Как найти момент силы стержня

Момент силы M(F)

Моментом силы называют вращательное усилие создаваемое вектором силы относительно твердого тела, оси или точки.
Момент силы
Обозначение: M, m или M(F).

Размерность — [Н∙м] (Ньютон на метр) либо кратные значения [кН∙м]

Аналогом момента силы является момент пары сил.

Обязательным условием возникновения момента является то, что точка, относительно которой создается момент не должна лежать на линии действия силы.

Определение

Момент определяется как произведение силы F на плечо h:

M(F)=F×h

Момент как произведение силы на плечо

Плечо силы h, определяется как кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы.

Наш короткий видеоурок про момент силы с примерами:

Другие видео

Например, сила величиной 7 кН приложенная на расстоянии 35см от рассматриваемой точки вращения создает момент M=7×0,35=2,45 кНм.

Пример момента силы

Наиболее наглядным примером момента силы может служить поворачивание гайки гаечным ключом.

Гайки заворачиваются вращением, для этого к ним прикладывается момент, но сам момент возникает при воздействии нашей силы на гаечный ключ.

Вы конечно интуитивно понимаете — для того чтобы посильнее закрутить гайку надо взяться за ключ как можно дальше от нее.

Пример момента силы - заворачивание гайки гаечным ключом

В этом случае, прикладывая ту же силу, мы получаем большую величину момента за счет увеличения её плеча (h2>h1).

Плечом при этом служит расстояние от центра гайки до точки приложения силы.

Плечо момента силы

Рассмотрим порядок определения плеча h момента:

Пусть заданы точка A и некоторая произвольная сила F, линия действия которой не проходит через эту точку. Требуется определить момент силы.

Сила и точка

Покажем линию действия силы F (штриховая линия)

Линия действия силы

Проведем из точки A перпендикуляр h к линии действия силы

Плечо момента силы

Длина отрезка h есть плечо момента силы F относительно точки A.

Момент принимается положительным, если его вращение происходит против хода часовой стрелки (как на рисунке).

Так принято для того, чтобы совпадали знаки момента и создаваемого им углового перемещения.

Примеры расчета момента силы

Сила расположена перпендикулярно оси стержня

Если сила F приложена перпендикулярно к оси бруса и известно расстояние между точками A и B.

Момент силы перпендикулярной стержню

То момент силы F относительно точки A:

МA=F×AB

Сила расположена под углом к оси стержня

В случае, если сила F приложена под углом α к оси балки
Момент силы расположенной под углом к стержню

Момент силы относительно точки B:

MB=F×cosα×AB

Известно расстояние от точки до линии действия силы

Если известно расстояние от точки где определяется момент до линии действия силы (плечо h)
Момент силы для произвольно расположенного стержня

Момент силы относительно точки B:

MB=F×h


См. также:

  • Примеры решения задач >
  • Момент силы относительно точки
  • Момент силы относительно оси

Сохранить или поделиться с друзьями

Вы находитесь тут:

На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь

Подробнее

Момент силы
vec{M}=left[vec{r}timesvec{F}right]
Размерность L2MT−2
Единицы измерения
СИ Н·м
СГС Дина-сантиметр
Примечания
Псевдовектор

Моме́нт си́лы (момент силы относительно точки) — векторная физическая величина, характеризующая действие силы на механический объект, которое может вызвать его вращательное движение. Определяется как векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы {vec {r}} и вектора силы vec{F}. Моменты сил, образующиеся в разных условиях, в технике могут иметь названия: кру́тящий момент, враща́тельный момент, вертя́щий момент, враща́ющий момент, скру́чивающий момент.

Момент силы обозначается символом {vec  {M}} или, реже, {displaystyle {vec {tau }}} (тау).

Единица измерения в СИ: Н⋅м. Величина момента силы зависит от выбора начала отсчёта радиус-векторов O.

Понятие момента силы используется, в основном, в области задач статики и задач, связанных с вращением деталей (рычагов и др.) в технической механике. Особенно важен случай вращения твёрдого тела вокруг фиксированной оси — тогда O выбирают на этой оси, а вместо самого момента рассматривают его проекцию на ось {displaystyle M_{parallel }}; такая проекция называется моментом силы относительно оси.

Наличие момента силы влечёт изменение момента импульса тела vec{L} относительно того же начала O со временем t: имеет место соотношение {displaystyle d{vec {L}}/dt={vec {M}}}. В статике равенство нулю суммы моментов всех приложенных к телу сил является одним из условий (наряду с равенством нулю суммы сил) реализации состояния покоя.

Определение, общие сведения[править | править код]

В физике момент силы играет роль вращающего воздействия на тело.

Видеоурок: вращающий момент

В простейшем случае, если сила vec{F} приложена к рычагу перпендикулярно ему и оси вращения, то момент силы определяется как произведение величины F на расстояние x от места приложения силы до оси вращения рычага, называемое «плечом силы»:

{displaystyle M=Fx}.

Например, сила в 3 ньютона, приложенная на расстоянии 2 м от оси, создаёт такой же момент, что и сила в 1 ньютон с плечом 6 м.

Если действуют две силы, говорят о моменте пары сил (такая формулировка восходит к трудам Архимеда). При этом равновесие достигается в ситуации {displaystyle F_{1}x_{1}=F_{2}x_{2}}.

Для случаев более сложных движений и более сложных объектов определение момента как произведения {displaystyle Fx} требует универсализации.

Момент силы иногда называют вращающим или крутящим моментом. «Вращающий» момент понимается в технике как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» — как внутреннее, возникающее в самом объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в сопромате).

Момент силы относительно точки[править | править код]

Момент силы, приложенный к гаечному ключу. Направлен от зрителя

В общем случае момент силы vec{F}, приложенной к телу, определяется как векторное произведение

{displaystyle {vec {M}}=left[{vec {r}}times {vec {F}}right]},

где {vec {r}} — радиус-вектор точки приложения силы. Вектор {vec  {M}} перпендикулярен векторам {vec {r}} и vec{F}.

Начало отсчета радиус-векторов O может быть любым. Обычно O выбирают в чем-либо выделенной точке: в месте закрепления подвеса, в центре масс, на оси вращения и т.д.. Если одновременно анализируется момент импульса тела vec{L}, то начало O всегда выбирается одинаковым для vec{L} и {vec  {M}}.

Если не оговорено иное, то «момент силы» — это момент силы относительно точки (O), а не некоей оси.

В случае нескольких приложенных сосредоточенных сил их моменты векторно суммируются:

{displaystyle {vec {M}}=sum _{i}left[{vec {r}}_{i}times {vec {F}}_{i}right]},

где {displaystyle {vec {r}}_{i}} — радиус-вектор точки приложения i-й силы {displaystyle {vec {F}}_{i}}. В случае силы, распределённой с плотностью {displaystyle d{vec {F}}/dV},

{displaystyle {vec {M}}=int limits _{V}left[{vec {r}}times {frac {d{vec {F}}}{dV}}right]dV}.

Если {displaystyle d{vec {F}}/dV} (Н/м3) — обобщённая функция, которая может содержать и дельтаобразные члены, то последней формулой охватываются и две предыдущие.

Момент силы относительно оси[править | править код]

Моментом силы относительно оси называется алгебраическое значение проекции момента {vec  {M}} на ось, то есть

{displaystyle M_{parallel }={vec {M}}cdot {vec {e}}_{o}},

где {displaystyle {vec {e}}_{o}} — единичный вектор вдоль оси, а начало отсчёта O выбрано на оси. Момент силы относительно оси может быть рассчитан как

{displaystyle M_{parallel }=pm left|{vec {r}}_{perp }times {vec {F}}_{perp }right|},

где через {displaystyle {vec {r}}_{perp }} и {displaystyle {vec {F}}_{perp }} обозначены составляющие радиус-вектора и силы в плоскости, перпендикулярной оси.

В отличие от момента силы {vec  {M}}, величина момента силы относительно оси {displaystyle M_{parallel }} не претерпевает изменения при сдвиге точки O вдоль оси.

Для краткости символ параллельности и знак могут опускаться, а {displaystyle M_{parallel }} (как и {vec  {M}}) именоваться «моментом силы».

Единицы измерения[править | править код]

Момент силы имеет размерность «сила, умноженная на расстояние» и единицу измерения ньютон-метр в системе СИ. 1 Н·м — это момент, который производит сила 1 Н на рычаг длиной 1 м, приложенная к концу рычага и направленная перпендикулярно ему.

Формально, размерность {vec  {M}} (Н·м) совпадает с размерностями энергии и механической работы.

Некоторые примеры[править | править код]

Формула момента рычага[править | править код]

Момент, действующий на рычаг

Момент силы, действующей на рычаг, равен

{displaystyle {vec {M}}=rFsin alpha cdot {vec {e}}_{o}}

или, если записать момент силы относительно оси,

{displaystyle M_{parallel }=rFsin alpha },

где alpha — угол между направлением силы и рычагом. Плечо силы равно {displaystyle rsin alpha }. Максимальное значение момента достигается при перпендикулярности рычага и силы, то есть при {displaystyle alpha =pi /2}. При сонаправленности vec{F} и рычага момент равен нулю.

Статическое равновесие[править | править код]

Для того чтобы объект находился в равновесии, должна равняться нулю не только сумма всех сил, но и сумма моментов всех сил вокруг любой точки.

Для двумерного случая с горизонтальными и вертикальными силами требование сводится к тому, чтобы нулевыми были сумма сил в двух измерениях: {displaystyle Sigma F_{horizontal}=0,,Sigma F_{vertical}=0} и момент силы в третьем измерении: {displaystyle Sigma M=0}.

Движение твёрдого тела[править | править код]

Движение твёрдого тела можно представить как движение конкретной точки и вращения вокруг неё.

Момент импульса относительно точки O твёрдого тела может быть описан через произведение момента инерции и угловой скорости относительно центра масс и линейного движения центра масс.

{displaystyle {vec {L_{o}}}=I_{c},{vec {omega }}+[M({vec {r_{o}}}-{vec {r_{c}}}),{vec {v_{c}}}].}

Будем рассматривать вращающиеся движения в системе координат Кёнига, так как описывать движение твёрдого тела в мировой системе координат гораздо сложнее.

Продифференцируем это выражение по времени. И если I — постоянная величина во времени, то

{displaystyle {vec {M}}=I{frac {d{vec {omega }}}{dt}}=I{vec {alpha }},}

где {displaystyle {vec {alpha }}} — угловое ускорение, измеряемое в радианах в секунду за секунду (рад/с2). Пример: вращается однородный диск.

Если тензор инерции меняется со временем, то движение относительно центра масс описывается с помощью динамического уравнения Эйлера:

{displaystyle {vec {M_{c}}}=I_{c}{frac {d{vec {omega }}}{dt}}+[{vec {w}},I_{c}{vec {w}}].}

Связь с другими величинами[править | править код]

С моментом импульса[править | править код]

Момент силы — производная момента импульса {displaystyle {vec {L}}={vec {r}}times {vec {p}}} относительно точки O по времени:

{displaystyle {vec {M}}={frac {d{vec {L}}}{dt}}},

Аналогичную формулу можно записать для моментов относительно оси:

{displaystyle M_{parallel }={frac {dL_{parallel }}{dt}}}.

Если момент силы {vec  {M}} или {displaystyle M_{parallel }} равен нулю, момент импульса относительно соответствующей точки или оси сохраняется.

С мощностью[править | править код]

Если сила совершает действие на каком-либо расстоянии, то она совершает механическую работу и развивает мощность {displaystyle {vec {F}}cdot {vec {v}}} (где vec{v} — скорость материальной точки). Так же и в случае момента силы: если он совершает действие через «угловое расстояние», развивается мощность

{displaystyle P={vec {M}}cdot {vec {omega }}}.

В системе СИ мощность P измеряется в ваттах, угловая скорость vec{omega} — в радианах в секунду.

С механической работой[править | править код]

Если под действием момента силы {vec  {M}} происходит поворот тела на угол dvarphi, то совершается механическая работа

{displaystyle dA=left|{vec {M}}right|dvarphi }.

Для поворота, скажем, рычага вокруг фиксированной оси на угол {displaystyle varphi _{2}-varphi _{1}} получим

{displaystyle A=int _{varphi _{1}}^{varphi _{2}}left|{vec {M}}right|dvarphi =left|{vec {M}}right|(varphi _{2}-varphi _{1})=left|{vec {M}}right|int _{t_{1}}^{t_{2}}omega (t)dt}.

В системе СИ работа A измеряется в джоулях, угол — в радианах.

Размерность работы (и энергии) совпадает с размерностью момента силы («ньютон-метр» и джоуль — это одни и те же единицы). Момент силы 1 Н·м, при повороте рычага или вала на 1 радиан совершает работу в 1 Дж, а при повороте на один оборот совершает механическую работу и сообщает энергию 2pi джоуля.

Измерение момента силы[править | править код]

Измерение момента силы осуществляется с помощью специальных приборов — торсиометров. Принцип их действия обычно основан на измерении угла закручивания упругого вала, передающего крутящий момент, либо на измерении деформации некоторого упругого рычага. Измерения деформации и угла закручивания производится различными датчиками деформации — тензометрическими, магнитоупругими, а также измерителями малых перемещений — оптическими, ёмкостными, индуктивными, ультразвуковыми, механическими.

Существуют специальные динамометрические ключи для измерения крутящего момента затягивания резьбовых соединений и регулируемые и нерегулируемые ограничители крутящего момента, так называемые «трещотки», применяемые в гаечных ключах, шуруповёртах, винтовых микрометрах и др.

Из истории понятия[править | править код]

Для того чтобы понять, откуда появилось понятие момента сил и как к нему пришли, стоит рассмотреть действие силы на рычаг, поворачивающийся относительно неподвижной оси. Работа, совершаемая при действии силы {vec {F}} на рычаг {vec {r}}, совершающий вращательное движение вокруг неподвижной оси, может быть рассчитана исходя из следующих соображений.

Пусть под действием силы конец рычага смещается на бесконечно малый отрезок dl, которому соответствует бесконечно малый угол dvarphi. Обозначим через {displaystyle d{vec {l}}} вектор, который направлен вдоль бесконечно малого отрезка dl и равен ему по модулю. Угол между векторами {vec {F}} и {displaystyle d{vec {l}}} равен beta , а угол между векторами {vec {r}} и {vec {F}} равен alpha .

Следовательно, бесконечно малая работа dA, совершаемая силой {vec {F}} на бесконечно малом участке dl, равна скалярному произведению вектора {displaystyle d{vec {l}}} и вектора силы, то есть {displaystyle dA={vec {F}}cdot d{vec {l}}}.

Теперь попытаемся выразить модуль вектора {displaystyle d{vec {l}}} через радиус-вектор {vec {r}}, а проекцию вектора силы {vec {F}} на вектор {displaystyle d{vec {l}}} — через угол alpha .

Так как для бесконечно малого перемещения рычага dl можно считать, что траектория перемещения перпендикулярна рычагу {vec {r}}, используя соотношения для прямоугольного треугольника, можно записать следующее равенство: {displaystyle dl=rmathrm {tg} ,dvarphi }, где в случае малого угла справедливо {displaystyle mathrm {tg} ,dvarphi =dvarphi } и, следовательно, {displaystyle left|d{vec {l}}right|=left|{vec {r}}right|dvarphi }.

Для проекции вектора силы {vec {F}} на вектор {displaystyle d{vec {l}}} видно, что угол {displaystyle beta ={frac {pi }{2}}-alpha }, а так как {displaystyle cos {left({frac {pi }{2}}-alpha right)}=sin alpha }, получаем, что {displaystyle left|{vec {F}}right|cos beta =left|{vec {F}}right|sin alpha }.

Теперь запишем бесконечно малую работу через новые равенства: {displaystyle dA=left|{vec {r}}right|dvarphi left|{vec {F}}right|sin alpha }, или {displaystyle dA=left|{vec {r}}right|left|{vec {F}}right|sin alpha ,dvarphi }.

Видно, что произведение {displaystyle left|{vec {r}}right|left|{vec {F}}right|sin alpha } есть не что иное, как модуль векторного произведения векторов {vec {r}} и {vec {F}}, то есть {displaystyle left|{vec {r}}times {vec {F}}right|}, которое и было принято обозначить за момент силы M, или модуль вектора момента силы {displaystyle left|{vec {M}}right|}.

Теперь полная работа записывается просто: {displaystyle A=int limits _{0}^{varphi }left|{vec {r}}times {vec {F}}right|dvarphi }, или {displaystyle A=int limits _{0}^{varphi }left|{vec {M}}right|dvarphi }.

См. также[править | править код]

  • Момент инерции
  • Момент импульса
  • Теорема Вариньона

Содержание:

Моменты силы относительно точки и оси:

Для рассмотрения различных систем сил необходимо ввести понятия алгебраического и векторного моментов силы относительно точки и момента силы относительно оси. Введем эти характеристики действия силы на твердое тело и рассмотрим их свойства.

Алгебраический момент силы относительно точки

При рассмотрении плоской системы сил, приложенных к твердому телу, используется понятие алгебраического момента силы относительно точки.

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Рис. 19

Алгебраическим моментом силы относительно точки называют произведение модуля силы на плечо силы относительно этой точки (рис. 19), взятое со знаком плюс или минус.

Плечом Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механикеМоменты силы относительно точки и оси в теоретической механике относительно точки называют кратчайшее расстояние между этой точкой и линией действия силы, т. е. длину отрезка перпендикуляра, опущенного из точки Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике на линию действия силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике.

Обозначим Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике или Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике алгебраический момент силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике относительно точки Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике. Тогда

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Если сила стремится вращать тело вокруг моментной точки (точки, относительно которой вычисляют алгебраический момент силы) против часовой стрелки, то берем знак плюс, если по часовой стрелке — знак минус.

Алгебраический момент силы представляет собой произведение силы на длину (в Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике).

Из определения алгебраического момента силы относительно точки следует, что он не зависит от переноса силы вдоль ее линии действия. Алгебраический момент силы относительно точки равен нулю, если линия действия силы проходит через моментную точку. Сумма алгебраических моментов относительно точки двух равных по модулю, но противоположных по направлению сил, действующих вдоль одной прямой, равна нулю. Численно алгебраический момент относительно точки равен удвоенной площади треугольника, построенного на силе Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике и моментной точке:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Векторный момент силы относительно точки

При рассмотрении пространственной системы сил, приложенных к твердому телу, применяется понятие векторного момента силы относительно точки.

Векторным моментом силы относительно точки называют вектор, приложенный в этой точке и равный по модулю произведению силы на плечо силы относительно этой точки. Векторный момент силы направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат сила и моментная точка, таким образом, что с его конца можно видеть стремление силы вращать тело против движения часовой стрелки (рис. 20).

Плечом Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике силы относительно точки Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике называют кратчайшее расстояние от этой точки до линии действия силы.

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Рис. 20

Условимся векторный момент  силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике относительно точки Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике обозначать Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике, а его числовую величину — Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике. Тогда, согласно определению,

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Как и для алгебраического момента, векторный момент силы относительно точки равен удвоенной площади треугольника, построенного на силе и моментной точке:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Справедлива формула

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

где Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике—радиус-вектор, проведенный из моментной точки Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике в точку приложения силы или любую другую точку линии действия силы.

Чтобы убедиться в справедливости формулы (3), достаточно показать, чтоМоменты силы относительно точки и оси в теоретической механике по величине и направлению выражает векторный момент силы относительно точки Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике. По определению векторного произведения двух векторов известно, что

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Как показано на рис. 20, Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике, причем это равенство справедливо для любой точки линии действия, куда проведен радиус-вектор Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике. Итак,

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

что совпадает с векторным моментом силы относительно точки Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике. Вектор Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике, как известно, перпендикулярен плоскости, в которой расположены векторы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике и Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике, т. е. плоскости треугольника Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике, которой перпендикулярен и векторный момент Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике.

Направление Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике тоже совпадает с направлением Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике. Заметим, что векторный момент силы относительно точки считается вектором, приложенным к этой точке.

Векторный момент силы относительно точки не изменяется от переноса силы вдоль ее линии действия. Он станет равным

нулю, если линия действия силы пройдет через моментную точку.

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Рис. 21 

Если сила Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике дана своими проекциями Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике на оси координат и даны координаты Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике точки приложения этой силы (рис. 21), то векторный момент относительно начала координат, согласно формуле (3), после разложения по осям координат вычисляем по формуле

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

где Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике — единичные векторы, направленные по осям координат.

Используя формулу (4), можно выделить проекции Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике на оси координат:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Модуль векторного момента Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике и косинусы углов его с осями координат определяем по формулам

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

В формулах (6) числовую величину Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике берем со знаком плюс.

Момент силы относительно оси

Моментом силы относительно оси называют алгебраический момент проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью (рис. 22). Момент силы относительно оси считается положительным, если проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси (проекция силы на плоскость является вектором), стремится вращать тело вокруг положительного направления оси против часовой стрелки, и отрицательным, если она стремится вращать тело по часовой стрелке. Момент силы, например, относительно оси Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике обозначим Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике.

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

 Рис. 22

По определению,   

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

где Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике — вектор проекции силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике на плоскость Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике, перпендикулярную оси Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике, а точка Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике — точка пересечения оси Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике с плоскостью Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике.

Из определения момента силы относительно оси следует, что введенный выше алгебраический момент силы относительно точки можно считать моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку, перпендикулярно плоскости, в которой лежат сила и моментная точка. Момент силы относительно оси можно выразить через площадь треугольника, построенного на проекции силы  Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике и точке пересечения Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике оси с плоскостью:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Из формулы (8) можно получить следующие важные свойства момента силы относительно оси:

  1. Момент силы относительно оси равен нулю, если сила параллельна оси. В этом случае равна нулю проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси.
  2. Момент силы относительно оси равен нулю, если линия действия силы пересекает эту ось. В этом случае линия действия проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, проходит через точку пересечения оси  с плоскостью и, следовательно, равно нулю плечо силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике относительно точки Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике.

В обоих этих случаях ось и сила лежат в одной плоскости. Объединяя их, можно сказать, что момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости.

Связь момента силы относительно оси с векторным моментом силы относительно точки на оси

Используя формулу (8), имеем (рис. 23)

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Векторный момент силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике относительно точки Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике, взятой на пересечении оси Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике с перпендикулярной плоскостью Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике, выражается в виде

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Векторный момент Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике направлен перпендикулярно плоскости треугольника Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике. Аналогично, для другой точки Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике оси Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

причем векторный момент Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике направлен перпендикулярно плоскости треугольника Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике. Треугольник Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике является проекцией треугольников Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике и Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике на плоскость Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике. Из геометрии известно, что площадь проекции плоской фигуры равна площади проецируемой фигуры, умноженной на косинус угла между плоскостями, в которых расположены эти фигуры. Угол между плоскостями измеряется углом между перпендикулярами к этим плоскостям. Перпендикуляром к плоскости треугольника Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике является ось Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике, а перпендикулярами к плоскостям треугольников Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике и Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике—соответственно векторные моменты Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике и Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике. Таким образом, Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике, где Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике — угол между вектором Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике и осью Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике. Отсюда по формулам (8′) и (9) имеем

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

причем знак Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике полностью определяется знаком Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике.

Аналогично,

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

т. е.

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

где Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике — любая точка на оси Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике.

Формулы (11) и (12) отражают искомую связь между моментом силы относительно оси и векторными моментами силы относительно точек, лежащих на этой оси: момент силы относительно оси равен проекции на эту ось векторного момента силы относительно любой точки на оси.

Эту зависимость между моментом силы относительно оси и векторным моментом силы относительно точки на оси можно принять за определение момента силы относительно оси.

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Рис. 23

Формулы для моментов силы относительно осей координат

Используя связь момента силы относительно оси с векторным моментом силы относительно точки на оси, можно получить формулы для вычисления моментов относительно осей координат, если даны проекции силы на оси координат и координаты точки приложения силы. Для оси Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике имеем

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Согласно (5),

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

следовательно,

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Аналогично, для осей Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике и Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Окончательно

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

По формулам (13) можно вычислить моменты силы относительно прямоугольных осей координат.

По этим формулам получаются необходимые знаки для  Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике, если проекции силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике на оси координат и координаты Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике точки приложения силы подставлять в них со знаками этих величин.

При решении задач момент силы относительно какой-либо оси часто получают, используя его определение, т. е. проецируя силу на плоскость, перпендикулярную оси, и вычисляя затем алгебраический момент этой проекции относительно точки пересечения оси с этой плоскостью.

Момент пары сил. Сложение пар сил. Равновесие пар сил

При изучении теоретической механики необходимо совершенно отчетливо уяснить, что в статике рассматриваются два простейших элемента: сила и пара сил. Любые две силы, кроме сил, образующих пару, всегда можно заменить одной —сложить их (найти равнодействующую). Пара сил нс поддается дальнейшему упрощению, она не имеет равнодействующей и является простейшим элементом.

Действие пары сил на тело характеризуется ее моментом — произведением одной из сил пары на ее плечо (на кратчайшее расстояние между линиями действия сил, образующих пару).

Единицей момента пары сил в Международной системе служит 1 нм (ньютон-метр = 1 н-1ж), а в системе МКГСС (технической)— 1 кГ-м.

Несколько пар сил, действующих на тело в одной плоскости, можно заменить одной парой сил (равнодействующей парой), момент которой равен алгебраической сумме моментов данных пар:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

При равновесии пар сил

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике
Если пары сил действуют в одной плоскости, то при решении задач достаточно рассматривать моменты пар как алгебраические величины. Причем знак момента определяется в зависимости от направления вращающего действия пары сил.

Дальнейшее изложение основано на правиле, т. е. считается момент положительным, если пара сил действует против хода часовой стрелки, если же пара сил действует на тело но ходу часовой стрелки, то момент считается отрицательным.

В том случае когда пары сил действуют на тело будучи расположенными в различных плоскостях, гораздо удобнее рассматривать пару сил как вектор, направленный перпендикулярно
Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

к плоскости действия пары сил (рис. 62). Направление вектора в зависимости от направления вращательного действия пары определяется по направлению движения винта с правой нарезкой.

Задача 1.

Определить момент пары сил (рис. 63), если Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механикен, АВ — 0,5 м и а = 30°.

Решение.

1.    При определении момента пары сил нужно прежде всего правильно определить плечо пары. При этом необходимо различать следующие понятия: плечо пары сил и расстояние между точками приложения сил нары.

Так как в механике твердого тела сила—скользящий вектор, то действие силы не изменяется при переносе точки ее приложения вдоль линии ее действия. Значит расстояние между точками приложения сил, образующих пару, можно изменять неограниченно. Но плечо пары при этом переносе остается неизменным.

В частном случае расстояние между точками приложения сил, образующих пару, может быть равно плечу.

Чтобы определить плечо данной пары из точки приложения одной из сил, например из точки В, восставим перпендикуляр ВС к линии действия другой силы. Расстояние ВС и есть плечо данной пары сил. Расстояние между точками приложения сил, образующих пару, АВ=0,5 м.

Легко видеть, что

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике
2.    Найдем момент пары сил:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Задача 2.

Как изменится момент пары сил Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике показанной на рис. 64, а (P = 50 н, AВ=0,4 м и а=135), если

повернуть силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике так, чтобы они стали перпендикулярными АВ? Решение.

1.    Найдем момент пары при заданном положении ее сил (рис. 64, а).

Из точки В восставим перпендикуляр ВС к линиям действия сил Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике и найдем его длину:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Момент пары при заданном положении сил

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике
2. Повернем силыМоменты силы относительно точки и оси в теоретической механике из заданного положения на угол Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике=а°— 90э в направлении против хода часовой стрелки (рис. 64, б). При таком положении сил относительно АВ плечом пары сил является расстояние между точками их приложения, поэтому

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике
3.    Сравнивая полученные результаты, видим, что после поворота сил момент пары увеличивается на 20—14,5 = 5,85 н-м.

4.    Легко заметить, что силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механикемогут достичь перпендикулярного положения к АВ после их поворота на угол у в направлении по ходу часовой стрелки (рис. 64, в). В том случае плечом пары является тот же отрезок АВ, но момент пары

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике
Момент пары сил изменяет свой знак.

Задача 3.

К точкам А, С и В, D, образующим вершины квадрата со стороной 0,5 м (рис. 65, а), приложены равные по модулю силы (Р = 12н) таким образом, что они образуют две пары сил

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике Определить момент равнодействующей пары сил

Решение 1.

Плечи у обеих пар сил равны стороне квадрата поэтому

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Решение 2.
1.    Перенесем силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике из точек Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механикев точки В и D (рис. 65, б). В точках В и D получаются системы сходящихся сил Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике иМоменты силы относительно точки и оси в теоретической механике одинаковыми модулями.

2.    Сложим попарно эти силы у каждой из точек В и D. В обоих случаях

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

3.    Силы R, модули которых теперь известны, направлены перпендикулярно к диагонали BD квадрата. Значит эта диагональ является плечом вновь образовавшейся пары сил Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике заменяющей собой две данные.

4.    Найдем момент пары Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

и, следовательно,

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Эту пару в соответствии со вторым решением можно представить в виде пары Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике с плечом BD (диагональю данного квадрата).

Но можно равнодействующую пару представить и в любом другом виде, например в виде сил Q = 24 и, приложенных к двум любым вершинам квадрата ABCD (рис. 65, в)

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

  • Заказать решение задач по теоретической механике

Задача 4.

На прямоугольник ABCD (рис. 67) вдоль его длинных сторон действует пара сил Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике Какую пару сил нужно приложить к прямоугольнику, направив силы вдоль его коротких сторон, чтобы уравновесить пару Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Решение.

1.    Момент данной пары сил

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

необходимо уравновесить парой, момент которой обозначим Л1м. Тогда, согласно условию равновесия,

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Откуда

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

2.    Обозначив силы, образующие искомую пару Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике замечая, что ее плечо равно ВС, получим
ОтсюдаМоменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

•Значит к прямоугольнику необходимо приложить пару сил с положительным (направленным против хода часовой стрелки) моментом, равным 48 н м. Силы, образующие эту пару, равняются

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

20 н каждая и одна из них должна действовать вдоль стороны АВ от А к В, вторая — вдоль стороны CD от С к D.

Задача 5.

Прямолинейный стержень АВ должен находиться в равновесии в положении, показанном на рис. 68, а (угол а = Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике При этом в точках А и В на стержень действуют вертикальные силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механикеобразующие пару Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механикеКакие две равные силы нужно приложить к стержню в точках С и D, направив их перпендикулярно к стержню, чтобы обеспечить равновесие. АВ = 3 м, CD— 1 м, Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Решение.

1. Пару сил можно уравновесить только парой сил. Поэтому в точках С и D к стержню необходимо приложить две равные силы так, чтобы они образовали пару сил с моментом, равным моменту пары Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике но имеющим противоположный знак.

Так как пара Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике поворачивает стержень на ходу часовой стрелки, искомые силы должны поворачивать его против хода часовой стрелки (рис. 68, б).

2. Применяем условие равновесия:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Или, подставив значения моментов,
 гдеМоменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

ОтсюдаМоменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Следовательно, в точках С и D необходимо приложить силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике по 150 н каждая, как показано на рис. 68, б.

Момент силы относительно точки

Момент силы относительно точки при решении задач по статике, а затем и по динамике имеет не менее важное значение, чем проекции сил. Поэтому нужно уметь определять эту величину безошибочно. Обычно его числовое значение находят неправильно из-за ошибок, допускаемых при определении плеча.

Чтобы не допускать ошибок при определении моментов сил относительно точки, рекомендуется придерживаться следующего порядка:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

  1. Прежде всего нужно научиться «видеть» силу, момент которой определяем, и центр моментов – точку, относительно которой определяем момент (рис. 70 – сила Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике и центр моментов – точка В).
  2. Затем из центра момента проводим прямую ВЬ перпендикулярно к линии действия силы DF. Длина перпендикуляра ВС от центра момента до линии действия силы и есть плечо.
  3. Потом находим знак момента. При этом если сила стремится повернуть плечо вокруг центра момента против хода часовой стрелки, то считаем момент положительным; если по ходу часовой стрелки, то отрицательным (тоже правило, что и при определении знака момента пары сил).
  4. Находим числовое значение момента силы относительно точки, умножив модуль силы на плечо.

По рис. 70

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

В частном случае момент силы может равняться нулю. Это происходит тогда, когда центр моментов лежит на линии действия силы, при этом плечо равняется нулю. По рис. 70 момент силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике относительно точки А (или С) равен нулю.

Задача 6.

Определить моменты шести заданных сил (рис. 71) относительно точек А, В и С, еслиМоменты силы относительно точки и оси в теоретической механике Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Решение 1 — определение моментов гнести заданных сил относительно точки А (рис. 71, а).

1.    Центр моментов в точке А. Через точку А проходят линии действия трех сил Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механикеЗначит для этих сил плечи равны нулю. Следовательно,

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

2.    Находим момент силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике Опустив из точки А на линию действия

силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике перпендикуляр AD, получим плечо силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механикеДлину AD легко найти, так как это катет треугольника ABD:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

3.    Величина момента отрицательная (сила Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механикеповорачивает плечо AD вокруг точки А но ходу часовой стрелки), следовательно,

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

4.    Находим момент силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике Плечом силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике является перпендикуляр АЕ к СЕ – линии действия силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механикеИз треугольника АСЕ

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Величина момента положительная (плечо АЕ поворачивается около точки А силой Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике против хода часовой стрелки). Следовательно,

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

5.    Находим момент силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механикеПлечом силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике относительно точки А является отрезок АС, так как сила Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике направлена к АС перпендикулярно. Величина момента отрицательная:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Решение 2 — определение моментов сил относительно точки В (рис. 71, б).

1.    Центр моментов в точке В.

2.    Через точку В проходят линии действия двух сил: Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике Следовательно,

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

3.    Находим момент силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике Плечо силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Величина момента отрицательная:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

4.    Находим момент силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике Плечо силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Момент отрицательный:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

5.    Находим момент силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике Плечо силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Величина момента положительная:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

6.    Находим момент силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике Плечом силыМоменты силы относительно точки и оси в теоретической механикеявляется отрезок ВС. Момент положительный:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Решение 3 — определение моментов сил относительно точки С (рис. 71, в) рекомендуется выполнить самостоятельно.
 

Ответ. Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

В задаче  силы расположены так, что либо их плечи определяются очень просто – как катеты прямоугольных треугольников, в которых даны гипотенузы, либо плечи заданы в условии задачи (ВС и АС).

Но иногда некоторые силы заданной системы оказываются расположенными относительно выбранного центра моментов так, что определить длину плеча трудно и требуется, например, предварительно вычислить длины еще одного-двух отрезков. В таких случаях целесообразно силу разложить на две составляющие и применить для определения ее момента теорему Вариньона.

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Задача 7.

Определить моменты относительно точки Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механикеМоменты силы относительно точки и оси в теоретической механикея, приложенных в точках А, В и С, как показано на рис. 72, а. УглыМоменты силы относительно точки и оси в теоретической механике ВС =1,5 м.

Решение.

1.    Относительно точки А моменты силМоменты силы относительно точки и оси в теоретической механике определяются аналогично
Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике
2. Находим момент силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механикеВариант 1-й (рис. 72, а). Плечо АЕ силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике в данном случае определяем из Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механикев котором известен только Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике. Значит нужно предварительно определить одну из сторон. Найдем AF:

AF = AB – FB.
Величину FB находим из Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике в котором Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

следовательно,

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

И теперь можем определить плечо АЕ:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Раскрываем скобки и заменяем Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Момент положительный, следовательно:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Вариант 2-й. Чтобы избежать определения плеча АЕ, которое в данном случае находится после предварительного вычисления двух отрезков (FB и AF), необходимо момент силы Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике относительно точки А найти по теореме Вариньона: момент равнодействующей плоской системы сил относительно любой точки, лежащей в той же плоскости, равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.

Разложим силу Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике на две составляющие: одну, направленную вдоль отрезка ВС, и другую — перпендикулярно к нему (рис. 72, б).

Модуль первой составляющей Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике а ее плечо — отрезок АВ, длина которого задана. Модуль второй составляющей Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике а ее плечо АК = ВС =1,5 м.

Применяя теорему Вариньона, получаем

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Как видно, получено точно такое же значение момента, что и в первом варианте решения:

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

  • Теория пар сил
  • Приведение системы сил к простейшей системе
  • Условия равновесия системы сил
  • Плоская система сил
  • Аксиомы и теоремы статики
  • Система сходящихся сил
  • Плоское движение тела
  • Принцип виртуальных перемещений

Содержание:

  1. Момент силы
  2. Момент силы относительно точки (центра)
  3. Момент силы относительно оси
  4. Зависимость между моментом силы относительно точки и оси, проходящей через эту точку
  5. Моменты силы относительно координатных осей
  6. Теорема Вариньона для пространственной системы сходящихся сил (Теорема о моменте равнодействующей силы)

Момент силы (момент силы относительно точки; также: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) — эо векторная физическая величина, характеризующая действие силы на механический объект, которое может вызвать его вращательное движение.

На странице -> решение задач по теоретической механике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретической механики.

Момент силы

Система сходящихся сил, которая будет рассмотрена в главе 2, является особой среди
систем сил. Только в этой системе линии действия сил имеют одну точку пересечения. Поэтому для ее изучения достаточно основных понятий статики, рассмотренных в разделе 1. Для изучения других систем сил необходимо ознакомиться с понятиями момента силы и пары сил.

Понятие о моменте силы – одно из основных понятий механики, которое широко используется и в теоретических исследованиях и при практических расчетах. К понятию момента силы человечество пришло, рассматривая равновесие и движение тел, имеющих точку или ось вращения (в частности блоков и рычагов, которые использовались в практике еще до нашей эры).

Например, на неподвижный блок (рис. 3.1) действует сила Момент силы, вращающей его вокруг горизонтальной оси О. Стержень АВ (рис. 3.2), который имеет неподвижную шарнирную опору A, будет вращаться вокруг оси шарнира под действием собственной силы тяжести Момент силыВ обоих примерах сила обуславливает вращательное движение тела. По мере вращательного действия силы на тело является момент силы.

Момент силы      Момент силы

Момент силы относительно точки (центра)

Заданная сила Момент силы, изображена вектором Момент силы, приложенная к некоторому телу в точке А. Определим момент силы Момент силы относительно точки О (рис. 3.3). Векторным моментом силы относительно точки О называется вектор, приложенный в точке О, равный векторному произведению радиуса вектора точки приложения силы на вектор силы:

Момент силы

где Момент силы – радиус-вектор точки приложения силы относительно точки О.

Определим величину (модуль) и направление вектора Момент силы. Согласно понятиям и свойствам векторного произведения двух векторов, величина (Модуль) момента силы Момент силы  относительно точки О равна:

Момент силы

Обозначим Момент силы. Поскольку Момент силыМомент силыТогда:

Момент силы

где Момент силы (рис. 3.3) – высота Момент силы опущенная из вершины В (с точки О) на сторону АВ этого треугольника, совпадает с линией действия силы. Короткое расстояние от точки О до линии действия силы называется плечом силы относительно этой точки. Из этого следует, что модуль (величина) момента силы относительно точки равна произведению величины силы на ее плечо относительно этой точки.

Момент силы

Вектор Момент силы направляется по правилу векторного произведения: векторный момент силы относительно точки (Центра) является перпендикулярным к плоскости, в которой размещены сила и точка (центр) так, чтобы с его конца было видно попытки силы возвращать тело вокруг точки (Центра) против хода часовой стрелки.
Заметим, что Момент силы. Поэтому:

Момент силы

Модуль момента силы относительно точки равен удвоенной площади треугольника, вершинами которого является точка и начало и конец вектора Момент силы

Если линия действия силы проходит через точку (центр), то h = 0, и из формулы (3.2) видно, что момент силы относительно этой точки будет равняться нулю.

Момент силы относительно точки не изменяется при переносе силы вдоль ее линии действия, поскольку неизменным остается плечо силы относительно точки (рис. 3.4).

Момент силы

Если на тело действует плоская система сил, то векторы моментов всех сил системы относительно некоторого центра, что лежит в плоскости действия сил, будут перпендикулярны этой плоскости, а следовательно, параллельные и их можно считать скалярными величинами, которые отличаются только величиной и знаками.

В этом случае целесообразно ввести понятие алгебраического момента силы относительно точки (центра), равный взятом со знаком «+» или «-» произведения модуля силы на плечо относительно этой точки (центра)

Момент силы

Будем считать момент положительным, если сила пытается вращать тело вокруг точки (центра) против хода часовой стрелки (рис. 3.5, а), и отрицательным – если по ходу часовой стрелки (рис. 3.5, б). Единицы момента силы: Момент силы

Момент силы

Момент силы относительно оси

Изучая пространственные системы сил, будем использовать понятие момента силы относительно оси.

Моментом силы относительно оси называется величина, равная  алгебраическому моменту проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью.

Пусть к телу в некоторой точке А приложена сила Момент силы (Рис. 3.6). определим момент силы Момент силы относительно произвольной оси Момент силы. Проведем плоскость П, перпендикулярную оси Момент силы.
Точку пересечения плоскости П с осью Момент силы обозначим А. Спроектируем силу Момент силы на плоскость П и получим силу Момент силы

Момент силы

Согласно определению Момент силы

Таким образом, чтобы определить момент силы относительно оси, необходимо:
– спроектировать эту силу на плоскость, перпендикулярную оси;
– найти точку пересечения оси с этой перпендикулярной плоскостью;
– определить алгебраический момент полученной проекции относительно точки пересечения оси с плоскостью.

Из формулы (3.5) следует, что момент силы относительно оси равен нулю, если:
1) сила параллельна оси, тогда Момент силы
2) линия действия силы пересекает ось, тогда Момент силы

Эти два условия эквивалентны одному условию: момент силы относительно оси равен нулю, когда сила и ось лежат в одной плоскости. поскольку момент силы относительно оси Момент силы, то согласно принятому правилу знаков моментов следует, что момент силы относительно оси положительный, если, смотря с конца оси, видим, что проекция этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, пытается вращать тело вокруг оси против часовой стрелки (рис. 3.7, а). если вращение происходит в направлении хода часовой стрелки, то момент силы относительно оси будет отрицательным (рис. 3.7, б). Можно доказать, что момент силы относительно оси не зависит от выбора точки О на этой оси.

Момент силы

Зависимость между моментом силы относительно точки и оси, проходящей через эту точку

Теорема 3.1. Проекция векторного момента силы относительно точки на ось, проходящей через эту точку, равен моменту силы относительно этой оси.

Доказательство. Сила Момент силы приложена в точке А пространства. Выберем произвольную точку О и проведем оси Момент силы (рис. 3.8). Определим момент силы Момент силы относительно оси Момент силы и относительно точки О на ней.
Известно, что  Момент силы

Момент силы

где Момент силы

Из курса элементарной геометрии известно, что Момент силы

где Момент силы – угол между плоскостями этих треугольников, а следовательно, и угол между перпендикулярами к этим плоскостей.

Поскольку вектор Момент силыперпендикулярный плоскостиМомент силы, а ось Момент силы перпендикулярна  к Момент силы

Момент силы

Учитывая равенства (3.6), (3.7), получим Момент силы

Знак Момент силыполностью определяется знаком Момент силы.

Поскольку

Момент силы

что и требовалось доказать.

Моменты силы относительно координатных осей

Пусть на тело действует сила Момент силы приложенная в точке А (рис. 3.9). выберем произвольную точку О и из нее проведем оси декартовой системы координат.
Определим момент силы Момент силы относительно этих осей. Для этого запишем выражение для момента силы Момент силы относительно точки О.

Момент силы

Согласно (3.1),Момент силыгде Момент силы – радиус-вектор точки А относительно точки О.
Вектор силы Момент силы и радиусвектор Момент силы через проекции на оси координат выражаются:

Момент силы

где Момент силы – координаты точки А; Момент силы – орты выбранной системы координат.

Тогда векторное произведение Момент силыможно записать в виде определителя:

Момент силы

Раскрывая этот определитель, получим 

Момент силы

Представим векторный момент Момент силы через его проекции на оси координат:

Момент силы

Сравнивая правые части равенств (3.9) и (3.10), получим:

Момент силы

Поскольку точка О принадлежит осями Момент силы, то из формул (3.11), учитывая зависимость (3.8), получим выражения:

Момент силы

Теорема Вариньона для пространственной системы сходящихся сил (Теорема о моменте равнодействующей силы)

Теорема 3.2. Момент равнодействующей пространственной системы сходящихся сил
относительно некоторого центра (точки) равна векторной сумме моментов составляющих сил относительно того же центра (точки).

Доказательство. На тело действует пространственная система сходящихся сил Момент силы линии действия которых пересекаются в точке В (Рис. 3.10, а). заменим
данную систему сил эквивалентной системой, все силы которой приложенные в точке В
(Рис. 3.10, б). Равнодействующую системы, прилагаемую в той же точке В, обозначим Момент силы. Найдем момент равнодействующей Момент силы относительно точки (центра) О. Согласно формуле (3.1), Момент силы где Момент силы – радиус-вектор точки приложения всех сил системы и равнодействующей относительно центра О.

Момент силы

Известно, что Момент силы. Тогда Момент силы

Итак, получили равенство Момент силы

Теорема доказана.

Уравнение (3.13) является математическим записи теоремы Вариньона для пространственной системы сходящихся сил.
В случае плоской системы сходящихся сил теорема Вариньона запишется так:

Момент силы

Итак, момент равнодействующей плоской системы сходящихся сил относительно некоторого центра (точки), лежащий в плоскости действия сил, равна алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно этого самого центра (точки).

Рассмотрим пример на применение теоремы Вариньона.

Задача. На согнутый под прямым углом стержень АВС действуют силы Момент силы и Момент силы как показано на рис. 3.11. Найти моменты этих сил относительно точки А, если Момент силы

Момент силы

Решение.

Момент силы

Для определения момента силы Момент силы относительно точки используем теорему Вариньона.
Разложим силу Момент силы на две составляющие: горизонтальную Момент силы и вертикальную Момент силы.  Величины этих составляющих Момент силы Момент силы Тогда, согласно теоремой 3.2, получим:

Момент силы

Услуги по теоретической механике:

  1. Заказать теоретическую механику
  2. Помощь по теоретической механике
  3. Заказать контрольную работу по теоретической механике

Учебные лекции:

  1. Статика
  2. Система сходящихся сил
  3. Пара сил
  4. Произвольная система сил
  5. Плоская произвольная система сил
  6. Трение
  7. Расчет ферм
  8. Расчет усилий в стержнях фермы
  9. Пространственная система сил
  10. Произвольная пространственная система сил
  11. Плоская система сходящихся сил
  12. Пространственная система сходящихся сил
  13. Равновесие тела под действием пространственной системы сил
  14. Естественный способ задания движения точки
  15. Центр параллельных сил
  16. Параллельные силы
  17. Система произвольно расположенных сил
  18. Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки
  19. Кинематика
  20. Кинематика твердого тела
  21. Движения твердого тела
  22. Динамика материальной точки
  23. Динамика механической системы
  24. Динамика плоского движения твердого тела
  25. Динамика относительного движения материальной точки
  26. Динамика твердого тела
  27. Кинематика простейших движений твердого тела
  28. Общее уравнение динамики
  29. Работа и мощность силы
  30. Обратная задача динамики
  31. Поступательное и вращательное движение твердого тела
  32. Плоскопараллельное (плоское) движение твёрдого тела
  33. Сферическое движение твёрдого тела
  34. Движение свободного твердого тела
  35. Сложное движение твердого тела
  36. Сложное движение точки
  37. Плоское движение тела
  38. Статика твердого тела
  39. Равновесие составной конструкции
  40. Равновесие с учетом сил трения
  41. Центр масс
  42. Колебания материальной точки
  43. Относительное движение материальной точки
  44. Статические инварианты
  45. Дифференциальные уравнения движения точки под действием центральной силы и их анализ
  46. Динамика системы материальных точек
  47. Общие теоремы динамики
  48. Теорема об изменении кинетической энергии
  49. Теорема о конечном перемещении плоской фигуры
  50. Потенциальное силовое поле
  51. Метод кинетостатики
  52. Вращения твердого тела вокруг неподвижной точки

Легче всего решать задачу, если все приложенные к телу силы параллельны – тогда можно получить ответ, используя лишь правило моментов. Если же силы непараллельные, то иногда для получения ответа требуется дополнительно применять второй закон Ньютона.

Параллельные силы

Алгоритм решения задач на правило моментов (параллельные силы)

  • Выполнить чертеж. Указать на нем все силы с точкой их приложения и направлением действия. В этом вам поможет таблица.
Сила Точка приложения Направление
Сила тяжести, действующая на груз Центр груза Вертикально вниз
Сила тяжести, действующая на однородный стержень Центр тяжести Вертикально вниз
Сила тяжести, действующая на неоднородный стержень Центр масс, положение которого указывают в условии задачи Вертикально вниз
Вес Точка опоры или подвеса Вес тела направлен противоположно вектору силы нормальной реакции опоры или вектору силы натяжения подвеса
Сила реакции опоры Точка соприкосновения стержня и опоры Перпендикулярно вверх
Сила натяжения нити Точка соединения с подвесом Вдоль оси подвеса
  • Выбрать положение оси вращения. Обычно ось выбирают в месте, где находится неизвестная сила или сила, искать которую не нужно.
  • Указать значение плеч. Если в задаче нужно указать некоторое расстояние (к примеру, от центра стержня или от места приложения некоторой силы), то это расстояние следует обозначать за x. Размер плеч сил нужно определять с учетом размеров стержня и расстояния x.
  • Записать правило моментов и решить задачу.

Типовы задачи на правило моментов при параллельных силах

Прямая неоднородная балка длиной l и массой m подвешена за концы на вертикально натянутых тросах. Балка занимает горизонтальное положение. Найдите силу натяжения первого троса T2, если центр тяжести балки находится на расстоянии a от левого конца балки.

Для решения задачи в качестве положения оси вращения удобно выбрать точку приложения силы натяжения первого троса (потому что ее искать не нужно). Тогда плечом силы тяжести будет расстояние a, а плечом силы натяжения второго троса — l. Поэтому правило моментов можно записать так:

T2l = mga

T2 = mga/l

Рельс длиной l и массой m поднимают равномерно в горизонтальном положении на двух вертикальных тросах, первый из которых укреплен на конце рельса, а второй — на расстоянии x от другого конца. Определите натяжение второго троса.

В этой задаче положение оси вращения также удобно выбрать в точке О, соответствующей точке приложения силы натяжения нити первого троса (так как ее искать не нужно). Тогда плечом силы натяжения второго троса будет служить разность длины рельса и расстояния x, а плечом силы тяжести — половина длины рельса. Поэтому правило моментов примет вид:

mgl/2 = T2(l – x)

T2 = mgl2(lx)

Пример №1. К левому концу невесомого стержня прикреплен груз массой 3 кг (см. рисунок). Стержень расположили на опоре, отстоящей от груза на 0,2 длины. Груз какой массы надо подвесить к правому концу, чтобы стержень находился в равновесии?

Условие равновесие будет выполняться, если произведение силы тяжести первого груза на ее плечо будет равно произведению силы тяжести второго груза на ее плечо:

Fтяж1d1 = Fтяж2d2

Согласно рисунку, второй груз будет подвешен на расстоянии 0,8 от опоры. Следовательно:

Fтяж2=Fтяж2d1d2=m1gd1d2

m2g=m1gd1d2

m2=m1d1d2=3·0,20,8=0,75 (кг)

Непараллельные силы

Алгоритм решения задач на правило моментов (непараллельные силы)

  • Выполнить чертеж и указать все силы. Правильно определить точку приложения и направление сил поможет таблица:
Сила Точка приложения Направление
Сила реакции опоры Точка соприкосновения с опорой Перпендикулярно плоскости опоры
Сила трения покоя Точка соприкосновения с опорой В сторону возможного движения
Сила тяжести Центр масс (у однородных тел центр масс совпадает с центром тела) Вертикально вниз
Архимедова сила Центр масс погруженной части тела Вертикально вверх
  • Определить плечи сил как кратчайшее расстояние между осью вращения и направлением действия силы.
  • Записать правило моментов и решить задачу.

Внимание! Иногда для решения задачи может потребоваться использование второго закона Ньютона в проекциях на оси Ox и Oy.

Типовы задачи на правило моментов при непараллельных силах

Рабочий удерживает за один конец доску массой m так, что она образует угол α с горизонтом, опираясь о землю другим концом. С какой силой рабочий удерживает доску, если эта сила перпендикулярна доске?

За точку равновесия примем точку касания доски с землей. Плечо силы тяжести будет равно нижнему катету треугольника, образованного при опускании перпендикуляра к земле из точки приложения этой силы:

d1 = l cosα/2

Плечо силы, с которой рабочий поднимает доску, равно длине доски:

d2 = l

Отсюда:

mglcosα2=Fl

F=2lmglcosα=2mgcosα

В гладкий высокий цилиндрический стакан с внутренним радиусом R помещают карандаш длиной l и массой m. С какой силой действует на стакан верхний конец карандаша?

За точку равновесия примем нижнюю точку карандаша. Сила давления верхнего конца карандаша на стакан по модулю будет равна силе нормальной реакции опоры в этой точке. Поэтому плечо ее силы будет равно произведению длины карандаша на синус угла между ним и дном стакана:

d1 = l sinα

Минимальным расстоянием между линией действия силы тяжести и точкой равновесия будет половина произведения длины карандаша на косинус угла между ним и дном стакана:

d2 = l сosα/2

Отсюда:

Nl sinα = mgl сosα/2

N=mglcosα2lsinα

Плечо силы тяжести также равно радиусу стакана, а плечо силы реакции опоры можно найти из теоремы Пифагора. Отсюда:

N=mgRl24R2

Колесо радиусом R и массой m стоит перед ступенькой высотой h. Какую наименьшую горизонтальную силу надо приложить, чтобы оно могло подняться на ступеньку? Сила трения равна нулю.

За точку равновесия примем точку касания колеса со ступенькой. Плечо силы тяжести является катетом треугольника, образованного с радиусом колеса и плечом прикладываемой силы. Плечо этой силы равно разности радиуса и высоты ступеньки.

d1=R2d22

d2 = R  h

Отсюда:

mgR2d22=F(Rh)

F=mgR2d22Rh=mgh(2Rh)Rh

Лестница массой m приставлена к гладкой вертикальной стене пол углом α. Найдите силу давления лестницы на стену. Центр тяжести лестницы находится в ее середине.

Плечо силы тяжести равно половине произведения длины лестницы на косинус угла α. Плечо силы реакции опоры равно произведению этой длины на синус α. Поэтому правило моментов записывается так:

Nlsinα=mglcosα2

Отсюда:

N=mglcosα2lsinα=mg2tanα

Лестница длиной l приставлена к идеально гладкой стене под углом α к горизонту. Коэффициент трения между лестницей и полом μ. На какое расстояние x вдоль лестницы может поднять человек, прежде чем лестница начнет скользить? Массой лестницы пренебречь.

Правило моментов:

mgxcosα=N2lsinα

Второй закон Ньютона в проекциях на оси Ox и Oy соответственно:

Fтр – N2 = 0

N1 – mg = 0

Сила трения:

Fтр = μmg = N2

Следовательно:

mgxcosα=μmglsinα

x=μmglsinαmgxcosα=μltanα

Однородная лестница приставлена к стене. При каком наименьшем угле α между лестницей и горизонтальным полом лестница сохранит равновесие, если коэффициент трения между лестницей и полом μ1, а между лестницей и стеной — μ2?

Правило моментов:

mgl2cosα=Fтр2lcosα+N2lsinα

Второй закон Ньютона в проекциях на ось Ox:

Fтр1 – N2 = 0

μ1N1 N2 = 0

На ось Oy:

Fтр2 + N1 – mg = 0

μ2N2 +N2μ1 = mg

N2(μ2+1μ1)=mg

N2=mgμ2+1μ1=mgμ1μ1μ2+1

Fтр2=mgN1=mgN2μ1=mgmgμ1μ2+1=mg(11μ1μ2+1)

mgl2cosα=mg(11μ1μ2+1)lcosα+mgμ1μ1μ2+1lcosα

Преобразуем выражение и получим:

tanα=1μ1μ21μ1

Какую минимальную горизонтальную силу нужно приложить к верхнему ребру куба массой m, находящегося на горизонтальной плоскости, чтобы перекинуть его через нижнее ребро?

Правило моментов примет вид:

mgl2cosα=Flsinα

У куба угол α равен 45 градусам, а синус и косинус этого угла равны. Длины диагонали взаимоуничтожаются. Остается:

F=mg2

Пример №2. Невесомый стержень длиной 1 м, находящийся в ящике с гладким дном и стенками, составляет угол α = 45о с вертикалью (см. рисунок). К стержню на расстоянии 25 см от его левого конца подвешен на нити шар массой 2 кг. Каков модуль силы N, действующий на стержень со стороны левой стенки ящика?

25 см = 0,25 м

Пусть точкой равновесия будет точка касания нижнего конца стержня с дном ящика. Тогда плечом силы тяжести будет:

d1 = (l – 0,25)sinα

Плечом силы реакции опоры будет:

d2 = l cosα

Запишем правило моментов:

mg(l0,25)sinα=Nlcosα

Отсюда:

N=mg(l0,25)sinαlcosα

Так как косинус и синус угла 45о равны, получим:

N=mg(l0,25)l=2·10(10,25)1=15 (Н)

Задание EF17982

Однородный стержень АВ массой 100 г покоится, упираясь в стык дна и стенки банки концом В и опираясь на край банки в точке С (см. рисунок). Модуль силы, с которой стержень давит на стенку сосуда в точке С, равен 0,5 Н. Чему равен модуль горизонтальной составляющей силы, с которой стержень давит на сосуд в точке В, если модуль вертикальной составляющей этой силы равен 0,6 Н? Трением пренебречь.

Ответ:

а) 0,3 Н

б) 0,25 Н

в) 0,6 Н

г) 0,13 Н


Алгоритм решения

  1. Записать исходные данные и перевести единицы измерения величин в СИ.
  2. Выполнить чертеж. Выбрать ось вращения. Указать силы и их плечи.
  3. Использовать второй и третий законы Ньютона, чтобы выполнить общее решение.
  4. Подставить известные данные и вычислить искомую величину.

Решение

Запишем исходные данные:

  • Масса стержня: m = 100 г.
  • Модуль силы, с которой стержень давит на стенку сосуда в точке С: FC = 0,5 Н.
  • Модуль вертикальной составляющей силы, с которой стержень давит на сосуду в точке В: FBy = 0,6 Н.

Переведем единицы измерения в СИ:

100 г = 0,1 кг

Выполним чертеж:

Поскольку стержень покоится, согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, действующих на него, должна быть равна нулю. На стержень действует три силы:

  • сила тяжести (mg);
  • сила реакции опоры в точке С (FC);
  • сила реакции опоры в точке В (FВ).

Поэтому:

mg+FC+FB=0

Запишем проекции на оси Ox и Oy соответственно:

FCx=FBx

FCy+FBy=mg

Модуль горизонтальной составляющей силы в точке В можно выразить через теорему Пифагора:

FCx=F2CF2Cy

Но вертикальная составляющая силы в точке C равна разности силы тяжести и горизонтальной составляющей силы в точке В:

FCy=mgFBy

Отсюда:

FBx=FCx=F2CF2Cy=F2C(mgFBy)2

Подставим известные данные и вычислим:

FBx=0,52(0,1·100,6)2=0,250,16=0,3 (Н)

Ответ: а

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF18697

Невесомый стержень, находящийся в ящике с гладкими дном и стенками, составляет угол 45° с вертикалью (см. рисунок). К середине стержня подвешен на нити шарик массой 1 кг. Каков модуль силы упругости N, действующей на стержень со стороны левой стенки ящика?


Алгоритм решения

1.Записать исходные данные.

2.Записать правило моментов.

3.Выполнить решение в общем виде.

4.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.

Решение

Запишем исходные данные:

 Угол между стержнем и стенкой ящика: α = 45o.

 Масса шарика: m = 1 кг.

Чтобы записать правило моментов, нужно определить плечи силы тяжести и силы упругости. В качестве точки равновесия выберем точку опоры нижнего конца стержня. Тогда плечо силы тяжести будет равно произведению половины длины стержня на косинус угла между дном ящика и стержнем. Он тоже будет равен 45 градусам, так как он равен разности 180 градусов и угла α = 45o. Отсюда:

dmg=l2cosα

Плечо силы упругости будет равно расстоянию от дна ящика до верхней точки стержня. Оно определяется как произведение длины стержня на синус угла α:

dN=lsinα

Запишем правило моментов:

mgl2cosα=Nlsinα

Отсюда:

N=mgl2lsinαcosα

Длина стержня в числителе и знаменателе сократится, косинус и синус угла тоже, так как при 45 градусах они одинаковые. Следовательно:

N=mg2=1·102=5 (Н)

Ответ: 5

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Алиса Никитина | Просмотров: 7.9k

Добавить комментарий