Как найти модуль скорости точек

Как найти модуль скорости точек

Скорость тела характеризуется направлением и модулем. Иными словами, модуль скорости – это число, которое показывает, насколько стремительно тело передвигается в пространстве. Перемещение полагает метаморфоза координат.

Инструкция

1. Введите систему координат, касательно которой вы будете определять направление и модуль скорости . Если в задаче теснее задана формула зависимости скорости от времени, вводить систему координат не надобно – предполагается, что она теснее есть.

2. По имеющейся функции зависимости скорости от времени дозволено обнаружить значение скорости в всякий момент времени t. Пускай, скажем, v=2t?+5t-3. Если требуется обнаружить модуль скорости в момент времени t=1, примитивно подставьте это значение в уравнение и посчитайте v: v=2+5-3=4.

3. Когда задача требует обнаружить скорость в исходный момент времени, подставьте в функцию t=0. Таким же образом дозволено обнаружить время, подставив вестимую скорость. Так, в конце пути тело остановилось, то есть, его скорость стала равна нулю. Тогда 2t?+5t-3=0. Отсель t=[-5±?(25+24)]/4=[-5±7]/4. Получается, что либо t=-3, либо t=1/2, а от того что время не может быть негативным, остается только t=1/2.

4. Изредка в задачах уравнение скорости дается в завуалированной форме. Скажем, в условии сказано, что тело двигалось равноускоренно с негативным убыстрением -2 м/с?, а в первоначальный момент скорость тела составляла 10 м/с. Негативное убыстрение обозначает, что тело равномерно замедлялось. Из этих условий дозволено составить уравнение для скорости : v=10-2t. С всей секундой скорость будет уменьшаться на 2 м/с, пока тело не остановится. В конце пути скорость обнулится, следственно легко обнаружить всеобщее время движения: 10-2t=0, откуда t=5 секунд. Через 5 секунд позже начала движения тело остановится.

5. Помимо откровенного движения тела, существует еще и движение тела по окружности. В всеобщем случае оно является криволинейным. Тут появляется центростремительное убыстрение, которое связано с линейной скоростью формулой a(c)=v?/R, где R – радиус. Комфортно рассматривать также угловую скорость ?, причем v=?R.

Модуль числа n представляет собой число единичных отрезков от начала координат до точки n. Причем не главно, в какую сторону будет отсчитываться это расстояние – вправо либо налево от нуля.

Инструкция

1. Модуль числа также принято называть безусловной величиной этого числа . Он обозначается короткими вертикальными линиями, проведенными слева и справа от числа . Скажем, модуль числа 15 записывается дальнейшим образом: |15|.

2. Помните, что модуль может быть только позитивным числом либо нулем. Модуль позитивного числа равен самому числу. Модуль нуля равен нулю. То есть для всякого числа n, которое огромнее либо равно нулю, будет объективна дальнейшая формула |n| = n. Скажем, |15| = 15, то есть модуль числа 15 равен 15-ти.

3. Модулем негативного числа будет то же число, но с противоположным знаком. То есть для всякого числа n, которое поменьше нуля, будет объективна формула |n| = -n. Скажем, |-28| = 28. Модуль числа -28 равен 28-ми.

4. Дозволено находить модули не только для целых, но и для дробных чисел. Причем в отношении дробных чисел действуют те же правила. Скажем, |0,25| = 25, то есть модуль числа 0,25 будет равен 0,25. А |-?| = ?, то есть модуль числа -? будет равен ?.

5. При работе с модулями пригодно знать, что модули противоположных чисел неизменно равны друг другу, то есть |n| =|-n|. Это является основным свойством модулей. Скажем, |10| = |-10|. Модуль числа 10 равен 10-ти, верно так же, как модуль числа -10. Помимо того, |a – b| = |b – a|, потому что расстояние от точки a до точки b и расстояние от b до a равны друг другу. Скажем, |25 – 5| = |5 – 25|, то есть |20| = |- 20|.

Для нахождения метаморфозы скорости определитесь с типом движения тела. В случае если движение тела равномерно, изменение скорости равно нулю. Если тело движется с убыстрением, то изменение его скорости в весь момент времени дозволено узнать, если отнять от мгновенной скорости в данный момент времени его исходную скорость.

Вам понадобится

  • секундомер, спидометр, радар, рулетка, акселерометр.

Инструкция

1. Определение метаморфозы скорости произвольно движущегося по прямой траекторииС поддержкой спидометра либо радара измерьте скорость тела в начале и конце отрезка пути. После этого от финального итога отнимите первоначальный, это и будет изменение скорости тела.

2. Определение метаморфозы скорости тела, движущегося с ускорениемНайдите убыстрение тела. Используйте акселерометр либо динамометр. Если знаменита масса тела, тогда силу, действующую на тело, поделите на его массу (a=F/m). Позже этого измерьте время, за которое происходил процесс метаморфозы скорости . Дабы обнаружить изменение скорости , умножьте значение убыстрения на время, за которое происходило это изменение (?v=a•t). Если убыстрение измерить в метрах на секунду в квадрате, а время – в секундах, то скорость получится в метрах на секунду. Если нет вероятности замерить время, но вестимо, что скорость менялась на определенном отрезке пути, спидометром либо радаром, измерьте скорость в начале этого отрезка, после этого с поддержкой рулетки либо дальномера измерьте длину этого пути и убыстрение. Любым из вышеописанных способов измерьте убыстрение, которое действовало на тело. Позже этого обнаружьте финальную скорость тела в конце участка пути. Для этого возведите исходную скорость в квадрат, прибавьте к ней произведение длины участка на убыстрение и число 2. Из итога извлеките квадратный корень. Дабы обнаружить изменение скорости , от полученного итога отнимите значение исходной скорости .

3. Определение метаморфозы скорости тела при поворотеЕсли изменилась не только величина, но и направление скорости , то обнаружьте ее изменение через векторную разность исходной и финальной скорости . Для этого измерьте угол между векторами. После этого от суммы квадратов скоростей отнимите удвоенное их произведение, умноженное на косинус угла между ними: v1?+v2?-2v1v2•Cos(?). Из полученного числа извлеките квадратный корень.

Видео по теме

Для определения скорости разных видов движения потребуются различные формулы. Дабы определить скорость равномерного движения, расстояние поделите на время его прохождения. Среднюю скорость движения находите сложением всех отрезков, которое прошло тело, на всеобщее время движения. При равноускоренном движении узнайте убыстрение, с которым двигалось тело, а при свободном падении высоту, с которой оно предисловие движение.

Вам понадобится

  • дальномер, секундомер, акселерометр.

Инструкция

1. Скорость равномерного движения и средняя скоростьИзмерьте расстояние с поддержкой дальномера, которое прошло тело, а время, за которое оно его одолело, с поддержкой секундомера. Позже этого поделите расстояние, пройденное телом на время его прохождения, итогом будет скорость равномерного движения (v=S/t). Если тело движется неравномерно, произведите те же измерения и примените ту же формулу – тогда получите среднюю скорость тела. Это значит, что если бы тело по данному отрезку пути двигалось с полученной скоростью, оно было бы в пути время, равное измеренному. Если тело движется по окружности, измерьте ее радиус и время прохождения полного цикла, после этого радиус умножьте на 6,28 и поделите на время (v=6,28•R/t). Во всех случаях итог получится в метрах в секунду. Для перевода в километры в час помножьте его на 3,6.

2. Скорость равноускоренного движенияИзмерьте убыстрение тела с поддержкой акселерометра либо динамометра, если знаменита масса тела. Секундомером замерьте время движения тела и его исходную скорость, если тело не начинает двигаться из состояния покоя. Если же тело двигается из состояния покоя, она равна нулю. Позже этого узнайте скорость тела, прибавив к исходной скорости произведение убыстрения на время (v=v0+at).

3. Скорость вольно падающего телаС поддержкой дальномера измерьте высоту, с которой падает тело в метрах. Дабы узнать скорость, с которой оно долетит до поверхности Земли (без контроля сопротивления воздуха), умножьте высоту на 2 и на число 9,81 (убыстрение свободного падения). Из итога извлеките квадратный корень. Дабы обнаружить скорость тела на всякий высоте, применяйте ту же методологию, только от исходной высоты, отнимайте нынешнюю и полученное значение подставляйте взамен высоты.

Видео по теме

Человек привык воспринимать представление “скорость ” как что-то больше примитивное, чем это есть на самом деле. Подлинно, проносящийся на перекрестке автомобиль движется с определенной скорость ю, в то время как человек стоит и отслеживает за ним. Но если человек находится в движении, то умнее говорить не об безусловной скорости, а об относительной ее величине. Обнаружить относительную скорость дюже легко.

Инструкция

1. Дозволено продолжить рассмотрение темы движущегося на перекрестка на автомобиле. Человек же, стоя на красном свете светофора, стоит и глядит на проезжающий автомобиль. Человек статичен, следственно примем его за систему отсчета. Система отсчета – такая система, касательно которой движется какое-нибудь тело либо другая физическая точка.

2. Возможен, автомобиль движется со скорость ю 50 км/ч. Но, возможен, что человек побежал следом автомобилю (дозволено, скажем, взамен автомобиля представить маршрутку либо проезжающий мимо автобус). Скорость бега человека 12 км/ч. Таким образом, скорость данного механического транспортного средства представится человеку не столь и стремительной, как было прежде, когда он стоял! В этом каждая и суть относительной скорости. Относительная скорость неизменно измеряется касательно подвижной системы отсчета. Таким образом, скорость автомобиля не будет для пешехода 50 км/ч, а 50 – 12 = 38 км/ч.

3. Дозволено разглядеть еще один живой пример. Довольно припомнить всякий из моментов, когда человек, сидя у окна автобуса, отслеживает за проносящимися мимо автомобилями. Подлинно, из окна автобуса их скорость кажется примитивно потрясающей. И это не изумительно, чай, если принять автобус за систему отсчета, то скорость автомобиля и скорость автобуса надобно будет сложить. Возможен, что автобус движется со скорость ю 50 км/ч, а машины 60 км/ч. Тогда 50 + 60 = 110 км/ч. Именно с такой скорость ю эти самые автомобили проносятся мимо автобуса и пассажиров в нем.Эта же скорость будет объективна и действительна и в том случае, если за систему отсчета принять всякий из проезжающих мимо автобусов автомобилей.

Кинематика постигает разные виды движения тела с заданной скоростью, направлением и траекторией. Дабы определить его расположение касательно точки начала пути, надобно обнаружить перемещение тела .

Инструкция

1. Движение тела происходит по некоторой траектории. В случае откровенного движения ею является прямая линия, следственно обнаружить перемещение тела достаточно примитивно: оно равно пройденному пути. В отвратном случае определить его дозволено по координатам исходного и финального расположения в пространстве.

2. Величина перемещения физической точки является векторной, от того что она имеет направление. Следственно, дабы обнаружить ее числовое значение, нужно вычислить модуль вектора, соединяющего точки начала пути и его окончания.

3. Разглядим двухмерное координатное пространство. Пускай тело проделало путь от точки A (x0, y0) до точки B (x, y). Тогда, дабы обнаружить длину вектора АВ, опустите проекции его концов на оси абсцисс и ординат. Геометрически проекции касательно той и иной координатной оси дозволено представить в виде катетов прямоугольного треугольника с длинами:Sx = x – x0;Sy = y – y0, где Sx и Sy – проекции вектора на соответствующих осях.

4. Модуль вектора, т.е. длина перемещения тела , в свою очередь, является гипотенузой этого треугольника, длину которой легко определить по теореме Пифагора. Он равен квадратному корню из суммы квадратов проекций:S = ?(Sx? + Sy?).

5. В трехмерном пространстве:S = ?(Sx? + Sy? + Sz?), где Sz = z – z0.

6. Это формула является всеобщей для всякий разновидности движения. Вектор перемещения владеет несколькими свойствами: • его модуль не может превышать длину пройденного пути;• проекция перемещения может быть как позитивной, так и негативной величиной, в то время как величина пути неизменно огромнее нуля;• в всеобщем случае перемещение не совпадает с траекторией движения тела , а его модуль не равен пути.

7. В частном случае откровенного движения тело перемещается только по одной оси, скажем, оси абсцисс. Тогда длина перемещения равна разности финальной и исходной первой координаты точек:S = x – x0.

От модуля исходной скорости во многом зависят колляции движения тела. Для того дабы обнаружить эту величину, нужно воспользоваться дополнительными измерениями либо данными. Величина модуля исходной скорости может являться основополагающей колляцией, скажем, для огнестрельного оружия.

Вам понадобится

  • – рулетка;
  • – дальномер;
  • – секундомер;
  • – акселерометр;
  • – спидометр;
  • – угломер;
  • – хронограф.

Инструкция

1. Вначале определитесь с типом движения. Если оно равномерное, то довольно измерить длину пути, по которому переместилось тело, сделав это рулеткой, дальномером либо иным доступным методом, и поделить это значение на время, за которое это перемещение осуществлялось. От того что движение равномерное, то модуль скорости на протяжении каждого пути будет идентичен, так что полученная скорость будет равна исходной.

2. При равноускоренном откровенном движении измерьте при помощи акселерометра убыстрение тела, а с подмогой секундомера время его движения, спидометром финальную скорость в конце отрезка пути. Обнаружьте значение модуля исходной скорости, отняв от финальной скорости произведение убыстрения на время движения v0=v-a*t. Если незнакомо значение убыстрения, измеряйте расстояние, которое покрыло тело за время t. Сделайте это при помощи рулетки либо дальномера.

3. Зафиксируйте значение финальной скорости. Обнаружьте исходную скорость, отняв от удвоенного значения расстояния S, поделенного на время, значение финальной скорости v, v0=2S/t-v. Когда значение финальной скорости измерить трудно, а убыстрение знаменито, воспользуйтесь иной формулой. Для этого измеряйте перемещение тела, а также время, которое оно было в пути. От значения перемещения отнимите произведение убыстрения на квадрат времени, поделенное на 2, а итог поделите на время, v0=(S-at?/2)/t либо v0=S/t-at/2.

4. Когда тело начинает движение под углом к горизонту, на него воздействует сила тяжести. Для того дабы обнаружить модуль исходной скорости, при помощи угломера замеряйте угол к горизонту, под которым тело начинает двигаться. При помощи рулетки либо дальномера замеряйте расстояние, на котором тело упадет на поверхность земли. Дабы определить модуль исходной скорости, расстояние S поделите на синус удвоенного угла ?. Из полученного итога извлеките квадратный корень, v0=?(S/sin(2?)).

5. Дабы измерить модуль исходной скорости пули, выпущенной из стрелкового оружия, используйте хронограф. Для этого установите его так, как указано в его инструкции, от того что хронографы бывают различных типов. Позже этого сделайте выстрел из оружия, на табло хронографа появится итог. Выстрелите еще несколько раз и возьмите среднее значение показаний хронографа. Это и будет модуль исходной скорости пули, выпущенного из данного типа стрелкового оружия.

В очередной раз меня попросили решить пару задачек по физике, и я вдруг обнаружил, что не могу решить их с ходу. Немного погуглив, я обнаружил, что сайты в топе выдачи содержат сканы одного и того же учебника и не описывают конкретных примеров решений задачи о том, как найти вектор скорости и ускорения материальной точки. По-этому я решил поделиться с миром примером своего решения.

Траектория движения материальной точки через радиус-вектор

Подзабыв этот раздел математики, в моей памяти уравнения движения материальной точки всегда представлялись при помощи знакомой всем нам зависимости y(x) , и взглянув на текст задачи, я немного опешил когда увидел векторы. Оказалось, что существует представление траектории материальной точки при помощи радиус-вектора — вектора, задающего положение точки в пространстве относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат.

Формула траектория движения материальной точки помимо радиус-вектора описывается так же ортами — единичными векторами i, j , k в нашем случае совпадающими с осями системы координат. И, наконец, рассмотрим пример уравнения траектории материальной точки (в двумерном пространстве):

Что интересного в данном примере? Траектория движения точки задается синусами и косинусами, как вы думаете, как будет выглядеть график в всем нам знакомом представлении y(x) ? «Наверное какой-то жуткий», подумали вы, но все не так сложно как кажется! Попробуем построить траекторию движения материальной точки y(x), если она движется по представленному выше закону:

Здесь я заметил квадрат косинуса, если вы в каком-нибудь примере видите квадрат синуса или косинуса, это значит что нужно применять основное тригонометрическое тождество, что я и сделал (вторая формула) и преобразовал формулу координаты y, чтобы вместо синуса подставить в нее формулу изменения x:

В итоге жуткий закон движения точки оказался обычной параболой, ветви которой направлены вниз. Надеюсь, вы поняли примерный алгоритм построения зависимости y(x) из представления движения через радиус-вектор. Теперь перейдем к нашему главному вопросу: как же найти вектор скорости и ускорения материальной точки, а так же их модули.

Вектор скорости материальной точки

Всем известно, что скорость материальной точки — это величина пройденного пути точкой за единицу времени, то есть производная от формулы закона движения. Чтобы найти вектор скорости нужно взять производную по времени. Давайте рассмотрим конкретный пример нахождения вектора скорости.

Пример нахождения вектора скорости

Имеем закон перемещения материальной точки:

Теперь нужно взять производную от этого многочлена, если вы забыли как это делается, то вот вам таблица производных различных функций. В итоге вектор скорости будет иметь следующий вид:

Все оказалось проще, чем вы думали, теперь найдем вектор ускорения материальной точки по тому же самому закону, представленному выше.

Как найти вектор ускорения материальной точки

Вектор ускорения точки это векторная величина, характеризующая изменение с течением времени модуля и направления скорости точки. Чтобы найти вектор ускорения материальной точки в нашем примере, нужно взять производную, но уже от формулы вектора скорости, представленной чуть выше:

Модуль вектора скорости точки

Теперь найдем модуль вектора скорости материальной точки. Как вы знаете из 9-го класса, модуль вектора — это его длина, в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат. И откуда же из полученного нами выше вектора скорости взять его координаты спросите вы? Все очень просто:

Теперь достаточно только подставить время, указанное в задаче и получить конкретное числовое значение.

Модуль вектора ускорения

Как вы поняли из написанного выше (и из 9-го класса), нахождение модуля вектора ускорения происходит тем же образом, что и модуля вектора скорости: извлекаем корень квадратный из суммы квадратов координат вектора, все просто! Ну и вот вам, конечно же, пример:

Как вы видите, ускорение материальной точки по заданному выше закону не зависит от времени и имеет постоянную величину и направление.

Еще примеры решений задачи нахождения вектора скорости и ускорения

А вот тут вы можете найти примеры решения и других задач по физике на тему «механика твердых тел». А для тех, кто не совсем понял как найти вектор скорости и ускорения, вот вам еще парочка примеров из сети без всяких лишних объяснений, надеюсь, они вам помогут.

Если у вас возникли какие-нибудь вопросы, вы можете задать их в комментариях.

Основываясь на определении скорости, мы можем утверждать, что скорость является вектором. Она непосредственно выражается через вектор-перемещения, отнесенный к промежутку времени, и должна обладать всеми свойствами вектора перемещения.

Направление вектора скорости, так же как направление физически малого вектора перемещения, определяется по чертежу траектории. В этом можно наглядно убедиться на простых примерах.

Если к вращающемуся точильному камню прикоснуться железной пластинкой, то снимаемые им опилки приобретут скорость тех точек камня, к которым прикасалась пластинка, и затем улетят в направлении вектора этой скорости. Все точки камня движутся по окружностям. Во время опыта хорошо видно, что отрывающиеся раскаленные частички-опилки уходят по касательным к этим окружностям, указывая направления векторов скоростей отдельных точек вращающегося точильного камня.

Обратите внимание на то, как расположены выходные трубы у кожуха центробежного водяного насоса или у сепаратора для молока. В этих машинах частицы жидкости заставляют двигаться по окружностям и затем дают им возможность выйти в отверстие, расположенное в направлении вектора той скорости, которую они имеют в момент выхода. Направление вектора скорости в этот момент совпадает с направлением касательной к траектории движения частиц жидкости. И выходная труба тоже направлена по этой касательной.

Точно так же обеспечивают выход частиц в современных ускорителях электронов и протонов при ядерных исследованиях.

Итак, мы убедились, что направление вектора скорости определяется по траектории движения тела. Вектор скорости всегда направлен вдоль касательной к траектории в той точке, через которую проходит движущееся тело.

Для того чтобы определить, в какую сторону вдоль касательной направлен вектор скорости и каков его модуль, нужно обратиться к закону движения. Допустим, что закон движения задан графиком, показанным на рис. 1.54. Возьмем приращение длины пути соответствующее малому вектору по которому определяется вектор скорости. Вспомним, что Знак указывает

направление движения по траектории, а следовательно, определяет ориентировку вектора скорости вдоль касательной. Очевидно, что через модуль этого приращения длины пути будет определяться модуль скорости.

Таким образом, модуль вектора скорости и ориентировку вектора скорости вдоль касательной к траектории можно определить из соотношения

Здесь является алгебраической величиной, знак которой указывает, в какую сторону по касательной к траектории направлен вектор скорости.

Итак, мы убедились, что модуль вектора скорости может быть найден по графику закона движения. Отношение определяет угол наклона а касательной на этом графике. Наклон касательной на графике закона движения будет тем больше, чем больше т. е. чем больше в выбранный момент скорость движения.

Еще раз обратим внимание на то, что для полного определения скорости требуется одновременное знание траектории и закона движения. Чертеж траектории позволяет определить направление скорости, а график закона движения — ее модуль и знак.

Если теперь мы обратимся снова к определению механического движения, то убедимся в том, что после введения понятия скорости для полного описания любого движения больше ничего не требуется. Используя понятия радиус-вектора, вектора перемещения, вектора скорости, длины пути, траектории и закона движения, можно получить ответы на все вопросы, связанные с определением особенностей любого движения. Все эти понятия взаимосвязаны друг с другом, причем знание траектории и закона движения позволяет найти любую из этих величин.

Источник

Установим зависимость
между скоростями точек плоской фигуры.
Допустим, что скорость

полюса

плоской фигуры

известна и требуется определить скорость
любой другой точки ее, например точки

.
Полагаем, что угловая скорость вращения
фигуры

также известна. Из начала неподвижной
системы отсчета

проведем в точки

и

радиус-векторы

и

.
Соединим точки

и

радиус-вектором

,
проведенным из точки

к точке

(рис. 16).

Во
все время движения между этими
радиус-векторами сохраняется зависимость


.
(65)

Дифференцируя это
соотношение по

получим


,

но так как в
соответствии с (6)

,

то имеем:


.
(66)

Поскольку модуль
вектора

при движении сохраняется постоянным,
а направление его при вращении плоской
фигуры вокруг полюса изменяется, то
производная

представляет собой скорость вращения
точки

вокруг полюса

,
и в соответствии с (55) имеем


.
(67)

Тогда выражение
(66) принимает вид:


.
(68)

Тем самым доказана
теорема: скорость
любой точки плоской фигуры равна
геометрической сумме скорости полюса
и скорости этой точки во вращении фигуры
вокруг полюса.

Вектор

направлен перпендикулярно к радиус-вектору

в сторону вращения фигуры

и по модулю равен


.
(69)

Зависимость (68)
представлена на рис. 16 параллелограммом
векторов скоростей.

Использование
зависимости (68) в ряде случаев существенно
облегчается при помощи следующей
теоремы:
проекции
скоростей двух точек плоской фигуры на
ось, проходящую через эти точки, равны
между собой.
Пусть известны скорости

и

двух точек плоской фигуры

и

(рис. 17). Согласно зависимости (68)

,
где

– скорость точки

во вращении фигуры

вокруг точки

,
принятой за полюс. Проектируя обе части
этого равенства на ось

,
проходящую через точки

и

,
и учитывая, что

,
так как

,
имеем:


.
(70)

Теорема доказана.

8.4. Мгновенный центр скоростей плоской фигуры

Мгновенным
центром скоростей (МЦС) называется точка

плоской фигуры

,
скорость которой в данный момент времени
равна нулю.

Покажем,
что такая точка существует при

.
Примем точку

фигуры

за полюс (рис. 18), пусть скорость этой
точки известна по модулю и направлению;
известна также и угловая скорость
плоской фигуры.

П

овернем
луч, по которому направлен вектор
скорости

,
,на
90°
в сторону
вращения фигуры

и отложим на ней отрезок

,
равный отношению

.

Скорость точки

в соответствии с (68) равна

.

Здесь

– скорость вращения точки

с фигурой

вокруг полюса

,
причем модуль ее равен


.

Из рис. 18 видно,
что

.

Следовательно,

,
возможность
существования МЦС доказана.

Понятие МЦС
позволяет получить наглядную картину
распределения скоростей точек плоской
фигуры. Примем МЦС за полюс. Тогда
скорость любой точки

плоской фигуры на основании (121) будет
равна

;
а так как

по определению, то:


,
(71)

т. е. скорость
любой точки плоской фигуры можно считать
скоростью вращения данной точки вокруг
МЦС.

Скорости точек
при плоском движении распределяются в
каждый момент времени так же, как и при
вращении тела вокруг неподвижной оси.
Роль оси вращения играет мгновенная
ось, проходящая через МЦС (точку

)
перпендикулярно плоскости движения.


Положение
МЦС на движущейся фигуре не остается
неизменным; в различные моменты времени
МЦС являются различные точки фигуры.
Отметим, что точка

может оказаться и за пределами плоской
фигуры. Тогда ее следует рассматривать
как точку плоскости, неизменно связанной
с фигурой и движущейся вместе с ней.

Допустим, что
скорости точек

и

плоской фигуры известны. В соответствии
с (71) модули скоростей этих точек
определяются как


.

Отсюда получаем
следующую пропорцию:


.
(72)

Модули
скоростей точек плоской фигуры
пропорциональны длинам отрезков,
соединяющих эти точки с мгновенным
центром скоростей.

Из рисунка 19 видно,
что поскольку отрезки

и

должны быть перпендикулярными к

и

,
то положение
МЦС определяется как точка пересечения
перпендикуляров, восстановленных из
точек

и

к векторам

и

.

Зная положение
МЦС и модуль скорости одной из точек из
пропорции (72) можно найти модуль скорости
любой другой точки. С другой стороны,
зная модуль скорости любой точки и
положение МЦС плоской фигуры

можно найти модуль угловой скорости
вращения плоской фигуры


.
(73)

Рассмотрим некоторые
частные случаи определения положения
мгновенного центра скоростей.


1

Рис. 20

. Известны скорости точек

и

плоской фигуры, скорости параллельны
друг другу и перпендикулярны отрезку

(рис. 20). Причем эти скорости не равны по
модулю (рис 20а), либо направлены
противоположно (рис. 20б). В этом случае
перпендикуляры к

и

,
восстановленные из точек

и

,
совпадают с прямой

,
на которой лежит МЦС. Из (72) следует, что
МЦС находится в точке
пересечения прямой

с прямой , проходящей через концы векторов

и


(рис. 20 а, б).

2. Известны линии
направлений скоростей точек

и

плоской фигуры в данный момент времени;
они параллельны, но неперпендикулярны

(рис. 21). В этом случае перпендикуляры к

и

,
восстановленные из точек

и

не совпадают, но параллельны. Следовательно,
МЦС не
существует, или, как говорят, удален в
бесконечность
(
).
Согласно (73) угловая скорость

,
а скорости
всех точек плоской фигуры геометрически
равны в соответствии с (72).

Отметим, что в
случае

||
,

,
а также

,

,
МЦС также удален в бесконечность.

В рассмотренном
случае движение фигуры не является
поступательным, так как точки могут
иметь различные, отличные от нуля,
ускорения.

3. Часто плоское
движение тела осуществляется путем
качения его по некоторой неподвижной
поверхности (рис. 22). Если скольжение в
точке касания отсутствует, то эта точка
тела и является его МЦС –

.


Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

В очередной раз меня попросили решить пару задачек по физике, и я вдруг обнаружил, что не могу решить их с ходу. Немного погуглив, я обнаружил, что сайты в топе выдачи содержат сканы одного и того же учебника и не описывают конкретных примеров решений задачи о том, как найти вектор скорости и ускорения материальной точки. По-этому я решил поделиться с миром примером своего решения.

Траектория движения материальной точки через радиус-вектор

Подзабыв этот раздел математики, в моей памяти уравнения движения материальной точки всегда представлялись при помощи знакомой всем нам зависимости y(x) , и взглянув на текст задачи, я немного опешил когда увидел векторы. Оказалось, что существует представление траектории материальной точки при помощи радиус-вектора – вектора, задающего положение точки в пространстве относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат.

Рисунок траектории движения материальной точки

Формула траектория движения материальной точки помимо радиус-вектора описывается так же ортами – единичными векторами i, j , k в нашем случае совпадающими с осями системы координат. И, наконец, рассмотрим пример уравнения траектории материальной точки (в двумерном пространстве):

Радиус-вектор пример траектории

Что интересного в данном примере? Траектория движения точки задается синусами и косинусами, как вы думаете, как будет выглядеть график в всем нам знакомом представлении y(x) ? “Наверное какой-то жуткий”, подумали вы, но все не так сложно как кажется! Попробуем построить траекторию движения материальной точки y(x), если она движется по представленному выше закону:

решение примера построения траектории

Здесь я заметил квадрат косинуса, если вы в каком-нибудь примере видите квадрат синуса или косинуса, это значит что нужно применять основное тригонометрическое тождество, что я и сделал (вторая формула) и преобразовал формулу координаты y, чтобы вместо синуса подставить в нее формулу изменения x:

Решение задачи

В итоге жуткий закон движения точки оказался обычной параболой, ветви которой направлены вниз. Надеюсь, вы поняли примерный алгоритм построения зависимости y(x) из представления движения через радиус-вектор. Теперь перейдем к нашему главному вопросу: как же найти вектор скорости и ускорения материальной точки, а так же их модули.

Вектор скорости материальной точки

формула вектора скорости

Всем известно, что скорость материальной точки – это величина пройденного пути точкой за единицу времени, то есть производная от формулы закона движения. Чтобы найти вектор скорости нужно взять производную по времени. Давайте рассмотрим конкретный пример нахождения вектора скорости.

Пример нахождения вектора скорости

Имеем закон перемещения материальной точки:

закон движения материальной точки

Теперь нужно взять производную от этого многочлена, если вы забыли как это делается, то вот вам таблица производных различных функций. В итоге вектор скорости будет иметь следующий вид:

Нахождение вектора скорости точки

Все оказалось проще, чем вы думали, теперь найдем вектор ускорения материальной точки по тому же самому закону, представленному выше.

Как найти вектор ускорения материальной точки

Формула вектора ускорения точки

Вектор ускорения точки это векторная величина, характеризующая изменение с течением времени модуля и направления скорости точки. Чтобы найти вектор ускорения материальной точки в нашем примере, нужно взять производную, но уже от формулы вектора скорости, представленной чуть выше:

Пример решения задачи как найти вектор ускорения точки

Модуль вектора скорости точки

Теперь найдем модуль вектора скорости материальной точки. Как вы знаете из 9-го класса, модуль вектора – это его длина, в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат. И откуда же из полученного нами выше вектора скорости взять его координаты спросите вы? Все очень просто:

Как найти модуль вектора скорости

Теперь достаточно только подставить время, указанное в задаче и получить конкретное числовое значение.

Модуль вектора ускорения

Как вы поняли из написанного выше (и из 9-го класса), нахождение модуля вектора ускорения происходит тем же образом, что и модуля вектора скорости: извлекаем корень квадратный из суммы квадратов координат вектора, все просто! Ну и вот вам, конечно же, пример:

Пример нахождения вектора ускорения

Как вы видите, ускорение материальной точки по заданному выше закону не зависит от времени и имеет постоянную величину и направление.

Еще примеры решений задачи нахождения вектора скорости и ускорения

А вот тут вы можете найти примеры решения и других задач по физике на тему “механика твердых тел”. А для тех, кто не совсем понял как найти вектор скорости и ускорения, вот вам еще парочка примеров из сети без всяких лишних объяснений, надеюсь, они вам помогут.

Решение задач

Если у вас возникли какие-нибудь вопросы, вы можете задать их в комментариях.

Источник

Содержание:

  • Определение и формула скорости
  • Скорость в разных системах координат
  • Частные случаи формул для вычисления скорости
  • Единицы измерения скорости
  • Примеры решения задач

Определение и формула скорости

Определение

Мгновенной скоростью (или чаще просто скоростью) материальной точки называется физическая величина равная первой производной от радиус–вектора
$bar{r}$ точки по времени (t). Обозначают скорость обычно буквой v.
Это векторная величина. Математически определение вектора мгновенной скорости записывается как:

$$bar{v}=frac{d bar{r}}{d t}=dot{bar{r}}(1)$$

Скорость имеет направление указывающее направление движения материальной точки и лежит на касательной к траектории ее движения.
Модуль скорости можно определить как первую производную от длины пути (s) по времени:

$$v=frac{d s}{d t}=dot{s}(2)$$

Скорость характеризует быстроту перемещения в направлении движения точки по отношениюк рассматриваемой системе координат.

Скорость в разных системах координат

Проекции скорости на оси декартовой системы координат запишутся как:

$$v_{x}=dot{x} ; v_{y}=dot{y} ; v_{z}=dot{z}(3)$$

Следовательно, вектор скоростив декартовых координатах можно представить:

$$bar{v}=dot{x} bar{i}+dot{y} bar{j}+dot{z} bar{k}(4)$$

где $bar{i}, bar{j}, bar{k}$ единичные орты. При этом модуль вектора скорости находят при помощи формулы:

$$v=sqrt{(dot{x})^{2}+(dot{y})^{2}+(dot{z})^{2}}(5)$$

В цилиндрических координатах модуль скорости вычисляют при помощи формулы:

$$v=sqrt{(dot{rho})^{2}+(rho dot{varphi})^{2}+(dot{z})^{2}}(6)$$

в сферической системе координат:

$$v=sqrt{(r)^{2}+(r dot{theta})^{2}+(r dot{varphi} sin theta)^{2}}(7)$$

Частные случаи формул для вычисления скорости

Если модуль скорости не изменяется во времени, то такое движение называют равномерным (v=const).
При равномерном движении скорость можно вычислить, применяя формулу:

$$v=frac{s}{t}(8)$$

где s– длина пути, t – время, за которое материальная точка преодолела путь s.

При ускоренном движении скорость можно найти как:

$$bar{v}=int_{t_{1}}^{t_{2}} bar{a} d t(9)$$

где $bar{a}$ – ускорение точки,
$t_{1} leq t leq t_{2}$ – отрезок времени, в течение которого рассматривается скорость.

Если движение является равнопеременным, то применяется следующая формула для вычисления скорости:

$$bar{v}=bar{v}_{0}+bar{a} t$$

где $bar{v}_0$ – начальная скорость движения,
$bar{a} = const$ .

Единицы измерения скорости

Основной единицей измерения скорости в системе СИ является: [v]=м/с2

В СГС: [v]=см/с2

Примеры решения задач

Пример

Задание. Движение материальной точки А задано уравнением:
$x=2 t^{2}-4 t^{3}$ . Точка начала свое движение при
t0=0 c.Как будет двигаться рассматриваемая точка по отношению к оси X в момент времени t=0,5 с.

Решение. Найдем уравнение, которое будет задавать скорость рассматриваемой материальной точки, для
этого от функции x=x(t), которая задана в условиях задачи, возьмем первую производную по времени, получим:

$$v=frac{d x}{d t}=4 t-12 t^{2}(1.1)$$

Для определения направления движения подставим в полученную нами функцию для скорости v=v(t) в (1.1) указанный в условии момент
времении сравним результат с нулем:

$$v(t=0,5)=4 cdot 0,5-12(0,5)^{2}=-1 lt 0$$

Так как мы получили, что скорость в указанный момент времени отрицательна, следовательно, материальная точка движется против оси X.

Ответ. Против оси X.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Скорость материальной точки является функцией от времени вида:

$$v=10left(1-frac{t}{5}right)$$

где скорость в м/с, время в c. Какова координата точки в момент времени равный 10 с, в какой момент времени точка будет на расстоянии
10 м от начала координат? Считайте, что при t=0 c точка началадвижение из начала координат по оси X.

Решение. Точка движется по оси X, cвязь координаты x и скорости движения определена формулой:

$$x=int_{0}^{t} v d t=int_{0}^{t} 10left(1-frac{t}{5}right) d t=10 t-frac{10 t^{2}}{2 cdot 5}=10 t-t^{2}(2.1)$$

Для ответа на первый вопрос задачи подставим в выражение (2.1) время t=10 c, имеем:

$$x=10 cdot 10-(10)^{2}=0(m)$$

Для того чтобы определить в какой момент времени точка будет находиться на расстоянии 10 м от начала координат
приравняем выражение (2.1) к 10 и решим, полученное квадратное уравнение:

$$
begin{array}{c}
10 t-t^{2}=10(2.2) \
t_{1}=5+sqrt{15} approx 8,8(c) ; t_{2}=5-sqrt{15} approx 1,13(c)
end{array}
$$

Рассмотрим второй вариант нахождения точки на расстоянии 10 м от начала координат, когда x=-10. Решим квадратное уравнение:

$$10 t-t^{2}=-10(2.3)$$

При решении уравнения (2.3) нам подойдет корень равный:

$$t_{3}=5+6=11 (c)$$

Ответ. 1) $x=0 mathrm{~m}$ 2) $t_{1}=8,8 mathrm{c}, t_{2}=1,13 c, t_{3}=11 c$

Читать дальше: Формула средней скорости.

Источник
Скорость
{vec v}={frac {{mathrm {d}}{vec r}}{{mathrm {d}}t}}
Размерность LT−1
Единицы измерения
СИ м/с
СГС см/с
Примечания
вектор
Классическая механика
История…

Фундаментальные понятия

  • Пространство
  • Время
  • Масса
  • Скорость
  • Сила
  • Механическая работа
  • Энергия
  • Импульс

Формулировки

  • Ньютоновская механика
  • Лагранжева механика
  • Гамильтонова механика
  • Формализм Гамильтона — Якоби
  • Уравнения Рауса
  • Уравнения Аппеля
  • Теория Купмана — фон Неймана

Разделы

  • Прикладная механика
  • Небесная механика
  • Механика сплошных сред
  • Геометрическая оптика
  • Статистическая механика

Учёные

  • Галилей
  • Кеплер
  • Ньютон
  • Эйлер
  • Лаплас
  • Д’Аламбер
  • Лагранж
  • Гамильтон
  • Коши
См. также: Портал:Физика

Ско́рость (стандартное обозначение: {vec {v}}, от англ. velocity, исходно от лат. vēlōcitās) — векторная физическая величина, характеризующая быстроту перемещения и направление движения материальной точки относительно выбранной системы отсчёта. По определению, равна производной радиус-вектора точки по времени[1]. В СИ измеряется в метрах в секунду.

В русском языке этим же словом называют и скалярную величину — либо модуль вектора скорости, либо алгебраическую скорость точки, то есть проекцию вектора {vec {v}} на касательную к траектории точки[2]. В некоторых других языках для скалярной скорости имеются отдельные наименования, например англ. speed, лат. celeritas[значимость факта?].

Термин «скорость» используют в науке и в широком смысле, понимая под ним быстроту изменения какой-либо величины (не обязательно радиус-вектора) в зависимости от другой (чаще подразумеваются изменения во времени, но также в пространстве или любой другой). Так, например, говорят об угловой скорости, скорости изменения температуры, скорости химической реакции, групповой скорости, скорости соединения и т. д. Математически «быстрота изменения» характеризуется производной рассматриваемой величины.

Понятие «скорость» в классической механике[править | править код]

Случай материальной точки[править | править код]

Вектор скорости (мгновенной скорости) материальной точки в каждый момент времени определяется как производная по времени радиус-вектора {{vec r}} текущего положения этой точки, так что[3]:

{vec v}={{mathrm {d}}{{vec r}} over {mathrm {d}}t}equiv v_{{tau }}{{vec tau }},

где {{vec tau }}equiv {mathrm {d}}{{vec r}}/{mathrm {d}}s — единичный вектор касательной, проходящей через текущую точку траектории (он направлен в сторону возрастания дуговой координаты s движущейся точки), а v_{{tau }}equiv {dot {s}} — проекция вектора скорости на направление упомянутого единичного вектора, равная производной дуговой координаты по времени и именуемая алгебраической скоростью точки. В соответствии с приведёнными формулами, вектор скорости точки всегда направлен вдоль касательной, а алгебраическая скорость точки может отличаться от модуля v этого вектора лишь знаком[4]. При этом:

Пройденный точкой путь {tilde {s}} за промежуток времени от t_0 до t, находится как

{displaystyle {tilde {s}}=int _{t_{0}}^{t}|{dot {s}}|,mathrm {d} t;}.

Когда алгебраическая скорость точки всё время неотрицательна, путь совпадает с приращением дуговой координаты за время от t_0 до t (если же при этом начало отсчёта дуговой координаты совпадает с начальным положением движущейся точки, то {tilde {s}} будет просто совпадать с s).

Иллюстрация средней и мгновенной скорости

Если алгебраическая скорость точки не меняется с течением времени (или, что то же самое, модуль скорости постоянен), то движение точки называется[5] равномерным (алгебраическое касательное ускорение {ddot {s}} при этом тождественно равно нулю).

Предположим, что {{ddot {s}}}geqslant {0}. Тогда при равномерном движении скорость точки (алгебраическая) будет равна отношению пройденного пути {tilde {s}} к промежутку времени t-t_{0}, за который этот путь был пройден:

{{dot {s}}}^{{,{mathrm {cp}}}}={{tilde {s}} over t-t_{0}};.

В общем же случае аналогичные отношения

{{vec v}}^{{,,{mathrm {cp}}}}={{{vec r}}-{{vec r}}_{0} over t-t_{0}}equiv {Delta {{vec r}} over Delta {t}} и {{dot {s}}}^{{,{mathrm {cp}}}}={s-s_{0} over t-t_{0}}equiv {Delta {s} over Delta {t}}

определяют соответственно среднюю скорость точки[6] и её среднюю алгебраическую скорость; если термином «средняя скорость» пользуются, то о величинах {vec {v}} и {dot {s}} говорят (чтобы избежать путаницы) как о мгновенных скоростях.

Различие между двумя введёнными выше понятиями средней скорости состоит в следующем. Во-первых, {{vec v}}^{{,,{mathrm {cp}}}} — вектор, а {{dot {s}}}^{{,{mathrm {cp}}}} — скаляр. Во-вторых, эти величины могут не совпадать по модулю. Так, пусть точка движется по винтовой линии и за время своего движения проходит один виток; тогда модуль средней скорости этой точки будет равен отношению шага винтовой линии (то есть расстояния между её витками) ко времени движения, а модуль средней алгебраической скорости — отношению длины витка ко времени движения.

Случай тела конечных размеров[править | править код]

Для тела протяжённых размеров понятие «скорости» (тела как такового, а не одной из его точек) не может быть определено; исключение составляет случай мгновенно-поступательного движения. Говорят, что абсолютно твёрдое тело совершает мгновенно-поступательное движение, если в данный момент времени скорости всех составляющих его точек равны[7]; тогда можно, разумеется, положить скорость тела равной скорости любой из его точек. Так, например, равны скорости всех точек кабинки колеса обозрения (если, конечно, пренебречь колебаниями кабинки).

В общем же случае скорости точек, образующих твёрдое тело, не равны между собой. Так, например, для катящегося без проскальзывания колеса модули скоростей точек на ободе относительно дороги принимают значения от нуля (в точке касания с дорогой) до удвоенного значения скорости центра колеса (в точке, диаметрально противоположной точке касания). Распределение скоростей точек абсолютно твёрдого тела описывается кинематической формулой Эйлера.

Начальная скорость[править | править код]

Начальная скорость ({displaystyle {vec {v}}_{0}}) — это скорость материальной точки в момент, принимаемый за нуль по шкале времени (то есть при t = 0)[8].

Истолкование {displaystyle {vec {v}}_{0}} как скорости, с которой тело начинает движение, не вполне корректно, поскольку покоившееся тело в принципе не может начать двигаться с отличной от нуля скоростью. При такой формулировке неявно подразумевается, что в короткий промежуток времени {displaystyle t=[-Delta tldots 0]} действовала большая по величине сила, на пренебрежимо малом участке разогнавшая тело до скорости {displaystyle {vec {v}}={vec {v}}_{0}} к моменту t = 0.

Запись скорости в разных системах координат[править | править код]

В декартовых координатах[править | править код]

В прямоугольной декартовой системе координат[9]:

{displaystyle mathbf {v} =v_{x}mathbf {i} +v_{y}mathbf {j} +v_{z}mathbf {k} .}

При этом {mathbf r}=x{mathbf i}+y{mathbf j}+z{mathbf k}, следовательно,

{displaystyle mathbf {v} ={frac {mathrm {d} (xmathbf {i} +ymathbf {j} +zmathbf {k} )}{mathrm {d} t}}={frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} t}}mathbf {i} +{frac {mathrm {d} y}{mathrm {d} t}}mathbf {j} +{frac {mathrm {d} z}{mathrm {d} t}}mathbf {k} .}

Таким образом, компоненты вектора скорости — это скорости изменения соответствующих координат материальной точки[9]:

{displaystyle v_{x}={frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} t}};v_{y}={frac {mathrm {d} y}{mathrm {d} t}};v_{z}={frac {mathrm {d} z}{mathrm {d} t}}.}

В цилиндрических координатах[править | править код]

Скорость в полярных координатах

В цилиндрических координатах R,varphi ,z[9]:

{displaystyle v_{R}={frac {mathrm {d} R}{mathrm {d} t}};v_{varphi }=R{frac {mathrm {d} varphi }{mathrm {d} t}};v_{z}={frac {mathrm {d} z}{mathrm {d} t}}.}

v_{varphi } носит название поперечной скорости, v_{R} — радиальной.

В сферических координатах[править | править код]

В сферических координатах R,varphi ,theta [9]:

{displaystyle v_{R}={frac {mathrm {d} R}{mathrm {d} t}};v_{varphi }=Rsin theta {frac {mathrm {d} varphi }{mathrm {d} t}};v_{theta }=R{frac {mathrm {d} theta }{mathrm {d} t}}.}

Для описания плоского движения иногда используются полярные координаты, которые можно рассматривать как частный случай цилиндрических (c {displaystyle z=} const) или сферических (с theta =pi /2).

Физическая и координатная скорости[править | править код]

В аналитической механике вышеприведённые и другие криволинейные координаты играют роль обобщённых координат; изменение положение тела описывается их зависимостью от времени. Производные от координат тела по времени при этом называются координатными скоростями (они могут иметь размерность отличную от м/c). Физической же скоростью является производная радиус-вектора по времени, а её составляющие в каждом случае задаются всем стоящим перед соответствующим ортом выражением.

Некоторые связанные со скоростью понятия[править | править код]

Ряд величин в классической механике выражается через скорость.

Импульс, или количество движения, — это мера механического движения точки, которая определяется как произведение массы точки на её скорость

{vec p}=m{vec v}.

Импульс является векторной величиной, его направление совпадает с направлением скорости. Для замкнутой системы выполняется закон сохранения импульса.

От скорости также зависит кинетическая энергия механической системы. Для абсолютно твёрдого тела полную кинетическую энергию можно записать в виде суммы кинетической энергии поступательного и вращательного движения[10][11]:

{displaystyle T={frac {mv^{2}}{2}}+{frac {{mathcal {I}}{vec {omega }}^{2}}{2}},}

где m — масса тела, v — скорость центра масс тела, {mathcal {I}} — момент инерции тела, {vec omega } — угловая скорость тела.

Изменение скорости во времени характеризуется ускорением. Ускорение отражает изменение скорости как по величине (тангенциальное ускорение), так и по направлению (центростремительное ускорение)[12]:

{vec a}={frac {{mathrm {d}}{vec v}}{{mathrm {d}}t}}={vec a}_{tau }+{vec a}_{n}={frac {{mathrm {d}}|{vec v}|}{{mathrm {d}}t}}{vec e}_{tau }+{v^{2} over r}{vec e}_{n},

где r — радиус кривизны траектории точки.

Преобразования Галилея и Лоренца для скорости[править | править код]

В классической механике Ньютона скорости преобразуются при переходе из одной инерциальной системы отсчёта в другую согласно преобразованиям Галилея. Если скорость тела в системе отсчёта S была равна {vec {v}}, а скорость системы отсчёта S' относительно системы отсчёта S равна vec u, то скорость тела при переходе в систему отсчёта S' будет равна[9]

{displaystyle {vec {v}}'={vec {v}}-{vec {u}}.}

Для скоростей, близких к скорости света, преобразования Галилея становятся несправедливы. При переходе из системы S в систему S' необходимо использовать преобразования Лоренца для скоростей[9]:

v_{x}'={frac {v_{x}-u}{1-(v_{x}u)/c^{2}}},v_{y}'={frac {v_{y}{sqrt {1-{frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}{1-(v_{x}u)/c^{2}}},v_{z}'={frac {v_{z}{sqrt {1-{frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}{1-(v_{x}u)/c^{2}}},

в предположении, что скорость vec u направлена вдоль оси x системы S. В пределе нерелятивистских скоростей преобразования Лоренца сводятся к преобразованиям Галилея.

Скорость в релятивистской механике[править | править код]

Четырёхмерная скорость[править | править код]

Одним из обобщений понятия скорости является четырёхмерная скорость (скорость в релятивистской механике[9]). В специальной теории относительности каждому событию ставится в соответствие точка пространства Минковского, три координаты которого представляют собой декартовы координаты трёхмерного евклидова пространства, а четвёртая ― временну́ю координату ct, где c ― скорость света, t ― время события. Компоненты четырёхмерного вектора скорости связаны с проекциями трёхмерного вектора скорости следующим образом[9]:

v_{0}={frac {c}{{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}};v_{1}={frac {v_{x}}{{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}};v_{2}={frac {v_{y}}{{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}};v_{3}={frac {v_{z}}{{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}.

Четырёхмерный вектор скорости является времениподобным вектором, то есть лежит внутри светового конуса[9].

Существует также понятие четырёхимпульс, временна́я компонента которого равна E/c (где E — энергия). Для четырёхмерного импульса выполняется равенство[13]:

{displaystyle p_{i}=m,v_{i}},

где v_{i} — четырёхмерная скорость.

Понятие «быстрота»[править | править код]

В релятивистской механике угол между касательной к мировой линии частицы и осью времени в базовой системе отсчёта носит название быстроты (обозначается theta ). Быстрота выражается формулой

theta =c,{mathrm {Arth}},{frac {v}{c}}={frac {c}{2}}ln {frac {1+{dfrac {v}{c}}}{1-{dfrac {v}{c}}}},

где {mathrm {Arth}},x — ареатангенс, или гиперболический арктангенс. Быстрота стремится к бесконечности когда скорость стремится к скорости света. В отличие от скорости, для которой необходимо пользоваться преобразованиями Лоренца, быстрота аддитивна, то есть

theta '=theta +theta _{0},

где theta _{0} — быстрота системы отсчёта S' относительно системы отсчёта S.

Некоторые скорости[править | править код]

Космические скорости[править | править код]

Анализ первой и второй космической скорости по Исааку Ньютону. Снаряды A и B падают на Землю. Снаряд C выходит на круговую орбиту, D — на эллиптическую. Снаряд E улетает в открытый космос

Небесная механика изучает поведение тел Солнечной системы и других небесных тел. Движение искусственных космических тел изучается в астродинамике. При этом рассматривается несколько вариантов движения тел, для каждого из которых необходимо придание определённой скорости. Для вывода спутника на круговую орбиту ему необходимо придать первую космическую скорость (например, искусственный спутник Земли); преодолеть гравитационное притяжение позволит вторая космическая скорость (например, объект запущенный с Земли, вышедший за её орбиту, но находящийся в Солнечной системе); третья космическая скорость нужна чтобы покинуть звёздную систему, преодолев притяжение звезды (например, объект запущенный с Земли, вышедший за её орбиту и за пределы Солнечной системы); четвёртая космическая скорость позволит покинуть галактику.

В небесной механике под орбитальной скоростью понимают скорость вращения тела вокруг барицентра системы.

Скорости распространения волн[править | править код]

Скорость звука[править | править код]

Скорость звука — скорость распространения упругих волн в среде, определяется упругостью и плотностью среды. Скорость звука не является постоянной величиной и зависит от температуры (в газах), от направления распространения волны (в монокристаллах). При заданных внешних условиях обычно не зависит от частоты волны и её амплитуды. В тех случаях, когда это не выполняется и скорость звука зависит от частоты, говорят о дисперсии звука. Впервые измерена Уильямом Дерхамом. Как правило, в газах скорость звука меньше, чем в жидкостях, а в жидкостях скорость звука меньше, чем в твёрдых телах, поэтому при сжижении газа скорость звука возрастает.

Отношение скорости течения в данной точке газового потока к местной скорости распространения звука в движущейся среде называется числом Маха по имени австрийского учёного Эрнста Маха. Упрощённо, скорость, соответствующая 1 Маху при давлении в 1 атм (у земли на уровне моря), будет равна скорости звука в воздухе. Движение аппаратов со скоростью, сравнимой со скоростью звука, сопровождается рядом явлений, которые называются звуковой барьер. Скорости от 1,2 до 5 Махов называются сверхзвуковыми, скорости выше 5 Махов — гиперзвуковыми.

Скорость света[править | править код]

Время распространения светового луча в масштабной модели Земля-Луна. Для преодоления расстояния от поверхности Земли до поверхности Луны свету требуется 1,255 секунды.

Скорость света в вакууме — абсолютная величина скорости распространения электромагнитных волн в вакууме. Традиционно обозначается латинской буквой «c» (произносится как [це]). Скорость света в вакууме — фундаментальная постоянная, не зависящая от выбора инерциальной системы отсчёта (ИСО). Она относится к фундаментальным физическим постоянным, которые характеризуют не просто отдельные тела или поля, а свойства пространства-времени в целом. По современным представлениям, скорость света в вакууме — предельная скорость движения частиц и распространения взаимодействий.

Наиболее точное измерение скорости света 299 792 458 ± 1,2 м/с на основе эталонного метра было проведено в 1975 году. Теперь ввиду современного определения метра скорость света считается равной точно 299792458 м/с[14].

Скорость гравитации[править | править код]

Скорость гравитации — скорость распространения гравитационных воздействий, возмущений и волн. До сих пор остаётся не определённой экспериментально, но согласно общей теории относительности должна совпадать со скоростью света.

Единицы измерения скорости[править | править код]

Линейная скорость:

  • Метр в секунду, (м/с), производная единица системы СИ
  • Километр в час, (км/ч)
  • узел (морская миля в час)
  • Число Маха, 1 Мах равен скорости звука; Max n в n раз быстрее. Как единица, зависящая от конкретных условий, должна дополнительно определяться.
  • Скорость света в вакууме (обозначается c)

Угловая скорость:

  • Радианы в секунду, принята в системах СИ и СГС. Физическая размерность 1/с.
  • Обороты в секунду (в технике)
  • градусы в секунду, грады в секунду

Соотношения между единицами скорости[править | править код]

  • 1 м/с = 3,6 км/ч
  • 1 узел = 1,852 км/ч = 0,514 м/c
  • Мах 1 ~ 330 м/c ~ 1200 км/ч (зависит от условий, в которых находится воздух)
  • c = 299 792 458 м/c

Исторический очерк[править | править код]

Две стадии движения брошенного тела по теории Авиценны: отрезок АВ — период «насильственного стремления», отрезок ВС — период «естественного стремления» (падение вертикально вниз)

Автолик из Питаны в IV веке до н. э. определил равномерное движение так: «О точке говорится, что она равномерно перемещается, если в равные времена она проходит равные и одинаковые величины». Несмотря на то, что в определении участвовали путь и время, их отношение считалось бессмысленным[15], так как сравнивать можно было только однородные величины и скорость движения являлась чисто качественным, но не количественным понятием[16]. Живший в то же время Аристотель делил движение на «естественное», когда тело стремится занять своё естественное положение, и «насильственное», происходящее под действием силы. В случае «насильственного» движения произведение величины «двигателя» и времени движения равно произведению величины «движимого» и пройденного пути, что соответствует формуле Ft=ms, или F=mv[15]. Этих же взглядов придерживался Авиценна в XI веке, хотя и предлагал другие причины движения[17], а также Герард Брюссельский в конце XII —
начале XIII века. Герард написал трактат «О движении» — первый европейский трактат по кинематике — в котором сформулировал идею определения средней скорости движения тела (при вращении прямая, параллельная оси вращения, движется «одинаково с любой своей точкой», а радиус — «одинаково со своей серединой»)[18].

В 1328 году увидел свет «Трактат о пропорциях или о пропорциях скоростей при движении» Томаса Брадвардина, в котором он нашёл несоответствие в физике Аристотеля и связи скорости с действующими силами. Брадвардин заметил, что по словесной формуле Аристотеля если движущая сила равна сопротивлению, то скорость равна 1, в то время как она должна быть равна 0. Он также представил свою формулу изменения скорости, которая хоть и была не обоснована с физической точки зрения, но представляла собой первую функциональную зависимость скорости от причин движения. Брадвардин называл скорость «количеством движения»[19]. Уильям Хейтсбери, в трактате «О местном движении» ввёл понятие мгновенной скорости. В 1330—1340 годах он и другие ученики Брадвардина доказали так называемое «мертонское правило», которое означает равенство пути при равноускоренном движении и равномерном движении со средней скоростью[20].

Всякая широта движения, униформно приобретаемая или теряемая, соответствует своему среднему градусу, так что столько же в точности будет пройдено благодаря этой приобретаемой широте, сколько и благодаря среднему градусу, если бы тело двигалось всё время с этим средним градусом.

— «Мертонское правило» в формулировке Суайнсхеда[20]

В XIV веке Жан Буридан ввёл понятие импетуса[21], благодаря чему была определена величина изменения скорости — ускорение. Николай Орем, ученик Буридана, предложил считать, что благодаря импетусу ускорение остаётся постоянным (а не скорость, как полагал сам Буридан), предвосхитив, таким образом, второй закон Ньютона[22]. Орем также использовал графическое представление движения. В «Трактате о конфигурации качеств и движения» (1350) он предложил изображать отрезками перпендикулярных прямых количество и качество движения (время и скорость), иными словами, он нарисовал график изменения скорости в зависимости от времени[23].

По мнению Тартальи, только вертикальное падение тела является «естественным» движением, а все остальные — «насильственные», при этом у первого типа скорость постоянно возрастает, а у второго — убывает. Два этих типа движения не могут проистекать одновременно. Тарталья считал, что «насильственные» движения вызваны ударом, результатом которого является «эффект», определяемый скоростью[24]. С критикой работ Аристотеля и Тартальи выступал Бенедетти, который вслед за Оремом пользовался понятиями импетуса и ускорения[25].

В 1609 году в работе «Новая астрономия» Кеплер сформулировал закон площадей, согласно которому секторная скорость планеты (площадь, описываемая отрезком планета — Солнце, за единицу времени) постоянна[26]. В «Началах философии» Декарт сформулировал закон сохранения количества движения, которое в его понимании есть произведение количества материи на скорость[27], при этом Декарт не принимал во внимание тот факт, что количество движения имеет не только величину, но и направление[28]. В дальнейшем понятие «количество движения» развивал Гук, который понимал его как «степень скорости, присущей в определённом количестве вещества»[29]. Гюйгенс, Валлис и Рен добавили к этому определению направление. В таком виде во второй половине XVII века количество движения стало важным понятием в динамике, в частности в работах Ньютона и Лейбница[30]. При этом Ньютон не определял в своих работах понятие скорости[31]. По-видимому, первая попытка явного определения скорости была сделана Валлисом в его трактате «Механика или геометрический трактат о движении» (1669—1671): «Скорость есть свойство движения, отражающееся в сравнении длины и времени; а именно, она определяет, какая длина в какое время проходится»[32].

В XVII веке были заложены основы математического анализа, а именно интегрального и дифференциального исчисления. В отличие от геометрических построений Лейбница, теория «флюксий» Ньютона строится на потребностях механики и имеет в своём основании понятие скорости. В своей теории Ньютон рассматривает переменную величину «флюенту» и её скорость изменения — «флюксию»[33].

Скорости в природе и технике[править | править код]

Основной источник: [34]

Метры в секунду
Скорость улитки {displaystyle 1{,}4times 10^{-2}}
Скорость черепахи {displaystyle 5{,}0times 10^{-2}}
Средняя скорость здорового человека (произвольный темп) {displaystyle 1{,}43}
Рекорд скорости человека в ходьбе на 50 км {displaystyle 3{,}4} ({displaystyle 3{,}92})
Рекорд скорости человека в беге на дистанции 100 м {displaystyle 1{,}0times 10^{1}} ({displaystyle 1{,}044times 10^{1}})
Скорость гепарда 31
Максимальная скорость полёта сокола 100
Максимальная скорость локомотива на железной дороге {displaystyle 110}
Максимальная скорость автомобиля {displaystyle 340}[35]
Средняя скорость молекулы азота при температуре 0 °C 500
Максимальная скорость пассажирского реактивного самолёта 700
Скорость движения Луны по орбите вокруг Земли 1000
Скорость искусственного спутника Земли {displaystyle 8000}
Скорость движения Земли по орбите вокруг Солнца {displaystyle 30000}
Скорость движения Солнца по орбите вокруг центра Галактики {displaystyle 230000}
Скорость электронов в кинескопе телевизора {displaystyle 1{,}0times 10^{8}}
Скорость движения самых далёких галактик {displaystyle 1{,}4times 10^{8}}
Максимальная скорость протонов в Большом адронном коллайдере 299 792 455
Скорость частицы Oh-My-God 299792457,9999999999999985310169558
Скорость безмассовых частиц (фотонов, глюонов, гравитонов) 299 792 458
Скорость тахионов и сверхбрадионов > 299792458

Скорости движения живых существ[править | править код]

  • Сапсан (самое быстрое животное): самая высокая зарегистрированная скорость — 389 км/ч[36];
  • Гепард (самое быстрое наземное животное): самая высокая зарегистрированная скорость — 98 км/ч[37];
  • Меч-рыба: от 100 до 130 км в час[37];
  • Чёрный марлин: самая высокая зарегистрированная скорость — 105 км/ч[36];
  • Вилорогая антилопа: самая высокая зарегистрированная скорость — 88,5 км/ч[36];
  • Лошадь (американский квортерхорс): 88 км/ч[36];
  • Человек: самая высокая зарегистрированная скорость — 44,72 км/ч (Усэйн Болт)[37].

Рекорды скорости транспортных средств[править | править код]

Самый быстрый рукотворный объект — Parker Solar Probe, 150 км/с (относительно Солнца) в 2021 году[38].

Абсолютный рекорд скорости в воздухе был поставлен в 1976 году американским самолетом-разведчиком Lockheed SR-71 Blackbird — 3529,56 км/ч.

Рекорд скорости на земле был установлен в 2003 году на ракетных санях и составил 10 325 км/ч или 2868 м/с (по другим данным, 10 430 км/ч)[39]

Самая высокая скорость на наземном управляемом транспортном средстве была достигнута на реактивном автомобиле Thrust SSC в 1997 году — 1228 км/ч.

Рекорд скорости на воде был поставлен в 1978 году австралийским судном с реактивным газотурбинным двигателем Spirit of Australia[en] — 511,11 км/ч[40]

См. также[править | править код]

  • Кинематика

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Маркеев, 1990, с. 15.
  2. ↑ Старжинский, 1980, с. 154.
  3. ↑ Маркеев, 1990, с. 15—17.
  4. ↑ Старжинский, 1980, с. 154—155.
  5. ↑ Старжинский, 1980, с. 163.
  6. ↑ Старжинский, 1980, с. 152.
  7. ↑ Маркеев, 1990, с. 46—47.
  8. ↑ См. Всегда ли начальная скорость равна нулю? в справочнике «Студворк».
  9. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Скорость // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
  10. ↑ Главный редактор А. М. Прохоров. Кинетическая энергия // Физический энциклопедический словарь. — Советская энциклопедия. — М., 1983. Физическая энциклопедия
  11. ↑ Главный редактор А. М. Прохоров. Вращательное движение // Физический энциклопедический словарь. — Советская энциклопедия. — М., 1983. Физическая энциклопедия
  12. ↑ Главный редактор А. М. Прохоров. Ускорение // Физический энциклопедический словарь.. — 1983. Физическая энциклопедия
  13. ↑ Главный редактор А. М. Прохоров. Импульс // Физический энциклопедический словарь. — Советская энциклопедия. — М., 1983. Физическая энциклопедия
  14. ↑ Определение метра Архивная копия от 26 июня 2013 на Wayback Machine (англ.) Резолюция 1 XVII Генеральной конференции по мерам и весам (1983)
  15. ↑ 1 2 Яковлев, 2001, с. 21.
  16. ↑ Яковлев, 2001, с. 34.
  17. ↑ Яковлев, 2001, с. 29.
  18. ↑ Яковлев, 2001, с. 31—32.
  19. ↑ Яковлев, 2001, с. 32—34.
  20. ↑ 1 2 Яковлев, 2001, с. 35.
  21. ↑ Яковлев, 2001, с. 35—36.
  22. ↑ Яковлев, 2001, с. 37.
  23. ↑ Яковлев, 2001, с. 37—38.
  24. ↑ Яковлев, 2001, с. 43.
  25. ↑ Яковлев, 2001, с. 45.
  26. ↑ Яковлев, 2001, с. 51—52.
  27. ↑ Яковлев, 2001, с. 59.
  28. ↑ Яковлев, 2001, с. 68.
  29. ↑ Яковлев, 2001, с. 77.
  30. ↑ Яковлев, 2001, с. 91.
  31. ↑ Яковлев, 2001, с. 96.
  32. ↑ Яковлев, 2001, с. 72—73.
  33. ↑ Яковлев, 2001, с. 64—66.
  34. ↑ Кабардин О.Ф., Орлов В.А., Пономарёва А.В. Факультативный курс физики. 8 класс. — М.: Просвещение, 1985. — Тираж 143 500 экз. — С. 44
  35. ↑ FIA World Land Speed Records (англ.). Federation Internationale de l’Automobile (10 июня 2012). Дата обращения: 3 декабря 2020. Архивировано 31 марта 2019 года.
  36. ↑ 1 2 3 4 12 самых быстрых животных в мире. Дата обращения: 17 июня 2022. Архивировано 29 июля 2021 года.
  37. ↑ 1 2 3 12 самых быстрых животных в мире. Дата обращения: 17 июня 2022. Архивировано 22 сентября 2020 года.
  38. ↑ Самый быстрый объект, созданный человеком. Зонд Parker Solar Probe развил скорость около 150 км/с. Дата обращения: 17 июня 2022. Архивировано 17 мая 2021 года.
  39. ↑ Test sets world land speed record. www.af.mil. Дата обращения: 19 апреля 2016.
  40. ↑ Назло рекордам: почему люди не хотят передвигаться очень быстро

Литература[править | править код]

  • Маркеев А. П.  Теоретическая механика. — М.: Наука, 1990. — 416 с. — ISBN 5-02-014016-3.
  • Старжинский В. М.  Теоретическая механика. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
  • Яковлев В. И.  Предыстория аналитической механики. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. — 328 с. — ISBN 5-93972-063-3.
Источник

Добавить комментарий