Как найти начальную потенциальную энергию тела

Не только кинетическая энергия определяет величину работы, которую могут совершить тела системы. Действительно, между телами обычно существуют силы взаимодействия. Пусть имеются несколько взаимодействующих друг с другом тел. Будем рассматривать эти тела как нечто целое. В таких случаях говорят, что эти тела образуют систему тел.

Все силы, действующие на тела системы, принято разделять на два вида.

Силы взаимодействия между телами, принадлежащими системе тел, называют внутренними силами.

Силы, действующие на принадлежащие системе тела со стороны тел, не входящих в эту систему, называют внешними силами.

Внешние силы принято обозначать индексом «ex» (от англ. external – «внешний»).

Поясним сказанное на примере. Представим резиновый шнур, который растягивают в противоположные стороны два мальчика (рис. 127). Такой шнур можно рассматривать как систему тел, состоящую из частей шнура. При этом силы взаимодействия частей шнура друг с другом (силы упругости) будут внутренними силами. Эти силы изображены на рисунке голубыми стрелками. Напротив, силы, приложенные мальчиками к концам шнура, будут внешними силами, так как мальчики не входят в выбранную систему тел. Эти силы изображены на рисунке контурными стрелками.

Частички растянутого резинового шнура, взаимодействуя силами упругости, притягиваются друг к другу. Эти силы стремятся вернуть шнур (систему тел) в недеформированное состояние. На рис. 128 изображен растянутый шнур, который также удерживают в деформированном состоянии. При этом части шнура (тела системы) взаимодействуют друг с другом силами упругости (внутренними силами). Наоборот, части сжатой пружины (рис. 129), которую удерживают в деформированном состоянии, отталкиваются друг от друга силами упругости (внутренними силами).

Если перестать удерживать шнур и пружину в деформированном состоянии, они перейдут в исходное состояние (см. рис. 128 и 129). При этом силы упругости совершат определенную работу.

Таким образом, в рассмотренных системах тел действуют внутренние силы, способные совершить работу только за счет изменения взаимного расположения тел. В этом случае говорят, что система обладает потенциальной энергией (от лат. potentia – «возможность»).

Потенциальная энергия – та часть энергии системы тел, которая определяется взаимным расположением входящих в систему тел или их частей и силами взаимодействия между ними.

Потенциальную энергию системы будем обозначать буквой П.

Потенциальную энергию так же, как работу и кинетическую энергию, в СИ измеряют в джоулях.

Например, деформированная пружина обладает потенциальной энергией. Эта энергия равна работе, которую могут совершить силы упругости при возвращении пружины в недеформированное состояние. Потенциальную энергию недеформированной пружины считают равной нулю.

Пружина жесткостью k, упруго растянутая (или сжатая) на величину Δl, обладает потенциальной энергией П = 0,5k · Δl². Эту формулу мы выведем позднее.

Потенциальной энергией обладает и система «тело – Земля». Как вы знаете, на любое тело вблизи поверхности Земли действует сила тяжести. При поднятии или опускании тела сила тяжести совершает работу. Иначе говоря, сила тяжести в системе «тело – Земля» может совершать работу при изменении взаимного расположения тела и Земли.

Рассчитаем потенциальную энергию системы «тело – Земля», считая тело точечным. Условимся, что потенциальная энергия такой системы равна нулю, когда тело находится на поверхности Земли.

Пусть тело массой m удерживается на высоте h₀ от поверхности Земли (рис. 130). Если отпустить тело, то под действием силы тяжести оно устремится к поверхности Земли. При этом сила тяжести совершает над телом положительную работу, так как направления силы тяжести и движения тела совпадают. К тому моменту, когда тело достигнет поверхности Земли, совершенная силой тяжести работа будет равна A = m · g · h₀, где g — модуль ускорения свободного падения. Потенциальная энергия рассматриваемой системы в конечном состоянии П_к, как мы условились, равна нулю. Следовательно, в начальном состоянии (когда тело находилось на высоте h₀) наша система обладала потенциальной энергией П₀ = A = m · g · h₀.

Таким образом, потенциальная энергия системы «тело – Земля» равна П = m · g · h, если точечное тело массой m находится над поверхностью Земли на высоте h. При этом потенциальную энергию системы «тело – Земля» при h = 0 считают равной нулю.

Пусть теперь тело поднимается с нулевой высоты h₀ = 0 на высоту h = h_к (рис. 131). Сила тяжести в этом случае совершает отрицательную работу A = -m · g · h_к. (Обоснуйте это утверждение!) Потенциальная энергия системы при подъеме тела увеличится от начальной П₀ = 0 до конечной П_к = m · g · h.

В рассмотренных примерах работа внутренних сил взаимодействия между частями системы (сил упругих деформаций или силы тяжести) приводит к изменению потенциальной энергии системы. Эти силы называют потенциальными. (Существуют и непотенциальные силы. К ним относятся, например, силы трения.)

Силы упругих деформаций и сила тяжести являются потенциальными силами.

Работа потенциальных сил приводит к изменению потенциальной энергии системы.

Обратим внимание на очень важный факт. Любая система, предоставленная самой себе (т. е. система, на части которой не действуют внешние тела), стремится уменьшить свою потенциальную энергию. Действительно, растянутый резиновый шнур стремится сжаться, сжатая пружина – распрямиться. Поднятый над поверхностью Земли камень стремится упасть на Землю. Иначе говоря, потенциальные силы взаимодействия между частями системы всегда стремятся уменьшить потенциальную энергию системы.

Чтобы потенциальная энергия системы не изменялась, необходимо, чтобы на части системы действовали другие силы (внешние силы или силы трения), уравновешивающие внутренние потенциальные силы. Например, сжатая (или растянутая) пружина может оставаться в деформированном состоянии, если к ней приложены внешние силы, уравновешивающие силы упругости.

Если внешние силы будут совершать над телами системы положительную работу против потенциальных сил, то потенциальная энергия системы будет увеличиваться. Например, если мы растягиваем резиновый шнур или сжимаем пружину, совершая работу против сил упругости, то потенциальная энергия системы увеличивается.

То же будет происходить, если поднимать рукой камень, совершая работу против силы тяжести. Напротив, если внутренние потенциальные силы совершают положительную работу, то потенциальная энергия системы уменьшается. Так, сжатая пружина (см. рис. 129), разжимаясь, поднимает и разгоняет тело массой m. При этом потенциальная энергия пружины уменьшается.

Сведем результаты нашего рассмотрения в таблицу (табл. 4).

Итоги

Потенциальная энергия – та часть энергии системы тел, которая определяется взаимным расположением входящих в систему тел или их частей и силами взаимодействия между ними.

Потенциальная энергия системы тел равна работе, которую совершают потенциальные силы при переходе системы в состояние с нулевой потенциальной энергией.

Пружина жесткостью k, упруго растянутая (или сжатая) на величину Δl, обладает потенциальной энергией П = 0,5k · Δl².

Потенциальная энергия системы «тело – Земля» равна П = m · g · h, если точечное тело массой m находится над повехносттью Земли на высоте h. Сказанное верно, если считать потенциальную энергию системы равной нулю, когда тело находится на поверхности Земли.

Силы упругой деформации и сила тяжести являются потенциальными силами. Силы трения не являются потенциальными.

Система тел, предоставленная самой себе, стремится уменьшить свою потенциальную энергию.

Чтобы потенциальная энергия системы тел не изменялась, необходимо, чтобы на части системы действовали внешние силы или силы трения, уравновешивающие внутренние потенциальные силы.

Вопросы

1. Что такое потенциальная энергия?
2. Приведите примеры систем тел, обладающих потенциальной энергией.
3. Может ли потенциальная энергия упруго деформированной пружины быть отрицательной?
4. Может ли потенциальная энергия системы «тело – Земля» быть отрицательной? Ответы обоснуйте. Подсказка: чему равна потенциальная энергия системы тел «кирпич – Земля», если кирпич массой m лежит в яме на глубине l от поверхности Земли?
5. Как называется единица потенциальной энергии в СИ?
6. Приведите примеры потенциальных и непотенциальных сил.
7. Может ли потенциальная энергия системы тел уменьшаться, увеличиваться, оставаться неизменной, если на тела системы не действуют внешние силы и силы трения? Приведите примеры.

Упражнения
1. Проанализируйте ситуацию, изображенную на рис. 128, ответив на вопросы:
а) как изменяется потенциальная энергия растянутого шнура после отпускания прикрепленного к нему бруска?
б) положительна или отрицательна работа силы упругости шнура?
в) как изменяется кинетическая энергия бруска?

2. Тело массой m переводят с начальной высоты h0 на конечную высоту hк, как показано на рис. 132. Рассмотрите каждый из случаев отдельно и ответьте на вопросы:

а) чему равна начальная потенциальная энергия П₀ системы «тело – Земля»?
б) чему равна конечная потенциальная энергия системы «тело – Земля»?
в) увеличивается или уменьшается потенциальная энергия системы «тело – Земля» при движении тела?
г) чему равна разность начальной П₀ и конечной Пк потенциальных энергий системы «тело – Земля»?
д) чему равна работа силы тяжести при переводе тела из начального состояния в конечное?
е) равна ли работа силы тяжести разности начальной и конечной потенциальных энергий системы «тело – Земля»?

3. Определите изменение потенциальной энергии ΔП системы «камень – Земля» за время падения камня массой m = 5 кг с высоты h = 80 м.

4. Определите потенциальную энергию четырех пружин автомобиля жесткостью k = 2 кН/см каждая, удерживающих неподвижным кузов автомобиля массой m = 1 т, как показано на рис. 133. Модуль ускорения свободного падения считать равным g = 10 м/с².

Содержание:

Потенциальная энергия:

По определению потенциальная энергия – это энергия взаимодействия. Т. е. потенциальную энергию имеют все взаимодействующие тела. Для каждого вида механического взаимодействия можно рассчитать потенциальную энергию, учитывая особенности данного взаимодействия.

Самым распространенным в природе является гравитационное взаимодействие, проявлением которого является сила тяжести. При определенных условиях эта сила может выполнять работу.

Допустим, тело массой т подвешено над полом на высоте

Если нить перерезать, то тело начнет падать под действием силы тяжести.

По определению работа А = Fs cos = mgs cos.

Если учесть, что a то или 

Поскольку работа равна изменению энергии, то можно считать, что выражение mgh определяет потенциальную энергию тела в поле силы тяжести Земли на высоте Л. Движение под действием силы тяжести может происходить по разным траекториям. Выясним, будет ли это влиять на значение работы.

Дадим возможность телу свободно скользить без трения по наклонной плоскости под действием силы тяжести (рис. 2.70).

Если учитывать, что А = mgscos, s=AB, то А = mgABcos.

Из треугольника ABC ABcos  = ВС и вместе с тем BD = – h.

Тогда работа силы тяжести при скольжении тела без трения по наклонной плоскости будет равна А = mg(h – ).

Следовательно, работа силы тяжести по перемещению тела по наклонной плоскости будет такой же, как и при его падении из точки В, расположенной на высоте , в точку D, находящуюся на высоте Л.

Таким образом, работа силы тяжести определяется положением точек начала и конца движения и не зависит от формы траектории.

В тех случаях, когда работа силы не зависит от формы траектории, а определяется начальным и конечным положением тела, пользуются понятием потенциальной энергии.

Если записать формулу для работы силы тяжести в виде

т. е. работа определяется изменением величины mgh, которая называется потенциальной энергией тела в поле силы тяжести:

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии тела с противоположным знаком. Это означает, что при падении тела, когда сила тяжести выполняет положительную работу, его потенциальная энергия уменьшается. И наоборот, при движении тела вверх, когда сила тяжести выполняет отрицательную работу, его потенциальная энергия увеличивается. Эта особенность характерна для всех случаев, когда работа силы не зависит от формы траектории.

Что такое потенциальная энергия

Потенциальная энергия (от латинского слова потенциал – возможность) – это энергия, которая определяется взаимным положением взаимодействующих тел или частей одного тела.

Поскольку любое тело и Земля притягивают друг друга, т. е. взаимодействуют, то потенциальная энергия тела, поднятого над Землей, будет зависеть от высоты подъёма h. Чем больше высота подъёма тела, тем больше его потенциальная энергия.

Опытами установлено, что потенциальная энергия тела зависит не только от высоты, на которую оно поднято, но и от массы тела. Если тела подняты на одинаковую высоту, то тело, у которого масса больше, будет иметь и ббльшую потенциальную энергию. Во время падения поднятого тела на поверхность Земли сила тяжести выполнила работу, соответствующую изменению потенциальной энергии тела со значения её на высоте И до значения на поверхности Земли. Если для удобства принять, что потенциальная энергия тела на поверхности Земли равна нулю, то потенциальная энергия поднятого тела будет равна выполненной во время падения работе:

Итак, потенциальную энергию тела, поднятого на некоторую высоту, будем определять по формуле: 

где Е_п — потенциальная энергия поднятого тела; m — масса тела; = 9,81

h — высота, на которую поднято тело.

Большой запас потенциальной энергии у воды горных или равнинных рек, поднятых плотинами. Падая с высоты вниз, вода выполняет работу: приводит в движение турбины гидроэлектростанций. В Украине на Днепре построено несколько гидроэлектростанций, в которых используют энергию воды для получения электроэнергии. На рисунке 174 изображено сечение такой станции. Вода с более высокого уровня падает вниз и вращает колесо гидротурбины. Вал турбины соединён с генератором электрического тока.

Потенциальной энергией обладает самолёт, летящий высоко в небе; дождевые капли в туче; молот копра при забивании свай. Открывая двери с пружиной, мы растягиваем её, преодолевая силу упругости, т. е. выполняем работу. Вследствие этого пружина приобретает потенциальную энергию. За счёт этой энергии пружина, сокращаясь, выполняет работу – закрывает двери. Потенциальную энергию пружин используют в часах, разнообразных заводных игрушках. В автомобилях, вагонах пружины амортизаторов и буферов, деформируясь, уменьшают толчки.

Потенциальная энергия пружины зависит от её удлинения (изменения длины при сжатии или растяжении) и жёсткости (зависит от конструкции пружины и упругости материала, из которого она изготовлена). Чем больше удлинение (деформация) пружины, и чем больше её жёсткость, тем большую потенциальную энергию она приобретает при деформации. Такая зависимость свойственна любому упруго деформированному телу.

Потенциальную энергию упругодеформированного тела определяют по формуле:   

где — потенциальная энергия упруго деформированного тела (пружины); — жёсткость тела (единица жёсткости — 1 — удлинение (деформация) тела (пружины).

Но тела могут обладать энергией не только потому, что они находятся в определённом положении или деформируются, а и потому, что они находятся в движении.

Определение потенциальной энергии

В повседневной жизни можно обнаружить множество различных тел, при перемещении которых может выполняться работа. Так, выпавший из рук шарик начнет падать под действием силы притяжения, которая будет выполнять работу по перемещению шарика.

Сжатая пружина может поднять на определенную высоту груз. В этом случае сила упругости выполняет работу по перемещению груза.

Что такое энергия

Энергия – это физическая величина, показывающая, какая работа может быть выполнена при перемещении тела.

Можно привести еще много разных примеров из природы, из повседневной жизни, из техники, в которых речь идет о телах, находящихся в таком состоянии, что при определенных условиях может выполняться работа при их перемещении. О таких телах говорят, что они обладают энергией. При различных условиях результат выполнения работы может быть разным. Поэтому и энергия может иметь различные значения и может быть рассчитана.

Единицы энергии

Поскольку речь идет о возможности выполнения работы, то энергию целесообразно измерять в таких же единицах, что и работу. Поэтому единицей энергии есть 1 Дж.

Виды механической энергии

В физике выделяют два вида механической энергии: потенциальную и кинетическую. Если тело неподвижно, но па него действует определенная сила, то говорят, что оно обладает потенциальной энергией.

Потенциальной энергией обладает тело, поднятое над поверх-136 ностью Земли, сжатая пружина, сжатый газ, речная вода в водоеме и другие тела.

Как рассчитывают потенциальную энергию

Рассчитывают потенциальную энергию с учетом природы сил, действующих на эти тела. Проще всего рассчитать потенциальную энергию тела, поднятого над поверхностью Земли, поскольку сила, действующая на него, остается практически постоянной на протяжении всего времени его движения под действием этой силы.

Пусть тело массой находится на высоте над землей. Если оно упадет на поверхность, то будет выполнена работа

Следовательно, о таком теле можно сказать, что оно обладает потенциальной энергией

Потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью Земли, пропорциональна массе тела и его высоте над поверхностью Земли.

При расчете потенциальной энергии важно помнить, что высота является путем, который тело преодолеет в вертикальном направлении. Таким образом, всегда следует указывать, относительно какой поверхности определяется потенциальная энергия. Например, тело массой 2 кг, поднятое над столом на высоту 1,5 м, будет обладать потенциальной энергией, равной примерно 30 Дж, а потенциальная энергия этого тела, рассчитанная для высоты 3 м над полом, будет 60 Дж.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела

Расчет работы силы упругости усложняется тем, что в ходе выполнения работы значение силы изменяется. Поскольку изменение силы упругости происходит линейно, то при расчетах работы используют среднее значение силы:

где – значения силы упругости в начале и в конце процесса.

Учитывая, что (по закону Гука), то

В случае, когда  = 0, т. е. сила упругости действует вдоль прямой, по которой происходит перемещение, получим выражение для расчета работы силы упругости:

где – удлинение, характеризующее начальную и конечную деформации соответственно.

Для потенциальной энергии тела в поле силы тяжести можно записать:

Потенциальная энергия упруго деформированного тела зависит от его деформации.

Работа силы упругости равна изменению потенциальной энергии упруго деформированного тела, взятой с противоположным знаком.

Как и в случае работы силы тяжести, работа силы упругости зависит не от формы траектории, а только от начальной и конечной деформации тела.

Механическая работа и кинетическая энергия

Чтобы шли механические часы, их нужно завести — закрутить пружину; раскручиваясь, пружина совершит работу. Поднявшись на вершину горы, лыжник создаст «запас работы» и в результате сможет скатиться вниз; при этом работу совершит сила тяжести. Самый простой способ разбить окно в горящем доме — бросить в окно камень. Если скорость движения камня достаточна, он разобьет окно — совершит работу. О теле или системе тел, которые могут совершить работу, говорят, что они обладают энергией.

Когда сила совершает механическую работу

Основная задача механики — определение механического состояния тела (координат тела и скорости его движения) в любой момент времени. Механическое состояние тела не изменяется само по себе — необходимо взаимодействие, то есть наличие силы. Когда тело перемещается (изменяет свое механическое состояние) под действием силы, говорят, что данная сила совершает механическую работу.

Механическая работа (работа силы) A — физическая величина, характеризующая изменение механического состояния тела и равная произведению модуля силы F, модуля перемещения s и косинуса угла a между вектором силы и вектором перемещения:

Единица работы в СИ — джоуль:

1 Дж равен механической работе, которую совершает сила 1 Н, перемещая тело на 1 м в направлении действия этой силы.

Работа силы — величина скалярная, однако она может быть положительной, отрицательной, равной нулю — в зависимости от того, куда направлена сила относительно направления движения тела (см. таблицу).

Геометрический смысл работы силы

Рассмотрим силу, действующую под некоторым углом α к направлению движения тела. Найдем проекцию этой силы на направление перемещения тела, для чего ось ОХ направим в сторону движения тела (рис. 15.1, а). Из рисунка видим, что , следовательно, .

Построим график — зависимости проекции силы от модуля перемещения. Если сила, действующая на тело, постоянна, график этой зависимости представляет собой отрезок прямой, параллельной оси перемещения (рис. 15.1, б). Из рисунка видим, что произведение и s соответствует площади S прямоугольника под графиком.

Рис. 15.1. Если направление оси ОХ совпадает с направлением движения тела, то работа A силы численно равна площади S фигуры под графиком зависимости

В этом состоит геометрический смысл работы силы: работа силы численно равна площади фигуры под графиком зависимости проекции силы от модуля перемещения. Это утверждение распространяется и на случаи, когда сила переменная (рис. 15.1, в, г).

Когда тело имеет кинетическую энергию

Рассмотрим тело массой m, которое под действием равнодействующей силы увеличивает скорость своего движения от v0 до v. Пусть равнодействующая не изменяется со временем и направлена в сторону движения тела. Определим работу этой силы.

Величину называют кинетической энергией тела .

Кинетическая энергия — физическая величина, которая характеризует механическое состояние движущегося тела и равна половине произведения массы m тела на квадрат скорости v его движения:

Теорема о кинетической энергии: работа равнодействующей всех сил, которые действуют на тело, равна изменению кинетической энергии тела:

Если в начальный момент времени тело неподвижно ( = 0), то есть= 0, то теорема о кинетической энергии сводится к равенству:

Кинетическая энергия тела, движущегося со скоростью v, равна работе, которую совершает сила, чтобы придать неподвижному телу данную скорость.

Мощность

До сих пор мы говорили о работе силы. Но любая сила характеризует действие определенного тела (или поля). Поэтому работу силы часто называют работой тела (работой поля), со стороны которого действует эта сила. На практике большое значение имеет не только выполненная работа, но и время, за которое эта работа была выполнена. Поэтому для характеристики механизмов, предназначенных для совершения работы, используют понятие мощности.

Мощность P (или N) — физическая величина, характеризующая скорость выполнения работы и равная отношению работы А к интервалу времени t, за который эта работа выполнена:

Единица мощности в СИ — ватт:

(Названа в честь Джеймса Ватта (1736–1819). Как единицу мощности он ввел лошадиную силу, которую иногда используют и сейчас: 1 л. с. = 746 Вт.)

Мощность, которую развивает транспортное средство, удобно определять через силу тяги и скорость движения. Если тело движется равномерно, а направление силы тяги совпадает с направлением перемещения, тяговую мощность двигателя можно вычислить по формуле:

Обратите внимание! Данная формула справедлива для любого движения: мощность, которую развивает двигатель в данный момент времени, равна произведению модуля силы тяги двигателя на модуль его мгновенной скорости: P = Fv (рис. 15.3).

Рис. 15.3. Когда для движения автомобиля требуется большая сила тяги, водитель переходит на меньшую скорость или нажимает на газ, увеличивая таким образом мощность двигателя

Чтобы определить механическую работу и мощность, нужно знать силу, действующую на тело, перемещение тела и время его движения. Поэтому обычно решение задач на определение работы и мощности сводится к решению задач по кинематике и динамике.

Пример №1

Автомобиль массой 2 т движется равномерно со скоростью 20 м/с по горизонтальному участку дороги. Какие силы действуют на автомобиль? Найдите работу каждой силы и тяговую мощность двигателя автомобиля, если коэффициент сопротивления движению равен 0,01, а время движения — 50 с.

Решение:

Выполним пояснительный рисунок, на котором укажем силы, действующие на автомобиль: силу тяжести , силу тяги , силу сопротивления движению , силу нормальной реакции опоры. По определению работы: A = Fscosα

Чтобы определить работу каждой силы, нужно найти::

• угол между направлением этой силы и направлением перемещения;
• модуль силы и модуль перемещения.

1. Автомобиль движется равномерно, поэтому действующие на него силы скомпенсированы: — сила тяжести уравновешена силой нормальной реакции опоры: N = mg; — сила тяги уравновешена силой сопротивления движению:

2. Перемещение автомобиля можно найти по формуле: s = vt .

3. Сила тяжести и сила нормальной реакции опоры перпендикулярны направлению движения автомобиля (α = 90°, cosα = 0). Следовательно, работа этих сил равна нулю. Сила тяги направлена в сторону движения тела: α = 0, cosα = 1, поэтому:

Сила сопротивления противоположна движению: α = 180°, cosα = −1, поэтому:

4. Тяговую мощность двигателя автомобиля определим по формуле Проверим единицы, найдем значения искомых величин:

Выводы:

Потенциальная энергия и закон сохранения механической энергии

Поднятый молот не обладает кинетической энергией, так как его скорость равна нулю. Но если молот отпустить, он совершит работу (расплющит металл). Натянутая тетива лука не имеет кинетической энергии, но, выпрямляясь, она придаст скорость стреле, а значит, совершит работу. И деформированное тело, и тело, поднятое над поверхностью Земли, способны совершить работу, то есть обладают энергией. Что это за энергия и как ее рассчитать?

Когда тело обладает потенциальной энергией

Механическая энергия E — физическая величина, характеризующая способность тела (системы тел) совершить работу.

Единица энергии (как и работы) в СИ — джоуль [E] = 1 Дж (J).

Любое движущееся тело может совершить работу, поскольку оно обладает кинетической энергией, или «живой силой», как ее называли раньше. Есть еще один вид механической энергии — ее называли «мертвая сила». Это — потенциальная энергия (от лат. potentia — сила, возможность), — энергия, которую имеет тело в результате взаимодействия с другими телами.

Потенциальная энергия — энергия, которой обладает тело вследствие взаимодействия с другими телами или вследствие взаимодействия частей тела.

Рис. 16.1. И девочка в результате взаимодействия с Землей (а), и сжатая пружина в результате взаимодействия ее витков (б) обладают потенциальной энергией

Девочка на вершине горки (рис. 16.1, а) обладает потенциальной энергией, поскольку в результате взаимодействия с Землей может начать движение и сила тяжести совершит работу. Но как вычислить эту работу, ведь горка неровная и в течение всего времени движения угол между направлением силы тяжести и направлением перемещения будет изменяться?

Сжатая пружина (рис. 16.1, б) тоже обладает потенциальной энергией: при распрямлении пружины сила упругости совершит работу — подбросит брусок. Но как вычислить эту работу, ведь во время действия пружины на брусок сила упругости непрерывно уменьшается?

Оказывается, все не так сложно. И сила тяжести, и сила упругости имеют одно «замечательное» свойство — работа этих сил не зависит от формы траектории. Силы, работа которых не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным механическими состояниями тела (системы тел), называют потенциальными, или консервативными, силами (от лат. conservare — сохранять, охранять).

Потенциальная энергия поднятого тела

Докажем, что сила тяжести — консервативная сила. Для этого определим работу силы тяжести при движении тела из точки K в точку B по разным траекториям.

Случай 1. Пусть траектория движения тела — «ступенька» (рис. 16.2, а): сначала тело падает с некоторой высоты до высоты h и сила тяжести совершает работу , затем тело движется горизонтально и сила тяжести совершает работу . Работа — величина аддитивная, поэтому общая работа .

= 0, так как сила тяжести перпендикулярна перемещению тела. Итак: .

Случай 2. Пусть тело перемещается из точки K в точку В, скользя по наклонной плоскости (рис. 16.2, б). В этом случае работа силы тяжести равна:

Рис. 16.2. При перемещении тела с высоты до высоты h работа силы тяжести, независимо от траектории движения тела, определяется по формуле:

Тот же результат получим и для случаев перемещения тела по произвольной траектории. Следовательно, работа силы тяжести не зависит от траектории движения тела, то есть сила тяжести — консервативная сила. Величину mgh называют потенциальной энергией поднятого тела:

Потенциальная энергия поднятого тела зависит от высоты, на которой находится тело, то есть зависит от выбора нулевого уровня, — уровня, от которого будет отсчитываться высота. Нулевой уровень выбирают из соображений удобства. Так, находясь в комнате, за нулевой уровень целесообразно взять пол, определяя высоту горы — поверхность Мирового океана.

Обратите внимание! Изменение потенциальной энергии, а следовательно, и работа силы тяжести от выбора нулевого уровня не зависят.

• Заказать решение задач по физике

Потенциальная энергия упруго деформированного тела

Пусть имеется упруго деформированное тело — растянутая пружина. Определим работу, которую совершит сила упругости при уменьшении удлинения пружины от до x (рис. 16.3). Воспользуемся для этого геометрическим смыслом механической работы (рис. 16.4):

Таким образом, работа силы упругости определяется только начальным и конечным состояниями пружины, то есть сила упругости — консервативная сила. Величину называют потенциальной энергией упруго деформированного тела:

Работа силы упругости (как и силы тяжести) равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком:

Данное выражение — математическая запись теоремы о потенциальной энергии: работа всех консервативных сил, действующих на тело, равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком.

Состояние с меньшей потенциальной энергией является энергетически выгодным; любая замкнутая система стремится перейти в такое состояние, в котором ее потенциальная энергия минимальна, — в этом заключается принцип минимума потенциальной энергии. Действительно, камень, выпущенный из руки, никогда не полетит вверх — он будет падать, стремясь достичь состояния с наименьшей потенциальной энергией. Недеформированная пружина никогда не станет сама растягиваться или сжиматься, а деформированная пружина стремится перейти в недеформированное состояние.

Закон сохранения полной механической энергии

Как правило, тело или система тел обладают и потенциальной, и кинетической энергиями. Сумму кинетических и потенциальных энергий тел системы называют полной механической энергией системы тел: (рис. 16.5).

Рассмотрим замкнутую систему тел, взаимодействующих друг с другом только консервативными силами (силами тяготения или силами упругости). По теореме о потенциальной энергии работа A, совершаемая этими силами, равна: . С другой стороны, согласно теореме о кинетической энергии эта же работа равна: . Приравняв правые части равенств, получим закон сохранения и превращения полной механической энергии:

В замкнутой системе тел, взаимодействующих только консервативными силами, полная механическая энергия остается неизменной (сохраняется):

Закон сохранения полной механической энергии предполагает превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот (рис. 16.6). Однако сохраняется ли при этом полная механическая энергия? Наш опыт подсказывает, что нет. И действительно, закон сохранения полной механической энергии справедлив только в случаях, когда в системе отсутствует трение. Однако в природе не существует движений, не сопровождающихся трением. Сила трения всегда направлена против движения тела, поэтому при движении она совершает отрицательную работу, при этом полная механическая энергия системы уменьшается:

где — работа силы трения; E, — полная механическая энергия системы в конце и в начале наблюдения соответственно.

Потери энергии наблюдаются и в случае неупругого удара. Так что, при наличии трения или при неупругой деформации энергия бесследно исчезает? Казалось бы, да. Однако измерения показывают, что в результате и трения, и неупругого удара температуры взаимодействующих тел увеличиваются, то есть увеличиваются внутренние энергии тел. Значит, кинетическая энергия не исчезает, а переходит во внутреннюю энергию.

Энергия никуда не исчезает и ниоткуда не появляется: она только переходит из одного вида в другой, передается от одного тела к другому.

Алгоритм решения задач с применением закона сохранения механической энергии

1. Прочитайте условие задачи. Выясните, является ли система замкнутой, можно ли пренебречь действием сил сопротивления. Запишите краткое условие задачи.
2. Выполните пояснительный рисунок, на котором укажите нулевой уровень, начальное и конечное состояния тела (системы тел).
3. Запишите закон сохранения механической энергии. Конкретизируйте запись, воспользовавшись данными условия задачи и соответствующими формулами для определения энергии.
4. Решите полученное уравнение относительно неизвестной величины.
5. Проверьте единицу, найдите значение искомой величины.
6. Проанализируйте результат, запишите ответ.

Пример №2

Какую минимальную скорость нужно сообщить шарику, подвешенному на нити длиной 0,5 м, чтобы он смог совершить полный оборот в вертикальной плоскости? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Анализ физической проблемы

• Сопротивлением воздуха пренебрегаем, поэтому система «шарик — нить — Земля» является замкнутой и можно воспользоваться законом сохранения механической энергии.
• За нулевой уровень примем самое низкое положение шарика.
• В самой высокой точке траектории шарик имеет некоторую скорость, иначе он не продолжил бы вращаться, а стал бы падать вертикально вниз.
• Для определения скорости движения шарика в наивысшей точке траектории воспользуемся определением центростремительного ускорения и вторым законом Ньютона.
• Нужно найти минимальную скорость движения шарика в момент толчка, поэтому понятно, что в наивысшей точке траектории нить натянута не будет, то есть сила ее натяжения будет равна нулю.

Решение:

На рисунке отметим положения шарика в самой нижней и самой верхней точках траектории; силы, действующие на шарик в верхней точке; направление ускорения. По закону сохранения механической энергии:

Согласно второму закону Ньютона: .

Поскольку

Подставим выражение (2) в выражение (1): Проверим единицу, найдем значение искомой величины:

Ответ:

Выводы:

Определение потенциальной энергии

Энергия, говоря простым языком, это возможность что-либо сделать, возможность совершить работу. То есть, если какое-либо тело может совершить какую-либо работу, то про это тело можно сказать, что оно обладает энергией. По сути, энергия — это мера различных форм движения и взаимодействия материи, а её изменение происходит при совершении некоторой работы. Таким образом, совершённая работа всегда равна изменению какой-либо энергии. А значит, рассматривая вопрос о совершённой телом работе, мы неизбежно приходим к изменению какого-либо вида энергии. Вспомним также и тот факт, что работа совершается только в том случае, когда тело под действием некоторой силы движется, и при этом сама работа определяется как скалярное произведение вектора этой силы и вектора перемещения, то есть А = F*s*cosa, где а — угол между вектором силы и вектором перемещения. Это нам пригодится в дальнейшем для вывода формул различных видов энергии.

Энергию, связанную с взаимодействием тел, называют ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИЕЙ. Иначе говоря, если тело за счёт взаимодействия с другим телом может совершить некоторую работу, то оно будет обладать потенциальной энергией, и при совершении работы будет происходить изменение этой энергии. Обозначают механическую потенциальную энергию чаще всего — Еп.

Виды потенциальной энергии

Существуют различные виды потенциальной энергии. К примеру, любое тело на Земле находится в гравитационном взаимодействии с Землёй, а значит обладает потенциальной энергией гравитационного взаимодействия. И ещё пример — витки растянутой или сжатой пружины находятся в упругом взаимодействии друг с другом, а значит сжатая или растянутая пружина будет обладать потенциальной энергией упругого взаимодействия.

Далее мы рассмотрим только виды механической потенциальной энергии и формулы, по которым их можно рассчитать. Но в дальнейшем вы узнаете и о других видах потенциальной энергии — к примеру, о потенциальной энергии электрического взаимодействия заряженных тел, о потенциальной энергии взаимодействия электрона с атомным ядром.

Формулы потенциальной энергии

Перед тем как приступить к выводу формул потенциальной энергии, ещё раз вспомним, что совершённая телом или над телом работа равна изменению его энергии. При этом, если само тело совершает работу, то его энергия уменьшается, а если над телом совершают работу, то его энергия увеличивается. К примеру, если спортсмен поднимает штангу, то он сообщает ей потенциальную энергию гравитационного взаимодействия, а если он отпускает штангу и она падает, то потенциальная энергия гравитационного взаимодействия штанги с Землёй уменьшается. Также, если вы открываете дверь, растягивая пружину, то вы сообщаете пружине потенциальную энергию упругого взаимодействия, но если потом дверь закрывается, благодаря сжатию пружины в начальное состояние, то и энергия упругой деформации пружины уменьшается до нуля.

А) Чтобы вывести формулу потенциальной энергии гравитационного взаимодействия, рассмотрим, какую работу совершает тело, двигаясь под действием силы тяжести:

А = F*s = mg*s = mg*(h₁
— h₂) = mgh₁
— mgh₂
= Eп₁
— Еп₂, то есть, мы получили, что потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тела с Землёй может быть вычислена по формуле: Еп = mgh.

Здесь важно отметить, что поверхность Земли принимается за начало отсчёта высоты, то есть для тела, находящегося на поверхности Земли Еп = 0, для тела, поднятого над Землёй Еп > 0, а для тела, находящегося в яме глубиной h, Еп < 0.

Отметим также и то, что в формуле работы отсутсвовал cosa. Это не случайно. Ведь если тело движется по сложной траектории, то, какой бы сложной она ни была, её можно разбить на множество вертикальных и горизонтальных участков. Но на горизонтальных участках работа силы тяжести будет равна нулю, так как угол между силой тяжести и перемещением будет прямым, а значит работа будет совершаться только на вертикальных участках траектории, для которых cosa = 1 или cosa = −1.

Тогда можно сделать ещё один важный вывод — работа силы тяжести не зависит от формы траектории, а только от расположения начальной и конечной точки. А это не случайность — это свойство любых сил, сообщающих телам потенциальную энергию. Такие силы называют потенциальными и сила тяжести — одна из них. К потенциальным силам относится и сила упругости.

Б) Чтобы вывести формулу потенциальной энергии упругой деформации, рассмотрим, какую работу нужно совершить, чтобы растянуть пружину, изменив её длину на х (х = l — l₀):

А = –Fупр(ср.)*s,

Во-первых, знак минус в формуле стоит потому, что угол между силой упругости и перемещением свободного конца пружины равен 180 градусов и cosa = −1.

Во-вторых, возникающая при растяжении пружины сила упругости является переменной силой, в отличие от силы тяжести, поэтому в формуле работы стоит средняя сила упругости. При этом величина силы упругости, в соответствии с законом Гука, прямо пропорциональна изменению длины пружины, а значит её среднее значение можно определить так:

Fупр(ср.) = (Fупр(нач.) + Fупр(конеч.))/2

И так как Fупр(нач.) = 0, а Fупр(конеч.) = kх, то:

А = —kх*s/2

Но s = x, поэтому: А = —kx²/2 = 0 — kх²/2 = Еп₁ — Еп₂.

В итоге, мы получили формулу потенциальной энергии упругой деформации: Еп = kx²/2.

Методические советы учителям

1) Обязательно обратите внимание учащихся на связь энергии и работы.

2) Не давайте учащимся формулы потенциальной энергии без вывода.

3) Обратите внимание учащихся на то, что оба вида потенциальной энергии зависят от выбора начальной точки, то есть от системы координат.

4) При выводе формул потенциальной энергии обязательно поясните учащимся почему отсутствует cosa в формуле работы.

5) Отметьте, что и работа силы тяжести, и работа силы упругости не зависят от формы траектории и, следовательно равны нулю на замкнутой траектории — это общее и важное свойство всех потенциальных сил.

#ADVERTISING_INSERT#

А почему-бы и нет? У нас уже были задачи на свободное падение, законы Ньютона, силу трения и проч. и проч. Сегодня решаем задачи на кинетическую и потенциальную энергию.

А вообще, помните, что мы занимаемся далеко не только решением задач. Наш телеграм – это полезная информация для студентов всех специальностей, новости, лайфхаки, акции и скидки.

Задачи на кинетическую и потенциальную энергию

Приведем примеры задач на нахождение кинетической и потенциальной энергии с решением. Прежде чем приступать к практике, почитайте теорию по теме, повторите общую памятку по решению задач по физике и на всякий случай держите под рукой полезные формулы.

Задача №1 на кинетическую энергию

Условие

Максимальная высота, на которую поднимается тело массой 1 кг, подброшенное вертикально вверх, составляет 20 м. Найдите, чему была равна кинетическая энергия сразу же после броска.

Решение

Потенциальная энергия тела над поверхностью Земли составляет:

Здесь m – масса тела, g – ускорение свободного падения, h – высота. Согласно закону сохранения энергии, потенциальная энергия тела в наивысшей точке должна равняться кинетической энергии тела в начальный момент, то есть:

Принимая ускорение свободного падения равным 10 м/с2, находим кинетическую энергию тела сразу же после броска:

Ответ: 200 Дж.

Задача №2 на потенциальную энергию

Условие

Чему равна потенциальная энергия трех кубических дециметров воды на высоте 10 м?

Решение

По определению, потенциальная энергия равна в поле силы тяжести равна:

Масса трех кубических дециметров воды (трех литров) легко находится из формулы для плотности воды:

Осталось вычислить потенциальную энергию:

Ответ: 300 Дж.

При решении задач не забывайте переводить все размерности величин в систему СИ.

Задача №3 на полную механическую энергию

Условие

Какова полная механическая энергия дирижабля массой 5 тонн, если он летит на высоте 2 км со скоростью 60 км/ч?

Решение

Полная механическая энергия состоит из кинетической и потенциальной энергий:

Вычислим:

Ответ: 100,7 МДж.

Задача №4 на кинетическую и потенциальную энергию

Условие

Шарик массой 200 г падает с высоты 20 м с начальной скоростью, равной нулю. Какова его кинетическая энергия в момент перед ударом о землю, если потеря энергии за счет сопротивления воздуха составила 4 Дж? (Ответ дайте в джоулях.) Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с2.

Решение

Перед началом падения потенциальная энергия шарика составляет:

По закону сохранения энергии, эта энергия должна перейти в кинетическую энергию Ек за вычетом потери за счет сопротивления воздуха дельта Е. Таким образом, можем найти кинетическую энергию:

Ответ: 36 Дж.

Задача №5 кинетическую и потенциальную энергию

Условие

Шарик висит на нити. В нем застревает пуля, летящая горизонтально, в результате чего нить отклоняется на некоторый угол. Как изменятся при увеличении массы шарика следующие величины: импульс, полученный шариком в результате попадания в него пули; скорость, которая будет у шарика тотчас после удара; угол отклонения нити?

Решение

Согласно закону сохранения импульса, скорость шарика с застрявшей в нем пулей равна

Здесь M и m – массы шарика и пули соответственно, v – скорость пули перед ударом. Таким образом, при увеличении массы шарика его скорость после удара уменьшится.

Найдем импульс, переданный шарику при попадании пули:

Следовательно, с увеличением массы шарика переданный ему импульс увеличивается.

Согласно закону сохранения энергии, кинетическая энергия пули перейдет в потенциальную энергию шарика с пулей:

Таким образом, при увеличении массы шарика угол отклонения нити уменьшится, поскольку уменьшится скорость u.

Ответ: см решение выше.

Вопросы на потенциальную и кинетическую энергию

Вопрос 1. Что такое энергия? Что такое механическая энергия?

Ответ. Для энергии существует множество определений. В наиболее общем смысле:

Энергия – мера способности тела совершать работу.

Механическая энергия – это энергия, связанная с движением тела или его положением в пространстве. Механическая энергия в механике описывается суммой кинетической и потенциальной энергии.

Вопрос 2. Сформулируйте закон сохранения энергии

Ответ. Закон сохранения энергии является фундаментальным физическим принципом. Для каждого вида энергии он имеет свою формулировку. Для механической энергии:

Полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остается неизменной.

Вопрос 3. Какие силы называются консервативными?

Ответ. Консервативные, или потенциальные силы – это силы, работа которых не зависит от формы траектории. В качестве примера такой силы можно привести силу тяжести.

Вопрос 4. Какую энергию называют кинетической?

Ответ. Кинетическая энергия является энергией движения. Ею обладают только движущиеся тела, она зависит от массы тела и его скорости.

Вопрос 5. Какую энергию называют потенциальной?

Ответ. Потенциальная энергия является энергией взаимодействия в поле консервативных сил. Она зависит от положения тела и выбора системы отсчета. Например, потенциальная энергия тела в поле силы тяжести зависит от массы тела, ускорения свободного падения и высоты над нулевым уровнем.

Не знаете, как решать задачи на кинетическую или потенциальную энергию? Проблемы с выполнением любых других студенческих работ? Обращайтесь в профессиональный сервис для учащихся за помощью и консультациями.

Потенциальная энергия

Потенциальная энергия положения

Чтобы увеличить расстояние тела от центра Земли (поднять тело), над ним следует совершить работу. Эта работа против силы тяжести запасается в виде потенциальной энергии тела.

Если:
W_п — Потенциальная энергия тела, энергия положения (Джоуль),
G — гравитационная сила (Ньютон),
m — масса тела (кг),
h — высота на которую поднято тело (метр)
g — ускорение свободного падения 9.81 (м/c²)

то, поскольку, работа, затраченная на подъем тела W_п = Gh = mgh, потенциальная энергия тела равна:

[
W_{п} = Gh = mgh
]

Потенциальная энергия, определяемая по формуле (1), не является полной потенциальной энергией тела, а представляет собой только приращение потенциальной энергии при подъеме тела на высоту h, поскольку начало отсчета выбирается произвольно.

Вычислить, найти потенциальную энергию положения по формуле (1)

Потенциальная энергия положения на большой высоте

Формула (1) верна при условии, что ускорение свободного падения g постоянно по всей высоте подъема, т.е. в случае подъема на относительно небольшую высоту. В гравитационном поле любого небесного тела сила тяжести и соответственно ускорение свободного падения тела убывают пропорционально квадрату расстояния от центра этого тела. Поэтому при подъеме на большую высоту следует учитывать, что g = g(h) и, следовательно G = G(h):

[
W = int_{r_1}^{r_2} F dr
= int_{r_1}^{r_2} γ frac{m_a m_b}{r^2} dr
]

[
W = γ m_a m_b int_{r_1}^{r_2} frac{1}{r^2} dr
]

[
W = γ m_a m_b bigg(frac{1}{r_1} – frac{1}{r_2}bigg)
]

Здесь:
W — работа против гравитационной силы (Джоуль),
G — гравитационная сила, с которой два тела притягиваются друг к другу (Ньютон),
m_a — масса первого тела (кг),
m_b — масса второго тела (кг),
r — расстояние между центрами масс тел (метр),
r₁ — начальное расстояние между центрами масс тел (метр),
r₂ — конечное расстояние между центрами масс тел (метр),
γ — гравитационная постоянная 6.67 · 10^-11
(м³/(кг · сек²)),

Вычислить, найти потенциальную энергию положения на большой высоте

Потенциальная энергия (примечания)

Потенциальная энергия	стр. 468