Как найти момент импульса цилиндра

Момент импульса тела относительно движущегося центра масс.

До сих пор, рассматривая момент импульса твердого тела, мы определяли его относительно некоторой неподвижной в лабораторной системе точки (например, точки закрепления тела). Во многих задачах динамики это оказывается неудобно. Например, решая задачу о диске, скатывающемся с наклонной плоскости, логично рассматривать момент импульса диска относительно его центра масс, а не относительно точки, принадлежащей наклонной плоскости.

Рассмотрим, как будут связаны моменты импульса тела, определенные относительно некоторой неподвижной точки О и относительно центра масс тела О, движущегося произвольным образом (рис. 2.19).

Пусть и — радиусы-векторы элементарной массы тела относительно точек — радиус-вектор, проведенный из

Эти векторы связаны между собой очевидным соотношением

Момент импульса тела относительно точки (см. формулу (2.1))

Воспользуемся очевидными равенствами

(М — масса всего тела);

поскольку точка О совпадает с центром масс тела. С учетом (2.56 – 2.58) из (2.55) получим

где — полный импульс тела в лабораторной системе — скорость массы относительно центра масс.

Если момент импульса тела относительно его центра масс (относительный момент импульса) определить как

то из (2.59) следует искомое соотношение

Еще раз подчеркнем, что при определении момента импульса тела относительно его центра масс (величина следует брать относительные скорости всех точек тела, то есть скорости точек тела относительно центра масс, считая его как бы неподвижным.

Замечание. Соотношение (2.61) позволяет также связать моменты импульса относительно двух параллельных осей, одна из которых неподвижна, а другая проходит через центр масс движущегося тела.

Обратимся к примерам.

1. Момент импульса цилиндра, скатывающегося без проскальзывания с наклонной плоскости, относительно его оси равен — момент инерции цилиндра относительно его оси, — мгновенная угловая скорость вращения цилиндра). Момент импульса того же цилиндра относительно мгновенной оси вращения, проходящей через точку касания цилиндра и плоскости, будет равен

Рис. 2.19

, где – момент инерции цилиндра относительно мгновенной оси вращения, — радиус цилиндра.

2. Если шару массы сообщить скорость обеспечивающую движение по круговой орбите вокруг гравитационного силового центра О, то он будет двигаться поступательно а его момент импульса относительно (рис. 2.20а). Если при этом шар будет вращаться вокруг собственной оси с угловой скоростью как показано на рис. 2.20б, то постоянный относительно точки О момент импульса шара будет равен

Рис. 2.20

Расчеты показывают, что момент импульса планет Солнечной системы относительно собственного центра масс значительно меньше их орбитального момента импульса. Орбиты всех планет лежат приблизительно в одной плоскости, так что их орбитальные моменты импульса складываются арифметически. Интересно, что все девять планет движутся вокруг Солнца в одном и том же направлении, так что суммарный момент импульса Солнечной системы отличен от нуля.

Момент
импульса. Момент сил. Уравнение
моментов.

При
анализе вращательного движения, как
твердого тела, так и материальной
точки важной характеристикой движения
является момент импульса.

Моментом
импульса называется
векторное произведение радиус-вектора
на вектор импульса:
.
Соответственно модуль момента импульса
равен:,
а направлен он перпендикулярно
радиус-вектору и вектору скорости,
согласно правилу нахождения векторного
произведения.

Влияние
сил, действующих на тело, на величину
момента импульса можно учесть,
используя II
закон Ньютона. Для этого возьмем
производную момента импульса по
времени:

.

Здесь
учтено, что
,
а скорость и импульс совпадают по
направлению и их векторное произведение
равно 0. Во втором слагаемом учтено,
что согласно второму закону Ньютона
.

Величина,
представляющая собой векторное
произведение радиуса-вектора на силу
называется момент
сил.:

.

Полученный
результат ):

,

называется
уравнение
моментов.
Согласно ему скорость изменения
момента импульса равна моменту
равнодействующей сил. Это соотношение
подобно второму закон Ньютона,
утверждающему, что скорость изменения
импульса равна равнодействующей
приложенных сил.

Как
видно из определения, момент сил,
так же как момент импульса зависит
от выбора точки, из которой проводится
радиус вектор. Поэтому в уравнении
моментов эти величины должны
рассчитываться относительно одной
и той же точки.

Пара
сил

Возможна
ситуация, когда суммарный момент сил
не будет зависеть от точки отсчета.
Таким будет момент двух сил, если
они удовлетворяют условию:
.
Действительно, тогда:

Рис. 14
Пара сил

И
модуль момента импульса окажется
равным:
,
гдеl-плечо
(
расстояние
между линиями действия сил)

Закон
сохранения момента импульса

Если
рассматривать движение не одной
материальной точки, а системы
материальных точек, то окажется, что
в уравнении моментов нужно учитывать
только моменты внешних сил. Моменты
сил взаимодействия частей системы
на результат не влияют. И для системы
материальных точек (и для твердого
тела) уравнение моментов примет вид:

.

Здесь
под
надо понимать суммарный момент
импульса системы:,
где– момент импульса отдельной материальной
точки, а в правой части стоит сумма
моментов внешних сил:.

Из
данного уравнения следует, что

при
равенстве нулю суммарного момента
внешних сил суммарный момент импульса
тела (или системы тел) остается
постоянным.

Это
утверждение и является законом
сохранения момента импульса (ЗСМИ).
Так же, как и закон сохранения импульса
(ЗСИ), ЗСМИ должен выполняться в
замкнутой системе. Но кроме этого
возможна ситуация, когда тело находится
в поле внешней силы (система
незамкнута), а момент этой силы равен
нулю. Такие силы называются центрально
симметричными
или просто центральными.
Математически такая сила может быть
представлена в виде:
.
Нетрудно видеть, что векторное
произведение такой силы на радиус
вектор равен нулю.

Таким
образом ЗСМИ выполняется в
замкнутой системе и в поле центральных
сил.

Примеры
центральных
сил: сила
гравитационного притяжения планет
Солнцем, сила кулоновского взаимодействия
ядра и электронов в атоме.

Особенности
описания движения твердого тила

При
движении твердого тела необходимо
учитывать как перемещение тела в
пространстве в целом, так и поворот
его вокруг оси, проходящей через центр
масс. Для анализа движения твердого
тела его мысленно разбивают на
множество материальных точек. Скорость
каждой из них может быть представлена
как сумма двух скоростей:
,
где– скорость отдельной (i–той)
точки,
– скорость центра масс твердого тела,
а–
скорость этой точки относительно
центра масс. Проанализировав движение
отдельной точки, пользуясь выводами
динамики материальной точки, можно
затем результат просуммировать (или
проинтегрировать) для тела в целом.
При этом удобнее применять именно
операцию интегрирования, для чего
отдельные части (точки) тела принимаются
бесконечно малыми.

Движение
центра масс

Согласно
второму закону Ньютона для отдельно
взятой элементарной массы, которую
считаем материальной точкой, с учетом
внешних сил
и
сил взаимодействиямежду отдельными массами этого тела
можно записать:

Просуммировав
получим равенство:

Учитывая,
что согласно третьему закону Ньютона

,и так далее, получим, что сумма сил
взаимодействия окажется равной нулю
и в данном равенстве останутся только
внешние силы:

Учтем,
что положение центра масс определяется
по формуле.:
,
тогда:. Дважды продифференцировав это
равенство получим:

.

А
это значит, что основное уравнение
динамики (II
закон Ньютона), для центра масс
записывается так же, как и для
материальной точки, но с учетом только
внешних сил (для материальной точки
все силы внешние):

.

Здесь

– равнодействующая внешних сил, а–
масса всего твердого тела.

Ускорение
центра масс твердого тела, умноженное
на полную массу тела, равняется
равнодействующей внешних сил,
действующих на тело.

Вращение
вокруг неподвижной оси.

Рассмотрим
тело произвольной формы,

вращающееся
вокруг оси Oz.

Разобьем
его на элементарные
массы
.

Для
каждой из них можно записать

уравнение
моментов с учетом моментов

внешних
сил


и сил взаимодействия
:

Запишем
проекцию этого равенства на ось z:

Рис
15. Вращение вокруг

Момент
импульса
связан со скоростьюнеподвижной оси

тела
и его импульсом:
.
А при

вращательном
движении его можно записать через
угловую скорость, используя взаимосвязь
и:
.
В результате получим:

,
где(α – угол между радиусом вектором и
осьюz)

Величина
называетсямоментом
инерции (в
данном случае i-той
элементарной массы):

Далее
просуммируем приведенное выше
равенство по всему твердому телу:

.

Учитывая,
что сумма моментов сил взаимодействия
(внутренних) равна нулю, а угловое
ускорение для всех точек одинаково,
получим:

.

И
окончательно, уравнение
динамики вращения твердого тела имеет
вид:

,

где
М_z
проекция
суммарного момента внешних сил на
ось вращения, а

–
момент
инерции твердого тела.

Момент
инерции.

Приведенная
выше формула для расчета инерции:
– удобна для расчета момента инерции
системы из нескольких тел, если эти
тела можно считать материальными
точками (случай, так называемых,
дискретных масс). Но если мы хотим
вычислить момент инерции твердого
тела (непрерывное распределение масс)
необходимо использовать операцию
интегрирования:

.

Здесь
dm
– элементарная
бесконечно малая масса, аналог m_i
в
предшествующем анализе.

Например,
если стержень вращается вокруг одного
из своих концов, момент инерции находим
следующим образом: выделяем элементарную
массу (бесконечно тонкий слой стержня
толщиной dx)
dm:

.

Радиус
вращения в данном случае обозначен
x
(смотри
рисунок). Подставив dm
и x
вместо
R
в интеграл, получим:

.

Здесь
l
-длина стержня, m-масса
стержня.

Итак,
момент инерции стержня относительно
оси проходящей через один из его
концов равен:

.

Для
того чтобы определить момент инерции
стержня относительно оси, проходящей
через его середину, надо изменить
пределы интегрирования:

Момент
инерции тела зависит от положения
оси, относительно которой оно вращается.

Теорема
Штейнера.

Теорема
Штейнера позволяет сосчитать момент
инерции J
тела, имеющего
массу m,
относительно
произвольной оси, если известен его
момент инерции относительно центра
масс J_c.

Рассмотрим
2 оси: осьCC’
, проходящую через центр масс и
произвольную OO’.

Положение
элементарной массы задается вектором

Момент
инерции этой элементарной массы
относительно оси OO’
будет равен:

Рис.
17. К теореме Штайнера.

.

Просуммировав
это равенство по всему

объему:

,

и
приняв во внимание, что для центра
масс координата
,
в итоге получим:

.

Это
соотношение называется теорема
Штейнера, здесь
a
– расстояние от центра масс до оси
OO’,
относительно которой считается момент
инерции.

Моменты
инерции различных тел:

Момент
инерции стержня относительно оси,
проходящей через центр масс и
перпендикулярной стержню:

Момент
инерции цилиндра или диска, относительно
его оси:

Момент
инерции шара относительно его центра
масс:

Кинетическая
энергия и работа при вращении твердого
тела.

Кинетическая
энергия вращающегося тела находится
суммированием кинетических энергий
элементарных масс (материальных
точек), на которые мы мысленно разбиваем
твердое тело. Кинетическая энергия
одной элементарной массы m_i:

.

При
суммировании
учтем, что, а

.

В
результате оказывается, что кинетическая
энергия вращающегося тела
может быть подсчитана по формуле:

Эта
формула по структуре повторяет
формулу расчета кинетической энергии
при поступательном движении
.

Аналогично
формуле для расчета работы при
поступательном движении
записывается работа при вращательном
движении:

,

Здесь

момент силы, поворачивающий тело на
угол.

Кинетическая
энергия при плоском движении.

Плоское
движение – такое движение, при котором
любая точка твердого тела остается в
какой-то одной своей плоскости. Самый
простой пример: катящийся цилиндр
или диск. В этом случае кинетическая
энергия складывается из кинетической
энергии поступательного движения и
кинетической энергии вращения вокруг
оси цилиндра (или диска):

.

J_c
– момент инерции цилиндра (или диска)
относительно его оси.

Гироскопический
эффект. Прецессия.

Гироскоп
– массивное тело, имеющее ось симметрии,
которое вращается вокруг этой оси с
очень большой угловой скоростью. Какую
скорость мы можем считать «очень
большой»? Это требование важно для
случая, когда гироскоп участвует в
дополнительном вращательном движении
с угловой скоростью .Тогда, при
выполнении условия
,
можно считать, что направление момента
импульса совпадает с осью вращения
гироскопа:

.

Рис. 18 Гироскопический
эффект Если
на гироскоп подействовать силой

(на
чертеже она направлена от нас), то
возникающий момент сил направлен
перпендикулярно этой силе (см. рис).
Согласно уравнению моментов:

вектор
изменения момента импульса совпадает
по направлению с вектором момента
силы. А это значит, что ось гироскопа
будет стремиться повернуться в
направлении перпендикулярном приложенной
силе. То есть в приведенном примере
мы действуем на гироскоп от нас, а
он наклоняется в сторону – влево. Это
одно из проявлений гироскопического
эффекта.

Если
сила, стремящаяся повернуть ось
гироскопа, действует постоянно, то
может возникнуть прецессия
гироскопа. Рассмотрим
в качестве примера волчок (гироскоп),
ось которого наклонена. Тогда сила
тяжести mg
и реакция
опоры N
создают
пару сил, стремящуюся опрокинуть
волчок. Но момент этих сил направлен
перпендикулярно оси волчка и так же
направлен вектор изменения импульса.
В этой ситуации ось волчка будет
вращаться вокруг вертикали, проведенной
из точки опоры волчка (см. рисунок).

Для
того, чтобы определить частоту
прецессии рассмотрим эту ситуа-

цию
более подробно. Момент сил пары сил
можно считать относительно

любой
точки. Относительно точки опоры
волчка момент сил будет равен ,модуль его
соответственно ,где α – угол между
радиус-вектором (направленным вдоль
оси волчка) и силой тяжести.

:

Рис 19.
Прецессия гироскопа

С
другой стороны, если за время dt
ось волчка
повернется на dφ,
то модуль изменения вектора момента
импульса будет равен (см. рисунок)
.Подставив
эти результаты в уравнение моментов,
приняв во внимание при этом, что
,
получим:.
Отсюда следует, что частота прецессии
равна:

.

Чем
меньше частота вращения волчка-гироскопа,
тем больше частота прецессии.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Для кинематического описания процесса вращения твердого тела нужно ввести такие понятия как угловое перемещение Δφ, угловое ускорение ε и угловая скорость ω:

ω=∆φ∆t, (∆t→0),ε=∆φ∆t, (∆t→0).

Углы выражаются в радианах. За положительное направление вращения принимается направление против часовой стрелки.

Когда твердое тело вращается относительно неподвижной оси, все точки этого тела перемещаются с одинаковыми угловыми скоростями и ускорениями.

Рисунок 1. Вращение диска относительно оси, проходящей через его центр O.

Если угловое перемещение Δφ мало, то модуль вектора линейного перемещения ∆s→ некоторого элемента массы Δm вращающегося твердого тела можно выразить соотношением:

∆s=r∆ϕ,

в котором r – модуль радиус-вектора r→.

Между модулями угловой и линейной скоростей можно установить связь посредством равенства

v=rω.

Модули линейного и углового ускорения также взаимосвязаны:

a=aτ=rε.

Векторы v→ и a→=aτ→ направлены по касательной к окружности радиуса r.

Также нам необходимо учесть возникновение нормального или центростремительного ускорения, которое всегда возникает при движении тел по окружности.

Если разделить вращающееся тело на небольшие фрагменты Δmi, обозначить расстояние до оси вращения через ri, а модули линейных скоростей через vi, то запись формулы кинестетической энергии вращающегося тела будет иметь вид:

Ek=∑iνmvi22=∑i∆m(riω)22=ω22∑i∆miri2.

В пределе при Δm→0 эта сумма переходит в интеграл. Единица измерения момента инерции в СИ – килограмм–метр в квадрате (кг·м2). Таким образом, кинетическую энергию твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси, можно представить в виде:

Ek=Iω22.

В отличие от выражения, которое мы использовали для описания кинестетической энергии поступательно движущегося тела mv22, вместо массы m в формулу входит момент инерции I. Также мы принимаем во внимание вместо линейной скорости v угловую скорость ω.

Если для динамики поступательного движения основную роль играет масса тела, то в динамике вращательного движения имеет значение момент инерции. Но если масса – это свойство рассматриваемого твердого тела, которое не зависит от скорости движения и других факторов, то момент инерции зависит от того, вокруг какой оси вращается тело. Для одного и того же тела момент инерции будет определяться различными осями вращения.

В большинстве задач считается, что ось вращения твердого тела проходит через центр его массы.

Положение xC, yC центра масс для простого случая системы из двух частиц с массами m1 и m2, расположенными в плоскости XY в точках с координатами x1, y1 и x2, y2 определяется выражениями:

xC=m1x1+m2x2m1+m2, yC=m1y1+m2y2m1+m2.

Рисунок 2. Центр масс C системы из двух частиц.

В векторной форме это соотношение принимает вид:

rC→=m1r1→+m2r2→m1+m2.

Аналогично, для системы из многих частиц радиус-вектор rC→ центра масс определяется выражением

rC→=∑miri→∑mi.

Если мы имеем дело с твердым телом, состоящим из одной части, то в приведенном выражении суммы для rC→ необходимо заменить интегралами.

Центр масс в однородном поле тяготения совпадает с центром тяжести. Это значит, что если мы возьмем тело сложной формы и подвесим его за центр масс, то в однородном поле тяготения это тело будет находиться в равновесии. Отсюда следует способ определения центра масс сложного тела на практике: его необходимо последовательно подвесить за несколько точек, одновременно отмечая по отвесу вертикальные линии.

Рисунок 3. Определение положения центра масс C тела сложной формы. A1, A2, A3 точки подвеса.

На рисунке мы видим тело, которое подвешено за центр масс. Оно находится в состоянии безразличного равновесия. В однородном поле тяготения равнодействующая сил тяжести приложена к центру масс.

Мы можем представить любое движение твердого тела как сумму двух движений. Первое поступательное, которое производится со скоростью центра масс тела. Второе – это вращение относительно оси, которая проходит через центр масс.

Предположим. Что у нас есть колесо, которое катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания. Все точки колеса во время движения перемещаются параллельно одной плоскости. Такое движение мы можем обозначить как плоское.

Теорема о движении центра масс

Рисунок 4. Качение колеса как сумма поступательного движения со скоростью vC→ и вращения с угловой скоростью ω=vCR относительно оси O, проходящей через центр масс.

В механике используется теорема о движении центра масс.

Любое тело или несколько взаимодействующих тел, которые представляют собой единую систему, обладают центром масс. Этот центр масс под воздействием внешних сил перемещается в пространстве как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы.

На рисунке мы изобразили движение твердого тела, на которое действуют силы тяжести. Центр масс тела движется по траектории, которая близка к параболе, тогда как траектория остальных точек тела является более сложной.

Рисунок 5. Движение твердого тела под действием силы тяжести.

Теорема Штейнера о параллельном переносе оси вращения

Рассмотрим случай, когда твердое тело движется вокруг некоторой неподвижной оси. Момент инерции этого тела инерции I можно выразить через момент инерции IC этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной первой.

Рисунок 6. К доказательству теоремы о параллельном переносе оси вращения.

Так мы пришли к формуле теоремы Штейнера о параллельном переносе оси вращения.

Рисунок 7. Модель момента инерции.

На рисунке ниже изображены однородные твердые тела различной формы и указаны моменты инерции этих тел относительно оси, проходящей через центр масс.

Рисунок 8. Моменты инерции IC некоторых однородных твердых тел.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

В тех случаях, когда мы имеем дело с твердым телом, которое вращается относительно неподвижной оси, мы можем обобщить второй закон Ньютона. На рисунке ниже мы изобразили твердое тело произвольной формы, вращающееся относительно некоторой оси, проходящей через точку О. Ось вращения расположена перпендикулярно плоскости рисунка.

Δmi – это произвольный малый элемент массы, на который оказывают воздействие внешние и внутренние силы. Равнодействующая всех сил есть Fi→. Ее можно разложить на две составляющие: касательную составляющую Fiτ→ и радиальную Fir→. Радиальная составляющая Fir→ создает центростремительное ускорение an.

Рисунок 9. Касательная Fiτ→ и радиальная Fir→ составляющие силы Fi→ действующей на элемент Δmi твердого тела.

Касательная составляющая Fiτ→ вызывает тангенциальное ускорение aiτ→ массы Δmi. Второй закон Ньютона, записанный в скалярной форме, дает

∆miaiτ=Fiτsin θ или ∆miriε=Fisin θ,

где ε=aiτri – угловое ускорение всех точек твердого тела.

Если обе части написанного выше уравнения умножить на ri, то мы получим:

∆miri2ε=Firisin θ=Fili=Mi.

Здесь li – плечо силы, Fi,→Mi – момент силы.

Теперь нужно аналогичные соотношения записать для всех элементов массы Δm_i вращающегося твердого тела, а затем просуммировать левые и правые части. Это дает:

∑∆miri2ε=∑Mi.

Стоящая в правой части сумма моментов сил, действующих на различные точки твердого тела, состоит из суммы моментов всех внешних сил и суммы моментов всех внутренних сил.

∑M=∑Miвнешн+∑Miвнутр.

Но сумма моментов всех внутренних сил согласно третьему закону Ньютона равна нулю, поэтому в правой части остается только сумма моментов всех внешних сил, которые мы будем обозначать через M. Так мы получили основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела.

Обычно за положительное направление вращения принимают направление против часовой стрелки.

Возможна и векторная форма записи основного уравнения динамики вращательного движения, при которой величины ω→, ε→, M→ определяются как векторы, направленные по оси вращения.

Закон сохранения момента импульса

В разделе, посвященном поступательному движению тела, мы ввели понятие импульса тела p→. По аналогии с поступательным движением для вращательного движения мы вводим понятие момента импульса.

Поскольку ε=∆ω∆t; ∆t→0, уравнение вращательного движения можно представить в виде:

M=Iε=I∆ω∆t или M∆t=I∆ω=∆L.

Получаем:

M=∆L∆t; (∆t→0).

Мы получили это уравнение для случая, когда I = const. Но оно будет справедливо и тогда, когда момент инерции тела будет изменяться в процессе движения.

Если суммарный момент M внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса L=Iω относительно данной оси сохраняется: ∆L=0, если M=0.

Мы можем записать уравнение динамики вращательного движения как для неподвижной оси, так и для оси, которая перемещается равномерно или с ускорением. Вид уравнения не изменится и в том случае, если ось движется ускоренно. Для этого должно выполняться два условия: ось должна проходить через центр массы тела, а ее направление в пространстве остается неизменным.