Как найти моменты в сопромате – Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Момент силы M(F)

Моментом силы называют вращательное усилие создаваемое вектором силы относительно твердого тела, оси или точки.
Момент силы
Обозначение: M, m или M(F).

Размерность — [Н∙м] (Ньютон на метр) либо кратные значения [кН∙м]

Аналогом момента силы является момент пары сил.

Обязательным условием возникновения момента является то, что точка, относительно которой создается момент не должна лежать на линии действия силы.

Определение

Момент определяется как произведение силы F на плечо h:

M(F)=F×h

Момент как произведение силы на плечо

Плечо силы h, определяется как кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы.

Наш короткий видеоурок про момент силы с примерами:

Другие видео

Например, сила величиной 7 кН приложенная на расстоянии 35см от рассматриваемой точки вращения создает момент M=7×0,35=2,45 кНм.

Пример момента силы

Наиболее наглядным примером момента силы может служить поворачивание гайки гаечным ключом.

Гайки заворачиваются вращением, для этого к ним прикладывается момент, но сам момент возникает при воздействии нашей силы на гаечный ключ.

Вы конечно интуитивно понимаете — для того чтобы посильнее закрутить гайку надо взяться за ключ как можно дальше от нее.

Пример момента силы - заворачивание гайки гаечным ключом

В этом случае, прикладывая ту же силу, мы получаем большую величину момента за счет увеличения её плеча (h2>h1).

Плечом при этом служит расстояние от центра гайки до точки приложения силы.

Плечо момента силы

Рассмотрим порядок определения плеча h момента:

Пусть заданы точка A и некоторая произвольная сила F, линия действия которой не проходит через эту точку. Требуется определить момент силы.

Сила и точка

Покажем линию действия силы F (штриховая линия)

Линия действия силы

Проведем из точки A перпендикуляр h к линии действия силы

Плечо момента силы

Длина отрезка h есть плечо момента силы F относительно точки A.

Момент принимается положительным, если его вращение происходит против хода часовой стрелки (как на рисунке).

Так принято для того, чтобы совпадали знаки момента и создаваемого им углового перемещения.

Примеры расчета момента силы

Сила расположена перпендикулярно оси стержня

Если сила F приложена перпендикулярно к оси бруса и известно расстояние между точками A и B.

Момент силы перпендикулярной стержню

То момент силы F относительно точки A:

М_A=F×AB

Сила расположена под углом к оси стержня

В случае, если сила F приложена под углом α к оси балки
Момент силы расположенной под углом к стержню

Момент силы относительно точки B:

M_B=F×cosα×AB

Известно расстояние от точки до линии действия силы

Если известно расстояние от точки где определяется момент до линии действия силы (плечо h)
Момент силы для произвольно расположенного стержня

Момент силы относительно точки B:

M_B=F×h

См. также:

Примеры решения задач >
Момент силы относительно точки
Момент силы относительно оси

Сохранить или поделиться с друзьями

Вы находитесь тут:

На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь

Подробнее

Источник

В этой статье начнем говорить о кручении. Это одна из базисных тем в сопромате, как и растяжение-сжатие. Знания этой темы помогут тебе при изучении более сложных тем курса «сопротивление материалов».

Кручение – это такой вид деформации, при котором в сечениях стержня возникают крутящие моменты (T).

На кручение, как правило, работают детали, которые называются валами. Детали, которые широко используются в машиностроении.

Что такое крутящий момент?

Крутящий момент – это внутренний силовой фактор, возникающий в сечениях стержней испытывающих деформацию кручения.

На практике же стержни не работают исключительно на кручение, они могут и растягиваться, и изгибаться. Но это уже более продвинутые темы – сложное сопротивление. В этом же разделе будем рассматривать чистое кручение.

В чем измеряется крутящий момент и как обозначается?

Крутящие моменты обозначаются буквой – T (сокращённое с английского: Torque – крутящий момент), однако, часто в другой литературе ты можешь встретить обозначение — М_кр. Ты можешь использовать любое обозначение, какое больше нравиться, либо которое использует твой преподаватель.

В задачах тебе будут даны крутящие моменты, скорее всего, в Н·м либо кН·м.

Построение эпюры крутящих моментов

В этой статье расскажу, как строить эпюры при кручении: крутящих моментов, максимальных касательных напряжений и углов закручивания (углов поворотов).

На самом деле, многие рассматриваемые здесь принципы сильно похожи на те, что мы изучали ранее в уроке про построение эпюр при растяжении (сжатии). Здесь фактически будем делать всё то же самое, только оперировать другими обозначениями и названиями. После изучения того урока, с кручением у тебя точно не возникнет никаких трудностей.

В качестве примера, возьмём следующую расчётную схему:

Расчётная схема стержня, работающего на кручение

Будем считать, что стержень изготовлен из стали (G = 8 · 10¹⁰ Па), а диаметры ступеней равны: d₁=150 мм, d₂=200 мм, d₃=300 мм.

Под действием внешних моментов (M), их еще часто называют вращающими или скручивающими моментами, в поперечных сечениях стержня возникают внутренние моменты – крутящие (T).

Схема, показывающая крутящие моменты при рассечении стержня

Правило знаков для крутящих моментов

Чтобы построить эпюру крутящих моментов, необходимо задаться каким-то правилом знаков для крутящих моментов. В этой статье я буду использовать следующее правило:

Если внешний момент (M), в плоскости сечения, поворачивает ПРОТИВ часовой стрелки, то крутящий момент (T) – положительный.

Схема, показывающая положительное направление крутящего момента

Если внешний момент (M), в плоскости сечения, поворачивает ПО часовой стрелке, то крутящий момент (T) – отрицательный.

Схема, показывающая отрицательное направление крутящего момента

Можно учитывать знак крутящего момента ровно наоборот. Главное, придерживаться этого правила при расчёте всех участков и ориентироваться по полученным эпюрам: в какую сторону у тебя будут направлены внешние моменты, внутренние – крутящие моменты, куда будут поворачиваться сечения. Как видишь, знаки здесь нам нужны, чтобы задать определённые правила игры, а правило знаков – условное и не имеет физического смысла.

Расчёт крутящих моментов

Что же, давай, наконец, приступим к расчёту крутящих моментов. Пронумеруем расчётные участки:

Используя правило знаков, описанное выше, рассчитаем крутящие моменты на каждом участке:

По полученным значениям построим эпюру касательных напряжений:

Построение эпюры касательных напряжений при кручении

Касательные напряжения по высоте круглого сечения, будут распределены следующим образом:

Схема распределения касательных напряжений

Как видишь, касательные напряжения будут максимальны на поверхности стержня, они нас и будут интересовать больше всего, т. к. по ним выполняются прочностные расчёты, для них и будем строить эпюру – максимальных касательных напряжений.

Расчёт максимальных касательных напряжений

Максимальные касательные напряжения в поперечном сечении, можно определить по формуле:

Формула для нахождения максимальных касательных напряжений

где Wp — полярный момент сопротивлния, T — крутящий момент.

Полярный момент сопротивления для круглого сечения определяется по формуле:

Формула для расчёта полярного момента сопротивления для круглого сечения

Поэтому формулу для нахождения максимальных касательных напряжений для круглого поперечного сечения, можно записать в следующем виде:

Видоизменяя формула для нахождения максимальных касательных напряжений для круглого сечения

По условию задачи диаметры участков известны. Осталось вычислить максимальные касательные напряжения на каждом участке:

Вычисление максимальных касательных напряжений на участках

По полученным значениям построим эпюру касательных напряжений:

Эпюра максимальных касательных напряжений

Построение эпюры углов закручивания (поворотов)

Под действием внешних – скручивающих моментов, поперечные сечения стержня будут поворачиваться на определенный угол (φ). В этом разделе будем учиться определять эти углы закручивания (поворотов) поперечных сечений и строить эпюру.

Обозначим точки в характерных сечениях стержня:

Обозначение характерных точек на расчётной схеме стержня

Расчёт начинаем от жёсткой заделки и сразу можем записать, что в точке A, угол поворота равен нулю, т. к. здесь заделка ограничивает любые повороты сечения:

Чтобы рассчитать поворот сечения B, нужно учесть поворот предыдущего сечения:

А также, угол закручивания участка между расчётными сечениями:

Угол закручивания участка можно посчитать по формуле:

Формула для нахождения угла закручивания участка

где l – длина участка; I_p – полярный момент инерции; G – модуль сдвига.

G – модуль сдвига (модуль упругости 2 рода) – определяется при испытании образцов на кручение, тем самым зависит от материала образца.

Модуль сдвига (G) известен, по условию задачи.

Формула для определения полярного момента инерции для круглого сечения следующая:

Формула для нахождения полярного момента сопротивления

Зная диаметры, сразу вычислим полярные моменты инерции для каждого участка:

Расчёт полярных моментов сопротивления на каждом участке

Определим угол закручивания сечения B, с учётом вышеуказанных формул:

Также можно перевести это значение в привычные градусы:

Перевод угла поворота из радианов в градусы

Для двух других сечений расчёт производится аналогичным образом.

Угол поворота сечения С

Угол поворота сечения D

По рассчитанным значениям, построим эпюру углов закручивания поперечных сечений:

Эпюра углов закручивания (поворотов) поперечных сечений

Таким образом, свободный торец стержня, повернётся на 0.58 градуса, относительно неподвижного сечения A.

Расчеты на прочность при кручении

При кручении расчёты на прочность в целом похожи на расчёты при растяжении. Только здесь вместо нормальных напряжений расчёт ведётся по касательным напряжениям.

На кручение, как правило, работают детали, которые называются валами. Их назначение – передача крутящего момента от одного элемента к другому. При этом вал по всей длине имеет либо круглое сечение, либо кольцевое.

Условие прочности

За допустимое касательное напряжение [τ], часто в задачах по сопромату, принимают напряжение в два раза меньше, чем допустимое нормальное напряжение [σ]:

Формула для определения допустимых касательных напряжений

Максимальные касательные напряжения (τ_max) в сечениях можно найти по формуле:

Формула для определения максимальных нормальных напряжений

где T – крутящий момент в сечении;

W_p – полярный момент сопротивления сечения.

Полярные моменты сопротивления можно посчитать этим формулам.

Источник

Момент силы
$vec{M}=left[vec{r}timesvec{F}right]$
Размерность	L²MT⁻²
Единицы измерения
СИ	Н·м
СГС	Дина-сантиметр
Примечания
Псевдовектор

Моме́нт си́лы (момент силы относительно точки) — векторная физическая величина, характеризующая действие силы на механический объект, которое может вызвать его вращательное движение. Определяется как векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы ${vec {r}}$ и вектора силы $vec{F}$ . Моменты сил, образующиеся в разных условиях, в технике могут иметь названия: кру́тящий момент, враща́тельный момент, вертя́щий момент, враща́ющий момент, скру́чивающий момент.

Момент силы обозначается символом ${vec {M}}$ или, реже, ${displaystyle {vec {tau }}}$ (тау).

Единица измерения в СИ: Н⋅м. Величина момента силы зависит от выбора начала отсчёта радиус-векторов O.

Понятие момента силы используется, в основном, в области задач статики и задач, связанных с вращением деталей (рычагов и др.) в технической механике. Особенно важен случай вращения твёрдого тела вокруг фиксированной оси — тогда O выбирают на этой оси, а вместо самого момента рассматривают его проекцию на ось ${displaystyle M_{parallel }}$ ; такая проекция называется моментом силы относительно оси.

Наличие момента силы влечёт изменение момента импульса тела $vec{L}$ относительно того же начала O со временем $t$ : имеет место соотношение ${displaystyle d{vec {L}}/dt={vec {M}}}$ . В статике равенство нулю суммы моментов всех приложенных к телу сил является одним из условий (наряду с равенством нулю суммы сил) реализации состояния покоя.

Определение, общие сведения[править | править код]

В физике момент силы играет роль вращающего воздействия на тело.

Видеоурок: вращающий момент

В простейшем случае, если сила $vec{F}$ приложена к рычагу перпендикулярно ему и оси вращения, то момент силы определяется как произведение величины $F$ на расстояние $x$ от места приложения силы до оси вращения рычага, называемое «плечом силы»:

${displaystyle M=Fx}$ .

Например, сила в 3 ньютона, приложенная на расстоянии 2 м от оси, создаёт такой же момент, что и сила в 1 ньютон с плечом 6 м.

Если действуют две силы, говорят о моменте пары сил (такая формулировка восходит к трудам Архимеда). При этом равновесие достигается в ситуации ${displaystyle F_{1}x_{1}=F_{2}x_{2}}$ .

Для случаев более сложных движений и более сложных объектов определение момента как произведения ${displaystyle Fx}$ требует универсализации.

Момент силы иногда называют вращающим или крутящим моментом. «Вращающий» момент понимается в технике как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» — как внутреннее, возникающее в самом объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в сопромате).

Момент силы относительно точки[править | править код]

Момент силы, приложенный к гаечному ключу. Направлен от зрителя

В общем случае момент силы $vec{F}$ , приложенной к телу, определяется как векторное произведение

${displaystyle {vec {M}}=left[{vec {r}}times {vec {F}}right]}$ ,

где ${vec {r}}$ — радиус-вектор точки приложения силы. Вектор ${vec {M}}$ перпендикулярен векторам ${vec {r}}$ и $vec{F}$ .

Начало отсчета радиус-векторов O может быть любым. Обычно O выбирают в чем-либо выделенной точке: в месте закрепления подвеса, в центре масс, на оси вращения и т.д.. Если одновременно анализируется момент импульса тела $vec{L}$ , то начало O всегда выбирается одинаковым для $vec{L}$ и ${vec {M}}$ .

Если не оговорено иное, то «момент силы» — это момент силы относительно точки (O), а не некоей оси.

В случае нескольких приложенных сосредоточенных сил их моменты векторно суммируются:

${displaystyle {vec {M}}=sum _{i}left[{vec {r}}_{i}times {vec {F}}_{i}right]}$ ,

где ${displaystyle {vec {r}}_{i}}$ — радиус-вектор точки приложения $i$ -й силы ${displaystyle {vec {F}}_{i}}$ . В случае силы, распределённой с плотностью ${displaystyle d{vec {F}}/dV}$ ,

${displaystyle {vec {M}}=int limits _{V}left[{vec {r}}times {frac {d{vec {F}}}{dV}}right]dV}$ .

Если ${displaystyle d{vec {F}}/dV}$ (Н/м³) — обобщённая функция, которая может содержать и дельтаобразные члены, то последней формулой охватываются и две предыдущие.

Момент силы относительно оси[править | править код]

Моментом силы относительно оси называется алгебраическое значение проекции момента ${vec {M}}$ на ось, то есть

${displaystyle M_{parallel }={vec {M}}cdot {vec {e}}_{o}}$ ,

где ${displaystyle {vec {e}}_{o}}$ — единичный вектор вдоль оси, а начало отсчёта O выбрано на оси. Момент силы относительно оси может быть рассчитан как

${displaystyle M_{parallel }=pm left|{vec {r}}_{perp }times {vec {F}}_{perp }right|}$ ,

где через ${displaystyle {vec {r}}_{perp }}$ и ${displaystyle {vec {F}}_{perp }}$ обозначены составляющие радиус-вектора и силы в плоскости, перпендикулярной оси.

В отличие от момента силы ${vec {M}}$ , величина момента силы относительно оси ${displaystyle M_{parallel }}$ не претерпевает изменения при сдвиге точки O вдоль оси.

Для краткости символ параллельности и знак могут опускаться, а ${displaystyle M_{parallel }}$ (как и ${vec {M}}$ ) именоваться «моментом силы».

Единицы измерения[править | править код]

Момент силы имеет размерность «сила, умноженная на расстояние» и единицу измерения ньютон-метр в системе СИ. 1 Н·м — это момент, который производит сила 1 Н на рычаг длиной 1 м, приложенная к концу рычага и направленная перпендикулярно ему.

Формально, размерность ${vec {M}}$ (Н·м) совпадает с размерностями энергии и механической работы.

Некоторые примеры[править | править код]

Формула момента рычага[править | править код]

Момент, действующий на рычаг

Момент силы, действующей на рычаг, равен

${displaystyle {vec {M}}=rFsin alpha cdot {vec {e}}_{o}}$

или, если записать момент силы относительно оси,

${displaystyle M_{parallel }=rFsin alpha }$ ,

где $alpha$ — угол между направлением силы и рычагом. Плечо силы равно ${displaystyle rsin alpha }$ . Максимальное значение момента достигается при перпендикулярности рычага и силы, то есть при ${displaystyle alpha =pi /2}$ . При сонаправленности $vec{F}$ и рычага момент равен нулю.

Статическое равновесие[править | править код]

Для того чтобы объект находился в равновесии, должна равняться нулю не только сумма всех сил, но и сумма моментов всех сил вокруг любой точки.

Для двумерного случая с горизонтальными и вертикальными силами требование сводится к тому, чтобы нулевыми были сумма сил в двух измерениях: ${displaystyle Sigma F_{horizontal}=0,,Sigma F_{vertical}=0}$ и момент силы в третьем измерении: ${displaystyle Sigma M=0}$ .

Движение твёрдого тела[править | править код]

Движение твёрдого тела можно представить как движение конкретной точки и вращения вокруг неё.

Момент импульса относительно точки O твёрдого тела может быть описан через произведение момента инерции и угловой скорости относительно центра масс и линейного движения центра масс.

${displaystyle {vec {L_{o}}}=I_{c},{vec {omega }}+[M({vec {r_{o}}}-{vec {r_{c}}}),{vec {v_{c}}}].}$

Будем рассматривать вращающиеся движения в системе координат Кёнига, так как описывать движение твёрдого тела в мировой системе координат гораздо сложнее.

Продифференцируем это выражение по времени. И если $I$ — постоянная величина во времени, то

${displaystyle {vec {M}}=I{frac {d{vec {omega }}}{dt}}=I{vec {alpha }},}$

где ${displaystyle {vec {alpha }}}$ — угловое ускорение, измеряемое в радианах в секунду за секунду (рад/с²). Пример: вращается однородный диск.

Если тензор инерции меняется со временем, то движение относительно центра масс описывается с помощью динамического уравнения Эйлера:

${displaystyle {vec {M_{c}}}=I_{c}{frac {d{vec {omega }}}{dt}}+[{vec {w}},I_{c}{vec {w}}].}$

Связь с другими величинами[править | править код]

С моментом импульса[править | править код]

Момент силы — производная момента импульса ${displaystyle {vec {L}}={vec {r}}times {vec {p}}}$ относительно точки O по времени:

${displaystyle {vec {M}}={frac {d{vec {L}}}{dt}}}$ ,

Аналогичную формулу можно записать для моментов относительно оси:

${displaystyle M_{parallel }={frac {dL_{parallel }}{dt}}}$ .

Если момент силы ${vec {M}}$ или ${displaystyle M_{parallel }}$ равен нулю, момент импульса относительно соответствующей точки или оси сохраняется.

С мощностью[править | править код]

Если сила совершает действие на каком-либо расстоянии, то она совершает механическую работу и развивает мощность ${displaystyle {vec {F}}cdot {vec {v}}}$ (где $vec{v}$ — скорость материальной точки). Так же и в случае момента силы: если он совершает действие через «угловое расстояние», развивается мощность

${displaystyle P={vec {M}}cdot {vec {omega }}}$ .

В системе СИ мощность $P$ измеряется в ваттах, угловая скорость $vec{omega}$ — в радианах в секунду.

С механической работой[править | править код]

Если под действием момента силы ${vec {M}}$ происходит поворот тела на угол $dvarphi$ , то совершается механическая работа

${displaystyle dA=left|{vec {M}}right|dvarphi }$ .

Для поворота, скажем, рычага вокруг фиксированной оси на угол ${displaystyle varphi _{2}-varphi _{1}}$ получим

${displaystyle A=int _{varphi _{1}}^{varphi _{2}}left|{vec {M}}right|dvarphi =left|{vec {M}}right|(varphi _{2}-varphi _{1})=left|{vec {M}}right|int _{t_{1}}^{t_{2}}omega (t)dt}$ .

В системе СИ работа $A$ измеряется в джоулях, угол — в радианах.

Размерность работы (и энергии) совпадает с размерностью момента силы («ньютон-метр» и джоуль — это одни и те же единицы). Момент силы 1 Н·м, при повороте рычага или вала на 1 радиан совершает работу в 1 Дж, а при повороте на один оборот совершает механическую работу и сообщает энергию $2pi$ джоуля.

Измерение момента силы[править | править код]

Измерение момента силы осуществляется с помощью специальных приборов — торсиометров. Принцип их действия обычно основан на измерении угла закручивания упругого вала, передающего крутящий момент, либо на измерении деформации некоторого упругого рычага. Измерения деформации и угла закручивания производится различными датчиками деформации — тензометрическими, магнитоупругими, а также измерителями малых перемещений — оптическими, ёмкостными, индуктивными, ультразвуковыми, механическими.

Существуют специальные динамометрические ключи для измерения крутящего момента затягивания резьбовых соединений и регулируемые и нерегулируемые ограничители крутящего момента, так называемые «трещотки», применяемые в гаечных ключах, шуруповёртах, винтовых микрометрах и др.

Из истории понятия[править | править код]

Для того чтобы понять, откуда появилось понятие момента сил и как к нему пришли, стоит рассмотреть действие силы на рычаг, поворачивающийся относительно неподвижной оси. Работа, совершаемая при действии силы ${vec {F}}$ на рычаг ${vec {r}}$ , совершающий вращательное движение вокруг неподвижной оси, может быть рассчитана исходя из следующих соображений.

Пусть под действием силы конец рычага смещается на бесконечно малый отрезок $dl$ , которому соответствует бесконечно малый угол $dvarphi$ . Обозначим через ${displaystyle d{vec {l}}}$ вектор, который направлен вдоль бесконечно малого отрезка $dl$ и равен ему по модулю. Угол между векторами ${vec {F}}$ и ${displaystyle d{vec {l}}}$ равен $beta$ , а угол между векторами ${vec {r}}$ и ${vec {F}}$ равен $alpha$ .

Следовательно, бесконечно малая работа $dA$ , совершаемая силой ${vec {F}}$ на бесконечно малом участке $dl$ , равна скалярному произведению вектора ${displaystyle d{vec {l}}}$ и вектора силы, то есть ${displaystyle dA={vec {F}}cdot d{vec {l}}}$ .

Теперь попытаемся выразить модуль вектора ${displaystyle d{vec {l}}}$ через радиус-вектор ${vec {r}}$ , а проекцию вектора силы ${vec {F}}$ на вектор ${displaystyle d{vec {l}}}$ — через угол $alpha$ .

Так как для бесконечно малого перемещения рычага $dl$ можно считать, что траектория перемещения перпендикулярна рычагу ${vec {r}}$ , используя соотношения для прямоугольного треугольника, можно записать следующее равенство: ${displaystyle dl=rmathrm {tg} ,dvarphi }$ , где в случае малого угла справедливо ${displaystyle mathrm {tg} ,dvarphi =dvarphi }$ и, следовательно, ${displaystyle left|d{vec {l}}right|=left|{vec {r}}right|dvarphi }$ .

Для проекции вектора силы ${vec {F}}$ на вектор ${displaystyle d{vec {l}}}$ видно, что угол ${displaystyle beta ={frac {pi }{2}}-alpha }$ , а так как ${displaystyle cos {left({frac {pi }{2}}-alpha right)}=sin alpha }$ , получаем, что ${displaystyle left|{vec {F}}right|cos beta =left|{vec {F}}right|sin alpha }$ .

Теперь запишем бесконечно малую работу через новые равенства: ${displaystyle dA=left|{vec {r}}right|dvarphi left|{vec {F}}right|sin alpha }$ , или ${displaystyle dA=left|{vec {r}}right|left|{vec {F}}right|sin alpha ,dvarphi }$ .

Видно, что произведение ${displaystyle left|{vec {r}}right|left|{vec {F}}right|sin alpha }$ есть не что иное, как модуль векторного произведения векторов ${vec {r}}$ и ${vec {F}}$ , то есть ${displaystyle left|{vec {r}}times {vec {F}}right|}$ , которое и было принято обозначить за момент силы $M$ , или модуль вектора момента силы ${displaystyle left|{vec {M}}right|}$ .

Теперь полная работа записывается просто: ${displaystyle A=int limits _{0}^{varphi }left|{vec {r}}times {vec {F}}right|dvarphi }$ , или ${displaystyle A=int limits _{0}^{varphi }left|{vec {M}}right|dvarphi }$ .

См. также[править | править код]

Момент инерции
Момент импульса
Теорема Вариньона

Источник

Моменты сопротивления.

Осевой
момент сопротивления
— отношение момента инерции относительно
оси к расстоянию от нее до наиболее
удаленной точки сечения.
[см³,
м³]

Особенно
важны моменты сопротивления относительно
главных центральных осей:

прямоугольник:
;
круг:W_x=W_y=

трубчатое
сечение (кольцо): W_x=W_y=

,
где =
d_Н/d_B.

Полярный
момент сопротивления — отношение
полярного момента инерции к расстоянию
от полюса до наиболее удаленной точки
сечения:
.

Для
круга W_р=
.

Кручение

Такой
вид деформации, при котором в поперечных
сечениях возникает только одни крутящие
моменты — М_к.
Знак крутящего момента М_к
удобно определять по направлению
внешнего момента. Если при взгляде со
стороны сечения внешний момент направлен
против час.стр., то М_к>0
(встречается и обратное правило). При
кручении происходит поворот одного
сечения относительно другого на угол
закручивания
-.
При кручении круглого бруса (вала)
возникает напряженное состояние чистого
сдвига (нормальные напряжения отсутствуют),
возникают только касательные напряжения.
Принимается, что сечения плоские до
закручивания остаются плоскими и после
закручивания — закон
плоских сечений.
Касательные напряжения в точках сечения
изменяются пропорционально расстоянию
точек от оси. Из закона Гука при сдвиге:
=G,
G — модуль сдвига,
,— полярный момент сопротивления круглого
сечения. Касательные напряжения в центре
равны нулю, чем дальше от центра, тем
они больше. Угол закручивания,GJ_p
— жесткость
сечения при кручении.
—относительный
угол закручивания.
Потенциальная энергия при кручении:
.
Условие прочности:,
[]
=,
для пластичного материала за _пред
принимается предел текучести при сдвиге
_т,
для хрупкого материала – _в
– предел прочности, [n]
– коэффициент запаса прочности. Условие
жесткости при кручении: _max[]
– допустимый угол закручивания.

Кручение бруса прямоугольного сечения

При
этом нарушается закон плоских сечений,
сечения некруглой формы при кручении
искривляются –депланация
поперечного сечения.

Эпюры
касательных напряжений прямоугольного
сечения.

;

,J_k
и W_k
— условно называют моментом инерции и
моментом сопротивления при кручении.
W_k=
hb²,

J_k=
hb³,
Максимальные касательные напряжения
_max
будут посредине длинной стороны,
напряжения по середине короткой стороны:
=
_max,
коэффициенты: ,,
приводятся в справочниках в зависимости
от отношения h/b
(например, при h/b=2,
=0,246;
=0,229;
=0,795.

Изгиб

Плоский
(прямой) изгиб
— когда изгибающий момент действует в
плоскости, проходящей через одну из
главных центральных осей инерции
сечения, т.е. все силы лежат в плоскости
симметрии балки. Основные
гипотезы
(допущения): гипотеза о не надавливании
продольных волокон: волокна, параллельные
оси балки, испытывают деформацию
растяжения – сжатия и не оказывают
давления друг на друга в поперечном
направлении; гипотеза плоских сечений:
сечение балки, плоское до деформации,
остается плоским и нормальным к
искривленной оси балки после деформации.
При плоском изгибе в общем случае
возникают внутренние
силовые факторы:
продольная сила N,
поперечная сила Q
и изгибающий момент М. N>0,
если продольная сила растягивающая;
при М>0 волокна сверху балки сжимаются,
снизу растягиваются.
.

Слой,
в котором отсутствуют удлинения,
называетсянейтральным
слоем (осью,
линией). При N=0
и Q=0,
имеем случай чистого
изгиба.
Нормальные напряжения:
,
— радиус кривизны нейтрального слоя,
y
— расстояние от некоторого волокна до
нейтрального слоя. Закон
Гука при изгибе:
,
откуда (формула Навье):,J_x
— момент инерции сечения относительно
главной центральной оси, перпендикулярной
плоскости изгибающего момента, EJ_x
— жесткость при изгибе,
— кривизна нейтрального слоя.

Максимальные
напряжения при изгибе возникают в
точках, наиболее удаленных от нейтрального
слоя:,J_x/y_max=W_x—момент
сопротивления сечения при изгибе,
.
Если сечение не имеет горизонтальной
оси симметрии, то эпюра нормальных
напряжений
не будет симметричной. Нейтральная ось
сечения проходит через центр тяжести
сечения. Формулы для определения
нормального напряжения для чистого
изгиба приближенно годятся и когда Q0.
Это случай поперечного
изгиба. При
поперечном изгибе, кроме изгибающего
момента М, действует поперечная сила
Q
и в сечении возникают не только нормальные
,
но и касательные 
напряжения. Касательные напряжения
определяются формулой
Журавского:
,
гдеS_x(y)
— статический момент относительно
нейтральной оси той части площади,
которая расположена ниже или выше слоя,
отстоящего на расстоянии “y”
от нейтральной оси; J_x
— момент инерции всего
поперечного сечения относительно
нейтральной оси, b(y)
— ширина сечения в слое, на котором
определяются касательные напряжения.

Для
прямоугольного сечения:,F=bh,
для круглого сечения:,F=R²,
для сечения любой формы
,

k—
коэфф., зависящий от формы сечения
(прямоугольник: k=
1,5; круг – k=
1,33).

M_max
и Q_max
определяются из эпюр изгибающих моментов
и поперечных сил. Для этого балка
разрезается на две части и рассматривается
одна из них. Действие отброшенной части
заменяется внутренними силовыми
факторами М и Q,
которые определяются из уравнений
равновесия. В некоторых вузах момент
М>0 откладывается вниз, т.е. эпюра
моментов строится на растянутых волокнах.
При Q=
0 имеем экстремум эпюры моментов.
Дифференциальные
зависимости между М,Q
и q:

q
— интенсивность распределенной нагрузки
[кН/м]

Главные
напряжения при поперечном изгибе:

Расчет
на прочность при изгибе:
два условия прочности, относящиеся к
различным точкам балки: а) по нормальным
напряжениям
,
(точки наиболее удаленные от С); б) по
касательным напряжениям,
(точки на нейтр.оси). Из а) определяют
размеры балки:,
которые проверяют по б). В сечениях балок
могут быть точки, где одновременно
большие нормальные и большие касательные
напряжения. Для этих точек находятся
эквивалентные напряжения, которые не
должны превышать допустимых. Условия
прочности проверяются по различным
теориям прочности

I-я:
;II-я:(при коэфф.Пуассона=0,3);
— применяются редко.

III-я:,IV-я:,

теория
Мора:
,(используется для чугуна, у которого
допускаемое напряжение на растяжение
[_р][_с]
– на сжатие).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Многочисленные учебники «Cопромат для чайников» создают для развенчания мифа о непостижимой сложности дисциплины. Этой наукой пугают на первых курсах вузов. Для начала расшифруем грозный термин «сопротивление материалов».

На деле – проста и решение почти не выходит за рамки школьной задачи о растяжении и сжатии пружины. Другое дело – найти слабое звено конструкции и свести расчет к несложной постановке. Так что не стоит зевать на лекциях по основам механики. При подготовке к урокам можно пользоваться решениями онлайн, но на экзаменах помогут только свои знания.

Что такое сопромат

Это методика расчета деталей, конструкций на способность выдерживать нагрузки в требуемой степени. Или хотя бы для предсказания последствий. Не более, хотя почему-то относят руководство к наукам.

Сопромат

Этой «наукой» прекрасно владели древнегреческие и древнеримские инженеры, сооружавшие сложнейшие механизмы. Понятия не имея о структуре, уравнении состояния вещества и прочих теориях, египтяне строили исполинские плотины и пирамиды.

Основные задачи по сопротивлению материалов

6007091

Задача следует напрямую из определения. А вот каковы критерии упомянутого слова «выдерживать»? Неясно, что скрывается под «материалом» и как реальные вещи схематизировать.

Требования

091

Перечислены далеко не все, но для статики и базовой программы хватит:

Прочность – способность образца воспринимать внешние силы без разрушения. Слегка мнущаяся под весом оборудования подставка никого не интересует. Основную-то функцию она выполняет.
Жесткость – свойство воспринимать нагрузку без существенного нарушения геометрии. Гнущийся под силой резания инструмент даст дополнительную погрешность обработки. К ошибке приведет деформация станины агрегата.
Устойчивость – способность конструкции сохранять стабильность равновесия. Поясним на примере: стержень находится под грузом, будучи прямым – выдерживает, а чуть изогнется – характер напряжения изменится, груз рухнет.

Материал и силы

Допущения в сопромате

Как всякая методика, сопромат принимает массу упрощений и прямо неверных допущений:

материал однороден, среда сплошная. Внутренние особенности в расчет не берутся;
свойства не зависят от направления;
образец восстанавливает начальные параметры при снятии нагрузки;
поперечные сечения не меняются при деформации;
в удаленных от места нагрузки местах усилие распределяется равно по сечению;
результат воздействия нагрузок равен сумме последствий от каждой;
деформации не влияют на точки приложения сил;
отсутствуют изначальные внутренние напряжения.

Схемы

Служат для создания возможности расчета реальных конструкций:

тело – объект с практически одинаковыми «длина х ширина х высота»;
брус (балка, стержень, вал) – характеризуется значительной длиной.

На рисунке показаны опоры с воспринимаемыми реакциями (обозначены красным цветом):

120

Рис. 1. Опоры с воспринимаемыми реакциями:

а) шарнирно-подвижная;

б) шарнирно-неподвижная;

в) жесткая заделка (защемление).

Силы в сопромате

Приложенные извне, уравновешиваются возникающими изнутри. Напомним, рассматривается статическая ситуация. Материал «сопротивляется».

Разделим нагруженное тело виртуальным сечением P (см. рис. 2).

121

Рис. 2

Заменим хаос равнодействующей R и моментом M (см. рис. 3):

122

Рис. 3

Распределив по осям, получим картину нагрузки сечения (см. рис. 4):

123

Рис. 4

Нагрузки и деформации, изучаемые в сопромате

Изучим несколько принятых терминов.

Напряжения

В теле приложенные силы распределяются по сечению. Нагружен каждый элементарный «кусочек». Разложим силы:

124

Элементарные усилия таковы:

125

σ – «сигма», нормальное напряжение. Перпендикулярно сечению. Характерно для сжатия / растяжения;
τ – «тау», касательное напряжение. Параллельно сечению. Появляется при кручении;
p – полное напряжение.

127

Просуммировав элементы, получим:

128

Здесь:

N – нормальная сила;
A – площадь сечения.

В принятой в России системе СИ сила измеряется в ньютонах (Н). Напряжения – в паскалях (Па). Длины в метрах (м).

Деформации

Различают деформацию упругую (с индексом «e») и пластическую (с индексом «p»). Первая исчезает по снятии растягивающей / сжимающей силы, вторая – нет.

Полная деформация будет равна:

130

Деформация относительная обозначается «ε» и рассчитывается так:

131

Под «сдвигом» понимается смещение параллельных слоев. Рассмотрим рисунок:

132

Здесь γ – относительный сдвиг.

133

Виды нагрузки

Перечислены основные.

Растяжение и сжатие – нагрузка нормальной силой (по оси стержня).
Кручение – действует момент. Обычно рассчитываются передающие усилия валы.
Изгиб – воздействие направлено на искривление.

Основные формулы

Базовый принцип сопромата единственный. В упомянутой задаче о пружине применим закон Гука:

E – модуль упругости (Юнга). Величина зависит от используемого материала. Для стали полагают равным 200 х 10⁶ Па.

Сопротивление материала прямо пропорционально деформации:

135

Закон верен не всегда и не для всех материалов. Как уже упоминалось, принимается как одно из допущений.

Реальная диаграмма

Растяжение стержня из низкоуглеродистой стали выглядит следующим образом:

137

138

Принимаемые схемы:

139

График (б) относится к большей части конструкционных материалов: подкаленные стали, сплавы цветных металлов, пластики.

Расчеты обычно ведут по σ_т (а) и σ_0.2 (б). С незначительными пластическими деформациями конструкции или без таковых.

Пример решения задачи

Какой груз допустимо подвесить на пруток из стали 45 Ø10 мм?

Решение.

σ_0,2 для стали 45 равна 245 МПа (из ГОСТ).

Площадь сечения прутка:

140

Допустимая сила тяжести:

Для получения веса следует разделить на ускорение свободного падения g:

142

Ответ: необходимо подвесить груз массой 1950 кг.

Как найти опасное сечение

Наиболее простой способ – построение эпюры. На закрепленную балку действуют точечные и распределенные силы. Считаем на характерных участках, начиная с незакрепленного конца.

Усилие положительно, если направлено на растяжение.

143

144

На схеме показано, что:

на участке (7 – 8) действует сжатие 30 кН;
на (2 – 3) – растяжение 20 кН.

Зачем и кому нужен сопромат

Даже не имеющий отношения к прочностным расчетам инженер-универсал должен иметь понятие о приблизительных (на 10-20%) значениях. Знать конструкционные материалы, представлять свойства. Чувствовать заранее слабые места агрегатов.

Совершенно необходим разработчикам различных конструкций, машиностроительных изделий. Будущим архитекторам в вузах преподается в виде предмета «Строительная механика».

Методика помогает на стадии проектирования обеспечивать необходимый запас прочности изделий. Стойкость к постоянным и динамичным нагрузкам. Это сберегает массу времени и затрат в дальнейших изготовлении, испытании и эксплуатации изделия. Обеспечивает надежность и долговечность.

Источник

Определение

Пример момента силы

Плечо момента силы

Примеры расчета момента силы

Сила расположена перпендикулярно оси стержня

Сила расположена под углом к оси стержня

Известно расстояние от точки до линии действия силы

Что такое крутящий момент?

В чем измеряется крутящий момент и как обозначается?

Построение эпюры крутящих моментов

Правило знаков для крутящих моментов

Расчёт крутящих моментов

Построение эпюры касательных напряжений при кручении

Расчёт максимальных касательных напряжений

Построение эпюры углов закручивания (поворотов)

Угол поворота сечения С

Угол поворота сечения D

Расчеты на прочность при кручении

Условие прочности

Определение, общие сведения[править | править код]

Момент силы относительно точки[править | править код]

Момент силы относительно оси[править | править код]

Единицы измерения[править | править код]

Некоторые примеры[править | править код]

Формула момента рычага[править | править код]

Статическое равновесие[править | править код]

Движение твёрдого тела[править | править код]

Связь с другими величинами[править | править код]

С моментом импульса[править | править код]

С мощностью[править | править код]

С механической работой[править | править код]

Измерение момента силы[править | править код]

Из истории понятия[править | править код]

См. также[править | править код]

Моменты сопротивления.

Кручение

Кручение бруса прямоугольного сечения

Что такое сопромат

Основные задачи по сопротивлению материалов

Требования

Материал и силы

Схемы

Силы в сопромате

Нагрузки и деформации, изучаемые в сопромате

Напряжения

Деформации

Виды нагрузки

Основные формулы

Реальная диаграмма

Пример решения задачи

Как найти опасное сечение

Зачем и кому нужен сопромат

Вам также может понравиться

Как составить рацион питания на сутки

Как найти планшет гелакси

Как найти площадь прямоугольника через радиус

Добавить комментарий Отменить ответ