Как найти модуль скорости двух тел

Чему равен модуль скорости второго тела относительно первого?

Скорость тела характеризуется направлением и модулем. Иными словами, модуль скорости – это число, которое показывает, насколько стремительно тело передвигается в пространстве. Перемещение полагает метаморфоза координат.

Инструкция

1. Введите систему координат, касательно которой вы будете определять направление и модуль скорости . Если в задаче теснее задана формула зависимости скорости от времени, вводить систему координат не надобно – предполагается, что она теснее есть.

2. По имеющейся функции зависимости скорости от времени дозволено обнаружить значение скорости в всякий момент времени t. Пускай, скажем, v=2t?+5t-3. Если требуется обнаружить модуль скорости в момент времени t=1, примитивно подставьте это значение в уравнение и посчитайте v: v=2+5-3=4.

3. Когда задача требует обнаружить скорость в исходный момент времени, подставьте в функцию t=0. Таким же образом дозволено обнаружить время, подставив вестимую скорость. Так, в конце пути тело остановилось, то есть, его скорость стала равна нулю. Тогда 2t?+5t-3=0. Отсель t=[-5±?(25+24)]/4=[-5±7]/4. Получается, что либо t=-3, либо t=1/2, а от того что время не может быть негативным, остается только t=1/2.

4. Изредка в задачах уравнение скорости дается в завуалированной форме. Скажем, в условии сказано, что тело двигалось равноускоренно с негативным убыстрением -2 м/с?, а в первоначальный момент скорость тела составляла 10 м/с. Негативное убыстрение обозначает, что тело равномерно замедлялось. Из этих условий дозволено составить уравнение для скорости : v=10-2t. С всей секундой скорость будет уменьшаться на 2 м/с, пока тело не остановится. В конце пути скорость обнулится, следственно легко обнаружить всеобщее время движения: 10-2t=0, откуда t=5 секунд. Через 5 секунд позже начала движения тело остановится.

5. Помимо откровенного движения тела, существует еще и движение тела по окружности. В всеобщем случае оно является криволинейным. Тут появляется центростремительное убыстрение, которое связано с линейной скоростью формулой a(c)=v?/R, где R – радиус. Комфортно рассматривать также угловую скорость ?, причем v=?R.

Модуль числа n представляет собой число единичных отрезков от начала координат до точки n. Причем не главно, в какую сторону будет отсчитываться это расстояние – вправо либо налево от нуля.

Инструкция

1. Модуль числа также принято называть безусловной величиной этого числа . Он обозначается короткими вертикальными линиями, проведенными слева и справа от числа . Скажем, модуль числа 15 записывается дальнейшим образом: |15|.

2. Помните, что модуль может быть только позитивным числом либо нулем. Модуль позитивного числа равен самому числу. Модуль нуля равен нулю. То есть для всякого числа n, которое огромнее либо равно нулю, будет объективна дальнейшая формула |n| = n. Скажем, |15| = 15, то есть модуль числа 15 равен 15-ти.

3. Модулем негативного числа будет то же число, но с противоположным знаком. То есть для всякого числа n, которое поменьше нуля, будет объективна формула |n| = -n. Скажем, |-28| = 28. Модуль числа -28 равен 28-ми.

4. Дозволено находить модули не только для целых, но и для дробных чисел. Причем в отношении дробных чисел действуют те же правила. Скажем, |0,25| = 25, то есть модуль числа 0,25 будет равен 0,25. А |-?| = ?, то есть модуль числа -? будет равен ?.

5. При работе с модулями пригодно знать, что модули противоположных чисел неизменно равны друг другу, то есть |n| =|-n|. Это является основным свойством модулей. Скажем, |10| = |-10|. Модуль числа 10 равен 10-ти, верно так же, как модуль числа -10. Помимо того, |a – b| = |b – a|, потому что расстояние от точки a до точки b и расстояние от b до a равны друг другу. Скажем, |25 – 5| = |5 – 25|, то есть |20| = |- 20|.

Для нахождения метаморфозы скорости определитесь с типом движения тела. В случае если движение тела равномерно, изменение скорости равно нулю. Если тело движется с убыстрением, то изменение его скорости в весь момент времени дозволено узнать, если отнять от мгновенной скорости в данный момент времени его исходную скорость.

Вам понадобится

• секундомер, спидометр, радар, рулетка, акселерометр.

Инструкция

1. Определение метаморфозы скорости произвольно движущегося по прямой траекторииС поддержкой спидометра либо радара измерьте скорость тела в начале и конце отрезка пути. После этого от финального итога отнимите первоначальный, это и будет изменение скорости тела.

2. Определение метаморфозы скорости тела, движущегося с ускорениемНайдите убыстрение тела. Используйте акселерометр либо динамометр. Если знаменита масса тела, тогда силу, действующую на тело, поделите на его массу (a=F/m). Позже этого измерьте время, за которое происходил процесс метаморфозы скорости . Дабы обнаружить изменение скорости , умножьте значение убыстрения на время, за которое происходило это изменение (?v=a•t). Если убыстрение измерить в метрах на секунду в квадрате, а время – в секундах, то скорость получится в метрах на секунду. Если нет вероятности замерить время, но вестимо, что скорость менялась на определенном отрезке пути, спидометром либо радаром, измерьте скорость в начале этого отрезка, после этого с поддержкой рулетки либо дальномера измерьте длину этого пути и убыстрение. Любым из вышеописанных способов измерьте убыстрение, которое действовало на тело. Позже этого обнаружьте финальную скорость тела в конце участка пути. Для этого возведите исходную скорость в квадрат, прибавьте к ней произведение длины участка на убыстрение и число 2. Из итога извлеките квадратный корень. Дабы обнаружить изменение скорости , от полученного итога отнимите значение исходной скорости .

3. Определение метаморфозы скорости тела при поворотеЕсли изменилась не только величина, но и направление скорости , то обнаружьте ее изменение через векторную разность исходной и финальной скорости . Для этого измерьте угол между векторами. После этого от суммы квадратов скоростей отнимите удвоенное их произведение, умноженное на косинус угла между ними: v1?+v2?-2v1v2•Cos(?). Из полученного числа извлеките квадратный корень.

Видео по теме

Для определения скорости разных видов движения потребуются различные формулы. Дабы определить скорость равномерного движения, расстояние поделите на время его прохождения. Среднюю скорость движения находите сложением всех отрезков, которое прошло тело, на всеобщее время движения. При равноускоренном движении узнайте убыстрение, с которым двигалось тело, а при свободном падении высоту, с которой оно предисловие движение.

Вам понадобится

• дальномер, секундомер, акселерометр.

Инструкция

1. Скорость равномерного движения и средняя скоростьИзмерьте расстояние с поддержкой дальномера, которое прошло тело, а время, за которое оно его одолело, с поддержкой секундомера. Позже этого поделите расстояние, пройденное телом на время его прохождения, итогом будет скорость равномерного движения (v=S/t). Если тело движется неравномерно, произведите те же измерения и примените ту же формулу – тогда получите среднюю скорость тела. Это значит, что если бы тело по данному отрезку пути двигалось с полученной скоростью, оно было бы в пути время, равное измеренному. Если тело движется по окружности, измерьте ее радиус и время прохождения полного цикла, после этого радиус умножьте на 6,28 и поделите на время (v=6,28•R/t). Во всех случаях итог получится в метрах в секунду. Для перевода в километры в час помножьте его на 3,6.

2. Скорость равноускоренного движенияИзмерьте убыстрение тела с поддержкой акселерометра либо динамометра, если знаменита масса тела. Секундомером замерьте время движения тела и его исходную скорость, если тело не начинает двигаться из состояния покоя. Если же тело двигается из состояния покоя, она равна нулю. Позже этого узнайте скорость тела, прибавив к исходной скорости произведение убыстрения на время (v=v0+at).

3. Скорость вольно падающего телаС поддержкой дальномера измерьте высоту, с которой падает тело в метрах. Дабы узнать скорость, с которой оно долетит до поверхности Земли (без контроля сопротивления воздуха), умножьте высоту на 2 и на число 9,81 (убыстрение свободного падения). Из итога извлеките квадратный корень. Дабы обнаружить скорость тела на всякий высоте, применяйте ту же методологию, только от исходной высоты, отнимайте нынешнюю и полученное значение подставляйте взамен высоты.

Видео по теме

Человек привык воспринимать представление “скорость ” как что-то больше примитивное, чем это есть на самом деле. Подлинно, проносящийся на перекрестке автомобиль движется с определенной скорость ю, в то время как человек стоит и отслеживает за ним. Но если человек находится в движении, то умнее говорить не об безусловной скорости, а об относительной ее величине. Обнаружить относительную скорость дюже легко.

Инструкция

1. Дозволено продолжить рассмотрение темы движущегося на перекрестка на автомобиле. Человек же, стоя на красном свете светофора, стоит и глядит на проезжающий автомобиль. Человек статичен, следственно примем его за систему отсчета. Система отсчета – такая система, касательно которой движется какое-нибудь тело либо другая физическая точка.

2. Возможен, автомобиль движется со скорость ю 50 км/ч. Но, возможен, что человек побежал следом автомобилю (дозволено, скажем, взамен автомобиля представить маршрутку либо проезжающий мимо автобус). Скорость бега человека 12 км/ч. Таким образом, скорость данного механического транспортного средства представится человеку не столь и стремительной, как было прежде, когда он стоял! В этом каждая и суть относительной скорости. Относительная скорость неизменно измеряется касательно подвижной системы отсчета. Таким образом, скорость автомобиля не будет для пешехода 50 км/ч, а 50 – 12 = 38 км/ч.

3. Дозволено разглядеть еще один живой пример. Довольно припомнить всякий из моментов, когда человек, сидя у окна автобуса, отслеживает за проносящимися мимо автомобилями. Подлинно, из окна автобуса их скорость кажется примитивно потрясающей. И это не изумительно, чай, если принять автобус за систему отсчета, то скорость автомобиля и скорость автобуса надобно будет сложить. Возможен, что автобус движется со скорость ю 50 км/ч, а машины 60 км/ч. Тогда 50 + 60 = 110 км/ч. Именно с такой скорость ю эти самые автомобили проносятся мимо автобуса и пассажиров в нем.Эта же скорость будет объективна и действительна и в том случае, если за систему отсчета принять всякий из проезжающих мимо автобусов автомобилей.

Кинематика постигает разные виды движения тела с заданной скоростью, направлением и траекторией. Дабы определить его расположение касательно точки начала пути, надобно обнаружить перемещение тела .

Инструкция

1. Движение тела происходит по некоторой траектории. В случае откровенного движения ею является прямая линия, следственно обнаружить перемещение тела достаточно примитивно: оно равно пройденному пути. В отвратном случае определить его дозволено по координатам исходного и финального расположения в пространстве.

2. Величина перемещения физической точки является векторной, от того что она имеет направление. Следственно, дабы обнаружить ее числовое значение, нужно вычислить модуль вектора, соединяющего точки начала пути и его окончания.

3. Разглядим двухмерное координатное пространство. Пускай тело проделало путь от точки A (x0, y0) до точки B (x, y). Тогда, дабы обнаружить длину вектора АВ, опустите проекции его концов на оси абсцисс и ординат. Геометрически проекции касательно той и иной координатной оси дозволено представить в виде катетов прямоугольного треугольника с длинами:Sx = x – x0;Sy = y – y0, где Sx и Sy – проекции вектора на соответствующих осях.

4. Модуль вектора, т.е. длина перемещения тела , в свою очередь, является гипотенузой этого треугольника, длину которой легко определить по теореме Пифагора. Он равен квадратному корню из суммы квадратов проекций:S = ?(Sx? + Sy?).

5. В трехмерном пространстве:S = ?(Sx? + Sy? + Sz?), где Sz = z – z0.

6. Это формула является всеобщей для всякий разновидности движения. Вектор перемещения владеет несколькими свойствами: • его модуль не может превышать длину пройденного пути;• проекция перемещения может быть как позитивной, так и негативной величиной, в то время как величина пути неизменно огромнее нуля;• в всеобщем случае перемещение не совпадает с траекторией движения тела , а его модуль не равен пути.

7. В частном случае откровенного движения тело перемещается только по одной оси, скажем, оси абсцисс. Тогда длина перемещения равна разности финальной и исходной первой координаты точек:S = x – x0.

От модуля исходной скорости во многом зависят колляции движения тела. Для того дабы обнаружить эту величину, нужно воспользоваться дополнительными измерениями либо данными. Величина модуля исходной скорости может являться основополагающей колляцией, скажем, для огнестрельного оружия.

Вам понадобится

• – рулетка;
• – дальномер;
• – секундомер;
• – акселерометр;
• – спидометр;
• – угломер;
• – хронограф.

Инструкция

1. Вначале определитесь с типом движения. Если оно равномерное, то довольно измерить длину пути, по которому переместилось тело, сделав это рулеткой, дальномером либо иным доступным методом, и поделить это значение на время, за которое это перемещение осуществлялось. От того что движение равномерное, то модуль скорости на протяжении каждого пути будет идентичен, так что полученная скорость будет равна исходной.

2. При равноускоренном откровенном движении измерьте при помощи акселерометра убыстрение тела, а с подмогой секундомера время его движения, спидометром финальную скорость в конце отрезка пути. Обнаружьте значение модуля исходной скорости, отняв от финальной скорости произведение убыстрения на время движения v0=v-a*t. Если незнакомо значение убыстрения, измеряйте расстояние, которое покрыло тело за время t. Сделайте это при помощи рулетки либо дальномера.

3. Зафиксируйте значение финальной скорости. Обнаружьте исходную скорость, отняв от удвоенного значения расстояния S, поделенного на время, значение финальной скорости v, v0=2S/t-v. Когда значение финальной скорости измерить трудно, а убыстрение знаменито, воспользуйтесь иной формулой. Для этого измеряйте перемещение тела, а также время, которое оно было в пути. От значения перемещения отнимите произведение убыстрения на квадрат времени, поделенное на 2, а итог поделите на время, v0=(S-at?/2)/t либо v0=S/t-at/2.

4. Когда тело начинает движение под углом к горизонту, на него воздействует сила тяжести. Для того дабы обнаружить модуль исходной скорости, при помощи угломера замеряйте угол к горизонту, под которым тело начинает двигаться. При помощи рулетки либо дальномера замеряйте расстояние, на котором тело упадет на поверхность земли. Дабы определить модуль исходной скорости, расстояние S поделите на синус удвоенного угла ?. Из полученного итога извлеките квадратный корень, v0=?(S/sin(2?)).

5. Дабы измерить модуль исходной скорости пули, выпущенной из стрелкового оружия, используйте хронограф. Для этого установите его так, как указано в его инструкции, от того что хронографы бывают различных типов. Позже этого сделайте выстрел из оружия, на табло хронографа появится итог. Выстрелите еще несколько раз и возьмите среднее значение показаний хронографа. Это и будет модуль исходной скорости пули, выпущенного из данного типа стрелкового оружия.

В очередной раз меня попросили решить пару задачек по физике, и я вдруг обнаружил, что не могу решить их с ходу. Немного погуглив, я обнаружил, что сайты в топе выдачи содержат сканы одного и того же учебника и не описывают конкретных примеров решений задачи о том, как найти вектор скорости и ускорения материальной точки. По-этому я решил поделиться с миром примером своего решения.

Траектория движения материальной точки через радиус-вектор

Подзабыв этот раздел математики, в моей памяти уравнения движения материальной точки всегда представлялись при помощи знакомой всем нам зависимости y(x) , и взглянув на текст задачи, я немного опешил когда увидел векторы. Оказалось, что существует представление траектории материальной точки при помощи радиус-вектора — вектора, задающего положение точки в пространстве относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат.

Формула траектория движения материальной точки помимо радиус-вектора описывается так же ортами — единичными векторами i, j , k в нашем случае совпадающими с осями системы координат. И, наконец, рассмотрим пример уравнения траектории материальной точки (в двумерном пространстве):

Что интересного в данном примере? Траектория движения точки задается синусами и косинусами, как вы думаете, как будет выглядеть график в всем нам знакомом представлении y(x) ? «Наверное какой-то жуткий», подумали вы, но все не так сложно как кажется! Попробуем построить траекторию движения материальной точки y(x), если она движется по представленному выше закону:

Здесь я заметил квадрат косинуса, если вы в каком-нибудь примере видите квадрат синуса или косинуса, это значит что нужно применять основное тригонометрическое тождество, что я и сделал (вторая формула) и преобразовал формулу координаты y, чтобы вместо синуса подставить в нее формулу изменения x:

В итоге жуткий закон движения точки оказался обычной параболой, ветви которой направлены вниз. Надеюсь, вы поняли примерный алгоритм построения зависимости y(x) из представления движения через радиус-вектор. Теперь перейдем к нашему главному вопросу: как же найти вектор скорости и ускорения материальной точки, а так же их модули.

Вектор скорости материальной точки

Всем известно, что скорость материальной точки — это величина пройденного пути точкой за единицу времени, то есть производная от формулы закона движения. Чтобы найти вектор скорости нужно взять производную по времени. Давайте рассмотрим конкретный пример нахождения вектора скорости.

Пример нахождения вектора скорости

Имеем закон перемещения материальной точки:

Теперь нужно взять производную от этого многочлена, если вы забыли как это делается, то вот вам таблица производных различных функций. В итоге вектор скорости будет иметь следующий вид:

Все оказалось проще, чем вы думали, теперь найдем вектор ускорения материальной точки по тому же самому закону, представленному выше.

Как найти вектор ускорения материальной точки

Вектор ускорения точки это векторная величина, характеризующая изменение с течением времени модуля и направления скорости точки. Чтобы найти вектор ускорения материальной точки в нашем примере, нужно взять производную, но уже от формулы вектора скорости, представленной чуть выше:

Модуль вектора скорости точки

Теперь найдем модуль вектора скорости материальной точки. Как вы знаете из 9-го класса, модуль вектора — это его длина, в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат. И откуда же из полученного нами выше вектора скорости взять его координаты спросите вы? Все очень просто:

Теперь достаточно только подставить время, указанное в задаче и получить конкретное числовое значение.

Модуль вектора ускорения

Как вы поняли из написанного выше (и из 9-го класса), нахождение модуля вектора ускорения происходит тем же образом, что и модуля вектора скорости: извлекаем корень квадратный из суммы квадратов координат вектора, все просто! Ну и вот вам, конечно же, пример:

Как вы видите, ускорение материальной точки по заданному выше закону не зависит от времени и имеет постоянную величину и направление.

Еще примеры решений задачи нахождения вектора скорости и ускорения

А вот тут вы можете найти примеры решения и других задач по физике на тему «механика твердых тел». А для тех, кто не совсем понял как найти вектор скорости и ускорения, вот вам еще парочка примеров из сети без всяких лишних объяснений, надеюсь, они вам помогут.

Если у вас возникли какие-нибудь вопросы, вы можете задать их в комментариях.

Основываясь на определении скорости, мы можем утверждать, что скорость является вектором. Она непосредственно выражается через вектор-перемещения, отнесенный к промежутку времени, и должна обладать всеми свойствами вектора перемещения.

Направление вектора скорости, так же как направление физически малого вектора перемещения, определяется по чертежу траектории. В этом можно наглядно убедиться на простых примерах.

Если к вращающемуся точильному камню прикоснуться железной пластинкой, то снимаемые им опилки приобретут скорость тех точек камня, к которым прикасалась пластинка, и затем улетят в направлении вектора этой скорости. Все точки камня движутся по окружностям. Во время опыта хорошо видно, что отрывающиеся раскаленные частички-опилки уходят по касательным к этим окружностям, указывая направления векторов скоростей отдельных точек вращающегося точильного камня.

Обратите внимание на то, как расположены выходные трубы у кожуха центробежного водяного насоса или у сепаратора для молока. В этих машинах частицы жидкости заставляют двигаться по окружностям и затем дают им возможность выйти в отверстие, расположенное в направлении вектора той скорости, которую они имеют в момент выхода. Направление вектора скорости в этот момент совпадает с направлением касательной к траектории движения частиц жидкости. И выходная труба тоже направлена по этой касательной.

Точно так же обеспечивают выход частиц в современных ускорителях электронов и протонов при ядерных исследованиях.

Итак, мы убедились, что направление вектора скорости определяется по траектории движения тела. Вектор скорости всегда направлен вдоль касательной к траектории в той точке, через которую проходит движущееся тело.

Для того чтобы определить, в какую сторону вдоль касательной направлен вектор скорости и каков его модуль, нужно обратиться к закону движения. Допустим, что закон движения задан графиком, показанным на рис. 1.54. Возьмем приращение длины пути соответствующее малому вектору по которому определяется вектор скорости. Вспомним, что Знак указывает

направление движения по траектории, а следовательно, определяет ориентировку вектора скорости вдоль касательной. Очевидно, что через модуль этого приращения длины пути будет определяться модуль скорости.

Таким образом, модуль вектора скорости и ориентировку вектора скорости вдоль касательной к траектории можно определить из соотношения

Здесь является алгебраической величиной, знак которой указывает, в какую сторону по касательной к траектории направлен вектор скорости.

Итак, мы убедились, что модуль вектора скорости может быть найден по графику закона движения. Отношение определяет угол наклона а касательной на этом графике. Наклон касательной на графике закона движения будет тем больше, чем больше т. е. чем больше в выбранный момент скорость движения.

Еще раз обратим внимание на то, что для полного определения скорости требуется одновременное знание траектории и закона движения. Чертеж траектории позволяет определить направление скорости, а график закона движения — ее модуль и знак.

Если теперь мы обратимся снова к определению механического движения, то убедимся в том, что после введения понятия скорости для полного описания любого движения больше ничего не требуется. Используя понятия радиус-вектора, вектора перемещения, вектора скорости, длины пути, траектории и закона движения, можно получить ответы на все вопросы, связанные с определением особенностей любого движения. Все эти понятия взаимосвязаны друг с другом, причем знание траектории и закона движения позволяет найти любую из этих величин.

Содержание:

• Определение и формула скорости
• Скорость в разных системах координат
• Частные случаи формул для вычисления скорости
• Единицы измерения скорости
• Примеры решения задач

Определение и формула скорости

Скорость имеет направление указывающее направление движения материальной точки и лежит на касательной к траектории ее движения.
Модуль скорости можно определить как первую производную от длины пути (s) по времени:

$$v=frac{d s}{d t}=dot{s}(2)$$

Скорость характеризует быстроту перемещения в направлении движения точки по отношениюк рассматриваемой системе координат.

Скорость в разных системах координат

Проекции скорости на оси декартовой системы координат запишутся как:

$$v_{x}=dot{x} ; v_{y}=dot{y} ; v_{z}=dot{z}(3)$$

Следовательно, вектор скоростив декартовых координатах можно представить:

$$bar{v}=dot{x} bar{i}+dot{y} bar{j}+dot{z} bar{k}(4)$$

где $bar{i}, bar{j}, bar{k}$ единичные орты. При этом модуль вектора скорости находят при помощи формулы:

$$v=sqrt{(dot{x})^{2}+(dot{y})^{2}+(dot{z})^{2}}(5)$$

В цилиндрических координатах модуль скорости вычисляют при помощи формулы:

$$v=sqrt{(dot{rho})^{2}+(rho dot{varphi})^{2}+(dot{z})^{2}}(6)$$

в сферической системе координат:

$$v=sqrt{(r)^{2}+(r dot{theta})^{2}+(r dot{varphi} sin theta)^{2}}(7)$$

Частные случаи формул для вычисления скорости

Если модуль скорости не изменяется во времени, то такое движение называют равномерным (v=const).
При равномерном движении скорость можно вычислить, применяя формулу:

$$v=frac{s}{t}(8)$$

где s– длина пути, t – время, за которое материальная точка преодолела путь s.

При ускоренном движении скорость можно найти как:

$$bar{v}=int_{t_{1}}^{t_{2}} bar{a} d t(9)$$

где $bar{a}$ – ускорение точки,
$t_{1} leq t leq t_{2}$ – отрезок времени, в течение которого рассматривается скорость.

Если движение является равнопеременным, то применяется следующая формула для вычисления скорости:

$$bar{v}=bar{v}_{0}+bar{a} t$$

где $bar{v}_0$ – начальная скорость движения,
$bar{a} = const$ .

Единицы измерения скорости

Основной единицей измерения скорости в системе СИ является: [v]=м/с²

В СГС: [v]=см/с²

Примеры решения задач

Читать дальше: Формула средней скорости.

Под относительностью понимают зависимость чего-либо от выбора системы отсчета. Так, покой и движение тела, его положение в пространстве всегда относительны. Человек, сидящий внутри движущегося автомобиля, покоится относительно этого автомобиля. Но относительно предметов снаружи он движется с некоторой скоростью.

Относительность перемещения

Пусть движение материальной точки (МТ) описывается относительно двух систем отсчета: подвижной (ПСО) и неподвижной (НСО). Зная, как эта точка движется относительно ПСО, и, как ПСО движется относительно НСО, можно вычислить перемещение точки относительно НСО. В этом заключается правило сложения перемещений:

s′ = s₁ + s₂

s′ — перемещение МТ относительно НСО, s₁— перемещение МТ относительно ПСО, s₂ — перемещение ПСО относительно НСО.

Чтобы применять правило сложения перемещений, нужно уметь складывать вектора.

Полезные факты

• Если тело движется в направлении движения ПСО, то модуль его перемещения относительно НСО равен сумме модулей перемещения этого тела относительно ПСО и перемещения ПСО относительно НСО:

s′ = s₁ + s₂

• Если тело движется противоположно движению ПСО, то модуль его перемещения относительно НСО равен разности модулей перемещения этого тела относительно ПСО и перемещения ПСО относительно НСО:

s′ = s₁ – s₂

• Если тело движется под прямым углом по отношению к направлению движения ПСО, то модуль его перемещения относительно НСО равен корню из суммы квадратов перемещений этого тела относительно ПСО и перемещения ПСО относительно НСО:

s′ = √(s₁² + s₂²)

• Если относительно ПСО тело покоится, то его перемещение относительно НСО равно перемещению ПСО относительно НСО: при s₁=0, перемещение s′ = s₂
• Если тело движется относительно двух НСО, то его перемещение относительно НСО₁ равно перемещению движения относительно НСО₂. В этом случае одну из систем можно принять за ПСО с нулевой скоростью. Тогда ее перемещение относительно НСО будет равно 0. При s₂=0, перемещение s′ = s₁

Пример №1. Человек прошел в автобусе 2 метра в направлении заднего выхода. За это же время автобус успел переместиться относительно остановки на 10 м. Найти перемещение человека относительно автобусной остановки.

Так как человек двигался в сторону конца автобуса, он двигался противоположно его движению. В этом случае его перемещение будет равно модулю разности перемещений, совершенных человеком относительно автобуса и автобусом относительно остановки:

s′=|s₁ – s₂|=|10 – 2|=8 (м).

Относительность скорости в ПСО и НСО

Тела и системы отсчета могут двигаться с различной скоростью. Но, зная скорость движения МТ относительно ПСО и скорость движения ПСО относительно НСО, можно вычислить скорость движения МТ относительно НСО. В этом заключается правило сложения скоростей:

v′ = v + u

v′ — скорость МТ относительно НСО, v — скорость МТ относительно ПСО, u — скорость движения ПСО относительно НСО.

Складывая векторы скоростей, нужно пользоваться правилами сложения векторов.

Полезные факты

• Если тело движется в направлении движения ПСО, то модуль его скорости относительно НСО равен сумме модулей скорости этого тела относительно ПСО и скорости ПСО относительно НСО:

v′ = v + u

• Если тело движется противоположно движению ПСО, то модуль его скорости относительно НСО равен разности модуля скорости этого тела относительно ПСО и скорости ПСО относительно НСО:

v′ = v – u

• Если тело движется под прямым углом по отношению к направлению движения ПСО, то модуль его скорости относительно НСО равен корню из суммы квадратов скорости этого тела относительно ПСО и скорости ПСО относительно НСО:

v′ = √(v² + u²)

• Если относительно ПСО тело покоится, то его скорость относительно НСО равна скорости ПСО относительно НСО: при v=0, скорость v′ = u
• Если тело движется относительно двух НСО, то его скорость относительно НСО1 равна скорости движения относительно НСО2. В этом случае одну из неподвижных систем можно принять за ПСО с нулевой скоростью. При u=0, скорость v′ = u

Пример №2. Моторная лодка должна пересечь реку, скорость течения которой равна 5 км/ч, по кратчайшему пути. Собственная скорость лодки равна 10 км/ч. Определить, под каким углом к берегу должна быть направлена лодка, чтобы она не отклонялась от кратчайшего пути.

Кратчайшим путем между двумя параллельными линиями является отрезок, заключенный между этими линиями при условии, что он лежит на прямой, пересекающей эти линии под прямым углом. На рисунке этот путь отметим отрезком АВ.

Лодка движется прямолинейно. Поэтому направление ее скорости относительно берега совпадает с направлением перемещения:

Векторы скоростей образуют прямоугольный треугольник, и собственная скорость лодки направлена к берегу под некоторым углом α. Косинус этого угла равен отношению прилегающего катета (скорости лодки относительно реки) к гипотенузе (скорости течения реки):

Косинусу 0,5 соответствует угол, равный 60 градусам.

Относительная скорость двух тел

Понятие относительной скорости вводится, когда рассматривается движение двух тел относительно друг друга внутри одной и той же системы отсчета (СО). Примером служат два движущихся автомобиля, в то время как их движение рассматривается относительно неподвижного объекта.

Относительная скорость равна векторной разности скоростей первого и второго тела относительно СО:

v_отн = v₁– v₂

v_отн — относительная скорость, или скорость первого тела относительно второго, v₁ и v₂ — скорость первого и второго тела относительно СО.

Варианты обозначения относительной скорости и их проекций:

• v₁₂ — скорость первого тела относительно второго. Ее проекция равна:

v_12x = v_1x – v_2x

• v₂₁ — скорость второго тела относительно первого. Ее проекция равна v_21x = v_2x – v_1x

Для вычисления относительной скорости движения тела важно уметь применять правила вычитания векторов.

Полезные факты

• Если тела движутся в одном направлении, то относительная скорость равна модулю разности скоростей первого и второго тела:

v_отн = |v₁ – v₂|

• Если тела движутся в противоположных направлениях, то относительная скорость равна сумме скоростей первого и второго тела:

v_отн = |v₁ + v₂|

• Если тела движутся взаимно перпендикулярно, то относительная скорость равна корню из суммы квадратов скоростей первого и второго тела:

v_отн = √(v₁² + v₂²)

Пример №3. Два автомобиля движутся противоположно друг другу. Скорость первого автомобиля относительно дороги равна 100 км/ч. Скорость второго автомобиля относительно первого равна 180 км/ч. Найти модуль скорости второго автомобиля относительно дороги.

Так как автомобили движутся в противоположном направлении, относительная скорость равна сумме скоростей первого и второго автомобиля. Поэтому скорость второго равна разности относительной скорости и скорости движения второго тела, которым в данном случае является первый автомобиль:

Скорость второго автомобиля относительно дороги равна 80 км/час.

Правила сложения векторов

Эта таблица иллюстрирует правила сложения векторов на примере векторов a и b. Результатом их сложения является вектор c .

Сложение двух сонаправленных векторов
	Суммой двух сонаправленных векторов является вектор, направленный в ту же сторону. Его длина равна сумме длин слагаемых векторов: c = a + b.
Сложение двух противоположно направленных векторов
	Суммой двух противоположно направленных векторов является вектор, направленный в сторону большего по модулю вектора. Его длина равна модулю разности длин слагаемых векторов: c = |a – b|.
Сложение двух векторов, расположенных друг к другу под углом
Суммой двух векторов, расположенных друг к другу под углом является вектор, направление которого определяется графически методом треугольника или параллелограмма. Его длина зависит от величины угла, под которым расположены два слагаемых векторов.
	Если слагаемые векторы перпендикулярны, для вычисления длины вектора их суммы используется теорема Пифагора: .
	Если слагаемые векторы расположены под тупым углом α, для вычисления длины вектора их суммы используется теорема косинусов: .
	Если слагаемые векторы расположены под острым углом α, для вычисления длины вектора их суммы используется теорема косинусов: .

Правила вычитания векторов

Эта таблица иллюстрирует правила вычитания векторов на примере векторов Результатом их вычитания является вектор .

Вычитание двух сонаправленных векторов
	Разностью двух сонаправленных векторов является вектор, направленный в сторону большего по модулю вектора. Его длина равна модулю разности длин вычитаемых векторов: c = |a – b|.
Вычитание двух противоположно направленных векторов
	Разность двух противоположно направленных векторов есть вектор, направленный в сторону уменьшаемого вектора. Его длина равна сумме длин вычитаемых векторов: c = a + b.
Вычитание двух векторов, расположенных друг к другу под углом
Разностью двух векторов, расположенных друг к другу под углом является вектор, являющийся обратным вектору, образующемуся при сложении этих векторов. Его направление определяется графически. Его длина зависит от величины угла, под которым расположены два слагаемых векторов.
	Если вычитаемые векторы перпендикулярны, для вычисления длины вектора их разности используется теорема Пифагора: .
	Если вычитаемые векторы расположены под углом α, для вычисления длины вектора их разности используется теорема косинусов: .

Алиса Никитина | Просмотров: 7.3k