должны тормозить лучше за счет больших плеч и моментов силы.
Для углов поворота Θ = 5..7 0 наилучший тормозной путь 5,3 м, наихудший 10,3 м. Средний тормозной путь равен 7,8 м.

Наглядно результаты показаны на рисунке и в таблицах:

Рис.3. Оценка тормозного пути на роликах при прогулочном катании.

Зависит ли тормозной путь от массы, или физика за 8 класс ⁠ ⁠

Чтобы не отнимать время у членов ЛЛ, отвечаю сразу: нет, не зависит. Но дьявол как всегда кроется в деталях. Вообще говоря, жизненный опыт подсказывает нам, что тяжёлые предметы разогнать и остановить куда тяжелее, чем лёгкие. И вообще, если одновременно бросить камень и пёрышко, то камень приземлится на землю первым. Что же ты нам, ТС, втираешь? А мне сказать нечего – да, камень приземлится раньше пера. Это очевидно. Но только пока мы находимся в воздушном пространстве. Вспомните-ка опыт, который наверняка показывали в школе: в длинной стеклянной колбе находятся пёрышко и камушек. Пока колба заполнена воздухом, камень падает на дно колбы гораздо быстрее пера. Но стоит откачать воздух, как рвутся все наши шаблоны: перо и камень приземляются одновременно.

Ладно, ладно! Дураку понятно, что тут виной сопротивление воздуха. Но ведь всё равно камень же тяжелее пёрышка! Земля притягивает камень сильнее, чем перо. И с этим утверждением тоже трудно поспорить. Тогда какого чёрта они в вакууме падают одновременно? Масса-то у них разная! И вот тут нужно сделать одно важное отступление. Вообще говоря, в физике различают инертную массу и гравитационную. Так уж было угодно демиургам нашей вселенной, что они в точности совпадают, поэтому в жизни мы не делаем различия между этими видами масс. Килограмм – он и в Африке килограмм. Однако, различие заключается в проявлении этих масс. Инертная масса показывает, насколько тяжело вывести тело из состояния покоя (или равномерного прямолинейного движения, что в сущности, по заветам первого закона Ньютона, одно и то же). Представьте себе тяжёлый маятник, подвешенный на длинной нитке. Масса его, допустим, 1 тонна. Сможете ли вы раскачать его? Скорее всего да, но это будет очень тяжело и долго. Точно так же трудно будет вам и остановить такой маятник, если он будет раскачиваться. Вот она – инертная масса.

С гравитационной массой всё немного проще. Именно она определяет то, с какой силой все тела притягиваются к Земле (ну а в общем случае то, как сильно тянутся друг к другу любые два тела в пространстве). И если 1000-килограммовый маятник вы хоть и с трудом, но сдвинуть в воздухе сможете, то приподнять его даже на миллиметр не сможет никто. Даже втроём. Забавно, что окажись этот маятник на Луне, то три человека его вполне бы подняли. А вот раскачать этот маятник было бы точно так же тяжело, как и на Земле. И даже на борту МКС. Инертная сущность массы проявляется в том, что чем она больше, тем тяжелее ей придать какое-то ускорение. А гравитационное проявление массы связано с массой второго тела, к которому она притягивается (но поскольку 99,9999999% людей живут на Земле, то мы волей-неволей считаем вторым телом нашу hjlye. планету, и даже ввели константу g — ускорение свободного падения на Земле, с помощью которой отождествляем МАССУ тела и СИЛУ, с которой оно притягивается к Земле). Надеюсь, с видами масс разобрались.

Вернемся к камню и пёрышку. Почему же в вакууме они падают одновременно? А потому, что насколько сильнее камень притягивается к Земле, нежели пёрышко, настолько же тяжело ему сдвинуться из состояния покоя. Допустим, камень весит 100 грамм, а перо – 1 грамм. Чтобы разогнать более тяжёлый и инертный камень, нужна сила в 100 раз бОльшая, чем для пера. Но, с другой стороны, камень в 100 раз сильнее притягивается к Земле, нежели пёрышко. И вот оно – наглядное подтверждение равенства инертной и гравитационной массы тела.

Ну что за нудятина? И при чём тут торможение вообще? Где сравнение КамАЗа и легковушки? Спокойно! Сейчас всё будет!

Итак, на картинке у нас два автомобиля: первый давит на опору всеми своими 10 000 килограммами, а второй только 1 000 кг. При этом опора (дорога, асфальт) по третьему закону Ньютона отвечает автомобилям с точно такой же силой N, но направленной в противоположную сторону, т.е. вверх. Представим, что оба движутся с одинаковой скоростью V, например, 72 километра в час, что равняется 20 метрам в секунду. Едут они по одной и той же дороге. Дорога идеально ровная, сухой асфальт. И вот в один и тот же момент они резко бьют по тормозам, колёса идут юзом, и автомобили останавливаются. Давайте разбираться, что же при этом происходит.

Как мы помним из нашей любимой физики, движущееся тело обладает кинетической энергией. Численно она равна половине произведения массы на квадрат скорости (в коментах напишите, кто при встрече с бетонной стеной ухандокается сильнее: 1000-килограммовый седан на скорости 110 км/ч или же 2-тонный внедорожник на 75 км/ч?). А у остановившегося автомобиля кинетической энергии нет, ибо скорость нулевая. Но мы же помним, что энергия просто так никуда не пропадает, она лишь переходит из одного вида в другой. Куда же перешла вся кинетическая энергия при торможении? А перешла она в тепловую – асфальт и шины тупо нагрелись. И заставила их нагреться сила трения Fтр. При этом, до момента торможения автомобиль проходит какой-то путь S. Таким образом, сила трения (которая зависит от массы m, ускорения свободного падения g и коэффициента трения µ) совершает работу по остановке автомобиля, равную произведению силы трения на это расстояние. И, поскольку вся кинетическая энергия пошла на работу по нагреву шин и асфальта, мы их тупо приравниваем:

Как нетрудно заметить, в третьей строке у нас сократились массы в левой и правой части. Физический смысл такого сокращения описан выше – это эквивалентность инертной (в левой части) и гравитационной (в правой) масс. Чем сильнее разогнать массивное инертное тело, тем неохотнее оно будет останавливаться. С другой стороны, чем больше масса тела, тем сильнее оно прижимается к Земле, тем выше сила трения, которая тормозит эту массу. Таким образом, тормозной путь автомобиля зависит только от скорости и коэффициента трения µ.

НО! Всё вышесказанное справедливо только при условии, что дорога идеально ровная, и все колёса обоих сравниваемых автомобилей тормозят юзом. Впрочем, пока что информации хватит. Если тема покажется интересной, то обо всех этих нюансах и об отличиях теории от реалий поговорим в следующий раз.

Задача №42. Определение силы и времени торможения автомобиля

Известно, что грузовой автомобиль массой пять тысяч килограмм движется по горизонтальному пути со скоростью семьдесят два километра в час (20 метров в секунду).
Необходимо: определить силу и время торможения автомобиля, если тормозной путь составил пять метров.

Дано: m=5000 кг; v=20 м/сек; s=5 м
Найти: F-?; t-?

Исходя из того, что работа силы торможения численно равна изменению кинетической энергии движущегося автомобиля , при условии, что v_t=0: