В данной статье рассмотрим способы определить расстояние от точки до точки теоретически и на примере конкретных задач. И для начала введем некоторые определения.
Расстояние между точками – это длина отрезка, их соединяющего, в имеющемся масштабе. Задать масштаб необходимо, чтобы иметь для измерения единицу длины. Потому в основном задача нахождения расстояния между точками решается при использовании их координат на координатной прямой, в координатной плоскости или трехмерном пространстве.
Расстояние между точками на координатной прямой
Исходные данные: координатная прямая Ox и лежащая на ней произвольная точка А. Любой точке прямой присуще одно действительное число: пусть для точки А это будет некое число хA, оно же – координата точки А.
В целом можно говорить о том, что оценка длины некого отрезка происходит в сравнении с отрезком, принятым за единицу длины в заданном масштабе.
Если точке А соответствует целое действительное число, отложив последовательно от точки О до точки по прямой ОА отрезки – единицы длины, мы можем определить длину отрезка OA по итоговому количеству отложенных единичных отрезков.
К примеру, точке А соответствует число 3 – чтобы попасть в нее из точки О, необходимо будет отложить три единичных отрезка. Если точка А имеет координату -4 – единичные отрезки откладываются аналогичным образом, но в другом, отрицательном направлении. Таким образом в первом случае, расстояние ОА равно 3; во втором случае ОА = 4.
Если точка A имеет в качестве координаты рациональное число, то от начала отсчета (точка О) мы откладываем целое число единичных отрезков, а затем его необходимую часть. Но геометрически не всегда возможно произвести измерение. К примеру, затруднительным представляется отложить на координатной прямой дробь 4111.
Вышеуказанным способом отложить на прямой иррациональное число и вовсе невозможно. К примеру, когда координата точки А равна 11 . В таком случае возможно обратиться к абстракции: если заданная координата точки А больше нуля, то OA=xA (число принимается за расстояние); если координата меньше нуля, то OA=-xA . В общем, эти утверждения справедливы для любого действительного числа xA.
Резюмируя: расстояние от начала отсчета до точки, которой соответствует действительное число на координатной прямой, равно:
- 0, если точка совпадает с началом координат;
- xA , если xA>0;
- -xA , если xA<0 .
При этом очевидно, что сама длина отрезка не может быть отрицательной, поэтому, используя знак модуля, запишем расстояние от точки O до точки A с координатой xA: OA=xA
Верным будет утверждение: расстояние от одной точки до другой будет равно модулю разности координат. Т.е. для точек A и B, лежащих на одной координатной прямой при любом их расположении и имеющих соответственно координаты xA и xB : AB=xB-xA.
Расстояние между точками на плоскости
Исходные данные: точки A и B, лежащие на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy с заданными координатами: A(xA, yA) и B(xB, yB) .
Проведем через точки А и B перпендикуляры к осям координат Ox и Oy и получим в результате точки проекции: Ax, Ay, Bx, By. Исходя из расположения точек А и B далее возможны следующие варианты:
– если точки А и В совпадают, то расстояние между ними равно нулю;
– если точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси Ox (оси абсцисс), то точки и совпадают, а |АВ| = |АyBy|. Поскольку, расстояние между точками равно модулю разности их координат, то AyBy=yB-yA , а, следовательно AB=AyBy=yB-yA.
– если точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси Oy (оси ординат) – по аналогии с предыдущим пунктом: AB=AxBx=xB-xA
– если точки A и B не лежат на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей, найдем расстояние между ними, выведя формулу расчета:
Мы видим, что треугольник АВС является прямоугольным по построению. При этом AC=AxBx и BC=AyBy. Используя теорему Пифагора, составим равенство: AB2=AC2+BC2⇔AB2=AxBx2+AyBy2 , а затем преобразуем его: AB=AxBx2+AyBy2=xB-xA2+yB-yA2=(xB-xA)2+(yB-yA)2
Сформируем вывод из полученного результата: расстояние от точки А до точки В на плоскости определяется расчётом по формуле с использованием координат этих точек
AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2
Полученная формула также подтверждает ранее сформированные утверждения для случаев совпадения точек или ситуаций, когда точки лежат на прямых, перпендикулярных осям. Так, для случая совпадения точек A и B будет верно равенство: AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2=02+02=0
Для ситуации, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси абсцисс:
AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2=02+(yB-yA)2=yB-yA
Для случая, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси ординат:
AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2=(xB-xA)2+02=xB-xA
Расстояние между точками в пространстве
Исходные данные: прямоугольная система координат Oxyz с лежащими на ней произвольными точками с заданными координатами A(xA, yA, zA) и B(xB, yB, zB) . Необходимо определить расстояние между этими точками.
Рассмотрим общий случай, когда точки A и B не лежат в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей. Проведем через точки A и B плоскости, перпендикулярные координатным осям, и получим соответствующие точки проекций: Ax, Ay, Az, Bx, By, Bz
Расстояние между точками A и B являет собой диагональ полученного в результате построения параллелепипеда. Согласно построению измерения этого параллелепипеда: AxBx, AyBy и AzBz
Из курса геометрии известно, что квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. Исходя из этого утверждения получим равенство: AB2=AxBx2+AyBy2+AzBz2
Используя полученные ранее выводы, запишем следующее:
AxBx=xB-xA, AyBy=yB-yA, AzBz=zB-zA
Преобразуем выражение:
AB2=AxBx2+AyBy2+AzBz2=xB-xA2+yB-yA2+zB-zA2==(xB-xA)2+(yB-yA)2+zB-zA2
Итоговая формула для определения расстояния между точками в пространстве будет выглядеть следующим образом:
AB=xB-xA2+yB-yA2+(zB-zA)2
Полученная формула действительна также для случаев, когда:
– точки совпадают;
– лежат на одной координатной оси или прямой, параллельной одной из координатных осей.
Примеры решения задач на нахождение расстояния между точками
Исходные данные: задана координатная прямая и точки, лежащие на ней с заданными координатами A(1-2) и B(11+2) . Необходимо найти расстояние от точки начала отсчета O до точки A и между точками A и B.
Решение
- Расстояние от точки начала отсчета до точки равно модулю координаты этой точки, соответственно OA=1-2=2-1
- Расстояние между точками A и B определим как модуль разности координат этих точек: AB=11+2-(1-2)=10+22
Ответ: OA=2-1, AB=10+22
Исходные данные: задана прямоугольная система координат и две точки, лежащие на ней A(1, -1) и B (λ+1, 3) . λ – некоторое действительное число. Необходимо найти все значения этого числа, при которых расстояние АВ будет равно 5.
Решение
Чтобы найти расстояние между точками A и B, необходимо использовать формулу AB=(xB-xA)2+yB-yA2
Подставив реальные значения координат, получим:AB=(λ+1-1)2+(3-(-1))2=λ2+16
А также используем имеющееся условие, что АВ=5 и тогда будет верным равенство:
λ2+16=5λ2+16=25λ=±3
Ответ: АВ = 5, если λ=±3 .
Исходные данные: задано трехмерное пространство в прямоугольной системе координат Oxyz и лежащие в нем точки A (1, 2, 3) и B-7, -2, 4 .
Решение
Для решения задачи используем формулу AB=xB-xA2+yB-yA2+(zB-zA)2
Подставив реальные значения, получим: AB=(-7-1)2+(-2-2)2+(4-3)2=81=9
Ответ: |АВ| = 9
Решение задач по математике у учащихся часто сопровождается многими трудностями. Помочь учащемуся справиться с этими трудности, а так же научить применять имеющиеся у него теоретические знания при решении конкретных задач по всем разделам курса предмета «Математика» – основное назначение нашего сайта.
Приступая к решению задач по теме «Расстояние между двумя точками на плоскости», учащиеся должны уметь строить точку на плоскости по ее координатам, а так же находить координаты заданной точки.
Вычисление расстояния между взятыми на плоскости двумя точками А(хА; уА) и В(хВ; уВ), выполняется по формуле d = √((хА – хВ)2 + (уА – уВ)2), где d – длина отрезка, который соединяет эти точки на плоскости.
Если один из концов отрезка совпадает с началом координат, а другой имеет координаты М(хМ; уМ), то формула для вычисления d примет вид ОМ = √(хМ2 + уМ2).
1. Вычисление расстояния между двумя точками по данным координатам этих точек
Пример 1.
Найти длину отрезка, который соединяет на координатной плоскости точки А(2; -5) и В(-4; 3) (рис. 1).
Решение.
В условии задачи дано: хА = 2; хВ = -4; уА = -5 и уВ = 3. Найти d.
Применив формулу d = √((хА – хВ)2 + (уА – уВ)2), получим:
d = АВ = √((2 – (-4))2 + (-5 – 3)2) = 10.
2. Вычисление координат точки, которая равноудалена от трех заданных точек
Пример 2.
Найти координаты точки О1, которая равноудалена от трех точек А(7; -1) и В(-2; 2) и С(-1; -5).
Решение.
Из формулировки условия задачи следует, что О1А = О1В = О1С. Пусть искомая точка О1 имеет координаты (а; b). По формуле d = √((хА – хВ)2 + (уА – уВ)2) найдем:
О1А = √((а – 7)2 + (b + 1)2);
О1В = √((а + 2)2 + (b – 2)2);
О1С = √((а + 1)2 + (b + 5)2).
Составим систему из двух уравнений:
{√((а – 7)2 + (b + 1)2) = √((а + 2)2 + (b – 2)2),
{√((а – 7)2 + (b + 1)2) = √((а + 1)2 + (b + 5)2).
После возведения в квадрат левой и правой частей уравнений запишем:
{(а – 7)2 + (b + 1)2 = (а + 2)2 + (b – 2)2,
{(а – 7)2 + (b + 1)2 = (а + 1)2 + (b + 5)2.
Упростив, запишем
{-3а + b + 7 = 0,
{-2а – b + 3 = 0.
Решив систему, получим: а = 2; b = -1.
Точка О1(2; -1) равноудалена от трех заданных в условии точек, которые не лежат на одной прямой. Эта точка – есть центр окружности, проходящей через три заданные точки (рис. 2).
3. Вычисление абсциссы (ординаты) точки, которая лежит на оси абсцисс (ординат) и находится на заданном расстоянии от данной точки
Пример 3.
Расстояние от точки В(-5; 6) до точки А, лежащей на оси Ох равно 10. Найти точку А.
Решение.
Из формулировки условия задачи следует, что ордината точки А равна нулю и АВ = 10.
Обозначив абсциссу точки А через а, запишем А(а; 0).
По формуле d = √((хА – хВ)2 + (уА – уВ)2) находим:
АВ = √((а + 5)2 + (0 – 6)2) = √((а + 5)2 + 36).
Получаем уравнение √((а + 5)2 + 36) = 10. Упростив его, имеем
а2 + 10а – 39 = 0.
Корни этого уравнения а1 = -13; а2 = 3.
Получаем две точки А1(-13; 0) и А2(3; 0).
Проверка:
А1В = √((-13 + 5)2 + (0 – 6)2) = 10.
А2В = √((3 + 5)2 + (0 – 6)2) = 10.
Обе полученные точки подходят по условию задачи (рис. 3).
4. Вычисление абсциссы (ординаты) точки, которая лежит на оси абсцисс (ординат) и находится на одинаковом расстоянии от двух заданных точек
Пример 4.
Найти на оси Оу точку, которая находится на одинаковом расстоянии от точек А(6; 12) и В(-8; 10).
Решение.
Пусть координаты нужной по условию задачи точки, лежащей на оси Оу, будут О1(0; b) (у точки, лежащей на оси Оу, абсцисса равна нулю). Из условия следует, что О1А = О1В.
По формуле d = √((хА – хВ)2 + (уА – уВ)2) находим:
О1А = √((0 – 6)2 + (b – 12)2) = √(36 + (b – 12)2);
О1В = √((а + 8)2 + (b – 10)2) = √(64 + (b – 10)2).
Имеем уравнение √(36 + (b – 12)2) = √(64 + (b – 10)2) или 36 + (b – 12)2 = 64 + (b – 10)2.
После упрощения получим: b – 4 = 0, b = 4.
Необходимая по условию задачи точка О1(0; 4) (рис. 4).
5. Вычисление координат точки, которая находится на одинаковом расстоянии от осей координат и некоторой заданной точки
Пример 5.
Найти точку М, расположенную на координатной плоскости на одинаковом расстоянии от осей координат и от точки А(-2; 1).
Решение.
Необходимая точка М, как и точка А(-2; 1), располагается во втором координатном углу, так как она равноудалена от точек А, Р1 и Р2 (рис. 5). Расстояния точки М от осей координат одинаковые, следовательно, ее координатами будут (-a; a), где а > 0.
Из условия задачи следует, что МА = МР1 = МР2, МР1 = а; МР2 = |-a|,
т.е. |-a| = а.
По формуле d = √((хА – хВ)2 + (уА – уВ)2) находим:
МА = √((-а + 2)2 + (а – 1)2).
Составим уравнение:
√((-а + 2)2 + (а – 1)2) = а.
После возведения в квадрат и упрощения имеем: а2 – 6а + 5 = 0. Решим уравнение, найдем а1 = 1; а2 = 5.
Получаем две точки М1(-1; 1) и М2(-5; 5), удовлетворяющие условию задачи.
6. Вычисление координат точки, которая находится на одинаковом заданном расстоянии от оси абсцисс (ординат) и от данной точки
Пример 6.
Найти точку М такую, что расстояние ее от оси ординат и от точки А(8; 6) будет равно 5.
Решение.
Из условия задачи следует, что МА = 5 и абсцисса точки М равна 5. Пусть ордината точки М равна b, тогда М(5; b) (рис. 6).
По формуле d = √((хА – хВ)2 + (уА – уВ)2) имеем:
МА = √((5 – 8)2 + (b – 6)2).
Составим уравнение:
√((5 – 8)2 + (b – 6)2) = 5. Упростив его, получим: b2 – 12b + 20 = 0. Корни этого уравнения b1 = 2; b2 = 10. Следовательно, есть две точки, удовлетворяющие условию задачи: М1(5; 2) и М2(5; 10).
Известно, что многие учащиеся при самостоятельном решении задач нуждаются в постоянных консультациях по приемам и методам их решения. Зачастую, найти путь к решению задачи без помощи преподавателя учащемуся не под силу. Необходимые консультации по решению задач учащийся и может получить на нашем сайте.
Остались вопросы? Не знаете, как найти расстояние между двумя точками на плоскости?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!
Зарегистрироваться
© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
На этой странице находится все необходимое, чтобы найти расстояние между двумя точками. Просто введите координаты точек и получите ответ и подробное решение с помощью наших онлайн-калькуляторов. Кроме того на сайте можно найти координаты середины отрезка.
Расстояние между двумя точками – это длина отрезка, соединяющего эти точки.
Формула расстояния между двумя точками на плоскости:
d=sqrt{{(x_b – x_a)}^2 + {(y_b – y_a)^2}}
xa и ya – координаты первой точки A,
xb и yb – координаты второй точки B
Нахождение расстояния между двумя точками на плоскости сводится к решению треугольника, а точнее – нахождению его гипотенузы. Для этого используется теорема Пифагора. Посмотрите на рисунок.
Соединив отрезком точки A и B, а также опустив перпендикуляры на оси мы получим треугольник ABC. В этом треугольнике стороны AC и BC являются катетами прямоугольного треугольника, а AB – его гипотенузой. Длины катетов AC и BC найти довольно просто:
AC = xb – xa
BC = yb – ya
Осталось применить теорему Пифагора и получить сторону AB, которая является гипотенузой прямоугольного треугольника и расстоянием между точками A и B:
AB=sqrt{{AC}^2 + {BC^2}}
Подставив вместо отрезков AC и BC их длины, получим итоговую формулу расстояния между двумя точками:
AB=sqrt{{(x_b – x_a)}^2 + {(y_b – y_a)^2}} или d=sqrt{{(x_b – x_a)}^2 + {(y_b – y_a)^2}}
Формула расстояния между двумя точками в пространстве:
{d=sqrt{{(x_b – x_a)}^2 + {(y_b – y_a)^2} + {(z_b – z_a)^2}}}
xa, ya и za – координаты первой точки A,
xb, yb и zb – координаты второй точки B
Примеры задач на вычисление середины отрезка
Задача 1
Найдите расстояние между точками А и В, если А(2; 7), В(-2; 7).
Решение
Подставим координаты точек в формулу расстояния между двумя точками на плоскости и вычислим результат:
d=sqrt{{(x_b – x_a)}^2 + {(y_b – y_a)^2}} = sqrt{{(-2 – 2)}^2 + {(7 – 7)^2}} = sqrt{{-4}^2 + {0^2}} = sqrt{16 + 0} = sqrt{16} = 4
Мы получили расстояние между точками и оно равно 4.
Ответ: 4.
Проверим результат с помощью калькулятора .
Здесь будет калькулятор
Расстояние между двумя точками на прямой
Рассмотрим координатную прямую, на которой отмечены 2 точки: AA и BB. Чтобы найти расстояние между этими точками, нужно найти длину отрезка ABAB. Это делается при помощи следующей формулы:
AB=∣a−b∣AB=|a-b|,
где a,ba, b — координаты этих точек на прямой (координатной прямой).
Ввиду того, что в формуле присутствует модуль, при решении не принципиально, из какой координаты какую вычитать (так как берется абсолютная величина этой разности).
То есть:
∣a−b∣=∣b−a∣|a-b|=|b-a|
Разберем пример, чтобы лучше понять решение подобных задач.
На координатной прямой отмечены точка AA, координата которой равна 99 и точка BB с координатой −1-1. Нужно найти расстояние между этими двумя точками.
Решение
Здесь a=9,b=−1a=9, b=-1
Пользуемся формулой и подставляем значения:
AB=∣a−b∣=∣9−(−1)∣=∣10∣=10AB=|a-b|=|9-(-1)|=|10|=10
Ответ
10
Расстояние между двумя точками на плоскости
Рассмотрим две точки, заданные на плоскости. Из каждой отмеченной на плоскости точки нужно опустить по два перпендикуляра: На ось OXOX и на ось OYOY. Затем рассматривается треугольник ABCABC. Так как он является прямоугольным (BCBC перпендикулярно ACAC), то найти отрезок ABAB, он же является и расстоянием между точками, можно с помощью теоремы Пифагора. Имеем:
AB2=AC2+BC2AB^2=AC^2+BC^2
Но, исходя из того, что длина ACAC равна xB−xAx_B-x_A, а длина BCBC равна yB−yAy_B-y_A, эту формулу можно переписать в следующем виде:
AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB=sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2},
где xA,yAx_A, y_A и xB,yBx_B, y_B — координаты точек AA и BB соответственно.
Необходимо найти расстояние между точками CC и FF, если координаты первой (8;−1)(8;-1), а второй — (4;2)(4;2).
Решение
xC=8x_C=8
yC=−1y_C=-1
xF=4x_F=4
yF=2y_F=2
CF=(xF−xC)2+(yF−yC)2=(4−8)2+(2−(−1))2=16+9=25=5CF=sqrt{(x_F-x_C)^2+(y_F-y_C)^2}=sqrt{(4-8)^2+(2-(-1))^2}=sqrt{16+9}=sqrt{25}=5
Ответ
5
Расстояние между двумя точками в пространстве
Нахождение расстояния между двумя точками в этом случае происходит аналогично предыдущему за исключением того, что координаты точки в пространстве задаются тремя числами, соответственно, в формулу нужно добавить еще и координату оси аппликат. Формула примет такой вид:
AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2AB=sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}
Найти длину отрезка FKFK в пространстве, если координаты точек его концов таковы: (−1;−1;8)(-1;-1;8) и (−3;6;0)(-3;6;0). Ответ округлить до целого числа.
Решение
F=(−1;−1;8)F=(-1;-1;8)
K=(−3;6;0)K=(-3;6;0)
FK=(xK−xF)2+(yK−yF)2+(zK−zF)2=(−3−(−1))2+(6−(−1))2+(0−8)2=117≈10.8FK=sqrt{(x_K-x_F)^2+(y_K-y_F)^2+(z_K-z_F)^2}=sqrt{(-3-(-1))^2+(6-(-1))^2+(0-8)^2}=sqrt{117}approx10.8
По условию задачи нам нужно округлить ответ до целого числа.
Ответ
10
Расстояние между точками на координатной плоскости
Александр Мельник
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Часто возникающая на практике задача — это поиск расстояния между двумя точками на координатной плоскости. Рассмотрим подробнее, как это делается.
Допустим, есть необходимость найти расстояние между двумя точками $A$ с координатами $(x_1;y_1)$ и $B$ с координатами $(x_2; y_2)$. Соединим их отрезком $AB$ (рис. 1). Расстояние между двумя точками есть не что иное, как длина этого отрезка.
плоскости. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ” />
Рисунок 1. Расстояние между точками на координатной плоскости. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Опустим из точек $A$ и $B$ перпендикуляры на ось абсцисс и ось ординат (рис. 2). На пересечении этих перпендикуляров отметим точку $C$. Получается прямоугольный треугольник $ABC$.
Рисунок 2. Перпендикуляры на оси Оx и Oy. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Сторона $AC$ этого треугольника — это проекция $AB$ на ось абсцисс, соответственно, её длина представляет собой разность между координатами $x_2$ и $x_1$:
$AC=x_2-x_1$
Сторона $BC$ — это проекция $AB$ на ось ординат, соответственно, её длина равна разности между $y_2$ и $y_1$:
$BC=x_2-x_1$
Теперь вспомним теорему Пифагора:
$AB^2= AC^2 + BC^2$, выражаем $AB$:
$AB=sqrt{AC^2 + BC^2}= sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
Так мы получили формулу вычисления расстояния между двумя точками, выпишем её отдельно:
$d= sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}left(1right)$
Пример 1
Найдите расстояние между точками $A$ и $B$ с координатами и $(8; 8)$ $(10;13)$ соответственно.
Воспользуемся вышеприведённой формулой $(1)$ и подставим в неё координаты точек $A$ и $B$:
$d= sqrt{(10-8)^2+(13-8)^2}=sqrt{29}≈5,38$
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Дата последнего обновления статьи: 05.03.2023
