Как найти модуль вектора по графику

Уважаемые студенты!
Заказать решение задач можно у нас всего за 10 минут.

Модуль вектора

Формула

Чтобы найти модуль вектора по координатам нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов его координат, то есть найти длину вектора.

Если вектор задан на плоскости в виде $ overline{a} = (x;y) $, то вычисляется модуль по формуле: $$ |overline{a}|=sqrt{x^2+y^2} $$

В случае, когда вектор задан в пространстве тремя координатами $ overline{a}= (x;y;z) $, то модуль находится по формуле: $$ |overline{a}|=sqrt{x^2+y^2+z^2} $$

Для нахождения модуля вектора нам понадобится знать:

1. Координаты вектора
2. Формулы

Примеры решений

Пример

Найти модуль вектора $ overline{a} = (3;4;0) $

Решение

Зная координаты мы первым делом определяем на плоскости или в пространстве задана задача. В нашем случае координат у вектора три, поэтому в пространстве (было бы две координаты, то на плоскости). Используем вторую формулу для пространственной задачи: $$ |overline{a}|=sqrt{x^2+y^2+z^2} $$ Подставляя в формулу в место $ x,y,z $ числа из задания получаем модуль: $$ |overline{a}|=sqrt{3^2+4^2+0^2} = sqrt{9+16+0} = sqrt{25}=5 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ |overline{a}|= sqrt{25}=5 $$

Содержание:

• Формула
• Примеры вычисления модуля вектора

Формула

Чтобы найти модуль вектора, заданного своими координатами, нужно найти его длину, то есть извлечь корень из суммы
квадратов его координат. Если вектор задан на плоскости и имеет координаты $bar{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$, то его модуль вычисляется по формуле

То есть модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов координат.

Если вектор задан в пространстве координатами
, то его модуль вычисляется по формуле

Примеры вычисления модуля вектора

Читать дальше: как найти координаты вектора.

Траектория (от позднелатинского trajectories – относящийся к перемещению) – это линия, по которой движется тело (материальная точка). Траектория движения может быть прямой (тело перемещается в одном направлении) и криволинейной, то есть механическое движение может быть прямолинейным и криволинейным.

Траектория прямолинейного движения в данной системе координат – это прямая линия. Например, можно считать, что траектория движения автомобиля по ровной дороге без поворотов является прямолинейной.

Криволинейное движение – это движение тел по окружности, эллипсу, параболе или гиперболе. Пример криволинейного движения – движение точки на колесе движущегося автомобиля или движение автомобиля в повороте.

Движение может быть сложным. Например, траектория движения тела в начале пути может быть прямолинейной, затем криволинейной. Например, автомобиль в начале пути движется по прямой дороге, а затем дорога начинает «петлять» и автомобиль начинает криволинейное движение.

Путь

Путь – это длина траектории. Путь является скалярной величиной и в международной системе единиц СИ измеряется в метрах (м). Расчёт пути выполняется во многих задачах по физике. Некоторые примеры будут рассмотрены далее в этом учебнике.

Вектор перемещения

Вектор перемещения (или просто перемещение) – это направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением (рис. 1.1). Перемещение – величина векторная. Вектор перемещения направлен от начальной точки движения к конечной.

Модуль вектора перемещения (то есть длина отрезка, который соединяет начальную и конечную точки движения) может быть равен пройденному пути или быть меньше пройденного пути. Но никогда модуль вектора перемещения не может быть больше пройденного пути.

Модуль вектора перемещения равен пройденному пути, когда путь совпадает с траекторией (см. разделы Траектория и Путь), например, если из точки А в точку Б автомобиль перемещается по прямой дороге. Модуль вектора перемещения меньше пройденного пути, когда материальная точка движется по криволинейной траектории (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Вектор перемещения и пройденный путь.

На рис. 1.1:

Ещё пример. Если автомобиль проедет по кругу один раз, то получится, что точка начала движения совпадёт с точкой конца движения и тогда вектор перемещения будет равен нулю, а пройденный путь будет равен длине окружности. Таким образом, путь и перемещение – это два разных понятия.

Правило сложения векторов

Векторы перемещений складываются геометрически по правилу сложения векторов (правило треугольника или правило параллелограмма, см. рис. 1.2).

Рис. 1.2. Сложение векторов перемещений.

На рис 1.2 показаны правила сложения векторов S1 и S2:

а) Сложение по правилу треугольника
б) Сложение по правилу параллелограмма

Проекции вектора перемещения

При решении задач по физике часто используют проекции вектора перемещения на координатные оси. Проекции вектора перемещения на координатные оси могут быть выражены через разности координат его конца и начала. Например, если материальная точка переместилась из точки А в точку В, то при этом вектор перемещения  (см.рис. 1.3).

Выберем ось ОХ так, чтобы вектор лежал с этой осью в одной плоскости. Опустим перпендикуляры из точек А и В (из начальной и конечной точек вектора перемещения) до пересечения с осью ОХ. Таким образом мы получим проекции точек А и В на ось Х. Обозначим проекции точек А и В соответственно А_x и В_x. Длина отрезка А_xВ_x на оси ОХ – это и есть проекция вектора перемещения на ось ОХ, то есть

Sx = AxBx

ВАЖНО!
Напоминаю для тех, кто не очень хорошо знает математику: не путайте вектор с проекцией вектора на какую-либо ось (например, S_x). Вектор всегда обозначается буквой или несколькими буквами, над которыми находится стрелка. В некоторых электронных документах стрелку не ставят, так как это может вызвать затруднения при создании электронного документа. В таких случаях ориентируйтесь на содержание статьи, где рядом с буквой может быть написано слово «вектор» или каким-либо другим способом вам указывают на то, что это именно вектор, а не просто отрезок.

Рис. 1.3. Проекция вектора перемещения.

Проекция вектора перемещения на ось ОХ равна разности координат конца и начала вектора, то есть

Sx = x – x0

Аналогично определяются и записываются проекции вектора перемещения на оси OY и OZ:

Sy = y – y0
Sz = z – z0

Здесь x₀, y₀, z₀ — начальные координаты, или координаты начального положения тела (материальной точки); x, y, z — конечные координаты, или координаты последующего положения тела (материальной точки).

Проекция вектора перемещения считается положительной, если направление вектора и направление координатной оси совпадают (как на рис 1.3). Если направление вектора и направление координатной оси не совпадают (противоположны), то проекция вектора отрицательна (рис. 1.4).

Если вектор перемещения параллелен оси, то модуль его проекции равен модулю самого Вектора. Если вектор перемещения перпендикулярен оси, то модуль его проекции равен нулю (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Модули проекции вектора перемещения.

Разность между последующим и начальным значениями какой-нибудь величины называется изменением этой величины. То есть проекция вектора перемещения на координатную ось равна изменению соответствующей координаты. Например, для случая, когда тело перемещается перпендикулярно оси Х (рис. 1.4) получается, что относительно оси Х тело НЕ ПЕРЕМЕЩАЕТСЯ. То есть перемещение тела по оси Х равно нулю.

Рассмотрим пример движения тела на плоскости. Начальное положение тела – точка А с координатами х₀ и у₀, то есть А(х₀, у₀). Конечное положение тела – точка В с координатами х и у, то есть В(х, у). Найдём модуль перемещения тела.

Из точек А и В опустим перпендикуляры на оси координат ОХ и OY (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Движение тела на плоскости.

Определим проекции вектора перемещения на осях ОХ и OY:

Sx = x – x0
Sy = y – y0

На рис. 1.5 видно, что треугольник АВС – прямоугольный. Из этого следует, что при решении задачи может использоваться теорема Пифагора, с помощью которой можно найти модуль вектора перемещения, так как

АС = sx
CB = sy

По теореме Пифагора

S2 = Sx2 + Sy2

Откуда можно найти модуль вектора перемещения, то есть длину пути тела из точки А в точку В:

Ну и напоследок предлагаю вам закрепить полученные знания и рассчитать несколько примеров на ваше усмотрение. Для этого введите какие-либо цифры в поля координат и нажмите кнопку РАССЧИТАТЬ. Ваш браузер должен поддерживать выполнение сценариев (скриптов) JavaScript и выполнение сценариев должно быть разрешено в настройках вашего браузера, иначе расчет не будет выполнен. В вещественных числах целая и дробная части должны разделяться точкой, например, 10.5.

Модуль вектора. Длина вектора.

Определение длины вектора

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа | AB |.

Формулы длины вектора

Формула длины вектора для плоских задач

В случае плоской задачи модуль вектора a = < a_x ; a_y > можно найти воспользовавшись следующей формулой:

Формула длины вектора для пространственных задач

В случае пространственной задачи модуль вектора a = < a_x ; a_y ; a_z > можно найти воспользовавшись следующей формулой:

Формула длины n -мерного вектора

В случае n -мерного пространства модуль вектора a = < a ₁ ; a ₂; . ; a_n > можно найти воспользовавшись следующей формулой:

| a | = (	n	ai 2 ) 1/2
Σ
i =1

Примеры задач на вычисление длины вектора

Примеры вычисления длины вектора для плоских задачи

Решение: | a | = √ 2 2 + 4 2 = √ 4 + 16 = √ 20 = 2√ 5 .

Решение: | a | = √ 3 2 + (-4) 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5.

Примеры вычисления длины вектора для пространственных задачи

Решение: | a | = √ 2 2 + 4 2 + 4 2 = √ 4 + 16 + 16 = √ 36 = 6.

Решение: | a | = √ (-1) 2 + 0 2 + (-3) 2 = √ 1 + 0 + 9 = √ 10 .

Примеры вычисления длины вектора для пространств с размерностью большей 3

Решение: | a | = √ 1 2 + (-3) 2 + 3 2 + (-1) 2 = √ 1 + 9 + 9 + 1 = √ 20 = 2√ 5

Решение: | a | = √ 2 2 + 4 2 + 4 2 + 6 2 + 2 2 = √ 4 + 16 + 16 + 36 + 4 = √ 76 = 2√ 19 .

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Длина вектора. Модуль вектора: Онлайн Калькулятор

Длина (или модуль) вектора – это длина направленного отрезка, определяющего числовое значение данного вектора. Чтобы вычислить длину вектора онлайн, сначала укажите размерность вектора (вектор задан на плоскости или в пространстве), введите координаты вектора в поле «значение вектора» и нажмите кнопку «рассчитать». Также вы можете найти модуль вектора по отдельным координатам точек, задающих его.

Вычисление длины вектора

Как вычислить длину вектора с помощью онлайн-калькулятора? Рассмотрим вспомогательный пример:

1. Сначала нужно указать размерность вектора. Как известно, вектор можно задать либо на плоскости, либо в пространстве. В первом случае размерность будет 2, во втором случае – 3.
   
2. Затем выберите, как именно вы хотите задать вектор: координатами, или точками
   
3. Выберем «координаты» и зададим в поле «Значения вектора» произвольные значения:
   
4. Теперь остается только нажать «Рассчитать» и получить ответ с пояснениями:
   
   
   Если же выбрать форму представления точками, то, задавая вектор, нужно будет задать соответственно его начальную и конечную точки:
   

Модуль вектора онлайн

Модуль вектора — это его длина, которая может быть найдена по формуле:

Из формулы следует, что длина вектора это скаляр всегда больший или равный нулю (если вектор нулевой).

Формула, для вычисления модуля вектора может быть наглядно получена из простых геометрических соображений:

Координаты вектора — это его проекции на оси и , следовательно длина вектора представляет собой величину гипотенузы прямоугольного треугольника, которая может быть найдена по теореме Пифагора.

Найти длину вектора поможет наш онлайн калькулятор с подробным решением на русском языке.

1⁰.Разложение вектора по ортам.
Из прямоугольного параллелепипеда
(рис. 4.1) следует:

.

Но
,,,,
Следовательно,

(4.3)

Равенство (4.3) и есть формула разложения
вектора
по ортам координатных осей.

Таким образом, координатная запись
вектора может быть осуществлена двумя
способами:

2⁰.Модуль вектора. Векторявляется диагональю прямоугольного
параллелепипеда (рис. 4.1). Квадрат длины
диагонали равен сумме квадратов трех
его измерений:

,

отсюда следует:
,
и наконец, получаем искомую формулу:

(4.4)

Модуль вектора равен корню квадратному
из суммы квадратов его координат.

4.3. Линейные операции над векторами.

Сформулируем правила действийнад векторами в координатной форме.

.Координаты суммы (разности) векторов
равны суммам (разностям) соответствующих
координат этих векторов.

Пусть
тогда

(4.5)

При умножении вектора на скаляр его
координаты умножаются на этот скаляр.

Если
и– скалярная величина, то

(4.6)

Покажем применение рассмотренного в
этой главе материала к решению практической
задачи.

Задача 4.1. Даны векторы:

Найти: координаты и модуль вектора

Решение.Используем координатную
запись векторов и правила линейных
операций над ними:

Модуль вектора
вычислим по формуле (4.4):

Ответ.

4.4. Направляющие косинусы вектора

Определение
4.2. Направляющими косинусами
ненулевого вектора называются косинусы
углов, которые этот вектор образуют с
осями координат (рис. 4.2).

Выразим координаты вектора
через его модуль и углы:

С помощью данных равенств найдем
выражения направляющих косинусов через
координаты вектора
и его модуль:

(4.7)

Вычислим сумму квадратов направляющих
косинусов вектора
:

Полученный результат в векторной алгебре
сформулирован в виде следующего
утверждения:

Сумма квадратов направляющих
косинусов ненулевого вектора равна
единице:

(4.8)

Задача 4.2.Определить направляющие
косинусы вектора
а также убедиться в справедливости
тождества(4.8).

Решение.1⁰. Определим координаты
и модуль вектора:

2⁰. Вычислим направляющие косинусы
вектора

3⁰. Проверим справедливость
тождества (4.8):

Ответ.

4.5. Координаты точки в пространстве. Вычисление координат вектора и его модуля по координатам его начала и конца.

Введем
понятие координат точки в пространстве
через понятие радиус-вектора.

Определение 4.3. Радиус-вектором
точки М называется вектор с началом в начале координат и концом
в точке М, то есть вектор
(рис. 4.3).

В качестве координат точки М примем
координаты радиус-вектора.

Определение 4.4. Координатами
точки в пространстве называются
координаты ее радиус-вектора.

Координаты точки М (рис. 4.3) обозначаются
символом:,
или.
Таким образом,

Поставим задачу:найти координаты
и модуль вектора
,
если известны координаты его начала и
конца:
(рис. 4.4).

Решение.Проведем в точкиАиВ радиус-векторыи,
выразим координаты векторачерез координаты векторови(см. определение 4.4), получим:

(4.9)

Координаты вектора равны соответствующим
разностям координат конца и начала
этого вектора.

Задача 4.3.Даны две точки:
Найти координаты, разложение по ортам
координатных осей, модуль и направляющие
косинусы вектора

Решение.Для определения координат
векторавоспользуемся
формулой (4.9):

По формуле (4.4) вычислим модуль вектора
:

Найдем направляющие косинусы вектора
:

Вычислим сумму квадратов направляющих
косинусов:

Ответ.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #

  31.03.2015657.07 Кб9укр 1.docx

• #
• #
• #
• #
• #
• #