Как найти момент силы трения маховика

Спрятать решение

Источник: Са­вчен­ко О. Я. За­да­чи по фи­зи­ке, М.: «Наука», 1988 (№ 2.7.3)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

---

---

Лабораторная
работа № 127

Изучение динамики вращательного движения маховика

Цель
работы –
экспериментальное определение момента
инерции маховика.

1. Теоретические основы работы

Аналогом второго
закона Ньютона, справедливого для
описания поступательного движения тела
массой m

(1)

во вращательном
движении, является основное уравнение
динамики вращательного движения

(2)

где
исоответственно момент инерции и угловое
ускорение твердого тела относительно
неподвижной оси вращенияz,
– алгебраическая сумма моментов сил
относительно осиz.

Сравнительный
анализ уравнений (1) и (2) показывает, что
роль массы в поступательном движении
играет момент инерции тела во вращательном
движении. А поскольку масса является
мерой инертности тела в поступательном
движении, то момент инерции является
также мерой инертности тела во вращательном
движении. В этом заключается физический
смысл момента инерции.

Относительно
неподвижной оси z
момент инерции твердого тела определяется
по формуле

(3)

где
r
является кратчайшим расстоянием от
элемента тела массой dm
до оси z.

Из формулы (3)
следует, что момент инерции зависит от
массы тела и от ее распределения
относительно оси вращения. Чем больше
масса тела и чем дальше она находится
от оси вращения, тем больше момент
инерции твердого тела и наоборот.

Рассмотрим маховик
(рис.1), состоящий из диска, шкива и вала.
Предположим, что они обладают общей
массой М.
Диск и шкив насажены на общий вал,
закрепленный в подшипниках. Маховик
может вращаться относительно оси z,
совпадающей с осью вала (на рис.1 ось z
перпендикулярна плоскости чертежа и
направлена «от нас»).

Рис.1 Схема системы
маховик-груз (вал на схеме не показан)

Вращение маховика
осуществляется под действием груза
массой m₁,
укрепленного на нити, намотанной на
шкив, и описывается относительно
неподвижной оси z
уравнением

(4)

где
момент инерции маховика,–его угловое
ускорение,
–
сумма моментов сил, действующих на
маховик.включает момент силы натяжения нитиМ(Т₂)
и момент силы трения
М(F_тр)
в подшипниках вала. Моменты сил N
и Мg
относительно оси z
равны нулю. Таким образом

(5)

Поступательное
движение груза массой m₁
описывается вторым законом Ньютона

(6)

где а
является ускорением центра масс груза,
Т₁
– силой натяжения нити, приложенной к
грузу. В проекции на ось у
уравнение (6) принимает вид

(7)

Так как
предполагается, что нить нерастяжима
и невесома, то ускорение всех точек нити
и груза одинаковы, причем в отсутствии
проскальзывания нити линейное
(тангенциальное) ускорение обода диска
равно ускорению груза. Силы натяжения
нити Т₁
и Т₂
равны между собой (Т₁
= Т₂
= Т)
по третьему закону Ньютона.

Предположим, нить
полностью намотана на шкив и груз
находится в крайнем верхнем положении.
При отпускании маховика нить под
действием груза массой m₁
, будет разматываться. Груз в процессе
движения всей системы опустится в
крайнее нижние положение, пройдя путь
h₁.
Тогда с учетом, что

(8)

где 
– время движения груза, а

(9)

имеем

(10)

Из уравнения (5)
находим

(11)

Силу натяжения Т
выражаем из уравнения (7), а угловое
ускорение 
– из (10). Затем полученные формулы для
Т
и 
подставляем
в (11). В итоге получаем

(12)

Для расчета
нужно знать все величины, входящие в
формулу (12). Они определяются
экспериментально:– с помощью штангенциркуля,– с помощью линейки,
– с помощью
секундомера. Масса груза m₁
изначально задана. Момент силы трения
определяется опытным путем. Для этого
груз еще раз поднимают на первоначальную
высоту(одновременно наматывая нить на шкив
маховика), а затем предоставляют его
самому себе. Груз сначала опускается
наh₁
до нижней
точки – нулевого отсчета высоты (нить
при этом сматывается со шкива), а затем
(когда нить начинает наматываться на
шкив) поднимается на меньшую высоту
.
Спуск и подъем груза происходят в течение
некоторого времени₂
. Причиной подъема груза на меньшую
высоту является наличие силы трения в
подшипниках вала. Потеря механической
энергии системы
определяется работой силы трения

(13)

Так как начальная
и конечная кинетические энергии
иравны нулю, то изменение механической
энергии системы равно изменению только
потенциальной энергии груза

(14)

Работа силы трения
выражается через момент силы трения
и угловое перемещение маховика
:

(15)

Приравнивая правые
части уравнений (14) и (15), имеем

или

(16)

Угловое перемещение
маховика 
равно отношению длины дуги, которую
опишут за время поворота ₂
точки обода шкива, к его радиусу:



(17)

Подставляя 
в уравнение (16), имеем

(18)

Полученное
выражение подставляем для
в уравнение (12), получаем формулу для
определения экспериментального значения
момента инерции маховика

(19)

Экспериментально
определенное значение J_zэ
можно сравнить с теоретическим значением
того же момента инерции J_zт
для рис. 2, рассчитанного по формуле

.

Так как материал,
из которого изготовлен шкив, обладает
гораздо меньшей плотностью, чем плотность
стальных диска и вала, то моментом
инерции шкива J_z
шкива
можно пренебречь.

Поэтому

,

где

–момент инерции
тонкого диска,–
момент инерции кольца (здесьМ₁
и М₂
являются соответственно массами тонкого
диска и кольца, R₁
– внешний радиус тонкого диска и
одновременно внутренний радиус кольца,
R₂
– внешний радиус кольца).

Окончательно

(20)

Данные установки
представлены в разделе 2.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Когда решают любые задачи по физике, в которых имеются движущиеся объекты, то всегда говорят о силах трения. Их либо учитывают, либо ими пренебрегают, но факт их присутствия ни у кого не вызывает сомнения. В данной статье рассмотрим, что такое момент сил трения, а также приведем проблемы, для устранения которых воспользуемся полученными знаниями.

Сила трения и ее природа

Каждый понимает, что если одно тело движется по поверхности другого совершенно любым способом (скользит, катится), то всегда существует некоторая сила, которая препятствует этому перемещению. Она называется динамической силой трения. Причина ее возникновения связана с тем фактом, что любые тела имеют микроскопические шероховатости на своих поверхностях. Когда соприкасаются два объекта, то их шероховатости начинают взаимодействовать друг с другом. Это взаимодействие носит как механический характер (пик попадает во впадину), так и происходит на уровне атомов (дипольные притяжения, ван-дер-ваальсовые и другие).

Когда соприкасаемые тела находятся в покое, то, чтобы привести их в движение относительно друг друга, необходимо приложить усилие, которое больше такового для поддержания скольжения этих тел друг по другу с постоянной скоростью. Поэтому помимо динамической также рассматривают статическую силу трения.

Свойства силы трения и формулы для ее вычисления

В школьном курсе физики говорится, что впервые законы трения изложил французский физик Гийом Амонтон в XVII веке. На самом деле это явление стал изучать еще в конце XV века Леонардо да Винчи, рассматривая движущийся предмет по гладкой поверхности.

Свойства трения могут быть кратко изложены следующим образом:

• сила трения всегда действует против направления перемещения тела;
• ее величина прямо пропорциональна реакции опоры;
• она не зависит от площади контакта;
• она не зависит от скорости перемещения (для небольших скоростей).

Эти особенности рассматриваемого явления позволяют ввести следующую математическую формулу для силы трения:

F = μ*N, где N – реакция опоры, μ – коэффициент пропорциональности.

Значение коэффициента μ зависит исключительно от свойств поверхностей, которые трутся друг о друга. Таблица значений для некоторых поверхностей приведена ниже.

Для трения покоя формула используется та же самая, что приведена выше, однако значения коэффициентов μ для тех же поверхностей будут совершенно иные (они больше по величине, чем для скольжения).

Особый случай представляет трение качения, когда одно тело катится (не скользит) по поверхности другого. Для силы в этом случае применяют формулу:

F = f*N/R.

Здесь R – радиус колеса, f- коэффициент качения, который согласно формуле имеет размерность длины, что его отличает от безразмерного μ.

Момент силы

Перед тем как отвечать на вопрос, как определить момент сил трения, необходимо рассмотреть само физическое понятие. Под моментом силы M понимают физическую величину, которая определяется как произведение плеча на значение силы F, приложенной к нему. Ниже приведен рисунок.

Здесь мы видим, что приложение F к плечу d, которое равно длине гаечного ключа, создает крутящий момент, приводящий к откручиванию зеленой гайки.

Таким образом, для момента силы справедлива формула:

M = d*F.

Заметим, что природа силы F не имеет никакого значения: она может быть электрической, гравитационной или вызванной трением. То есть определение момента силы трения будет тем же самым, что приведено в начале пункта, и записанная формула для M остается справедливой.

Когда появляется момент сил, вызванный трением?

Эта ситуация возникает, когда выполняются три главных условия:

• Во-первых, должна иметь место вращающаяся система вокруг некоторой оси. Например, это может быть колесо, движущееся по асфальту, или крутящаяся на оси горизонтально расположенная музыкальная пластинка патефона.
• Во-вторых, должно существовать трение между вращающейся системой и некоторой средой. В примерах выше: на колесо действует трение качения при его взаимодействии с поверхностью асфальта; если положить музыкальную пластинку на стол и раскрутить ее, то она будет испытывать трение скольжения о поверхность стола.
• В-третьих, возникающая сила трения должна действовать не на ось вращения, а на крутящиеся элементы системы. Если сила имеет центральный характер, то есть действует на ось, то плечо равно нулю, поэтому она не будет создавать момента.

Как найти момент силы трения?

Чтобы решить эту задачу, необходимо сначала определить, на какие вращающиеся элементы действует сила трения. Затем следует найти расстояние от этих элементов до оси вращения и определить, чему равна сила трения, действующая на каждый элемент. После этого необходимо выполнить умножение расстояний r_i на соответствующие величины F_i и сложить полученные результаты. В итоге суммарный момент сил трения вращения вычисляется по формуле:

M = ∑_nr_i*F_i.

Здесь n – количество сил трения, возникающих в системе вращения.

Любопытно отметить, что хотя M – это величина векторная, поэтому при сложении моментов в скалярной форме следует учитывать ее направление. Трение всегда действует против направления вращения, поэтому каждый момент M_i=r_i*F_i будет иметь один и тот же знак.

Далее решим две задачи, где используем рассмотренные формулы.

Вращение диска болгарки

Известно, что когда диск болгарки радиусом 5 см режет металл, то он вращается с постоянной скоростью. Необходимо определить, какой момент сил создает электромотор прибора, если сила трения о металл диска равна 0,5 кН.

Поскольку диск вращается с постоянной скоростью, то сумма всех моментов сил, которые на него действуют, равна нулю. В данном случае мы имеем всего 2 момента: от электромотора и от силы трения. Поскольку они действуют в разных направлениях, то можно записать формулу:

M₁ – M₂ = 0 => M₁ = M₂.

Поскольку трение действует только в точке соприкосновения диска болгарки с металлом, то есть на расстоянии r от оси вращения, то ее момент силы равен:

M₂ = r*F=5*10^-2*500 = 25 Н*м.

Поскольку электромотор создает такой же по модулю момент, получаем ответ: 25 Н*м.

Качение деревянного диска

Имеется диск из дерева, его радиус r равен 0,5 метра. Этот диск начинают катить по деревянной поверхности. Необходимо рассчитать, какое расстояние способен он преодолеть, если начальная скорость вращения его ω составляла 5 рад/с.

Кинетическая энергия вращающегося тела равна:

E = I*ω²/2.

Здесь I – момент инерции. Сила трения качения будет приводить к замедлению движения диска. Работу, совершаемую ей, можно вычислить по следующей формуле:

A = M*θ.

Здесь θ – угол в радианах, на который сможет повернуться диск в процессе своего движения. Тело будет катиться до тех пор, пока вся его кинетическая энергия не расходуется на работу трения, то есть можно приравнять выписанные формулы:

I*ω²/2 = M*θ.

Момент инерции диска I равен m*r²/2. Чтобы вычислить момент M силы трения F, следует заметить, что она действует вдоль края диска в точке его соприкосновения с деревянной поверхностью, то есть M = r*F. В свою очередь F = f*mg/r (сила реакции опоры N равна весу диска mg). Подставляя все эти формулы в последнее равенство, получим:

m*r²*ω²/4 = r*f*mg/r*θ => θ=r²*ω²/(4*f*g).

Поскольку пройденное диском расстояние L связано с углом θ выражением L=r*θ, то получаем конечное равенство:

L=r³*ω²/(4*f*g).

Значение f можно посмотреть в таблице для коэффициентов трения качения. Для пары дерево-дерево он равен 1,5*10^-3 м. Подставляем все величины, получаем:

L=0,5³*5²/(4*1,5*10^-3*9,81) ≈ 53,1 м.

Для подтверждения правильности полученной конечной формулы можно проверить, что получаются единицы измерения длины.