Момент импульса | |
---|---|
Размерность | L2MT−1 |
Единицы измерения | |
СИ | м2·кг/с |
СГС | см2·г/с |
Примечания | |
псевдовектор |
Моме́нт и́мпульса (момент импульса относительно точки, также: кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) — физическая величина, характеризующая количество вращательного движения и зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена в пространстве и с какой угловой скоростью происходит вращение[1].
Для одной материальной точки момент импульса равен векторному произведению радиус-вектора точки на её импульс, для системы точек — сумме таких произведений. Стандартное обозначение: , единица измерения в СИ: м2кг/с. Величина зависит от выбора положения начала отсчёта радиус-векторов O.
Момент импульса замкнутой системы сохраняется. Он является одним из трёх аддитивных (энергия, импульс, момент импульса) интегралов движения. При наличии внешних сил производная момента импульса по времени равна моменту сил (относительно того же начала O).
Основное использование понятия момента импульса относится к задачам, связанным с реальным вращением (особенно при наличии центральной или осевой симметрии; тогда О обычно выбирается в центре или на оси). Но величина может быть вычислена и в других ситуациях, например для прямолинейного движения частицы мимо произвольной точки O, не лежащей на линии движения и условно принимаемой за центр.
В случае вращения твёрдого тела вокруг фиксированной оси часто используется не сам момент импульса, а его проекция на эту ось — такая величина называется моментом импульса относительно оси.
Понятие момента импульса было изначально введено в классической механике, но имеет обобщения в квантовой механике и электродинамике.
Момент импульса в классической механике[править | править код]
Связь между силой F, моментом силы τ, импульсом и моментом импульса
Определение[править | править код]
Момент импульса материальной точки относительно некоторого начала отсчёта определяется векторным произведением её радиус-вектора и импульса:
- ,
где — радиус-вектор частицы относительно выбранного неподвижного начала отсчёта, — импульс частицы.
Из определения момента импульса следует его аддитивность: для системы, состоящей из нескольких материальных точек, выполняется
- .
Количество частиц может быть бесконечным, например в случае твёрдого тела с распределённой массой.
Так как момент импульса задаётся векторным произведением, он является псевдовектором, перпендикулярным обоим векторам и .
Момент импульса можно вычислить относительно любого начала отсчета O (получающиеся при этом разные значения связаны очевидным образом); однако чаще всего (для удобства и определённости) его вычисляют относительно центра масс, закреплённой точки вращения твердого тела или другой чем-то выделенной точки.
Выбор точки O иногда связан с характером задачи. Так, при рассмотрении орбитального движения планеты вокруг Солнца за начало отсчёта естественно взять Солнце, а при анализе её же собственного вращения — центр этой планеты. Естественно, получатся два разных момента импульса: и .
Вычисление в общем случае[править | править код]
Если имеется материальная точка массой , двигающаяся со скоростью и находящаяся в точке, описываемой радиус-вектором , то и момент импульса вычисляется по формуле
- .
Чтобы рассчитать момент импульса тела, его надо разбить на бесконечно малые кусочки ( — плотность) и просуммировать их моменты как моменты импульса материальных точек, то есть взять интеграл:
- .
На практике задаётся как функция трёх координат и необходимо выполнение тройного интегрирования:
- .
Если считать, что — обобщённая функция, включающая, возможно, и дельтообразные члены, то эта формула применима и к распределённым, и к дискретным системам.
Случай фиксированной оси[править | править код]
Важным случаем использования понятия «момент импульса» является движение вокруг неизменной оси. В такой ситуации часто рассматривают не сам момент импульса (псевдовектор), а его проекцию на ось как псевдоскаляр, знак которого зависит от направления вращения:
- .
Параллельность-перпендикулярность (, ) имеются в виду по отношению к оси; , . При этом — расстояние от оси до материальной точки, называемое «плечом». Величина указанной проекции, в отличие от самого момента, не меняется при сдвиге начала отсчёта O на оси. Для распределённой системы
- .
Если при этом все точки тела движутся по окружностям (вращаются) с одинаковой угловой скоростью , то есть численно , то для материальной точки массой или для системы будет, соответственно,
- или .
Величину иногда называют моментом импульса относительно оси. Символ параллельности у и знак перед выражением могут опускаться, если очевидно, о чём идёт речь.
Для абсолютно твёрдого тела, величина последнего интеграла называется моментом инерции относительно оси вращения и обозначается . Тогда запись обретает вид или, в векторной форме, . Если известен момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела, а вращение происходит вокруг другой, но параллельной ей оси, то необходимый момент инерции находится по теореме Штайнера.
Сохранение момента импульса[править | править код]
Закон сохранения момента импульса: суммарный момент импульса относительно любой неподвижной точки для замкнутой системы остается постоянным со временем.
Производная момента импульса по времени есть момент силы:
- ,
Таким образом, требование замкнутости системы может быть ослаблено до требования равенства нулю главного (суммарного по всем частицам ) момента внешних сил:
- ,
где — момент сил, приложенных к системе частиц. (Но конечно, если внешние силы вообще отсутствуют, это требование также выполняется.) Аналогичный закон сохранения справедлив для момента импульса относительно фиксированной оси.
По теореме Нётер закон сохранения момента импульса следует из изотропии пространства, то есть из инвариантности пространства по отношению к повороту на произвольный угол. При повороте на произвольный бесконечно малый угол , радиус-вектор частицы с номером изменятся на , а скорости — . Функция Лагранжа системы при таком повороте не изменится, вследствие изотропии пространства. Поэтому
С учётом , где — обобщенный импульс -той частицы, каждое слагаемое в сумме из последнего выражения можно переписать в виде
Теперь, пользуясь свойством смешанного произведения, совершим циклическую перестановку векторов, в результате чего получим, вынося общий множитель:
где — момент импульса системы. Ввиду произвольности , из равенства следует
Смежные понятия[править | править код]
При рассмотрении задач, связанных с вращением, фигурируют понятия, частично упоминавшиеся выше:
- момент импульса относительно оси (термин состоит из четырёх слов) — проекция момента импульса на ось;
- момент инерции твёрдого тела (см. также моменты инерции некоторых тел);
- момент силы (он же: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент);
- импульс момента силы (единица измерения — Н·м·с) — мера воздействия момента силы относительно данной оси за данный промежуток времени (во вращательном движении).
Несмотря на созвучность с «моментом импульса», эти понятия не синонимичны термину «момент импульса» и несут самостоятельный смысл.
Момент импульса в электродинамике[править | править код]
При описании движения заряженной частицы в электромагнитном поле канонический импульс не является инвариантным. Как следствие, канонический момент импульса тоже не инвариантен. Тогда берётся реальный импульс, который также называется «кинетическим импульсом»:
где — электрический заряд, — скорость света, — векторный потенциал. Таким образом, гамильтониан (инвариантный) заряженной частицы массы в электромагнитном поле:
где — скалярный потенциал. Из этого потенциала следует закон Лоренца. Инвариантный момент импульса, или «кинетический момент импульса», определяется следующим образом:
Момент импульса в квантовой механике[править | править код]
Оператор момента[править | править код]
В квантовой механике момент импульса квантуется, то есть он может изменяться только по «квантовым уровням» между точно определёнными значениями. Проекция на любую ось момента импульса частиц, обусловленного их пространственным движением, должна быть целым числом, умноженным на ( с чертой — постоянная Планка, поделенная на ).
Эксперименты показывают, что большинство частиц имеют постоянный внутренний момент импульса, который не зависит от их движения через пространство. Этот спиновый момент импульса всегда кратен для фермионов и для бозонов. Например, электрон в состоянии покоя имеет момент импульса .[2]
В классическом определении момент импульса зависит от 6 переменных , , , , , и . Переводя это на квантовомеханические определения, используя принцип неопределенности Гейзенберга, получаем, что невозможно вычислить все шесть переменных одновременно с любой точностью. Поэтому есть ограничение на то, что мы можем узнать или подсчитать о практическом моменте импульса. Это значит, что лучшее, что мы можем сделать — это подсчитать одновременно величину вектора момента импульса и какой-либо одной его компоненты (проекции).
Математически полный момент импульса в квантовой механике определяется как оператор физической величины из суммы двух частей, связанных с пространственным движением — в атомной физике такой момент называют орбитальным, и внутренним спином частицы — соответственно, спиновым. Первый оператор действует на пространственные зависимости волновой функции:
- ,
где и — координатный и импульсный оператор, соответственно, а второй — на внутренние, спиновые. В частности, для одной частицы без электрического заряда и без спина, оператор углового момента может быть записан как:
- ,
где — оператор набла. Это часто встречающаяся форма оператора момента импульса, но не самая главная, она имеет следующие свойства:
- ,
где — Символ Леви-Чивиты;
и даже более важные подстановки с гамильтонианом частицы без заряда и спина:
- .
Симметрия вращения[править | править код]
Операторы момента импульса обычно встречаются при решении задач сферической симметрии в сферических координатах. Тогда момент импульса в пространственном отображении:
Когда находят собственные значения этого оператора, получают следующее:
где , — целые числа, такие что а
— сферические функции.
Примечания[править | править код]
- ↑ Pivarski, Jim Spin. Symmetry Magazine (март 2013). Дата обращения: 28 апреля 2014. Архивировано 15 апреля 2014 года.
- ↑ [Информация с сайта Нобелевского комитета (англ.). Дата обращения: 3 ноября 2017. Архивировано 18 мая 2008 года. Информация с сайта Нобелевского комитета (англ.)]
Литература[править | править код]
- Биденхарн Л., Лаук Дж. Угловой момент в квантовой физике. Теория и приложения. — М.: Мир, 1984. — Т. 1. — 302 с.
- Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М.: Наука, 1976. — 664 с.
- Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. — М.: Мир, 1990. — 720 с.
- Варшалович Д. А., Москалев А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. — Л.: Наука, 1975. — 441 с.
- Зар Р. Теория углового момента. О пространственных эффектах в физике и химии. — М.: Мир, 1993. — 352 с.
Пусть
дана материальная точка, имеющая импульср. Пусть её положение
относительно точки О определяется
радиусом-векторомr.
Движение такой точки характеризуют
моментом импульсаL.
Моментом импульса материальной точки
относительно точки О называется
векторная величина, равная векторному
произведению радиуса-вектораr
и вектора импульсаp:
L=[r,p].
Модуль момента импульса L=rpsin,
где
– угол между векторамиr
и р. Направление вектора
момента импульса определяется по правилу
правого винта.
Размерность момента импульса [L]=кг.м2/с.
Момент
импульса тела относительно точки равен
векторной сумме моментов импульсов
частиц тела относительно той же точки
L=L1+L2+…+LN.
Проекция вектора момента импульса
относительно точки О на ось z,
проходящую через эту точку, называетсямоментом импульса относительно оси:
Lz=[r,p]z.
Момент импульса относительно оси
является скалярной величиной.
Момент импульса тела относительно оси
z равен проекции
момента импульса тела относительно
точки О на осьz,
проходящую через эту точку.
4.3. Связь момента силы и момента импульса
Момент импульса и момент силы связаны
между собой. Найдём выражение, связывающее
их.
Возьмём производную по времени от
выражения, определяющего момент импульса:
Член
равен нулю, так как угол между вектором
скоростиdr/dt и
вектором импульсар равен нулю.
Производная импульса по времени,
имеющаяся во втором члене полученного
выражения, равна силе (второй закон
Ньютона). Поэтому можем записать
полученное выражение в следующей форме:
.
Но [r,F]
есть по определению момент силыF относительно
той же точки О. Поэтому
т.е. скорость изменения момента импульса
частицы равна моменту силы,
действующему на эту частицу.
Проекция последнего уравнения на ось
zвыражает связь
момента импульса относительно осиzи момента силы
относительно той же оси.
.
4.4. Основной закон динамики вращательного движения
Пусть твёрдое тело вращается относительно
неподвижной оси z.
Выразим момент импульса твёрдого тела
относительно оси вращения. Для этого
представим твёрдое тело как совокупность
элементарных масс. Момент
импульса одной элементарной массы
относительно осиz
Момент импульса всего тела равен сумме
моментов импульсов всех элементарных
масс
Скорость vу разных
элементарных масс различна, а угловая
скорость одинакова.
Поскольку v=r,
Поскольку угловая скорость со одинакова
для всех элементарных масс, её можно
вынести за знак суммы
Введём обозначение
.
С учётом этого
Lz=Jz..
Ранее мы получили, что момент импульса
и момент силы связаны следующим
образом:
.
Заменив Lz
наJzωи с учётом того, чтоJz
с течением времени не изменяется,
получаем
Учитывая, что производная угловой
скорости по времени равна угловому
ускорению , получаем
.
Полученное выражение – основной закон
динамики вращательного движения,
связывающий между собой меру внешнего
воздействия – момент силы Mz
с результатом внешнего воздействия
– угловым ускорением.
Коэффициент Jz, стоящий
в этом уравнении, зависит от массы тела
и от того, как она распределена по
объёму тела (это видно из определения
величиныJz).
Чем меньше Jz, тем большее
угловое ускорение получит тело при
воздействии момента силыMz.
Это говорит о том, что коэффициентJz.
характеризует инертность вращающегося
тела. ПоэтомуJz называют
моментом инерции тела относительно осиz.
Знание величины момента инерции тела
необходимо для описания вращательного
движения. Поэтому обсудим более подробно,
что такое момент инерции и как его
вычислить.
Соседние файлы в папке часть 1
- #
- #
- #
- #
- #
- #
При решении задач на движение тел в пространстве часто используют формулы сохранения кинетической энергии и импульса. Оказывается, что аналогичные выражения существуют и для вращающихся тел. В данной статье подробно рассматривается закон сохранения момента импульса (формулы соответствующие также приводятся) и дается пример решения задачи.
Процесс вращения и момент импульса
Перед тем как перейти к рассмотрению формулы закона сохранения момента импульса, необходимо познакомиться с этим физическим понятием. Проще всего его можно ввести, если воспользоваться рисунком ниже.
Вам будет интересно:Нарративный анализ: понятие и применение
На рисунке видно, что на конце вектора r¯, направленного от оси вращения и перпендикулярного ей, имеется некоторая материальная точка массой m. Эта точка движется по окружности названного радиуса с линейной скоростью v¯. Из физики известно, что произведение массы на линейную скорость называется импульсом (p¯). Теперь стоит ввести новую величину:
Вам будет интересно:Сульфат стронция: нахождение в природе, растворимость, применение
L¯ = r¯*m*v¯ = r¯*p¯.
Здесь векторная величина L¯ представляет собой момент импульса. Чтобы перейти к скалярной форме записи, необходимо знать модули соответствующих значений r¯ и p¯, а также угол θ между ними. Скалярная формула для L имеет вид:
L = r*m*v*sin(θ) = r*p*sin(θ).
На рисунке выше угол θ является прямым, поэтому можно просто записать:
L = r*m*v = r*p.
Из записанных выражений следует, что единицей измерения для L будут кг*м2/с.
Направление вектора момента импульса
Поскольку рассматриваемая величина является вектором (результат векторного произведения), то она будет иметь определенное направление. Из свойств произведения двух векторов следует, что их результат даст третий вектор, перпендикулярный плоскости, образованной первыми двумя. При этом направлен он будет таким образом, что если смотреть с его конца, то тело будет вращаться против часовой стрелки.
Вам будет интересно:Самые старые горы в мире: где находятся, фото, названия
Результат применения этого правила показан на рисунке в предыдущем пункте. Из него видно, что L¯ направлен вверх, поскольку, если смотреть на тело сверху, его движение будет происходить против хода стрелки часов. При решении задач важно учитывать направление во время перехода к скалярной форме записи. Так, рассмотренный момент импульса считается положительным. Если бы тело вращалось по часовой стрелке, тогда в скалярной формуле перед L следовало бы поставить знак минуса (-L).
Аналогия с линейным импульсом
Рассматривая тему момента импульса и закона его сохранения, можно проделать один математический трюк – преобразовать выражение для L¯, помножив и поделив его на r2. Тогда получится:
L¯ = r*m*v¯*r2/r2 = m*r2*v¯/r.
В этом выражении отношение скорости к радиусу вращения называется угловой скоростью. Она обычно обозначается буквой греческого алфавита ω. Эта величина показывает, на сколько градусов (радиан) сделает поворот тело по орбите своего вращения за единицу времени. В свою очередь, произведение массы на квадрат радиуса – это тоже физическая величина, имеющая собственное название. Обозначают ее I и называют моментом инерции.
В итоге формула для момента импульса преобразуется в следующую форму записи:
L¯ = I *ω¯, где ω¯= v¯/r и I=m*r2.
Выражение демонстрирует, что направление момента импульса L¯ и угловой скорости ω¯ совпадают для системы, состоящей из вращающейся материальной точки. Особый интерес представляет величина I. Ниже она рассмотрена подробнее.
Момент инерции тела
Введенная величина I характеризует “сопротивляемость” тела любому изменению скорости его вращения. То есть она играет точно такую же роль, что и инерция тела при линейном перемещении объекта. По сути I для кругового движения с физической точки зрения означает то же самое, что и масса при линейном движении.
Как было показано, для материальной точки с массой m, вращающейся вокруг оси на расстоянии от нее r, момент инерции рассчитать просто (I = m*r2), однако для любых других тел этот расчет будет несколько сложным, поскольку предполагает использование интеграла.
Для тела произвольной формы I можно определить при помощи следующего выражения:
Вам будет интересно:Архаический период Древней Греции (IX–VIII вв. до н.э.)
I = ∫m(r2*dm) = ∫V(r2*ρ*dV), где ρ – плотность материала.
Выражения выше означают, что для вычисления момента инерции следует разбить все тело на бесконечно малые объемы dV, умножить их на квадрат расстояния до оси вращения и на плотность и просуммировать.
Для тел разной формы эта задача решена. Ниже приводятся данные для некоторых из них.
Материальная точка: I = m*r2.
Диск или цилиндр: I = 1/2*m*r2.
Стержень длиной l, закрепленный по центру: I = 1/12*m*l2.
Шар: I = 2/5*m*r2.
Момент инерции зависит от распределенной массы тела относительно оси вращения: чем дальше от оси будет находиться большая часть массы, тем больше будет I для системы.
Изменение момента импульса во времени
Рассматривая момент импульса и закон сохранения момента импульса в физике, можно решить простую проблему: определить, как и за счет чего он будет изменяться во времени. Для этого следует взять производную по dt:
dL¯/dt = d(r¯*m*v¯)/dt = m*v¯*dr¯/dt+r*m*dv¯/dt.
Первое слагаемое здесь равно нулю, поскольку dr¯/dt = v¯ и произведение векторов v¯*v¯ = 0 (sin(0) = 0). Второе же слагаемое может быть переписано следующим образом:
dL¯/dt =r*m*a¯, где ускорение a = dv¯/dt, откуда:
dL¯/dt =r*F¯=M¯.
Величина M¯, согласно определению, называется моментом силы. Она характеризует действие силы F¯ на материальную точку массой m, расположенную на расстоянии r от оси вращения.
Что показывает полученное выражение? Оно демонстрирует, что изменение момента импульса L¯ возможно только за счет действия момента силы M¯. Эта формула – закон сохранения момента импульса точки: если M¯=0, то dL¯/dt = 0 и L¯ является постоянной величиной.
Какие моменты сил могут изменить L¯ системы?
Существует два вида моментов сил M¯: внешние и внутренние. Первые связаны с силовым воздействием на элементы системы со стороны любых внешних сил, вторые же возникают за счет взаимодействия частей системы.
Согласно третьему закону Ньютона, любой силе действия соответствует направленная противоположно сила противодействия. Это означает, что суммарный момент силы любых взаимодействий внутри системы всегда равен нулю, то есть он не может повлиять на изменения момента импульса.
Величина L¯ может измениться только за счет внешних моментов сил.
Формула закона сохранения момента импульса
Формула для записи выражения сохранения величины L¯ в случае, если сумма внешних моментов сил равна нулю, имеет следующий вид:
I1*ω1 = I2*ω2.
Любые изменения момента инерции системы пропорционально отражаются на изменении угловой скорости таким образом, что произведение I*ω не меняет своего значения.
Вид этого выражения аналогичен закону сохранения линейного импульса (роль массы играет I, а роль скорости – ω). Если развивать аналогию дальше, то, помимо этого выражения, можно записать еще одно, которое будет отражать сохранение кинетической энергии вращения:
E = I *(ω)2/2 = const.
Применение закона сохранения момента импульса находит себя в целом ряде процессов и явлений, которые кратко охарактеризованы ниже.
Примеры использования закона сохранения величины L¯
Следующие примеры закона сохранения момента импульса имеют важное значение для соответствующих сфер деятельности.
- Любой вид спорта, где необходимо совершать прыжки с вращением. Например, балерина или спортсмен по фигурному катанию начинает исполнение пируэта с вращением, разведя широко руки и отодвинув ногу от центра тяжести своего тела. Затем он прижимает ногу ближе к опорной и руки ближе к телу, уменьшая тем самым момент инерции (большая часть точек тела расположена близко к оси вращения). По закону сохранения величины L, должна увеличиться его угловая скорость вращения ω.
- Для изменения направления ориентации относительно Земли какого-либо искусственного спутника. Выполняется это так: спутник имеет специальный тяжелый “маховик”, его приводит в движение электромотор. Общий момент импульса должен сохраняться, поэтому сам спутник начинает вращаться в противоположную сторону. Когда он примет нужную ориентацию в пространстве, маховик останавливают, и спутник также перестает вращаться.
- Эволюция звезд. По мере того как звезда сжигает свое водородное топливо, силы гравитации начинают преобладать над давлением ее плазмы. Этот факт приводит к уменьшению радиуса звезды до небольших размеров и, как следствие, к сильному увеличению скорости вращения угловой. Например, установлено, что нейтронные звезды, имеющие диаметр несколько километров, вращаются с гигантскими скоростями, делая один оборот за доли миллисекунды.
Решение задачи на закон сохранения L¯
Учеными установлено, что через несколько миллиардов лет Солнце, исчерпав энергетические запасы, превратится в “белого карлика”. Необходимо рассчитать, с какой скоростью оно будет вращаться вокруг оси.
Для начала необходимо выписать значения необходимых величин, которые можно взять из литературы. Итак, сейчас данная звезда имеет радиус 696 000 км и один оборот вокруг своей оси делает за 25,4 земных суток (значение для области экватора). Когда она подойдет к концу своего эволюционного пути, то сожмется до размеров 7000 км (порядка радиуса Земли).
Полагая, что Солнце – идеальный шар, можно воспользоваться формулой закона сохранения момента импульса для решения этой задачи. Нужно перевести сутки в секунды и километры в метры, получается:
L = I*ω = 2/5*m*r12*ω1 = 2/5*m*r22*ω2.
Откуда следует:
ω2 = (r1/r2)2*ω1 = (696000000/7000000)2*2*3,1416/(25,4*24*3600)= 0,0283 рад/с.
Здесь использовалась формула для угловой скорости (ω = 2*pi/T, где T – период вращения в секундах). При выполнении вычислений также было сделано предположение, что масса Солнца остается постоянной (это не верно, поскольку она будет уменьшаться. Тем не менее полученное значение ω2 является нижней границей, то есть в действительности Солнце-карлик будет вращаться еще быстрее).
Поскольку полный оборот – это 2*pi радиан, тогда получится:
T2 = 2*pi/ω2 = 222 с.
То есть в конце своего жизненного цикла данная звезда будет делать один оборот вокруг своей оси быстрее, чем за 222 секунды.
Спроектировав векторы, фигурирующие в уравнении (14), на произвольную ось z, проходящую через точку О, получим соотношение
.
Таким образом, производная по времени от момента импульса относительно оси равна моменту относительно той же оси сил, действующих на частицу.
Рассмотрим систему частиц, на которые действуют как внутренние, так и внешние силы. Моментом импульса L системы относительно точки О называется сумма моментов импульса Li отдельных частиц:
Дифференцирование по времени дает, что
(15)
В соответствии с (14) для каждой из частиц можно написать равенство
,
где – момент внутренних сил, а – момент внешних сил, действующих на i-ю частицу. Подстановка этих равенств в (15) приводит к соотношению:
.
Каждое из слагаемых в этих суммах представляет собой сумму моментов сил, действующих на i-ю частицу. Суммирование осуществляется по частицам. Если перейти к суммированию по отдельным силам, независимо от того, к какой из частиц они приложены, индекс i в суммах можно опустить.
Согласно (13) суммарный момент внутренних сил равен нулю. Поэтому получаем окончательно, что
(16)
Формула (16) сходна с формулой (1).
Из сравнения этих формул заключаем, что подобно тому, как производная по времени от импульса системы равна сумме моментов внешних сил.
Спроектировав векторы, фигурирующие в формуле (16) на произвольную ось z, проходящую через точку О, придем к уравнению
(17)
Если система замкнута (т.е. внешних сил нет), правая часть равенства (16) равна нулю и, следовательно, вектор L не изменяется со временем. Отсюда вытекает закон сохранения момента импульса, который гласит, что момент импульсазамкнутой системы материальных точек остается постоянным. Разумеется, будет оставаться постоянным и момент импульса замкнутой системы относительно любой оси, проходящей через точку О.
Момент импульса сохраняется и для незамкнутой системы, если сумма моментов внешних сил равна нулю. Согласно (17) сохраняется момент импульса системы относительно оси z при условии, что сумма моментов внешних сил относительно этой оси равна нулю.
В основе закона сохранения момента импульса лежит изотропия пространства, т.е. одинаковость свойств пространства по всем направлениям. Поворот замкнутой системы частиц без изменения их взаимного расположения (конфигурации) и относительных скоростей не изменяет механических свойств системы. Движение частиц друг относительно друга после поворота будет таким же, каким оно было бы, если бы поворот не был осуществлен.
Размещено на Allbest.ru
Дата добавления: 2015-08-26 ; просмотров: 562 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
§ 2.7. Момент импульса
1. Пусть материальная точка массой т движется по окружности радиусом г со скоростью v (рис. 2.5), ее импульс р = т [см. (2.3)]. Моментом импульса L материальной точки относительно центра О называют произведение модуля ее импульса на радиус окружности:
Момент импульса L — это вектор, перпендикулярный плоскости, в которой лежат импульс р и радиус-вектор г (см. рис. 2.5).
2. Пусть на материальную точку массой т действует сила F, составляющая угол а с радиусом окружности г (рис. 2.6). Разложим эту силу на две составляющие: нормальную F„ = F cos а и тангенциальную FX = F sin а. Нормальная составляющая силы сообщает материальной точке нормальное (центростремительное) ускорение, вызывая поворот тела, но не меняя модуля скорости; тангенциальная составляющая сообщает материальной точке тангенциальное ускорение, т. е. меняет модуль скорости, не меняя ее направления. Итак, согласно второму закону Ньютона (2.13),
3. Пусть модуль момента импульса L [см. (2.24)] изменяется в течение промежутка времени At; при этом следует учесть, что здесь радиус и масса — величины постоянные. Тогда можно записать:
представляющее собой произведение силы F на плечо d (см. рис. 2.6), называют моментом силы. Из (2.25) и (2.26) получим
изменение момента импульса за единицу времени равно моменту силы.
Этот результат аналогичен выражению (2.12), согласно которому изменение импульса за единицу времени равно силе. Поэтому выражение (2.27) называют иногда вторым законом Ньютона для вращательного движения.
4. Если суммарный момент сил, действующих на систему, равен нулю, то изменение вектора момента импульса за единицу времени, согласно (2.27), тоже равно нулю, а это означает, что момент импульса является постоянной величиной, т. е. не меняется ни по модулю, ни по направлению. Оказывается, что наряду с законом сохранения импульса (см. § 2.2) справедлив закон сохранения момента импульса, который формулируется так:
Суммарный момент импульса замкнутой системы в результате действия внутренних сил не меняется.
Закон сохранения момента импульса является столь же фундаментальным законом природы, как и закон сохранения импульса. Справедливость этих законов подтверждается всей совокупностью физических знаний.
Таким образом, если внешние силы не действуют на уже вращающееся тело, иными словами, момент сил М= 0, то AL = 0, т. е. вектор момента импульса L уже вращающегося тела не изменяется ни по модулю, ни по направлению.
Так, можно наблюдать вращающихся конькобежца или балерину. Это значит, что у них вектор момента импульса вдоль оси симметрии остается постоянным. При отсутствии трения их вращение продолжалось бы бесконечно долго.
На этом же принципе работает гироскоп. Гироскопом называют всякое тело вращения, которое вращается вокруг точки, лежащей на оси симметрии тела.
Гироскоп нашел широкое применение на практике. Например, гироскоп на спутнике сохраняет в космосе его положение относительно Солнца; гироскоп на корабле до некоторой степени успокаивает его качку; установив ось гироскопа в направлении север—юг, имеют так называемый гирокомпас. Используя гирокомпас, можно поддерживать заданное направление корабля («авторулевой») или самолета («автопилот»). Гироскопом является сам снаряд или пуля, вылетающие из винторезного ствола. В полете они сохраняют направление оси симметрии. В боевых морских торпедах устанавливают гироскоп для сохранения направления на цель после их пуска и т. д.
Закон сохранения момента импульса: формула, применение и особенности
При решении задач на движение тел в пространстве часто используют формулы сохранения кинетической энергии и импульса. Оказывается, что аналогичные выражения существуют и для вращающихся тел. В данной статье подробно рассматривается закон сохранения момента импульса (формулы соответствующие также приводятся) и дается пример решения задачи.
Процесс вращения и момент импульса
Перед тем как перейти к рассмотрению формулы закона сохранения момента импульса, необходимо познакомиться с этим физическим понятием. Проще всего его можно ввести, если воспользоваться рисунком ниже.
Вам будет интересно: Нарративный анализ: понятие и применение
На рисунке видно, что на конце вектора r¯, направленного от оси вращения и перпендикулярного ей, имеется некоторая материальная точка массой m. Эта точка движется по окружности названного радиуса с линейной скоростью v¯. Из физики известно, что произведение массы на линейную скорость называется импульсом (p¯). Теперь стоит ввести новую величину:
Вам будет интересно: Сульфат стронция: нахождение в природе, растворимость, применение
Здесь векторная величина L¯ представляет собой момент импульса. Чтобы перейти к скалярной форме записи, необходимо знать модули соответствующих значений r¯ и p¯, а также угол θ между ними. Скалярная формула для L имеет вид:
L = r*m*v*sin(θ) = r*p*sin(θ).
На рисунке выше угол θ является прямым, поэтому можно просто записать:
Из записанных выражений следует, что единицей измерения для L будут кг*м2/с.
Направление вектора момента импульса
Поскольку рассматриваемая величина является вектором (результат векторного произведения), то она будет иметь определенное направление. Из свойств произведения двух векторов следует, что их результат даст третий вектор, перпендикулярный плоскости, образованной первыми двумя. При этом направлен он будет таким образом, что если смотреть с его конца, то тело будет вращаться против часовой стрелки.
Результат применения этого правила показан на рисунке в предыдущем пункте. Из него видно, что L¯ направлен вверх, поскольку, если смотреть на тело сверху, его движение будет происходить против хода стрелки часов. При решении задач важно учитывать направление во время перехода к скалярной форме записи. Так, рассмотренный момент импульса считается положительным. Если бы тело вращалось по часовой стрелке, тогда в скалярной формуле перед L следовало бы поставить знак минуса (-L).
Аналогия с линейным импульсом
Вам будет интересно: Самые старые горы в мире: где находятся, фото, названия
Рассматривая тему момента импульса и закона его сохранения, можно проделать один математический трюк – преобразовать выражение для L¯, помножив и поделив его на r2. Тогда получится:
L¯ = r*m*v¯*r2/r2 = m*r2*v¯/r.
В этом выражении отношение скорости к радиусу вращения называется угловой скоростью. Она обычно обозначается буквой греческого алфавита ω. Эта величина показывает, на сколько градусов (радиан) сделает поворот тело по орбите своего вращения за единицу времени. В свою очередь, произведение массы на квадрат радиуса – это тоже физическая величина, имеющая собственное название. Обозначают ее I и называют моментом инерции.
В итоге формула для момента импульса преобразуется в следующую форму записи:
L¯ = I *ω¯, где ω¯= v¯/r и I=m*r2.
Выражение демонстрирует, что направление момента импульса L¯ и угловой скорости ω¯ совпадают для системы, состоящей из вращающейся материальной точки. Особый интерес представляет величина I. Ниже она рассмотрена подробнее.
Момент инерции тела
Введенная величина I характеризует “сопротивляемость” тела любому изменению скорости его вращения. То есть она играет точно такую же роль, что и инерция тела при линейном перемещении объекта. По сути I для кругового движения с физической точки зрения означает то же самое, что и масса при линейном движении.
Как было показано, для материальной точки с массой m, вращающейся вокруг оси на расстоянии от нее r, момент инерции рассчитать просто (I = m*r2), однако для любых других тел этот расчет будет несколько сложным, поскольку предполагает использование интеграла.
Для тела произвольной формы I можно определить при помощи следующего выражения:
I = ∫m(r2*dm) = ∫V(r2*ρ*dV), где ρ – плотность материала.
Вам будет интересно: Архаический период Древней Греции (IX–VIII вв. до н.э.)
Выражения выше означают, что для вычисления момента инерции следует разбить все тело на бесконечно малые объемы dV, умножить их на квадрат расстояния до оси вращения и на плотность и просуммировать.
Для тел разной формы эта задача решена. Ниже приводятся данные для некоторых из них.
Материальная точка: I = m*r2.
Диск или цилиндр: I = 1/2*m*r2.
Стержень длиной l, закрепленный по центру: I = 1/12*m*l2.
Момент инерции зависит от распределенной массы тела относительно оси вращения: чем дальше от оси будет находиться большая часть массы, тем больше будет I для системы.
Изменение момента импульса во времени
Рассматривая момент импульса и закон сохранения момента импульса в физике, можно решить простую проблему: определить, как и за счет чего он будет изменяться во времени. Для этого следует взять производную по dt:
dL¯/dt = d(r¯*m*v¯)/dt = m*v¯*dr¯/dt+r*m*dv¯/dt.
Первое слагаемое здесь равно нулю, поскольку dr¯/dt = v¯ и произведение векторов v¯*v¯ = 0 (sin(0) = 0). Второе же слагаемое может быть переписано следующим образом:
dL¯/dt =r*m*a¯, где ускорение a = dv¯/dt, откуда:
Величина M¯, согласно определению, называется моментом силы. Она характеризует действие силы F¯ на материальную точку массой m, расположенную на расстоянии r от оси вращения.
Что показывает полученное выражение? Оно демонстрирует, что изменение момента импульса L¯ возможно только за счет действия момента силы M¯. Эта формула – закон сохранения момента импульса точки: если M¯=0, то dL¯/dt = 0 и L¯ является постоянной величиной.
Какие моменты сил могут изменить L¯ системы?
Существует два вида моментов сил M¯: внешние и внутренние. Первые связаны с силовым воздействием на элементы системы со стороны любых внешних сил, вторые же возникают за счет взаимодействия частей системы.
Согласно третьему закону Ньютона, любой силе действия соответствует направленная противоположно сила противодействия. Это означает, что суммарный момент силы любых взаимодействий внутри системы всегда равен нулю, то есть он не может повлиять на изменения момента импульса.
Величина L¯ может измениться только за счет внешних моментов сил.
Формула закона сохранения момента импульса
Формула для записи выражения сохранения величины L¯ в случае, если сумма внешних моментов сил равна нулю, имеет следующий вид:
Любые изменения момента инерции системы пропорционально отражаются на изменении угловой скорости таким образом, что произведение I*ω не меняет своего значения.
Вид этого выражения аналогичен закону сохранения линейного импульса (роль массы играет I, а роль скорости – ω). Если развивать аналогию дальше, то, помимо этого выражения, можно записать еще одно, которое будет отражать сохранение кинетической энергии вращения:
E = I *(ω)2/2 = const.
Применение закона сохранения момента импульса находит себя в целом ряде процессов и явлений, которые кратко охарактеризованы ниже.
Примеры использования закона сохранения величины L¯
Следующие примеры закона сохранения момента импульса имеют важное значение для соответствующих сфер деятельности.
- Любой вид спорта, где необходимо совершать прыжки с вращением. Например, балерина или спортсмен по фигурному катанию начинает исполнение пируэта с вращением, разведя широко руки и отодвинув ногу от центра тяжести своего тела. Затем он прижимает ногу ближе к опорной и руки ближе к телу, уменьшая тем самым момент инерции (большая часть точек тела расположена близко к оси вращения). По закону сохранения величины L, должна увеличиться его угловая скорость вращения ω.
- Для изменения направления ориентации относительно Земли какого-либо искусственного спутника. Выполняется это так: спутник имеет специальный тяжелый “маховик”, его приводит в движение электромотор. Общий момент импульса должен сохраняться, поэтому сам спутник начинает вращаться в противоположную сторону. Когда он примет нужную ориентацию в пространстве, маховик останавливают, и спутник также перестает вращаться.
- Эволюция звезд. По мере того как звезда сжигает свое водородное топливо, силы гравитации начинают преобладать над давлением ее плазмы. Этот факт приводит к уменьшению радиуса звезды до небольших размеров и, как следствие, к сильному увеличению скорости вращения угловой. Например, установлено, что нейтронные звезды, имеющие диаметр несколько километров, вращаются с гигантскими скоростями, делая один оборот за доли миллисекунды.
Решение задачи на закон сохранения L¯
Учеными установлено, что через несколько миллиардов лет Солнце, исчерпав энергетические запасы, превратится в “белого карлика”. Необходимо рассчитать, с какой скоростью оно будет вращаться вокруг оси.
Для начала необходимо выписать значения необходимых величин, которые можно взять из литературы. Итак, сейчас данная звезда имеет радиус 696 000 км и один оборот вокруг своей оси делает за 25,4 земных суток (значение для области экватора). Когда она подойдет к концу своего эволюционного пути, то сожмется до размеров 7000 км (порядка радиуса Земли).
Полагая, что Солнце – идеальный шар, можно воспользоваться формулой закона сохранения момента импульса для решения этой задачи. Нужно перевести сутки в секунды и километры в метры, получается:
L = I*ω = 2/5*m*r12*ω1 = 2/5*m*r22*ω2.
ω2 = (r1/r2)2*ω1 = (696000000/7000000)2*2*3,1416/(25,4*24*3600)= 0,0283 рад/с.
Здесь использовалась формула для угловой скорости (ω = 2*pi/T, где T – период вращения в секундах). При выполнении вычислений также было сделано предположение, что масса Солнца остается постоянной (это не верно, поскольку она будет уменьшаться. Тем не менее полученное значение ω2 является нижней границей, то есть в действительности Солнце-карлик будет вращаться еще быстрее).
Поскольку полный оборот – это 2*pi радиан, тогда получится:
T2 = 2*pi/ω2 = 222 с.
То есть в конце своего жизненного цикла данная звезда будет делать один оборот вокруг своей оси быстрее, чем за 222 секунды.
[spoiler title=”источники:”]
http://studref.com/690414/matematika_himiya_fizik/moment_impulsa
http://1ku.ru/obrazovanie/26884-zakon-soxraneniya-momenta-impulsa-formula-primenenie-i-osobennosti/
[/spoiler]
У этого термина существуют и другие значения, см. Момент.
Момент импульса | |
Размерность |
L2MT−1 |
---|---|
Единицы измерения | |
СИ |
м2·кг·с−1 |
СГС |
см2·г·с−1 |
Примечания | |
псевдовектор |
Моме́нт и́мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.
Следует учесть, что вращение здесь понимается в широком смысле, не только как регулярное вращение вокруг оси. Например, даже при прямолинейном движении тела мимо произвольной воображаемой точки, не лежащей на линии движения, оно также обладает моментом импульса. Наибольшую, пожалуй, роль момент импульса играет при описании собственно вращательного движения. Однако крайне важен и для гораздо более широкого класса задач (особенно — если в задаче есть центральная или осевая симметрия, но не только в этих случаях).
Замечание: момент импульса относительно точки — это псевдовектор, а момент импульса относительно оси — псевдоскаляр.
Момент импульса замкнутой системы сохраняется.
Содержание
- 1 Момент импульса в классической механике
- 1.1 Определение
- 1.2 Вычисление момента
- 1.3 Сохранение углового момента
- 2 Момент импульса в электродинамике
- 3 Момент импульса в квантовой механике
- 3.1 Оператор момента
- 3.2 Симметрия вращения
- 4 Вычисление момента импульса в нерелятивистской механике
- 5 См. также
- 6 Литература
Момент импульса в классической механике
Связь между импульсом и моментом
Определение
Момент импульса частицы относительно некоторого начала отсчёта определяется векторным произведением её радиус-вектора и импульса:
где — радиус-вектор частицы относительно выбранного неподвижного в данной системе отсчёта начала отсчёта, — импульс частицы.
Для нескольких частиц момент импульса определяется как (векторная) сумма таких членов:
где — радиус-вектор и импульс каждой частицы, входящей в систему, момент импульса которой определяется.
(В пределе количество частиц может быть бесконечным, например, в случае твердого тела с непрерывно распределенной массой или вообще распределенной системы это может быть записано как где — импульс бесконечно малого точечного элемента системы).
В системе СИ момент импульса измеряется в единицах джоуль-секунда; Дж·с.
Из определения момента импульса следует его аддитивность: как, для системы частиц в частности, так и для системы, состоящей из нескольких подсистем, выполняется:
.
- Замечание: в принципе момент импульса может быть вычислен относительно любого начала отсчета (получившиеся при этом разные значения связаны очевидным образом); однако чаще всего (для удобства и определенности) его вычисляют относительно центра масс или закрепленной точки вращения твердого тела итп).
Вычисление момента
Так как момент импульса определяется векторным произведением, он является псевдовектором, перпендикулярным обоим векторам и . Однако, в случаях вращения вокруг неизменной оси, бывает удобно рассматривать не момент импульса как псевдовектор, а его проекцию на ось вращения как скаляр, знак которого зависит от направления вращения. Если выбрана такая ось, проходящая через начало отсчёта, для вычисления проекции углового момента на неё можно указать ряд рецептов в соответствии с общими правилами нахождения векторного произведения двух векторов.
где — угол между и , определяемый так, чтобы поворот от к производился против часовой стрелки с точки зрения наблюдателя, находящегося на положительной части оси вращения. Направление поворота важно при вычислении, так как определяет знак искомой проекции.
Запишем в виде , где — составляющая радиус-вектора, параллельная вектору импульса, а — аналогично, перпендикулярная ему. является, по сути, расстоянием от оси вращения до вектора , которое обычно называют «плечом». Аналогично можно разделить вектор импульса на две составляющие: параллельную радиус-вектору и перпендикулярную ему . Теперь, используя линейность векторного произведения, а также свойство, согласно которому произведение параллельных векторов равно нулю, можно получить ещё два выражения для .
Сохранение углового момента
Симметрия в физике | ||
---|---|---|
Преобразование | Соответствующая инвариантность |
Соответствующий закон сохранения |
↕ Трансляции времени | …энергии | |
⊠ C, P, CP и T-симметрии | …чётности | |
↔ Трансляции пространства | Однородность пространства |
…импульса |
↺ Вращения пространства | Изотропность пространства |
…момента импульса |
⇆ Группа Лоренца | Относительность Лоренц-инвариантность |
…4-импульса |
~ Калибровочное преобразование | Калибровочная инвариантность | …заряда |
Закон сохранения момента импульса (закон сохранения углового момента): векторная сумма всех моментов импульса относительно любой неподвижной точки (или сумма моментов относительно любой неподвижной оси) для замкнутой системы остается постоянной со временем.
Производная момента импульса по времени есть момент силы:
Таким образом, требование замкнутости системы может быть ослаблено до требования равенства нулю главного (суммарного) момента внешних сил:
где — момент одной из сил, приложенных к системе частиц. (Но конечно, если внешние силы вообще отсутствуют, это требование также выполняется).
Математически закон сохранения момента импульса следует из изотропии пространства, то есть из инвариантности пространства по отношению к повороту на произвольный угол. При повороте на произвольный бесконечно малый угол , радиус-вектор частицы с номером изменятся на , а скорости — . Функция Лагранжа системы при таком повороте не изменится, вследствие изотропии пространства. Поэтому
С учетом , где — обобщенный импульс -той частицы, каждое слагаемое в сумме из последнего выражения можно переписать в виде
Теперь, пользуясь свойством смешанного произведения, совершим циклическую перестановку векторов, в результате чего получим, вынося общий множитель:
где, — момент импульса системы. Ввиду произвольности , из равенства следует .
На орбитах момент импульса распределяется между собственным вращением планеты и момента импульса её орбитального движения:
Момент импульса в электродинамике
При описании движения заряженной частицы в электромагнитном поле, канонический импульс не является инвариантным. Как следствие, канонический момент импульса тоже не инвариантен. Тогда берем реальный импульс, который также называется «кинетическим импульсом»:
где — электрический заряд, — скорость света, — векторный потенциал. Таким образом, гамильтониан (инвариантный) заряженной частицы массы в электромагнитном поле:
где — скалярный потенциал. Из этого потенциала следует закон Лоренца. Инвариантный момент импульса или «кинетический момент импульса» определяется:
Момент импульса в квантовой механике
Оператор момента
В квантовой механике момент импульса квантуется, то есть он может изменяться только по «квантовым уровням» между точно определенными значениями. Проекция на любую ось момента импульса частиц, обусловленного их пространственным движением, должна быть целым числом, умноженным на ( с чертой), определяемой, как постоянная Планка, поделенная на . Эксперименты показывают, что большинство частиц имеют постоянный внутренний момент импульса, который не зависит от их движения через пространство. Этот спиновой момент импульса всегда кратен . Например, электрон в состоянии покоя имеет момент импульса .
В классическом определении момент импульса зависит от 6 переменных , , , , , и . Переводя это на квантовомеханические определения, используя принцип неопределенности Гейзенберга, получаем, что невозможно вычислить все шесть переменных одновременно с любой точностью. Поэтому есть ограничение на то, что мы можем узнать или подсчитать о практическом моменте импульса. Это значит, что лучшее, что мы можем сделать — это подсчитать одновременно величину вектора момента импульса и его компоненты по осям.
Математически полный момент импульса в квантовой механике определяется как оператор физической величины из суммы двух частей, связанных с пространственным движением — в атомной физике такой момент называют орбитальным, и внутренним спином частицы — соответственно, спиновым. Первый оператор действует на пространственные зависимости волновой функции:
где и — координатный и импульсный оператор, соответственно, а второй — на внутренние, спиновые. В частности, для одной частицы без электрического заряда и без спина, оператор углового момента может быть записан как:
где — оператор набла. Это часто встречающаяся форма оператора момента импульса, но не самая главная, она имеет следующие свойства:
- , где — Символ Леви-Чивиты;
и даже более важные подстановки с гамильтонианом частицы без заряда и спина:
Симметрия вращения
Операторы момента импульса обычно встречаются при решении задач сферической симметрии в сферических координатах. Тогда момент импульса в пространственном отображении:
Когда находят собственные значения этого оператора, получают следующее:
где
— сферические функции.
Вычисление момента импульса в нерелятивистской механике
Если имеется материальная точка массой , двигающаяся со скоростью и находящаяся в точке, описываемой радиус-вектором , то момент импульса вычисляется по формуле:
где — знак векторного произведения.
Чтобы рассчитать момент импульса тела, его надо разбить на бесконечно малые кусочки и векторно просуммировать их моменты как моменты импульса материальных точек, то есть взять интеграл:
Можно переписать это через плотность :
(Если считать, что — обобщенная функция, включающая, возможно, и дельтообразные члены, то последняя формула применима и к распределенным, и к дискретным системам).
Для систем, совершающих вращение как целое (как абсолютно твёрдое тело) вокруг одной из осей симметрии (или, более общо — вокруг так называемых главных осей инерции тела), справедливо соотношение
где — момент инерции относительно оси вращения, — вектор угловой скорости.
В общем случае вектор момента связан с вектором угловой скорости через линейный оператор момента инерции (тензор инерции):
- За начало отсчета при вычислении моментов инерции или тензора инерции в принципе может быть взята любая ось или точка, при этом будут получены разные величины, связанные друг с другом через теорему Штейнера. Однако практически по умолчанию обычно выбирается центр масс или закрепленная ось (центр), что является чаще всего и более удобным.
См. также
- Момент инерции
- Моменты инерции некоторых тел
Литература
- Биденхарн Л., Лаук Дж. Угловой момент в квантовой физике. Теория и приложения. — М.: Мир, 1984. — Т. 1. — 302 с.
- Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М.: Наука, 1976. — 664 с.
- Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. — М.: Мир, 1990. — 720 с.
- Варшалович Д. А., Москалев А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. — Л.: Наука, 1975. — 441 с.
- Зар Р. Теория углового момента. О пространственных эффектах в физике и химии. — М.: Мир, 1993. — 352 с.