Как определить суммарный импульс?
Чему равен суммарный
импульс двух тел одинаковой массы m, двигавшихся с
одинаковыми по модулю скоростями v во взаимно
перпендикулярных направлениях, после неупругого удара?
Решение.
При абсолютно неупругом
ударе выполняется закон сохранения импульса. После такого удара тела движутся
как одно целое с общей скоростью.
Используя закон сохранения импульса получим,
что суммарный импульс шаров mv1 + mv2 = p. Из рисунка найдем по теореме Пифагора модуль суммарного
импульса.
p = mv^2.
Ответ: p = mv^2.
Источник: Пособие-репетитор для подготовки к централизованному тестированию. С.Н.Капельян, Л.А.Аксенович.
Импульс тела — векторная физическая величина, обозначаемая как p и равная произведению массы тела на его скорость:
p = mv
Единица измерения импульса — килограмм на метр в секунду (кг∙м/с).
Направление импульса всегда совпадает с направлением скорости (p↑↓v), так как масса — всегда положительная величина (m > 0).
Пример №1. Определить импульс пули массой 10 г, вылетевшей со скоростью 300 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Импульс пули есть произведение массы на ускорение. Прежде чем выполнить вычисления, нужно перевести единицы измерения в СИ:
10 г = 0,01 кг
Импульс равен:
p = mv = 0,01∙300 = 3 (кг∙м/с)
Относительный импульс
Определение
Относительный импульс — векторная физическая величина, равная произведению массы тела на относительную скорость:
p1отн2 = m1v1отн2 = m1(v1 – v2)
p1отн2 — импульс первого тела относительно второго, m1 — масса первого тела, v1отн2 — скорость первого тела относительно второго, v1 и v2 — скорости первого и второго тела соответственно в одной и той же системе отсчета.
Пример №2. Два автомобиля одинаковой массы (15 т) едут друг за другом по одной прямой. Первый — со скоростью 20 м/с, второй — со скоростью 15 м/с относительно Земли. Вычислите импульс первого автомобиля в системе отсчета, связанной со вторым автомобилем.
Сначала переведем единицы измерения в СИ:
15 т = 15000 кг
p1отн2 = m1(v1 – v2) = 15000(20 – 15) = 75000 (кг∙м/с) = 75∙103 (кг∙м/с)
Изменение импульса тела
ОпределениеИзменение импульса тела — векторная разность между конечным и начальным импульсом тела:
∆p = p – p0 = p + (– p0)
∆p — изменение импульса тела, p — конечный импульс тела, p0 — начальный импульс тела
Частные случаи определения изменения импульса тела
Абсолютно неупругий удар |
|
|
|
Конечная скорость после удара:
v = 0. Конечный импульс тела: p = 0. Модуль изменения импульса тела равен модулю его начального импульса: ∆p = p0. |
Абсолютно упругий удар |
|
|
|
Модули конечной и начальной скоростей равны: v = v0. Модули конечного и начального импульсов равны: p = p0. Модуль изменения импульса тела равен удвоенному модулю начального (конечного) импульса: ∆p = 2p0 = 2p. |
Пуля пробила стенку |
|
|
|
Модуль изменения импульса тела равен разности модулей начального и конечного импульсов: ∆p = p0 – p = m(v0 – v) |
Радиус-вектор тела повернул на 180 градусов |
|
|
|
Модуль изменения импульса тела равен удвоенному модулю начального (конечного) импульса: ∆p = 2p0 = 2p = 2mv0 |
Абсолютно упругое отражение от горизонтальной поверхности под углом α к нормали |
|
|
|
Модули конечной и начальной скоростей равны: v = v0. Модули конечного и начального импульсов равны: p = p0. Угол падения равен углу отражения: α = α’ Модуль изменения импульса в этом случае определяется формулой:
|
Пример №3. Шайба абсолютно упруго ударилась о неподвижную стену. При этом направление движения шайбы изменилось на 90 градусов. Импульс шайбы перед ударом равен 1 кг∙м/с. Чему равен модуль изменения импульса шайбы в результате удара? Ответ округлите до десятых.
В данном случае 90 градусов и есть 2α (угол между векторами начального и конечного импульсов), в то время как α — это угол между вектором импульса и нормалью. Учтем, что при абсолютно упругом отражении модули конечного и начального импульсов равны.
Вычисляем:
Второй закон Ньютона в импульсном виде
Второй закон Ньютона говорит о том, что ускорение тела прямо пропорционально силе, действующей на него. Записывается он так:
Но ускорение определяется отношением разности конечной и начальной скоростей ко времени, в течение которого менялась скорость:
Подставим это выражение во второй закон Ньютона и получим:
Или:
F∆t — импульс силы, ∆p — изменение импульса тела
Пример №4. Тело движется по прямой в одном направлении. Под действием постоянной силы за 3 с импульс тела изменился на 6 кг∙м/с. Каков модуль силы?
Из формулы импульса силы выразим модуль силы:
Реактивное движение
Определение
Реактивное движение — это движение, которое происходит за счет отделения от тела с некоторой скоростью какой-либо его части. В отличие от других видов движения реактивное движение позволяет телу двигаться и тормозить в безвоздушном пространстве, достигать первой космической скорости.
Ракета представляет собой систему двух тел: оболочки массой M и топлива массой m. v — скорость выброса раскаленных газов. ∆m/∆t — расход реактивного топлива, V — скорость ракеты.
Второй закон Ньютона в импульсном виде:
Реактивная сила:
Второй закон Ньютона для ракеты:
Пример №5. Космический корабль массой 3000 кг начал разгон в межпланетном пространстве, включив реактивный двигатель. Из сопла двигателя каждую секунду выбрасывается 3 кг горючего газа со скоростью 600 м/с. Какой будет скорость корабля через 20 секунд после разгона? Изменением массы корабля во время разгона пренебречь. Принять, что поле тяготения, в котором движется корабль, пренебрежимо мало.
Корабль начинает движение из состояния покоя. Поэтому скорость будет равна:
V = a∆t
Выразим ускорение из второго закона Ньютона для ракеты:
Изменение импульса определяется произведением суммарной массы выброшенного горючего на скорость его выброса. Так как мы знаем, сколько выбрасывалось горючего каждую секунду, формула примет вид:
Отсюда ускорение равно:
Выразим формулу для скорости и сделаем вычисления:
Суммарный импульс системы тел
Определение
Суммарный импульс системы тел называется полным импульсом системы. Он равен векторной сумме импульсов всех тел, которые входят в эту систему:
Пример №6. Найти импульс системы, состоящей из двух тел. Векторы импульсов этих тел указаны на рисунке.
Между векторами прямой угол (его косинус равен нулю). Модуль первого вектора равен 4 кг∙м/с (т.к. занимает 2 клетки), а второго — 6 кг∙м/с (т.к. занимает 3 клетки). Отсюда:
Закон сохранения импульса
Закон сохранения импульсаПолный импульс замкнутой системы сохраняется:
Левая часть выражения показывает векторную сумму импульсов системы, состоящей из двух тел, до их взаимодействия. Правая часть выражения показывает векторную сумму этой системы после взаимодействия тел, которые в нее входят.
Закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось
Если до и после столкновения скорости тел направлены вдоль горизонтальной оси, то закон сохранения импульса следует записывать в проекциях на ось ОХ. Нельзя забывать, что знак проекции вектора:
- положителен, если его направление совпадает с направлением оси ОХ;
- отрицателен, если он направлен противоположно направлению оси ОХ.
Важно!
При неупругом столкновении двух тел, движущихся навстречу друг другу, скорость совместного движения будет направлена в ту сторону, куда до столкновения двигалось тело с большим импульсом.
Частные случаи закона сохранения импульса (в проекциях на горизонтальную ось)
| Неупругое столкновение с неподвижным телом | m1v1 = (m1 + m2)v |
| Неупругое столкновение движущихся тел | ± m1v1 ± m2v2 = ±(m1 + m2)v |
| В начальный момент система тел неподвижна | 0 = m1v’1 – m2v’2 |
| До взаимодействия тела двигались с одинаковой скоростью | (m1 + m2)v = ± m1v’1 ± m2v’2 |
Сохранение проекции импульса
В незамкнутых системах закон сохранения импульса выполняется частично. Например, если из пушки под некоторым углом α к горизонту вылетает снаряд, то влияние силы реакции опоры не позволит орудию «уйти под землю». В момент отдачи оно будет откатываться от поверхности земли.
Пример №7. На полу лежит шар массой 2 кг. С ним сталкивается шарик массой 1 кг со скоростью 2 м/с. Определить скорость первого шара при условии, что столкновение было неупругим.
Если столкновение было неупругим, скорости первого и второго тел после столкновения будут одинаковыми, так как они продолжат двигаться совместно. Используем для вычислений следующую формулу:
m2v2 = (m1 + m2)v
Отсюда скорость равна:
Задание EF17556
Импульс частицы до столкновения равен −p1, а после столкновения равен −p2, причём p1 = p, p2 = 2p, −p1⊥−p2. Изменение импульса частицы при столкновении Δ−p равняется по модулю:
а) p
б) p√3
в) 3p
г) p√5
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные.
2.Построить чертеж, обозначить векторы начального и конечного импульсов, а также вектор изменения импульса. Для отображения вектора изменения импульса использовать правило сложения векторов методом параллелограмма.
3.Записать геометрическую формулу для вычисления длины вектора изменения импульса.
4.Подставить известные значения и вычислить.
Решение
Запишем исходные данные:
• Модуль импульса частицы до столкновения равен: p1 = p.
• Модуль импульса частицы после столкновения равен: p2 = 2p.
• Угол между вектором начального и вектором конечного импульса: α = 90о.
Построим чертеж:
Так как угол α = 90о, вектор изменения импульса представляет собой гипотенузу треугольника, катами которого являются вектора начального и конечного импульсов. Поэтому изменение импульса можно вычислить по теореме Пифагора:
Δp=√p21+p22
Подставим известные данные:
Δp=√p2+(2p)2=√5p2=p√5
Ответ: г
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF17695
На рисунке приведён график зависимости проекции импульса на ось Ox тела, движущегося по прямой, от времени. Как двигалось тело в интервалах времени 0–1 и 1–2?
а) в интервале 0–1 не двигалось, а в интервале 1–2 двигалось равномерно
б) в интервале 0–1 двигалось равномерно, а в интервале 1–2 двигалось равноускорено
в) в интервалах 0–1 и 1–2 двигалось равномерно
г) в интервалах 0–1 и 1–2 двигалось равноускорено
Алгоритм решения
1.Записать формулу, связывающую импульс тема с его кинематическими характеристиками движения.
2.Сделать вывод о том, как зависит характер движения от импульса.
3.На основании вывода и анализа графика установить характер движения тела на интервалах.
Решение
Импульс тела есть произведение массы тела на его скорость:
p = mv
Следовательно, импульс и скорость тела — прямо пропорциональные величины. Если импульс с течением времени не меняется, то скорость тоже. Значит, движение равномерное. Если импульс растет линейно, то и скорость увеличивается линейно. В таком случае движение будет равноускоренным.
На участке 0–1 импульс тела не менялся. Следовательно, на этом участке тело двигалось равномерно. На участке 1–2 импульс тела увеличивался по линейной функции, следовательно, на этом участке тело двигалось равноускорено.
Верный ответ: б.
Ответ: б
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF22730
Камень массой 3 кг падает под углом α = 60° к горизонту в тележку с песком общей массой 15 кг, покоящуюся на горизонтальных рельсах, и застревает в песке (см. рисунок). После падения кинетическая энергия тележки с камнем равна 2,25 Дж. Определите скорость камня перед падением в тележку.
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные.
2.Записать закон сохранения импульса применительно к задаче.
3.Записать формулу кинетической энергии тела.
4.Выполнить общее решение.
5.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.
Решение
Запишем исходные данные:
• Масса камня: m1 = 3 кг.
• Масса тележки с песком: m2 = 15 кг.
• Кинетическая энергия тележки с камнем: Ek = 2,25 Дж.
Так как это абсолютно неупругий удар, закон сохранения импульса принимает вид:
m1v1+m2v2=(m1+m2)v
Учтем, что скорость тележки изначально была равна нулю, а к ее движению после столкновения привела только горизонтальная составляющая начальной скорости камня:
m1v1cosα=(m1+m2)v
Выразить конечную скорость системы тел после столкновения мы можем через ее кинетическую энергию:
Ek=(m1+m2)v22
Отсюда скорость равна:
v=√2Ekm1+m2
Выразим скорость камня до столкновения через закон сохранения импульса и подставим в формулу найденную скорость:
v1=(m1+m2)vm1cosα=(m1+m2)m1cosα·√2Ekm1+m2
Подставим известные данные и произведем вычисления:
v1=(3+15)3cos60o·√2·2,253+15=12·√0,25=12·0,5=6 (мс)
Ответ: 6
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF22520
Снаряд, имеющий в точке О траектории импульсp0, разорвался на два осколка. Один из осколков имеет импульс −p1
. Импульс второго осколка изображается вектором:
а) −−→AB
б) −−→BC
в) −−→CO
г) −−→OD
Алгоритм решения
1.Сформулировать закон сохранения импульса и записать его в векторной форме.
2.Применить закон сохранения импульса к задаче.
3.Выразить из закона импульс второго осколка и найти на рисунке соответствующий ему вектор.
Решение
Согласно закону сохранения импульса, импульс замкнутой системы тел сохраняется. Записать его можно так:
−p1+−p2=−p′
1+−p′2
Можем условно считать осколки замкнутой системой, так как они не взаимодействуют с другими телами. Применяя к ним закон сохранения импульса, получим:
−p0=−p1+−p2
Отсюда импульс второго осколка равен векторной разности импульса снаряда и импульса первого осколка:
−p2=−p0−−p1
Известно, что разностью двух векторов является вектор, начало которого соответствует вычитаемому вектору, а конец — вектору уменьшаемому. В нашем случае вычитаемый вектор — вектор импульса первого осколка. Следовательно, начало вектора импульса второго осколка лежит в точке А. Уменьшаемый вектор — вектор импульса снаряда. Следовательно, конец вектора лежит в точке В. Следовательно, искомый вектор — −−→AB.
Ответ: а
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF18122
Летящая горизонтально со скоростью 20 м/с пластилиновая пуля массой 9 г попадает в груз неподвижно висящий на нити длиной 40 см, в результате чего груз с прилипшей к нему пулей начинает совершать колебания. Максимальный угол отклонения нити от вертикали при этом равен α = 60°. Какова масса груза?
Ответ:
а) 27 г
б) 64 г
в) 81 г
г) 100 г
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные и перевести единицы измерения величин в СИ.
2.Сделать чертеж, отобразив начальное, промежуточное и конечное положение тел.
3.Записать закон сохранения импульса для момента столкновения и закон сохранения механической энергии для момента максимального отклонения нити от положения равновесия.
4.Выполнить решение задачи в общем виде.
5.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.
Решение
Запишем исходные данные:
• Масса пластилиновой пули: m = 9 г.
• Скорость пластилиновой пули: v = 20 м/с.
• Максимальный угол отклонения нити: α = 60°.
Переведем единицы измерения величин в СИ:
Сделаем чертеж:
Нулевой уровень — точка А.
После неупругого столкновения пули с грузом они начинают двигаться вместе. Поэтому закон сохранения импульса для точки А выглядит так:
mv=(m+M)V
После столкновения система тел начинается двигаться по окружности. Точка В соответствует верхней точке траектории. В этот момент скорость системы на мгновение принимает нулевое значение, а потенциальная энергия — максимальное.
Закон сохранения энергии для точки В:
(m+M)V22=(m+M)gh
V22=gh
Высоту h можно определить как произведение длины нити на косинус угла максимального отклонения. Поэтому:
V=√2glcosα
Подставим это выражение в закон сохранения импульса для точки А и получим:
Выразим массу груза:
Ответ: в
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Алиса Никитина | Просмотров: 20k
Рассмотрим изменение импульсов тел при их взаимодействии друг с другом.
Если два или несколько тел взаимодействуют только между собой (то есть не подвергаются воздействию внешних сил), то эти тела образуют замкнутую систему.
Импульс, равный векторной сумме импульсов тел, входящих в замкнутую систему, называется суммарным импульсом этой системы.
Результирующая векторная величина импульса системы тел равна векторной сумме импульсов тел, её составляющих:
Закон сохранения импульса
Суммарный импульс системы тел до взаимодействия равен суммарному импульсу этой системы тел после взаимодействия.
В этом заключается закон сохранения импульса, который называют также законом сохранения количества движения.
Закон сохранения импульса впервые был сформулирован Р. Декартом. В одном из своих писем он написал:
«Я принимаю, что во Вселенной, во всей созданной материи есть известное количество движения, которое никогда не увеличивается, не уменьшается, и, таким образом, если одно тело приводит в движение другое, то теряет столько своего движения, сколько его сообщает».
Для примера возьмем систему из двух тел: шары массами
m1
и
m2
равномерно и прямолинейно движутся со скоростями
v1
и
v2
, причем их скорости противоположно направлены, то есть шары движутся навстречу друг другу. Импульсы шаров записываются
p1→=m1v1→
и
p2→=m2v2→
соответственно.
Рис. (1). Направление движения шаров до соударения
Когда шары приблизятся друг к другу, произойдет столкновение. Удар не будет мгновенным, он займёт пусть малое, но вполне измеримое время (t), при этом появятся силы взаимодействия
F1→
и
F2→
, которые будут приложены к первому и второму шарам соответственно. Как известно, под действием силы скорость тела меняется, поэтому изменятся и скорости шаров. После столкновения модули и направления скоростей могут быть совершенно иными, поэтому обозначим скорости
v1′
и
v2′
соответственно. Изменятся и импульсы шаров, они станут равны
p1→′=m1v1→′
и
p2→′=m2v2→′
соответственно.
Рис. (2). Направление движения шаров после соударения
Тогда, согласно закону сохранения импульса, имеют место равенства:
или
.
Данные равенства являются математической записью закона сохранения импульса.
Закон сохранения импульса выполняется и в том случае, если на тела системы действуют внешние силы, векторная сумма которых равна нулю.
Таким образом, более точно закон сохранения импульса формулируется так:
векторная сумма импульсов всех тел замкнутой системы — величина постоянная, если внешние силы, действующие на неё, отсутствуют или же их векторная сумма равна нулю.
Импульс системы тел может измениться только в результате действия на систему внешних сил. И тогда закон сохранения импульса действовать не будет.
Пример:
при стрельбе из пушки возникает отдача: снаряд летит вперёд, а само орудие откатывается назад. Почему?
Рис. (3). После выстрела пушка откатывается назад
Снаряд и пушка — замкнутая система, в которой действует закон сохранения импульса. В результате выстрела из пушки импульс самой пушки и импульс снаряда изменятся. Но сумма импульсов пушки и находящегося в ней снаряда до выстрела останется равной сумме импульсов откатывающейся пушки и летящего снаряда после выстрела.
Обрати внимание!
В природе замкнутых систем не существует. Но если время действия внешних сил очень мало, например, во время взрыва, выстрела и т. п., то в этом случае воздействием внешних сил на систему пренебрегают, а саму систему рассматривают как замкнутую.
Кроме того, если на систему действуют внешние силы, но сумма их проекций на одну из координатных осей равна нулю (то есть силы уравновешены в направлении этой оси), то в этом направлении закон сохранения импульса выполняется.
Великий учёный Исаак Ньютон изобрёл наглядную демонстрацию закона сохранения импульса — маятник, или её ещё называют «колыбель». Это устройство представляет собой конструкцию из пяти одинаковых металлических шаров, каждый из которых крепится с помощью двух тросов к каркасу, а тот в свою очередь — к прочному основанию П-образной формы.
Рис. (4). Устройство для демонстрации закона сохранения импульса, колыбель Ньютона
Маятник Ньютона устроен так, что начальный шар передаёт импульс второму шарику, а затем замирает. Нашему глазу на первый взгляд не заметно, как следующий шарик принимает импульс от предыдущего, мы не можем проследить его скорость. Но, если взглянуть пристальнее, можно заметить, как шарик немножко «вздрагивает». Это объясняется тем, что он совершает движения с посланной ему скоростью, но поскольку расстояние очень маленькое, ему некуда разогнаться, то он может на своём коротком пути передать импульс третьему шарику и в итоге остановиться.
Такое же действие совершает и следующий шарик и т. д. Последнему шарику некуда передавать свой импульс, поэтому он свободно колеблется, поднимаясь на определённую высоту, а затем возвращается, и весь процесс передачи импульсов повторяется в обратном порядке.
Самый яркий пример применения закона сохранения импульса — реактивное движение.
Рис. (4). Шаттл
Источники:
Рис. 1. Направление движения шаров до соударения. © ЯКласс.
Рис. 2. Направление движения шаров после соударения. © ЯКласс.
Рис. 3. После выстрела пушка откатывается назад. © ЯКласс. Пушка. Указание автора не требуется, 2021-08-26, Pixabay License, https://pixabay.com/images/id-159503/
Рис. 4. Устройство для демонстрации закона сохранения импульса, колыбель Ньютона.Указание автора не требуется, 2021-08-26, Pixabay License,https://pixabay.com/images/id-6076266/.
Рис. 5. Шаттл. Указание автора не требуется, 2021-08-26, Pixabay License,https://pixabay.com/images/id-992/
Рассмотрим изменение импульсов тел при их взаимодействии друг с другом.
Если два или несколько тел взаимодействуют только между собой (то есть не подвергаются воздействию внешних сил), то эти тела образуют замкнутую систему.
Импульс, равный векторной сумме импульсов тел, входящих в замкнутую систему, называется суммарным импульсом этой системы.
Таким образом, чтобы найти суммарный импульс замкнутой системы n тел, необходимо найти векторную сумму импульсов всех тел, входящих в данную систему:
pсум→=p1→+p2→+…+pn→
Импульс каждого из тел, входящих в замкнутую систему, может меняться в результате их взаимодействия друг с другом.
Векторная сумма импульсов тел, составляющих замкнутую систему, не меняется с течением времени при любых движениях и взаимодействиях этих тел.
В этом заключается закон сохранения импульса, который называют также законом сохранения количества движения.
Закон сохранения импульса впервые был сформулирован Р. Декартом. В одном из своих писем он написал:
Я принимаю, что во Вселенной, во всей созданной материи есть известное количество движения, которое никогда не увеличивается, не уменьшается, и, таким образом, если одно тело приводит в движение другое, то теряет столько своего движения, сколько его сообщает.
Рассмотрим систему, состоящую только из двух тел — шаров массами
m1
и
m2
, которые движутся прямолинейно навстречу друг другу со скоростями
v1
и
v2
. Шары обладают импульсами
p1→=m1v1→
и
p2→=m2v2→
соответственно.
Через некоторое время шары столкнутся. Во время столкновения, длящегося в течение очень короткого промежутка времени (t), возникнут силы взаимодействия
F1→
и
F2→
, приложенные соответственно к первому и второму шару. В результате действия этих сил скорости шаров изменятся. Обозначим скорости шаров после соударения
v1′
и
v2′
. И импульсы шаров станут
p1→′=m1v1→′
и
p2→′=m2v2→′
соответственно.
Тогда согласно закону сохранения импульса имеют место равенства:
или
m1v1→+m2v2→=m1v1→′+m2v2→′
Данные равенства являются математической записью закона сохранения импульса.
Закон сохранения импульса выполняется и в том случае, если на тела системы действуют внешние силы, векторная сумма которых равна нулю.
Таким образом, более точно закон сохранения импульса формулируется так:
векторная сумма импульсов всех тел замкнутой системы — величина постоянная, если внешние силы, действующие на неё, отсутствуют, или же их векторная сумма равна нулю.
Импульс системы тел может измениться только в результате действия на систему внешних сил. И тогда закон сохранения импульса действовать не будет.
Пример:
При стрельбе из пушки возникает отдача: снаряд летит вперёд, а само орудие откатывается назад. Почему?
Снаряд и пушка — замкнутая система, в которой действует закон сохранения импульса. В результате выстрела из пушки импульс самой пушки и импульс снаряда изменятся. Но сумма импульсов пушки и находящегося в ней снаряда до выстрела останется равной сумме импульсов откатывающейся пушки и летящего снаряда после выстрела.
Обрати внимание!
В природе замкнутых систем не существует. Но, если время действия внешних сил очень мало, например, во время взрыва, выстрела и т.п., то в этом случае воздействием внешних сил на систему пренебрегают, а саму систему рассматривают как замкнутую.
Кроме того, если на систему действуют внешние силы, но сумма их проекций на одну из координатных осей равна нулю (то есть силы уравновешены в направлении этой оси), то в этом направлении закон сохранения импульса выполняется.
Великий учёный Исаак Ньютон изобрел наглядную демонстрацию закона сохранения импульса — маятник или как ее еще называют — колыбель. Это устройство представляет собой конструкцию из пяти одинаковых металлических шаров, каждый из которых крепится с помощью двух тросов к каркасу, а тот в свою очередь к прочному основанию П-образной формы.
Маятник Ньютона устроен так, что начальный шар передаёт импульс второму шарику, а затем замирает. Нашему глазу на первый взгляд незаметно, как следующий шарик принимает импульс от предыдущего, мы не можем проследить его скорость. Но, если взглянуть пристальнее, можно заметить, как шарик немножко “вздрагивает”. Это объясняется тем, что он совершает движения с посланной ему скоростью, но поскольку расстояние очень маленькое, и ему некуда разогнаться, то он может на своем коротком пути передать импульс третьему шарику и в итоге остановиться.
Такое же действие совершает и следующий шарик, и так далее. Последнему шарику некуда передавать свой импульс, поэтому он свободно колеблется, поднимаясь на определенную высоту, а затем возвращается, и весь процесс передачи импульсов повторяется в обратном порядке.
Самый яркий пример применения закона сохранения импульса — реактивное движение.
Источники:
Физика. 9 кл.: учебник / Перышкин А.В., Гутник Е.М. — М.: Дрофа, 2014. — 319 с.
www.klassnoedelo.ru, сайт «Классное дело — Новые технологии в образовании»
www.barvinok80.narod.ru, сайт дошкольного учреждения образования «Барвинок»
www.hottabich.com.ua, сайт «Hottabich»
www.thegreenhead.com, сайт «Green Head»
www.askskb.net, сайт «Интерактивная физика»
Закон сохранения импульса
Закон сохранения импульса
Импульс замкнутой системы, состоящей из (n), тел остается постоянным с течением времени при любых взаимодействиях тел внутри данной системы
[displaystylesum_{i=1}^{n}vec{p}_i=displaystylesum_{i=1}^{n}m_ivec{v}_i=const]
Охотник, стоящий на гладком льду, стреляет из ружья. Масса заряда (0,05 text{кг} ). Скорость снаряда (200 text{м/c}). Какова масса охотника, если его скорость после выстрела равна (0,1 text{м/c})
Так как до выстрела общий импульс системы равен нулю. По Закону Сохранения импульса: [m_1cdot upsilon_1 – m_2cdot upsilon_2 = 0] Где (m_2) – масса охотника, (m_1) – масса снаряда (v_1), (upsilon_2) – скорости снаряда и охотника соответственно [m_2 = frac {m_1 cdot upsilon_1} {upsilon_2}] [m_2= frac {0,05 text {кг} cdot 200 text{ м/с}}{0,1 text{м/c} } =100text{ кг}]
Ответ: 100
Камень массой (m =4 text { кг} ) падает под углом (alpha=30^circ) к вертикали со скоростью (10 text { м/с}) в тележку с песком общей массой ( M= 16 text { кг}), покоящуюся на горизонтальных рельсах. Определите скорость тележки с камнем после падения в неё камня.
В начале импульс тележки равен нулю. по Закону Сохранения Импульса(на горизонтальную ось): [m_1cdot upsilon_1sinalpha=(m+M)cdotupsilon’] [upsilon’=frac{m_1cdot upsilon_1sinalpha}{m+M}] [upsilon’=frac{4text{ кг}cdot 10text{ м/с} cdotdfrac 1 2 }{4text{ кг}+16text{ кг}}=1text{ м/c}]
Ответ: 1
С неподвижной лодки массой (M=50text{ кг } ) на берег прыгнул мальчик массой (m=40text{ кг } ) со скоростью (upsilon_1 = 1 text{ м/c } ) относительно берега, направленной горизонтально. Какую скорость (upsilon_2) относительно берега приобрела лодка?
Начальный импульс системы равен нулю. По закону Сохранения Импульса: [Mcdotupsilon_2-mcdotupsilon_1 = 0] [upsilon_2=frac{mcdotupsilon_1}{M}] [upsilon_2=frac{40 text{ кг }cdot 1 text{ м/с } } {50 text{ кг}} =0,8 text{ м/c }]
Ответ: 0, 8
Одинаковые шары массой (m = 1 text{ кг } ) каждый движутся со скоростями, направления которых указаны на рисунке, и сталкиваются. Чему будет равен суммарный импульс шаров после столкновения, если (upsilon_1=16 text{ м/c }), а (upsilon_2=upsilon_1 cdot sqrt{2})?
Из рисунка видно, что углы между осями и вторым шаром равны (45^circ). По закону сохранения импульса суммапрный импульс системы до удара и после удара будет одинаковый. Найдем проекции суммарного импульса на каждую ось: (p_x’) – Суммарный импульс на ось Ox (p_y’) – суммарный импульс на ось Oy [p_{2x}-p_{1x}=p_x’] [p_{2y}-p_{1y} =p_y’] По рисунку (p_{1y}=0) По теореме Пифагора: [P_{text{итог}}’=sqrt{p_y’^2+p_x’^2}] Заменим (upsilon_2) на (upsilon_1 cdot sqrt{2} ). [p_y’=mcdotupsilon_1sqrt{2}cos{45^circ}] [p_x’=mcdot upsilon_1cdot (cos{45^circ} cdot sqrt{2}-1)] [p_y’= 1 text{кг} cdot 16 text{ м/c } cdot frac{sqrt2} 2cdot sqrt 2 = 16 frac{text{ кг }cdot text{ м }} {text{ c }}] [p_x’= 1 кг cdot 16 text{м/c} left(frac{sqrt2} {2} cdot sqrt2 – 1right)=0frac{text{ кг }cdot text{ м }} {text{ c }}] [P_{ итог } = sqrt{left(16frac{text{кг}cdot text{м}} { c}right)^2}=16frac{text{ кг }cdot text{ м }} { text{ c } }]
Ответ: 16
На неподвижный бильярдный шар налетел другой такой же. После удара шары разлетелись под углом (90^circ) так, что импульс одного равен (p_1=5dfrac {text{ кг }cdot text{ м }} {text{ c }} ), а другого (p_2 = 12dfrac{text{ кг }cdot text{ м }}{text{ c }}) (см.рисунок). Чему был равен импульс налетающего шара?
По закону сохранения импульса: [vec{p’}=vec{p_1}+vec{p_2}] Так как шары разлетелись под углом (90^{circ}), применим теорему Пифагора: [p’=sqrt{p_1^2 + p_2^2}] [p’=sqrt{left(5 frac {text{ кг }cdot text{ м }} {text{ c }} right)^2 + left(12frac {text{ кг }cdot text{ м }} {text{ c }} right)^2}=13frac {text{ кг }cdot text{ м }} {text{ c }}]
Ответ: 13
По гладкой горизонтальной плоскости по осям Оx и Оy движутся две шайбы с импульсами равными по модулю (p_1 =3 ) кг(cdot)м/с и (p_2 =6 ) кг(cdot)м/с (см.рисунок). После их соударения вторая шайба продолжает двигаться по оси y в прежнем направлении. Модуль импульса первой шайбы после удара равен (p_1’= 5 ) кг(cdot)м/с. Найдите модуль импульса второй шайбы после удара.
Запишем ЗСИ (закон сохранения импульса): [vec{p_1}+vec{p_2}=vec{p_1}’+vec{p_2}’ quad(1)] Спроецируем данное уравнение на ось Оx: [p_1=p_{1x}’ quad(2)] Спроецируем на ось Оy: [p_2=p_{1y}’+p_2′ quad(3)] После удара импульс первой шайбы стал равен [p_1’=sqrt{p_{1x}^{prime 2}+p_{1y}^{prime 2}} quad(4)] Из (2) следует, что (p_{1x}’ =3 ) кг(cdot)м/с. Из (4) следует, что [p_{1y}=sqrt{p_1^{prime 2}- p_{1x} ^{prime 2}}=sqrt{25-9} = 4 text{ кг$cdot$м/c}]
Найдем (p_2′) из (3): [p_2’=p_2-p_{1y}’= 6 – 4 = 2text{ кг·м/c}]
Ответ: 2
Снаряд, выпущенный вертикально вверх, мгновенно разрывается в высшей точке траектории на два осколка, массы которых (m) и (4m). Скорость лѐгкого осколка сразу после взрыва (upsilon_1=500) м/с. Найдите скорость (upsilon_2) второго осколка сразу после взрыва.
Суммарный импульс снаряда до взрыва равен 0 (так как взрыв происходит в наивысшей точки траектории), следовательно сразу после взрыва суммарный импульс тоже равен 0: [0=vec{p_1}+vec{p_2}] где (p_1) и (p_2) – это импульс первого и второго осколка. Найдем скорость второго осколка: [mupsilon_1=4mupsilon_2] [upsilon_2=frac{upsilon_1}{4}=frac{500}{4}=125 text{ м/с}]
Ответ: 125
