Как найти начальную точку параболы

Парабола присутствует в мире математики, физики и других наук. По траектории параболы передвигаются искусственные спутники, которые стремятся покинуть пределы Солнечной системы, мяч при игре в волейбол тоже описывает её траекторию. Нужно уметь строить параболу. А чтобы это не составляло труда, надо знать, как найти вершину параболы.

Нахождение вершины параболы: способы, примеры, советы

График функции y = ax²+ bx + c, где a — первый коэффициент, b – второй коэффициент, c – свободный член, называется параболой. Но обратите внимание на тот факт, что a ≠0.

У каждой точки параболы есть симметричная ей, кроме одной точки, и эта точка называется вершиной. Для того чтобы найти точку, которая является вершиной, нужно определиться, что такое точка на графике. Точка на графике – это определённая координата по оси абсцисс и по оси ординат. Она обозначается как (x; y). Давайте разбираться, как найти заветные числа.

Первый способ

Если вы хотите знать, как необходимо правильно вычислять координаты вершины, то нужно только выучить формулу x0 = -b/2a. Подставляя полученное число в функцию, получим y0.

Например, y =x²–8 x +15;

находим первый, второй коэффициенты и свободный член;

• a =1, b =-8, c =15;

подставляем значения a и b в формулу;

• x0=8/2=4;

вычисляем значения y;

• y0 = 16–32+15 = -1;

Значит, вершина находится в точке (4;-1).

Ветви параболы симметричны относительно оси симметрии, которая идёт через вершину параболы. Зная корни уравнения, можно без особых трудностей посчитать абсциссу вершины параболы. Предположим, что k и n – корни квадратичного уравнения. Тогда точка x0 равноудалена от точек k и n, и её можно вычислить по формуле: x0 = (k + n)/2.

Рассмотрим на примере y =x²–6x+5

1) Приравниваем к нулю:

• x²–6x+5=0.

2) Находим дискриминант, используя формулу: D = b ²–4 ac:

• D =36–20=16.

3) Находим корни уравнения по формуле (-b±√ D)/2a:

• 1 – первый корень;
• 5 – второй корень.

4) Вычисляем:

• x0 =(5+1)/2=3

Второй способ

Дополнение до полного квадрата – отличный способ узнать, где располагается вершина. Используя этот способ, вы сможете вычислить точки x и y одновременно, без нужды подставлять x в начальный пример. Рассмотрим этот метод на примере функции: y=x ²+8 x +10.

1. Сначала нужно приравнять выражение с переменной к 0. Потом перенести c в правую сторону с противоположным знаком, то есть у нас получается выражение x² + 8x = -10.

2. Теперь в левой части нужно сделать полный квадрат. Для этого посчитайте (b/2)² и увеличьте обе части уравнения результат. В этом случае нужно подставит 8 вместо b.

У нас получается 16. Теперь прибавьте это число к обеим частям уравнения:

x² + 8x +16= 6.

3. Видно, что полученное выражение – полный квадрат. Его можно представить в форме: (x + 4)² = 6.

4. Используйте это выражение для поиска координат вершины параболы. Чтобы посчитать x, нужно приравнять его к 0. Получаем, x =-4. Координата y равна тому, что находится в правой части, то есть y =6. Вершина параболы этого уравнения (-4, 6).

Третий способ

Если вы знаете, что такое производная, то для вас есть другая формула. Несмотря на то, куда смотрят «рога» параболы, её вершина — точка экстремума. Для этого способа надо применить следующий алгоритм:

1. Нахождение первой производной по формуле f'(x) = (ax² + bx + c)’ = 2ax + b.

2. Приравнивание производной к 0. В итоге вы получите 0 = 2ax + b, отсюда можно найти то, что нас интересует.

Рассмотрим этот способ подробнее.

Дана функция y = 4x²+16x-17;

• Записываем производную и приравниваем к нулю.

f'(x) = (4x²+16x-17)’ = 8x+16 =0

Построение параболы

Самое трудное при построении – это верно найти точки функции. Для подробного построения нужно просчитать 5–7 точек (для школьного курса хватит этого). Для этого выбираем какое-либо значение x и подставляем его в данную функцию. Итогом подсчётов будет число точки по оси ординат. После этого ставим на координатную плоскость полученные нами точки. В итоге у нас получается парабола.

Рассмотрим подробнее вопрос о нахождении точек, которые нужно отметить. Для примера возьмём функцию y =-x ²+11 x -24 с вершиной в точке (5,5;-6,25).

1) Строим таблицу

X			5,5
Y

2) Заполняем таблицу

Так как парабола имеет осевую симметрию, то можно считать только значения справа или слева от вершины. Лучше считать те значения, которые ближе к 0, так удобнее. В нашем случае эти значения 4 и 5.

X	4	5	5,5	6	7
Y	-4	-6	-6,25	-6	-4

Советы

Правильно находите коэффициенты.

Пишите промежуточные вычисления на бумаге. Это не только облегчит нахождение вершины, но и поможет найти свои ошибки.

Делайте всё поэтапно. Следуйте алгоритму.

Обратите ваше внимание на то, что:

• Нужно проверять правильно ли ваше решение.
• Необходимо успокоиться. Решение любых задач по математике требует опыта. Просто нужно отработать данную тему, и тогда непременно у вас всё получится.

Видео

Это видео поможет вам научиться находить вершину параболы

Формула нахождения вершины параболы

Ирина Алексеевна Антоненко

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Определение 1

Парабола – это геометрическое множество точек, равноудалённых от точки F, не лежащей на параболе, и прямой $d$, не проходящей через точку $F$.

Что значит вершина параболы

Определение 2

Вершина параболы – это точка, ближайшая к директрисе параболы. Она является центром отрезка, ограниченного точкой фокуса параболы $F$ и директрисой $d$.

Производная в вершине квадратичной параболы равна нулю.

Каноническое уравнение параболы $y^2 = 2px$ справедливо для параболы, вершина которой находится в центре осей.

Для того, чтобы определить, принадлежит ли точка графику заданной параболы, необходимо подставить её координаты в формулу $y = ax^2 + bx + c$.

Если равенство выполняется — точка принадлежит графику.

Как найти вершины параболы, задающейся квадратичной функцией

Рисунок 1. Пример уравнения и графика квадратичной параболы

Довольно часто парабола задаётся квадратичной функцией вида $y = ax^2 + bx + c$, вершина такой параболы находится в произвольной точке.

Какой-то единой формулы для нахождения сразу обеих координат вершины параболы нет, но при этом определить координаты вершины параболы по уравнению довольно просто.

Алгоритм для нахождения вершины параболы такой:

1. Запишите коэффициенты $a, b, c$ из уравнения. Если коэффициент $a$ при $y$ положительный, то ветви параболы будут смотреть вверх, а если отрицательный, то вниз.
2. Найдите абсциссу вершины параболы ($x$ вершины) по формуле $x = – frac{b}{2a}$, для этого воспользуйтесь коэффициентами $a, b, c$ из уравнения.
3. Подставьте найденный $x$ в уравнение параболы и вычислите ординату вершины параболы $y$.
4. Запишите полученные координаты x и y вершины параболы в форме точки $(x; y)$.

Пример 1

Рассмотрим уравнение параболы $y = x^2 – 5x + 7$

1. Коэффициенты этой параболы $a = 1$, $b = -5$, $c = 7$.
2. Для вычисления x вершины параболы подставьте $a = 1$ и $b = -5$ в формулу $x = – frac{b}{2a}= frac{5}{2}=2.5$
3. Подставьте найденный $x$ в исходное уравнение:
4. $y = 2,5^2 – 5 cdot 2.5 + 7$
5. $y = 0,75$
6. Координаты вершины этой параболы $(2.5;0.75)$.

Вершина кубической параболы

Чтобы найти вершины (точки локальных минимумов и максимумов) кубической параболы, необходимо найти её производную, приравнять её к нулю и затем вычислить $x$ и $y$.

Если же необходимо найти точку перегиба кубической параболы, необходимо найти вторую производную и также приравнять её к нулю.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 04.12.2022

Была ли эта статья полезной?

Вершина параболы

Содержание:

• Что такое вершина параболы
• Вывод формулы координат вершины параболы
• Как найти координаты, основные способы
• Примеры решения задач

Что такое вершина параболы

Определение

Вершина параболы — это точка, в которой наблюдается пересечение параболой оси координат и ее невозможность держать направление выше или ниже в координатной плоскости.

Чтобы найти ВП, необходимо применить формулу:

(lbrackfrac{-b}{2a};-frac{b^2-4ac}{4a}rbrack)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Исходя из координат, можно узнать расположение вершины параболы и построить ее.

Вывод формулы координат вершины параболы

Рассматриваемую формулу используют для решения квадратных уравнений, которые имеют вид:

(y;=;ax^2;+;bx;+;c)

Ее график представляет собой параболу, формулу которой мы определили выше. Но не всегда требуется пользоваться данной формулой, так как сначала можно найти значение х, а затем подставить его в уравнение и найти y. 

Для того, чтобы вывести формулу ВП, нужно преобразовать квадратную функцию к виду:

(y;=;f(x;+;l);+;m)

Делают это с помощью метода выделения полного квадрата, то есть (left(a+bright)^2) преобразуют в (a^2+2ab+b^2.)

Функции вида (y;=;f(x;+;l);+;m) отличаются от (y;=;f(x)) сдвигом из графиков по оси абсцисс на –l и по оси ординат на m. l в переписанной квадратичной функции равняется:

(frac{-b}{2a}, а frac{left(4ac-b^2right)}{4a})

Получается, что l и m — это координаты x₀ и y₀.

Приведем доказательство:

1. Соединяем первые два члена многочлена: (y;=;(ax^2;+;bx);+;c.)
2. Выносим коэффициент a за скобку, b при этом делим на a: (y=aleft(x^2+frac baxright)+c.)
3. Представляем, что у нас есть квадрат суммы, в котором x является слагаемым, а из выражения в скобках необходимо рассчитать его полный квадрат суммы. Одночлен (frac bax) умножаем на два и делим на два одновременно. Далее прибавляем и вычитаем квадрат второго слагаемого квадрата суммы. Получаем: (y=aleft(x^2+2frac b{2a}x+frac{b^2}{4a^2}-frac{b^2}{4a^2}right)+c.)
4. Выделяем квадрат суммы: (y=aleft(left(x+frac b{2a}right)^2-frac{b^2}{4a}right)+c.)
5. Умножаем на a: (y=aleft(x+frac b{2a}right)^2-frac{b^2}{4a}+c.)
6. Приводим свободные члены к общему знаменателю: (y=aleft(x+frac b{2a}right)^2-frac{b^2+4ac}{4a}.)
7. Меняем знак: (y=aleft(x+frac b{2a}right)^2+frac{b^2-4ac}{4a}.)

Мы привели функцию (y;=;ax^2;+;bx;+;c) к виду (y;=;a{(x;+;l)}^2;+;m,) что соответствует (y;=;f(x;+;l);+;m,) где (f(x);=;ax^2. )

Как найти координаты, основные способы

Существует несколько способов нахождения координат ВП:

1. (x_0=frac{-b}{2a}) — подходит в том случае, если дискриминант квадратного уравнения равен нулю.
2. (y_0=-frac{b^2-4ac}{4a}) — это формула дискриминанта, поделенная на 4а.
3. (x_0=frac{x_1+x_2}2) — среднее арифметическое между нулями функции. Можно использовать, если в выражении есть нули.
4. Если функция имеет вид (y=aleft(x-x_0right)^2+y_0), то в ее вершиной совпадают координаты (left(x_0;y_0right).)

Примеры решения задач

Задача №1

Найти вершину параболы для уравнения: (y=x^2-5x+7.)

Решение: В выражение (x=-frac b{2a}) подставляем известные числа и получаем (x=frac52=2,5). Теперь подставляем x в исходное уравнение: (2,5^2-5times2,5+7=0,75.)

Ответ: (2,5; 0,75).

Задача №2

Найти ВП для уравнения: y=5(x-1)(x+7).

Решение: Ищем нули функции: 5(x-1)(x+7)=0. Тогда x-1=0 либо x+7=0. Из этого x=1; x=-7.

Подставляем и получаем: (x_0=frac{x_1+x_2}2=frac{1+left(-7right)}2=-3.)

Второе: (y_0=5timesleft(-3-1right)left(-3+7right)=-80.)

Ответ: (-3; -80). 

Задача №3

Найти вершину параболы для уравнения: (y=x^2-7x+3 ).

Решение: (х_0=-frac b{2a}=-frac{left(-7right)}{2times1}=3,5.)

Второе: (y_0=3,5^2-7times3,5+3=-9,25.)

Ответ: (3,5; -9,25). 

Текст с ошибкой:

Расскажите, что не так

Определение

Функция вида y=ax²+bx+c, где а, b, с – некоторые числа, причем, а≠0 число, х – переменная, называется квадратичной функцией.

Графиком квадратичной функции является парабола, она имеет вершину и две ветви, которые могут быть направлены либо вверх, либо вниз (рис.1). Красной точкой обозначена вершина параболы, из которой выходят ветви. Её координаты по графику – (3; –4). Направление ветвей зависит от значения коэффициента «а», то есть, если «а» – положительное число, то ветви направлены вверх; если число «а» – отрицательное, то ветви направлены вверх. На данном рисунке ветви направлены вверх, значит коэффициент «а» у формулы, которая задает эту функцию – положительное число. Коэффициент «с» показывает ординату (у) точки пересечения ветви параболы с осью у. Так, на рисунке №1 парабола пересекает ось у в точке (5;0), значит коэффициент с=5.

Вершина параболы. Формула.

Чтобы найти координаты вершины параболы (х₀; у₀), надо воспользоваться формулой:

х₀=−b2a

для нахождения у₀ можно просто подставить значение х₀ в формулу данной функции y₀=ax²+bx+c вместо х.

Рассмотрим это на примере конкретно заданной функции.

Пример №1

Найти вершину параболы, заданной формулой у=2х² – 8х + 5.

Найдем, чему равны коэффициенты: а=2; b= – 8

Подставим их в формулу и вычислим значение х₀:

х₀=−b2a=82∙2=84=2

Теперь в заданную по условию формулу вместо х подставим найденное значение у₀=2∙2² – 8∙2 + 5=8 – 16 + 5= –3

Итак, мы нашли координаты вершины параболы: (2; –3).

Ответ: (2; –3).

Нули параболы

Значения х, при которых функция принимает значения, равные нулю, называются нулями функции. Другими словами, Значения абсцисс (х) точек пересечения ветвей параболы с осью х, называются нулями функции. На рисунке №1 точки координаты точек пересечения ветвей параболы с осью х следующие: (1;0) и (5;0). Значит, нули функции – это значения х, равные 1 и 5.

Рассмотрим, как найти нули функции не по рисунку, а по заданной формуле.

Пример №2

Найти нули функции у=х² +4х – 5

Так как нули функции это абсциссы точек пересечения ветвей параболы с осью х, то их координаты будут (х;0), то есть у=0. Значит, вместо у подставляем нуль в нашу формулу 0=х² +4х – 5 и получаем квадратное уравнение, решив которое, мы и найдем значения нулей функции:

х² +4х – 5=0

а=1, b=4, с= –5

D=b² – 4ac=4² – 4∙1∙(−5)=36

x=−b±√D2a

x=−4±√362; х₁=–5; х₂=1

Значит, нули функции равны –5 и 1

Ответ: –5 и 1

Примечание к заданию по нахождению нулей функции без графика

Если дискриминант уравнения отрицательный, значит, нулей функции нет, то есть парабола не пересекает ось х (вершина находится выше неё, если ветви направлены вверх и ниже, если ветви направлены вниз).

Рассмотрим нахождение соответствия рисунков парабол, расположенных в системе координат значениям а и с.

Пример №3

Для выполнения данного задания на соответствие необходимо сначала поработать с графиками, подписав на них, какими – отрицательными или положительными являются коэффициенты а и с.

Теперь можно выполнить соответствие:

Ответ: 231

Пример №4

Рассмотрим еще пример на соответствие

В данном задании рассмотрим коэффициенты в формулах и подчеркнем их: так, в формуле под буквой А коэффициент а=-2, т.е. отрицательный, значит, ветви направлены вниз, а это график под номером 2. В формулах под буквами Б и В первые и третьи коэффициенты одинаковые, значит, сравнить по рисунку их невозможно, следовательно, будем сравнивать по расположению вершины (справа или слева от оси у), а именно х₀.

Итак, найдем х₀ для формулы «Б»:

х₀=−b2a=−42∙2=−44=−1

Видим, что х₀ отрицательное, значит, вершина расположена слева от оси у, а это рисунок 3. Ну и осталось привести в соответствие В и 1.

Запишем в таблицу

Ответ: 231

Даниил Романович | Просмотров: 10.4k