Как найти момент силы по векторам - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Векторный момент силы относительно точки

Рис. 2

екторным моментом силы относительно
точки

называют вектор, приложенный в этой
точке и равный по модулю произведению
силы на плечо силы относительно этой
точки. Векторный момент силы направлен
перпендикулярно плоскости, в которой
лежат сила и моментная точка, таким
образом, что с его конца можно видеть
стремление силы вращать тело против
движения часовой стрелки
(рис. 2). Согласно определению,

Справедлива формула

,
(2)

где
– радиус-вектор, проведенный из моментной
точкив точку приложения силы или любую другую
точку линии действия силы.

Рис. 3

сли
силадана своими проекциямина оси координат и даны координатыточки приложения этой силы (рис. 3), то
векторный момент относительно начала
координат, согласно формуле (9), после
разложения по осям координат вычисляется
по формуле

, (3)

где
– единичные векторы, направленные по
осям координат, т.е. орты данной системы.

Используя формулу
(3), можно выделить проекции
на оси координат:

(4)

Момент силы относительно оси

Моментом силы
относительно оси называют алгебраический
момент проекции этой силы на плоскость,
перпендикулярную оси, относительно
точки пересечения оси с этой плоскостью
(рис. 4). Момент силы относительно оси
считается положительным, если проекция
силы на плоскость, перпендикулярную
оси (проекция силы на плоскость является
вектором), стремится вращать тело вокруг
положительного направления оси против
часовой стрелки, и отрицательным, если
она стремится вращать тело по часовой
стрелке. Момент силы, например, относительно
оси
обозначим.
По определению,

Рис. 4

де– вектор проекции силына плоскость,
перпендикулярную оси,
а точка– точка пересечения осис плоскостью.

Момент силы
относительно оси равен нулю, если сила
параллельна оси (в этом случае равна
нулю проекция силы на плоскость,
перпендикулярную оси); если линия
действия силы пересекает эту ось (в этом
случае линия действия проекции силы на
плоскость, перпендикулярную оси, проходит
через точку пересечения оси с плоскостью,
соответственно, равно нулю плечо силы
относительно точки).

Связь между моментом
силы относительно оси и векторными
моментами силы относительно точек,
лежащих на этой оси: момент
силы относительно оси равен проекции
на эту ось векторного момента силы
относительно любой точки на оси.

Используя эту
связь можно вычислить моменты силы
относительно прямоугольных осей
координат:

. (5)

1.1.2. Пара сил Пара сил и алгебраический момент пары сил

Парой
сил называют систему двух равных по
модулю параллельных сил, направленных
в противоположные стороны
(рис. 5).

Плоскостью
действия пары сил
называют плоскость, в которой расположены
силы пары.

Рис. 5

лгебраическим моментом пары сил
называют взятое со знаком плюс или минус
произведение одной из сил пары на плечо
пары сил.

Плечом пары сил
называют кратчайшее расстояние между
линиями действия сил пары.

Алгебраический
момент пары обозначим
или.
Согласно определению,

. (6)

Алгебраический
момент пары сил имеет знак плюс, если
пара сил стремится вращать тело против
часовой стрелки, и знак минус, если пара
сил стремится вращать тело по часовой
стрелке.

Две пары сил
называют эквивалентными, если их действие
на твердое тело одинаково при прочих
равных условиях.

Теорема об
эквивалентности двух пар сил:
пару сил,
действующую на твердое тело, можно
заменить другой парой сил, расположенной
в той же плоскости действия и имеющей
одинаковый с первой парой алгебраический
момент.

Следствия теоремы:

а) пару сил как
жесткую фигуру можно как угодно
поворачивать и переносить в ее плоскости
действия;

б) у пары сил
можно изменять плечо и силы, сохраняя
при этом алгебраический момент пары и
плоскость действия.

Теорема об
эквивалентности двух пар сил, расположенных
в одной плоскости:
действие пары сил на твердое тело не
изменяется от переноса этой пары сил в
параллельную плоскость.

Рис. 6

екторным моментом
пары сил
назовем вектор, числовое
значение которого равно произведению
силы пары на ее плечо. Векторный момент
пары сил направлен перпендикулярно
плоскости действия пары сил так, чтобы
с его направления можно было видеть
стремление пары сил вращать тело против
часовой стрелки (рис. 6).

где
– плечо пары сил.

Теорема об
эквивалентности пар сил:
две пары сил, действующие на одно и то
же твердое тело, эквивалентны, если они
имеют одинаковые по модулю и направлению
векторные моменты.

Теорема о сумме
моментов сил пары
сумма векторных моментов сил, входящих
в состав пары, относительно любой точки
не зависит от выбора точки и равна
векторному моменту этой пары сил, т.е.
для пары сил

,
(7)

где
–
любая точка.

Теорема о
сложении пар:
две пары сил, действующие на одно и то
же тело и лежащие в пересекающихся
плоскостях, можно заменить одной
эквивалентной парой сил, векторный
момент которой равен сумме векторных
моментов заданных пар сил.

Для
пар сил, расположенных в одной плоскости,
теорема об их сложении формулируется
так: пары
сил, действующие на твердое тело и
расположенные в одной плоскости, можно
привести к одной паре сил, алгебраический
момент которой равен сумме алгебраических
моментов составляющих пар сил,
т. е.

. (8)

Источник

Содержание:

Моменты силы относительно точки и оси:

Для рассмотрения различных систем сил необходимо ввести понятия алгебраического и векторного моментов силы относительно точки и момента силы относительно оси. Введем эти характеристики действия силы на твердое тело и рассмотрим их свойства.

Алгебраический момент силы относительно точки

При рассмотрении плоской системы сил, приложенных к твердому телу, используется понятие алгебраического момента силы относительно точки.

Рис. 19

Алгебраическим моментом силы относительно точки называют произведение модуля силы на плечо силы относительно этой точки (рис. 19), взятое со знаком плюс или минус.

Плечом относительно точки называют кратчайшее расстояние между этой точкой и линией действия силы, т. е. длину отрезка перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы .

Обозначим или алгебраический момент силы относительно точки . Тогда

Если сила стремится вращать тело вокруг моментной точки (точки, относительно которой вычисляют алгебраический момент силы) против часовой стрелки, то берем знак плюс, если по часовой стрелке — знак минус.

Алгебраический момент силы представляет собой произведение силы на длину (в ).

Из определения алгебраического момента силы относительно точки следует, что он не зависит от переноса силы вдоль ее линии действия. Алгебраический момент силы относительно точки равен нулю, если линия действия силы проходит через моментную точку. Сумма алгебраических моментов относительно точки двух равных по модулю, но противоположных по направлению сил, действующих вдоль одной прямой, равна нулю. Численно алгебраический момент относительно точки равен удвоенной площади треугольника, построенного на силе и моментной точке:

Векторный момент силы относительно точки

При рассмотрении пространственной системы сил, приложенных к твердому телу, применяется понятие векторного момента силы относительно точки.

Векторным моментом силы относительно точки называют вектор, приложенный в этой точке и равный по модулю произведению силы на плечо силы относительно этой точки. Векторный момент силы направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат сила и моментная точка, таким образом, что с его конца можно видеть стремление силы вращать тело против движения часовой стрелки (рис. 20).

Плечом силы относительно точки называют кратчайшее расстояние от этой точки до линии действия силы.

Рис. 20

Условимся векторный момент силы относительно точки обозначать , а его числовую величину — . Тогда, согласно определению,

Как и для алгебраического момента, векторный момент силы относительно точки равен удвоенной площади треугольника, построенного на силе и моментной точке:

Справедлива формула

где —радиус-вектор, проведенный из моментной точки в точку приложения силы или любую другую точку линии действия силы.

Чтобы убедиться в справедливости формулы (3), достаточно показать, что по величине и направлению выражает векторный момент силы относительно точки . По определению векторного произведения двух векторов известно, что

Как показано на рис. 20, , причем это равенство справедливо для любой точки линии действия, куда проведен радиус-вектор . Итак,

что совпадает с векторным моментом силы относительно точки . Вектор , как известно, перпендикулярен плоскости, в которой расположены векторы и , т. е. плоскости треугольника , которой перпендикулярен и векторный момент .

Направление тоже совпадает с направлением . Заметим, что векторный момент силы относительно точки считается вектором, приложенным к этой точке.

Векторный момент силы относительно точки не изменяется от переноса силы вдоль ее линии действия. Он станет равным

нулю, если линия действия силы пройдет через моментную точку.

Рис. 21

Если сила дана своими проекциями на оси координат и даны координаты точки приложения этой силы (рис. 21), то векторный момент относительно начала координат, согласно формуле (3), после разложения по осям координат вычисляем по формуле

где — единичные векторы, направленные по осям координат.

Используя формулу (4), можно выделить проекции на оси координат:

Модуль векторного момента и косинусы углов его с осями координат определяем по формулам

В формулах (6) числовую величину берем со знаком плюс.

Момент силы относительно оси

Моментом силы относительно оси называют алгебраический момент проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью (рис. 22). Момент силы относительно оси считается положительным, если проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси (проекция силы на плоскость является вектором), стремится вращать тело вокруг положительного направления оси против часовой стрелки, и отрицательным, если она стремится вращать тело по часовой стрелке. Момент силы, например, относительно оси обозначим .

Рис. 22

По определению,

где — вектор проекции силы на плоскость , перпендикулярную оси , а точка — точка пересечения оси с плоскостью .

Из определения момента силы относительно оси следует, что введенный выше алгебраический момент силы относительно точки можно считать моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку, перпендикулярно плоскости, в которой лежат сила и моментная точка. Момент силы относительно оси можно выразить через площадь треугольника, построенного на проекции силы и точке пересечения оси с плоскостью:

Из формулы (8) можно получить следующие важные свойства момента силы относительно оси:

Момент силы относительно оси равен нулю, если сила параллельна оси. В этом случае равна нулю проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси.
Момент силы относительно оси равен нулю, если линия действия силы пересекает эту ось. В этом случае линия действия проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, проходит через точку пересечения оси с плоскостью и, следовательно, равно нулю плечо силы относительно точки .

В обоих этих случаях ось и сила лежат в одной плоскости. Объединяя их, можно сказать, что момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости.

Связь момента силы относительно оси с векторным моментом силы относительно точки на оси

Используя формулу (8), имеем (рис. 23)

Векторный момент силы относительно точки , взятой на пересечении оси с перпендикулярной плоскостью , выражается в виде

Векторный момент направлен перпендикулярно плоскости треугольника . Аналогично, для другой точки оси

причем векторный момент направлен перпендикулярно плоскости треугольника . Треугольник является проекцией треугольников и на плоскость . Из геометрии известно, что площадь проекции плоской фигуры равна площади проецируемой фигуры, умноженной на косинус угла между плоскостями, в которых расположены эти фигуры. Угол между плоскостями измеряется углом между перпендикулярами к этим плоскостям. Перпендикуляром к плоскости треугольника является ось , а перпендикулярами к плоскостям треугольников и —соответственно векторные моменты и . Таким образом, , где — угол между вектором и осью . Отсюда по формулам (8′) и (9) имеем

причем знак полностью определяется знаком .

Аналогично,

т. е.

где — любая точка на оси .

Формулы (11) и (12) отражают искомую связь между моментом силы относительно оси и векторными моментами силы относительно точек, лежащих на этой оси: момент силы относительно оси равен проекции на эту ось векторного момента силы относительно любой точки на оси.

Эту зависимость между моментом силы относительно оси и векторным моментом силы относительно точки на оси можно принять за определение момента силы относительно оси.

Рис. 23

Формулы для моментов силы относительно осей координат

Используя связь момента силы относительно оси с векторным моментом силы относительно точки на оси, можно получить формулы для вычисления моментов относительно осей координат, если даны проекции силы на оси координат и координаты точки приложения силы. Для оси имеем

Согласно (5),

следовательно,

Аналогично, для осей и

Окончательно

По формулам (13) можно вычислить моменты силы относительно прямоугольных осей координат.

По этим формулам получаются необходимые знаки для , если проекции силы на оси координат и координаты точки приложения силы подставлять в них со знаками этих величин.

При решении задач момент силы относительно какой-либо оси часто получают, используя его определение, т. е. проецируя силу на плоскость, перпендикулярную оси, и вычисляя затем алгебраический момент этой проекции относительно точки пересечения оси с этой плоскостью.

Момент пары сил. Сложение пар сил. Равновесие пар сил

При изучении теоретической механики необходимо совершенно отчетливо уяснить, что в статике рассматриваются два простейших элемента: сила и пара сил. Любые две силы, кроме сил, образующих пару, всегда можно заменить одной —сложить их (найти равнодействующую). Пара сил нс поддается дальнейшему упрощению, она не имеет равнодействующей и является простейшим элементом.

Действие пары сил на тело характеризуется ее моментом — произведением одной из сил пары на ее плечо (на кратчайшее расстояние между линиями действия сил, образующих пару).

Единицей момента пары сил в Международной системе служит 1 нм (ньютон-метр = 1 н-1ж), а в системе МКГСС (технической)— 1 кГ-м.

Несколько пар сил, действующих на тело в одной плоскости, можно заменить одной парой сил (равнодействующей парой), момент которой равен алгебраической сумме моментов данных пар:

При равновесии пар сил

Если пары сил действуют в одной плоскости, то при решении задач достаточно рассматривать моменты пар как алгебраические величины. Причем знак момента определяется в зависимости от направления вращающего действия пары сил.

Дальнейшее изложение основано на правиле, т. е. считается момент положительным, если пара сил действует против хода часовой стрелки, если же пара сил действует на тело но ходу часовой стрелки, то момент считается отрицательным.

В том случае когда пары сил действуют на тело будучи расположенными в различных плоскостях, гораздо удобнее рассматривать пару сил как вектор, направленный перпендикулярно

к плоскости действия пары сил (рис. 62). Направление вектора в зависимости от направления вращательного действия пары определяется по направлению движения винта с правой нарезкой.

Задача 1.

Определить момент пары сил (рис. 63), если н, АВ — 0,5 м и а = 30°.

Решение.

1. При определении момента пары сил нужно прежде всего правильно определить плечо пары. При этом необходимо различать следующие понятия: плечо пары сил и расстояние между точками приложения сил нары.

Так как в механике твердого тела сила—скользящий вектор, то действие силы не изменяется при переносе точки ее приложения вдоль линии ее действия. Значит расстояние между точками приложения сил, образующих пару, можно изменять неограниченно. Но плечо пары при этом переносе остается неизменным.

В частном случае расстояние между точками приложения сил, образующих пару, может быть равно плечу.

Чтобы определить плечо данной пары из точки приложения одной из сил, например из точки В, восставим перпендикуляр ВС к линии действия другой силы. Расстояние ВС и есть плечо данной пары сил. Расстояние между точками приложения сил, образующих пару, АВ=0,5 м.

Легко видеть, что

2. Найдем момент пары сил:

Задача 2.

Как изменится момент пары сил показанной на рис. 64, а (P = 50 н, AВ=0,4 м и а=135), если

повернуть силы так, чтобы они стали перпендикулярными АВ? Решение.

1. Найдем момент пары при заданном положении ее сил (рис. 64, а).

Из точки В восставим перпендикуляр ВС к линиям действия сил и найдем его длину:

Момент пары при заданном положении сил

2. Повернем силы из заданного положения на угол =а°— 90э в направлении против хода часовой стрелки (рис. 64, б). При таком положении сил относительно АВ плечом пары сил является расстояние между точками их приложения, поэтому

3. Сравнивая полученные результаты, видим, что после поворота сил момент пары увеличивается на 20—14,5 = 5,85 н-м.

4. Легко заметить, что силы могут достичь перпендикулярного положения к АВ после их поворота на угол у в направлении по ходу часовой стрелки (рис. 64, в). В том случае плечом пары является тот же отрезок АВ, но момент пары

Момент пары сил изменяет свой знак.

Задача 3.

К точкам А, С и В, D, образующим вершины квадрата со стороной 0,5 м (рис. 65, а), приложены равные по модулю силы (Р = 12н) таким образом, что они образуют две пары сил

Определить момент равнодействующей пары сил

Решение 1.

Плечи у обеих пар сил равны стороне квадрата поэтому

Решение 2.
1. Перенесем силы из точек в точки В и D (рис. 65, б). В точках В и D получаются системы сходящихся сил и одинаковыми модулями.

2. Сложим попарно эти силы у каждой из точек В и D. В обоих случаях

3. Силы R, модули которых теперь известны, направлены перпендикулярно к диагонали BD квадрата. Значит эта диагональ является плечом вновь образовавшейся пары сил заменяющей собой две данные.

4. Найдем момент пары

и, следовательно,

Эту пару в соответствии со вторым решением можно представить в виде пары с плечом BD (диагональю данного квадрата).

Но можно равнодействующую пару представить и в любом другом виде, например в виде сил Q = 24 и, приложенных к двум любым вершинам квадрата ABCD (рис. 65, в)

Заказать решение задач по теоретической механике

Задача 4.

На прямоугольник ABCD (рис. 67) вдоль его длинных сторон действует пара сил Какую пару сил нужно приложить к прямоугольнику, направив силы вдоль его коротких сторон, чтобы уравновесить пару

Решение.

1. Момент данной пары сил

необходимо уравновесить парой, момент которой обозначим Л1м. Тогда, согласно условию равновесия,

Откуда

2. Обозначив силы, образующие искомую пару замечая, что ее плечо равно ВС, получим
Отсюда

•Значит к прямоугольнику необходимо приложить пару сил с положительным (направленным против хода часовой стрелки) моментом, равным 48 н м. Силы, образующие эту пару, равняются

20 н каждая и одна из них должна действовать вдоль стороны АВ от А к В, вторая — вдоль стороны CD от С к D.

Задача 5.

Прямолинейный стержень АВ должен находиться в равновесии в положении, показанном на рис. 68, а (угол а = При этом в точках А и В на стержень действуют вертикальные силы образующие пару Какие две равные силы нужно приложить к стержню в точках С и D, направив их перпендикулярно к стержню, чтобы обеспечить равновесие. АВ = 3 м, CD— 1 м,

Решение.

1. Пару сил можно уравновесить только парой сил. Поэтому в точках С и D к стержню необходимо приложить две равные силы так, чтобы они образовали пару сил с моментом, равным моменту пары но имеющим противоположный знак.

Так как пара поворачивает стержень на ходу часовой стрелки, искомые силы должны поворачивать его против хода часовой стрелки (рис. 68, б).

2. Применяем условие равновесия:

Или, подставив значения моментов,
где

Отсюда

Следовательно, в точках С и D необходимо приложить силы по 150 н каждая, как показано на рис. 68, б.

Момент силы относительно точки

Момент силы относительно точки при решении задач по статике, а затем и по динамике имеет не менее важное значение, чем проекции сил. Поэтому нужно уметь определять эту величину безошибочно. Обычно его числовое значение находят неправильно из-за ошибок, допускаемых при определении плеча.

Чтобы не допускать ошибок при определении моментов сил относительно точки, рекомендуется придерживаться следующего порядка:

Прежде всего нужно научиться «видеть» силу, момент которой определяем, и центр моментов – точку, относительно которой определяем момент (рис. 70 – сила и центр моментов – точка В).
Затем из центра момента проводим прямую ВЬ перпендикулярно к линии действия силы DF. Длина перпендикуляра ВС от центра момента до линии действия силы и есть плечо.
Потом находим знак момента. При этом если сила стремится повернуть плечо вокруг центра момента против хода часовой стрелки, то считаем момент положительным; если по ходу часовой стрелки, то отрицательным (тоже правило, что и при определении знака момента пары сил).
Находим числовое значение момента силы относительно точки, умножив модуль силы на плечо.

По рис. 70

В частном случае момент силы может равняться нулю. Это происходит тогда, когда центр моментов лежит на линии действия силы, при этом плечо равняется нулю. По рис. 70 момент силы относительно точки А (или С) равен нулю.

Задача 6.

Определить моменты шести заданных сил (рис. 71) относительно точек А, В и С, если

Решение 1 — определение моментов гнести заданных сил относительно точки А (рис. 71, а).

1. Центр моментов в точке А. Через точку А проходят линии действия трех сил Значит для этих сил плечи равны нулю. Следовательно,

2. Находим момент силы Опустив из точки А на линию действия

силы перпендикуляр AD, получим плечо силы Длину AD легко найти, так как это катет треугольника ABD:

3. Величина момента отрицательная (сила поворачивает плечо AD вокруг точки А но ходу часовой стрелки), следовательно,

4. Находим момент силы Плечом силы является перпендикуляр АЕ к СЕ – линии действия силы Из треугольника АСЕ

Величина момента положительная (плечо АЕ поворачивается около точки А силой против хода часовой стрелки). Следовательно,

5. Находим момент силы Плечом силы относительно точки А является отрезок АС, так как сила направлена к АС перпендикулярно. Величина момента отрицательная:

Решение 2 — определение моментов сил относительно точки В (рис. 71, б).

1. Центр моментов в точке В.

2. Через точку В проходят линии действия двух сил: Следовательно,

3. Находим момент силы Плечо силы

Величина момента отрицательная:

4. Находим момент силы Плечо силы

Момент отрицательный:

5. Находим момент силы Плечо силы

Величина момента положительная:

6. Находим момент силы Плечом силыявляется отрезок ВС. Момент положительный:

Решение 3 — определение моментов сил относительно точки С (рис. 71, в) рекомендуется выполнить самостоятельно.

Ответ.

В задаче силы расположены так, что либо их плечи определяются очень просто – как катеты прямоугольных треугольников, в которых даны гипотенузы, либо плечи заданы в условии задачи (ВС и АС).

Но иногда некоторые силы заданной системы оказываются расположенными относительно выбранного центра моментов так, что определить длину плеча трудно и требуется, например, предварительно вычислить длины еще одного-двух отрезков. В таких случаях целесообразно силу разложить на две составляющие и применить для определения ее момента теорему Вариньона.

Задача 7.

Определить моменты относительно точки я, приложенных в точках А, В и С, как показано на рис. 72, а. Углы ВС =1,5 м.

Решение.

1. Относительно точки А моменты сил определяются аналогично

2. Находим момент силы Вариант 1-й (рис. 72, а). Плечо АЕ силы в данном случае определяем из в котором известен только . Значит нужно предварительно определить одну из сторон. Найдем AF:

AF = AB – FB.
Величину FB находим из в котором

следовательно,

И теперь можем определить плечо АЕ:

Раскрываем скобки и заменяем

Момент положительный, следовательно:

Вариант 2-й. Чтобы избежать определения плеча АЕ, которое в данном случае находится после предварительного вычисления двух отрезков (FB и AF), необходимо момент силы относительно точки А найти по теореме Вариньона: момент равнодействующей плоской системы сил относительно любой точки, лежащей в той же плоскости, равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.

Разложим силу на две составляющие: одну, направленную вдоль отрезка ВС, и другую — перпендикулярно к нему (рис. 72, б).

Модуль первой составляющей а ее плечо — отрезок АВ, длина которого задана. Модуль второй составляющей а ее плечо АК = ВС =1,5 м.

Применяя теорему Вариньона, получаем

Как видно, получено точно такое же значение момента, что и в первом варианте решения:

Теория пар сил
Приведение системы сил к простейшей системе
Условия равновесия системы сил
Плоская система сил
Аксиомы и теоремы статики
Система сходящихся сил
Плоское движение тела
Принцип виртуальных перемещений

Источник

Момент силы

Размерность	L²MT⁻²
Единицы измерения
СИ	Н·м
СГС	Дина-сантиметр
Примечания
Псевдовектор

Моме́нт си́лы (момент силы относительно точки) — векторная физическая величина, характеризующая действие силы на механический объект, которое может вызвать его вращательное движение. Определяется как векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы и вектора силы vec{F} . Моменты сил, образующиеся в разных условиях, в технике могут иметь названия: кру́тящий момент, враща́тельный момент, вертя́щий момент, враща́ющий момент, скру́чивающий момент.

Момент силы обозначается символом или, реже, (тау).

Единица измерения в СИ: Н⋅м. Величина момента силы зависит от выбора начала отсчёта радиус-векторов O.

Понятие момента силы используется, в основном, в области задач статики и задач, связанных с вращением деталей (рычагов и др.) в технической механике. Особенно важен случай вращения твёрдого тела вокруг фиксированной оси — тогда O выбирают на этой оси, а вместо самого момента рассматривают его проекцию на ось ${displaystyle M_{parallel }}$ ; такая проекция называется моментом силы относительно оси.

Наличие момента силы влечёт изменение момента импульса тела vec{L} относительно того же начала O со временем : имеет место соотношение . В статике равенство нулю суммы моментов всех приложенных к телу сил является одним из условий (наряду с равенством нулю суммы сил) реализации состояния покоя.

Определение, общие сведения[править | править код]

В физике момент силы играет роль вращающего воздействия на тело.

Видеоурок: вращающий момент

В простейшем случае, если сила vec{F} приложена к рычагу перпендикулярно ему и оси вращения, то момент силы определяется как произведение величины на расстояние от места приложения силы до оси вращения рычага, называемое «плечом силы»:

Например, сила в 3 ньютона, приложенная на расстоянии 2 м от оси, создаёт такой же момент, что и сила в 1 ньютон с плечом 6 м.

Если действуют две силы, говорят о моменте пары сил (такая формулировка восходит к трудам Архимеда). При этом равновесие достигается в ситуации ${displaystyle F_{1}x_{1}=F_{2}x_{2}}$ .

Для случаев более сложных движений и более сложных объектов определение момента как произведения требует универсализации.

Момент силы иногда называют вращающим или крутящим моментом. «Вращающий» момент понимается в технике как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» — как внутреннее, возникающее в самом объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в сопромате).

Момент силы относительно точки[править | править код]

Момент силы, приложенный к гаечному ключу. Направлен от зрителя

В общем случае момент силы vec{F} , приложенной к телу, определяется как векторное произведение

{displaystyle {vec {M}}=left[{vec {r}}times {vec {F}}right]}

где — радиус-вектор точки приложения силы. Вектор перпендикулярен векторам и vec{F} .

Начало отсчета радиус-векторов O может быть любым. Обычно O выбирают в чем-либо выделенной точке: в месте закрепления подвеса, в центре масс, на оси вращения и т.д.. Если одновременно анализируется момент импульса тела vec{L} , то начало O всегда выбирается одинаковым для vec{L} и .

Если не оговорено иное, то «момент силы» — это момент силы относительно точки (O), а не некоей оси.

В случае нескольких приложенных сосредоточенных сил их моменты векторно суммируются:

${displaystyle {vec {M}}=sum _{i}left[{vec {r}}_{i}times {vec {F}}_{i}right]}$

где ${displaystyle {vec {r}}_{i}}$ — радиус-вектор точки приложения -й силы ${displaystyle {vec {F}}_{i}}$ . В случае силы, распределённой с плотностью ,

${displaystyle {vec {M}}=int limits _{V}left[{vec {r}}times {frac {d{vec {F}}}{dV}}right]dV}$

Если (Н/м³) — обобщённая функция, которая может содержать и дельтаобразные члены, то последней формулой охватываются и две предыдущие.

Момент силы относительно оси[править | править код]

Моментом силы относительно оси называется алгебраическое значение проекции момента на ось, то есть

${displaystyle M_{parallel }={vec {M}}cdot {vec {e}}_{o}}$

где ${displaystyle {vec {e}}_{o}}$ — единичный вектор вдоль оси, а начало отсчёта O выбрано на оси. Момент силы относительно оси может быть рассчитан как

${displaystyle M_{parallel }=pm left|{vec {r}}_{perp }times {vec {F}}_{perp }right|}$

где через ${displaystyle {vec {r}}_{perp }}$ и ${displaystyle {vec {F}}_{perp }}$ обозначены составляющие радиус-вектора и силы в плоскости, перпендикулярной оси.

В отличие от момента силы , величина момента силы относительно оси ${displaystyle M_{parallel }}$ не претерпевает изменения при сдвиге точки O вдоль оси.

Для краткости символ параллельности и знак могут опускаться, а ${displaystyle M_{parallel }}$ (как и ) именоваться «моментом силы».

Единицы измерения[править | править код]

Момент силы имеет размерность «сила, умноженная на расстояние» и единицу измерения ньютон-метр в системе СИ. 1 Н·м — это момент, который производит сила 1 Н на рычаг длиной 1 м, приложенная к концу рычага и направленная перпендикулярно ему.

Формально, размерность (Н·м) совпадает с размерностями энергии и механической работы.

Некоторые примеры[править | править код]

Формула момента рычага[править | править код]

Момент, действующий на рычаг

Момент силы, действующей на рычаг, равен

${displaystyle {vec {M}}=rFsin alpha cdot {vec {e}}_{o}}$

или, если записать момент силы относительно оси,

${displaystyle M_{parallel }=rFsin alpha }$

где alpha — угол между направлением силы и рычагом. Плечо силы равно . Максимальное значение момента достигается при перпендикулярности рычага и силы, то есть при . При сонаправленности vec{F} и рычага момент равен нулю.

Статическое равновесие[править | править код]

Для того чтобы объект находился в равновесии, должна равняться нулю не только сумма всех сил, но и сумма моментов всех сил вокруг любой точки.

Для двумерного случая с горизонтальными и вертикальными силами требование сводится к тому, чтобы нулевыми были сумма сил в двух измерениях: ${displaystyle Sigma F_{horizontal}=0,,Sigma F_{vertical}=0}$ и момент силы в третьем измерении: .

Движение твёрдого тела[править | править код]

Движение твёрдого тела можно представить как движение конкретной точки и вращения вокруг неё.

Момент импульса относительно точки O твёрдого тела может быть описан через произведение момента инерции и угловой скорости относительно центра масс и линейного движения центра масс.

${displaystyle {vec {L_{o}}}=I_{c},{vec {omega }}+[M({vec {r_{o}}}-{vec {r_{c}}}),{vec {v_{c}}}].}$

Будем рассматривать вращающиеся движения в системе координат Кёнига, так как описывать движение твёрдого тела в мировой системе координат гораздо сложнее.

Продифференцируем это выражение по времени. И если — постоянная величина во времени, то

${displaystyle {vec {M}}=I{frac {d{vec {omega }}}{dt}}=I{vec {alpha }},}$

где — угловое ускорение, измеряемое в радианах в секунду за секунду (рад/с²). Пример: вращается однородный диск.

Если тензор инерции меняется со временем, то движение относительно центра масс описывается с помощью динамического уравнения Эйлера:

${displaystyle {vec {M_{c}}}=I_{c}{frac {d{vec {omega }}}{dt}}+[{vec {w}},I_{c}{vec {w}}].}$

Связь с другими величинами[править | править код]

С моментом импульса[править | править код]

Момент силы — производная момента импульса относительно точки O по времени:

${displaystyle {vec {M}}={frac {d{vec {L}}}{dt}}}$

Аналогичную формулу можно записать для моментов относительно оси:

${displaystyle M_{parallel }={frac {dL_{parallel }}{dt}}}$

Если момент силы или ${displaystyle M_{parallel }}$ равен нулю, момент импульса относительно соответствующей точки или оси сохраняется.

С мощностью[править | править код]

Если сила совершает действие на каком-либо расстоянии, то она совершает механическую работу и развивает мощность (где vec{v} — скорость материальной точки). Так же и в случае момента силы: если он совершает действие через «угловое расстояние», развивается мощность

{displaystyle P={vec {M}}cdot {vec {omega }}}

В системе СИ мощность измеряется в ваттах, угловая скорость — в радианах в секунду.

С механической работой[править | править код]

Если под действием момента силы происходит поворот тела на угол dvarphi , то совершается механическая работа

{displaystyle dA=left|{vec {M}}right|dvarphi }

Для поворота, скажем, рычага вокруг фиксированной оси на угол ${displaystyle varphi _{2}-varphi _{1}}$ получим

${displaystyle A=int _{varphi _{1}}^{varphi _{2}}left|{vec {M}}right|dvarphi =left|{vec {M}}right|(varphi _{2}-varphi _{1})=left|{vec {M}}right|int _{t_{1}}^{t_{2}}omega (t)dt}$

В системе СИ работа измеряется в джоулях, угол — в радианах.

Размерность работы (и энергии) совпадает с размерностью момента силы («ньютон-метр» и джоуль — это одни и те же единицы). Момент силы 1 Н·м, при повороте рычага или вала на 1 радиан совершает работу в 1 Дж, а при повороте на один оборот совершает механическую работу и сообщает энергию 2pi джоуля.

Измерение момента силы[править | править код]

Измерение момента силы осуществляется с помощью специальных приборов — торсиометров. Принцип их действия обычно основан на измерении угла закручивания упругого вала, передающего крутящий момент, либо на измерении деформации некоторого упругого рычага. Измерения деформации и угла закручивания производится различными датчиками деформации — тензометрическими, магнитоупругими, а также измерителями малых перемещений — оптическими, ёмкостными, индуктивными, ультразвуковыми, механическими.

Существуют специальные динамометрические ключи для измерения крутящего момента затягивания резьбовых соединений и регулируемые и нерегулируемые ограничители крутящего момента, так называемые «трещотки», применяемые в гаечных ключах, шуруповёртах, винтовых микрометрах и др.

Из истории понятия[править | править код]

Для того чтобы понять, откуда появилось понятие момента сил и как к нему пришли, стоит рассмотреть действие силы на рычаг, поворачивающийся относительно неподвижной оси. Работа, совершаемая при действии силы на рычаг , совершающий вращательное движение вокруг неподвижной оси, может быть рассчитана исходя из следующих соображений.

Пусть под действием силы конец рычага смещается на бесконечно малый отрезок , которому соответствует бесконечно малый угол dvarphi . Обозначим через вектор, который направлен вдоль бесконечно малого отрезка и равен ему по модулю. Угол между векторами и равен beta , а угол между векторами и равен alpha .

Следовательно, бесконечно малая работа , совершаемая силой на бесконечно малом участке , равна скалярному произведению вектора и вектора силы, то есть .

Теперь попытаемся выразить модуль вектора через радиус-вектор , а проекцию вектора силы на вектор — через угол alpha .

Так как для бесконечно малого перемещения рычага можно считать, что траектория перемещения перпендикулярна рычагу , используя соотношения для прямоугольного треугольника, можно записать следующее равенство: , где в случае малого угла справедливо и, следовательно, .

Для проекции вектора силы на вектор видно, что угол ${displaystyle beta ={frac {pi }{2}}-alpha }$ , а так как ${displaystyle cos {left({frac {pi }{2}}-alpha right)}=sin alpha }$ , получаем, что .

Теперь запишем бесконечно малую работу через новые равенства: , или .

Видно, что произведение есть не что иное, как модуль векторного произведения векторов и , то есть , которое и было принято обозначить за момент силы , или модуль вектора момента силы .

Теперь полная работа записывается просто: ${displaystyle A=int limits _{0}^{varphi }left|{vec {r}}times {vec {F}}right|dvarphi }$ , или ${displaystyle A=int limits _{0}^{varphi }left|{vec {M}}right|dvarphi }$ .

См. также[править | править код]

Момент инерции
Момент импульса
Теорема Вариньона

Источник

Момент силы относительно точки (или центра) — вращательный эффект силы, характеризующий вращение твердого тела вокруг некоторой точки под действием приложенной силы.

Определение

Моментом силы относительно точки (рисунок 1.1) называется векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы на вектор силы.

Рисунок 1.1

Вектор момента направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат сила и точка, в ту сторону, откуда поворот от действия силы виден происходящим против хода часовой стрелки.

Вычисление момента

Вектор момента характеризует положение плоскости и направление вращательного действия силы, а также дает меру этого действия:

где h – плечо силы (кратчайшее расстояние от точки O – центра момента – до линии действия силы). Если сила проходит через точку, то ее момент относительно этой точки равен нулю.

Момент силы относительно точки не меняется от переноса силы вдоль линии ее действия.

Если силы расположены в одной плоскости, то используется понятие алгебраического момента силы.

Алгебраическим моментом силы относительно точки (или центра) называется взятое со знаком плюс или минус произведение модуля силы на плечо (рисунок 1.2).

Наш короткий видеоурок про момент силы с примерами:

Другие видео

Правило знаков

Знак плюс выбирается в том случае, если сила стремится поворачивать плоскость относительно центра момента против хода часовой стрелки.

Рисунок 1.2

Если сила F задана своими проекциями на оси координат F_x, F_y, F_z и даны координаты x, y, z точки приложения этой силы, то момент силы относительно начала координат вычисляется следующим образом:

Проекции момента силы на оси координат равны:

Примеры решения задач >
Момент силы относительно оси >

Сохранить или поделиться с друзьями

Вы находитесь тут:

На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь

Подробнее

Решение задач и лекции по технической механике, теормеху и сопромату

Источник

Определение

Момент силы — это крутящий или вращательный момент, который является векторной величиной.

Чтобы определить, чему равен момент силы, нужно получить произведение вектора силы и радиус-вектора, который проводится к точке приложения силы от оси вращения. Поэтому величину можно назвать характеристикой вращательного воздействия силы на твердое тело.

Термины “крутящий” и “вращающий” моменты в данном случае не являются тождественными. Разница между ними состоит в том, что “вращающий” момент воспринимается как внешнее усилие, которое прикладывают к объекту. Термин “крутящий” же рассматривается как внутреннее усилие, которое появляется при приложении конкретных нагрузок (что делает определение схожим с используемым при изучении сопротивления материалов).

Понятие «момент силы»

Физики воспринимают этот термин в качестве так называемой “вращающей силы”. В соответствии с системой СИ, измеряется данная величина в ньютон-метрах. Иногда в литературе можно также встретить понятие “момент пары сил” (такое определение, например, появляется в исследованиях Архимеда над рычагами).

При использовании простых примеров (например, при приложении силы к рычагу в перпендикулярном отношении к нему) величина рассчитывается как произведение расстояния до оси вращения рычага и непосредственно силы, которая на него воздействует.

Пример: На рычаг оказывает воздействие силы в 3 ньютона, которую прикладывают на расстоянии 2 м от оси вращения рычага. В результате момент силы будет равнозначен силе в 1 ньютон, прикладываемой на расстоянии 6 м по отношению к рычагу.

Как определить, чему равен момент силы

Формула

Точно определить момент действия силы частицы удастся, применив следующую векторную формулу:

[vec{mathrm{M}}=vec{mathrm{r}} vec{mathrm{F}}]

В данном случае [vec{mathrm{r}}] — это радиус вектора частицы, а
[vec{mathrm{F}}] — сила, воздействующая на эту частицу.

Важно помнить, что в физике энергия воспринимается как скалярная величина. В то же время момент силы считается (псевдо)векторной величиной. Поэтому совпадение размерностей указанных величин никогда не бывает случайным. Например, момент силы в 1 Н/м, приложенный через целый оборот, при выполнении механической работы сообщает энергию в 2 Дж. В математическом отображении эта формула момента силы будет выглядеть так:

[mathbf{E}=mathbf{M} boldsymbol{theta}], где:

[mathbf{E}] — это энергия;
[mathbf{M}] — это вращающийся момент;
[boldsymbol{theta}] — это угол в радианах.

В современных условиях момент силы измеряется при помощи особых датчиков нагрузки, которые могут быть трех типов:

оптического;
тензометрического;
индуктивного.

Применение специальной техники позволяет определить величину предельно точно и избавляет ученых от необходимости производить лишние расчеты.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Момент силы: формулы

Наиболее интересным в физике считается определение момента силы в поле. Для этого используется следующая формула:

[vec{M}=vec{M_{1}} vec{F}]

Где:

[vec{M_{1}}]- это момент рычага;
[vec{F}]- это величина силы, действующей на тело.

У такой формулы момента силы в физике будет один недостаток. С ее помощью не удастся определить, в каком направлении направлен момент силы. Известной станет только его величина. Если сила окажется перпендикулярной вектору, тогда момент рычага окажется равен расстоянию от центра до точки, в которой была приложена сила. В таком случае момент силы достигнет максимального значения:

[vec{T}=vec{r} quad vec{F}]

Если сила совершает какое-либо действие на определенном расстоянии, она параллельно выполняет механическую работу относительно того же объекта. В таком случае в физической практике считается, что и момент силы выполняет работу (при совершении действия через угловое расстояние).

[mathrm{P}=mathrm{M} {omega}]

Международная система измерений предлагает определять мощность в Ваттах, при этом момент силы измеряется в радианах в секунду. Для определения величину угловой скорости используется единица “радианы в секунду”).

Как определяется момент действия нескольких сил

Если на тело действуют одновременно две равные по величине и противоположно направленные силы (не лежащие на одной и той же прямой), оно находится в состоянии равновесия. Такая ситуация связана с тем, что результирующий момент данных сил по отношению к любой из осей не обладает нулевым значением. Ведь обе силы направлены в одну сторону момента и являются парой сил.

Если тело закреплено на оси, оно будет вращаться под влиянием пары сил. Когда же пара сил прилагается по отношению к свободному телу, последнее начнет крутиться вокруг той оси, которая проходит через центр тяжести.

В соответствии с правилом моментов сил в физике, момент пары сил считается одинаковым по отношению к любой оси, перпендикулярной плоскости этой пары. При этом суммарный момент пары M всегда определяется как произведение плеча пары (то есть расстояния l между силами) и одной из этих сил F. Данный расчет производится независимо от типов отрезков, на которые разделяется положение оси.

[mathrm{M}=mathrm{FL}_{1}+mathrm{FL}-2=mathrm{FL}_{1}+mathrm{L}_{2}=mathrm{FL}]

В случае, если равнодействующая момент нескольких сил равняется нулю, он будет одинаковым по отношению ко всем параллельным друг другу осям. Именно поэтому воздействие всех сил на тело можно заменить действием только одной пары сил, имеющих точно такой же момент.

Источник

Векторный момент силы относительно точки

Момент силы относительно оси

1.1.2. Пара сил Пара сил и алгебраический момент пары сил

Алгебраический момент силы относительно точки

Векторный момент силы относительно точки

Момент силы относительно оси

Связь момента силы относительно оси с векторным моментом силы относительно точки на оси

Формулы для моментов силы относительно осей координат

Момент пары сил. Сложение пар сил. Равновесие пар сил

Задача 1.

Задача 2.

Задача 3.

Задача 4.

Задача 5.

Момент силы относительно точки

Задача 6.

Задача 7.

Определение, общие сведения[править | править код]

Момент силы относительно точки[править | править код]

Момент силы относительно оси[править | править код]

Единицы измерения[править | править код]

Некоторые примеры[править | править код]

Формула момента рычага[править | править код]

Статическое равновесие[править | править код]

Движение твёрдого тела[править | править код]

Связь с другими величинами[править | править код]

С моментом импульса[править | править код]

С мощностью[править | править код]

С механической работой[править | править код]

Измерение момента силы[править | править код]

Из истории понятия[править | править код]

См. также[править | править код]

Определение

Вычисление момента

Правило знаков

Решение задач и лекции по технической механике, теормеху и сопромату

Понятие «момент силы»

Как определить, чему равен момент силы

Момент силы: формулы

Как определяется момент действия нескольких сил

Вам также может понравиться

Как найти вычет два

Энергия упругости как найти

Жидкое клубничное варенье как исправить

Добавить комментарий Отменить ответ