Как найти модуль вектора если известны координаты

Как найти модуль вектора если известны координаты

Содержание:

  • Формула
  • Примеры вычисления модуля вектора

Формула

Чтобы найти модуль вектора, заданного своими координатами, нужно найти его длину, то есть извлечь корень из суммы
квадратов его координат. Если вектор задан на плоскости и имеет координаты $bar{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$, то его модуль вычисляется по формуле

$$|bar{a}|=sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}$$

То есть модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов координат.

Если вектор задан в пространстве координатами
, то его модуль вычисляется по формуле

$$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$$

Примеры вычисления модуля вектора

Пример

Задание. Найти модуль вектора $bar{a}=(-1 ; 1)$

Решение. Для нахождения модуля вектора, заданного на плоскости воспользуемся формулой:

$$|bar{a}|=sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}$$

Подставляя в неё координаты заданного вектора, будем иметь:

$$|bar{a}|=sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}=sqrt{1+1}=sqrt{2}$$

Ответ. $|bar{a}|=sqrt{2}$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. В пространстве заданны точки
$A(2 ;-4 ; 1)$ и $B(-2 ; 0 ; 3)$. Найти модуль вектора
$overline{A B}$

Решение. Найдем координаты вектора $overline{A B}$. Для этого из координат конца
(точки $B$ ) вычтем соответствующие координаты начала (точки
$A$ ):

$$overline{A B}=(-2-2 ; 0-(-4) ; 3-1)=(-4 ; 4 ; 2)$$

Далее для нахождения модуля вектора $overline{A B}$ воспользуемся формулой:

$|overline{a}|=sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}$

Подставляя координаты вектора $overline{A B}$, получим:

$$|overrightarrow{A B}|=sqrt{(-4)^{2}+4^{2}+2^{2}}=sqrt{16+16+4}=sqrt{36}=6$$

Ответ. $|overrightarrow{A B}|=6$

Читать дальше: как найти координаты вектора.

Источник

Модуль вектора

Формула

Чтобы найти модуль вектора по координатам нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов его координат, то есть найти длину вектора.

Если вектор задан на плоскости в виде $ overline{a} = (x;y) $, то вычисляется модуль по формуле: $$ |overline{a}|=sqrt{x^2+y^2} $$

В случае, когда вектор задан в пространстве тремя координатами $ overline{a}= (x;y;z) $, то модуль находится по формуле: $$ |overline{a}|=sqrt{x^2+y^2+z^2} $$

Для нахождения модуля вектора нам понадобится знать:

  1. Координаты вектора
  2. Формулы

Примеры решений

Пример
Найти модуль вектора $ overline{a} = (3;4;0) $
Решение

Зная координаты мы первым делом определяем на плоскости или в пространстве задана задача. В нашем случае координат у вектора три, поэтому в пространстве (было бы две координаты, то на плоскости).

Используем вторую формулу для пространственной задачи:

$$ |overline{a}|=sqrt{x^2+y^2+z^2} $$

Подставляя в формулу в место $ x,y,z $ числа из задания получаем модуль:

$$ |overline{a}|=sqrt{3^2+4^2+0^2} = sqrt{9+16+0} = sqrt{25}=5 $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
$$ |overline{a}|= sqrt{25}=5 $$
Источник

Длина вектора. Модуль вектора: Онлайн Калькулятор

Длина (или модуль) вектора – это длина направленного отрезка, определяющего числовое значение данного вектора. Чтобы вычислить длину вектора онлайн, сначала укажите размерность вектора (вектор задан на плоскости или в пространстве), введите координаты вектора в поле «значение вектора» и нажмите кнопку «рассчитать». Также вы можете найти модуль вектора по отдельным координатам точек, задающих его.

Длина вектора – скалярная величина, равная квадратному корню из суммы квадратов координат вектора. Модуль вектора a(x; у), заданного на плоскости, вычисляется по формуле:

lal=x2+y2

Для вектора, заданного в пространстве, формула приобретает вид:

lal=x2+y2+z2

Например, вычислим длину вектора a(3; 4). Подставляя координаты в формулу, получаем:

32+42=9+16=25=5

Мы специально привели простой пример, в котором вычисления легко произвести в уме. Решать подобные задачи можно и без онлайн-калькулятора, однако он может существенно сэкономить время, когда вам нужно рассчитать сразу несколько модулей векторов или быстро проверить результаты своих вычислений. Нахождение длины вектора онлайн особенно удобно, когда нет времени на громоздкие расчеты и вычисление квадратных корней.

Онлайн калькулятор вычисления длины вектора будет полезен школьникам, студентам и преподавателям.

Источник

Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной, или модулем, вектора.

векторы-модуль-формула.png

Из теоремы Пифагора следует, что в треугольнике (ABC) длина отрезка (AB), которая является модулем вектора

AB→

, равна

AC2+CB2

, и, следовательно, модуль (длина) вектора

AB→

 рассчитывается по формуле

AB→=x2+y2

. 

Пример:

вычисли длину вектора

AB→=5;3

.

Расстояние между двумя точками

Как известно, координаты вектора можно определить, если даны координаты начальной и конечной точек вектора

Ax1;y1

 и

Bx2;y2

.

Koord_vektori_galap.png

Если

x=x2−x1

,

y=y2−y1

 и

AB→=x2+y2

, то вместо (x) и (y) можно поставить их выражения.

Новую формулу называют не только формулой длины вектора, но и формулой расстояния между двумя точками с заданными координатамиAB=x2−x12+y2−y12.

Так как выражения в скобках в квадрате, то справедливо, что

AB=x2−x12+y2−y12=x1−x22+y1−y22

.

То есть, не важна последовательность координат в разности.

Обрати внимание!

Если даны координаты начальной и конечной точек вектора

Ax1;y1

 и

Bx2;y2

, то

AB→x2−x1;y2−y1

.

Обязательно из координат конечной точки надо вычитать координаты начальной точки!

Но при определении длины вектора в формуле последовательность координат не имеет значения:

AB→=x2−x12+y2−y12=x1−x22+y1−y22

.

Источник

10.Разложение вектора по ортам.
Из прямоугольного параллелепипеда
(рис. 4.1) следует:

.

Но
,,,,
Следовательно,

(4.3)

Равенство (4.3) и есть формула разложения
вектора
по ортам координатных осей.

Таким образом, координатная запись
вектора может быть осуществлена двумя
способами:

20.Модуль вектора. Векторявляется диагональю прямоугольного
параллелепипеда (рис. 4.1). Квадрат длины
диагонали равен сумме квадратов трех
его измерений:

,

отсюда следует:
,
и наконец, получаем искомую формулу:

(4.4)

Модуль вектора равен корню квадратному
из суммы квадратов его координат.

4.3. Линейные операции над векторами.

Сформулируем правила действийнад векторами в координатной форме.

.Координаты суммы (разности) векторов
равны суммам (разностям) соответствующих
координат этих векторов.

Пусть
тогда

(4.5)

При умножении вектора на скаляр его
координаты умножаются на этот скаляр.

Если
и– скалярная величина, то

(4.6)

Покажем применение рассмотренного в
этой главе материала к решению практической
задачи.

Задача 4.1. Даны векторы:

Найти: координаты и модуль вектора

Решение.Используем координатную
запись векторов и правила линейных
операций над ними:

Модуль вектора
вычислим по формуле (4.4):

Ответ.

4.4. Направляющие косинусы вектора

Определение
4.2. Направляющими косинусами
ненулевого вектора называются косинусы
углов, которые этот вектор образуют с
осями координат (рис. 4.2).

Выразим координаты вектора
через его модуль и углы:

С помощью данных равенств найдем
выражения направляющих косинусов через
координаты вектора
и его модуль:

(4.7)

Вычислим сумму квадратов направляющих
косинусов вектора
:

Полученный результат в векторной алгебре
сформулирован в виде следующего
утверждения:

Сумма квадратов направляющих
косинусов ненулевого вектора равна
единице:

(4.8)

Задача 4.2.Определить направляющие
косинусы вектора
а также убедиться в справедливости
тождества(4.8).

Решение.10. Определим координаты
и модуль вектора:

20. Вычислим направляющие косинусы
вектора

30. Проверим справедливость
тождества (4.8):

Ответ.

4.5. Координаты точки в пространстве. Вычисление координат вектора и его модуля по координатам его начала и конца.

Введем
понятие координат точки в пространстве
через понятие радиус-вектора.

Определение 4.3. Радиус-вектором
точки М называется вектор с началом в начале координат и концом
в точке М, то есть вектор
(рис. 4.3).

В качестве координат точки М примем
координаты радиус-вектора.

Определение 4.4. Координатами
точки в пространстве называются
координаты ее радиус-вектора.

Координаты точки М (рис. 4.3) обозначаются
символом:,
или.
Таким образом,

Поставим задачу:найти координаты
и модуль вектора
,
если известны координаты его начала и
конца:
(рис. 4.4).

Решение.Проведем в точкиАиВ радиус-векторыи,
выразим координаты векторачерез координаты векторови(см. определение 4.4), получим:

(4.9)

Координаты вектора равны соответствующим
разностям координат конца и начала
этого вектора.

Задача 4.3.Даны две точки:
Найти координаты, разложение по ортам
координатных осей, модуль и направляющие
косинусы вектора

Решение.Для определения координат
векторавоспользуемся
формулой (4.9):

По формуле (4.4) вычислим модуль вектора
:

Найдем направляющие косинусы вектора
:

Вычислим сумму квадратов направляющих
косинусов:

Ответ.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

    31.03.2015657.07 Кб9укр 1.docx

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

Добавить комментарий