Модуль вектора
Формула
Чтобы найти модуль вектора по координатам нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов его координат, то есть найти длину вектора.
Если вектор задан на плоскости в виде $ overline{a} = (x;y) $, то вычисляется модуль по формуле: $$ |overline{a}|=sqrt{x^2+y^2} $$
В случае, когда вектор задан в пространстве тремя координатами $ overline{a}= (x;y;z) $, то модуль находится по формуле: $$ |overline{a}|=sqrt{x^2+y^2+z^2} $$
Для нахождения модуля вектора нам понадобится знать:
- Координаты вектора
- Формулы
Примеры решений
| Пример |
| Найти модуль вектора $ overline{a} = (3;4;0) $ |
| Решение |
|
Зная координаты мы первым делом определяем на плоскости или в пространстве задана задача. В нашем случае координат у вектора три, поэтому в пространстве (было бы две координаты, то на плоскости). Используем вторую формулу для пространственной задачи: $$ |overline{a}|=sqrt{x^2+y^2+z^2} $$ Подставляя в формулу в место $ x,y,z $ числа из задания получаем модуль: $$ |overline{a}|=sqrt{3^2+4^2+0^2} = sqrt{9+16+0} = sqrt{25}=5 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ |overline{a}|= sqrt{25}=5 $$ |
Содержание:
- Формула
- Примеры вычисления модуля вектора
Формула
Чтобы найти модуль вектора, заданного своими координатами, нужно найти его длину, то есть извлечь корень из суммы
квадратов его координат. Если вектор задан на плоскости и имеет координаты $bar{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$, то его модуль вычисляется по формуле
$$|bar{a}|=sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}$$
То есть модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов координат.
Если вектор задан в пространстве координатами
, то его модуль вычисляется по формуле
$$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$$
Примеры вычисления модуля вектора
Пример
Задание. Найти модуль вектора $bar{a}=(-1 ; 1)$
Решение. Для нахождения модуля вектора, заданного на плоскости воспользуемся формулой:
$$|bar{a}|=sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}$$
Подставляя в неё координаты заданного вектора, будем иметь:
$$|bar{a}|=sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}=sqrt{1+1}=sqrt{2}$$
Ответ. $|bar{a}|=sqrt{2}$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. В пространстве заданны точки
$A(2 ;-4 ; 1)$ и $B(-2 ; 0 ; 3)$. Найти модуль вектора
$overline{A B}$
Решение. Найдем координаты вектора $overline{A B}$. Для этого из координат конца
(точки $B$ ) вычтем соответствующие координаты начала (точки
$A$ ):
$$overline{A B}=(-2-2 ; 0-(-4) ; 3-1)=(-4 ; 4 ; 2)$$
Далее для нахождения модуля вектора $overline{A B}$ воспользуемся формулой:
$|overline{a}|=sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}$
Подставляя координаты вектора $overline{A B}$, получим:
$$|overrightarrow{A B}|=sqrt{(-4)^{2}+4^{2}+2^{2}}=sqrt{16+16+4}=sqrt{36}=6$$
Ответ. $|overrightarrow{A B}|=6$
Читать дальше: как найти координаты вектора.
Длина вектора. Модуль вектора: Онлайн Калькулятор
Длина (или модуль) вектора – это длина направленного отрезка, определяющего числовое значение данного вектора. Чтобы вычислить длину вектора онлайн, сначала укажите размерность вектора (вектор задан на плоскости или в пространстве), введите координаты вектора в поле «значение вектора» и нажмите кнопку «рассчитать». Также вы можете найти модуль вектора по отдельным координатам точек, задающих его.
Длина вектора – скалярная величина, равная квадратному корню из суммы квадратов координат вектора. Модуль вектора a(x; у), заданного на плоскости, вычисляется по формуле:
lal=x2+y2
Для вектора, заданного в пространстве, формула приобретает вид:
lal=x2+y2+z2
Например, вычислим длину вектора a(3; 4). Подставляя координаты в формулу, получаем:
32+42=9+16=25=5
Мы специально привели простой пример, в котором вычисления легко произвести в уме. Решать подобные задачи можно и без онлайн-калькулятора, однако он может существенно сэкономить время, когда вам нужно рассчитать сразу несколько модулей векторов или быстро проверить результаты своих вычислений. Нахождение длины вектора онлайн особенно удобно, когда нет времени на громоздкие расчеты и вычисление квадратных корней.
Онлайн калькулятор вычисления длины вектора будет полезен школьникам, студентам и преподавателям.
Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной, или модулем, вектора.
Из теоремы Пифагора следует, что в треугольнике (ABC) длина отрезка (AB), которая является модулем вектора
AB→
, равна
AC2+CB2
, и, следовательно, модуль (длина) вектора
AB→
рассчитывается по формуле
AB→=x2+y2
.
Пример:
вычисли длину вектора
AB→=5;3
.
Расстояние между двумя точками
Как известно, координаты вектора можно определить, если даны координаты начальной и конечной точек вектора
Ax1;y1
и
Bx2;y2
.
Если
x=x2−x1
,
y=y2−y1
и
AB→=x2+y2
, то вместо (x) и (y) можно поставить их выражения.
Новую формулу называют не только формулой длины вектора, но и формулой расстояния между двумя точками с заданными координатамиAB=x2−x12+y2−y12.
Так как выражения в скобках в квадрате, то справедливо, что
.
То есть, не важна последовательность координат в разности.
Обрати внимание!
Если даны координаты начальной и конечной точек вектора
Ax1;y1
и
Bx2;y2
, то
AB→x2−x1;y2−y1
.
Обязательно из координат конечной точки надо вычитать координаты начальной точки!
Но при определении длины вектора в формуле последовательность координат не имеет значения:
AB→=x2−x12+y2−y12=x1−x22+y1−y22
.
Вектором является направленный отрезок. Длина этого отрезка является длиной вектора.
Длина вектора b⃗vec{b} обозначается ∣b⃗∣.left | vec{b} right |. Модуль числа имеет аналогичное обозначение и длина вектора часто называется модулем вектора.
Длина нулевого вектора равна нулю.
Нахождение длины вектора по его координатам
Длина вектора, который задан своими координатами, – это квадратный корень из суммы квадратов его координат.
Для того чтобы найти длину вектора, заданного своими координатами, нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов его координат.
- Для вектора b⃗=(bx;by),vec{b}=(b_{x};b_{y}), заданного на плоскости, длина вычисляется по формуле ∣b⃗∣left |vec{b} right|=bx2+by2sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}.
- Для вектора b⃗=(bx;by;bz),vec{b}=(b_{x};b_{y};b_{z}), заданного в пространстве, длина вычисляется по формуле ∣b⃗∣=bx2+by2+bz2left | vec{b} right |=sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}.
Пример 1
Найти длину вектора b⃗=(6;−4).vec{b}=(6;-4).
Вектор задан на плоскости, поэтому воспользуемся первой формулой: ∣b⃗∣=bx2+by2left | vec{b} right |=sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}.
Подставим координаты вектора b⃗vec{b} в формулу, получим: ∣b⃗∣=62+(−4)2=36+16=52=213left | vec{b} right |=sqrt {6^{2}+(-4)^{2}}=sqrt {36+16}=sqrt {52}=2sqrt {13}.
Ответ: 2132sqrt {13}.
Пример 2
Найти длину вектора d⃗=(1;3;5).vec{d}=(1;3;5).
Вектор задан в пространстве, поэтому воспользуемся второй формулой:
∣d⃗∣=dx2+dy2+dz2left | vec{d} right |=sqrt {d_{x}^{2}+d_{y}^{2}+d_{z}^{2}}.
Подставим координаты вектора d⃗vec{d} в формулу, получим:
∣d⃗∣=12+32+52=1+9+25=35left | vec{d} right |=sqrt {1^{2}+3^{2}+5^{2}}=sqrt {1+9+25}=sqrt {35}.
Нахождение длины вектора по координатам точек его начала и конца
Для нахождения длины вектора CD⃗vec{CD}, где C(cx;cy)C(c_{x};c_{y}) и D(dx;dy)D(d_{x};d_{y}) существует определенная последовательность действий:
- Найти координаты вектора CD⃗vec{CD} по формуле: ∣CD⃗∣=(dx−cx;dy−cy)left | vec{CD} right |=(d_{x}-c_{x};d_{y}-c_{y}).
- Найти длину вектора по его координатам по формуле: ∣CD⃗∣=(dx−cx)2+(dy−cy)2left | vec{CD} right |=sqrt {(d_{x}-c_{x})^{2}+(d_{y}-c_{y})^{2}}.
Аналогично находится длина вектора CD⃗,vec{CD}, заданного в пространстве, где C(cx;cy;cz)C(c_{x};c_{y};c_{z}) и D(dx;dy;dz)D(d_{x};d_{y};d_{z}):
- Найти координаты вектора CD⃗vec{CD} по формуле: CD⃗=(dx−cx;dy−cy;dz−cz).vec{CD}=(d_{x}-c_{x};d_{y}-c_{y};d_{z}-c_{z}).
- Найти длину вектора по его координатам по формуле: ∣CD⃗∣=(dx−cx)2+(dy−cy)2+(dz−cz)2left | vec{CD} right |=sqrt {(d_{x}-c_{x})^{2}+(d_{y}-c_{y})^{2}+(d_{z}-c_{z})^{2}}.
Пример 1
На плоскости заданы точки E(−1;3)иK(3;−4)E(-1;3) и K(3;-4). Найти длину вектора EK⃗.vec{EK}.
Найдем координаты вектора EK⃗.vec{EK}. Для этого из координат конца вычтем координаты начала, получим:
EK⃗=(3−(−1);−4−3)=(3+1;−4−3)=(4;−7).vec{EK}=(3-(-1);-4-3)=(3+1;-4-3)=(4;-7).
Воспользуемся формулой ∣b⃗∣=bx2+by2left | vec{b} right |=sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}} для нахождения длины вектора, получим:
∣EK⃗∣=42+(−7)2left | vec{EK} right |=sqrt {4^{2}+(-7)^{2}}=16+49sqrt {16+49}=65sqrt {65}.
Пример 2
В пространстве заданы точки C(1;2;3)C(1;2;3) и D(3;4;5).D(3;4;5). Найти длину вектора CD⃗.vec{CD}.
Найдем координаты вектора CD⃗.vec{CD}. Для этого из координат конца вычтем координаты начала, получим: CD⃗=(3−1;4−2;5−3)=(2;2;2).vec{CD}=(3-1;4-2;5-3)=(2;2;2).
Воспользуемся формулой ∣b⃗∣=bx2+by2+bz2left | vec{b} right |=sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}} для нахождения длины вектора, получим: ∣b⃗∣=22+22+22=4+4+4=12=23left | vec{b} right |=sqrt {2^{2}+2^{2}+2^{2}}=sqrt {4+4+4}=sqrt {12}=2sqrt 3.
Нахождение длины вектора по теореме косинусов
Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Для треугольника со сторонами a,b,ca, b, c и углами α,βalpha, beta и γ,gamma, противолежащими этим сторонам соответственно, справедливы равенства:
b=a2+c2−2a⋅c⋅cos(β),b=a^{2}+c^{2}-2acdot ccdot cos (beta), a=b2+c2−2b⋅c⋅cos(α),a=b^{2}+c^{2}-2bcdot ccdot cos (alpha), c=a2+b2−2a⋅b⋅cos(γ).c=a^{2}+b^{2}-2acdot bcdot cos (gamma).
Аналогично поступают и с векторами. Рассмотрим пример.
Пример 1
Длины векторов KL⃗vec{KL} и KM⃗vec{KM} равны соответственно 2 и 4, а угол между ними равен π4.frac{pi }{4}. Вычислите длину вектора LM⃗.vec{LM}.
Длина вектора LM⃗vec{LM} равна длине стороны LMLM в треугольнике LMKLMK. Также нам известны стороны KLKL и KMKM треугольника LMKLMK. Они равны длинам соответствующих векторов. Нам известен угол между векторами. Найдем сторону LMLM треугольника △KLM.triangle KLM.
LM2=KL2+KM2−2KL⋅KM⋅cos∠LKM.LM^2=KL^2+KM^2-2KLcdot KMcdot cos angle LKM.
LM2=22+42−2⋅2⋅4⋅cosπ4=4+16−82=20−82.LM^2=2^2+4^2-2cdot 2cdot4cdot cos frac{pi }{4}=4+16-8sqrt{2}=20-8sqrt{2}.
LM=20−82.LM=sqrt{20-8sqrt{2}}.
∣LM⃗∣=20−82.|vec{LM}|=sqrt{20-8sqrt{2}}.
