Как найти моменты инерции сопромат

В прошлый раз мы поговорили о такой величине, как статические моменты. Теперь можем двигаться дальше: сегодня на повестке моменты инерции. 

Внимательный читатель уже может возмутиться:
 “И зачем мы изучаем эти моменты? Какой в этом прок?
Причём же тут инерция, если сопромат — по сути статика?»

На первый вопрос у меня есть два ответа — краткий и не очень. Пока ограничусь кратким:

Статические моменты и моменты инерции  широко используются для определения нормальных и касательных напряжений, определении прогибов и деформаций конструкций. Читая о том, как все это вычислить,  вы будете сталкиваться с геометрическими характеристиками постоянно. Поэтому лучше сразу понимать, о чем идёт речь, а, при необходимости, подсматривать тут.

В изгибаемом элементе от момента сил возникают напряжения, для определения которых нам и нужен момент инерции (хотя и опосредованно. Впрочем, если вы читали статью про моменты, то это уже знаете). При этом сам элемент деформируется, и величина этих деформаций (прогибов) также определяется с помощью момента инерции. 

Для ответа на второй вопрос перейдем уже к моментам инерции.

Что такое момент инерции

Суть и смысл моментов инерции в общем случае походит на статические моменты, однако корни нужно искать в описании вращения тела. Для вращательного движения одного только значения массы тела недостаточно, требуется еще знать распределение этой массы в теле. Рассмотрим вращающееся тело, как совокупность точек с предельно малыми размером и массой, которые находятся на расстояниях Ri (от нуля до R):

Тут видно, что также, как в формуле кинетической энергии при линейном движении мера инертности — масса, при вращательном движении мера инертности — момент инерции. Впрочем, я немного забегаю вперёд.

Угловая скорость вращающегося тела — угол поворота, пройденный за единицу времени

Тут начальный угол поворота φ₀ может быть равен нулю, если мы рассматриваем начало движения. 

Линейная скорость тела:

Ускорение вращающегося тела (а нас интересует нормальное) тогда:

Я не буду затрагивать динамику вращающегося тела, и расскажу только о жизненно необходимом.

Сила (которая по второму закону Ньютона — произведение массы на ускорение):

и момент:

И вот тут вспомним уже третий закон Ньютона — действию всегда есть равное и противоположное противодействие, а значит действию найденного нами момента будет сопротивляться — момент инерции.

Вспомним также, что, как и со статическими моментами, на разные точки тела, удаленные от оси вращения на разные расстояния будет действовать разный момент, а общий момент можно получить их просуммировав:

При этом значения вращающего момента и момента инерции будут равны, а сами моменты направлены в противоположные стороны. При постоянной угловой скорости вращения, например w = 1, основными величинами, характеризующими вращающий момент или момент инерции будут масса материальных точек, составляющих тело, и расстояния от этих точек до оси вращения. Но, как я уже показал, рассказывая про статические моменты, массу точек для изотропных (в данном случае имеющих одинаковую плотность) объектов можно выносить за скобки и рассматривать исключительно геометрию. Формула момента инерции примет следующий вид:

Почему I_р? Потому что мы с вами оперировали радиусом и углом поворота (в формуле угловой скорости) — т.е. использовали полярную систему отсчета (что и демонстрирует индекс p).

Таким образом момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении, подобно тому как масса является мерой инертности тела при поступательном прямолинейном движении.

Как найти момент инерции

Чтобы немного упростить себе операции со всеми этими величинами перейдем к родной и понятной  системе отсчета: перпендикулярным осям X и Y. Возьмем случайное сечение стержня и рассмотрим интегралы, как мы уже делали со статическими моментами:

Первые два интеграла называются осевыми моментами инерции относительно осей x и y, а третий — центробежным моментом инерции сечения относительно осей x, y. Теперь рассмотрим случай параллельного переноса осей , не вдаваясь глубоко в вычисление интегралов.

Для осей  x₁=x+a, y₁=y+b моменты инерции будут равны: 

Если вы, как и часть прочитавших эту статью перед публикацией, не имеете черного пояса и седьмого дана в интегральных преобразованиях, то:

т.к. 

и 

Тут первый интеграл — Ix1, второй интеграл — Sx1, а третий раскрывается в площадь при нулевом свободном члене.

Надеюсь, понятно, что при параллельном переносе по y изменяется только ось (буква). 

В последнем случае мы рассматриваем перенос по обеим осям сразу.

Где:
Ix — очевидно, момент инерции относительно оси x
Sx — статический момент сечения относительно оси y
F — площадь сечения

А теперь предположим, что некие оси x₁ и y₁  являются центральными, тогда и выражения упрощаются и принимают вид:

Немного проясню обозначение осей:

Центральными называются оси, проходящие через центр тяжести фигуры, т. е. статические моменты относительно этих осей равны нулю.

Главными называются оси, в которых центробежный момент инерции (I_xy) равен нулю. Если фигура имеет хотя бы одну ось симметрии, то эта ось является главной осью.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты инерции принимают экстремальные значения называются главными осями. Если эти оси являются также и центральными, то они называются главными центральными осями. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции.

 И теперь можно уже коснуться практики: речь о моментах инерции простых сечений.

Момент инерции прямоугольника

Определим осевые моменты инерции прямоугольника со сторонами b и h относительно осей x и y, проходящих через его центр тяжести. В качестве элементарной площадки dA возьмем полоску шириной b и высотой . Тогда будем иметь:

Не прибегая к вычислениям, замечу, что для момента инерции относительно оси Y изменится только положение сторон b и h. Следовательно:

Момент инерции квадрата

Прямоугольник со сторонами b=h=a. Следовательно:

Момент инерции круга

Тут воспользуемся полярным моментом инерции относительно центра круга. Определим его, как сумму колец с толщиной dp:

Момент инерции кольца

А здесь – явная аналогия с моментом инерции круга:

Как мы видим, момент инерции кольца это разность моментов инерции большего и меньшего кругов.

Пример нахождения момента инерции тавра

Найдём осевые моменты инерции тавра (рисунок 5), приведенного на рисунке, относительно центральных осей x_c и y_c.

Рисунок 8. Тавр, положение осей

Так как оси x₁ и x₂ являются центральными осями для простых фигур в виде прямоугольников, для определения момента инерции фигуры относительно оси x_c воспользуемся формулой.

Момент инерции относительно оси y_c получим путем сложения моментов инерции простых фигур относительно этой же оси, так как ось y_c является общей центральной осью для простых фигур и для всей фигуры.

Центробежный момент инерции относительно осей x_c и y_c равен нулю, так как ось инерции y_c является главной осью (осью симметрии фигуры).

Обобщение и подведение итогов

Момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении, подобно тому как масса является мерой инертности тела при поступательном прямолинейном движении. В статике момент инерции применяется в определении прогибов, расчетах конструкций на касательные и нормальные напряжения. Момент инерции также, как и статические моменты, характеризует положение осей относительно сечения элемента. Так у нас появляются:

Центральные оси, проходящие через центр тяжести фигуры, т. е. статические моменты относительно этих осей равны нулю.

Главные оси, в которых центробежный момент инерции (I_xy) равен нулю, а осевые моменты инерции — максимальны. Если фигура имеет хотя бы одну ось симметрии, то эта ось является главной осью.

При этом главные и центральные оси могут совпадать!

Список использованных источников

1. Александров А.В. Сопротивление материалов: Учеб. для ВУЗов/ А.В. Александров, В.Д. Потапов, Б.П. Державин; под ред. А.В. Александрова – 3-е изд. испр. – М.: Высш. шк., 2003. – 560 с.: ил. ISBN 5-06-003732-0
2. Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов – Учеб. для техн. вузов – 5-е изд. перераб. и дополн. – М.: Высш. шк., 1989 – 624 с. ил.
3. Г.И. Беликов. Геометрические характеристики поперечных сечений стержней. Учебно-практическое пособие. — Волгоград: ВолгГАСУ, 2015. — 56 с. — ISBN 978-5-98276-752-3

Автор: Марк Ершов
Редактор, факт-чекер: К.А.Овчинников

5 364

В этом уроке посмотрим, как определяются осевые моменты инерции для сложного сечения (состоящего из простых фигур).

Условие задачи

В качестве примера возьмём симметричное сечение, имеющее две оси симметрии:

Определение положения центра тяжести

Первым делом, необходимо определить положение центра тяжести сечения. Как это делается, можешь посмотреть в отдельном уроке, перейдя по указанной ссылке. Здесь же, я приведу только расчёт.

Подготовим сечение к расчёту:

• разобьём сечение на простейшие фигуры;
• обозначим центры тяжести отдельных фигур;
• введём вспомогательные координатные оси (y₀, x₀).

Площадь сечения

Используя эту страничку, найдём площади отдельных фигур:

Расстояния от центров тяжести отдельных фигур до вспомогательных осей

Статические моменты

Координаты центра тяжести

Покажем центр тяжести всего сечения:

Как видишь, центр тяжести находится ровно посередине сечения. Это свойство симметричного сечения. У такого сечения, которое имеет две оси симметрии, центр тяжести находится на пересечении этих осей. Поэтому для симметричного сечения можно и НЕ рассчитывать положение центра тяжести.

Расчёт осевых моментов инерции

Для выполнения дальнейшего расчёта следует обозначить центральные оси для всего сечения (x, y), а также собственные оси для каждой отдельной фигуры, которые формируют сечение:

Как определить моменты инерции относительно центральных осей?

Осевые моменты инерции (I_x, I_y) относительно центральных осей (x, y) можно определить по следующим формулам:

где I_xi, I_yi – моменты инерции отдельных фигур относительно собственных осей;

A_i – площади отдельных фигур;

y_ci, x_ci – расстояния от центров тяжести отдельных фигур до соответствующей центральной оси.

Определение моментов инерции для каждой фигуры

Определим осевые моменты инерции каждой отдельной фигуры, пользуясь справочной информацией:

Определение расстояний от центров тяжести каждой фигуры до центральных осей

Определение моментов инерции относительно центральных осей

Другие уроки, на проекте – ssopromat.ru, по расчёту геометрических характеристик можно найти здесь.

Моментами
инерции сечений называются интегралы
следующего вида:

– осевой
момент инерции сечения относительно
оси у;

– осевой
момент инерции сечения относительно
оси z;

– центробежный
момент инерции сечения;

– полярный
момент инерции сечения.

3.2.1. Свойства моментов инерции сечения

Размерность моментов инерции – [длина⁴],
обычно [м⁴] или [см⁴].

Осевые и полярный моменты инерции всегда
положительные. Центробежный момент
инерции может быть положительным,
отрицательным или равным нулю.

Оси,
относительно которых центробежный
момент инерции равен нулю, называются
главными
осями инерции сечения.

Оси
симметрии всегда главные. Если из двух
взаимно перпендикулярных осей хотя бы
одна является осью симметрии, то обе
оси главные.

Момент инерции составного сечения равен
сумме моментов инерции элементов этого
сечения.

Полярный момент инерции равен сумме
осевых моментов инерции.

Докажем
последнее свойство. В сечении с площадью
А
для элементарной
площадки dA
радиус-вектор
ρ и координаты у
и z
(рис. 6) связаны
по теореме Пифагора: ρ²
= у²
+ z².
Тогда

.

Рис.
6. Связь полярных и декартовых координат

элементарной
площадки

3.2.2. Моменты инерции простейших фигур

В
прямоугольном
сечении
(рис. 7) выберем элементарную площадку
dA
с координатами
y
и z
и площадью dA
= dydz.

Рис.
7. Прямоугольное сечение

Осевой
момент инерции относительно оси у

.

Аналогично
получаем момент инерции относительно
оси z:

.

Поскольку
у
и z
– оси симметрии,
то центробежный момент D_zy
= 0.

Для
круга диаметром
d
вычисления
упрощаются, если учесть круговую
симметрию и использовать полярные
координаты. Возьмем в качестве элементарной
площадки бесконечно тонкое кольцо с
радиусом ρ и толщиной dρ
(рис. 8). Его
площадь dA
= 2πρdρ.
Тогда полярный момент инерции:

.

Рис.
8. Круглое сечение

Как
показано выше, осевые моменты инерции
относительно любой центральной оси
одинаковы и равны

.

Момент
инерции кольца
находим как разность моментов инерции
двух кругов – наружного (с диаметром
D)
и внутреннего (с диаметром d):

,

,

где
.

Момент инерции
I_zтреугольникаопределим относительно
оси, проходящей через центр тяжести
(рис. 9). Очевидно, ширина элементарной
полоски, находящейся на расстоянииуот осиz, равна

Следовательно,

Рис.
9. Треугольное сечение

3.3. Зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей

При
известных величинах моментов инерции
относительно осей z
и у
определим моменты инерции относительно
других осей z₁
и y₁,
параллельных заданным. Пользуясь общей
формулой для осевых моментов инерции,
находим

Если
оси z
и y
центральные, то
,
и

Из
полученных формул видно, что моменты
инерции относительно центральных осей
(когда
)
имеют наименьшие значения по сравнению
с моментами инерции относительно любых
других параллельных осей.

3.4. Главные оси и главные моменты инерции

При
повороте осей на угол α
центробежный момент инерции становится
равным

.

Определим
положение главных главных осей инерции
u,
v
относительно которых

,

где
α₀
– угол, на который надо развернуть оси
y
и z,
чтобы они стали главными.

Поскольку
формула дает два значения углаи,
то существуют две взаимно перпендикулярные
главные оси. Ось максимума всегда
составляет меньший угол ()
с той из осей (z
или y),
относительно которой осевой момент
инерции имеет большее значение. Напомним,
что положительные углы откладываются
от оси z
против хода
часовой стрелки.

Моменты
инерции относительно главных осей
называются главными
моментами инерции. Можно
показать, что они

.

Знак
плюс перед вторым слагаемым относится
к максимальному моменту инерции, знак
минус – к минимальному.

Рассмотрим формулы для определения геометрических характеристик плоских сечений: статического момента площади фигуры, осевых моментов инерции и радиуса инерции сечения.

При расчете элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость приходится кроме общеизвестной характеристики – площади поперечного сечения A, оперировать такими геометрическими характеристиками сечений, как статический момент площади, момент инерции, момент сопротивления, радиус инерции.

Статический момент площади

Интегралы вида:

называются статическими моментами площади сечения A относительно осей X и Y соответственно.

В тех случаях, когда сечение может быть разделено на простейшие фигуры площади A_i и координаты центров тяжести x_i и y_i которых известны, статические моменты площади сложной фигуры определяются через суммирование

Статические моменты площади имеют размерность [м³] и могут принимать любые числовые значения. Для осей X_C, Y_C, проходящих через центр тяжести сечения C (центральные оси), статические моменты равны нулю:

Координаты центров тяжести сечения определяются относительно так называемых вспомогательных осей по формулам:

Если сечение имеет ось симметрии, то центр тяжести находится на этой оси и его положение определяется одной координатой.

При наличии двух и более осей симметрии центр тяжести совпадает с точкой пересечения этих осей.

Моменты инерции

Моментами инерции площади сечения называют интегралы вида:

где:
I_x, I_y — осевые моменты инерции площади сечения относительно осей OX, OY соответственно;
I_xy — центробежный момент инерции;
I_ρ — полярный момент инерции.

Размерность момента инерции [м⁴], I_x, I_y, I _ρ всегда положительны, I_xy может принимать любые значения, при этом, если хотя бы одна из осей является осью симметрии, I_xy=0.

Зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей выражаются формулами:

где a, b – расстояния между осями X, X_C и Y, Y_C.

Оси, относительно которых I_xy=0, называют главными, а осевые моменты инерции относительно них – главными моментами инерции.

Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называют главными центральными осями, а соответствующие им моменты инерции – главными центральными моментами инерции.

Главные оси характерны тем, что их моменты инерции принимают экстремальные значения (I_max, I_min).

Момент инерции сложного сечения относительно какой-либо оси находится суммированием моментов инерции составляющих его частей относительно той же оси:

Радиусы инерции

Величины

называют радиусами инерции сечения относительно осей OX и OY соответственно.

Эллипс, построенный в главных осях, с полуосями, равными главным радиусам инерции

называют эллипсом инерции.

Лекции по сопромату >
Примеры решения задач >

Сохранить или поделиться с друзьями

Вы находитесь тут:

На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь

Подробнее

6.2. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ СЕЧЕНИЯ

Момент инерции – распространенная на всю площадь сумма произведений элементарных площадок dA на квадраты расстояний от них до этой оси. Осевые моменты инерции где ρ – расстояние от площадки dA до точки (полюса), относительно которого вычисляется полярный момент инерции. Полярный момент инерции связан с осевыми моментами инерции то есть для любой пары взаимно перпендикулярных осей, проходящих через полюс Центробежный момент инерции определяется интегралом произведений элементарных площадей на их расстояния до двух взаимно перпендикулярных осей Размерность моментов инерции – единицы длины в четвертой степени. Осевые и полярный момент инерции всегда положительны, центробежный момент инерции может принимать значения «+», «–» и ноль. Если фигура имеет ось симметрии, то относительно этой оси центробежный момент инерции равен нулю. Пример 6.2. Найти моменты инерции прямоугольника относительно центральных осей, параллельных основанию и высоте. Решение. dA – элементарная площадь; Аналогичное решение относительно оси у. Таким образом Пример 6.3. Найти моменты инерции круглого и кольцевого сечений. Решение. Площадь элементарного кольца радиусом ρ и толщиной dρ: A=⋅ d2 ρπdρ. Полярный момент инерции круга: Поскольку имеется связь I p = Iz + I y , а для круга Таким образом, полярный и осевые моменты инерции круга Обозначая с = – коэффициентом пустотелости, получим полярный и осевые моменты инерции кольца