Как найти на окружности arctg

  1. Понятие арктангенса
  2. График и свойства функции y=arctgx
  3. Уравнение tgx=a
  4. Понятие арккотангенса
  5. График и свойства функции y=arcctgx
  6. Уравнение ctgx=a
  7. Формулы преобразований аркфункци
  8. Примеры

Определение тангенса и котангенса через отношение сторон прямоугольника и с помощью касательной к числовой окружности – см. §3 данного справочника.
Свойства функции y=tgx на всей области определения (xinmathbb{R}) – см. §6 данного справочника.
Свойства функции y=ctgx на всей области определения (xinmathbb{R}) – см. §7 данного справочника.
Определение и свойства взаимно обратных функций – см. §2 справочника для 9 класса.

п.1. Понятие арктангенса

В записи (y=tgx) аргумент x – это значение угла (в градусах или радианах), функция y – тангенс угла, действительное число в пределах от (-infty;) до (+infty). Т.е., по заданному углу мы находим тангенс.
Можно поставить обратную задачу: по заданному тангенсу найти угол. Но одному значению тангенса соответствует бесконечное количество углов. Например, если (tgx=1), то (x=fracpi4+pi k, kinmathbb{Z}); если (tgx=0), то (x=pi k, kinmathbb{Z}) и т.д.
Поэтому, чтобы построить однозначную обратную функцию, ограничим значения углов x главной ветвью тангенса: (-fracpi2leq xleq fracpi2) (правая половина числовой окружности, вся ось тангенсов).

Арктангенсом числа (a (ainmathbb{R})) называется такое число (xin[-fracpi2; fracpi2]), тангенс которого равен (a). $$ arctg a=x Leftrightarrow begin{cases} tgx=a\ -fracpi2leq xleq fracpi2 end{cases} $$

Например:

(arctgfrac{1}{sqrt{3}}=fracpi6, arctg(-sqrt{3})=-frac{pi}{3}, arctg1=fracpi4).

п.2. График и свойства функции y=arctgx

График и свойства функции y=arctg x
1. Область определения (xinmathbb{R}).
2. Функция ограничена сверху и снизу асимптотами (-fracpi2leq arctgxleq fracpi2).
Область значений (yinleft(-fracpi2; fracpi2right))
3. Функция стремится к максимальному значению (y_{max}=fracpi2 text{при} xrightarrow +infty)
Функция стремится к минимальному значению (y_{min}=-fracpi2 text{при} xrightarrow -infty)
Функция имеет две горизонтальные асимптоты (y=pmfracpi2).
4. Функция возрастает на всей области определения.
5. Функция непрерывна на всей области определения.
6. Функция нечётная: (arctg(-x)=-arctg(x)).

п.3. Уравнение tgx=a

Уравнение tgx=a На оси тангенсов каждому углу на числовой окружности в интервале (-fracpi2leq xleq fracpi2) соответствует одно действительное число.

Например:
1) Решим уравнение (tgx=frac{1}{sqrt{3}})
Числу (frac{1}{sqrt{3}}) на оси тангенсов соответствует угол (fracpi6) на числовой окружности, (arctgfrac{1}{sqrt{3}}=fracpi6).
Учитывая период тангенса (pi), получаем ответ:
(x=fracpi6+pi k)

Уравнение tgx=a 2) Решим уравнение (tgx=2)
Числу (frac{1}{sqrt{3}}) на оси тангенсов соответствует угол (arctg2) на числовой окружности.
Учитывая период тангенса (pi), получаем ответ:
(x=arctg2+pi k)

В общем случае:

Уравнение (tgx=a) имеет решения $$ x=arctga+pi k, kinmathbb{Z}, ainmathbb{R} $$

п.4. Понятие арккотангенса

По аналогии с арктангенсом, арккотангенс определяется на главной ветви котангенса: (0lt xlt pi) (верхняя половина числовой окружности, вся ось котангенсов).

Арккотангенсом числа (a (ainmathbb{R})) называется такое число (xin(0;pi)), котангенс которого равен (a). $$ arcctg a=x Leftrightarrow begin{cases} ctgx=a\ 0lt xlt pi end{cases} $$

Например:

(arcctgfrac{1}{sqrt{3}}=fracpi3, arcctg(-sqrt{3})=-frac{pi}{6}, arcctg1=fracpi4).

п.5. График и свойства функции y=arcctgx

График и свойства функции y=arcctg x
1. Область определения (xinmathbb{R}).
2. Функция ограничена сверху и снизу асимптотами (0lt arcctgxlt pi).
Область значений (yin(0;pi))
3. Функция стремится к максимальному значению (y_{max}=pi text{при} xrightarrow -infty)
Функция стремится к минимальному значению (y_{min}=0 text{при} xrightarrow +infty)
Функция имеет две горизонтальные асимптоты (y=0 text{и} y=pi).
4. Функция убывает на всей области определения.
5. Функция непрерывна на всей области определения.
6. Функция ни чётная, ни нечётная.

п.6. Уравнение ctgx=a

Уравнение ctgx=a

В общем случае:

Уравнение (ctgx=a) имеет решения $$ x=arcctga+pi k, kinmathbb{Z}, ainmathbb{R} $$

Часто уравнение (ctgx=a) преобразуют в уравнение (tgx=frac{1}{a}), и ищут его корни.
Например:
1) (ctgx=sqrt{3})
(x=fracpi6+pi k)
Можно также преобразовать уравнение в (tg x=frac{1}{sqrt{3}})
Получаем тот же ответ: (x=fracpi6+pi k)

2) (ctgx=2)
(x=arcctg2+pi k)
Можно также преобразовать уравнение в (tg x=frac{1}{2})
Получаем ответ: (x=arctgfrac12+pi k)
Очевидно, что (arcctg 2=arctgfrac{1}{2}) (см. ниже формулы для аркфункций).

п.7. Формулы преобразования аркфункций

Аркфункции от обратных тригонометрических функций

begin{gather*} arcsin(sinalpha)=alpha, alphainleft[-fracpi2;fracpi2right], arccos(cosalpha)=alpha, alphain[0;pi]\ arctg(tgalpha)=alpha, alphainleft(-fracpi2;fracpi2right), arcctg(ctgalpha)=alpha, alphain(0;pi) end{gather*}

Аркфункции отрицательных аргументов

begin{gather*} arcsin(-alpha)=-arcsinalpha, arccos(-alpha)=pi-arccosalpha\ arctg(-alpha)=-arctgalpha, arcctg(-alpha)=pi-arcctgalpha end{gather*}

Суммы аркфункций

begin{gather*} arcsinalpha+arccosalpha=fracpi2, arctgalpha+arcctgalpha=fracpi2 end{gather*}

Сводная таблица тригонометрических функций от аркфункций

arcsin arccos arctg arcctg
sin begin{gather*} a\ ain[-1;1] end{gather*} begin{gather*} sqrt{1-a^2}\ ain[-1;1] end{gather*} begin{gather*} frac{a}{sqrt{1+a^2}}\ ainmathbb{R} end{gather*} begin{gather*} frac{1}{sqrt{1+a^2}}\ ainmathbb{R} end{gather*}
cos begin{gather*} sqrt{1-a^2}\ ain[-1;1] end{gather*} begin{gather*} a\ ain[-1;1] end{gather*} begin{gather*} frac{1}{sqrt{1+a^2}}\ ainmathbb{R} end{gather*} begin{gather*} frac{a}{sqrt{1+a^2}}\ ainmathbb{R} end{gather*}
tg begin{gather*} frac{a}{sqrt{1-a^2}}\ ain(-1;1) end{gather*} begin{gather*} frac{sqrt{1-a^2}}{a}\ ain(-1;0)cup(0;1) end{gather*} begin{gather*} a\ ainmathbb{R} end{gather*} begin{gather*} frac{1}{a}\ ane 0 end{gather*}
ctg begin{gather*} frac{sqrt{1-a^2}}{a}\ ain(-1;0)cup(0;1) end{gather*} begin{gather*} frac{a}{sqrt{1-a^2}}\ ain(-1;1) end{gather*} begin{gather*} frac{1}{a}\ ane 0 end{gather*} begin{gather*} a\ ainmathbb{R} end{gather*}

Аркфункции, выраженные через другие аркфункции

arcsin
arccos $$ arcsina= begin{cases} arccossqrt{1-a^2}, 0leq aleq 1\ -arccossqrt{1-a^2}, -1leq alt 0 end{cases} $$
arctg $$ arcsina=arctgfrac{a}{sqrt{1-a^2}}, -1lt alt 1 $$
arcctg $$ arcsina= begin{cases} arcctgfrac{sqrt{1-a^2}}{a}, 0lt aleq 1\ -arcctgfrac{sqrt{1-a^2}}{a}-pi, -1leq alt 0 end{cases} $$

arccos
arcsin $$ arccosa= begin{cases} arcsinsqrt{1-a^2}, 0leq aleq 1\ pi-arcsinsqrt{1-a^2}, -1leq alt 0 end{cases} $$
arctg $$ arccosa= begin{cases} arcctgfrac{sqrt{1-a^2}}{a}, 0lt aleq 1\ pi+arctgfrac{sqrt{1-a^2}}{a}, -1leq alt 0 end{cases} $$
arcctg $$ arccosa=arcctgfrac{a}{sqrt{1-a^2}}, -1lt alt 1 $$

arctg
arcsin $$ arctga=arcsinfrac{a}{sqrt{1+a^2}}, ainmathbb{R} $$
arccos $$ arctga= begin{cases} arccosfrac{1}{sqrt{1+a^2}}, ageq 0\ -arccosfrac{1}{sqrt{1+a^2}}, alt 0 end{cases} $$
arcctg $$ arctga=arcctgfrac{1}{a}, ane 0 $$

arcctg
arcsin $$ arcctga= begin{cases} arcsinfrac{1}{sqrt{1+a^2}}, ageq 0\ pi-arcsinfrac{1}{sqrt{1+a^2}}, alt 0 end{cases} $$
arccos $$ arcctga=arccosfrac{a}{sqrt{1+a^2}}, ainmathbb{R} $$
arctg $$ arcctga=arctgfrac{1}{a}, ane 0 $$

п.8. Примеры

Пример 1. Найдите функцию, обратную арктангенсу. Постройте графики арктангенса и найденной функции в одной системе координат.

Для (y=arctgx) область определения (xinmathbb{R}), область значений (-fracpi2leq yleq fracpi2).
Обратная функция (y=tgx) должна иметь ограниченную область определения (-fracpi2leq xleq fracpi2) (главная ветвь) и область значений (yinmathbb{R}).
Строим графики:
Пример 1
Графики симметричны относительно прямой y=x.
Обратная функция найдена верно.

Пример 2. Решите уравнения:

a) (tg x=-1)
(x=fracpi4+pi k)
б) (ctgx=-1)
(x=frac{3pi}{4}+pi k)

Если решать через (tgx=-1)
(x=-fracpi4+pi k)

в) (tg x=-5)
(x=arctg(-5)+pi k=-arctg5+pi k)
г) (ctgx=3)
(x=arcctg3+pi k)

Если решать через (tgx=frac13)
(x=arctgfrac13+pi k)

Пример 3. Вычислите:
a) (2arccosleft(-frac12right)+arctg(-1)+arcsinfrac{sqrt{2}}{2}=2cdotfrac{2pi}{3}-fracpi4+fracpi4=frac{4pi}{3})
б) (arcsin1-arccosfrac{sqrt{3}}{2}-arctg(sqrt{-3})=arcsin1-fracpi3+fracpi3=arcsin1)
в) (arctg4+arcsin0-arccos1=arctg4+0-0=arctg4)
г) (5-2arccos0+arcsinfrac{sqrt{2}}{2}+3arccosfrac{sqrt{2}}{2}=5-2cdotfracpi2+fracpi4+3cdotfracpi4=5)

Пример 4. Постройте графики функций:
(a) y=arccosleft(frac{1}{x}right)+arccosleft(-frac{1}{x}right))
Сумма арккосинусов (arccosa+arccos(-a)=pi), где (-1leq aleq 1).
Получаем систему для определения ОДЗ: begin{gather*} -1leq frac{1}{x}leq 1Rightarrow 0leq frac{1}{x}+1leq 2Rightarrow begin{cases} frac{x+1}{x}geq 0\ frac{x+1}{x}leq 2 end{cases} Rightarrow begin{cases} frac{x+1}{x}geq 0\ frac{-x+1}{x}leq 0 end{cases} Rightarrow begin{cases} frac{x+1}{x}geq 0\ frac{x-1}{x}geq 0 end{cases} Rightarrow\ Rightarrow left[ begin{array}{l l} begin{cases} xgt 0\ x+1geq 0\ x-1geq 0 end{cases} \ begin{cases} xlt 0\ x+1leq 0\ x-1leq 0 end{cases} end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l l} begin{cases} xgt 0\ xgeq 1 end{cases} \ begin{cases} xlt 0\ xleq -1 end{cases} end{array} right. Rightarrow xleq -1cup xgeq 1 end{gather*} Заметим, что используя модуль, тот же результат можно получить значительно быстрей: $$ -1leqfrac{1}{x}leq 1Leftrightarrow |frac{1}{x}|leq 1Leftrightarrow |x|geq 1 $$ Таким образом, ОДЗ – вся числовая прямая, кроме (xnotin(-1;1).) $$ y=arccosleft(frac{1}{x}right)+arccosleft(-frac{1}{x}right)Leftrightarrow begin{cases} y=pi\ xnotin (-1;1) end{cases} $$ Строим график:
Пример 4а

(б) y=arcctg(sqrt{x})+arcctg(-sqrt{x}))
Сумма арккотангенсов (arcctga+arcctg(-a)=pi), где (ainmathbb{R})
ОДЗ ограничено требованием к подкоренному выражению: (xgeq 0)
$$ y=arcctgleft(sqrt{x}right)+arcctgleft(-sqrt{x}right)Leftrightarrow begin{cases} y=pi\ xgeq 0 end{cases} $$ Строим график:
Пример 4б

Пример 5*. Запищите в порядке возрастания:
$$ arctgleft(fracpi4right), arcsinleft(fracpi4right), arctg1 $$

Пример 5 Способ 1. С помощью числовой окружности.

Отмечаем точку (fracpi4) на оси синусов (ось OY) и точки (fracpi4) и 1 на оси тангенсов (касательная к окружности).
На пересечении с числовой окружностью получаем искомые углы.
В порядке возрастания: $$ arctgleft(fracpi4right)lt underbrace{arctg1}_{=fracpi4} lt arcsinleft(fracpi4right) $$

Способ 2. Аналитический
Арктангенс – функция возрастающая: (fracpi4approx 0,79lt 1Rightarrow arctgleft(fracpi4right)lt arctg 1)
Сравним (arctg1=fracpi4=arcsinleft(frac{sqrt{2}}{2}right)) и (arcsinleft(fracpi4right))
(frac{sqrt{2}}{2} ? fracpi4) – возведем в квадрат обе части
(frac12 ? frac{pi^2}{16}Leftrightarrow 8 ? pi^2)
(8ltpi^2Rightarrowfrac{sqrt{2}}{2}ltfracpi4 Rightarrow arcsinleft(frac{sqrt{2}}{2}right)lt arcsinleft(fracpi4right)Rightarrow 1lt arcsinleft(fracpi4right))
Получаем: $$ arctgleft(fracpi4right)lt underbrace{arctg1}_{=fracpi4} lt arcsinleft(fracpi4right) $$

Пример 6*. Решите уравнения:

a) (arccosx=arctgx)
ОДЗ определяется ограничением для арккосинуса: (-1leq xleq 1)
Арккосинус ограничен (0leq arccosxleq pi), арктангенс (-fracpi2leq arctgxltfracpi2)
Т.к. по условию они равны, ограничение сужается до (0leq arctgxlt fracpi2) и (0leq arccos xlt fracpi2) $$ arccosx=arctgxLeftrightarrow begin{cases} x=cos(arctgx)\ -1leq xleq 1\ 0leq arctgxltfracpi2\ 0leq arccosxltfracpi2 end{cases} Leftrightarrow begin{cases} x=cos(arctgx)\ -1leq xleq 1\ 0leq x\ 0lt xleq 1 end{cases} Leftrightarrow begin{cases} x=cos(arctgx)\ 0lt xlt 1 end{cases} $$ Для решения можно воспользоваться готовой формулой для (cos(arctgx)).
Выведем её. Пуcть (arctgx=varphi). Тогда (x=tgvarphi) и $$ cos(arctgx)=cosvarphi=sqrt{frac{1}{1+tg^2varphi}}=sqrt{frac{1}{1+x^2}} $$ Получаем уравнение: $$ x=sqrt{frac{1}{1+x^2}}Rightarrow x^2=frac{1}{1+x^2}Rightarrow x^2(1+x^2)=1Rightarrow x^4+x^2-1=0 $$ $$ D=1+4=5, x^2=frac{-1pmsqrt{5}}{2} $$ Квадрат числа не может быть отрицательным. Остаётся корень (x^2=frac{sqrt{5}-1}{2})
Откуда (x=pmsqrt{frac{sqrt{5}-1}{2}})
По условию (0lt xlt 1). Получаем (x=sqrt{frac{sqrt{5}-1}{2}})
Ответ: (sqrt{frac{sqrt{5}-1}{2}})

б) (arccos^2x+arcsin^2x=frac{5pi^2}{36})
Используем формулу для суммы: (arccosx+arcsinx=fracpi2)
Получаем: begin{gather*} arccos^2x+left(fracpi2-arccosxright)^2=frac{5pi^2}{36}\ arccos^2x+frac{pi^2}{4}-pi arccosx+arccos^2x=frac{5pi^2}{36}\ 2arccos^2x-pi arccosx+frac{pi^2}{9}=0\ D=(-pi)^2-4cdot 2cdot frac{pi^2}{9}=pi^2-frac89pi^2=frac{pi^2}{9}\ arccosx=frac{pipmfracpi3}{4}Rightarrow left[ begin{array} {l l} arccosx_1=fracpi6\ arccosx_2=fracpi3 end{array} right. Rightarrow left[ begin{array} {l l} x_1=cosfracpi6=frac{sqrt{3}}{2}\ x_2=cosfracpi3=frac12 end{array} right. end{gather*} Ответ: (left{frac12; frac{sqrt{3}}{2}right})

в) (arcsinfrac{sqrt{3x+2}}{2}=arcctgsqrt{frac{2}{x+1}})
ОДЗ определяется ограничением для арксинуса: ( -1leq frac{sqrt{3x+2}}{2}leq 1)
Арксинус ограничен (-fracpi2leq arcsinfrac{sqrt{3x+2}}{2}leqfracpi2), арккотангенс (0leq arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}ltpi)
Т.к. по условию они равны, ограничение сужается до (0leq arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}ltfracpi2) и (0leq arcsinfrac{sqrt{3x+2}}{2}ltfracpi2). begin{gather*} arcsinfrac{sqrt{3x+2}}{2}=arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}Leftrightarrow begin{cases} frac{sqrt{3x+2}}{2}=sinleft(arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}right)\ -1leqfrac{sqrt{3x+2}}{2}leq 1\ 0leq arcsinfrac{sqrt{3x+2}}{2}ltfracpi2\ 0leq arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}ltfracpi2 end{cases} Leftrightarrow\ Leftrightarrow begin{cases} frac{sqrt{3x+2}}{2}=sinleft(arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}right)\ -1leqfrac{sqrt{3x+2}}{2}leq 1\ 0leq frac{sqrt{3x+2}}{2}lt 1\ 0leq sqrt{frac{2}{x+1}} end{cases} Leftrightarrow begin{cases} frac{sqrt{3x+2}}{2}=sinleft(arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}right)\ 0leq frac{sqrt{3x+2}}{4}lt 1\ frac{4}{x+1}geq 0 end{cases} end{gather*} Для ОДЗ получаем: $$ begin{cases} 0leq 3x+2lt 4\ x+1gt 0 end{cases} Rightarrow begin{cases} -2leq 3x lt 2\ xgt -1 end{cases} Rightarrow begin{cases} -frac23leq x lt frac23\ xgt -1 end{cases} Rightarrow -frac23leq xltfrac23 $$ ОДЗ: (-frac23leq xlt frac23)
Выведем формулу для синуса арккотангенса.
Пусть (arcctgx=varphi Rightarrow x=ctgvarphi)
Тогда (sin(arcctgx)=sinvarphi=sqrt{frac{1}{1+ctg^2varphi}}=sqrt{frac{1}{1+x^2}})
Правая часть уравнения: $$ sinleft(arcctgsqrt{frac{2}{x+1}}right)= sqrt{frac{1}{1+left(sqrt{frac{2}{x+1}}right)}}= sqrt{frac{1}{1+frac{2}{x+1}}}=sqrt{frac{x+1}{x+3}} $$ Подставляем: begin{gather*} frac{sqrt{3x+2}}{2}=sqrt{frac{x+1}{x+3}}Rightarrow frac{3x+2}{4}=frac{x+1}{x+3}Rightarrow (3x+2)(x+3)=4(x+1)Rightarrow\ Rightarrow 3x^2+11x+6=4x+4Rightarrow 3x^2+7x+2=0\ D=49-4cdot 3cdot 2=25\ x=frac{-7pm5}{6}Rightarrow left[ begin{array} {l l} x_1=-2 – text{ не подходит по ОДЗ}\ x_2=-frac13 end{array} right. end{gather*} Ответ: (-frac13)

Нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

В данной статье рассматриваются вопросы нахождения значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса заданного числа. Для начала вводятся понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Рассматриваем основные их значения, по таблицам, в том числе и Брадиса, нахождение этих функций.

Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Необходимо разобраться в понятиях «значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса».

Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа помогут разобраться в вычислении заданных функций. Значение тригонометрических функций угла равняется числу a , тогда автоматически считается величиной этого угла. Если a – число, тогда это и есть значение функции.

Для четкого понимания рассмотрим пример.

Если имеем арккосинус угла равного π 3 , то значение косинуса отсюда равно 1 2 по таблице косинусов. Данный угол расположен в промежутке от нуля до пи, значит, значение арккосинуса 1 2 получим π на 3 . Такое тригонометрическое выражение записывается как a r cos ( 1 2 ) = π 3 .

Величиной угла может быть как градус, так и радиан. Значение угла π 3 равняется углу в 60 градусов (подробней разбирается в теме перевода градусов в радианы и обратно). Данный пример с арккосинусом 1 2 имеет значение 60 градусов. Такая тригонометрическая запись имеет вид a r c cos 1 2 = 60 °

Основные значения arcsin, arccos, arctg и arctg

Благодаря таблице синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, мы имеет точные значения угла при 0 , ± 30 , ± 45 , ± 60 , ± 90 , ± 120 , ± 135 , ± 150 , ± 180 градусов. Таблица достаточно удобна и из нее можно получать некоторые значения для аркфункций, которые имеют название как основные значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Таблица синусов основных углов предлагает такие результаты значений углов:

sin ( – π 2 ) = – 1 , sin ( – π 3 ) = – 3 2 , sin ( – π 4 ) = – 2 2 , sin ( – π 6 ) = – 1 2 , sin 0 = 0 , sin π 6 = 1 2 , sin π 4 = 2 2 , sin π 3 = 3 2 , sin π 2 = 1

Учитывая их, можно легко высчитать арксинус числа всех стандартных значений, начиная от – 1 и заканчивая 1 , также значения от – π 2 до + π 2 радианов, следуя его основному значению определения. Это и является основными значениями арксинуса.

Для удобного применения значений арксинуса занесем в таблицу. Со временем придется выучить эти значения, так как на практике приходится часто к ним обращаться. Ниже приведена таблица арксинуса с радианным и градусным значением углов.

в р а д и а н а х

α – 1 – 3 2 – 2 2 – 1 2 0 1 2 2 2 3 2
a r c sin α к а к у г о л – π 2 – π 3 – π 4 – π 6 0 π 6 π 4 π 3
в г р а д у с а х – 90 ° – 60 ° – 45 ° – 30 ° 0 ° 30 ° 45 ° 60 °
a r c sin α к а к ч и с л о – π 2 – π 3 – π 4 – π 6 0 π 6 π 4 π 3

Для получения основных значений арккосинуса необходимо обратиться к таблице косинусов основных углов. Тогда имеем:

cos 0 = 1 , cos π 6 = 3 2 , cos π 4 = 2 2 , cos π 3 = 1 2 , cos π 2 = 0 , cos 2 π 3 = – 1 2 , cos 3 π 4 = – 2 2 , cos 5 π 6 = – 3 2 , cos π = – 1

Следуя из таблицы, находим значения арккосинуса:

a r c cos ( – 1 ) = π , arccos ( – 3 2 ) = 5 π 6 , arcocos ( – 2 2 ) = 3 π 4 , arccos – 1 2 = 2 π 3 , arccos 0 = π 2 , arccos 1 2 = π 3 , arccos 2 2 = π 4 , arccos 3 2 = π 6 , arccos 1 = 0

в р а д и а н а х

α – 1 – 3 2 – 2 2 – 1 2 0 1 2 2 2 3 2 1
a r c cos α к а к у г о л π 5 π 6 3 π 4 2 π 3 π 2 π 3 π 4 π 6 0
в г р а д у с а х 180 ° 150 ° 135 ° 120 ° 90 ° 60 ° 45 ° 30 ° 0 °
a r c cos α к а к ч и с л о π 5 π 6 3 π 4 2 π 3 π 2 π 3 π 4 π 6 0

Таким же образом, исходя из определения и стандартных таблиц, находятся значения арктангенса и арккотангенса, которые изображены в таблице арктангенсов и арккотангенсов ниже.

α – 3 – 1 – 3 3 0 3 3 1 3
a r c t g a к а к у г о л в р а д и а н а х – π 3 – π 4 – π 6 0 π 6 π 4 π 3
в г р а д у с а х – 60 ° – 45 ° – 30 ° 0 ° 30 ° 45 ° 60 °
a r c t g a к а к ч и с л о – π 3 – π 4 – π 6 0 π 6 π 4 π 3

Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g

Для точного значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g числа а необходимо знать величину угла. Об этом сказано в предыдущем пункте. Однако, точное значении функции нам неизвестно. Если необходимо найти числовое приближенное значение аркфункций, применяют таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса.

Такая таблица позволяет выполнять довольно точные вычисления, так как значения даются с четырьмя знаками после запятой. Благодаря этому числа выходят точными до минуты. Значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g отрицательных и положительных чисел сводится к нахождению формул a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g противоположных чисел вида a r c sin ( – α ) = – a r c sin α , a r c cos ( – α ) = π – a r c cos α , a r c t g ( – α ) = – a r c t g α , a r c c t g ( – α ) = π – a r c c t g α .

Рассмотрим решение нахождения значений a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g с помощью таблицы Брадиса.

Если нам необходимо найти значение арксинуса 0 , 2857 , ищем значение, найдя таблицу синусов. Видим, что данному числу соответствует значение угла sin 16 градусов и 36 минут. Значит, арксинус числа 0 , 2857 – это искомый угол в 16 градусов и 36 минут. Рассмотрим на рисунке ниже.

Правее градусов имеются столбцы называемые поправки. При искомом арксинусе 0 , 2863 используется та самая поправка в 0 , 0006 , так как ближайшим числом будет 0 , 2857 . Значит, получим синус 16 градусов 38 минут и 2 минуты, благодаря поправке. Рассмотрим рисунок с изображением таблицы Брадиса.

Бывают ситуации, когда искомого числа нет в таблице и даже с поправками его не найти, тогда отыскивается два самых близких значения синусов. Если искомое число 0,2861573, то числа 0,2860 и 0,2863 являются ближайшими его значениями. Этим числам соответствуют значения синуса 16 градусов 37 минут и 16 градусов и 38 минут. Тогда приближенное значение данного числа можно определить с точностью до минуты.

Таким образом находятся значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g .

Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg

Чтобы найти арксинус через известный арккосинус данного числа, нужно применить тригонометрические формулы a r c sin α + a r c cos α = π 2 , a r c t g α + a r c c t g α = π 2 (не обходимо просмотреть тему формул суммы арккосинуса и арксинуса, суммы арктангенса и арккотангенса).

При известном a r c sin α = – π 12 необходимо найти значение a r c cos α , тогда необходимо вычислить арккосинус по формуле:

a r c cos α = π 2 − a r c sin α = π 2 − ( − π 12 ) = 7 π 12 .

Если необходимо найти значение арктангенса или арккотангенса числа a с помощью известного арксинуса или арккосинуса, необходимо производить долгие вычисления, так как стандартных формул нет. Рассмотрим на примере.

Если дан арккосинус числа а равный π 10 , а вычислить арктангенс данного числа поможет таблица тангенсов. Угол π 10 радиан представляет собой 18 градусов, тогда по таблице косинусов видим, что косинус 18 градусов имеет значение 0 , 9511 , после чего заглядываем в таблицу Брадиса.

При поиске значения арктангенса 0 , 9511 определяем, что значение угла имеет 43 градуса и 34 минуты. Рассмотрим по таблице ниже.

Фактически, таблица Брадиса помогает в нахождении необходимого значения угла и при значении угла позволяет определить количество градусов.

Обратная тригонометрическая функция: Арктангенс (arctg)

Определение

Арктангенс (arctg или arctan) – это обратная тригонометрическая функция.

Арктангенс x определяется как функция, обратная к тангенсу x , где x – любое число (x∈ℝ).

Если тангенс угла у равен х (tg y = x), значит арктангенс x равняется y :

Примечание: tg -1 x означает обратный тангенс, а не тангенс в степени -1.

Например:

arctg 1 = tg -1 1 = 45° = π/4 рад

График арктангенса

Функция арктангенса пишется как y = arctg (x) . График в общем виде выглядит следующим образом:

Свойства арктангенса

Ниже в табличном виде представлены основные свойства арктангенса с формулами.

Арктангенс и арккотангенс. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти арксинус и арккосинус от числа. Результат можно видеть как в градусах, так и в радианах. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Арктангенс и арккотангенс − теория, примеры и решения

Функция арктангенс и ее график

Функция тангенс определена в интервале [−∞;+∞] кроме точек , . и не является монотонной функцией (т.е. не является возрастающей или убывающей во всей области определения функции (Рис.1) (подробнее о функции тангенс смотрите на странице Тангенс и котангенс. Онлайн калькулятор). А для того, чтобы функция имела обратную, она должна быть монотонной.

Однако, функцию тангенс можно разделить на интервалы, где она монотонна. Эти интервалы:

По теореме об обратной функции, на каждом из указанных отрезков функция tg x имеет обратную функцию. Отметим, что это различные обратные функции. Однако, предпочтение отдается обратной функции в отрезке . Обратную функцию обозначают x=arctg y. Поменяв местами x и y, получим:

Функция (1) − это функция, обратная к функции

.

График функции арктангенс можно получить из графика функции с помощью преобразования симметрии относительно прямой y=x (Рис.2).

Свойства функции арктангенс.

  1. Область определения функции: .
  2. Область значений функции: .
  3. Функция является нечетной: .
  4. Функция возрастает.
  5. Функция непрерывна.

Решим тригонометрическое уравнение

В интервале для уравнения (2) существует одно t, для которого tg t=a. Это решение

Следовательно в интервале уравнение (2) имеет один корень. Так как тангенс периодичная функция с основным периодом π, то все корни уравнения (2) отличаются на πn (n∈Z), т.е.

. (3)

Решение уравнения (2) представлен на Рис.3:

Так как tg t − это ординат точки пересечения прямой OMt1 c прямым x=1, то для любого a на линии тангенса есть только одна точка T(1; a). Прямая OTt пересекается с окружностью с радиусом 1 в двух точках: . Но только точка соответствует интервалу , которое соответствует решению .

Пример 1. Решить тригонометрическое уравнение:

.

Решение. Воспользуемся формулой (3):

,

.

Пример 2. Решить тригонометрическое уравнение:

.

Решение. Воспользуемся формулой (3):

.

Используя онлайн калькулятор получим:

.

Функция арккотангенс и ее график

Как известно, функция котангенс определена в интервале [−∞;+∞] кроме точек -2π, –π 0, π, 2π. и не является монотонной функцией (Рис.4) (подробнее о функции котангенс смотрите на странице Тангенс и котангенс. Онлайн калькулятор). А для того, чтобы функция имела обратную, она должна быть монотонной.

Однако, функцию кокотангенс можно разделить на интервалы, где она монотонна. Эти интервалы:

По теореме об обратной функции, на каждом из указанных интервалов функция ctg x имеет обратную функцию. Это различные обратные функции. Однако, предпочтение отдается обратной функции в отрезке . Обратную функцию оброзначают x=arcctg y. Поменяв местами x и y, получим:

Функция (4) − это функция, обратная к функции

.

График функции арккотангенс можно получить из графика функции с помощью преобразования симметрии относительно прямой y=x (Рис.5).

Свойства функции арккотангенс.

  1. Область определения функции: .
  2. Область значений функции: .
  3. Функция не является ни четной ни нечетной (так как функция не симметрична ни относительно начала координит, ни относительно оси Y).
  4. Функция убывает.
  5. Функция непрерывна.

Решим тригонометрическое уравнение

В интервале (0; π) для уравнения (5) существует одно t, для которого сtg t=a. Это t=arcctg a. Следовательно в интервале (0; π) уравнение (5) имеет один корень. Так как котангенс периодичная функция с основным периодом π, то общее решение уравнения (5) имеет следующий вид:

(6)

Решения уравнения (5) можно представить на единичной окружности (Рис.6):

ctg t − это абсцис точки пересечения прямой с прямым y=1. Любому числу a на линии котангенс соответствует только одна точка . Прямая пересекется с единичной окружностью в двух точках . Но только точка соответствует интервалу (0; π), которое соответствует решению .

Пример 1. Решить тригонометрическое уравнение:

.

Решение. Воcпользуемся формулой (6):

.

Так как в интервале (0; π), то

.

Пример 2. Решить следующее тригонометрическое уравнение:

.

Решение. Используя формулу (6), имеем

.

С помощью онлайн калькулятора вычисляем . Тогда

[spoiler title=”источники:”]

http://matworld.ru/trigonometry/arktangens-i-arkkotangens.php

[/spoiler]

  • Определение

  • График арктангенса

  • Свойства арктангенса

  • Таблица арктангенсов

Определение

Арктангенс (arctg или arctan) – это обратная тригонометрическая функция.

Арктангенс x определяется как функция, обратная к тангенсу x, где x – любое число (x∈ℝ).

Если тангенс угла у равен х (tg y = x), значит арктангенс x равняется y:

arctg x = tg-1 x = y, причем -π/2<y<π/2

Примечание: tg-1x означает обратный тангенс, а не тангенс в степени -1.

Например:

arctg 1 = tg-1 1 = 45° = π/4 рад

График арктангенса

Функция арктангенса пишется как y = arctg (x). График в общем виде выглядит следующим образом:

График арктангенса

Свойства арктангенса

Ниже в табличном виде представлены основные свойства арктангенса с формулами.

Таблица арктангенсов

arctg x (°) arctg x (рад) x
-90° -π/2 -∞
-71.565° -1.2490 -3
-63.435° -1.1071 -2
-60° -π/3 -√3
-45° -π/4 -1
-30° -π/6 -1/√3
-26.565° -0.4636 -0.5
0 0
26.565° 0.4636 0.5
30° π/6 1/√3
45° π/4 1
60° π/3 3
63.435° 1.1071 2
71.565° 1.2490 3
90° π/2

microexcel.ru

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от лат. arcus — дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Так, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Манера обозначать таким образом обратные тригонометрических функции появилась у австрийского математика XVIII века Карла Шерфера и закрепилась благодаря Лагранжу. Впервые специальный символ для обратной тригонометрической функции использовал Даниил Бернулли в 1729 году. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: {displaystyle sin ^{-1},{frac {1}{sin }},} но они не прижились[1].
Лишь изредка в иностранной литературе, также как и в научных/инженерных калькуляторах, пользуются обозначениями типа sin−1, cos−1 для арксинуса, арккосинуса и т. п.[2], — такая запись считается не очень удобной, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1.

Тригонометрические функции периодичны, поэтому функции, обратные к ним, многозначны. То есть, значение аркфункции представляет собой множество углов (дуг), для которых соответствующая прямая тригонометрическая функция равна заданному числу. Например, arcsin 1/2 означает множество углов left ( frac{pi}{6}, frac{5 pi}{6}, frac{13 pi}{6}, frac{17 pi}{6} dots ~ (30^circ, 150^circ, 390^circ, 510^circ dots) right ), синус которых равен 1/2. Из множества значений каждой аркфункции выделяют её главные значения (см. графики главных значений аркфункций ниже), которые обычно и имеют в виду, говоря об арксинусе, арккосинусе и т. д.

В общем случае при условии -1leqslant alpha leqslant 1 все решения уравнения sin x=alpha можно представить в виде x=(-1)^{n}arcsin alpha +pi n,~n=0,pm 1,pm 2,dots ~.[3]

Основное соотношение[править | править код]

arcsin x+arccos x={frac  {pi }{2}}
operatorname {arctg},x+operatorname {arcctg},x={frac  {pi }{2}}

Функция arcsin[править | править код]

График функции y=arcsin x

Аркси́нусом числа x называется такое значение угла y, выраженного в радианах, для которого {displaystyle sin y=x,quad -{frac {pi }{2}}leqslant yleqslant {frac {pi }{2}},quad |x|leqslant 1.}

Функция y=arcsin x непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей.

Свойства функции arcsin[править | править код]

Получение функции arcsin[править | править код]

Дана функция y=sin x. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, на всей числовой прямой обратное соответствие y=arcsin x функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок {displaystyle [-pi /2;pi /2]}, на котором функция y=sin x строго монотонно возрастает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на отрезке {displaystyle [-pi /2;pi /2]} существует обратная функция y=arcsin x, график которой симметричен графику функции y=sin x относительно прямой y=x.

Функция arccos[править | править код]

График функции y=arccos x

Аркко́синусом числа x называется такое значение угла y в радианной мере, для которого {displaystyle cos y=x,qquad 0leqslant yleqslant pi ,quad |x|leqslant 1.}

Функция y=arccos x непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей и неотрицательной.

Свойства функции arccos[править | править код]

Получение функции arccos[править | править код]

Дана функция y=cos x. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, на всей числовой прямой обратное соответствие y=arccos x функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок [0;pi ], на котором функция y=cos x строго монотонно убывает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на отрезке [0;pi ] существует обратная функция {displaystyle y=arccos x}, график которой симметричен графику функции y=cos x относительно прямой y=x.

Функция arctg[править | править код]

График функции y=operatorname {arctg},x

Аркта́нгенсом числа x называется такое значение угла {displaystyle y,} выраженное в радианах, для которого {displaystyle operatorname {tg} y=x,quad -{frac {pi }{2}}<y<{frac {pi }{2}}.}

Функция y=operatorname {arctg}x определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго возрастающей.

Свойства функции arctg[править | править код]

Получение функции arctg[править | править код]

Дана функция y=operatorname {tg},x. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y=operatorname {arctg},x функцией не является. Поэтому рассмотрим интервал {displaystyle (-pi /2;pi /2)}, на котором функция y=operatorname {tg},x строго монотонно возрастает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на интервале {displaystyle (-pi /2;pi /2)} существует обратная функция y=operatorname {arctg},x, график которой симметричен графику функции y=operatorname {tg},x относительно прямой y=x.

Функция arcctg[править | править код]

График функции {displaystyle y=operatorname {arcctg} x}

Арккота́нгенсом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого {displaystyle operatorname {ctg} ,y=x,quad 0<y<pi .}

Функция y=operatorname {arcctg},x определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго убывающей и всюду положительной.

Свойства функции arcctg[править | править код]

Получение функции arcctg[править | править код]

Дана функция y=operatorname {ctg},x. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y=operatorname {arcctg},x функцией не является. Поэтому рассмотрим интервал (0;pi ), на котором функция y=operatorname {ctg},x строго монотонно убывает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на интервале (0;pi ) существует обратная функция y=operatorname {arcctg},x, график которой симметричен графику функции y=operatorname {ctg},x относительно прямой y=x.

График арккотангенса получается из графика арктангенса, если последний отразить относительно оси ординат (то есть заменить знак аргумента, xrightarrow -x) и сместить вверх на π/2; это вытекает из вышеупомянутой формулы operatorname {arcctg}x=operatorname {arctg}(-x)+pi /2.

Функция arcsec[править | править код]

График функции {displaystyle y=operatorname {arcsec} x}

Арксе́кансом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого {displaystyle sec y=x,qquad |x|geqslant 1,quad 0leqslant yleqslant pi .}

Функция {displaystyle y=operatorname {arcsec} x} непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей и всюду неотрицательной.

Свойства функции arcsec[править | править код]

Функция arccosec[править | править код]

График функции {displaystyle y=operatorname {arccosec} x}

Арккосе́кансом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого {displaystyle operatorname {cosec} y=x,qquad |x|geqslant 1,quad -pi /2leqslant yleqslant pi /2.}

Функция {displaystyle y=operatorname {arccosec} x} непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей.

Свойства функции arccosec[править | править код]

Разложение в ряды[править | править код]

Производные от обратных тригонометрических функций[править | править код]

Все обратные тригонометрические функции бесконечно дифференцируемы в каждой точке своей области определения. Первые производные:

производные обратных тригонометрических функций

Функция f(x) Производная f'(x) Примечание
{displaystyle arcsin {x}} {frac  {1}{{sqrt  {1-x^{2}}}}}

Доказательство                                 

Найти производную арксинуса можно при помощи взаимно обратных функций.
{displaystyle sin(arcsin((x))=x}
После чего мы должны взять производную этих обеих функций.
{displaystyle [sin(arcsin((x))]'=x'}
{displaystyle cos(arcsin(x))cdot (arcsin(x))'=1}
Теперь мы должны выразить производную арксинуса.
{displaystyle (arcsin(x))'={frac {1}{cos(arcsin(x))}}}
Исходя из тригонометрического тождества({displaystyle sin^{2}x+cos^{2}x=1}) — получаем.
{displaystyle (arcsin(x))'={frac {1}{pm {sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))}}}}}
Для того, чтобы понять плюс должен стоять или минус взглянем какие значения.
{displaystyle D(cos(x))=[{frac {pi }{2}};-{frac {pi }{2}}]}
Так как косинус находится в 2-й и 4-й четвертях то, получается что косинус положительный.
{displaystyle (arcsin(x))'={frac {1}{sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))}}}}
Получается.
{displaystyle (arcsin(x))'={frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}}}

{displaystyle arccos {x}} -{frac  {1}{{sqrt  {1-x^{2}}}}}

Доказательство                                 

Найти производную арккосинуса можно при помощи данного тождества:
{displaystyle arcsin(x)+arccos(x)={frac {pi }{2}}}
Теперь находим производную обеих частей этого тождества.
{displaystyle [arcsin(x)+arccos(x)]'=({frac {pi }{2}})'}
{displaystyle (arcsin(x))'+(arccos(x))'=0}
Теперь выражаем производную арккосинуса.
{displaystyle (arccos(x))'=-(arcsin(x))'}
Получается.
{displaystyle (arccos(x))'=-{frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}}}

{displaystyle mathrm {arctg}  x} {displaystyle {frac {1}{1+x^{2}}}}

Доказательство                                 

Найти производную арктангенса можно при помощи взаимнообратной функции:
{displaystyle tg(arctg(x))=x}
Теперь находим производную обеих частей этого тождества.
{displaystyle [tg(arctg(x))]'=1}
{displaystyle {frac {1}{cos^{2}(arctg(x))}}cdot (arctg(x))'=1}
Теперь мы должны выразить производную арктангенса:
{displaystyle (arctg(x))'=cos^{2}(arctg(x))}
Теперь на помощь нам придет на помощь тождество({displaystyle cos(x)={frac {1}{sqrt {1+tg^{2}(x)}}}}):
{displaystyle (arctg(x))'=({frac {1}{sqrt {1+tg^{2}(arctg(x))}}})^{2}}
Получается.
{displaystyle (arctg(x))'={frac {1}{1+x^{2}}}}

{displaystyle mathrm {arcctg}  x} {displaystyle -{frac {1}{1+x^{2}}}}

Доказательство                                 

Найти производную арккотангенса можно при помощи данного тождества:
{displaystyle arctg(x)+arcctg(x)={frac {pi }{2}}}
Теперь находим производную обеих частей этого тождества.
{displaystyle [arctg(x)+arcctg(x)]'=({frac {pi }{2}})'}
{displaystyle (arctg(x))'+(arcctg(x))'=0}
Теперь выражаем производную арккотангенса.
{displaystyle (arcctg(x))'=-(arctg(x))'}
Получается.
{displaystyle (arcctg(x))'=-{frac {1}{1+x^{2}}}}

{displaystyle mathrm {arcsec}  x} {displaystyle {frac {1}{|x|{sqrt {x^{2}-1}}}}}

Доказательство                                 

Найти производную арксеканса можно при помощи тождества:

{displaystyle arcsec(x)=arccos({frac {1}{x}})}

Теперь находим производную обеих частей этого тождества.

{displaystyle (arcsec(x))'=(arccos({frac {1}{x}}))'}

{displaystyle (arcsec(x))'=-{frac {1}{sqrt {1-{frac {1}{x^{2}}}}}}cdot (-{frac {1}{x^{2}}})}

{displaystyle (arcsec(x))'={frac {1}{x^{2}{sqrt {frac {x^{2}-1}{x^{2}}}}}}}

{displaystyle (arcsec(x))'={frac {1}{x^{2}{frac {sqrt {x^{2}-1}}{|x|}}}}}

Получается.

{displaystyle (arcsec(x))'={frac {1}{|x|{sqrt {x^{2}-1}}}}}

{displaystyle mathrm {arccosec}  x} {displaystyle -{frac {1}{|x|{sqrt {x^{2}-1}}}}}

Доказательство                                 

Найти производную арккосеканса можно при помощи данного тождества:
{displaystyle arccosec(x)+arcsec(x)={frac {pi }{2}}}
Теперь находим производную обеих частей этого тождества.
{displaystyle [arccosec(x)+arcsec(x)]'=({frac {pi }{2}})'}
{displaystyle (arccosec(x))'+(arcsec(x))'=0}
Теперь выражаем производную арккосинуса.
{displaystyle (arccosec(x))'=-(arcsec(x))'}
Получается.
{displaystyle (arccosec(x))'=-{frac {1}{|x|{sqrt {x^{2}-1}}}}}

Интегралы от обратных тригонометрических функций[править | править код]

Неопределённые интегралы[править | править код]

Для действительных и комплексных x:

{begin{aligned}int arcsin x,dx&{}=x,arcsin x+{sqrt  {1-x^{2}}}+C,\int arccos x,dx&{}=x,arccos x-{sqrt  {1-x^{2}}}+C,\int operatorname {arctg},x,dx&{}=x,operatorname {arctg},x-{frac  {1}{2}}ln left(1+x^{2}right)+C,\int operatorname {arcctg},x,dx&{}=x,operatorname {arcctg},x+{frac  {1}{2}}ln left(1+x^{2}right)+C,\int operatorname{arcsec} x,dx&{}=x,operatorname{arcsec} x-ln left(xleft(1+{sqrt  {{x^{2}-1} over x^{2}}},right)!right)+C,\int operatorname {arccosec},x,dx&{}=x,operatorname {arccosec},x+ln left(xleft(1+{sqrt  {{x^{2}-1} over x^{2}}},right)!right)+C.end{aligned}}

Для действительных x ≥ 1:

{begin{aligned}int operatorname{arcsec} x,dx&{}=x,operatorname{arcsec} x-ln left(x+{sqrt  {x^{2}-1}}right)+C,\int operatorname {arccosec},x,dx&{}=x,operatorname {arccosec},x+ln left(x+{sqrt  {x^{2}-1}}right)+C.end{aligned}}
См. также Список интегралов от обратных тригонометрических функций

Использование в геометрии[править | править код]

Обратные тригонометрические функции используются для вычисления углов треугольника, если известны его стороны, например, с помощью теоремы косинусов.

В прямоугольном треугольнике эти функции от отношений сторон сразу дают угол.
Так, если катет длины a является противолежащим для угла alpha , то

{displaystyle alpha =arcsin(a/c)=arccos(b/c)=operatorname {arctg} (a/b)=operatorname {arccosec} (c/a)=operatorname {arcsec}(c/b)=operatorname {arcctg} (b/a).}

Связь с натуральным логарифмом[править | править код]

Для вычисления значений обратных тригонометрических функций от комплексного аргумента удобно использовать формулы, выражающие их через натуральный логарифм:

{displaystyle {begin{aligned}arcsin z&{}=-iln(iz+{sqrt {1-z^{2}}})={frac {pi }{2}}-iln(z+{sqrt {z^{2}-1}})=-ioperatorname {arsh} ,iz,end{aligned}}}
{displaystyle arccos(z)={dfrac {pi }{2}}+iln(iz+{sqrt {1-z^{2}}})=-ioperatorname {arch} (iz)}
{displaystyle operatorname {arctg} (z)={dfrac {i}{2}}(ln(1-iz)-ln(1+iz))=-ioperatorname {arth} (iz)}
{displaystyle operatorname {arcctg} (z)={dfrac {i}{2}}left(ln left({dfrac {z-i}{z}}right)-ln left({dfrac {z+i}{z}}right)right)=ioperatorname {arcth} (iz)}
{displaystyle operatorname {arcsec}(z)=arccos left(z^{-1}right)={dfrac {pi }{2}}+iln left({sqrt {1-{dfrac {1}{z^{2}}}}}+{dfrac {i}{z}}right),}
{displaystyle operatorname {arccosec} ,(z)=arcsin left(z^{-1}right)=-iln left({sqrt {1-{dfrac {1}{z^{2}}}}}+{dfrac {i}{z}}right).}

См. также[править | править код]

  • Обратные гиперболические функции
  • Теорема Данжуа — Лузина

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

  • Weisstein, Eric W. Обратные тригонометрические функции (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская Энциклопедия», 1982. — [dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3612/%D0%9E%D0%91%D0%A0%D0%90%D0%A2%D0%9D%D0%AB%D0%95 Т. 3. — с. 1135].
  • Обратные тригонометрические функции — статья из Большой советской энциклопедии.  — М.: «Советская Энциклопедия», 1974. — Т. 18. — с. 225.
  • Обратные тригонометрические функции // Энциклопедический словарь юного математика / Савин А.П. — М.: Педагогика, 1985. — С. 220—221. — 352 с.
  • Построение графиков обратных тригонометрических функций онлайн
  • Онлайн калькулятор: обратные тригонометрические функции

Некоторые внешние ссылки в этой статье ведут на сайты, занесённые в спам-лист.

Эти сайты могут нарушать авторские права, быть признаны неавторитетными источниками или по другим причинам быть запрещены в Википедии. Редакторам следует заменить такие ссылки ссылками на соответствующие правилам сайты или библиографическими ссылками на печатные источники либо удалить их (возможно, вместе с подтверждаемым ими содержимым).

Список проблемных доменов

  • dic.academic.ru

План урока: 

Арккосинус

Арксинус

Арктангенс

Решение уравнения cosx = a

Решение уравнения sinx = a

Решение уравнений tgx = a и ctgx = a

Арккосинус

Напомним, что на единичной окружности косинус угла – это координата х точки А, соответствующей этому углу:

1ghfhjkk

Можно утверждать, что косинус – это ф-ция, которая ставит каждому углу в соответствие некоторую координату х. Теперь предположим, что нам известна эта координата (пусть она будет равна величине а), и по ней надо определить значение угла. Отложим на оси Ох отрезок длиной а, проведем через него вертикальную прямую и отметим ее точки пересечения с единичной окружностью. Если – 1<а < 1, то должно получиться две точки, которым соответствуют два противоположных угла:

2hgjhj

Получается, что каждому значению числа а соответствует некоторый угол α. А если есть соответствие, то есть и функция:

α = f (a)

В математике ее называют арккосинусом. Записывается она так:

3hgfgh

Вертикальная прямая может пересекать единичную окружность в двух разных точках. Им соответствуют разные углы. Принято считать, что арккосинус – это значение того угла, который лежит в первой или второй четверти, то есть ему соответствует точка, лежащая выше оси Ох. Тогда другая точка пересечения будет соответствовать углу (– arccosa):

4gfgh

Выходит, что арккосинус может принимать только значения из отрезка [0; π]. Дадим определение арккосинуса:

5gfdhg

Задание. Вычислите арккосинус числа 1/2.

Решение. Мы помним, что косинус угла π/3 равен 1/2:

6gfgjhj

Следовательно, arccos 1/2 – это и есть угол π/3:

7fdfg

Ответ: π/3.

Обратим внимание, что если число а равно 1 или (– 1), то его арккосинус равен нулю в первом случае и π во втором:

8gfghfgh

В тех случаях, когда а > 1 либо а <– 1, то соответствующая прямая не пересечет единичную окружность. Это значит, что эти значения не входят в область определения арккосинуса:

9gfghh

Получается, что область определения арккосинуса – это промежуток [– 1; 1].

Для вычисления арккосинусов от отрицательных величин удобно пользоваться формулой

10gfdty

Действительно, если отложить на координатной прямой числа а и (– а), то вертикальные прямые, проходящие через них, пересекут окружность в некоторых точках А и С:

11fdty

Дополнительно обозначим буквой В точку с координатами (1; 0) и буквой D точку с координатами (– 1; 0). Эти точки располагаются на пересечении оси Ох и единичной окружности. Тогда можно записать, что

12fgfhgj

ведь эти два угла образуют вместе развернутый угол ВОD, равный π. С другой стороны, из симметрии очевидно, что углы ∠COD и ∠АОВ равны друг другу, значит, ∠COD = ∠АОВ = arccosa. Тогда

13fgghhjghj

Но ∠СОВ – это арккосинус от (– а), поэтому

14gdfgty

15hfyu

Задание. Вычислите arccos (– 1/2).

Решение. Используем только что полученную формулу:

16hyutyu

17hgyuty

Ответ: 2π/3.

Арксинус

Арккосинус – это ф-ция, обратная косинусу. Аналогично можно вести и другие обратные тригонометрические ф-ции. Пусть нам требуется узнать, синус какого угла равен числу а. Так как синус – это координата у точки на единичной окружности, то достаточно провести горизонтальную линию у = а:

18bgfhy

Прямая может пересечь окружность сразу в двух точках. За арксинус принимают угол, соответствующей точке, расположенной правее оси Оу. Вторая же точка соответствует углу π – arcsin α:

19gnhjjk

Арксинус может быть вычислен и для отрицательного значения а. В этом случае точка пересечения прямой и окружности будет располагаться в IV четверти, а соответствующий ему угол окажется отрицательным:

20nhkjk

При значениях а, равных (– 1) и 1, точка пересечения будет только одна. В этих случаях арксинус окажется равным либо углу π/2, либо углу (– π/2):

21bghjk

Таким образом, арксинус может принимать значения из отрезка [– π/2; π/2], а вычислить его можно для чисел а, принадлежащих отрезку [– 1; 1]. Если же число а выходит за пределы этого промежутка, то горизонтальная прямая не пересекает единичную окружность, а потому ф-ция арксинуса становится неопределенной:

22hghjt

Получается, что областью определения арксинуса является промежуток [– 1; 1], а областью значений – промежуток [– π/2; π/2].

Дадим определение арксинусу:

23gfghy

Задание. Чему равен arcsin0,5?

Решение. Мы знаем, что sinπ/6 = 1/2 = 0,5. Следовательно, арксинус 0,5 равен π/6.

24bgfhy

Для вычисления арксинусов отрицательных углов используется формула

25bgj

Справедливость этой формулы очевидна из картинки:

26bghj

27nhgkjk

Задание. Вычислите arcsin (– 0,5).

Решение. Используем формулу для арксинуса отрицательного числа:

28bgjhj

Арктангенс

Введем ф-цию, обратную тангенсу. Она называется арктангенс.

Напомним, что величину тангенса на координатной плоскости можно получить, если продолжить угол до его пересечения с вертикальной прямой х = 1. Аналогично, чтобы определить арктангенс некоторого числа а, надо отметить на этой прямой точку с координатами (1; а) и соединить её с началом координат:

29bghjf

Несложно видеть, что, какое бы число а нами не было выбрано, мы с помощью построения всегда сможем соединить точку А с началом координат и получить некоторый угол arctga. Это значит, что область определения арктангенса – это вся числовая прямая, то есть промежуток (– ∞; + ∞).

Ещё раз уточним, что вводимые нами функции arcos, arcsin, arctg называются ОБРАТНЫМИ тригонометрическими функциями. C их помощью можно определить угол, если известно значение его синуса, косинуса или тангенса.Образно говоря, обратные триг-кие функции играют в тригонометрии ту же роль, что и квадратные корни при исследовании квадратных ур-ний. Как без квадратных корней невозможно решать квадратные ур-ния, так и без знания об обратных триг-ких функций нельзя решать уже тригом-кие уравнения.

Теперь вернемся к понятию арктангенса. При положительном значении числа а угол arctga будет принадлежать I четверти. Если же а – отрицательное число, то угол arctga окажется также отрицательным и будет принадлежать IV четверти:

30ghjuk

Получается, что величина arctgа может принадлежать промежутку (– π/2; π/2). Обратите внимание, что в данном случае у промежутка круглые скобки. Действительно для углов (– π/2) и π/2 тангенс не определен, а потому арктангенс не может принимать эти два значения.

31gfgh

Задание. Чему равен arctg 1?

Решение. Из таблицы тангенсов мы знаем, что tgπ/4 = 1. Это значит, что

32bgfhgj

Для вычисления арктангенсов отрицательных чисел используют формулу

33bgj

В ее справедливости можно убедиться, взглянув на рисунок:

34gfhj

35nghjh

Задание. Вычислите arctg (– 1).

Решение.

36nhgh

Ответ: – 1

В принципе можно ввести ещё ф-цию, обратную котангенсу – арккотангенс. Однако для решения тригонометрических уравнений, как мы убедимся далее, она не требуется, а поэтому в рамках школьного курса математики ее можно не изучать.

В заключение приведем таблицы, которые помогают вычислять значение обратных тригон-ких функций:

37nfgjhj

Решение уравнения cosx = a

Рассмотрим тригонометрическое уравнение, в левой части которого стоит ф-ция cosx, а в правой – число, например, 0,5:

38hfgh

По определению арккосинуса очевидно, что arccos 0,5 будет его решением, ведь

39hgfgh

Так как arccos 0,5 = π/3, то мы находим очевидный корень х = π/3. И действительно, если подставить это значение в исходное ур-ние, то получится верное равенство:

40gfyu

Значит ли это, что мы решили ур-ние? Нет, ведь мы нашли только один корень, а их может быть несколько. Проведем на единичной окружности вертикальную прямую х = 0,5 и посмотрим, где она пересечет окружность:

41gfdyu

Видно, что есть ещё одна точка пересечения, соответствующая углу (– arccos 0,5). Это значит, что этот угол также является решением ур-ния. Проверим это:

42gfjhj

Здесь мы использовали тот факт, косинус – четная функция, то есть

43gfgjhj

Итак, число – π/3 также является корнем ур-ния. Есть ли ещё какие-нибудь корни? Оказывается, есть. Построим график ф-ции у = cosx и посмотрим, где ее пересекает прямая у = 0,5:

44hgfjhj

Оказывается, прямая пересекает график в бесконечном количестве точек! Это связано с периодичностью ф-ции у = cosx. Период этой ф-ции равен 2π, то есть

45bgjhj

Поэтому, если число π/3 является решением ур-ния, то так же решением будут и число π/3 + 2π. Но к этому числу можно ещё раз добавить 2π и получить число π/3 + 4π. И оно тоже будет корнем. С другой стороны, период можно не только добавлять, но и вычитать, поэтому корнями ур-ния окажутся числа π/3 – 2π, π/3 – 4π и т.д. Как же записать все эти бесчисленные решения? Для этого используется такая запись:

46hhkjk

Запись «π/3+ 2πn» называется серией решений. Она включает в себя бесконечное количество значений х, которые обращают ур-ние в справедливое равенство. Достаточно выбрать любое целое число и подставить его в серию решений. Например, при n = 0 получим решение

47hgfj

При n = 5 получим корень

48hgjj

При n = – 10 у нас получится решение

49jhkjk

Однако помимо серии х = π/3 + 2πn решениями ур-ния будет определять ещё одна серия:

50hgfyu

Действительно, число (– π/3) является корнем, но не входит в первую серию. Поэтому оно порождает собственную серию корней. Так, подставив в эту серию n = 4, получим корень

51ghjhj

Итак, решением ур-ния являются две серии решений. Заметим, что каждой серии решений с периодом 2π соответствует ровно одна точка на единичной окружности:

52hjkjk

Объединить же обе серии можно одной записью:

53ghyu

Напомним, что мы решали ур-ние

54gfhyu

и получили для него решение

55bggfh

Число π/3 появилось в записи по той причине, что arccos 0,5 = π/3. Поэтому в общем случае, когда ур-ние имеет вид

56hgi

где а – некоторое число, его решением будут все такие х, что

57jhjk

58jyui

Для краткости запись «n– целое число» заменяют эквивалентной записью

«n ∈ Z»

Напомним, что буквой Z обозначают множество целых чисел.

Задание. Решите ур-ние

59nhgj

Решение. Вспомним, что

60hgfhf

Задание. Решите ур-ние

61gfty

Решение. В таблице стандартных углов нет такого числа, у которого косинус равен 0,25. Поэтому вычислить значение arccos 0,25 мы не сможем. Но для записи решения и не нужно его вычислять:

62kgit

Иногда встречаются задачи, в которых надо не просто решить ур-ние, но и выбрать некоторые его корни, удовлетворяющие определенному условию. Процедуру выбора корней, удовлетворяющих условию задачи, часто называют отбором корней. Заметим, что иногда при отборе корней удобнее записывать решение ур-ние не в виде одной серии, а в виде двух серий, у каждой из которых период равен 2π. Рассмотрим отбор корней на примере.

Задание. Укажите три наименьших положительных корня ур-ния

63bgh

Решение. Так как

64gfdgd

то все решения образуют две серии:

65gfdfg

Начнем подставлять вместо n целые числа и выпишем из каждой серии несколько чисел. Так мы сможем найти наименьшие положительные числа в каждой серии.

Для первой серии:

66gfdfg

Для второй серии:

67gdffgs

Отметим все найденные корни на координатной прямой (схематично, не выдерживая масштаб):

68gfdgs

Видно, что тремя наименьшими положительными корнями являются числа π/4, 7π/4 и 9π/4

Ответ: π/4, 7π/4 и 9π/4.

Отметим, что возможны три частных случая, когда две серии решений сливаются в одну. Для ур-ния

69fhgh

На графике видно, что этим значениям х соответствуют вершины синусоиды. Решениями же ур-ния

70gfdhgh

являются точки, в которых график пересекает ось Ох:

71gdfg

Отдельно отметим, что если правая часть в ур-нии – это число, большее единицы или меньшее (– 1), то ур-ние корней не имеет, ведь область определения косинуса – это отрезок [– 1; 1].

Решение уравнения sinx = a

Ур-ние cosx = a называют простейшим тригонометрическим уравнением, ведь, ведь для его решения не требуется проводить никаких преобразований. Аналогично простейшими являются ур-ния sinx = a, tgx = a и ctgx = a.

Ситуация с ур-нием sinx = a аналогична ситуации с косинусом. Если число а не принадлежит промежутку [– 1; 1], то корней у ур-ния не будет. Если же число а будет принадлежать этому промежутку, то у ур-ния окажется бесконечное число решений.

Рассмотрим случай, когда 0<а< 1. Тогда решениями ур-ния окажутся числа arcsina и π – arcsina:

72jgjfkd

В свою очередь каждое из этих двух решений порождает свою собственную бесконечную серию решений

73fdhh

Однако, как и в случае с косинусом, существует способ записать одной формулой сразу оба этих решения. Для этого перепишем первую серию таким образом:

74gfjhjh

Действительно, если n окажется четным, то, то выражение (– 1)n,будет равно единице, и мы получим первую серию. Если же n – нечетное число, то, то выражение (– 1)n окажется равным (– 1), и мы получим вторую серию.

75ggfdhgh

Задание. Решите ур-ние

76gghj

Задание. Запишите корни ур-ния

77gdhgh

Теперь будем подставлять в это решение значения n, чтобы найти конкретные значения х. Нас интересуют корни, которые больше π, но меньше 4π, поэтому будем сразу сравнивать полученные результаты с этими числами.

78dfgf

Получили два корня, относящихся к промежутку – это 7π/3 и 8π/3. Нет смысла проверять другие возможные значения n, ведь они будут давать корни, заведомо меньшие 2π/3 или большие 13π/3:

79gfdfg

Ответ: 7π/3 и 8π/3.

Как и в случае с косинусом, есть несколько частных случаев, когда решение ур-ния записывается проще. Ур-ние

80gdfhg

Это видно из графика, где корням ур-ния соответствуют точки пересечения синусоиды с осью Ох:

81jhdfg

Решениями ур-ния

82kjhgfg

83gtyui

Наконец, решениями ур-ния

84hkjhjk

Решение уравнений tgx = a и ctgx = a

Ур-ния вида tgx = a отличаются тем, что имеют решение при любом значении а. Действительно, построим одну тангенсоиду и проведем горизонтальную линии у = а. При любом а прямая пересечет тангенсоиду, причем ровно в одной точке, которая имеет координаты (arctga; a):

85ghyu

Таким образом, у ур-ния tgx = a существует очевидное решение

x = arctg a

Однако напомним, что тангенс является периодической ф-цией, его график представляет собой бесконечное множество тангенсоид, расстояние между которыми равно π. Поэтому корень х = arctga порождает целую серию корней, которую можно записать так:

86gdfgy

87fgjt

88yiui

Задание. Решите ур-ние

89gfjdg

Задание. Запишите формулу корней ур-ния

90fjdfgfg

Далее рассмотрим ур-ние вида

91gfdgu

Задание. Решите ур-ние

92gjiyu

Существует особый случай, когда нельзя заменить котангенс на тангенс. В ур-нии

93jkyllu

Из сегодняшнего урока мы узнали про обратные тригонометрические ф-ции – арксинус, арккосинус и арктангенс. Также мы научились находить решения простейших тригонометрических уравнений. Это поможет нам в будущем при изучении более сложных ур-ний.

Добавить комментарий