Как найти моменты инерции швеллера

Зачем нужен момент инерции сечения

Несмотря на то, что наука о прочности давно уже шагнула вперёд, и давно уже развиваются многие её направления (строительная механика, механика разрушения, теория упругости и другие), а также несмотря на то, что всё чаще расчеты сложных конструкций выполняются при помощи метода конечного элемента посредством специализированных программных комплексов, прикидочные расчеты на основе методов сопромата не утратили своей актуальности. Ведь именно они, во-первых, позволяют дать оценку прочности конструкции «в полевых условиях» (без трудоёмкого построения конечно-элементной модели, без сложных математических выкладок), а во-вторых — позволяют это сделать достаточно быстро.

В основном, расчеты в сопротивлении материалов имеют целью проверить общую (а не местную) прочность балок. Поэтому расчетная схема принимается упрощенной, и многими конструктивными элементами, даже являющимися концентраторами напряжений, в ней пренебрегают. Тем не менее, несмотря на ряд упрощений в схеме и принятые допущения (гипотезы, принятые для построения теории сопротивления материалов), в этой науке разработаны методы, позволяющие с довольно большой точностью определить опасные сечения и напряжения, возникающие в них.

Вообще, поперечное сечение балки может представлять собой тавр, швеллер, двутавр, круг, прямоугольник, кольцо, полый прямоугольник и т.п. или может быть составным, т.е. составленным из нескольких однотипных или различных профилей. От его формы и размеров зависит прочность и жесткость балки. Площадь поперечного сечения является важной характеристикой, но знать только лишь её достаточно разве что для задач на центральное растяжение. Если же балка испытывает изгиб или кручение, то знать только лишь площадь поперечного сечения оказывается недостаточно. Балка может «проходить» (т.е. обладать достаточной прочностью и жесткостью) с одним типом сечения и «не проходить» с другим типом сечения такой же площади. В процессе решения задач по сопромату, касающихся определения напряжений в балке при её изгибе или кручении, проверке устойчивости сжатых стержней, а также при решении некоторых других задач требуется знать не только площадь, но и другие геометрические характеристики сечения (момент инерции площади сечения, момент сопротивления площади сечения, полярный момент инерции площади сечения). Во-первых, они требуются для решения конкретной задачи об определении напряжений в данной балке с заданными размерами поперечного сечения. Во-вторых, они нужны для выполнения сравнительного анализа разных типов сечений (например, выбора среди нескольких различных сечений с одинаковой площадью именно того сечения, которое будет лучше сопротивляться изгибу или кручению), для подбора оптимального сечения для балки, работающей в конкретно заданных условиях. Поскольку нахождение геометрических характеристик сечения требует определенных знаний и практических навыков, в любом учебнике или справочнике по сопромату выделен раздел, посвященный определению этих характеристик, а в любом задачнике по сопромату приведены задачи по нахождению момента инерции или момента сопротивления сечения.

Что такое момент инерции сечения

Обычно, когда речь идёт о геометрических характеристиках сечения, слово «площадь» опускают, чтобы не было нагромождения слов, и говорят не «момент инерции площади сечения», «момент сопротивления площади сечения», а просто «момент инерции сечения», «момент сопротивления сечения» или даже просто «момент инерции», «момент сопротивления». При этом различают осевой, полярный и центробежный момент инерции площади сечения.

Осевой момент инерции площади фигуры (сечения) — это интеграл произведений элементарных площадок данного сечения на квадраты их расстояний от рассматриваемой оси. Другое, менее распространенное его название – экваториальный момент инерции. Величина осевого момента инерции всегда положительна.

Полярный момент инерции площади фигуры (сечения) относительно данной точки (полюса) — это интеграл произведений элементарных площадок на квадраты их расстояний от полюса. Величина полярного момента инерции всегда положительна.

Центробежный момент инерции площади фигуры — это интеграл произведений элементарных площадок на их расстояния от координатных осей. В зависимости от положения осей центробежный момент инерции может быть положительным или отрицательным, а также равным нулю. При повороте осей вокруг начала координат на 90 градусов знак центробежного момента инерции меняется на обратный.

Задавая вопросы «в чем измеряется момент инерции», «какова единица измерения момента инерции», «как обозначается момент инерции» необходимо четко представлять, что именно имеется в виду: момент инерции сечения (о котором идёт речь в сопромате и, в частности, в настоящей статье) или же момент инерции тела (который упоминается в физике и в теории механизмов и машин). Размерность момента инерции сечения – это размерность длины в четвертой степени (например, см⁴, м⁴, мм⁴). Моменты инерции сечений стандартных профилей (швеллеров, уголков, тавров, двутавров) приведены в справочных таблицах в размерности «см⁴». При необходимости, данную в таблице величину можно представить в другой единице измерения. Обычно при решении задач возникает необходимость перевода этой величины в «мм⁴». Обозначается момент инерции сечения буквой I с нижним индексом, который указывает, относительно какой оси вычислена данная характеристика (например, I_x, I_y). Момент сопротивления сечения обозначается буквой W, также с нижним индексом, указывающим на ось, относительно которой дана эта величина (например, W_x, W_y). 

Что такое главные оси

Главные оси инерции – оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю.

Главные центральные оси — главные оси, проходящие через центр тяжести сечения.

Как найти момент инерции сечения

При вычислении момента инерции сечения можно воспользоваться непосредственно определением момента инерции и вычислить эту характеристику сечения путём нахождения интеграла по площади. Так и поступают при нахождении момента инерции треугольника, круга, прямоугольника, кругового сектора и других простых фигур.

Обозначив характерные размеры сечения через параметры (т.е. буквами) и выполнив соответствующее интегрирование по площади, получают формулы для определения моментов инерции этих сечений. Ход решения показан, например, в учебнике по сопромату Г.С. Писаренко на примере вывода формул для определения момента инерции прямоугольника, треугольника, кругового сектора и эллипса. Такие формулы приведены во многих справочниках по сопромату (например, в книге Писаренко Г.С., Яковлев А.П. Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. – К: Наукова думка, 1975, на страницах 24 — 77) для многих типов сечений (квадрат, полый квадрат, прямоугольник, полый прямоугольник, прямоугольник с круглым отверстием, прямоугольник с двумя отверстиями, прямоугольник с полукруглыми вырезами, повернутый прямоугольник, крестовина, корытное сечение, треугольник, трапеция, круг, кольцо, круговое незамкнутое тонкостенное кольцо, полукруг, четверть круга, круговой сектор, круговой сегмент, полукольцо, сектор кольца, круг с лыской, правильный шестиугольник, правильный многоугольник, круговое сечение с одной или с двумя шпоночными канавками, эллипс, полуэллипс, четверть эллипса, полый эллипс, параболический сегмент, параболический полусегмент, круговой треугольник, сечение железнодорожного рельса). Готовыми формулами из справочника пользоваться намного проще, чем выводить каждый раз нужную формулу самостоятельно путём интегрирования.

В этом же справочнике приведены и формулы для приближенного вычисления геометрических характеристик (F, I, W) сечений стандартных прокатных профилей: уголков (равнобокого и неравнобокого), швеллера, тавра, двутавра, однако на практике этими формулами пользуются весьма редко, т.к. все необходимые характеристики стандартных сечений уже вычислены и приведены в соответствующих нормативных документах (см. ГОСТ 8240-97 для швеллеров, ГОСТ 8509-93 для равнополочных уголков, ГОСТ 8510-86 для неравнополочных уголков, ГОСТ 26020-83 и ГОСТ 8239-89 для двутавров). Выдержки из перечисленных выше стандартов приведены во многих справочниках, учебниках и решебниках по сопромату.

Скачать примеры решения задач, касающиеся того, как найти момент инерции и момент сопротивления, можно здесь (бесплатно, без регистрации):

При вычислении моментов инерции сложных сечений их разбивают на отдельные простые части, моменты инерции которых известны.

Момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями.

Центробежный момент инерции относительно любой системы прямоугольных осей равен центробежному моменту инерции относительно системы центральных осей, параллельных данным, плюс произведение площади фигуры на координаты ее центра тяжести в новых осях.

При повороте прямоугольных осей сумма осевых моментов инерции не изменяется и равна полярному моменту инерции относительно начала координат.

Момент инерции фигуры относительно какой-либо оси можно представить в виде произведения площади фигуры на квадрат некоторой величины, называемой радиусом инерции.

Осевым моментом сопротивления называется отношение момента инерции относительно данной оси к расстоянию до наиболее удаленной точки поперечного сечения.

Размерность моментов сопротивления – единица длины в кубе (например, см³, м³, мм³).

Практическое значение имеют моменты сопротивления относительно главных центральных осей, которые обычно называются просто моментами сопротивления. Полярным моментом сопротивления называется отношение полярного момента инерции к расстоянию от полюса до наиболее удаленной точки сечения.

Источники:

• Н.М. Беляев. Сопротивление материалов.
•  Г.С. Писаренко, А.П. Яковлев, В.В. Матвеев. Справочник по сопротивлению материалов.
• А.В. Александров, В.Д. Потапов, Б.П. Державин. Сопротивление материалов.
• reshusam.ucoz.ru — Примеры определения моментов инерции сечений.

Дополнительно на Геноне:

• Что такое сопромат

3

Для проведения расчета надо иметь
таблицы сортамента. Сортамент для
двутавров, швеллеров и равнополочных
уголков приведен в конце этого текста.
Или в конце почти любого учебника
сопромата. Например, Г.С.Писаренко и др.
“Справочник по сопротивлению
материалов”, 1988г.

Приведенный сортамент уголков не полный,
а только для наиболее часто встречающихся
размеров.

Из таблиц сортамента берутся параметры
заданных профилей: площадь, моменты
инерции и положение центра тяжести
сечения для швеллера и уголка.

Последовательность действий при
определении геометрических характеристик
сечения:

1. Определяется площадь сечения;

2. Выбираются вспомогательные координаты
   x^I,y^I,
   таким образом, чтобы всё сечение
   оказалось в первой четверти координатной
   оси, тогда все вводимые координаты
   центров тяжести составных профилей
   будут положительны. Такой выбор координат
   ОБЯЗАТЕЛЕН при использовании данной
   программы.

Да, и вообще, так удобней, если в Вашем
институте, требуется иной выбор,
сочувствую.

(Обозначение осей в программе: х –
горизонтальная, y –
вертикальная. У Вас могут использоваться
и другие обозначения осей.)

1. Определяются координаты центра тяжести
   сечения по формулам:
   
   ,

   
   ,
   где F=F_i
   – площадь всего сечения (кстати, в
   сопромате площадь часто обозначают
   А),
   
   =
   F_iy_i
   – статический момент сечения относительно
   вспомогательной оси y^I
   = сумме произведений площади фигуры на
   соответствующую координату центра
   тяжести, аналогично,
   

   = F_ix_i.

2. Из найденного центра тяжести сечения
   проводятся ещё одни вспомогательные
   оси, параллельные первым и называемые
   центральными – x₀y₀.

3. Определяются осевые моменты инерции
   сечения относительно центральных осей
   по формулам:

,
где J_xi
– момент инерции i-ого
сортамента относительно оси, проходящей
через центр тяжести этого сортамента,

a_i =
y_ci –
y_c,
y_ci –
координата центра тяжести i-ого
сортамента в осях x^I,y^I;

,
где J_xi
– момент инерции i-ого
сортамента относительно оси, проходящей
через центр тяжести этого сортамента,
b_i =
x_ci –
x_c.

Моменты инерции J_xi
и J_yi
берутся из таблиц сортамента

Для планки моменты инерции определяются
формулами:

,

– если планка вертикальная, или

,

– если планка горизонтальная.

При использовании программы моменты
инерции планки рассчитывать не требуется.
Они определяются по заданным размерам.

1. Определяется центробежный момент инерции сечения:

.

При этом, надо учитывать, что центробежный
момент инерции фигуры относительно оси
симметрии равен нулю, поэтому для
двутавра, швеллера и полосы J_xiyi=
0.

Для уголка центробежный момент инерции
задан в таблице сортамента или может
быть рассчитан по формуле:

,
где J_u
и J_v
– максимальный и минимальный моменты
инерции уголка, приведены в таблице
сортамента.

Центробежный момент инерции уголка
имеет знак !!!, зависящий от расположения
уголка: (+) для 
,  ;
(–) для 
, .

При использовании программы знак
указывать НЕ НАДО, достаточно указания
положения уголка в ходе описания сечения.

1. Определяется положение главных
   центральных осей инерции, т.е. осей,
   которые проходят через центр тяжести
   сечения и относительно которых моменты
   инерции имеют экстремальные значения
   (максимальное и минимальное). Эти оси
   часто обозначают uv, одна
   из них ось максимума, другая ось минимума.

Для определения положения осей uv
находим угол , на
который надо повернуть центральные оси
x₀y₀,
чтобы они стали главными:

Тангенс удвоенного угла 
находим по формуле:

или

,
что, естественно, одно и тоже. Зная
тангенс, находим угол 2,
и затем .

Если >0, то оси
поворачиваются против часовой стрелки,
если <0, то по
часовой стрелке.

1. Определяются максимальный и минимальный
   моменты инерции сечения (главные моменты
   инерции) относительно главных центральных
   осей:
   
   .

Для выяснения, какой из главных осей
соответствует максимальный, а какой
минимальный моменты инерции используется
правило: ось максимума всегда составляет
меньший угол с той из осей (x₀
или y₀), относительно
которой осевой момент инерции имеет
большее значение.

Таблица сортамента

Двутавры стальные горячекатаные (по гост 8239—89)

h
— высота
двутавра; J
— момент
инерции;

b
— ширина полки; W
— момент сопротивления;

d
— толщина стенки; S_x
— статический момент полусечения;

t
— средняя толщина полки; i
— радиус инерции.

А — площадь
поперечного сечения;

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #

  11.03.201554.27 Кб19ТЕСТ.doc

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #