Как найти начальную фазу результирующего колебания

2.1. Сложение гармонических колебаний одного направления

2.2. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Одно и то же тело может одновременно участвовать в двух и более движениях. Простым примером является движение шарика, брошенного под углом к горизонту. Можно считать, что шарик участвует в двух независимых взаимно перпендикулярных движениях: равномерном по горизонтали и равнопеременном по вертикали. Одно и то же тело (материальная точка) может участвовать в двух (и более) движениях колебательного типа.

Под сложением колебаний понимают определение закона результирующего колебания, если колебательная система одновременно участвует в нескольких колебательных процессах. Различают два предельных случая – сложение колебаний одного направления и сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

2.1. Сложение гармонических колебаний одного направления

1. Сложение двух колебаний одного направления (сонаправленных колебаний)

можно провести с помощью метода векторных диаграмм (Рисунок 9) вместо сложения двух уравнений.

На Рисунке 2.1 показаны векторы амплитуд А₁(t) и А₂(t) складываемых колебаний в произвольный момент времени t, когда фазы этих колебаний соответственно равны и . Сложение колебаний сводится к определению . Воспользуемся тем фактом, что на векторной диаграмме сумма проекций складываемых векторов равна проекции векторной суммы этих векторов.

Результирующему колебанию соответствует на векторной диаграмме вектор амплитуды и фаза .

Рисунок 2.1 – Сложение сонаправленных колебаний.

Величина вектора А(t) может быть найдена по теореме косинусов:

.

Фаза результирующего колебания задается формулой:

.

Если частоты складываемых колебаний ω₁ и ω₂ не равны, то и фаза φ(t), и амплитуда А(t) результирующего колебания будут изменяться с течением времени. Складываемые колебания называются некогерентными в этом случае.

2. Два гармонических колебания x₁ и x₂ называются когерентными, если разность их фаз не зависит от времени:

.

Но так как , то для выполнения условия когерентности двух этих колебаний должны быть равны их циклические частоты .

Амплитуда результирующего колебания, полученного при сложении сонаправленных колебаний с равными частотами (когерентных колебаний) равна:

.

Начальную фазу результирующего колебания легко найти, если спроектировать векторы А₁ и А₂ на координатные оси ОХ и ОУ (см. Рисунок 9):

.

Итак, результирующее колебание, полученное при сложении двух гармонических сонаправленных колебаний с равными частотами, также является гармоническим колебанием .

3. Исследуем зависимость амплитуды результирующего колебания от разности начальных фаз складываемых колебаний.

Если , где n – любое целое неотрицательное число

(n = 0, 1, 2…), то , т.е. результирующая амплитуда будет минимальной. Складываемые колебания в момент сложения находились в противофазе. При результирующая амплитуда равна нулю .

Если , то , т.е. результирующая амплитуда будет максимальной. В момент сложения складываемые колебания находились в одной фазе, т.е. были синфазны. Если амплитуды складываемых колебаний одинаковы , то .

4. Сложение сонаправленных колебаний с неравными, но близкими частотами.

Частоты складываемых колебаний не равны , но разность частот много меньше и ω₁, и ω₂. Условие близости складываемых частот записывается соотношениями .

Примером сложения сонаправленных колебаний с близкими частотами является движение горизонтального пружинного маятника, жесткость пружин которого немного различна k₁ и k₂.

Пусть амплитуды складываемых колебаний одинаковы, а начальные фазы равны нулю . Тогда уравнения складываемых колебаний имеют вид: , .

Результирующее колебание описывается уравнением:

.

Получившееся уравнение колебаний зависит от произведения двух гармонических функций: одна – с частотой , другая – с частотой , где ω близка к частотам складываемых колебаний (ω₁ или ω₂). Результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое колебание с изменяющейся по гармоническому закону амплитудой. Такой колебательный процесс называется биениями. Строго говоря, результирующее колебание в общем случае не является гармоническим колебанием.

Абсолютное значение косинуса взято потому, что амплитуда – величина положительная. Характер зависимости х_рез.при биениях показан на Рисунке 2.2.

Рисунок 2.2 – Зависимость смещения от времени при биениях.

Амплитуда биений медленно меняется с частотой . Абсолютное значение косинуса повторяется, если его аргумент изменяется на π, значит и значение результирующей амплитуды повторится через промежуток времени τ_б, называемый периодом биений (см. Рисунок 12). Величину периода биений можно определить из следующего соотношения:

.

Величина – период биений.

Величина есть период результирующего колебания (Рисунок 2.4).

1. Модель, на которой можно продемонстрировать сложение взаимно перпендикулярных колебаний, представлена на Рисунке 2.3. Маятник (материальная точка массой m) может совершать колебания по осям ОХ и ОУ под действием двух сил упругости, направленных взаимно перпендикулярно.

Рисунок 2.3

Складываемые колебания имеют вид:

.

Частоты колебаний определяются как , , где , -коэффициенты жесткости пружин.

2. Рассмотрим случай сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковыми частотами , что соответствует условию (одинаковые пружины). Тогда уравнения складываемых колебаний примут вид:

Когда точка участвует одновременно в двух движениях, ее траектория может быть различной и достаточно сложной. Уравнение траектории результирующего колебаний на плоскости ОХУ при сложении двух взаимно перпендикулярных с равными частотами можно определить, исключив из исходных уравнений для х и y время t:

.

Вид траектории определяется разностью начальных фаз складываемых колебаний, которые зависят от начальных условий (см. § 1.1.2). Рассмотрим возможные варианты.

а) Если , где n = 0, 1, 2…, т.е. складываемые колебания синфазные, то уравнение траектории примет вид:

(Рисунок 2.3 а).

б) Если (n = 0, 1, 2 …), т.е. складываемые колебаний находятся в противофазе, то уравнение траектории записывается так:

(Рисунок 2.3б).

В обоих случаях ( а, б) результирующее движение точки будет колебание по прямой, проходящей через точку О. Частота результирующего колебания равна частоте складываемых колебаний ω₀, амплитуда определяется соотношением:

.

Угол, который прямая (траектория) составляет с осью ОХ, можно найти из уравнения:

(знак “плюс” – случай а, знак “минус” – случай б).

Результатом сложения взаимно перпендикулярных колебаний (случай а и б) является колебание, которое называется линейно поляризованным.

в) Если (n = 0, 1, 2 …), то уравнение траектории результирующего движения примет вид:

.

Это уравнение эллипса, его оси совпадают с осями координат ОХ и ОУ, а размеры его полуосей равны и (Рисунок 2.4 ).

Рисунок 2.4

Точка в результате участия в двух взаимно перпендикулярных колебаниях описывает эллипс за время, равное периоду складываемых колебаний .

3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний с кратными частотами.

Складываются взаимно перпендикулярные колебания, частоты которых не равны , но , , где a и b – целые числа.

Периоды колебаний вдоль осей ОХ и ОУ соответственно равны и . Отношение периодов .

Траектория точки, участвующей во взаимно перпендикулярных колебаниях с кратными частотами, – замкнутая кривая, форма которой зависит от соотношения амплитуд, частот и начальных фаз складываемых колебаний. Такие замкнутые траектории называются фигурами Лиссажу.

Для школьников.

Задача.

Даны уравнения одинаково направленных колебаний материальной точки:

Надо получить уравнение результирующего колебания точки.

Решение. Из уравнений видно, что складываемые колебания имеют одинаковую частоту, равную 5 рад/с.

Амплитуда результирующего колебания (см. рис 25):

Находим начальную фазу результирующего колебания точки:

отсюда

Тогда уравнение результирующего колебания имеет вид:

Таким образом, если материальная точка одновременно участвует в двух гармонических колебаниях одинаковой частоты и одного направления, то её результирующее колебание тоже будет гармоническим с той же частотой.

Если же материальная точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях одного направления, но частоты этих колебаний разные, то результирующее колебание уже не будет гармоническим (синусоидальным). Покажем это на рисунке.

Здесь пунктирными линиями показаны графики двух гармонических колебаний разных частот, в которых участвует материальная точка (горизонтальная линия соответствует её положению равновесия).

Алгебраическое сложение смещений в каждом из двух колебаний (в данный момент времени) даёт результирующее смещение материальной точки от её положения равновесия (АD = АВ + АС).

По полученным в результате сложения точкам построен график суммарного колебания материальной точки (сплошная линия), форма которой не является синусоидой.

Сплошная линия на рисунке есть график негармонического периодического суммарного колебания (его ещё называют формой периодического колебания или просто формой).

Период суммарного колебания (формы) равен периоду гармонического колебания с наиболее низкой частотой, называемой основной частотой (см. рисунок).

Определённой частоты у суммарного колебания нет.

Теперь рассудим наоборот. Пусть известна форма, т. е. график колебаний материальной точки (сплошная линия на рисунке).

Это сложное периодическое колебание (форму) можно разложить на набор гармонических колебаний (в рассматриваемом случае их два). В других случаях этот набор может включать в себя много гармонических колебаний (гармоник).

В этом заключается смысл теоремы Фурье: всякое периодическое колебание периода Т может быть представлено в виде суммы гармонических колебаний с периодами, равными T, Т/2, Т/3, Т/4 и т. д., т. е. с частотами, равными 1/Т, 2/Т, 3/Т, 4/Т и т. д.

Каждое из набора колебаний имеет определённую частоту.

Самая низкая (малая) частота называется основной частотой.

Частоты других гармонических колебаний (гармоник), на которые разложили периодическое сложное колебание (форму), в 2, 3, 4 и т. д. раз больше основной частоты.

Они называются второй, третьей, четвёртой и т. д. гармониками (высшими гармониками).

Такое действие – разложение сложного периодического колебания (формы) в гармонический ряд (на гармонические колебания) часто бывает нужно на практике и называется оно гармоническим анализом.

Гармонический анализ позволяет детально описать и проанализировать любой колебательный процесс.

С периодическими колебаниями (формами) мы встретимся ещё при рассмотрении звуковых колебаний.

Если частоты складываемых гармонических колебаний одного направления близки друг другу, то получается интересная картина.

Итак, нами рассмотрены примеры сложения гармонических колебаний. Говоря о сложении гармонических колебаний одного направления, но разных частот, приходим к выводу, что результирующее колебание (форма) уже не является гармоническим, но является периодическим. И ещё приходим к заключению, что любое сложное колебание можно разложить на совокупность гармонических колебаний (гармоник). Этим разложением, называемым гармоническим анализом, широко пользуются на практике.

https://yandex.ru/video/preview/?text=%D0%B4%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%BD%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F%20%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%BC%D0%BE%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D1%85%20%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%B1%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B9&path=wizard&parent-reqid=1638617385109896-9444507951277324299-sas3-0841-245-sas-l7-balancer-8080-BAL-7543&wiz_type=vital&filmId=6200809953460406703

К.В. Рулёва, к. ф.-м. н., доцент. Подписывайтесь на канал. Ставьте лайки. Пишите комментарии. Спасибо.

Предыдущая запись: Пример нахождения характеристик гармонического колебания материальной точки.

Следующая запись: Затухающие колебания.

Ссылки на занятия до электростатики даны в Занятии 1 .

Ссылки на занятия (статьи), начиная с электростатики, даны в конце Занятия 45 .

Ссылки на занятия (статьи), начиная с теплового действия тока, даны в конце Занятия 5 8.

Ссылки на занятия, начиная с переменного тока, даны в конце Занятия 70 .

Лекция №7. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

5.1. Свободные гармонические колебания и их характеристики.

Колебания − это движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени. Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебания, повторяются через равные промежутки времени. Наиболее важными характеристиками колебания являются: смещение, амплитуда, период, частота, циклическая частота, фаза.

Простейший вид периодических колебаний − это гармонические колебания. Гармонические колебания − это периодическое изменение во времени физической величины, происходящее по закону косинуса или синуса. Уравнение гармонических колебаний имеет вид

1) Смещение x − это величина, характеризующая колебания и равная отклонению тела от положения равновесия в данный момент времени.

2) Амплитуда колебаний А − это величина, равная максимальному отклонению тела от положения равновесия.

3) Период колебаний T − это наименьший промежуток времени, через который система, совершающая колебания, снова возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент, выбранный произвольно. Единица измерения [T] = 1 с .

За период система совершает одно полное колебание.

4) Частота колебаний ν − это величина, равная числу колебаний, совершаемых в единицу времени (за 1 секунду). Единица измерения [ν]= 1 Гц . Частота определяется по формуле

5) Циклическая частота ω − это величина, равная числу полных колебаний, совершающихся за 2π секунд. За единицу циклической частоты принята угловая частота, при которой за время 1 с совершается 2π циклов колебаний, [ω]= с -1 . Циклическая частота связана с периодом и частотой колебаний соотношением

6) Фаза колебаний ωt + φ₀ − фаза указывает местоположение колеблющейся точки в данный момент времени.

7) Начальная фаза φ₀ − указывает местоположение колеблющейся точки в момент времени t = 0 .

5.2. Сложение одинаково направленных и взаимно перпендикулярных гармонических колебаний.

Сложение нескольких колебаний одинакового направления можно изображать графически с помощью метода векторной диаграммы.

Гармоническое колебание может быть представлено графически с помощью вращающегося вектора амплитуды А . Для этого из произвольной точки O , выбранной на оси Ox , под углом φ₀ , равным начальной фазе колебания, откладывается вектор амплитуды А . Модуль этого вектора равен амплитуде рассматриваемого колебания. Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью ω , равной циклической частоте колебаний, то проекция конца вектора амплитуды будет перемещаться по оси Ox и принимать значения от -A до +A , а колеблющаяся величина изменяться со временем по закону x = Acos(ωt + φ₀)

1. Сложение одинаково направленных гармонических колебаний.

Сложим два гармонических колебания одинакового направления и одинаковой частоты. Смещение x колеблющегося тела будет суммой смещений x₁ и x₂ , которые запишутся следующим образом:

Представим оба колебания на векторной диаграмме. Построим по правилу сложения векторов результирующий вектор А . Проекция этого вектора на ось Ox равна сумме проекций слагаемых векторов x=x₂+x₂ , следовательно, вектор А представляет собой результирующее колебание. Определим результирующий вектор амплитуды А потеореме косинусов

Так как угол между векторами А ₁ и А ₂ равен φ=π-(φ₂-φ₁) , то cos[π-(φ₂-φ₁)]=-cos(φ₂-φ₁) , следовательно, результирующая амплитуда колебания будет равна

Определим начальную фазу результирующего колебания.

Из рисунка видно, что начальная фаза результирующего колебания

Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, также совершает гармонические колебания в том же направлении и с той же частотой.

2. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний.

Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях. Допустим, что материальная точка совершает колебания как вдоль оси X , так и вдоль оси Y . Выберем начало отсчета времени так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю. Тогда уравнения колебаний примут вид

где φ − разность фаз обоих колебаний.

Уравнение траектории получим, исключив из уравнений (5.2.6) параметр времени t: cosωt= $$xover A_1$$ , а sinωt= $$sqrt<1-cos^2 ωt>=sqrt<1-x^2over A_1^2>$$ Разложим косинус во втором из уравнений (5.2.6)

Перепишем это уравнение в следующем виде

После преобразования, получим

Используя тригонометрическое тождество cos 2 φ+sin 2 φ=1 , окончательно получим

Это есть уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных осей произвольно. Ориентация эллипса и величина его полуосей зависят от амплитуд колебаний и разности фаз.

Рассмотрим несколько частных случаев и определим форму траектории для них:

a) разность фаз равна нулю [φ=0]

В этом случае $$( < xover A_1 >- < yover A_2 >)^2=0$$ , откуда получается уравнение прямой

Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой с частотой ω и амплитудой $$A= sqrt+A_2<^2>>$$ .

2) разность фаз равна ±π[φ=±π] .

В этом случае $$( < xover A_1 >- < yover A_2 >)^2=0$$ , откуда получается уравнение прямой

3) Разность фаз равна ± $$πover 2$$ [φ=± $$π over2$$ ] . Тогда

Уравнение эллипса, причем полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. При равенстве амплитуд колебаний эллипс вырождается в окружность. Случаи φ=+ $$πover 2$$ и φ=- $$πover 2$$ отличаются направлением движения. Если φ=+ $$πover 2$$ , то уравнения колебаний имеют следующий вид: x=A₁cosωt , и y=-A₂sinωt и движение совершается по часовой стрелке. Если φ=- $$πover 2$$ , , то уравнения колебаний имеют следующий вид: x=A₁cosωt , и y=A₂sinωt и движение совершается против часовой стрелке.

Рассмотренные три частных случая представлены на рис. 5.2.3, а, б, в. Рис

4) Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, то траектория результирующего движения имеет вид сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу . Форма этих кривых определяется соотношением амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний.

На рис. 5.2.4 показаны фигуры Лиссажу, которые получаются при соотношении частот 1:2 и различной разности фаз колебаний.

По виду фигур можно определить неизвестную частоту по известной частоте или определить соотношение частот складываемых колебаний.

5.3. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение.

Продифференцируем по времени уравнение гармонических колебаний

и получим выражение для скорости

Из сравнения уравнений (5.3.1) и (5.3.2) следует, что скорость опережает смещение по фазе на π/2 . Амплитуда скорости равна Аω .

Продифференцировав уравнение (2) еще раз по времени, получим выражение для ускорения

Как следует из уравнения (5.3.3), ускорение и смещение находятся в противофазе. Это означает, что в тот момент времени, когда смещение достигает наибольшего, положительного значения, ускорение достигает наибольшего по величине отрицательного значения, и наоборот. Амплитуда ускорения равна Аω 2 (рис. 5.3.1).

Из выражения (5.3.3) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Результирующая сила, действующая на материальную точку массой m , определяется с помощью второго закона Ньютона. Проекция этой силы

Эта сила пропорциональна смещению точки из положения равновесия и направлена в сторону противоположную этому смещению, т. е. она стремится вернуть точку в положение равновесия, и поэтому называется возвращающей силой . Таким образом, гармонические колебания происходят под действием силы F , пропорциональной смещению x и направленной к положению равновесия,

где k=mω 2 − постоянный коэффициент. Возвращающая сила подобна упругим силам, возникающим в телах при их деформации. Такая зависимость силы от смещения характерна для упругой силы, поэтому силы иной физической природы, удовлетворяющие зависимости (5.3.6) называются квазиупругими силами .

Материальная точка, совершающая колебания под действием квазиупругой силы, называется линейным осциллятором . Ее динамическое поведение описывается дифференциальным уравнением

ω₀ − собственная частота осциллятора.

Решение этого уравнения дает закон движения линейного осциллятора x=Acos(ωt+φ₀) .

5.4. Энергия гармонических колебаний.

В процессе колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную энергию и обратно (рис. 5.4.1). В момент наибольшего отклонения от положения равновесия полная энергия состоит только из потенциальной энергии, которая достигает своего наибольшего значения. Далее при движении к положению равновесия потенциальная энергия уменьшается, при этом кинетическая энергия возрастает. При прохождении через положение равновесия полная энергия состоит лишь из кинетической энергии, которая в этот момент достигает своего наибольшего значения. Далее при движении к точке наибольшего отклонения происходит уменьшение кинетической и увеличение потенциальной энергии. И при наибольшем отклонении потенциальная опять максимальная, а кинетическая энергия рана нулю. И т. д.

Потенциальная энергия тела, совершающего гармонические колебания равна

Кинетическая энергия тела, совершающего гармонические колебания равна

Таким образом, полная энергия гармонического колебания, состоящая из суммы кинетической и потенциальной энергий, определяется следующим образом

Следовательно, полная энергия гармонического колебания

оказывается постоянной в случае гармонических колебаний.

Найдем среднее значение потенциальной энергии за период колебания

Аналогично получается для среднего значение кинетической энергии

Таким образом, и потенциальная, и кинетическая энергии изменяются относительно своих средних значений по гармоническому закону с частотой 2ω и амплитудой ωt kA 2

5.5. Пружинный, математический и физический маятники.

Рассмотрим несколько простейших систем, совершающих свободные гармонические колебания.

1) Пружинный маятник − это материальная точка массой m , подвешенная (или расположенная горизонтально) на абсолютно упругой пружине жесткостью k и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы. Пусть шайба массой m , прикрепленная к пружине, совершает колебания. Для составления дифференциального уравнения колебаний запишем второй закон Ньютона в проекции на ось Ox F_упр=ma . Упругая сила F_упр=-kx . Приравнивая последние два уравнения и, используя определение ускорения тела, получим

Сравнивая уравнения (5.3.7) и (5.5.2) получаем, что пружинный маятник совершает гармонические колебания с частотой

Так как период колебаний определяется по формуле T= $$2πover ω_0$$ , то период колебаний пружинного маятника

2) Математический маятник − это идеализированная система, состоящая из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена материальная точка массой m . Отклонение маятника от положения равновесия будем характеризовать углом φ , образованным нитью с вертикалью.

При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент M , равный по величине mqlsinφ .Он имее акое же направление, что стремится вернуть маятник в положение равновесия. Следовательно, выражение для вращательного момента имеет вид: M=-mqlsinφ . Применим основно ательного движения

где L=ml 2 − момент инерции материальной точки. Тогда, учитывая, что угловое ускорение ε= $$d^2φover dt^2$$ , получим

Если рассматривать малые колебания, то sinφ≈φ . Получим

То есть при малых колебаниях угловое отклонение математического маятника изменяется по гармоническому закону с частотой

Период колебаний математического маятника

3) Физический маятник − это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной оси, проходящей через точку, не совпадающую с центром масс тела. При отклонении маятника от положения равновесия на угол φ возникает вращательный момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен M=-mglsinφ .

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения получаем

где I − момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса.

Если рассматривать малые колебания, то sinφ≈φ . Получим

То есть при малых колебаниях угловое отклонение математического маятника изменяется по гармоническому закону с частотой

Период колебаний математического маятника

Из сопоставления формул периодов колебаний математического и физического маятников T=2π $$sqrt$$ и T=2π $$sqrt$$ получается, что математический маятник с длиной

будет иметь такой же период колебаний, что и данный физический маятник.

Величина l_пр (отрезок OO′) называется приведенной длиной физического маятника − это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника. Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром масс, и лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания (О′) физического маятника. Точка подвеса О и центр качания обладают свойством взаимности: при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подвеса становится новым центром качания.

Характеристики колебаний

Чтобы описать колебательные процессы и отличить одни колебания от других, используют 6 характеристик. Они называются так (рис. 1):

• амплитуда,
• период,
• частота,
• циклическая частота,
• фаза,
• начальная фаза.

Такие величины, как амплитуду и период, можно определить по графику колебаний.

Начальную фазу, так же, определяют по графику, с помощью интервала времени (large Delta t), на который относительно нуля сдвигается начало ближайшего периода.

Частоту и циклическую частоту вычисляют из найденного по графику периода, по формулам. Они находятся ниже в тексте этой статьи.

А фазу определяют с помощью формулы, в которую входит интересующий нас момент времени t колебаний. Читайте далее.

Что такое амплитуда

Амплитуда – это наибольшее отклонение величины от равновесия, то есть, максимальное значение колеблющейся величины.

Измеряют в тех же единицах, в которых измерена колеблющаяся величина. К примеру, когда рассматривают механические колебания, в которых изменяется координата, амплитуду измеряют в метрах.

В случае электрических колебаний, в которых изменяется заряд, ее измеряют в Кулонах. Если колеблется ток – то в Амперах, а если – напряжение, то в Вольтах.

Часто обозначают ее, приписывая к букве, обозначающей амплитуду индекс «0» снизу.

К примеру, пусть колеблется величина ( large x ). Тогда символом ( large x_ <0>) обозначают амплитуду колебаний этой величины.

Иногда для обозначения амплитуды используют большую латинскую букву A, так как это первая буква английского слова «amplitude».

С помощью графика амплитуду можно определить так (рис. 2):

Что такое период

Когда колебания повторяются точно, изменяющаяся величина принимает одни и те же значения через одинаковые кусочки времени. Такой кусочек времени называют периодом.

Обозначают его обычно большой латинской буквой «T» и измеряют в секундах.

( large T left( c right) ) – период колебаний.

Одна секунда – достаточно большой интервал времени. Поэтому, хотя период и измеряют в секундах, но для большинства колебаний он будет измеряться долями секунды.

Чтобы по графику колебаний определить период (рис. 3), нужно найти два одинаковых значения колеблющейся величины. После, провести от этих значений к оси времени пунктиры. Расстояние между пунктирами – это период колебаний.

Период – это время одного полного колебания.

На графике период найти удобнее одним из таких способов (рис. 4):

Что такое частота

Обозначают ее с помощью греческой буквы «ню» ( large nu ).

Частота отвечает на вопрос: «Сколько полных колебаний выполняется за одну секунду?» Или же: «Сколько периодов умещается в интервал времени, равный одной секунде?».

Поэтому, размерность частоты — это единицы колебаний в секунду:

( large nu left( frac<1> right) ).

Иногда в учебниках встречается такая запись ( large displaystyle nu left( c^ <-1>right) ), потому, что по свойствам степени ( large displaystyle frac<1> = c^ <-1>).

Начиная с 1933 года частоту указывают в Герцах в честь Генриха Рудольфа Герца. Он совершил значимые открытия в физике, изучал колебания и доказал, что существуют электромагнитные волны.

Одно колебание в секунду соответствует частоте в 1 Герц.

Чтобы с помощью графика определить частоту, нужно на оси времени определить период. А затем посчитать частоту по такой формуле:

Существует еще один способ определить частоту с помощью графика колеблющейся величины. Нужно отмерить на графике интервал времени, равный одной секунде, и сосчитать количество периодов колебаний, уместившихся в этот интервал (рис. 5).

Что такое циклическая частота

Колебательное движение и движение по окружности имеют много общего – это повторяющиеся движения. Одному полному обороту соответствует угол (large 2pi) радиан. Поэтому, кроме интервала времени 1 секунда, физики используют интервал времени, равный (large 2pi) секунд.

Число полных колебаний для такого интервала времени, называется циклической частотой и обозначается греческой буквой «омега»:

( large displaystyle omega left( frac<text<рад>> right) )

Примечание: Величину ( large omega ) так же называют круговой частотой, а еще — угловой скоростью (ссылка).

Циклическая частота отвечает на вопрос: «Сколько полных колебаний выполняется за (large 2pi) секунд?» Или же: «Сколько периодов умещается в интервал времени, равный (large 2pi) секунд?».

Обычная ( large nu ) и циклическая ( large omega ) частота колебаний связаны формулой:

Слева в формуле количество колебаний измеряется в радианах на секунду, а справа – в Герцах.

Чтобы с помощью графика колебаний определить величину ( large omega ), нужно сначала найти период T.

Затем, воспользоваться формулой ( large displaystyle nu = frac<1> ) и вычислить частоту ( large nu ).

И только после этого, с помощью формулы ( large omega = 2pi cdot nu ) посчитать циклическую ( large omega ) частоту.

Для грубой устной оценки можно считать, что циклическая частота превышает обычную частоту примерно в 6 раз численно.

Определить величину ( large omega ) по графику колебаний можно еще одним способом. На оси времени отметить интервал, равный (large 2pi), а затем, сосчитать количество периодов колебаний в этом интервале (рис. 6).

Что такое начальная фаза и как определить ее по графику колебаний

Отклоним качели на некоторый угол от равновесия и будем удерживать их в таком положении. Когда мы отпустим их, качели начнут раскачиваться. А старт колебаний произойдет из угла, на который мы их отклонили.

Такой, начальный угол отклонения, называют начальной фазой колебаний. Обозначим этот угол (рис. 7) какой-нибудь греческой буквой, например, (large varphi_ <0>).

(large varphi_ <0>left(text <рад>right) ) — начальная фаза, измеряется в радианах (или градусах).

Начальная фаза колебаний – это угол, на который мы отклонили качели, перед тем, как их отпустить. Из этого угла начнется колебательный процесс.

Рассмотрим теперь, как величина (large varphi_ <0>) влияет на график колебаний (рис. 8). Для удобства будем считать, что мы рассматриваем колебания, которые происходят по закону синуса.

Кривая, обозначенная черным на рисунке, начинает период колебаний из точки t = 0. Эта кривая является «чистым», не сдвинутым синусом. Для нее величину начальной фазы (large varphi_ <0>) принимаем равной нулю.

Вторая кривая на рисунке обозначена красным цветом. Начало ее периода сдвинуто вправо относительно точки t = 0. Поэтому, для красной кривой, начавшей новый период колебаний спустя время (large Delta t), начальный угол (large varphi_ <0>) будет отличаться от нулевого значения.

Определим угол (large varphi_ <0>) с помощью графика колебаний.

Обратим внимание (рис. 8) на то, что время, лежащее на горизонтальной оси, измеряется в секундах, а величина (large varphi_ <0>) — в радианах. Значит, нужно связать формулой кусочек времени (large Delta t) и соответствующий ему начальный угол (large varphi_ <0>).

Как вычислить начальный угол по интервалу смещения

Алгоритм нахождения начального угла состоит из нескольких несложных шагов.

• Сначала определим интервал времени, обозначенный синими стрелками на рисунке. На осях большинства графиков располагают цифры, по которым это можно сделать. Как видно из рис. 8, этот интервал (large Delta t) равен 1 сек.
• Затем определим период. Для этого отметим одно полное колебание на красной кривой. Колебание началось в точке t = 1, а закончилось в точке t =5. Взяв разность между этими двумя точками времени, получим значение периода.

[large T = 5 – 1 = 4 left( text <сек>right)]

Из графика следует, что период T = 4 сек.

• Рассчитаем теперь, какую долю периода составляет интервал времени (large Delta t). Для этого составим такую дробь (large displaystyle frac<Delta t >):

Полученное значение дроби означает, что красная кривая сдвинута относительно точки t = 0 и черной кривой на четверть периода.

• Нам известно, что одно полное колебание — один полный оборот (цикл), синус (или косинус) совершает, проходя каждый раз угол (large 2pi ). Найдем теперь, как связана найденная доля периода с углом (large 2pi ) полного цикла.

Для этого используем формулу:

(large displaystyle frac<1> <4>cdot 2pi = frac<pi > <2>=varphi_ <0>)

Значит, интервалу (large Delta t) соответствует угол (large displaystyle frac<pi > <2>) – это начальная фаза для красной кривой на рисунке.

• В заключение обратим внимание на следующее. Начало ближайшего к точке t = 0 периода красной кривой сдвинуто вправо. То есть, кривая запаздывает относительно «чистого» синуса.

Чтобы обозначить запаздывание, будем использовать знак «минус» для начального угла:

Примечание: Если на кривой колебаний начало ближайшего периода лежит левее точки t = 0, то в таком случае, угол (large displaystyle frac<pi > <2>) имеет знак «плюс».

Для не сдвинутого влево, либо вправо, синуса или косинуса, начальная фаза нулевая (large varphi_ <0>= 0 ).

Для синуса или косинуса, сдвинутого влево по графику и опережающего обычную функцию, начальная фаза берется со знаком «+».

А если функция сдвинута вправо и запаздывает относительно обычной функции, величину (large varphi_ <0>) записываем со знаком «-».

Примечания:

1. Физики начинают отсчет времени из точки 0. Поэтому, время в задачах будет величиной не отрицательной.
2. На графике колебаний начальная фаза ( varphi_<0>) влияет на вертикальный сдвиг точки, из которой стартует колебательный процесс. Значит, можно для простоты сказать, что колебания имеют начальную точку.

Благодаря таким допущениям график колебаний при решении большинства задач можно изображать, начиная из окрестности нуля и преимущественно в правой полуплоскости.

Что такое фаза колебаний

Рассмотрим еще раз обыкновенные детские качели (рис. 9) и угол их отклонения от положения равновесия. С течением времени этот угол изменяется, то есть, он зависит от времени.

В процессе колебаний изменяется угол отклонения от равновесия. Этот изменяющийся угол называют фазой колебаний и обозначают (varphi).

Различия между фазой и начальной фазой

Существуют два угла отклонения от равновесия – начальный, он задается перед началом колебаний и, угол, изменяющийся во время колебаний.

Первый угол называют начальной ( varphi_<0>) фазой (рис. 10а), она считается неизменной величиной. А второй угол – просто ( varphi) фазой (рис. 10б) – это величина переменная.

Как на графике колебаний отметить фазу

На графике колебаний фаза (large varphi) выглядит, как точка на кривой. С течением времени эта точка сдвигается (бежит) по графику слева направо (рис. 11). То есть, в разные моменты времени она будет находиться на различных участках кривой.

На рисунке отмечены две крупные красные точки, они соответствуют фазам колебаний в моменты времени t1 и t2.

А начальная фаза на графике колебаний выглядит, как место, в котором находится точка, лежащая на кривой колебаний, в момент времени t=0. На рисунке дополнительно присутствует одна мелкая красная точка, она соответствует начальной фазе колебаний.

Как определить фазу с помощью формулы

Пусть нам известны величины (large omega) — циклическая частота и (large varphi_<0>) — начальная фаза. Во время колебаний эти величины не изменяются, то есть, являются константами.

Время колебаний t будет величиной переменной.

Фазу (large varphi), соответствующую любому интересующему нас моменту t времени, можно определить из такого уравнения:

Левая и правая части этого уравнения имеют размерность угла (т. е. измеряются в радианах, или градусах). А подставляя вместо символа t в это уравнение интересующие нас значения времени, можно получать соответствующие им значения фазы.

Что такое разность фаз

Обычно понятие разности фаз применяют, когда сравнивают два колебательных процесса между собой.

Рассмотрим два колебательных процесса (рис. 12). Каждый имеет свою начальную фазу.

( large varphi_<01>) – для первого процесса и,

( large varphi_<02>) – для второго процесса.

Определим разность фаз между первым и вторым колебательными процессами:

Величина (large Delta varphi ) показывает, на сколько отличаются фазы двух колебаний, она называется разностью фаз.

Как связаны характеристики колебаний — формулы

Движение по окружности и колебательное движение имеют определенную схожесть, так как эти виды движения могут быть периодическими.

Поэтому, основные формулы, применимые для движения по окружности, подойдут так же, для описания колебательного движения.

• Связь между периодом, количеством колебаний и общим временем колебательного процесса:

( large T left( c right) ) – время одного полного колебания (период колебаний);

( large N left( text <шт>right) ) – количество полных колебаний;

( large t left( c right) ) – общее время для нескольких колебаний;

• Период и частота колебаний связаны так:

(large nu left( text <Гц>right) ) – частота колебаний.

• Количество и частота колебаний связаны формулой:

• Связь между частотой и циклической частотой колебаний:

(large displaystyle omega left( frac<text<рад>> right) ) – циклическая (круговая) частота колебаний.

• Фаза и циклическая частота колебаний связаны так:

(large varphi_ <0>left( text <рад>right) ) — начальная фаза;

(large varphi left( text <рад>right) ) – фаза (угол) в выбранный момент времени t;

• Между фазой и количеством колебаний связь описана так:

• Интервал времени (large Delta t ) (сдвигом) и начальная фаза колебаний связаны:

(large Delta t left( c right) ) — интервал времени, на который относительно точки t=0 сдвинуто начало ближайшего периода.

Уравнение смещения результирующего колебания его амплитуда и фаза

Сложение нескольких гармонических колебаний становится наглядней, если изображать колебания в виде векторов на плоскости. Полученная таким образом схема называется векторной диаграммой .

Тогда координата проекции вектора изменяется со временем по закону

Гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебаний, направление вектора образует с осью х угол, равный начальной фазе колебаний, а угловая скорость вращения вектора равна его циклической частоте.

Сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты

Смещение х колеблющегося тела будет равно сумме смещений х₁ и х₂:

Вектор х₀ представляет собой результирующую амплитуду колебаний. Он вращается с той же угловой скоростью ω и начальной фазой φ₀.

Рассмотрим частные случаи.

Если разность фаз φ₁ – φ₂колебаний равна 0 (отличается на 2π), то амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд: х = х₁ + х₂.

Если оба колебания находятся в противофазе (разность фаз равна ±π), то результирующая амплитуда х = |х₁ – х₂|.

Если частоты неодинаковы, то векторы будут вращаться с различной скоростью. Результирующий вектор пульсирует по величине и вращается с непостоянной скоростью.

Биения

Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биением .

Пусть два колебания мало отличаются по частоте. Тогда амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны ω и ω+Δω, причем Δω намного меньше ω. Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:

Тогда результирующее колебание можно представить в виде:

Амплитуда результирующего колебания меняется со временем по закону

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Допустим, что материальная точка может совершать колебания как вдоль оси х, так и вдоль перпендикулярной к ней оси у. Если возбудить оба колебания, материальная точка будет двигаться по некоторой, вообще говоря, криволинейной траектории, форма которой зависит от разности фаз обоих колебаний.

Выберем начало отсчета времени так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:

где α – разность фаз обоих колебаний.

После преобразования получим уравнение траектории, которое представляет собой параметрическое уравнение эллипса, оси которого повернуты относительно осей х и у.

Рассмотрим частные случаи.

1. Разность фаз равна нулю. В этом случае получается уравнение прямой.

Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой с частотой ω и амплитудой

2. Разность фаз равна ±π. Уравнение имеет вид прямой.

3. При α = ±π/2 получается уравнение эллипса, приведенного к координатным осям. При равенстве амплитуд эллипс превращается в окружность.

При сложении взаимно перпендикулярных колебаний разных частот получаются различные траектории материальной точки, названные фигурами Лиссажу. Чем ближе отношение частот к единице, тем сложнее получается фигура Лиссажу.

Резонанс

Резонанс – явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частот вынуждающей силы и собственных колебаний маятника. Вынужденные колебания происходят, если внешняя сила изменяется периодически:

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

Амплитуда колебания определяется формулой

где коэффициент затухания β = r/2m.

Для определения резонансной частоты надо найти минимум знаменателя. Резонансная амплитуда

Автоколебания

При затухающих колебаниях энергия системы расходуется на преодоление сил сопротивления. Если восполнять эти потери, то колебания станут незатухающими. Если система сама управляет воздействием внешних сил, то такое колебательное движение называется автоколебанием.

В автоколебательной системе обязательно присутствуют элементы:

• сама колебательная ситема, ее параметры определяют частоту автоколебаний;
• источник энергии, поддерживающий автоколебания;
• клапан, регулирующий поступление энергии;
• механизм обратной связи, посредством которой система управляет клапаном так, чтобы поступающая энергия компенсировала потери за счет трения и сопротивления среды.

[spoiler title=”источники:”]

http://light-fizika.ru/index.php/11-klass?layout=edit&id=133

[/spoiler]

4.1. Основные формулы и обозначения

При
сложении гармонических колебаний одного
направления и одинаковой частоты,
например, колебаний
иудобно использовать метод векторных
диаграмм. Каждое колебание изображается
вектором на плоскости (например,и).
Длина этого вектора равна амплитуде
соответствующего колебания. Угол между
вектором и Рис. 5
горизонтальной осью равен фазе
соответствующего колебания в данный
момент времени. Векторописывающий результирующее колебание,
строится по правилам сложения векторов.
Частота результирующего колебаниятакже равнаАмплитуда и начальная фаза результирующего
колебания определяются по диаграмме
для начального момента времени (рис. 5)
и вычисляются соответственно по формулам:

(70)

(71)

При сложении
гармонических взаимно перпендикулярных
колебаний,
совершаемых точкой в плоскости
,
например, колебаний

(72)

уравнение траектории
движения содержит только переменные
ино не содержит времениСледовательно, уравнение траектории
можно найти, если каким-либо образом
исключить из формул (72) время, например,
выразитьчерезили.

Если при этом
отношение частот (периодов)
является рациональной дробью (отношением
целых чисел), то траектория оказывается
замкнутой, а движение – периодическим.

4.2. Примеры решения задач

З а д а ч а 10.
Построить векторную диаграмму в начальный
момент времени при сложении двух
гармонических колебаний одинаковой
частоты и одного направления. Найти
графически и аналитически амплитуду и
начальную фазу результирующего колебания.
Записать закон результирующего колебания.
Законы складываемых колебаний имеют
вид:
гдесм;см;с^-1;

Дано: с-1; см; см; ; Найти: ;

Решение. Чтобы найти амплитуду и начальную фазу результирующего колебания, можно воспользоваться формулами (70), (71), предварительно заменив по формуле приведения синусоидальную зависимостькосинусоидальной: (73)

где

.
(74)

Тогда

.
(75)

Подставляя в
равенства (75) численные данные и учитывая
формулу (74), получим:
см;Отсюда°рад.
Следовательно, закон результирующего
колебания имеет вид:гдесм;с^-1;
рад.

Начертим векторную
диаграмму сложения колебаний в начальный
момент времени (рис. 6). Для этого в
соответствии с правилами построения,
изложенными в подразделе 4.1, сопоставим
колебанию
вектордлиной,
который направим под угломк горизонтальной оси,
т. е. вертикально вверх; колебаниюсопоставим вектордлиной,
который направим под угломк горизонтальной оси,
т. е. отложим его в направлении оси (см.
рис. 6). Результирующее колебание будет
описываться векторомдлинойполученным по правилу параллелограмма
сложением векторовиУгол, образованный вектороми осьюравен начальной фазе результирующего
колебания

Ответ:гдесм;с^-1;
    Рис. 6
рад.

З а д а ч а 11.
Получить уравнение траектории частицы
и построить траекторию в плоскости
,
если частица одновременно участвует в
двух взаимно перпендикулярных колебаниях:гдесм,см.

Дано: Найти:

Решение. Чтобы найти уравнение траектории точки на плоскостинеобходимо из системы уравнений

;
(76)

(77)

исключить время.
Для этого из уравнения (76) выразим
:

. (78)

Отсюда

. (79)

Преобразовав и
возведя в квадрат уравнение (77), а затем,
последовательно применив формулы
приведения и двойного аргумента к
тригонометрическим функциям, получим:

. (80)

Используя соотношения
(78) и (79), из выражения (80) можно исключить
время и получить уравнение траектории:

(81)

Для построения
траектории в плоскости
выберем наиболее удобные точки. Это
точки, имеющие равную нулю, наибольшую
и наименьшую из возможных ординату ()
или абсциссу ().

Таблица 2

Используя уравнение
траектории (81), найдем вторые координаты
этих точек Рис. 7

(см. Табл. 2).

Траектория,
построенная по этим точкам, показана
на рис. 7. Координата
достигает максимума по модулю четырежды,
а– дважды. Это объясняется соответствующим
отношением частот: за время одного
колебания вдоль оситочка совершает два колебания вдоль
оси

Ответ:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #

  09.04.2015619.52 Кб161.doc

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #