Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.
Проекция вектора на ось в физике – формулы и определения с примерами
Содержание:
Проекция вектора на ось:
Вы уже знаете, что вектор имеет модуль и направление. При решении задач часто используется понятие проекция вектора на ось. Что такое проекция вектора? Как ее определяют?
Начнем с понятия проекция точки на ось.
Проекция точки — это основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на ось.
На рисунке 24 точка 
Как определяют проекцию вектора на ось
Проекция вектора на ось — это длина отрезка между проекциями начала и конца вектора, взятая со знаком «+» или «-». Знак «+» берут, если угол между вектором и осью острый, а знак «-» — если угол тупой.
На рисунке 25 проекция вектора 
на ось Ох обозначена через 
а проекция вектора 
— через 
Проекция 
— число положительное, т. к. угол 
на рисунке 25, а — острый. Проекция 
— число отрицательное 
т. к. угол 
на рисунке 25, б — тупой.
А если вектор перпендикулярен оси? Тогда его проекция на эту ось равна нулю (рис. 26).
Проекцию вектора можно выразить через его модуль и угол между вектором и осью.
Рассмотрим треугольник 
на рисунке 25, а. Его гипотенуза 
катет 
а угол между ними равен 
Следовательно,
Проекция вектора на ось равна модулю вектора, умноженному на косинус угла между вектором и осью.
Это правило справедливо при любых углах между вектором и осью. Подтвердите это с помощью рисунков 25 и 26.
Обратим внимание на еще одно важное свойство проекций: проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось.
С помощью рисунка 27, а, б убедитесь, что из векторного равенства 
следует равенство для проекций: 
Не забывайте о знаках проекций.
Можно ли найти модуль и направление вектора по его проекциям на координатные оси
Рассмотрим вектор 
лежащий в плоскости 
(рис. 28). Его проекции на оси 
определим из рисунка: 
Модуль вектора 
находим по теореме Пифагора из треугольника ACD: 
Разделив 
на 
получим: 
По значению косинуса находим угол 
Таким образом, вектор, лежащий в заданной плоскости, полностью определяется двумя проекциями на оси координат.
Вектор в пространстве определяется тремя проекциями: 
(рис. 29).
Главные выводы:
- Проекция вектора на ось — это длина отрезка, заключенного между проекциями начала и конца вектора на эту ось, взятая со знаком «+» или «-».
- Если угол между вектором и осью острый, то его проекция на эту ось положительна, если угол тупой — отрицательна, если прямой — равна нулю.
- Проекция вектора на ось равна произведению его модуля на косинус угла между вектором и осью.
- Проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось.
Пример №1
1. Определите сумму и разность взаимно перпендикулярных векторов 
(рис. 30). Найдите модули векторов суммы 
и разности 
Решение
Сумму векторов 
находим по правилу треугольника (рис. 31, а) или параллелограмма (рис. 31, б). Так как векторы 
взаимно перпендикулярны, модуль вектора 
находим по теореме Пифагора: 
Разность векторов 
определим по правилам вычитания векторов (рис. 32, а, б).
Модуль вектора 
находим аналогично:
Ответ: 
- Заказать решение задач по физике
Пример №2
Выразите вектор 
через векторы 
(рис. 33). Как связаны между собой проекции этих векторов на оси Ох и Оу?
Решение
По правилу треугольника находим: 
Отсюда 
Определив координаты 
начальных и конечных точек векторов 
находим проекции этих векторов: 
Вычислением убедимся, что проекции векторов связаны теми же равенствами, что и сами векторы: 
Ответ: 
- Путь и перемещение
- Равномерное прямолинейное движение
- Прямолинейное неравномерное движение
- Прямолинейное равноускоренное движение
- Колебательное движение
- Физический и математический маятники
- Пружинные и математические маятники
- Скалярные и векторные величины и действия над ними
Траектория (от позднелатинского trajectories – относящийся к перемещению) – это линия, по которой движется тело (материальная точка). Траектория движения может быть прямой (тело перемещается в одном направлении) и криволинейной, то есть механическое движение может быть прямолинейным и криволинейным.
Траектория прямолинейного движения в данной системе координат – это прямая линия. Например, можно считать, что траектория движения автомобиля по ровной дороге без поворотов является прямолинейной.
Криволинейное движение – это движение тел по окружности, эллипсу, параболе или гиперболе. Пример криволинейного движения – движение точки на колесе движущегося автомобиля или движение автомобиля в повороте.
Движение может быть сложным. Например, траектория движения тела в начале пути может быть прямолинейной, затем криволинейной. Например, автомобиль в начале пути движется по прямой дороге, а затем дорога начинает «петлять» и автомобиль начинает криволинейное движение.
Путь
Путь – это длина траектории. Путь является скалярной величиной и в международной системе единиц СИ измеряется в метрах (м). Расчёт пути выполняется во многих задачах по физике. Некоторые примеры будут рассмотрены далее в этом учебнике.
Вектор перемещения
Вектор перемещения (или просто перемещение) – это направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением (рис. 1.1). Перемещение – величина векторная. Вектор перемещения направлен от начальной точки движения к конечной.
Модуль вектора перемещения (то есть длина отрезка, который соединяет начальную и конечную точки движения) может быть равен пройденному пути или быть меньше пройденного пути. Но никогда модуль вектора перемещения не может быть больше пройденного пути.
Модуль вектора перемещения равен пройденному пути, когда путь совпадает с траекторией (см. разделы Траектория и Путь), например, если из точки А в точку Б автомобиль перемещается по прямой дороге. Модуль вектора перемещения меньше пройденного пути, когда материальная точка движется по криволинейной траектории (рис. 1.1).
Рис. 1.1. Вектор перемещения и пройденный путь.
На рис. 1.1:
Ещё пример. Если автомобиль проедет по кругу один раз, то получится, что точка начала движения совпадёт с точкой конца движения и тогда вектор перемещения будет равен нулю, а пройденный путь будет равен длине окружности. Таким образом, путь и перемещение – это два разных понятия.
Правило сложения векторов
Векторы перемещений складываются геометрически по правилу сложения векторов (правило треугольника или правило параллелограмма, см. рис. 1.2).
Рис. 1.2. Сложение векторов перемещений.
На рис 1.2 показаны правила сложения векторов S1 и S2:
а) Сложение по правилу треугольника
б) Сложение по правилу параллелограмма
Проекции вектора перемещения
При решении задач по физике часто используют проекции вектора перемещения на координатные оси. Проекции вектора перемещения на координатные оси могут быть выражены через разности координат его конца и начала. Например, если материальная точка переместилась из точки А в точку В, то при этом вектор перемещения 
(см.рис. 1.3).
Выберем ось ОХ так, чтобы вектор 
лежал с этой осью в одной плоскости. Опустим перпендикуляры из точек А и В (из начальной и конечной точек вектора перемещения) до пересечения с осью ОХ. Таким образом мы получим проекции точек А и В на ось Х. Обозначим проекции точек А и В соответственно Аx и Вx. Длина отрезка АxВx на оси ОХ – это и есть проекция вектора перемещения на ось ОХ, то есть
Sx = AxBx
ВАЖНО!
Напоминаю для тех, кто не очень хорошо знает математику: не путайте вектор с проекцией вектора на какую-либо ось (например, Sx). Вектор всегда обозначается буквой или несколькими буквами, над которыми находится стрелка. В некоторых электронных документах стрелку не ставят, так как это может вызвать затруднения при создании электронного документа. В таких случаях ориентируйтесь на содержание статьи, где рядом с буквой может быть написано слово «вектор» или каким-либо другим способом вам указывают на то, что это именно вектор, а не просто отрезок.
Рис. 1.3. Проекция вектора перемещения.
Проекция вектора перемещения на ось ОХ равна разности координат конца и начала вектора, то есть
Sx = x – x0
Аналогично определяются и записываются проекции вектора перемещения на оси OY и OZ:
Sy = y – y0 Sz = z – z0
Здесь x0, y0, z0 — начальные координаты, или координаты начального положения тела (материальной точки); x, y, z — конечные координаты, или координаты последующего положения тела (материальной точки).
Проекция вектора перемещения считается положительной, если направление вектора и направление координатной оси совпадают (как на рис 1.3). Если направление вектора и направление координатной оси не совпадают (противоположны), то проекция вектора отрицательна (рис. 1.4).
Если вектор перемещения параллелен оси, то модуль его проекции равен модулю самого Вектора. Если вектор перемещения перпендикулярен оси, то модуль его проекции равен нулю (рис. 1.4).
Рис. 1.4. Модули проекции вектора перемещения.
Разность между последующим и начальным значениями какой-нибудь величины называется изменением этой величины. То есть проекция вектора перемещения на координатную ось равна изменению соответствующей координаты. Например, для случая, когда тело перемещается перпендикулярно оси Х (рис. 1.4) получается, что относительно оси Х тело НЕ ПЕРЕМЕЩАЕТСЯ. То есть перемещение тела по оси Х равно нулю.
Рассмотрим пример движения тела на плоскости. Начальное положение тела – точка А с координатами х0 и у0, то есть А(х0, у0). Конечное положение тела – точка В с координатами х и у, то есть В(х, у). Найдём модуль перемещения тела.
Из точек А и В опустим перпендикуляры на оси координат ОХ и OY (рис. 1.5).
Рис. 1.5. Движение тела на плоскости.
Определим проекции вектора перемещения на осях ОХ и OY:
Sx = x – x0 Sy = y – y0
На рис. 1.5 видно, что треугольник АВС – прямоугольный. Из этого следует, что при решении задачи может использоваться теорема Пифагора, с помощью которой можно найти модуль вектора перемещения, так как
АС = sx CB = sy
По теореме Пифагора
S2 = Sx2 + Sy2
Откуда можно найти модуль вектора перемещения, то есть длину пути тела из точки А в точку В:
Ну и напоследок предлагаю вам закрепить полученные знания и рассчитать несколько примеров на ваше усмотрение. Для этого введите какие-либо цифры в поля координат и нажмите кнопку РАССЧИТАТЬ. Ваш браузер должен поддерживать выполнение сценариев (скриптов) JavaScript и выполнение сценариев должно быть разрешено в настройках вашего браузера, иначе расчет не будет выполнен. В вещественных числах целая и дробная части должны разделяться точкой, например, 10.5.
2.1. Теорема Пифагора
Прямоугольный треугольник — треугольник, в котором один из углов прямой (то есть равен 90°). Сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами (см. рис.).
Для любого прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора:
Гипотенузу можно найти по формуле:
Катет можно найти по формуле:
2.2 Как найти 
и 
из прямоугольного треугольника?
Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c. Обозначим через α угол, лежащий напротив катета a (см. рис.).
Тогда, катет a — противолежащий катет для угла α (лежит напротив угла); катет b — прилежащий катет (непосредственно образует угол).
Синус угла α — отношение противолежащего катета к гипотенузе:
Косинус угла α — отношение прилежащего катета к гипотенузе:
Тангенсом угла α — отношение противолежащего катета к прилежащему:
2.3 Как найти проекции вектора, если известен его модуль и направление?
1) Опускаем перпендикуляры на ось Ox и ось Oy;
2) Проекции равны:
3) Правило знаков.
Пусть даны вектор 
и ось Ox. Из начала и конца вектора опустим перпендикуляры на ось Ox. Пусть A и B — основания этих перпендикуляров (см. рис.).
Проекция 
вектора на ось Ox (Oy) равна длине отрезка AB, взятой со знаком плюс, если угол φ между вектором и осью Ox (Oy) является острым, и взятой соответственно со знаком минус, если φ тупой (или развернутый). Если угол φ прямой, то 
То есть:
Получаем:
2.4 Как найти проекции вектора, если известны координаты начала и конца вектора?
Пусть 
и 
) — координаты начала и конца вектора соответственно. Тогда проекции
2.5 Как найти модуль вектора, если известны его проекции на оси?
Если известны проекции вектора 
и 
на оси координат, то модуль вектора легко найти по формуле:
2.6 Как найти модуль вектора, если известны координаты конца и начала вектора?
Пусть и 
— координаты начала и конца вектора 
соответственно. Тогда модуль вектора находится по формуле:
2.7 Теорема косинусов.
Для треугольника со сторонами a, b и c, углом α справедлива теорема:
2.8 Как сложить вектора, направленные вдоль одной прямой?
Пусть даны вектора и 
имеющие одинаковое направление. Для нахождения вектора 
помещаем начало вектора 
в конец вектора и соединяем начало вектора с концом вектора (см. рис.).
Из рисунка видно, что модуль вектора 
равен:
2.9 Как вычитать вектора, направленные вдоль одной прямой?
Пусть даны вектора и имеющие одинаковое направление. Для нахождения вектора 
помещаем начало вектора 
в конец вектора и соединяем начало вектора с концом вектора (см. рис.). Вектор — это вектор, длина которого равна длине вектора , но имеет противоположное направление.
Из рисунка видно, что модуль вектора 
равен:
2.10 Как сложить вектора, направленные под прямым углом друг к другу?
Пусть даны вектора и имеющие одинаковое направление. Для нахождения вектора помещаем начало вектора в конец вектора и соединяем начало вектора с концом вектора (см. рис.).
Из рисунка видно, что модуль вектора равен:
2.11 Как вычитать вектора, направленные под прямым углом друг к другу?
Пусть даны вектора и имеющие одинаковое направление. Для нахождения вектора помещаем начало вектора в конец вектора и соединяем начало вектора с концом вектора (см. рис.). Вектор — это вектор, длина которого равна длине вектора но имеет противоположное направление.
Из рисунка видно, что модуль вектора равен:
2.12 Как сложить вектора, направленные под углом α друг к другу?
Пусть даны вектора и , имеющие одинаковое направление. Для нахождения вектора помещаем начало вектора в конец вектора и соединяем начало вектора с концом вектора (см. рис.).
По теореме косинусов, получаем:
2.13 Как вычитать вектора, направленные под прямым углом друг к другу?
Пусть даны вектора и имеющие одинаковое направление. Для нахождения вектора помещаем начало вектора в конец вектора и соединяем начало вектора с концом вектора (см. рис.). Вектор — это вектор, длина которого равна длине вектора , но имеет противоположное направление.
По теореме косинусов, получаем:
2.14 Площадь треугольника.
Площадь любого треугольника можно найти по формуле
2.15 Площадь прямоугольника.
Площадь любого прямоугольника можно найти по формуле
2.16 Площадь трапеции.
Площадь любой трапеции можно найти по формуле
2.17 Длина окружности.
Длина окружности равна:
2.18 Длина дуги.
Длина дуги:
Физика. помогите пожалуйста) Как найти модуль перемещения и проекции векторов на координатные оси?
Полина
Ученик
(166),
закрыт
12 лет назад
Валентина ???
Гений
(71098)
12 лет назад
Проекция вектора перемещения на координатную ось равна изменеию соответствующей координаты, т. е.
Sx = X – X0
Sy = Y – Y0
Модуль вектора перемещения находят через проекции его на оси по теореме Пифагора.
Проекция вектора на ось. Проекция вектора на вектор
 |
| рис. 1 |
Формула вычисления проекции вектора на вектор
Для вычисления проекции вектора a на направление вектора b из определения скалярного произведения получена формула:
Примеры задач на проекцию вектора
Примеры вычисления проекции вектора для плоских задач
Найдем скалярное произведение этих векторов
a · b = 1 · 3 + 2 · 4 = 3 + 8 = 11
Найдем модуль вектора b
| b | = √ 3 2 + 4 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
Найдем проекцию вектора a на вектор b
| Пр b a = | a · b | = | 11 | = 2.2 |
| | b | | 5 |
Примеры вычисления проекции вектора для пространственных задачи
Найдем скалярное произведение этих векторов
a · b = 1 · 4 + 4 · 2 + 0 · 4 = 4 + 8 + 0 = 12
Найдем модуль вектора b
| b | = √ 4 2 + 2 2 + 4 2 = √ 16 + 4 + 16 = √ 36 = 6
Найдем проекцию вектора a на вектор b
| Пр b a = | a · b | = | 12 | = 2 |
| | b | | 6 |
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Проекция вектора на ось и числовая проекция
Ось – это направление. Значит, проекция на ось или на направленную прямую считается одним и тем же. Проекция бывает алгебраическая и геометрическая. В геометрическом понимают проекцию вектора на ось как вектор, а алгебраическом – число. То есть применяются понятия проекция вектора на ось и числовая проекция вектора на ось.
Если имеем ось L и ненулевой вектор A B → , то можем построить вектор A 1 B 1 ⇀ , обозначив проекции его точек A 1 и B 1 .
A 1 B → 1 будет являться проекцией вектора A B → на L .
Проекцией вектора на ось называют вектор, начало и конец которого являются проекции начала и конца заданного вектора. n p L A B → → принято обозначать проекцию A B → на L . Для построения проекции на L опускают перпендикуляры на L .
Пример проекции вектора на ось.
На координатной плоскости О х у задается точка M 1 ( x 1 , y 1 ) . Необходимо построить проекции на О х и О у для изображения радиус-вектора точки M 1 . Получим координаты векторов ( x 1 , 0 ) и ( 0 , y 1 ) .
Если идет речь о проекции a → на ненулевой b → или проекции a → на направление b → , то имеется в виду проекция a → на ось, с которой совпадает направление b → . Проекция a → на прямую, определяемая b → , имеет обозначение n p b → a → → . Известно, что когда угол между a → и b → , можно считать n p b → a → → и b → сонаправленными. В случае, когда угол тупой, n p b → a → → и b → противоположно направлены. В ситуации перпендикулярности a → и b → , причем a → – нулевой, проекция a → по направлению b → является нулевым вектором.
Числовая проекция вектора на ось
Числовая характеристика проекции вектора на ось – числовая проекция вектора на заданную ось.
Числовой проекцией вектора на ось называют число, которое равно произведению длины данного вектора на косинус угла между данным вектором и вектором, который определяет направление оси.
Числовая проекция A B → на L имеет обозначение n p L A B → , а a → на b → – n p b → a → .
Исходя из формулы, получим n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , откуда a → является длиной вектора a → , a ⇀ , b → ^ – угол между векторами a → и b → .
Получим формулу вычисления числовой проекции: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Она применима при известных длинах a → и b → и угле между ними. Формула применима при известных координатах a → и b → , но имеется ее упрощенный вид.
Узнать числовую проекцию a → на прямую по направлению b → при длине a → равной 8 и углом между ними в 60 градусов. По условию имеем a ⇀ = 8 , a ⇀ , b → ^ = 60 ° . Значит, подставляем числовые значения в формулу n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .
Ответ: 4.
При известном cos ( a → , b → ^ ) = a ⇀ , b → a → · b → , имеем a → , b → как скалярное произведение a → и b → . Следуя из формулы n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , мы можем найти числовую проекцию a → направленную по вектору b → и получим n p b → a → = a → , b → b → . Формула эквивалента определению, указанному в начале пункта.
Числовой проекцией вектора a → на ось , совпадающей по направлению с b → , называют отношение скалярного произведения векторов a → и b → к длине b → . Формула n p b → a → = a → , b → b → применима для нахождения числовой проекции a → на прямую, совпадающую по направлению с b → , при известных a → и b → координатах.
Задан b → = ( – 3 , 4 ) . Найти числовую проекцию a → = ( 1 , 7 ) на L .
Решение
На координатной плоскости n p b → a → = a → , b → b → имеет вид n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 , при a → = ( a x , a y ) и b → = b x , b y . Чтобы найти числовую проекцию вектора a → на ось L , нужно: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · ( – 3 ) + 7 · 4 ( – 3 ) 2 + 4 2 = 5 .
Ответ: 5.
Найти проекцию a → на L , совпадающей с направлением b → , где имеются a → = – 2 , 3 , 1 и b → = ( 3 , – 2 , 6 ) . Задано трехмерное пространство.
Решение
По заданным a → = a x , a y , a z и b → = b x , b y , b z вычислим скалярное произведение: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Длину b → найдем по формуле b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . Отсюда следует, что формула определения числовой проекции a → будет: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .
Подставляем числовые значения: n p L a → = n p b → a → = ( – 2 ) · 3 + 3 · ( – 2 ) + 1 · 6 3 2 + ( – 2 ) 2 + 6 2 = – 6 49 = – 6 7 .
Просмотрим связь между a → на L и длиной проекции a → на L . Начертим ось L , добавив a → и b → из точки на L , после чего проведем перпендикулярную прямую с конца a → на L и проведем проекцию на L . Существуют 5 вариаций изображения:
Первый случай при a → = n p b → a → → означает a → = n p b → a → → , отсюда следует n p b → a → = a → · cos ( a , → b → ^ ) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .
Второй случай подразумевает применение n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , значит, n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ) ^ = n p b → a → → .
Третий случай объясняет, что при n p b → a → → = 0 → получаем n p b ⇀ a → = a → · cos ( a → , b → ^ ) = a → · cos 90 ° = 0 , тогда n p b → a → → = 0 и n p b → a → = 0 = n p b → a → → .
Четвертый случай показывает n p b → a → → = a → · cos ( 180 ° – a → , b → ^ ) = – a → · cos ( a → , b → ^ ) , следует n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^ ) = – n p b → a → → .
Пятый случай показывает a → = n p b → a → → , что означает a → = n p b → a → → , отсюда имеем n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180 ° = – a → = – n p b → a → .
Числовой проекцией вектора a → на ось L , которая направлена как и b → , имеет значение:
- длины проекции вектора a → на L при условии, если угол между a → и b → меньше 90 градусов или равен 0: n p b → a → = n p b → a → → с условием 0 ≤ ( a → , b → ) ^ 90 ° ;
- ноля при условии перпендикулярности a → и b → : n p b → a → = 0 , когда ( a → , b → ^ ) = 90 ° ;
- длины проекции a → на L , умноженной на -1, когда имеется тупой или развернутый угол векторов a → и b → : n p b → a → = – n p b → a → → с условием 90 ° a → , b → ^ ≤ 180 ° .
Дана длина проекции a → на L , равная 2 . Найти числовую проекцию a → при условии, что угол равен 5 π 6 радиан.
Решение
Из условия видно, что данный угол является тупым: π 2 5 π 6 π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L : n p L a → = – n p L a → → = – 2 .
Дана плоскость О х y z с длиной вектора a → равной 6 3 , b → ( – 2 , 1 , 2 ) с углом в 30 градусов. Найти координаты проекции a → на ось L .
Решение
Для начала вычисляем числовую проекцию вектора a → : n p L a → = n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .
По условию угол острый, тогда числовая проекция a → = длине проекции вектора a → : n p L a → = n p L a → → = 9 . Данный случай показывает, что векторы n p L a → → и b → сонаправлены, значит имеется число t , при котором верно равенство: n p L a → → = t · b → . Отсюда видим, что n p L a → → = t · b → , значит можем найти значение параметра t : t = n p L a → → b → = 9 ( – 2 ) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .
Тогда n p L a → → = 3 · b → с координатами проекции вектора a → на ось L равны b → = ( – 2 , 1 , 2 ) , где необходимо умножить значения на 3. Имеем n p L a → → = ( – 6 , 3 , 6 ) . Ответ: ( – 6 , 3 , 6 ) .
Необходимо повторить ранее изученную информацию об условии коллинеарности векторов.
Проекция вектора на ось в физике – формулы и определения с примерами
Содержание:
Проекция вектора на ось:
Вы уже знаете, что вектор имеет модуль и направление. При решении задач часто используется понятие проекция вектора на ось. Что такое проекция вектора? Как ее определяют?
Начнем с понятия проекция точки на ось.
Проекция точки — это основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на ось.
На рисунке 24 точка
Как определяют проекцию вектора на ось
Проекция вектора на ось — это длина отрезка между проекциями начала и конца вектора, взятая со знаком «+» или «-». Знак «+» берут, если угол между вектором и осью острый, а знак «-» — если угол тупой.
На рисунке 25 проекция вектора на ось Ох обозначена через а проекция вектора — через
Проекция — число положительное, т. к. угол на рисунке 25, а — острый. Проекция — число отрицательное т. к. угол на рисунке 25, б — тупой.
А если вектор перпендикулярен оси? Тогда его проекция на эту ось равна нулю (рис. 26).
Проекцию вектора можно выразить через его модуль и угол между вектором и осью.
Рассмотрим треугольник на рисунке 25, а. Его гипотенуза катет а угол между ними равен Следовательно,
Проекция вектора на ось равна модулю вектора, умноженному на косинус угла между вектором и осью.
Это правило справедливо при любых углах между вектором и осью. Подтвердите это с помощью рисунков 25 и 26.
Обратим внимание на еще одно важное свойство проекций: проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось.
С помощью рисунка 27, а, б убедитесь, что из векторного равенства следует равенство для проекций: Не забывайте о знаках проекций.
Можно ли найти модуль и направление вектора по его проекциям на координатные оси
Рассмотрим вектор лежащий в плоскости (рис. 28). Его проекции на оси определим из рисунка:
Модуль вектора находим по теореме Пифагора из треугольника ACD: Разделив на получим: По значению косинуса находим угол
Таким образом, вектор, лежащий в заданной плоскости, полностью определяется двумя проекциями на оси координат.
Вектор в пространстве определяется тремя проекциями: (рис. 29).
Главные выводы:
- Проекция вектора на ось — это длина отрезка, заключенного между проекциями начала и конца вектора на эту ось, взятая со знаком «+» или «-».
- Если угол между вектором и осью острый, то его проекция на эту ось положительна, если угол тупой — отрицательна, если прямой — равна нулю.
- Проекция вектора на ось равна произведению его модуля на косинус угла между вектором и осью.
- Проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось.
Пример №1
1. Определите сумму и разность взаимно перпендикулярных векторов (рис. 30). Найдите модули векторов суммы и разности
Решение
Сумму векторов находим по правилу треугольника (рис. 31, а) или параллелограмма (рис. 31, б). Так как векторы взаимно перпендикулярны, модуль вектора находим по теореме Пифагора: Разность векторов определим по правилам вычитания векторов (рис. 32, а, б).
Модуль вектора находим аналогично:
Ответ:
Пример №2
Выразите вектор через векторы (рис. 33). Как связаны между собой проекции этих векторов на оси Ох и Оу?
Решение
По правилу треугольника находим: Отсюда Определив координаты начальных и конечных точек векторов находим проекции этих векторов:
Вычислением убедимся, что проекции векторов связаны теми же равенствами, что и сами векторы:
Ответ:
| Рекомендую подробно изучить предметы: |
|
| Ещё лекции с примерами решения и объяснением: |
- Путь и перемещение
- Равномерное прямолинейное движение
- Прямолинейное неравномерное движение
- Прямолинейное равноускоренное движение
- Колебательное движение
- Физический и математический маятники
- Пружинные и математические маятники
- Скалярные и векторные величины и действия над ними
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
[spoiler title=”источники:”]
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/proektsija-vektora-na-os-i-chislovaja-proektsija/
http://www.evkova.org/proektsiya-vektora-na-os-v-fizike
[/spoiler]
