Как найти на что делится число

Как найти на что делится число

Нахождение всех делителей числа

  • Все делители числа
  • Калькулятор нахождения всех делителей

Все делители числа

Все делители, на которые данное число делится нацело, можно получить из разложения числа на простые множители.

Нахождение всех делителей числа выполняется следующим образом:

  1. Сначала нужно разложить данное число на простые множители.
  2. Выписываем каждый полученный простой множитель (без повторов, если какой-то множитель повторяется).
  3. Далее, находим всевозможные произведения всех полученных простых множителей между собой и добавляем их к выписанным простым множителям.
  4. В конце добавляем в качестве делителя единицу.

Например, найдём все делители числа  40.  Раскладываем число  40  на простые множители:

40 = 23 · 5.

Выписываем (без повторов) каждый полученный простой множитель — это  2  и  5.

Далее находим всевозможные произведения всех полученных простых множителей между собой:

2 · 2 = 4,
2 · 2 · 2 = 8,
2 · 5 = 10,
2 · 2 · 5 = 20,
2 · 2 · 2 · 5 = 40.

Добавляем в качестве делителя  1.  В итоге получаем все делители, на которые число  40  делится без остатка:

1,  2,  4,  5,  8,  10,  20,  40.

Других делителей у числа  40  нет.

Калькулятор нахождения всех делителей

Данный калькулятор поможет вам получить все делители числа. Просто введите число и нажмите кнопку “Вычислить”.

Источник

При́знак дели́мости — алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному[1]. Если признак делимости позволяет выяснить не только делимость числа на заранее заданное, но и остаток от деления, то его называют признаком равноостаточности.

Как правило, признаки делимости применяются при ручном счёте и для чисел, представленных в конкретной позиционной системе счисления (обычно десятичной).

Понятия делимости, равноделимости и равноостаточности[править | править код]

Если для двух целых чисел a и b существует такое целое число q, что

b,q=a,

то говорят, что число a делится на b.

Два целых числа a и b называются равноделимыми на m, если либо они оба делятся на m, либо оба не делятся[2].

Два целых числа a и b равноостаточны при делении на натуральное число m (или сравнимы по модулю m), если при делении на m они дают одинаковые остатки, то есть существует такие целые числа q_{1},,q_{2},,r, что

a=m,q_{1}+r,;;b=m,q_{2}+r.

Общие принципы построения[править | править код]

Пусть требуется определить, делится ли некоторое натуральное число A на другое натуральное число m. Для этого возьмём последовательность натуральных чисел:

A_{0},,A_{1},,A_{2},,A_{3},,dots ,,A_{n},

такую, что:

  1. {displaystyle A_{0}=A;}
  2. каждый член последовательности определяется предыдущим;
  3. A_{i}<A_{{i-1}},quad i=1,,2,,3,,dots ,,n-1;
  4. последний член последовательности меньше m, то есть {displaystyle 0leqslant A_{n}<m.}
  5. все члены последовательности имеют одинаковые остатки при делении на m.

Тогда, если последний член этой последовательности равен нулю, то A делится на m, в противном случае A на m не делится.

Способ (алгоритм) построения такой последовательности и будет искомым признаком делимости на m. Математически он может быть описан с помощью функции f(x), определяющей каждый следующий член последовательности в зависимости от предыдущего:

A_{i}=fleft(A_{{i-1}}right),quad i=1,,2,,3,,dots ,,n,

удовлетворяющей следующим условиям:

  1. при {displaystyle x<m} значение f(x) не определено;
  2. при xgeqslant m значение f(x) есть натуральное число;
  3. если xgeqslant m, то {displaystyle f(x)<x;}
  4. если xgeqslant m, то f(x) и x равноделимы на m.

Если требование равноделимости для всех членов последовательности заменить на более строгое требование равноостаточности, то последний член этой последовательности будет являться остатком от деления A на m, а способ (алгоритм) построения такой последовательности будет признаком равноостаточности на m. В силу того, что из равенства остатка при делении на m нулю следует делимость на m, любой признак равноостаточности может применяться как признак делимости. Математически признак равноостаточности тоже может быть описан с помощью функции f(x), определяющей каждый следующий член последовательности в зависимости от предыдущего:

A_{i}=fleft(A_{{i-1}}right),quad i=1,,2,,3,,dots ,,n,

удовлетворяющей следующим условиям:

  1. при {displaystyle x<m} значение f(x) не определено;
  2. при xgeqslant m значение f(x) есть натуральное число;
  3. если xgeqslant m, то {displaystyle f(x)<x;}
  4. если xgeqslant m, то f(x) и x равноостаточны при делении на m.

Примером такой функции, определяющей признак равноостаточности (и, соответственно, признак делимости), может быть функция

f(x)=x-m,quad xgeqslant m,

а последовательность, построенная с её помощью будет иметь вид:

A,,A-m,,A-2m,,A-3m,,dots

По сути применение признака равноостаточности на базе этой функции эквивалентно делению при помощи вычитания.

Другим примером может служить общеизвестный признак делимости (а также равноостаточности) на 10.

Если последняя цифра в десятичной записи числа равна нулю, то это число делится на 10; кроме того, последняя цифра будет являться остатком от деления исходного числа на 10.

Математически этот признак равноостаточности может быть сформулирован следующим образом. Пусть надо выяснить остаток от деления на 10 натурального числа A, представленного в виде

A=10,b+a,quad 0leqslant a<10,quad bgeqslant 0.

Тогда остатком от деления A на 10 будет a. Функция, описывающая этот признак равноостаточности будет выглядеть как

f(A)=a,quad Ageqslant 10.

Легко доказать, что эта функция удовлетворяет всем перечисленным выше требованиям. Причём последовательность, построенная с её помощью, будет содержать всего один или два члена.

Также легко видеть, что такой признак ориентирован именно на десятичное представление числа A — так, например, если применять его на компьютере, использующем двоичную запись числа, то чтобы выяснить a, программе пришлось бы сначала поделить A на 10.

Для построения признаков равноостаточности и делимости чаще всего используется следующие теоремы:

  1. При любых целом q и натуральном m целые числа A и A+mq равноостаточны при делении на m.
  2. При любых целом q, натуральном m, целые числа A и pA+mq равноделимы на m, если целое p является взаимно простым с m.

Пример построения признаков делимости и равноостаточности на 7

Продемонстрируем применение этих теорем на примере признаков делимости и равноостаточности на m=7.

Пусть дано целое число

A=10,a_{1}+a_{0},quad 0leqslant a_{0}<10,quad a_{1}geqslant 0.

Тогда из первой теоремы полагая q=-a_{1} будет следовать, что A будет равноостаточно при делении на 7 с числом

A'=A-7a_{1}=left(10-7right)a_{1}+a_{0}=3,a_{1}+a_{0}.

Запишем функцию признака равноостаточности в виде:

f(A)={begin{cases}3,a_{1}+a_{0},&Ageqslant A_{{min}},\A-7,&7leqslant A<A_{{min}}.end{cases}}

И, наконец, остаётся найти такое A_{{min}}leqslant 7,, при котором для любого Aleqslant A_{{min}} выполняется условие 3,a_{1}+a_{0}<A. В данном случае A_{{min}}=10 и функция приобретает окончательный вид:

f(A)={begin{cases}3,a_{1}+a_{0},&Ageqslant 10,\A-7,&7leqslant A<10.end{cases}}

А из второй теоремы, полагая q=3,a_{1} и p=-2, взаимно простое с 7, будет следовать, что A будет равноделимы на 7 с числом

A'=7cdot 3a_{1}-2A=left(21-20right)a_{1}-2,a_{0}=a_{1}-2,a_{0}.

Учитывая, что числа A' и left|A'right| равноделимы на 7, запишем функцию признака делимости в виде:

f(A)={begin{cases}left|a_{1}-2,a_{0}right|,&Ageqslant A_{{min}},\A-7,&7leqslant A<A_{{min}}.end{cases}}

И, наконец, остаётся найти такое A_{{min}}leqslant 7,, при котором для любого Aleqslant A_{{min}} выполняется условие left|a_{1}-2,a_{0}right|<A. В данном случае A_{{min}}=10 и функция приобретает окончательный вид:

f(A)={begin{cases}left|a_{1}-2,a_{0}right|,&Ageqslant 10,\A-7,&7leqslant A<10.end{cases}}

Признаки делимости в десятичной системе счисления[править | править код]

Признак делимости на 2[править | править код]

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Соответствующая признаку функция (см. раздел «Общие принципы построения»):

{displaystyle A=10,a_{1}+a_{0},quad 0leqslant a_{0}<10,quad a_{1}geqslant 0,}
F(A)={begin{cases}a_{0},&Ageqslant 10\A-2,&2leqslant A<10.end{cases}}

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признак делимости на 3[править | править код]

Число делится на 3, когда сумма его цифр делится на 3. Например, число 159 делится на 3, поскольку сумма его цифр 1 + 5 + 9 = 15 делится на 3.

Соответствующая признаку функция:

A=sum _{{i=0}}^{n}10^{i}a_{i},quad 0leqslant a_{i}<10,quad i=0,1,,dots ,n,
F(A)={begin{cases}{sum _{{i=0}}^{n}a_{i}},&Ageqslant 10,\A-3,&3leqslant A<10.end{cases}}

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 154, 1+5+4=10 и 1+0=1 равноостаточны при делении на 3.

Признак делимости на 4[править | править код]

Число делится на 4, когда две последние цифры нули или составляют число, делящееся на 4. Например, 14676 — последние цифры 76, и число 76 делится на 4: 76:4=19. Двузначное число делится на 4 тогда и только тогда, когда удвоенная цифра в разряде десятков, сложенная с цифрой в разряде единиц, делится на 4. Например, число 42 не делится на 4, так как 2cdot 4+2=10 не делится на 4.

Соответствующая признаку функция:

A=100,a_{2}+10,a_{1}+a_{0},quad 0leqslant a_{0}<10,quad 0leqslant a_{1}<10,quad a_{2}geqslant 0,
F(A)={begin{cases}2,a_{1}+a_{0},&Ageqslant 10,\A-4,&4leqslant A<10.end{cases}}

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 87, 8cdot 2+7=23 и 2cdot 2+3=7 равноостаточны при делении на 4.

Более простая формулировка: Число делится на 4, если в последнем разряде 0, 4, 8, а предпоследний разряд чётный; или если в последнем разряде 2, 6, а предпоследний разряд нечётный.

Признак делимости на 5[править | править код]

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 0 или на 5.

Соответствующая признаку функция:

A=10,a_{1}+a_{0},quad 0leqslant a_{0}<10,quad a_{1}geqslant 0,
F(A)={begin{cases}a_{0},&Ageqslant 10,\A-5,&5leqslant A<10.end{cases}}

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признак делимости на 6[править | править код]

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно чётное и сумма его цифр делится на 3).

Другой признак делимости: число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с цифрой в разряде единиц, делится на 6.

Соответствующая признаку функция:

A=10,a_{1}+a_{0},quad 0leqslant a_{0}<10,quad a_{1}geqslant 0,
F(A)={begin{cases}4,a_{1}+a_{0},&Ageqslant 10,\A-6,&6leqslant A<10.end{cases}}

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 73, 7cdot 4+3=31, 3cdot 4+1=13 и 1cdot 4+3=7 равноостаточны при делении на 6.

Признак делимости на 7[править | править код]

Признак 1:

число делится на 7 тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с цифрой в разряде единиц, делится на 7. Например, 154 делится на 7, так как на 7 делится 15cdot 3+4=49. 1001 делится на 7, так как на 7 делятся {displaystyle 100cdot 3+1=301,quad 30cdot 3+1=91,quad 9cdot 3+1=28,quad 2cdot 3+8=14,quad 1cdot 3+4=7.}

Соответствующая этому признаку функция:

A=10,a_{1}+a_{0},quad 0leqslant a_{0}<10,quad a_{1}geqslant 0,
F(A)={begin{cases}3,a_{1}+a_{0},&Ageqslant 10,\A-7,&7leqslant A<10.end{cases}}

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 87, 8cdot 3+7=31, 3cdot 3+1=10 и 1cdot 3+0=3 равноостаточны при делении на 7.

Модификации признака 1:

a) берётся первая слева цифра, умножается на 3, прибавляется следующая, и всё повторяется сначала: например, для 154: {displaystyle 1cdot 3+5=8,quad 8cdot 3+4=28}. Также на каждом шаге можно брать остаток от деления на 7: {displaystyle 1cdot 3+5=8} остаток 1, {displaystyle 1cdot 3+4=7} остаток 0. В обоих случаях итоговое число равноостаточно при делении на 7 с исходным числом.

b) если удвоенное число единиц числа отнять от оставшегося числа десятков и результат будет делиться на 7, то число кратно 7. Например: 784 делится на 7, так как 78 − (2 × 4) = 78 − 8 = 70 ({displaystyle a_{1}-2,a_{0}=0{bmod {7}}Leftrightarrow } {displaystyle 3,a_{1}-6,a_{0}=0{bmod {7}}Leftrightarrow } {displaystyle 3,a_{1}-6,a_{0}+7,a_{0}=0{bmod {7}}Leftrightarrow } {displaystyle 3,a_{1}+a_{0}=0{bmod {7}}}).

Признак 2:

число делится на 7 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «−» делится на 7. Например, 138 689 257 делится на 7, так как на 7 делится {displaystyle |138-689+257|=294.}

Соответствующая этому признаку функция:

A=sum _{{i=0}}^{n}1000^{i}a_{i},quad 0leqslant a_{i}<1000,quad i=0,1,,dots ,n,
F(A)={begin{cases}left|sum _{{i=0}}^{n}left(-1right)^{i}a_{i}right|,&Ageqslant 1000,\A-7,&7leqslant A<1000.end{cases}}

Признак 3:

если разность между числом, состоящим из трёх последних цифр данного числа, и числом, образованным из оставшихся цифр данного числа (то есть без последних трёх цифр), делится на 7, то данное число делится на 7.
Пример для числа 1730736: 1730 − 736 = 994, 994 / 7 = 142.

Признак делимости на 8[править | править код]

Число делится на 8, когда три последние цифры составляют число, делящееся на 8. Трёхзначное число делится на 8 тогда и только тогда, когда цифра в разряде единиц, сложенная с удвоенной цифрой в разряде десятков и учетверённой цифрой в разряде сотен, делится на 8. Например, 952 делится на 8 так как на 8 делится 9cdot 4+5cdot 2+2=48.

Соответствующая признаку функция:

A=1000,a_{3}+100,a_{2}+10,a_{1}+a_{0},quad 0leqslant a_{0}<10,quad 0leqslant a_{1}<10,quad 0leqslant a_{2}<10,quad a_{3}geqslant 0,
F(A)={begin{cases}4,a_{2}+2,a_{1}+a_{0},&Ageqslant 10,\A-8,&8leqslant A<10.end{cases}}

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 567, 5cdot 4+6cdot 2+7=39, 3cdot 2+9=15 и 1cdot 2+5=7 равноостаточны при делении на 8.

Признак делимости на 9[править | править код]

Число делится на 9, когда сумма его цифр делится на 9. Например, сумма цифр числа 12345678 делится на 9, следовательно и само число делится на 9. 1+2+3+4+5+6+7+8=36.

Соответствующая признаку функция:

A=sum _{{i=0}}^{n}10^{i}a_{i},quad 0leqslant a_{i}<10,quad i=0,1,,dots ,n,
F(A)={begin{cases}sum _{{i=0}}^{n}a_{i},&Ageqslant 10,\0,&A=9.end{cases}}

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 345, 3+4+5=12 и 1+2=3 равноостаточны при делении на 9.

Признак делимости на 10[править | править код]

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Соответствующая этому признаку функция:

A=10,a_{1}+a_{0},quad 0leqslant a_{0}<10,quad a_{1}geqslant 0,
F(A)=a_{0},quad Ageqslant 10.

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признаки делимости на 11[править | править код]

Признак 1: число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места, делится на 11. Например, 9 163 627 делится на 11, так как left|(9+6+6+7)-(1+3+2)right|=22 делится на 11. Другой пример — 99077 делится на 11, так как left|(9+0+7)-(9+7)right|=0 делится на 11.

Соответствующая этому признаку функция:

A=sum _{{i=0}}^{n}10^{i}a_{i}quad 0leqslant a_{i}<10,quad i=0,1,,dots ,n,
F(A)=left|sum _{{i=0}}^{n}left(-1right)^{i}a_{i}right|,quad Ageqslant 11.

Признак 2: число делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц). Например, 103785 делится на 11, так как на 11 делятся 10+37+85=132 и 01+32=33.

Соответствующая признаку функция:

A=sum _{{i=0}}^{n}100^{i}a_{i},quad 0leqslant a_{i}<100,quad i=0,1,,dots ,n,
F(A)={begin{cases}sum _{{i=0}}^{n}a_{i},&Ageqslant 100,\A-11,&11leqslant A<100.end{cases}}

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 123456, 12+34+56=102 и 1+2=3 равноостаточны при делении на 11.

Признак делимости на 13[править | править код]

Признак 1: Число делится на 13, когда сумма числа десятков с учетверённой цифрой в разряде единиц делится на 13. Например
845 делится на 13, так как на 13 делятся 84+5cdot 4=104 и 10+4cdot 4=26.

Признак 2: Число делится на 13, когда разность числа десятков с девятикратным числом, стоящего в разряде единиц, делится на 13. Например
845 делится на 13, так как на 13 делятся 84-9cdot 5=39.

Соответствующая этому признаку функция:

A=10,a_{1}+a_{0},quad 0leqslant a_{0}<10,quad a_{1}geqslant 0,
F(A)={begin{cases}a_{1}+4,a_{0},&Ageqslant 40,\A-13,&13leqslant A<40.end{cases}}

Признак 3: Число делится на 13, если разность между числом, состоящим из трёх последних цифр данного числа, и числом, образованным из оставшихся цифр данного числа (то есть без последних трёх цифр), делится на 13.Например 192218 делится на 13, так как 218-192=26, а 26 делится на 13.

Признак делимости на 17[править | править код]

Число делится на 17 в следующих случаях:

— когда модуль разности числа десятков и умноженной на 5 цифрой в разряде единиц делится на 17. Например, 221 делится на 17, так как left|22-5cdot 1right|=17 делится на 17.

— когда модуль суммы числа десятков и умноженной на 12 цифрой в разряде единиц делится на 17. Например, 221 делится на 17, так как left|22+12cdot 1right|=34 делится на 17.

Соответствующая этому признаку функция:

A=10,a_{1}+a_{0},quad 0leqslant a_{0}<10,quad a_{1}geqslant 0,
F(A)={begin{cases}left|a_{1}-5,a_{0}right|,&Ageqslant 40,\A-17,&17leqslant A<40.end{cases}}

Признак делимости на 19[править | править код]

Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенной цифрой в разряде единиц, делится на 19. Например, 646 делится на 19, так как на 19 делятся 64+2cdot 6=76 и 7+2cdot 6=19.

Соответствующая этому признаку функция:

A=10,a_{1}+a_{0},quad 0leqslant a_{0}<10,quad a_{1}geqslant 0,
F(A)={begin{cases}a_{1}+2,a_{0},&Ageqslant 20,\0,&A=19.end{cases}}

Признак делимости на 20[править | править код]

Число делится на 20 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20.

Другая формулировка: число делится на 20 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — чётная.

Соответствующая этому признаку функция:

A=100,a_{1}+a_{0},quad 0leqslant a_{0}<100,quad a_{1}geqslant 0,
F(A)={begin{cases}a_{0},&Ageqslant 100,\A-20,&20leqslant A<100.end{cases}}

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признаки делимости на 23[править | править код]

Признак 1: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23. Например, 28842 делится на 23, так как на 23 делятся 288+3cdot 42=414 и 4+3cdot 14=46.

Признак 2: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с умноженной на 7 цифрой в разряде единиц, делится на 23. Например, 391 делится на 23, так как 39+7cdot 1=46 делится на 23.

Признак 3: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с умноженной на 7 цифрой в разряде десятков и утроенной цифрой в разряде единиц, делится на 23. Например, 391 делится на 23, так как 3+7cdot 9+3cdot 1=69 делится на 23.

Признак делимости на 25[править | править код]

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 25. Другими словами, на 25 делятся числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75.

Соответствующая этому признаку функция:

A=100,a_{1}+a_{0},quad 0leqslant a_{0}<100,quad a_{1}geqslant 0,
F(A)={begin{cases}a_{0},&Ageqslant 100,\A-25,&25leqslant A<100.end{cases}}

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признак делимости на 27[править | править код]

Число делится на 27 тогда и только тогда, когда на 27 делится сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц).

Соответствующая признаку функция:

A=sum _{{i=0}}^{n}1000^{i}a_{i},quad 0leqslant a_{i}<1000,quad i=0,1,,dots ,n,
F(A)={begin{cases}sum _{{i=0}}^{n}a_{i},&Ageqslant 1000,\A-27,&27leqslant A<1000.end{cases}}

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признак делимости на 29[править | править код]

Число делится на 29 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с утроенной цифрой в разряде единиц, делится на 29. Например, 261 делится на 29, так как 26+3cdot 1=29 делится на 29.

Соответствующая этому признаку функция:

A=10,a_{1}+a_{0},quad 0leqslant a_{0}<10,quad a_{1}geqslant 0,
F(A)={begin{cases}a_{1}+3,a_{0},&Ageqslant 30,\0,&A=29.end{cases}}

Признак делимости на 30[править | править код]

Число делится на 30 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 0 и сумма всех цифр делится на 3. Например: 510 делится на 30, а 678 — нет.

Признак делимости на 31[править | править код]

Число делится на 31 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и утроенной цифры в разряде единиц делится на 31. Например, 217 делится на 31, так как left|21-3cdot 7right|=0 делится на 31.

Соответствующая этому признаку функция:

A=10,a_{1}+a_{0},quad 0leqslant a_{0}<10,quad a_{1}geqslant 0,
F(A)=left|a_{1}-3,a_{0}right|,quad Ageqslant 31.

Признак делимости на 37[править | править код]

Признак 1: число делится на 37 тогда и только тогда, когда при разбивании числа на группы по три цифры (начиная с единиц) сумма этих групп кратна 37.

Соответствующая признаку функция:

A=sum _{{i=0}}^{n}1000^{i}a_{i},quad 0leqslant a_{i}<1000,quad i=0,1,,dots ,n,
F(A)={begin{cases}sum _{{i=0}}^{n}a_{i},&Ageqslant 1000,\A-37,&37leqslant A<1000.end{cases}}

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признак 2: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль утроенного числа сотен, сложенного с учетверённой цифрой в разряде десятков, за вычетом цифры в разряде единиц, умноженной на семь. Например, число 481 делится на 37, так как на 37 делится left|3cdot 4+4cdot 8-7right|=37.

Соответствующая признаку функция:

A=100,a_{2}+10,a_{1}+a_{0},quad 0leqslant a_{0}<10,quad 0leqslant a_{1}<10,quad a_{2}geqslant 0,
F(A)=left|3,a_{2}+4,a_{1}-7,a_{0}right|,quad Ageqslant 37.

Признак 3: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль суммы числа сотен с цифрой в разряде единиц, умноженной на десять, за вычетом цифры в разряде десятков, умноженной на 11. Например, число 481 делится на 37, так как на 37 делится left|4-11cdot 8+10cdot 1right|=74.

Соответствующая признаку функция:

A=100,a_{2}+10,a_{1}+a_{0},quad 0leqslant a_{0}<10,quad 0leqslant a_{1}<10,quad a_{2}geqslant 0,
F(A)={begin{cases}left|a_{2}-11,a_{1}+10,a_{0}right|,&Ageqslant 100,\A-37,&37leqslant A<100.end{cases}}

Признак делимости на 41[править | править код]

Признак 1: число делится на 41 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и четырёхкратной цифры в разряде единиц делится на 41. Например, 369 делится на 41, так как left|36-4cdot 9right|=0 делится на 41.

Соответствующая этому признаку функция:

A=10,a_{1}+a_{0},quad 0leqslant a_{0}<10,quad a_{1}geqslant 0,
F(A)=left|a_{1}-4,a_{0}right|,quad Ageqslant 41.

Признак 2: чтобы проверить, делится ли число на 41, его следует справа налево разбить на грани по 5 цифр в каждой. Затем в каждой грани первую справа цифру умножить на 1, вторую цифру умножить на 10, третью — на 18, четвёртую — на 16, пятую — на 37 и все полученные произведения сложить. Если результат будет делиться на 41, тогда и только тогда само число будет делиться на 41.

Есть и другие (более удобные) признаки делимости на 41, см. 41 (число).

Признак делимости на 50[править | править код]

Число делится на 50 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его младшими десятичными цифрами, делится на 50.

Соответствующая этому признаку функция:

A=100,a_{1}+a_{0},quad 0leqslant a_{0}<100,quad a_{1}geqslant 0,
F(A)={begin{cases}a_{0},&Ageqslant 100,\A-50,&50leqslant A<100.end{cases}}

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признак делимости на 59[править | править код]

Число делится на 59 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с цифрой в разряде единиц, умноженной на 6, делится на 59. Например, 767 делится на 59, так как на 59 делятся 76+6cdot 7=118 и 11+6cdot 8=59.

Соответствующая этому признаку функция:

A=10,a_{1}+a_{0},quad 0leqslant a_{0}<10,quad a_{1}geqslant 0,
F(A)={begin{cases}a_{1}+6,a_{0},&Ageqslant 60,\0,&A=59.end{cases}}

Признак делимости на 79[править | править код]

Число делится на 79 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с цифрой в разряде единиц, умноженной на 8, делится на 79. Например, 711 делится на 79, так как на 79 делятся 71+8cdot 1=79.

Соответствующая этому признаку функция:

A=10,a_{1}+a_{0},quad 0leqslant a_{0}<10,quad a_{1}geqslant 0,
F(A)={begin{cases}a_{1}+8,a_{0},&Ageqslant 80,\0,&A=79.end{cases}}

Признак делимости на 99[править | править код]

Число делится на 99 тогда и только тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц). Например, 12573 делится на 99, так как на 99 делится 1+25+73=99.

Соответствующая признаку функция:

A=sum _{{i=0}}^{n}100^{i}a_{i},quad 0leqslant a_{i}<100,quad i=0,1,,dots ,n,
F(A)={begin{cases}sum _{{i=0}}^{n}a_{i},&Ageqslant 100,\0,&A=99.end{cases}}

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 123456, 12+34+56=102 и 1+2=3 равноостаточны при делении на 99.

Признак делимости на 101[править | править код]

Число делится на 101 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по две цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как на 101 делится left|59-5+47right|=101.

Соответствующая этому признаку функция:

A=sum _{{i=0}}^{n}100^{i}a_{i},quad 0leqslant a_{i}<100,quad i=0,1,,dots ,n,
F(A)=left|sum _{{i=0}}^{n}left(-1right)^{i}a_{i}right|,quad Ageqslant 101.

Признак делимости на 1091[править | править код]

Число делится на 1091 тогда и только тогда, когда разность числа десятков и умноженной на 109 цифры в разряде единиц делится на 1091. Например, 18547 делится на 1091, так как 1854 – 7 * 109 = 1091 делится на 1091.

Общие признаки делимости[править | править код]

Признак делимости на делитель степени основания системы счисления[править | править код]

Если для некоторых натуральных t и n число t^{n} делится на натуральное m, то любое целое число A, записанное в системе счисления по основанию t, равноостаточно с числом, образованным n младшими его цифрами. Это свойство позволяет построить признак делимости и равноостаточности на делитель степени основания системы счисления.

Соответствующая этому признаку функция:

A=t^{n}a_{1}+a_{0},quad 0leqslant a_{0}<t^{n},quad a_{1}geqslant 0,quad t^{n},vdots ,m,
F(A)={begin{cases}a_{0},&Ageqslant t^{n},\A-m,&mleqslant A<t^{n}.end{cases}}

Например, в десятичной системе счисления это позволяет построить признаки делимости на 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50 и т. д.

Признак делимости на делитель t^{n}-1[править | править код]

Если для некоторых натуральных t и n число t^{n}-1 делится на натуральное m, то любое целое число A, записанное в системе счисления по основанию t, равноделимо с суммой чисел, образованных разбиением на группы по n цифр, начиная с самой младшей. Это свойство позволяет построить признак делимости на m.

Соответствующая этому признаку функция:

A=sum _{{i=0}}^{n}t^{{in}}a_{i},quad 0leqslant a_{i}<t^{n},quad quad left(t^{n}-1right),vdots ,m,
F(A)={begin{cases}sum _{{i=0}}^{n}a_{i},&Ageqslant t^{n},\A-m,&mleqslant A<t^{n}.end{cases}}

Например, в десятичной системе счисления это позволяет построить признаки делимости на 3, 9, 11, 27, 33, 37, 99, 101, 111, 303, 333, 999, 1111, 3333, 9999 и т. д.

Признак делимости на делитель t^{n}+1[править | править код]

Если для некоторых натуральных t и n число t^{n}+1 делится на натуральное m, то любое целое число A, записанное в системе счисления по основанию t, равноделимо с модулем знакопеременной суммы чисел, образованных разбиением на группы по n цифр, начиная с самой младшей. Это свойство позволяет построить признак делимости на m.

Соответствующая этому признаку функция:

A=sum _{{i=0}}^{n}t^{{in}}a_{i},quad 0leqslant a_{i}<t^{n},quad quad left(t^{n}+1right),vdots ,m,
F(A)={begin{cases}left|sum _{{i=0}}^{n}(-1)^{i}a_{i}right|,&Ageqslant t^{n},\A-m,&mleqslant A<t^{n}.end{cases}}

Например, в десятичной системе счисления это позволяет построить признаки делимости на 7, 11, 13, 73, 77, 91, 101, 137, 143, 1001, 10001 и т. д.

Деление в столбик[править | править код]

Время работы алгоритма, проверяющего делимость числа n на некоторое другое число делением «в столбик», составляет O(log n). Таким образом во многих случаях так называемые «признаки делимости» не дают заметного выигрыша в количестве совершённых элементарных операций. Исключение составляют признаки делимости на числа вида {displaystyle 2^{a}5^{b}}, время работы которых не зависит от размера проверяемого числа.

Признаки делимости в других системах счисления[править | править код]

Признаки делимости в других системах счисления аналогичны таковым в десятичной. В частности, в любой системе счисления (числа записаны в той системе, в которой мы работаем в данный момент):

  • число делится на 10n, если оно оканчивается на n нулей.

Если основание системы счисления равно 1 по модулю некоторого числа k (то есть остаток от деления основания на k равен 1), то любое число делится на k тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на k без остатка. В частности:

  • число делится на 10 − 1, если сумма его цифр делится на 10 − 1;
  • если основание системы счисления нечётное, то число делится на 2, если сумма его цифр делится на 2.

Если основание системы счисления равно k − 1 по модулю некоторого числа k, то любое число делится на k тогда и только тогда, когда сумма цифр, занимающих нечётные места, либо равна сумме цифр, занимающих чётные места, либо отличается от неё на число, делящееся на k без остатка. В частности:

  • число делится на 11, если сумма цифр, занимающих нечётные места, либо равна сумме цифр, занимающих чётные места, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.

Если основание системы счисления делится на некоторое число k, то любое число делится на k тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на k. В частности:

  • если основание системы счисления чётное, то число делится на 2, если его последняя цифра делится на 2.

См. также[править | править код]

  • Признак Паскаля — универсальный признак делимости, позволяющий для любых целых a и b определить, делится ли a на b. Точнее, он позволяет вывести почти все из выше приведённых признаков.

Литература[править | править код]

  • Воробьёв Н. Н. Признаки делимости. — 4-е изд. — М.: Наука, 1988. — Т. 39. — 94 с. — (Популярные лекции по математике). — ISBN 5-02-013731-6.

Примечания[править | править код]

  1. ↑ С практической точки зрения «сравнительно быстро» означает «быстрее, чем можно было бы выполнить фактическое деление» теми же самыми средствами. Причём эффективность этого алгоритма в немалой степени зависит от формы представления чисел и имеющихся в распоряжении вычислительных возможностей.
  2. ↑ Воробьёв Н. Н. Признаки делимости. — 4-е изд., испр. — М.: Наука, 1988. — С. 42. — (Популярные лекции по математике). — ISBN 5-02-013731-6.
Источник

В данной статье мы поговорим о том, как найти все делители числа. Начнем с доказательства теоремы, с помощью которой можно задать вид всех делителей определенного числа. Далее возьмем примеры нахождения всех нужных делителей и покажем, как именно определить, сколько делителей имеет конкретное число. В последнем пункте подробно рассмотрим примеры задач на нахождение общих делителей нескольких чисел.

Как найти все делители числа

Чтобы понять материал, изложенный в данном пункте, нужно хорошо знать, что вообще из себя представляют кратные числа и делители. Здесь мы поговорим только о поиске делителей натуральных чисел, т.е. целых положительных. Этим можно ограничиться, поскольку свойство делимости гласит, что делители целого отрицательного числа аналогичны делителям целого положительного, которое будет противоположным по отношению к этому числу. Также сразу уточним, что у нуля есть бесконечно большое число делителей, и находить их смысла не имеет, поскольку в итоге все равно получится 0.

Если речь идет о простом числе, то его можно разделить только на единицу и на само себя. Значит, у любого простого числа a есть всего 4 делителя, два из которых больше 0 и два меньше: 1, -1, a, -a. Возьмем простое число 7: у него есть делители 7, -7, 1 и -1, и все. Еще один пример: 367 – тоже простое число, которое можно разделить лишь на 1, -1, 367 и -367.

Сложнее определить все делители составного числа. Сформулируем теорему, которая лежит в основе данного действия.

Теорема 1

Допустим, у нас есть выражение, означающее каноническое разложение числа на простые множители, вида a=p1s1·p2s2·…·pnsn. Тогда натуральными делителями числа a будут следующие числа: d=p1t2·p2t2·…·pntn, где t1=0, 1, …, s1, t2=0, 1, …, s2, …, tn=0, 1, …, sn.

Доказательство 1

Перейдем к доказательству этой теоремы. Зная основное определение делимости, мы можем утверждать, что a можно разделить на d, если есть такое число q, что делает верным равенство a=d·q, т.е. q=p1(s1−t1)·p2(s2-t2)·…·pn(sn-tn).

Любое число, делящее a, будет иметь именно такой вид, поскольку, согласно свойствам делимости, других простых множителей, кроме p1, p2, …, pn, оно иметь не может, а их показатели в данном случае не превысят s1, s2, …, sn.

Учитывая доказательство этой теоремы, мы можем сформировать схему нахождения всех положительных делителей данного числа.

Для этого нужно выполнить следующие действия:

  1. Выполнить каноническое разложение на простые множители и получить выражение вида a=p1s1·p2s2·…·pnsn.
  2. Найти все значения d=p1t2·p2t2·…·pntn, где числа t1, t2, …, tn будут принимать независимо друг от друга каждое из значений t1=0, 1, …, s1, t2=0, 1, …, s2, …, tn=0, 1, …, sn.

Самым трудным в таком расчете является именно перебор всех комбинаций указанных значений. Разберем подробно решения нескольких задач, чтобы наглядно показать применение данной схемы на практике.

Пример 1

Условие: найти все делители 8.

Решение

Разложим восьмерку на простые множители и получим 8=2·2·2.  Переведем разложение в каноническую форму и получим 8=23. Следовательно, a=8, p1=2, s1=3.

Поскольку все делители восьмерки будут значениями p1t1=2t1, то t1 может принять значения нуля, единицы, двойки, тройки. 3 будет последним значением, ведь s1=3. Таким образом, если t1=0, то 2t1=20=1, если 1, то 2t1=21=2, если 2, то 2t1=22=4, а если 3, то 2t1=23=8.

Для нахождения делителей удобно все полученные значения оформлять в виде таблицы:

t1 2t1
0 20=1
1 21=2
2 22=4
3 23=8

Значит, положительными делителями восьмерки будут числа 1, 2, 4 и 8, а отрицательными −1, −2, −4 и −8.

Ответ: делителями данного числа будут ±1, ±2, ±4, ±8.

Возьмем пример чуть сложнее: в нем при разложении числа получится не один, а два множителя.

Пример 2

Условие: найдите все делители числа 567, являющиеся натуральными числами.

Решение

Начнем с разложения данного числа на простые множители.

56718963217133337

Приведем разложение к каноническому виду и получим 567=34·7. Затем перейдем к вычислению всех натуральных множителей. Для этого будем присваивать t1 и t2 значения 0, 1, 2, 3, 4 и 0, 1, вычисляя при этом значения 3t1·7t2. Результаты будем вносить в таблицу:

t1 t2 3t1·7t2
0 0 30·70=1
0 1 30·71=7
1 0 31·70=3
1 1 31·71=21
2 0 32·70=9
2 1 32·71=63
3 0 33·70=27
3 1 33·71=189
4 0 34·70=81
4 1 34·71=567

Ответ: натуральными делителями 567 будут числа 27, 63, 81, 189, 1, 3, 7, 9, 21 и 567.

Продолжим усложнять наши примеры – возьмем четырехзначное число.

Пример 3

Условие: найти все делители 3 900, которые будут больше 0.

Решение

Проводим разложение данного числа на простые множители. В каноническом виде оно будет выглядеть как 3 900=22·3·52·13. Теперь приступаем к нахождению положительных делителей, подставляя в выражение 2t1·3t2·5t3·13t4 значения t1, равные 0, 1 и 2, t2=0,1, t3=0, 1, 2, t4=0, 1. Результаты представляем в табличном виде:

t1 t2 t3 t4 2t1·3t2·5t3·13t4
0 0 0 0 20·30·50·130=1
0 0 0 1 20·30·50·131=13
0 0 1 0 20·30·51·130=5
0 0 1 1 20·30·51·131=65
0 0 2 0 20·30·52·130=25
0 0 2 1 20·30·52·131=325
0 1 0 0 20·31·50·130=3
0 1 0 1 20·31·50·131=39
0 1 1 0 20·31·51·130=15
0 1 1 1 20·31·51·131=195
0 1 2 0 20·31·52·130=75
0 1 2 1 20·31·52·131=975
t1 t2 t3 t4 2t1·3t2·5t3·13t4
1 0 0 0 21·30·50·130=2
1 0 0 1 21·30·50·131=26
1 0 1 0 21·30·51·130=10
1 0 1 1 21·30·51·131=130
1 0 2 0 21·30·52·130=50
1 0 2 1 21·30·52·131=650
1 1 0 0 21·31·50·130=6
1 1 0 1 21·31·50·131=78
1 1 1 0 21·31·51·130=30
1 1 1 1 21·31·51·131=390
1 1 2 0 21·31·52·130=150
1 1 2 1 21·31·52·131=1950
t1 t2 t3 t4 2t1·3t2·5t3·13t4
2 0 0 0 22·30·50·130=4
2 0 0 1 22·30·50·131=52
2 0 1 0 22·30·51·130=20
2 0 1 1 22·30·51·131=260
2 0 2 0 22·30·52·130=100
2 1 0 1 22·30·52·131=1300
2 1 0 0 22·31·50·130=12
2 1 0 1 22·31·50·131=156
2 1 1 0 22·31·51·130=60
2 1 1 1 22·31·51·131=780
2 1 2 0 22·31·52·130=300
2 1 2 1 22·31·52·131=3900

Ответ: делителями числа 3 900 будут:195, 260, 300, 325, 390, 650, 780, 975, 75, 78, 100, 130, 150, 156, 13,15, 20, 25, 26, 30, 39, 50,52, 60, 65, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 1 300, 1 950, 3 900

Как определить количество делителей конкретного числа

Чтобы узнать, сколько положительных делителей у конкретного числа a, каноническое разложение которого выглядит как a=p1s1·p2s2·…·pnsn, нужно найти значение выражения (s1+1) ·(s2+1) ·…·(sn+1). О количестве наборов переменных t1, t2, …, tn мы можем судить по величине записанного выражения.

Покажем на примере, как это вычисляется. Определим, сколько будет натуральных делителей у числа 3 900, которое мы использовали в предыдущей задаче. Каноническое разложение мы уже записывали: 3 900=22·3·52·13. Значит, s1=2, s2=1, s3=2, s4=1. Теперь подставим значения s1, s2, s3 и s4 в выражение (s1+1) ·(s2+1) ·(s3+1) ·(s4+1) и вычислим его значение. Имеем (2+1)·(1+1)·(2+1)·(1+1)=3·2·3·2=36. Значит, это число имеет всего 36 делителей, являющихся натуральными числами. Пересчитаем то количество, что у нас получилось в предыдущей задаче, и убедимся в правильности решения. Если учесть и отрицательные делители, которых столько же, сколько и положительных, то получится, что у данного числа всего будет 72 делителя.

Пример 4

Условие: определите, сколько делителей имеет 84.

Решение 

Раскладываем число на множители.

844221712237

Записываем каноническое разложение: 84=22·3·7. Определяем, сколько у нас получится положительных делителей: (2+1)·(1+1)·(1+1) =12. Для учета отрицательных нужно умножить это число на 2:2·12=24.

Ответ: всего у 84 будет 24 делителя – 12 положительных и 12 отрицательных.

Как вычислить общие делители нескольких чисел

Зная свойства наибольшего общего делителя, можно утверждать, что количество делителей некоторого набора целых чисел будет совпадать с количеством делителей НОД тех же чисел. Это будет справедливо не только для двух чисел, но и для большего их количества. Следовательно, чтобы вычислить все общие делители нескольких чисел, надо определить их наибольший общий множитель и найти все его делители.

Разберем пару таких задач.

Пример 5

Условие: сколько будет натуральных общих делителей у чисел 140 и 50? Вычислите их все.

Решение

Начнем с вычисления НОД (140, 50).

Для этого нам потребуется алгоритм Евклида:

140=50·2+40, 50=40·1+10, 40=10·4, значит, НОД (50, 140)=10.

Далее выясним, сколько положительных делителей есть у десяти. Разложим его на простые множители и получим 20·50=1, 20·51=5, 21·50=2 и  21·51=10. Значит, все натуральные общие делители исходного числа – это 1, 2, 5 и 10, а всего их четыре.

Ответ: данные числа имеют четыре натуральных делителя, равные 10, 5, 2 и 1.

Пример 6

Условие: выясните, сколько общих положительных делителей есть у чисел 585, 315, 90 и 45.

Решение

Вычислим их наибольший общий делитель, разложив число на простые множители. Поскольку 90=2·3·3·5, 45=3·3·5, 315=3·3·5·7 и 585=3·3·5·13, то таким делителем будет 5: НОД (90, 45, 315, 585) =3·3·5=32·5.

Чтобы узнать количество этих чисел, нужно выяснить, сколько положительных делителей имеет НОД.

Считаем:

НОД (90, 45, 315, 585) =32·5:(2+1)·(1+1) =6.

Ответ: у данных чисел шесть общих делителей.

Источник

Найти все делители числа

Онлайн калькулятор поможет найти количество делителей числа, сколько делителей имеет число, выпишет все делители числа. Все простые делители, на которые данное число делится нацело можно получить из разложения числа на простые множители.

Найдем делители следующих чисел:
делители числа 2 = 1, 2;
делители числа 5 = 1, 5 ;
делители числа 12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12 ;
делители числа 18 = 1, 2, 3, 6, 9, 18 ;
делители числа 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 ;
делители числа 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

×

Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:

×

Для установки калькулятора на iPhone – просто добавьте страницу
«На главный экран»

Для установки калькулятора на Android – просто добавьте страницу
«На главный экран»

Смотрите также

Источник

Так уж сложилось, что признаками делимости на то или иное число мы пользуемся в жизни не так уж часто. В каждом смартфоне есть калькулятор. Но на экзаменах, олимпиадах и в школе может пригодиться.

Кадр из киножурнала "Ералаш".
Кадр из киножурнала “Ералаш”.

На 2

Признак делимости на 2 помнят все — последняя цифра числа должна делиться на два. Например, 22648 делится на 2, потому что 8:2=4 — делится без остатка.

На 3

С признаком делимости на 3 уже сложнее, но многие всё равно помнят, что число делится на три, если сумма цифр числа делится на три. Например, 6789 делится на 3, потому что 6+7+8+9=30, а 30:3=10 — делится без остатка.

На 4

С признаком делимости на 4 у многих уже большие сложности, потому что забывают, что число делится на 4 без остатка, если последние две цифры числа делятся на 4. То есть 546816 делится на 4, потому что 16:4=4 — делится без остатка.

Если число двухзначное, то оно делится на 4, если сумма удвоенного числа десятков и единиц делится на 4. Например, 96 делится на 4, потому что 9•2+6=18+6=24, а 24:4=6 — без остатка.

Альтернативный признак. Число делится на 4 без остатка, если оканчивается на 0, 4 или 8, а предпоследняя цифра в числе четная. Или если число заканчивается на 2 или 6, а в предпоследнем разряде нечетное число.

Например, 12368 делится на 4, потому что число заканчивается на 8, а перед восьмёркой стоит шестерка — четное число. Другой пример: 15696 делится на 4, потому что число заканчивается на 6, а перед шестеркой стоит 9 — нечетное число.

На 5

Признак делимости на пять спорит по запоминаемости с признаком делимости на два. Число делится на 5, если оно заканчивается на 0 или 5. Например, 658975 делится на 5, а 56432 — нет.

На 6

Тут всё логично. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3. То есть должны выполняться два условия делимости. Покажу на примере. Число 7536 делится на 6, потому что 1) заканчивается на 6, а 6 делится на 2; 2) сумма цифр 7+5+3+6=21, а 21:3=7 — делится без остатка.

На 7

С признаком делимости на 7 сложнее. Почти никто никогда его не помнит и не применяет. А признаков, к слову, аж три.

Первый признак: число делится на 7 тогда, когда разность числа десятков и удвоенного числа единиц делится на 7. Пример: 364 делится на 7, потому что 36-2•4 = 36-8=28, а 28:7=4 — без остатка.

Второй признак: число делится на 7, если сумма утроенного числа десятков и числа единиц делится на 7. Пример: 154 делится на 7, так как 15•3+4=45+4=49. Ну а 49 делится на 7 нацело.

Ещё один пример: 812 делится на 7, так как 81•3+2=245; 24•3+5=77. 7•3+7=28. А 28:7=4 — это таблица умножения.

Третий признак хорошо подходит для очень больших чисел. Число делится на 7, когда знакочередующаяся сумма трехзначных граней делится на 7. Например, число 138689257 делится на 7, так как 138-689+257=-294. А 294 делится на 7 без остатка, так как (первый признак) 29-2•4 = 29-8 = 21, а 21:7=3.

На 8

Если число двухзначное, то к вашим услугам таблица умножения. Например, 96 делится на 8, потому что 96:8 = (80+16):8 = 10+2 = 12.

Если число трехзначное, то число делится на 8, если сумма учетверенных сотен, удвоенных десятков и единиц делится на 8. Вот пример: 736 делится на 8, потому что 7•4+3•2+6=28+6+6=40, а 40:8=5 — это таблица умножения.

Если же число ещё больше, то смотрим на три последние цифры числа. Если они делятся на 8, то и всё число делится на 8. Например 25698336 делится на 8, потому что 336 делится на 8, так как 3•4+3•2+6=24, а 24:8=3.

На 9

Как и в случае с тройкой, число делится на 9 только тогда, когда сумма цифр числа делится на 9. Например, 8795466 делится на 9, потому что 8+7+9+5+4+6+6=45, а 45:9=5 — это таблица умножения, остатка нет.

На 10

Если число заканчивается на 0, то оно делится на 10. Пожалуй, обойдемся без примеров.

На 11

Число делится на 11 тогда, когда разность четных и нечетных разрядов числа равна нулю или делится на 11. Например, 1221 делится на 11 потому что 1-2+2-1=0. Ещё пример: 10846 делится на 11, потому что 1-0+8-4+6=11.

На 12

Число делится на 12, если одновременно число делится на 3 и на 4. Например, 588 делится на 12, потому что число делится на 3, так как 5+8+8=21, а 21:3=7, и делится на 4, так как число заканчивается на 8, а перед восьмеркой ещё одна 8 — четное число (смотри признак делимости на 4).

Не забывайте поставить лайк и сделать репост, чтобы не потерять эту статью. Если есть, что добавить, велком в комментарии. А вот ещё полезные и интересные статьи:

Источник

Добавить комментарий