Как найти на графике дробь

1. Дробно-линейная функция и ее график

Функция вида y = P(x) / Q(x), где P(x) и Q(x) – многочлены, называется дробно-рациональной функцией.

С понятием рациональных чисел вы уже наверняка знакомы. Аналогично рациональные функции – это функции, которые можно представить как частное двух многочленов.

Если дробно-рациональная функция представляет собой частное двух линейных функций – многочленов первой степени, т.е. функцию вида

y = (ax + b) / (cx + d), то ее называют дробно-линейной.

Заметим, что в функции y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (иначе функция становится линейной y = ax/d + b/d) и что a/c ≠ b/d (иначе функция константа). Дробно-линейная функция определена при всех действительных числах, кроме x = -d/c. Графики дробно-линейных функций по форме не отличаются от известного вам графика y = 1/x. Кривая, являющаяся графиком функции y = 1/x, называется гиперболой. При неограниченном увеличении x по абсолютной величине функция y = 1/x неограниченно уменьшается по абсолютной величине и обе ветки графика приближаются к оси абсцисс: правая приближается сверху, а левая – снизу. Прямые, к которым приближаются ветки гиперболы, называются ее асимптотами.

Пример 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Решение.

Выделим целую часть: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Теперь легко видеть, что график этой функции получается из графика функции y = 1/x следующими преобразованиями: сдвигом на 3 единичных отрезка вправо, растяжением вдоль оси Oy в 7 раз и сдвигом на 2 единичных отрезка вверх.

Любую дробь y = (ax + b) / (cx + d) можно записать аналогичным образом, выделив «целую часть». Следовательно, графики всех дробно-линейных функций есть гиперболы, различным образом сдвинутые вдоль координатных осей и растянутые по оси Oy.

Для построения графика какой-нибудь произвольной дробно-линейной функции совсем не обязательно дробь, задающую эту функцию, преобразовывать. Поскольку мы знаем, что график есть гипербола, будет достаточно найти прямые, к которым приближаются ее ветки – асимптоты гиперболы x = -d/c и y = a/c.

Пример 2.

Найти асимптоты графика функции y = (3x + 5)/(2x + 2).

Решение.

Функция не определена, при x = -1. Значит, прямая x = -1 служит вертикальной асимптотой. Для нахождения горизонтальной асимптоты, выясним, к чему приближаются значения функции y(x), когда аргумент x возрастает по абсолютной величине.

Для этого разделим числитель и знаменатель дроби на x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

При x → ∞ дробь будет стремиться к 3/2. Значит, горизонтальная асимптота – это прямая y = 3/2.

Пример 3.

Построить график функции y = (2x + 1)/(x + 1).

Решение.

Выделим у дроби «целую часть»:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

= 2 – 1/(x + 1).

Теперь легко видеть, что график этой функции получается из графика функции y = 1/x следующими преобразованиями: сдвигом на 1 единицу влево, симметричным отображением относительно Ox и сдвигом на 2 единичных отрезка вверх по оси Oy.

Область определения D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Область значений E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Точки пересечения с осями: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Функция возрастает на каждом из промежутков области определения.

Ответ: рисунок 1.

2. Дробно-рациональная функция

Рассмотрим дробно-рациональную функцию вида y = P(x) / Q(x), где P(x) и Q(x) – многочлены, степени выше первой.

Примеры таких рациональных функций:

y = (x³ – 5x + 6) / (x⁷ – 6) или y = (x – 2)²(x + 1) / (x² + 3).

Если функция y = P(x) / Q(x) представляет собой частное двух многочленов степени выше первой, то ее график будет, как правило, сложнее, и построить его точно, со всеми деталями бывает иногда трудно. Однако, часто достаточно применить приемы, аналогичные тем, с которыми мы уже познакомились выше.

Пусть дробь – правильная (n < m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A₁/(x – K₁)^m1 + A₂/(x – K₁)^m1-1 + … + A_m1/(x – K₁) + …+

+ L₁/(x – K_s)^ms + L₂/(x – K_s)^ms-1 + … + L_ms/(x – K_s) + …+

+ (B₁x + C₁) / (x² +p₁x + q₁)^m1 + … + (B_m1x + C_m1) / (x² +p₁x + q₁) + …+

+ (M₁x + N₁) / (x² +p_tx + q_t)^m1 + … + (M_m1x + N_m1) / (x² +p_tx + q_t).

Очевидно, что график дробно-рациональной функции можно получить как сумму графиков элементарных дробей.

Построение графиков дробно-рациональных функций

Рассмотрим несколько способов построения графиков дробно-рациональной функции.

Пример 4.

Построить график функции y = 1/x².

Решение.

Используем график функции y = x² для построения графика y = 1/x² и воспользуемся приемом «деления» графиков.

Область определения D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Область значений E(y) = (0; +∞).

Точек пересечения с осями нет. Функция четная. Возрастает при все х из интервала (-∞; 0), убывает при x от 0 до +∞.

Ответ: рисунок 2.

Пример 5.

Построить график функции y = (x² – 4x + 3) / (9 – 3x).

Решение.

Область определения D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x² – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/3 + 1/3.

Здесь мы использовали прием разложения на множители, сокращения и приведения к линейной функции.

Ответ: рисунок 3.

Пример 6.

Построить график функции y = (x² – 1)/(x² + 1).

Решение.

Область определения D(y) = R. Так как функция четная, то график симметричен относительно оси ординат. Прежде чем строить график, опять преобразуем выражение, выделив целую часть:

y = (x² – 1)/(x² + 1) = 1 – 2/(x² + 1).

Заметим, что выделение целой части в формуле дробно-рациональной функции является одним из основных при построении графиков.

Если x → ±∞, то y → 1, т.е. прямая y = 1 является горизонтальной асимптотой.

Ответ: рисунок 4.

Пример 7.

Рассмотрим функцию y = x/(x² + 1) и попробуем точно найти наибольшее ее значение, т.е. самую высокую точку правой половины графика. Чтобы точно построить этот график, сегодняшних знаний недостаточно. Очевидно, что наша кривая не может «подняться» очень высоко, т.к. знаменатель довольно быстро начинает «обгонять» числитель. Посмотрим, может ли значение функции равняться 1. Для этого нужно решить уравнение x² + 1 = x, x² – x + 1 = 0. Это уравнение не имеет действительных корней. Значит, наше предположение не верно. Чтобы найти самое большое значение функции, надо узнать, при каком самом большом А уравнение А = x/(x² + 1) будет иметь решение. Заменим исходное уравнение квадратным: Аx² – x + А = 0. Это уравнение имеет решение, когда 1 – 4А² ≥ 0. Отсюда находим наибольшее значение А = 1/2.

Ответ: рисунок 5, max y(x) = ½.

 Остались вопросы? Не знаете, как строить графики функций?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

© devblog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Дробно-рациональная функция — это функция вида , где f(x) и g(x) — некоторые функции.
График дробно-рациональной функции представляет собой гиперболу.
Функция имеет две асимптоты — вертикальную и горизонтальную.
Определение.Прямая линия называется асимптотой графика функции, если график функции неограниченно сближается с этой прямой при удалении точки графика в бесконечность:
x=a уравнение вертикальной асимптоты
y=b уравнение горизонтальной асимптоты
y=kx+b уравнение наклонной асимптоты

Дробно-линейная функция представляет собой частный случай дробно-рациональной функции.
Дробно-линейная функция – это такая алгебраическая дробь , у которой числитель и знаменатель представляют собой линейные функции.
Во всякой дробно-линейной функции можно выделить целую часть.
Построим график функции y=1/x:
D(y): х≠0
E(y): у≠0
y = k/x – нечетная

Построим график функции y=k/x:
При k=2 y=-2/x:
ООФ: х≠0
МЗФ: у≠0
y=k/x – нечетная

Пример1 . Построим график функции , т.е. представим ее в виде : выделим целую часть дроби, разделив числитель на знаменатель, мы получим:

.

Итак, . Мы видим, что график этой функции может быть получен из графика функции у=5/х с помощью двух последовательных сдвигов: сдвига гиперболы у=5/х вправо на 3 единицы, а затем сдвига полученной гиперболы  вверх на 2 единицы.

При этих сдвигах асимптоты гиперболы у=5/х также переместятся: ось х на 2 единицы вверх, а ось у на 3 единицы вправо.

Для построения графика проведем в координатной плоскости пунктиром асимптоты: прямую у=2 и прямую х=3. Так как гипербола состоит из двух ветвей, то для построения каждой из них составим две таблицы: одну для х3 (т. е. первую слева от точки пересечения асимптот, а вторую справа от нее):

x	-7	-2	-1	0	1	2	2,5
y	1,5	1	0,75	0,33	-0,5	-3	-8

x	3,5	4	5	6	7	8	13
y	12	7	4,5	3,33	3,25	3	2,52

Отметив в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в первой таблице, и соединив их плавной линией, получим одну ветвь гиперболы. Аналогично (используя вторую таблицу) получим вторую ветвь гиперболы. График функции  изображен на рисунке 3.

Любую дробь  можно записать аналогичным образом, выделив ее целую часть. Следовательно, графики всех дробно-линейных функций являются гиперболами, различным образом сдвинутыми параллельно координатным осям и растянутыми по оси Оу.

Пример 2.

Построим график функции .

Поскольку мы знаем, что график есть гипербола, достаточно найти прямые, к которым приближаются ее ветви (асимптоты), и еще несколько точек.

Найдем сначала вертикальную асимптоту. Функция не определена там, где 2х+2=0, т.е. при х=-1. Стало быть, вертикальной асимптотой служит прямая х=-1.

Чтобы найти горизонтальную асимптоту, надо посмотреть, к чему приближаются значения функций, когда аргумент возрастает (по абсолютной величине), вторые слагаемые в числителе и знаменателе дроби  относительно малы. Поэтому

.

Стало быть, горизонтальная асимптота – прямая у=3/2.

Определим точки пересечения нашей гиперболы с осями координат. При х=0 имеем у=5/2. Функция равна нулю, когда 3х+5=0, т.е. при х=-5/3.

Отметив на чертеже точки (-5/3;0) и (0;5/2) и проведя найденные горизонтальную и вертикальную асимптоты, построим график (рис.4).

Вообще, чтобы найти горизонтальную асимптоту, надо разделить числитель на знаменатель, тогда y=3/2+1/(x+1), y=3/2 – горизонтальная асимптота.

Алгоритм построения графика дробно-рациональной функции, содержащей квадратный трехчлен.

1. Найти область определения функции.

2. Разложить на множители квадратный трехчлен.

3. Сократить дробь.

4. Построить график (параболу, гиперболу, кубическую параболу).

5. Исключить из графика точки, не входящие в область определения («выколотые» точки).

6. Найти значение функции в «выколотых» точках.

7. Определить, при каких значениях b прямая y=b имеет с графиком ровно одну общую точку.

ЗАДАНИЕ

Построить график функции (D(y), на графике – выколотые точки):

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

You can graph a fraction in three different ways. The first is if you need to find out where a fraction exists on a number line; the second is if you’re graphing coordinates that have fractional values. If you’ve ever read a ruler, you already have an intuitive grasp of the concepts you’ll need for those two missions. The third option is when you’re using slope, which is usually expressed as a fraction, to draw the graph of a line. If you’ve already mastered basic graphing, you already know everything you need for that particular challenge.

Graphing Fractions on a Number Line

Graphing or drawing fractions in the right place on a number line is a lot like reading a ruler – except that you have to draw the ruler yourself.

Reduce the fraction to lowest terms by canceling common factors from the numerator and denominator. For example, if you’ve been asked to graph 10/15 on a number line, you could factor 5 out of both the numerator and denominator, leaving yourself with 2/3.

Tips

• You can write the fraction in any form you want, but reducing it to lowest terms will save you a lot of labor when it comes to drawing the number line.

Locate the integers that would be to either side of the fraction on the number line. In this case, the next whole number larger than 2/3 is 1, and the next smaller number is 0. Mark those numbers on the number line, leaving enough room for several subdivisions between them.

Note the denominator of your fraction; continuing the example, the denominator is 3. Mark that many subdivisions between the integers from Step 2. So in this case, you’d mark out three subdivisions between 0 and 1.

Count out the subdivisions, starting from the lower integer you mapped out and moving toward the larger number. Stop when you’ve counted as many subdivisions as the numerator of the fraction. So in this case, because the fraction is 2/3, you’d stop after counting two of the three subdivisions. The place you stopped is where you place a mark for the fraction; make sure you remember to label it.

Tips

• Counting the number of subdivisions in your number line is just like counting the subdivisions on a ruler.

Graphic Coordinates That Involve Fractions

A two-dimensional graph is just a pair of number lines set perpendicular to each other, so much of what you learned in the previous example can be put to work for graphing in two dimensions, too.

Reduce any fractional parts of the coordinate set(s) to lowest terms if this hasn’t been done already. In this case, imagine that you’ve been asked to graph the coordinate set (2, 3/7). The fraction is already in lowest terms, so continue to the next step.

Note the number in the denominator of the fraction. Once again, this is the number of subdivisions you should make between integers. But this time, you must also look at the other coordinates you’re being asked to graph.

If there are fractions with other denominators, you’ll need to either approximate their placement or find a common denominator between all the fractions involved. Also, the scale of each axis must be large enough that even the most extreme values from your set of coordinates will still appear on the graph.

Label each axis with its units of measure (if appropriate) and then label along the axes to show their scale, just as you would with any number line.

Plot your points in the graph, using the same “count and mark” method laid out in the previous example to precisely place the fractional values.

Graphing a Line Using Fractional Slope

If you’re an algebra student learning to graph lines, you’ve probably already run into the concept of slope. Simply put, slope tells you how steeply a line tilts up or down. It’s often expressed as a fraction, with the numerator showing the change in the y coordinate and the denominator showing the change in the x coordinate.

In order for the slope of the line to be useful, you must also know the coordinates for at least one point on the line. Whatever those coordinates are, graph them.

Starting from the point that you just graphed, count up the number units that are in the numerator of the fraction that represents your slope. So if the fraction is 4/5, you’d count up four units. (If the fraction were -4/5, you’d count down four units.)

Starting from where you ended up in Step 2, count across the same number of units that are in the denominator of your slope. Continuing the example, if the fraction is 4/5, you’d count 5 units in the positive (rightward) direction. If the slope were 4/(-5), you’d count 5 units in the negative (leftward) direction.

The point you’ve just arrived at is on your line; mark it. You can continue as necessary to graph more points on the line, starting the process over from the last marked point every time.