Как найти начальную температуру цилиндра

3.8. Нагрев или
охлаждение неограниченного сплошного
цилиндра.

Под неограниченным
понимают цилиндр, высота которого много
боль­­ше его диа­мет­ра. Начальная
температура цилиндра равна T₀
= const.
В мо­мен­т вре­ме­ни t
= 0 цилиндр
по­ме­ща­ется в среду (жидкость
или газ) с по­стоянной тем­пе­ра­турой
T_c.
Теплообмен между этой сре­дой и твердой
поверхностью цилиндра про­­ис­­ходит
по закону Ньютона с коэф­фициентом
теп­лообмена 
(граничное ус­ло­вие третьего рода).
Требуется найти рас­пре­де­ле­ние
тем­пе­ра­ту­ры в цилиндре в
любой момент времени T(r,t).
Будем считать, что изменение температуры
в ци­линдре происходит только по
радиусу (по координате r).
Изменением тем­пе­ра­туры по оси
z
пренебрегаем, а зависимость от угла
отсутствует вследствие сим­метрии
задачи от­но­си­тель­но оси
цилиндра. Другими словами, считаем, что
изо­термы представляют собой
коак­си­аль­ные цилиндрические
поверхности.

Для обобщения
приведенной ниже формулы на возможно
большее число кон­­к­ретных задач
бу­дем ис­поль­зовать следующие
обозначения: число Фурье (без­размерное
вре­мя) Fo
= at/R²,
критерий Био Bi
= R/,
где ,
a
– коэф­фи­ци­ен­ты тепло- и
тем­пе­ра­ту­ро­про­вод­ности
ве­щест­ва цилиндра соответственно,
t
– обыч­ное время (в секундах), R
– радиус цилиндра. Подробнее о числах
Фурье и Био см. ниже в разделе 6 “Безразмерные
пара­метры тепломассообмена”.

Точное решение
этой задачи вы­ражается с помощью
бесконечных функ­ци­о­нальных
ря­дов и мало пригодно для практи­ческих
расчетов. Для ин­же­нер­ных расчетов
можно ре­ко­мен­довать следующую
приближенную формулу:

,
(3.8.1)

где вспомогательный
параметр D
вычисляется по формуле:
.

Формула (3.8.1)
пригодна как для нагрева, так и для
охлаждения ци­лин­д­ра. Точность
этой формулы зависит от критерия Био и
числа Фурье: при уве­ли­че­нии
критерия Био и умень­шении числа Фурье
погрешность воз­растает, но не превышает
4% . При Bi
< 5 и Fo > 0.1
погрешность состав­ля­ет менее 2%.

Пример.
Начальная температура стального цилиндра
(
= 46 Вт/мК,
a
= 0.1210^-4м²/с)
равна T₀
= 100^оС.
Радиус цилиндра R
= 0.1 м. В
мо­мен­т времени t
= 0 цилиндр
начинают рав­но­мерно со всех сторон
охлаждать воздухом с тем­пе­ра­ту­рой
T_с
= +10^оС.
Найти температуру на поверхности и на
оси цилиндра в центре через t₁
= 2 минуты и через t₂
= 30 минут охлаждения. Коэф­фициент
теплообмена принять равным 
= 150 Вт/м²К.

Решение.
На оси цилиндра r
= 0, на поверхности цилиндра r
= R.
Числа Фурье для t₁
и t₂:
Fo₁
= = at₁/R²
= 0.144, Fo₂
= = at₂/L²
= 2.16. Найдем критерий Bi
и вспомогательный параметр D:

Bi
= L/
= 1500.1/46
= 0.3261;
=
0.6065.

Подставляем эти
числа в формулу (3.8.1).

Температура на
оси цилиндра через 2 минуты охлаждения:

= 99.2^оС,

На оси цилиндра
через 30 минут:

= 36.3^оС,

На поверхности
цилиндра через 2 минуты:

= 86.7^оС,

На поверхности
цилиндра через 30 минут:

= 32.6^оС.

Соседние файлы в папке КраткийКонспектЛекций

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Последние вопросы

• 
  Математика

  2 часа назад

  150 центеров это сколько грамм

• 
  Биология

  7 часов назад

  ХЕЛП СРОЧНО

  Установи последовательность движения нервного сигнала по рефлекторной дуге.

  1. Двигательный нерв

  2. Чувствительный нерв

  3. Рецептор

  4. ЦНС

  5. Орган 

• 
  Физика

  9 часов назад

  Нужно рассчитать энергию связи никеля 9 класс

  Все полностью

  Все действия!

• 
  Математика

  9 часов назад

  Нужно рассчитать энергию связи никеля 9 класс

  Все полностью

  Все действия!

• 
  Математика

  9 часов назад

  Найти амплитуду колебания и рисунок

• 
  Математика

  11 часов назад

  Поле площадью 560 га засеяно огурцами, морковью и помидорами. Огурцы занимают 35% всего поля. Сколько гектаров занимают помидоры, морковь и огурцы в отдельности, если моркови засеяно в  раз больше, чем помидоров? ПОМОГИТЕ СРОЧНО!!! 15 МИНУТ ОСТАЛОСЬ!

• 
  Математика

  11 часов назад

  . Выполните действия: ( 3). помогите решить

• 
  Математика

  13 часов назад

  Дан треугольник ABC Найти 1)длины сторон 2)углы треугольника 3)периметр треугольника 4)площадь треугольника 5)длину медианы СМ 6)длину высоты АН 7) сделать чертеж

  Если кординаты вершины равны

  А(-3;4;2),В(3;-4;4).С(2;-2;-3)

• 
  Другие предметы

  13 часов назад

  Найти координаты вектора P.

  Помогите пожалуйста очень срочно!!!

• 
  Химия

  23 часов назад

  Органическое вещество А содержит по массе 56,81% углерода; 6,98% водорода и кислород. Вещество А можно получить гидратацией вещества Б.

  На основании данных условия задачи:

  1) проведите необходимые вычисления и установите молекулярную формулу вещества А;

  2) составьте структурную формулу вещества А, которая однозначно отражает порядок атомов в его молекуле;

  3) напишите уравнение реакции получения вещества А гидратацией вещества Б.

• 
  Химия

  23 часов назад

  Через 480 г 15%-ного раствора едкого натра пропускали постоянный электрический ток до тех пор, пока на электродах не выделилось 358,4 л газов (объем приведен к нормальным условиям). Из полученного раствора отобрали пробу массой 96 г для полного осаждения ионов меди из 290 г насыщенного при 25°С раствора сульфата меди(II). Вычислите растворимость медного купороса – пентагидрата сульфата меди(II) при 25°С. В ответе запишите уравнения реакций, которые указаны в условии задачи, и произведите все необходимые вычисления (указывайте единицы измерения искомых физических величин).

• 
  Литература

  23 часов назад

  Художественные выразительные средства в произведении джека лондона любовь к жизни

  можно пару штук хотя бы =_

• 
  Русский язык

  1 день назад

  Письмён на писька содержание своей любимой книге перед началом работы составь план в последнем абзаце своего текста напиши почему это книга

  твоя любимая

• 
  Другие предметы

  1 день назад

  Что делать если скучно???

• 
  Геометрия

  1 день назад

  № 1. Две стороны параллелограмма равны 3 см и 4√2 см, а угол между ними – 135°. Найдите: 1) большую диагональ параллелограмма; 2) площадь параллелограмма.

  № 2. В треугольнике DEF известно, что EF = 10√3 см, DE = 10 см, ∠F = 30°. Найдите угол D.

  С ПОДРОБНЫМ РЕШЕНИЕМ

Как определяют начальную температуру цилиндра?