Как найти мощность множества функций

Как найти мощность множества функций

Функции, определенные
на множестве E2={0,1}
и принимающее значение на множестве
называются булевыми функциями или
функция алгебры логики.

Функцию F
алгебры логики удобно задавать при
помощи таблицы, в которой аргументы
расположены в порядке возрастания, т.е.
будем считать что аргументы упорядочены
в алфавитном порядке, т.е. будем обозначать,
что аргумент(0,0,0,1) предшествует({)
аргументу (0,0,1,0), а аргумент
(0,0,1,0){(1,0,0,1).

Наборы
,
будем называть соседними поi-й
координате, а наборы
называются противоположными.

Символом
будем обозначать количество наборов
переменных, при которых функция принимает
значение 1.

Свойства
булевой функции:

  1. x◦y=y◦x
    (коммутативность операций, где ◦
    обозначает операции

  2. x◦(x◦y)=(x◦y)◦z
    ассоциативность

  4. правило де
    моргана

  5. правило поглощения

  6. правило поглощения

  7. Дистрибутивность
    конъюнкции отн. Дизъюнкции.

  8. Дистрибутивность
    конъюнкции отн. Суммы по модулю.

  9. Дистрибутивность
    дизъюнкции отн. Конъюнкции.

Совокупность всех
булевых функций относительно операций
логического умножения, сложения,
отрицания является алгеброй булевой
функций. Соотношение между булевой
алгеброй и алгеброй Кантора и есть
изоморфизм, т.к. любая алгебра обладающая
свойствами 1-10 называется булевой
алгеброй.

Функцию f,
определенную на множестве всех n-мерных
векторов
,
где числа,
будем называть булевой функцией отn
переменных и будем записывать в виде
.

Мощность множества
всех булевых функций от n
переменных для фиксированного n-
это количество булевых функций от n
переменных. Мощность высчитывается по
формуле

8. Элементарные булевы функции.

Будем
рассматривать следующие элементарные
функции:

  1. наз. Тождественный
    нуль и тождественная единица.

  2. наз. Тождественная
    функция истинности и отрицание
    .

  3. конъюнкция
    и дизъюнкция.

  4. импликация

  5. функция Шеффера
    (отр. конъюнкция
    )).

  6. эквивалентности
    .

  7. сумма по модулю
    2 (отр. Эквивалентности
    )

  8. стрелка Пирса,
    (отр. дизъюнкция
    ).

Таблица
истинности для функции

с
одной переменной.

x

0

0

1

0

1

1

0

1

1

0

Таблица истинности
для функций с 2 переменными

0

0

0

0

1

1

1

0

1

0

1

0

1

1

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

1

0

1

0

0

9. Формулы. Основные эквивалентности формул.

В каждой формуле

над полем Р сопоставляется функция
из Р2
множество
всех возможных булевых функций.

Формулы V
и G
считаются эквивалентными, если
соответствующие им функции fu
= hg
 равны.

Правила: 1.
Внешние скобки в формулах как правило
опускаются.

2.
Формула UG
записывается в виде U●G
или UG.

При
этом считают, что знак отрицания связывает
сильнее, чем логическое
знак умножить связывает сильнее, чем
знак любой из операций или

А
знак = связывает слабее, чем вышеперечисление
операции в формуле.

Функции
f1
– f11
– Элементарные
функции подчиняются следующим
эквивалентности:

  1. x◦y=y◦x
    (коммутативность операций, где ◦
    обозначает операции

  2. x◦(x◦y)=(x◦y)◦z
    ассоциативность

  4. правило де
    моргана

  5. правило поглощения

  6. правило поглощения

  7. Дистрибутивность
    конъюнкции отн. Дизъюнкции.

  8. Дистрибутивность
    конъюнкции отн. Суммы по модулю.

  9. Дистрибутивность
    дизъюнкции отн. Конъюнкции.

  11. (дополнительные
    не из наших лекций)Выражение эквивалентности
    через другие операции:

x~y
=
=x⊕y⊕1

x~y
=
(∨y)&(x∨)
= x&y
∨
&

  1. Выражение
    ⊕
    через другие операции:

x
⊕
y =
(x&)∨
(&y)
= (∨)
& (x
∨
y)

  1. Выражение
    импликации через другие операции:

x→y
=
→x→y=
xy⊕x⊕1

x→=
y→
x→y
=
∨y
x→y=

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

Остался вопрос про аксиому выбора…

Если я правильно понял, проблема касается не только бесконечных, но и конечных множеств. А именно – множество рассматривается как некий мешок с элементами, а как они там лежат – мы не знаем.

Договоримся о том, что элементы одного множества все-таки чем-либо отличаются между собой. Например, если рассматриваем множество светловолосых людей, то разные люди из этого множества будут отличаться отпечатками пальцев. В противном случае мы получим множество тождественных элементов – типа {2 2 2 2}, и нам будет все равно, какой из элементов будет выбран в качестве представителя.

Пусть есть некий Оракул, который умеет производить стандартные операции с множествами. Например, если мы ему дадим два множества и скажем “Объедини” – он выдаст нам один мешок с объединенным множеством. В том числе Оракул может по команде “Подмножество” собрать и отдать нам подмножество элементов, удовлетворяющих некоторому точно заданному критерию, – например выделить из множества светловолосых людей с голубыми глазами.

Пусть мы имеем множество ${M}$, элементами которого являются множества мощности $mathfrak c$. Тогда мы можем взять числовую прямую $R$ и для каждого элемента $M in {M}$ дать Оракулу следующие команды:

1) “Декартово произведение”: $G = M times R$

2) “Множество всех подмножеств”: $F = text{множество всех подмножеств } G$

3) “Подмножество”: $E = {f in F| f = id_F}$

4) “Подмножество”: $Z = {r in R| r = 0}$

5) “Прообраз”: $S = bigcuplimits_{e in E} e^{-1}: Z to M$

Объединение всех $S$ и даст искомое множество представителей, поскольку $|E| = 1$, так?

Какая тогда из команд Оракула неверна в отсутствие аксиомы выбора?

Добавлено спустя 32 минуты 21 секунду:

А, Оракул, пожалуй, не сможет найти $id_F$… :)

Источник

This answer is based on, but differs slightly from, user Asaf Karaglia’s above.

First, observe that by definition, ${text{all real functions of real variable}}:= {f: ; f: mathbb{R}tomathbb{R}} := mathbb{R}^mathbb{R}$.

The question is about $|{text{all real functions of real variable}}|$, so examine an arbitrary real function of real variable: $f,colon,mathbb{R}tomathbb{R}.$
By inspection, $f,colon,mathbb{R}tomathbb{R} := {(r, f(r)) : r in mathbb{R}} quad subseteq quad P(mathbb{R} times mathbb{R})$.
Thus, $color{green}{|mathbb{R}^{mathbb{R}}| le |P(mathbb{R}timesmathbb{R})|}$.

Before continuing, let’s try to simplify $|P(mathbb{R}timesmathbb{R})|$. Observe that $|mathbb{R}| = |mathbb{R}^k| , forall , k in mathbb{N}$. Its proof by mathematical induction requires the induction hypothesis of $|mathbb{R}| = |mathbb{R}^2|$, one proof of which is : $|mathbb{N}| = |mathbb{N}timesmathbb{N}| implies |mathbb{R}| = |2^{mathbb{N}}| = |2^{mathbb{N}timesmathbb{N}}| = |2^mathbb{N}times 2^mathbb{N}| = |mathbb{R}timesmathbb{R}|$.

Verily, $mathbb{R} neq mathbb{R}^2$. Howbeit, for infinite sets $A,B$: $|A| = |B| Longrightarrow require{cancel} cancel{Longleftarrow} |P(A)| = |P(B)|$.
(The converse is discussed here.)

Thus, $|P(mathbb{R})| = |P(mathbb{R}timesmathbb{R})| implies color{green}{|mathbb{R}^mathbb{R}| le |P(mathbb{R}timesmathbb{R})|} = |P(mathbb{R})|$. Now scrutinise $|P(mathbb{R})|$:

● $color{#A9057D}{|P(mathbb{R})| = |2^{mathbb{R}}|}$, where $2^{mathbb{R}} := {f : ; f: mathbb{R} to {0,1}}$,
● Every $f: mathbb{R} to {0,1}$ is a particular case of a function from $mathbb{R}$ to $mathbb{R}$, thus $color{#EC5021}{2^{mathbb{R}} subsetneq mathbb{R}^mathbb{R}}$.

Altogether, $color{#A9057D}{|P(mathbb{R})| =} color{#EC5021}{|2^mathbb{R}| le} color{green}{|mathbb{R}^mathbb{R}| le |P(mathbb{R}timesmathbb{R})|} = |P(mathbb{R})|$

$implies |P(mathbb{R})| qquad qquad quad leq |mathbb{R}^mathbb{R}| leq |P(mathbb{R})| implies color{#A9057D}{underbrace{|P(mathbb{R})|}_{= |2^mathbb{R}|}} = |mathbb{R}^mathbb{R}| $.

Источник

Мо́щность, или кардина́льное число́, мно́жества (лат. cardinalis ← cardo «главное обстоятельство; основа; сердце») — характеристика множеств (в том числе бесконечных), обобщающая понятие количества (числа) элементов конечного множества.

В основе этого понятия лежат естественные представления о сравнении множеств:

  1. любые два множества, между элементами которых может быть установлено взаимно-однозначное соответствие (биекция), содержат одинаковое количество элементов (имеют одинаковую мощность, равномощны);
  2. обратно: равномощные множества должны допускать такое взаимно-однозначное соответствие;
  3. часть множества не превосходит полного множества по мощности (то есть по количеству элементов).

До того, когда была построена теория мощности множеств, множества различались по признакам: пустое/непустое и конечное/бесконечное, также конечные множества различались по количеству элементов. Бесконечные же множества нельзя было сравнить.

Мощность множеств позволяет сравнивать бесконечные множества.
Например, счётные множества являются самыми «маленькими» бесконечными множествами.

Мощность множества A обозначается через |A|.
Иногда встречаются обозначения overline {overline {A}}, #A и {mathrm {card}}(A).

Определение[править | править код]

Если принять аксиому выбора, мощность множества формально будет определяться как наименьшее порядковое число alpha , при котором между X и alpha можно установить биективное соответствие. Данное определение также называется распределением кардинальных чисел по фон Нейману.

Если не принимать аксиому выбора, то требуется иной подход. Самое первое определение мощности множества X (оно неявно присутствует в работах Кантора и явным образом сформулировано у Фреге, а также в Principia Mathematica) представляет собой класс [X] всех множеств, равномощных X. В аксиоматических системах, основанных на теории ZFC, такое определение неприменимо, поскольку при непустом X такая совокупность слишком велика, чтобы подходить под определение множества. Точнее, если Xneq varnothing , то существует инъективное отображение универсального множества в [X], при котором каждое множество m переходит в {m}times X, откуда, в силу аксиомы ограничения размера следует, что [X] — собственный класс. Данное определение можно использовать в теории типов и «новых основаниях»[en], а также в связанных с ними аксиоматических системах. В случае ZFC определение можно использовать, если ограничить коллекцию [X] равномощными множествами с наименьшим рангом (этот приём, предложенный Даной Скоттом, работает благодаря тому, что совокупность объектов, обладающих заданным рангом, является множеством).

Формальный порядок среди кардинальных чисел вводится следующим образом: |X|leq |Y| означает, что множество X можно инъективно отобразить на Y. Согласно теореме Кантора — Бернштейна, из пары неравенств |X|leq |Y| и |Y|leq |X| следует, что |X|=|Y|. Аксиома выбора эквивалентна утверждению о том, что для любых множеств X и Y выполняется по крайней мере одно из неравенств |X|leq |Y| или |Y|leq |X|.

Множество X называется бесконечным по Дедекинду[en], если в нём существует такое собственное подмножество Y, что |X|=|Y|. В противном случае множество называется конечным по Дедекинду. Конечные кардинальные числа совпадают с обычными натуральными числами или нулём, — иначе говоря, множество X конечно тогда и только тогда, когда |X|=|n|=n при некотором натуральном n или при n=0 (если множество пустое). Все остальные множества бесконечны. При соблюдении аксиомы выбора можно доказать, что определения по Дедекинду совпадают со стандартными. Кроме того, можно доказать, что мощность множества натуральных чисел aleph_0 (алеф-нуль, или алеф-0, — название образовано от первой буквы еврейского алфавита aleph ) представляет собой наименьшее бесконечно большое кардинальное число, то есть в любом бесконечном множестве есть подмножество мощности aleph_0. Следующее по порядку кардинальное число обозначается aleph_1 и так далее, число алефов бесконечно. Любому порядковому числу alpha соответствует кардинальное число aleph _{alpha }, причём таким образом можно описать любое бесконечно большое кардинальное число.

Связанные определения[править | править код]

  • Для мощностей, как и в случае конечных множеств, имеются понятия: «равенство», «больше», «меньше». То есть для любых множеств A и B возможно только одно из трёх:
    1. |A|=|B|, или A и B равномощны;
    2. |A|>|B|, или A мощнее B, то есть A содержит подмножество, равномощное B, но A и B не равномощны;
    3. |A|<|B|, или B мощнее A — в этом случае B содержит подмножество, равномощное A, но A и B не равномощны.
  • Множества A и B называются эквивалентными, если существует взаимно однозначное отображение множества A на множество B.[1]

Примеры[править | править код]

  • Множество называется счётным, если оно равномощно множеству всех натуральных чисел mathbb {N} . Счётными множествами являются:
  • Бесконечные множества, неравномощные множеству mathbb {N} , называются несчётными. По теореме Кантора несчётным является множество всех возможных бесконечных последовательностей, составленных из цифр 0 и 1. Мощность этого множества называется континуум.
  • Мощность множества вещественных чисел mathbb {R} равна континууму.

Свойства[править | править код]

Арифметика кардинальных чисел[править | править код]

Обычные арифметические операции над числами натурального ряда можно обобщить на случай кардинальных чисел. Можно также показать, что в случае конечных кардинальных чисел эти операции совпадают с соответствующим арифметическими действиями над числами. Помимо этого, операции над кардинальными числами сохраняют многие свойства обычных арифметических операций.

Следующее по порядку кардинальное число[править | править код]

Если принять аксиому выбора, то для каждого кардинального числа kappa можно определить следующее за ним число kappa ^{+}>kappa , причём между kappa и kappa ^{+} нет других кардинальных чисел.
Если kappa конечно, то кардинальное число, следующее по порядку, совпадает с kappa +1.
В случае бесконечных kappa следующее кардинальное число отличается от следующего порядкового числа.

Через {displaystyle kappa ^{-}} обозначают предыдущее кардинальное число для числа kappa если таковое существует; в противном случае, {displaystyle kappa ^{-}=kappa }.

Сложение кардинальных чисел[править | править код]

Если множества X и Y не имеют общих элементов, то сумма мощностей определяется мощностью их объединения. При наличии общих элементов исходные множества можно заменить непересекающимися множествами той же мощности — например, заменить X на Xtimes {0}, а Y на Ytimes {1}.

Нейтральность нуля относительно сложения:

kappa +0=0+kappa =kappa

Ассоциативность:

(kappa +mu )+nu =kappa +(mu +nu )

Коммутативность:

kappa +mu =mu +kappa

Монотонность (неубывание) сложения по обоим аргументам:

kappa leq mu rightarrow kappa +nu leq mu +nu .
kappa leq mu rightarrow nu +kappa leq nu +mu .

Если аксиому выбора принять верной, то сумму двух бесконечных кардинальных чисел можно легко вычислить.
Если одно из чисел kappa или mu бесконечно, то

kappa +mu =max{kappa ,mu },.

Вычитание[править | править код]

При соблюдении аксиомы выбора для любого бесконечного кардинального числа sigma и произвольного кардинального числа mu существование kappa, при котором mu +kappa =sigma , эквивалентно неравенству mu leq sigma . Такое kappa единственно (и совпадает с sigma ) тогда и только тогда, когда mu <sigma .

Умножение кардинальных чисел[править | править код]

Произведение двух кардинальных чисел выражается через декартово произведение множеств:
|X|cdot |Y|=|Xtimes Y|

Свойства нуля:

kappa cdot 0=0cdot kappa =0
{displaystyle kappa cdot mu =0rightarrow kappa =0lor mu =0}

Нейтральность единицы относительно умножения:

kappa cdot 1=1cdot kappa =kappa

Ассоциативность:

(kappa cdot mu )cdot nu =kappa cdot (mu cdot nu )

Коммутативность:

kappa cdot mu =mu cdot kappa

Монотонность (неубывание) умножения по обоим аргументам:

kappa leq mu rightarrow kappa cdot nu leq mu cdot nu .
kappa leq mu rightarrow nu cdot kappa leq nu cdot mu .

Дистрибутивность умножения относительно сложения:

kappa cdot (mu +nu )=kappa cdot mu +kappa cdot nu
(mu +nu )cdot kappa =mu cdot kappa +nu cdot kappa

По аналогии со сложением, произведение двух бесконечных кардинальных чисел можно легко вычислить при соблюдении аксиомы выбора. Если числа kappa и mu отличны от нуля и хотя бы одно из них бесконечно, то

kappa cdot mu =max{kappa ,mu },.

Деление[править | править код]

При соблюдении аксиомы выбора для любой пары кардинальных чисел pi и mu , где pi бесконечно, а mu не равно нулю, существование kappa, при котором mu cdot kappa =pi , эквивалентно неравенству mu leq pi . Такое kappa единственно (и совпадает с pi ) тогда и только тогда, когда mu <pi .

Возведение кардинальных чисел в степень[править | править код]

Возведение в степень определяется следующим образом:

|X|^{{|Y|}}=|X^{Y}|,

где X^{Y} обозначает множество всех функций из Y в X.

kappa ^{0}=1 (в частности, 0^{0}=1), см. «Пустая функция»
1leq mu rightarrow 0^{mu }=0
1^{mu }=1
kappa ^{1}=kappa
kappa ^{{mu +nu }}=kappa ^{mu }cdot kappa ^{nu }
kappa ^{{mu cdot nu }}=(kappa ^{mu })^{nu }
(kappa cdot mu )^{nu }=kappa ^{nu }cdot mu ^{nu }

Монотонность:

{displaystyle (1leq nu land kappa leq mu )rightarrow nu ^{kappa }leq nu ^{mu }}
kappa leq mu rightarrow kappa ^{nu }leq mu ^{nu }

Заметим, что 2^{{|X|}} представляет собой мощность булеана X и, следовательно, 2^{{|X|}}>|X| для любого множества X (см. Диагональный метод Кантора). Отсюда следует, что среди кардинальных чисел нет наибольшего (поскольку для любого кардинального числа kappa можно указать большее число 2^{kappa }). В действительности класс всех кардинальных чисел является собственным (хотя в некоторых системах аксиом теории множества этого доказать нельзя — к таковым, например, относится система «Новых оснований»[en]).

Все последующие утверждения, приведённые в этом разделе, опираются на аксиому выбора.

Если kappa и mu  — конечные числа, большие 1, а nu  — бесконечное кардинальное число, то {displaystyle kappa ^{nu }=mu ^{nu }.}
Если кардинальное число kappa бесконечно, а mu конечно и отлично от нуля, то kappa ^{mu }=kappa .

Если kappa geq 2 и mu geq 1, причём хотя бы одно из них бесконечно, то

{displaystyle max{kappa ,2^{mu }}leq kappa ^{mu }leq max{2^{kappa },2^{mu }}}.

Используя теорему Кёнига, можно доказать, что для любого бесконечного кардинального числа kappa выполняются неравенства:

{displaystyle kappa <kappa ^{operatorname {cf} (kappa )}}
{displaystyle kappa <operatorname {cf} (2^{kappa })},

где {displaystyle operatorname {cf} (kappa )} обозначает конфинальность kappa.

Извлечение корней[править | править код]

Если соблюдать аксиому выбора, то для любого бесконечного кардинала kappa и конечного кардинала mu >0 существует кардинальное число nu , при котором nu ^{mu }=kappa , причём nu =kappa .

Логарифмы[править | править код]

При соблюдении аксиомы выбора кардинальное число lambda , удовлетворяющее условию mu ^{lambda }=kappa , при заданном бесконечном kappa и конечном mu >1, существует не всегда. Если же такое lambda существует, то оно бесконечно и меньше kappa, причём любое конечное кардинальное число nu >1 также будет удовлетворять равенству nu ^{lambda }=kappa .

Логарифмом бесконечного кардинального числа kappa называется наименьшее кардинальное число mu , удовлетворяющее условию kappa leq 2^{mu }. Несмотря на то, что логарифмы бесконечно больших кардинальных чисел лишены некоторых свойств, характерных для логарифмов положительных вещественных чисел, они оказываются полезными в некоторых областях математики — в частности, при изучении кардинальных инвариантов топологических пространств.

Континуум-гипотеза[править | править код]

Согласно континуум-гипотезе, между aleph_0 и 2^{aleph_0} не существует других кардинальных чисел. Кардинальное число 2^{aleph_0} также обозначается mathfrak{c} и представляет собой мощность континуума (то есть множества вещественных чисел). В данном случае 2^{{aleph _{0}}}=aleph _{1}. Обобщённая континуум-гипотеза отрицает существование кардинальных чисел, заключённых строго между |X| и 2^{{|X|}}, для любого бесконечного множества X. Континуум-гипотеза является независимой от стандартной аксиоматизации теории множеств, то есть системы аксиом Цермело-Френкеля в сочетании с аксиомой выбора (см. Теория множеств Цермело-Френкеля).

См. также[править | править код]

  • Порядковое число

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Мельников О. В., Ремеслеников В. Н., Романьков В. А. Общая алгебра. Том 1. — М., Наука, 1990. — с. 31
  2. ↑ Мельников О. В., Ремеслеников В. Н., Романьков В. А. Общая алгебра. Том 1. — М., Наука, 1990. — с. 32

Литература[править | править код]

  • А. А. Болибрух, Проблемы Гильберта (100 лет спустя), Глава 2 Первая проблема Гильберта: континуум-гипотеза Архивная копия от 3 июня 2004 на Wayback Machine, Библиотека «Математическое просвещение», Выпуск 2
  • Р. Курант, Г. Роббинс, Что такое математика? Глава II, § 4.
  • Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 109-110. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3.
  • Брудно А. Л. Теория функций действительного переменного. — М.: Наука, 1971. — 119 с.
Источник

Множество всех функций из $%mathbb R$% в $%mathbb R$% имеет мощность больше континуума, поэтому для отдельных классов функций представляет интерес доказательство того, что их континуум. Скажем, для непрерывных функций это так, потому что они однозначно определяются значениями в рациональных точках. А множество отображений счётного множества в $%mathbb R$% континуально: $%mathbb R^{mathbb N}sim(2^{mathbb N})^{mathbb N}sim2^{mathbb Ntimesmathbb N}sim2^{mathbb N}simmathbb R$%.

Ясно, что функций не меньше континуума, и тогда с учётом теоремы Кантора – Бернштейна достаточно доказывать, что их не больше континуума.

С монотонными функциями дело обстоит чуть сложнее, потому что они значениями в рациональных точках в общем случае не определяются. Рассмотрим функцию $%f(x)=0$% при $%x < sqrt2$%, $%f(x)=1$% при $%x > sqrt2$%, и тогда для $%f(sqrt2)$% годится любое значение из отрезка $%[0;1]$%.

Тем не менее, значения в рациональных точках однозначно определяют значения в точках непрерывности. Если $%x_0$% — точка разрыва, то рассмотрим два числа: $%a=suplimits_{x < x_0}f(x)$% и $%b=inflimits_{x > x_0}f(x)$%. При этом $%a < b$%, и возникает интервал $%(a,b)$%, из которого функция не принимает значений. Для каждой точки разрыва, такой интервал свой в силу монотонности, и разные интервалы не пересекаются. Их множество не более чем счётно ввиду наличия в каждом интервале своей рациональной точки. Тем самым, множество точек разрыва не более чем счётно.

Заметим, что множество (не более чем) счётных подмножеств континуума имеет мощность континуума. Это доказывается стандартно: берём интервал $%(0;1)$%, и элементы счётного подмножества записываем в виде строк как двоичные дроби. Получается матрица, элементы которой нумеруем некоторым способом. Это даёт новое число, которое хранит информацию о всех элементах подмножества: зная это число, можно восстановить матрицу.

Теперь заметим, что монотонная функция однозначно определяется такими данными: 1) значения в рациональных точках; 2) множество точек разрыва; 3) значения в точках разрыва. Получается, что функций не больше, чем элементов $%mathbb R^3$%, то есть не больше континуума. Это завершает доказательство.

Источник

Добавить комментарий