Как найти начальный базис симплекс метод

Симплекс-метод, примеры решения задач

Здесь приведено ручное
(не апплетом) решение двух задач
симплекс-методом (аналогичным решению
апплетом) с подробными объяснениями
для того, чтобы понять алгоритм решения
задач симплекс-методом. Первая задача
содержит знаки неравенства только ”
≤ ” (задача с начальным базисом),
вторая может содержить знаки ” ≥ “,
” ≤ ” или ” = ” (задача с
искусственным базисом), они решаются
по разному.

Симплекс-метод, решение задачи с начальным базисом

1)Симплекс-метод
для задачи с
начальным базисом (все знаки
неравенств-ограничений ” ≤ “).

Запишем задачу в
канонической
форме, т.е. ограничения-неравенства
перепишем в виде равенств, добавляя
балансовые
переменные:

Эта система является
системой с базисом (базис s₁,
s₂,
s₃,
каждая из них входит только в одно
уравнение системы с коэффициентом 1),
x₁
и x₂
– свободные переменные. Задачи, при
решении которых применяется симплекс-метод,
должны обладать следующими двумя
свойствами:
-система ограничений
должна быть системой уравнений с
базисом;
-свободные члены всех уравнений
в системе должны быть неотрицательны.

Полученная система
– система с базисом и ее свободные члены
неотрицательны, поэтому можно применить
симплекс-метод.
Составим первую симплекс-таблицу
(Итерация 0) для решения задачи на
симплекс-метод,
т.е. таблицу коэффициентов целевой
функции и системы уравнений при
соответствующих переменных. Здесь “БП”
означает столбец базисных переменных,
«Решение» – столбец правых частей
уравнений системы. Решение не является
оптимальным, т.к. в z – строке есть
отрицательные коэффициенты.

симплекс-метод итерация
0

БП	x1	x2	s1	s2	s3	Решение	Отношение
z	-4	-6	0	0	0	0	–
s1	2	1	1	0	0	64	64/1=64
s2	1	3	0	1	0	72	72/3=24
s3	0	1	0	0	1	20	20/1=20

Для улучшения решения
перейдем к следующей итерации
симплекс-метода,
получим следующую симплекс-таблицу.
Для этого надо выбрать разрешающий
столбец, т.е.
переменную, которая войдет в базис на
следующей итерации симплекс-метода. Он
выбирается по наибольшему по модулю
отрицательному коэффициенту в z-строке
(в задаче на максимум) – в начальной
итерации симплекс-метода это столбец
x₂
(коэффициент -6).

Затем выбирается
разрешающая
строка, т.е.
переменная, которая выйдет из базиса
на следующей итерации симплекс-метода.
Она выбирается по наименьшему отношению
столбца “Решение” к соответствующим
положительным элементам разрешающего
столбца (столбец «Отношение») – в
начальной итерации это строка s₃
(коэффициент 20).

Разрешающий элемент
находится на пересечении разрешающего
столбца и разрешающей строки, его ячейка
выделена цветом, он равен 1. Следовательно,
на следующей итерации симплекс-метода
переменная x₂
заменит в базисе s₁.
Заметим, что в z-строке отношение не
ищется, там ставится прочерк ” – “.
В случае если есть одинаковые минимальные
отношения, то выбирается любое из них.
Если в разрешающем
столбце все коэффициенты меньше или
равны 0, то решение задачи бесконечно.

Заполним следующую
таблицу «Итерация 1». Её мы получим из
таблицы «Итерация 0». Цель дальнейших
преобразований – превратить разрешающий
столбец х₂
в единичный (с единицей вместо разрешающего
элемента и нулями вместо остальных
элементов).

1)Вычисление строки
х₂
таблицы “Итерация 1”. Сначала делим
все члены разрешающей строки s₃
таблицы “Итерация 0” на разрешающий
элемент (он равен 1 в данном случае) этой
таблицы, получим строку x₂
в таблице «Итерации 1». Т.к. разрешающий
элемент в данном случае равен 1, то строка
s₃
таблицы “Итерация 0” будет совпадать
со строкой х₂
таблицы “Итерация 1”. Строку x₂
таблицы “Итерации 1” мы получили 0
1
0 0 1 20, остальные строки таблицы “Итерация
1” будут получены из этой строки и
строк таблицы “Итерация 0” следующим
образом:

2) Вычисление z-строки
таблицы “Итерация 1”. На месте -6
в первой строке (z-строке) в столбце х₂
таблицы “Итерация 0” должен быть 0
в первой строке таблицы “Итерация
1”. Для этого все элементы строки х₂
таблицы “Итерация 1” 0 1
0 0 1 20 умножим на 6, получим 0 6
0 0 6 120 и сложим эту строку с первой строкой
(z – строкой) таблицы “Итерация 0” -4
-6
0 0 0 0, получим -4 0
0 0 6 120. В столбце x₂
появился ноль
0, цель
достигнута. Элементы разрешающего
столбца х₂
выделены красным цветом.

3) Вычисление строки
s₁
таблицы “Итерация 1”. На месте 1
в s₁
строке таблицы “Итерация 0” должен
быть 0 в таблице “Итерация 1”. Для
этого все элементы строки х₂
таблицы “Итерация 1” 0 1
0 0 1 20 умножим на -1, получим 0 -1
0 0 -1 -20 и сложим эту строку с s₁
– строкой таблицы “Итерация 0” 2 1
1 0 0 64, получим строку 2 0
1 0 -1 44. В столбце х₂
получен необходимый 0.

4) Вычисление строки
s₂
таблицы “Итерация 1”. На месте 3
в s₂
строке таблицы “Итерация 0” должен
быть 0 в таблице “Итерация 1”. Для
этого все элементы строки х₂
таблицы “Итерация 1” 0 1
0 0 1 20 умножим на -3, получим 0 -3
0 0 -3 -60 и сложим эту строку с s₁
– строкой таблицы “Итерация 0” 1 3 0
1 0 72, получим строку 1 0
0 1 -3 12. В столбце х₂
получен нужный 0. Столбец х₂
в таблице “Итерация 1” стал единичным,
он содержит одну 1 и остальные 0.

Строки таблицы
«Итерация 1» получаем по следующему
правилу:

Новая строка = Старая
строка – (Коэффициент разрешающего
столбца старой строки)*(Новая разрешающая
строка).

Например для z-строки
имеем:

Старая z-строка  
                 
                 
       (-4   -6
0 0 0 0)
-(-6)*Новая разрешающая
строка               
 -(0 -6
0 0 -6
-120)
=Новая z-строка
(-4 0
0 0 6 120).

Для следующих таблиц
пересчет элементов таблицы делается
аналогично, поэтому мы его опускаем.

симплекс-метод итерация
1

БП	x1	x2	s1	s2	s3	Решение	Отношение
z	-4	0	0	0	6	120	–
s1	2	0	1	0	-1	44	44/2=22
s2	1	0	0	1	-3	12	12/1=12
x2	0	1	0	0	1	20	–

Разрешающий столбец
х₁,
разрешающая строка s₂,
s₂
выходит из базиса, х₁
входит в базис. Совершенно аналогично
получим остальные симплекс-таблицы,
пока не будет получена таблица со всеми
положительными коэффициентами в
z-строке. Это признак оптимальной таблицы.

симплекс-метод итерация
2

БП	x1	x2	s1	s2	s3	Решение	Отношение
z	0	0	0	4	-6	168	–
s1	0	0	1	-2	5	20	20/5=4
x1	1	0	0	1	-3	12	–
x2	0	1	0	0	1	20	20/1=20

Разрешающий столбец
s₃,
разрешающая строка s₁,
s₁
выходит из базиса, s₃
входит в базис.

симплекс-метод итерация
3

БП	x1	x2	s1	s2	s3	Решение	Отношение
z	0	0	6/5	8/5	0	192	–
s3	0	0	1/5	-2/5	1	4	–
x1	1	0	3/5	-1/5	0	24	–
x2	0	1	-1/5	2/5	0	16	–

В z-строке все
коэффициенты неотрицательны, следовательно,
получено оптимальное решение x₁
= 24, x₂
= 16, z_max
= 192.

Соседние файлы в папке типовое решение задач

• #
• #
• #
• #
• #

Подробный разбор симплекс-метода

Пролог

Недавно появилась необходимость создать с нуля программу, реализующую алгоритм симплекс-метода. Но в ходе решения я столкнулся с проблемой: в интернете не так уж много ресурсов, на которых можно посмотреть подробный теоретический разбор алгоритма (его обоснование: почему мы делаем те или иные шаги) и советы по практической реализации — непосредственно, алгоритм. Тогда я дал себе обещание — как только завершу задачу, напишу свой пост на эту тему. Об этом, собственно, и поговорим.

Замечание. Пост будет написан достаточно формальным языком, но будет снабжен комментариями, которые должны внести некоторую ясность. Такой формат позволит сохранить научный подход и при этом, возможно, поможет некоторым в изучении данного вопроса.

§1. Постановка задачи линейного программирования

Определение:

Линейное программирование – математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения экстремальных задач на множествах n- мерного пространства, задаваемых системами линейными уравнений и неравенств.

Общая задача линейного программирования (далее – ЛП) имеет вид:

§2. Каноническая форма задачи ЛП

Каноническая форма задачи ЛП:

Замечание:

Любая задача ЛП сводится к канонической.

Алгоритм перехода от произвольной задачи ЛП к канонической форме:

1. Неравенства с отрицательными умножаем на (-1).
2. Если неравенство вида (≤), то к левой части добавляем – добавочную переменную, и получаем равенство.
3. Если неравенство вида (≥), то из левой части вычитаем , и получаем равенство.
4. Делаем замену переменных:

Замечание:

Будем нумеровать

по номеру неравенства, в которое мы его добавили.

Замечание:

≥0.

§3. Угловые точки. Базисные/свободные переменные. Базисные решения

Определение:

Точка

называется угловой точкой, если представление

возможно только при

.

Иными словами, невозможно найти две точки в области, интервал проходящий через которые содержит

(т.е.

– не внутренняя точка).

Графический способ решения задачи ЛП показывает, что нахождение оптимального решения ассоциируется с угловой точкой. Это является основной концепцией при разработке симплекс-метода.

Определение:

Пусть есть система m уравнений и n неизвестных (m < n). Разделим переменные на два множества: (n-m) переменные положим равными нулю, а остальные m переменных определяются решением системы исходных уравнений. Если это решение единственно, то тогда ненулевые m переменных называют базисными; нулевые (n-m) переменных – свободными (небазисными), а соответствующие результирующие значения переменных называют базисным решением.

§4. Симплекс-метод

Симплекс-метод позволяет эффективно найти оптимальное решение, избегая простой перебор всех возможных угловых точек. Основной принцип метода: вычисления начинаются с какого-то «стартового» базисного решения, а затем ведется поиск решений, «улучшающих» значение целевой функции. Это возможно только в том случае, если возрастание какой-то переменной приведет к увеличению значения функционала.

Необходимые условия для применения симплекс-метода:

1. Задача должна иметь каноническую форму.
2. У задачи должен быть явно выделенный базис.

Определение:

Явно выделенным базисом будем называть вектора вида:

, т.е. только одна координата вектора ненулевая и равна 1.

Замечание:

Базисный вектор имеет размерность (m*1), где m – количество уравнений в системе ограничений.

Для удобства вычислений и наглядности обычно пользуются симплекс-таблицами:

• В первой строке указывают «наименование» всех переменных.
• В первом столбце указывают номера базисных переменных, а в последней ячейке – букву Z (это строка функционала).
• В «середине таблицы» указывают коэффициенты матрицы ограничений — aij.
• Последний столбец – вектор правых частей соответствующих уравнений системы ограничений.
• Крайняя правая ячейка – значение целевой функции. На первой итерации ее полагают равной 0.

Замечание:

Базис – переменные, коэффициенты в матрице ограничений при которых образуют базисные вектора.

Замечание:

Если ограничения в исходной задаче представлены неравенствами вида ≤, то при приведении задачи к канонической форме, введенные дополнительные переменные образуют начальное базисное решение.

Замечание:

Коэффициенты в строке функционала берутся со знаком “-”.

Алгоритм симплекс-метода:

1. Выбираем переменную, которую будем вводить в базис. Это делается в соответствии с указанным ранее принципом: мы должны выбрать переменную, возрастание которой приведет к росту функционала. Выбор происходит по следующему правилу:

• Если задача на минимум – выбираем максимальный положительный элемент в последней строке.
• Если задача на максимум – выбираем минимальный отрицательный.

Такой выбор, действительно, соответствует упомянутому выше принципу: если задача на минимум, то чем большее число вычитаем – тем быстрее убывает функционал; для максимума наоборот – чем большее число добавляем, тем быстрее функционал растет.

Замечание:

Хотя мы и берем минимальное отрицательное число в задаче на максимум, этот коэффициент показывает направление роста функционала, т.к. строка функционала в симплекс-таблице взята со знаком “-”. Аналогичная ситуация с минимизацией.

Определение:

Столбец симплекс-таблицы, отвечающий выбранному коэффициенту, называется ведущим столбцом.

2. Выбираем переменную, которую будем вводить в базис. Для этого нужно определить, какая из базисных переменных быстрее всего обратится в нуль при росте новой базисной переменной. Алгебраически это делается так:

• Вектор правых частей почленно делится на ведущий столбец
• Среди полученных значений выбирают минимальное положительное (отрицательные и нулевые ответы не рассматривают)

Определение:

Такая строка называется ведущей строкой и отвечает переменной, которую нужно вывести из базиса.

Замечание:

Фактически, мы выражаем старые базисные переменные из каждого уравнения системы ограничений через остальные переменные и смотрим, в каком уравнении возрастание новой базисной переменной быстрее всего даст 0. Попадание в такую ситуацию означает, что мы «наткнулись» на новую вершину. Именно поэтому нулевые и отрицательные элементы не рассматриваются, т.к. получение такого результата означает, что выбор такой новой базисной переменной будет уводить нас из области, вне которой решений не существует.

3. Ищем элемент, стоящий на пересечении ведущих строки и столбца.

Определение:

Такой элемент называется ведущим элементом.

4. Вместо исключаемой переменной в первом столбце (с названиями базисных переменных) записываем название переменной, которую мы вводим в базис.

5. Далее начинается процесс вычисления нового базисного решения. Он происходит с помощью метода Жордана-Гаусса.

• Новая Ведущая строка = Старая ведущая строка / Ведущий элемент
• Новая строка = Новая строка – Коэффициент строки в ведущем столбце * Новая Ведущая строка

Замечание:

Преобразование такого вида направлено на введение выбранной переменной в базис, т.е. представление ведущего столбца в виде базисного вектора.

6. После этого проверяем условие оптимальности. Если полученное решение неоптимально – повторяем весь процесс снова.

§5. Интерпретация результата работы симплекс-метода

1. Оптимальность

Условие оптимальности полученного решения:

• Если задача на максимум – в строке функционала нет отрицательных коэффициентов (т.е. при любом изменении переменных значение итогового функционала расти не будет).
• Если задача на минимум – в строке функционала нет положительных коэффициентов (т.е. при любом изменении переменных значение итогового функционала уменьшаться не будет).

2. Неограниченность функционала

Однако, стоит отметить, что заданный функционал может не и достигать максимума/минимума в заданной области. Алгебраический признак этого можно сформулировать следующим образом:

При выборе ведущей строки (исключаемой переменной) результат почленного деления вектора правых частей на ведущий столбец содержит только нулевые и отрицательные значения.

Фактически, это значит, что какой бы рост мы не задавали новой базисной переменной, мы никогда не найдем новую вершину. А значит, наша функция не ограничена на множестве допустимых решений.

3. Альтернативные решения

При нахождении оптимального решения возможен еще один вариант – есть альтернативные решения (другая угловая точка, дающая то же самое значение функционала).

Алгебраический признак существования альтернативы:

После достижения оптимального решения имеются нулевые коэффициенты при свободных переменных в строке функционала.

Это значит, что при росте соответствующей переменной с нулевым коэффициентом значение функционала не изменится и новое базисное решение будет также давать оптимум функционала.

Эпилог

Данная статья направлена на более глубокое понимание теоретической части. В замечаниях и пояснениях здесь можно получить ответы на вопросы, которые обычно опускают при изучении этого метода и принимают априори. Однако, надо понимать, что многие методы численной оптимизации основаны на симплекс-методе (например, метод Гомори, М-Метод) и без фундаментального понимания вряд ли получится сильно продвинуться в дальнейшем изучении и применении всех алгоритмов этого класса.

Чуть позже напишу статью о практической реализации симплекс-метода, а также несколько статей о Методе искусственных переменных (М-Метод), Методе Гомори и Методе ветвей и границ.

Спасибо за внимание!

P.S.

Если уже сейчас Вы мучаетесь с реализацией симплекс-метода, советую почитать книгу А. Таха Введение в исследование операций — там все неплохо разобрано и в теории, и на примерах; а также посмотрите примеры решения задач matburo.ru — это поможет с реализацией в коде.

Калькулятор симплекс-метода

Как пользоваться калькулятором

• Задайте количество переменных и ограничений
• Введите коэффициенты целевой функции
• Введите коэффициенты ограничений и выберите условия (≤, = или ≥)
• Выберите тип решения
• Нажмите кнопку “Решить”

Что умеет калькулятор симплекс-метода

• Решает основную задачу линейного программирования
• Позволяет получить решение с помощью основного симплекс-метода и метода искусственного базиса
• Работает с произвольным количеством переменных и ограничений

Что такое симплекс-метод

Задача линейного программирования — это задача поиска неотрицательных значений параметров, на которых заданная линейная функция достигает своего максимума или минимума при заданных линейных ограничениях.

Симплекс-метод — алгоритм решения оптимизационной задачи линейного программирования путём перебора вершин выпуклого многогранника в многомерном пространстве. Алгоритм является универсальным методом, которым можно решить любую задачу линейного программирования.

Если вам тоже ничего не понятно из этого определения, то вы на верном пути. Чаще всего статьи про симплекс-метод очень сильно углубляются в дебри теории задачи линейного программирования, из-за чего очень легко потерять суть и так ничего и не понять. Мы постараемся описать алгоритм симплекс-метода так, чтобы показать, что в нём нет ничего страшного и на самом деле он весьма простой. Но сначала нам всё-таки потребуется ввести несколько определений.

Целевая функция — функция, максимум (или минимум) которой нужно найти. Представляет собой сумму произведений коэффициентов на значения переменных: F = c₁·x₁ + c₂·x₂ + … + c_n·x_n

Ограничение — условие вида a₁·x₁ + a₂·x₂ + … + a_n·x_n v b, где вместо v ставится один из знаков: ≤, = или ≥

План — произвольный набор значений переменных x₁ … x_n.

Алгоритм решения основной задачи ЛП симплекс-методом

Пусть в задаче есть m ограничений, а целевая функция заивисит от n основных переменных. Первым делом необходимо привести все ограничения к каноническому виду — виду, в котором все условия задаются равенствами. Для этого предварительно все неравенства с ≥ умножаются на -1, для получения неравенств с ≤.

Чтобы привести ограничения с неравенствами к каноническому виду, для каждого ограничения вводят переменную, называемую дополнительной с коэффициентом 1. В ответе эти переменные учитываться не будут, однако сильно упростят начальные вычисления. При этом дополнительные переменные являются базисными, а потому могут быть использованы для формирования начального опорного решения.

Формирование начального базиса

После того как задача приведена к каноническому виду, необходимо найти начальный базис для формирования первого опорного решения. Если в процессе приведения были добавлены дополнительные переменные, то они становятся базисными.

Иначе необходимо выделить среди коэффициентов ограничений столбец, который участвует в формировании единичной матрицы в заданной строке (например, если требуется определить вторую базисную переменную, то необходимо искать столбец, в котором второе число равно 1, а остальные равны нулю). Если такой столбец найден, то переменная, соответствующая этому столбцу, становится базисной.

В противном случае можно поискать столбец, в котором все значения кроме числа в заданной строке равны нулю, и, если он будет найден, то разделить все значения строки на число, стоящее на пересечении этих строки и столбца, тем самым образовав столбец, участвующий в формировании единичной матрицы.

Если такой столбец отсутствует, то для формирования базиса необходимо применить исключение Гаусса для первого ненулевого столбца, который ещё не является базисным. Для этого вся строка делится на элемент в найденном столбце, а из остальных строк вычитается полученная строка, разделённая на значение, стоящее в этом же столбце. После этой операции все значения вне данной строки будут обнулены, и столбец можно будет считать базисным.

После того как базис сформирован, нужно построить начальную симплекс-таблицу. Она строится следующим образом:

• Для удобства в первой строке можно записать коэффициенты C_i целевой функции (для дополнительных переменных эти коэффициенты равны нулю)
• Вторая строка формирует шапку таблицы. В ней первый столбец называется базис, а остальные перечисляют основные переменные x₁..x_n и дополнительные x_n+1..x_n+k
• Затем построчно перечисляются базисные переменные и коэффициенты ограничений

Схематично начальная таблица будет выглядеть примерно так:

C	с1	c2	…	cn	0	0	…	0	0
базис	x1	x2	…	xn	xn+1	xn+2	…	xn+k	b
xe1	a11	a12	…	a1n	a1n+1	a1n+2	…	a1n+k	b1
xe2	a21	a22	…	a2n	a2n+1	a2n+2	…	a2n+k	b2
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
xem	am1	am2	…	amn	amn+1	amn+2	…	amn+k	bm

Избавляемся от отрицательных свободных коэффициентов

После приведения к каноническому виду или после алгебраических преобразований при формировании базиса некоторые из свободных коэффициентов (b_i) могли стать отрицательными, что не позволяет перейти к дальнейшим вычислениям. Чтобы избавиться от отрицательных значений b необходимо:

• Найти строку, в которой находится максимальное по модулю значение b. Пусть это будет строка i;
• Найти максимальный по модулю элемент в этой строке. Пусть он находится в столбце j;
• Строку i разделить на элемент, стоящий на пересечении i-ой строки и j-го столбца;
• Из каждой оставшейся строки k вычесть строку i, умноженную на элемент строки k и столбца j;
• Переменную, соответствующую найденному столбцу j, сделать базисной (добавить в базис вместо переменной, находящейся в строке i).

Этот шаг необходимо повторять до тех пор, пока все отрицательные b не станут положительными или в строке не останется отрицательных элементов. Если строка с максимальным по модулю b_i не содержит отрицательных элементов, то такая задача не имеет решений и на этом алгоритм заканчивает свою работу. В противном случае все b_i положительны и алгоритм переходит к следующему этапу — расчёту дельт.

Расчёт дельт

Дельты — это параметры, на основании которых проверяется оптимальность текущего решения и улучшается функция. Они рассчитываются для каждой из переменных ограничений и записываются последней строкой таблицы.

Для расчёта дельт используется следующая формула: Δ_i = c_e1·a_1i + c_e2·a_2i + … + c_em·a_mi – c_i. Проще говоря, чтобы вычислить дельту по заданной i-ой переменной, нужно перемножить коэффициенты условий в i-ом столбце на коэффициенты целевой функции при соответствующих базисных переменных, сложить эти произведения и вычесть из полученной суммы коэффициент целевой функции столбца i.

Проверка плана на оптимальность

После того как дельты рассчитаны, необходимо проверить оптимальность текущего плана. Критерий оптимальности формулируется следующим образом:
При максимизации функции: текущее решение считается оптимальным, если в таблице отсутствуют отрицательные дельты.
При минимизации функции: текущее решение считается оптимальным, если в таблице отсутствуют положительные дельты.

Если текущий план оптимален, то алгоритм завершает свою работу. Значениям переменных соответствуют значения столбца свободных коэффициентов b. Если свободной переменной нет в базисе, то её значение считается нулевым. Значение целевой функции, принимаемой на данном наборе, находится в строке с дельтами в том же столбце. Если какое-либо из значений столбца b отрицательно, то решения задачи не существует.

Переход к более оптимальному решению

Если текущий план оказался не оптимальным, то алгоритм ищет столбец с наименьшей (с наибольшей, если ищется минимум) дельтой. После чего вычисляются симплекс-отношения Q. Для этого значения свободных коэффициентов делятся на ненулевые коэффициенты из найденного столбца. Если результат деления получается отрицательным, то такие отношение игнорируются.

Среди найденных симплекс-отношений ищется строка, в которой находится симплекс-отношение с наименьшим значением. Если таких отношений нет, то алгоритм останавливает свою работу, так как целевая функция не ограничена и решения не существует.

В противном случае строка с наименьшим отношением считается разрешающей и, аналогично избавлению от отрицательных свободных коэффициентов, делится на разрешающий элемент, расположенный в найденных столбце и строке, и из остальных строк вычитается найденная строка, разделённая на значения, стоящие в этом же столбце соответствующей строки. Переменная, стоящая в разрешающем столбце заменяет базисную переменную, находящуюся в найденной строке.

После этого вычисляются новые дельты и проверяется новый план. Так продолжается до тех пор пока не будет выполнен критерий оптимальности плана или не будет установлено, что решение не существует.

Метод искусственного базиса

Очень часто при решении задачи линейной оптимизации бывает довольно сложно выполнять алгебраические преобразования над коэффициентами ограничений для поиска начального базиса. Для упрощения вычислений существует альтернативный метод решения, называемый методом искусственного базиса. Его суть заключается в том, что вместо того, чтобы искать базис среди имеющихся основных и дополнительных переменных, ввести так называемые искусственные переменные, которые сформируют начальный базис. Возможно, звучит сложно и непонятно, но сейчас мы всё объясним.

Подготовительный этап

Аналогично базовому симплекс-методу для всех ограничений с неравентством вводятся дополнительные переменные, причём для ограничений с ≥ они берутся с коэффициентом -1, а для ограничений с ≤ с коэффициентом 1. Ограничения с равенством остаются без изменений. Если свободный коэффициент какого-либо из ограничений меньше нуля, то такое ограничение умножается на -1 (знак неравенства при этом меняется на противоположный). После этого приступают к поиску базиса.

ВВЕДЕНИЕ

В математике взаимосвязь элементов множества, определяемая правилом, при котором каждое значение зависит от другого бесконечного числа величин, называется функцией. Для определения её крайних значений применяется линейное программирование. Решить поставленную задачу можно несколькими способами. Один из них — симплекс-метод.

1 Понятие о симплексном методе

Под симплексным методом понимается последовательный переход от одного базисного нахождения системы решений к другому. Эта перестановка повторяется до тех пор, пока переменная величина цели не достигнет своего наибольшего или наименьшего значения. Такой подход является универсальным, его можно использовать для решения любой задачи последовательного программирования.

Метод был разработан в 1947 году математиком из США Бернардом Данцигом. Предложенный способ оказался весьма эффективным для решения разнообразных землеустроительных и других экономических задач, связанных с оптимизацией использования ограниченных ресурсов. То есть он позволяет оценить и откорректировать параметры системы, а также получить качественные аналитические результаты. Универсальность данного метода проявляется в том, что он позволяет решать задачи различной размерности, в которых технико-экономические коэффициенты (α_ij) при переменных (Х_ij) выражены в разных единицах измерения.

В процессе решения задачи на каждой итерации осуществляется переход из одной вершины ОДР в смежную, связанную с не худшим значением целевой функции. Для этого используется процедура метода главных элементов. Количество итераций, необходимых для получения оптимального решения, находится в пределах от m до 2m, где m-количество ограничений в задаче.

2 Двухфазный симплекс-метод

Если в условии задачи линейного программирования не все ограничения представлены неравенствами типа «≤», то далеко не всегда нулевой вектор будет допустимым решением. Однако каждая итерация симплекс-метода является переходом от одной вершины к другой, и если неизвестно ни одной вершины, алгоритм вообще не может быть начат.Такой метод можно использовать, когда свободные члены уравнений являются любыми числами.

Процесс нахождения исходной вершины не сильно отличается от однофазного симплекс-метода, однако может в итоге оказаться сложнее, чем дальнейшая оптимизация.

3 Алгоритм решения задач

Алгоритм решения задачи линейного программирования симплекс методом следующий:
1. При постановке задачи формулируется: оптимальные значения, каких неизвестных необходимо найти, при каких условиях (ограничениях) по видам и размерам ресурсов, какая функция цели и на что она ориентирована (на максимум или минимум).

Например, необходимо определить оптимальное сочетание объемов производства трех видов продукции (Х₁, Х₂, Х₃) при имеющихся в хозяйстве трех видах ресурсов в размере в₁=100, в₂=40, в₃=50 -это трудовые ресурсы с целью получения максимальной денежной выручки.

Экономико-математическая модель в симплексном методе составляется в следующей последовательности:

2. записывается уравнение функции цели, правая часть которого представляет собой сумму произведений искомых неизвестных (Х₁, Х₂, Х₃) на соответствующие им по условиям задачи коэффициенты целевой функции:

Z_max =20Х₁+10Х₂+30Х₃   

3. условия задачи записываются в виде неравенств с ограничениями типа ≤. Каждое из неравенств выражает собой ограничения по одному из видов ресурсов, поэтому в левой части неравенства проставляют искомые переменные с коэффициентами, выражающими расход данного вида ресурса на единицу искомой переменной или, наоборот, выход данного вида ресурса с единицы соответствующей переменной. В правой части неравенства проставляется тип ограничения ≤ и величина соответствующего вида ресурса;

4. количество неравенств в системе ограничений обусловлено условиями задачи. При записи неравенств необходимо контролировать правильность их оформления: технико-экономические коэффициенты при переменных, состав переменных (в левой части неравенства), вид и размер ресурса (в правой части неравенства) должны строго соответствовать условиям задачи и характеру её постановки.

Таким образом, система ограничений выглядит следующим образом:

3Х₁+5Х₂+8Х₃≤100                                                                    

2,5Х₁+3Х₂+6Х₃≤40                                                                    

2Х₁+4Х₂+3Х₃≤50                                                                      

5. после записи основных условий задачи в виде системы ограничений обязательно формулируется условие не отрицательности переменных, так как алгоритм симплексного метода позволяет решать задачи только с положительными значениями переменных (Х_j):

Х₁≤0; Х₂≤0; Х₃≤0.                                                                     

6. Представленная выше форма записи условий задачи в виде неравенств называется стандартной. Для заполнения первой симплексной таблицы (исходного плана) необходимо перейти от стандартной формы записи условий задачи к канонической, а от неё – к симплексной.

Каноническая форма записи условий задачи предусматривает преобразование неравенств (стандартной формы записи) в уравнения, для этого в левую часть каждого из неравенств вводят дополнительные переменные со следующими знаками: с плюсом, если неравенство типа « ≤ » и с минусом, если неравенство типа « ≥ ». Дополнительным переменным (Х₄, Х₅, Х₆) поочередно присваиваются номера, продолжающие нумерацию основных переменных (Х₁, Х₂, Х₃). В уравнение дополнительные переменные вводятся с коэффициентом 1, а в целевую функцию с нулевыми коэффициентами для исключения их влияния на результаты решения задачи.

Преобразуем приведенную выше систему неравенств в систему уравнений:

3Х₁+5Х₂+8Х₃+Х₄≤100                                                              

2,5Х₁+3Х₂+6Х₃+Х₅≤40                                                                   

2Х₁+4Х₂+3Х₃+Х₆≤50                                                              

7. Для дальнейшего преобразования канонической формы записи в симплексную система уравнений решается относительно дополнительных переменных:

Х₄=100-(3Х₁+5Х₂+8Х₃)                                                          

Х₅=40-(2,5Х₁+3Х₂+6Х₃)                                                         

Х₆=50-(2Х₁+4Х₂+3Х₃)                                                            

8. Исходя из симплексной формы записи условий задачи, становится ясен экономический смысл дополнительных переменных. На начальном этапе решения задачи принимается условие, что основные переменные равны нулю, а значения дополнительных переменных, исходя из симплексной формы записи, будут равны величинам ресурсов. В нашем примере: при Х₁=0, Х₂=0, Х₃=0 будем иметь Х₄=100, Х₅=40, Х₆=50.

В экономическом отношении это означает, что пока не реализовано ни одно из мероприятий, намечаемых по условиям задачи, ресурсы остаются неиспользованными. Исходя из данной установки, создается исходный базис, на основе которого начинается поиск оптимального решения задачи из числа допустимых её решений.

9. Если при решении отыскивается ответ с максимумом или минимумом линейной формы и все неосновные переменные получаются только положительными, то задача считается выполненной.

10. Если найденный максимум (минимум) линейной формы в функции имеет одну или несколько неосновных переменных с отрицательными коэффициентами, необходимо перейти к новому базисному решению.

11. Из переменных, входящих в форму с отрицательными или положительными коэффициентами, выбирается наибольшая (по модулю) и переводится в основные.

12. Другими словами, указывается оптимальное опорное решение, способ перехода от одного нахождения ответа к другому, варианты улучшения расчётов. После нахождения первоначального решения с «единичным базисом» вычисляется оценка разложения векторов по базису и заполняется симплексная таблица 1.

Таблица 1 –Первая симплексная таблица

Номера строк (ограниче-ний), i	Номера переменных, вошедших в базис, Xn+i	Коэффициенты целевой функции при базисной переменной, Сi	Свободные члены (ресурсы),вi	Коэффициенты целевой функции, Сj	Сумма по строке	Отношение
20	10	30	0	0	0
Коэффи-циенты при небазисных переменных	Коэффициенты при базисных переменных
Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	Х4	0	100	3	5	8	1	0	0	117	12,5
2	Х5	0	40	25	3	6	0	1	0	52,5	6,67
3	Х6	0	50	2	4	3	0	0	1	60	16,67
m+1	Zj-Cj	0	-20	-10	-30	0	0	0	-60

Столбцы 5-7 – это столбцы основных переменных (соответственно, Х₁, Х₂, Х₃). Из первого уравнения 3Х₁+5Х₂+8Х₃+Х₄=100 коэффициенты при основных переменных (Х₁, Х₂, Х₃), соответственно 3,5 и 8 занесены в столбцы данных переменных по первой строке таблицы и так далее.

Столбцы 8-10 – это столбцы дополнительных переменных (Х₄, Х₅, Х₆), в которых проставляются коэффициенты при данных переменных по каждому уравнению, в которое входит соответствующая переменная. Так, дополнительная переменная Х₄ входит в первое уравнение с коэффициентом 1, поэтому данный коэффициент записываем. В остальных столбцах дополнительных переменных Х₅ и Х₆ по первой строке проставляем нули, т.к. данные дополнительные переменные не входят в первое уравнение.

Столбец 11 – в него записывается суммы, полученные путем сложения свободного члена (в_j) и коэффициентов (а_ij) по соответствующей строке таблицы. Так, если сложить по первой строке таблицы свободный член и коэффициенты (100+3+5+8+1=117), то получим число 117. Аналогичным образом получаем значения для других.

Столбец 12 – в него записываются значения, полученные в результате построчного деления значений свободных членов (в_j) на положительные коэффициенты ключевого (k-го) столбца.

Для выполнения таких расчетов необходимо предварительно выбрать ключевой столбец (k–й столбец). В качестве ключевого (k-го) выбирается столбец (из числа столбцов основных переменных Х₁, Х₂, Х₃, по которому в индексной (m+n) строке таблицы стоит максимальное по абсолютной величине: отрицательное число при решении задачи на максимум и, наоборот, положительное число, при решении задачи на минимум. В данной задаче таким максимальным по абсолютной величине числом является -30 (т.к. Z→max).

Теперь можно выполнить расчеты для заполнения столбца 12. По первой строке указанное отношение    получаем, разделив свободный член 100 (в₁=100) на положительный коэффициент 8 (в₁=8), стоящий по данной строке в ключевом столбце. Оно равно 12,5 (   ). 

Столбец m+1 – это индексная строка симплексной таблицы. На ней записывается численное значение функции цели (Z). В первой симплексной таблице оно равно нулю (Z=0).

Все остальные элементы индексной (m+1) строки рассчитываются по формуле:

13. Анализ плана на оптимальность 

Признаком оптимальности опорного плана является отсутствие в индексной (m+1) строке при решении задачи на минимум – положительных коэффициентов или нулей. Если это условие не выполняется, то план не оптимален и необходимо его улучшать.

Новую симплексную таблицу (улучшенный план) с новым базисным решением составляют в следующей последовательности:

Вместо базисной переменной, стоявшей в базисе (столбец 2) по ключевой l-строке предыдущей таблицы в новую таблицу записывают переменную Х_j, столбец которой выбран в качестве ключевого. Этим самым в базис новой симплексной таблицы вводится новая базисная переменная, а прежняя – выводится из базиса;

– в столбец 3, рядом с новой переменной, введенной в базис, записывают её коэффициент целевой функции. Остальные базисные переменные и их коэффициенты целевой функции (столбцы 2 и 3) переписываются в новую таблицу из предыдущей без изменения;

– элементы (   ) для заполнения в новой таблице строки, стоящей на месте ключевой l-строки предыдущей таблицы, вычисляются как отношение соответствующего элемента (a_lj) ключевой l-строки на главный элемент (a_lk) предыдущей таблицы, т.е. по формуле:  

– элементы остальных строк новой симплексной таблицы, за исключением строки, стоящей на месте бывшей ключевой l-строки, пересчитываются по одной из следующих формул:

            , (   )        

де   , а_ij – однотипные коэффициенты, соответственно новой и предыдущей симплексной таблиц;

     , а_lj – коэффициенты строки, стоящей в новой таблице на месте бывшей ключевой l-строки и, соответственно, коэффициенты ключевой l-строки в предыдущей таблице;

    a_ik – коэффициенты ключевого К-столбца предыдущей симплексной таблицы;

    a_lk – главный (генеральный) элемент предыдущей симплексной таблицы, стоящий на пересечении ключевых l-строки и К-столбца.

Расчеты по указанным выше формулам выполняются для заполнения всех строк новой симплексной таблицы, включая индексную (m+1) строку, но исключая ключевую l-строку.

Таким образом получаем оптимальный план, представленный на таблице 3.

Таблица 2 – Вторая симплексная таблица

i	Базис, Xn+i	Сi	вi	20	10	30	0	0	0	Сумма по строке		Контроль
Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
1	Х4	0	46,66	-0,333	1	0	1	-1,333	0	47,00	–	47,00
2	Х3	30	6,667	0,417	0,5	1	0	0,167	0	8,751	15,86	8,751
3	Х6	0	30	0,750	2,5	0	0	-0,5	1	33,750	40	33,750
m+1			200	-7,5	5	0	0	5	0	202,500	–	202,500

 Таблица 3 – Третья симплексная таблица

i	Базис, Xn+i	Сi	вi	20	10	30	0	0	0	Сумма по строке		Контроль
Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
1	Х4	0	51,990	0	1,399	0,799	1	-1,199	0	53,989		53,989
2	Х1	20	15,988	1	1,199	2,398	0	0,400	0	20,985		20,985
3	Х6	0	18,010	0	1,600	-1,799	0	-0,799	1	18,012		18,012
m+1			319,909	0	13,993	17,985	0	8,003	0	359,890		359,890

14. Контроль правильности задачи должен осуществляться на всех этапах её решения: от составления экономико-математической модели задачи до анализа оптимального её решения.

В порядке осуществления текущего контроля правильности решения задачи и исключения «зацикливания», в поиске оптимального её решения необходимо иметь в виду следующее:

– если в ключевом К – столбце все коэффициенты (a_ik) отрицательные, то решения задачи не существует;

– если в столбце свободных членов (ресурсов) имеются нули, то при последующем решении задачи может произойти зацикливание (вырождение). Для преодоления вырожденности плана нули заменяют на малые положительные числа, не оказывающие влияния на результаты решения задачи;

Если перечисленные условия контроля соблюдены, то это гарантирует получение оптимального решения задачи. Контроль оптимального плана осуществляется в процессе его анализа.

4 Модификация ограничений

Все ограничения задачи модифицируются согласно следующим правилам:

ограничения типа «≤» переводятся на равенства созданием дополнительной переменной с коэффициентом «+1». Эта модификация проводится и в однофазном симплекс-методе, дополнительные переменные в дальнейшем используются как исходный базис.

ограничения типа «≥» дополняются одной переменной с коэффициентом «−1». Поскольку такая переменная из-за отрицательного коэффициента не может быть использована в исходном базисе, необходимо создать ещё одну, вспомогательную, переменную. Вспомогательные переменные всегда создаются с коэффициентом «+1».

ограничения типа «=» дополняются одной вспомогательной переменной.

Соответственно, будет создано некоторое количество дополнительных и вспомогательных переменных. В исходный базис выбираются дополнительные переменные с коэффициентом «+1» и все вспомогательные. 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Симплекс-метод позволяет эффективно найти оптимальное решение, избегая простой перебор всех возможных угловых точек. Основной принцип метода: вычисления начинаются с какого-то «стартового» базисного решения, а затем ведется поиск решений, «улучшающих» значение целевой функции. Это возможно только в том случае, если возрастание какой-то переменной приведет к увеличению значения функционала.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Симплексный метод решения задач линейного программирования [Электронный ресурс]// Информационный ресурс studopedia – Режим доступа: https://studopedia.ru/22_110893_simpleksniy-metod-resheniya-zadach-lineynogo-programmirovaniya.html/, свободный – Загл. с экрана.

Метод симплекса [Электронный ресурс]// Информационный ресурс nauka – Режим доступа: https://nauka.club/matematika/metod-simpleksa.html/, свободный – Загл. с экрана.

Симплекс-метод [Электронный ресурс]// Информационный ресурс wikipedia – Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Симплекс-метод/, свободный – Загл. с экрана.

Подробный разбор симплекс-метода [Электронный ресурс]// Информационный ресурс habr –  Режим доступа:  https://habr.com/ru/post/474286/, свободный – Загл. с экрана.

Один из методов решения оптимизационных задач (как правило связанных с нахождением минимума или максимума) линейного программирования называется симплекс-методом. Симплекс-метод включает в себя целую группу алгоритмов и способов решения задач линейного программирования. Один из таких способов, предусматривающий запись исходных данных и их пересчет в специальной таблице, носит наименование табличного симплекс-метода.

Рассмотрим алгоритм табличного симплекс-метода на примере решения производственной задачи, которая сводится к нахождению производственного плана обеспечивающего максимальную прибыль.

Решение задачи табличным симплекс-методом

Решение задачи происходит в несколько последовательных этапов. Разберем их на небольшом примере производственной задачи.

1. Определение исходных данных

В нашем примере, по условиям задачи предприятие выпускает 4 вида изделий, обрабатывая их на 3 станках.

Исходные данные для производственной задачи запишем в формате матриц:

• Матрица A — нормы времени на обработку изделий;
• Матрица B — фонд времени работы станков;
• Матрица C — продажи производимых изделий.

Таким образом, нормы времени (мин./шт.) на обработку изделий на станках, заданы матрицей A:

Фонд времени работы станков (мин.) задан в матрице B:

Прибыль от продажи каждой единицы изделия (руб./шт.) задана матрицей C:

Кроме того, обозначим через X_i планируемое количество изделий каждого вида. Тогда искомый план: X₁, X₂, X₃, X₄.

2. Запись ограничений плана в виде системы неравенств

Запишем ограничения плана в виде системы неравенств:

Коэффициенты при переменных в левой части системы неравенств берем из матрицы A, значения из правой части — из матрицы B.

Неравенства задают для каждого станка ограничение на суммарное время обработки им всех видов изделий, которое не должно превышать соответствующий ему фонд времени (т. к. станок чисто физически не может проработать ни минутой больше).

Также добавляем условие, согласно которому переменные не могут быть меньше нуля, так как произвести отрицательное количество изделий невозможно.

3. Определение целевого показателя

В нашей задаче целевой показатель — прибыль, которую следует максимизировать путем составления оптимального плана производства.

Тогда целевая прибыль может быть записана через следующее равенство:

Коэффициенты при переменных берем из матрицы C. То есть мы перемножаем прибыль от производства единицы изделия каждого вида на их планируемое количество, для получения значения суммарной прибыли (которая должна быть максимальной).

4. Приведение системы неравенств к системе линейных уравнений

Для решения получившейся задачи на условный экстремум, заменим систему неравенств системой линейных уравнений путем ввода в нее дополнительных неотрицательных переменных (X₅, X₆, X₇).

Эти переменные являются фиктивными изделиями, на которые мы списываем неиспользованные остатки фондов времени работы станков.

5. Формирование опорного плана

Примем следующий опорный план (предварительный вариант, который в процессе решения задачи будет итерационно улучшаться):

X₁ = 0, X₂ = 0, X₃ = 0, X₄ = 0, X₅ = 252, X₆ = 144, X₇ = 80.

Здесь основным переменным (количеству изделий производимых в рамках плана) сопоставляем нулевые значения, а дополнительным (фиктивным) переменным — соответствующие величины фондов времени работы станков.

6. Составление симплекс-таблицы

Занесем исходные данные в специальную симплекс-таблицу.

В столбец Базис выписываем дополнительные переменные (X₅..X₇). В колонку H вносим величины фонда времени работы станков. В столбцы X₁..X₇ помещаем коэффициенты при этих переменных из составленной ранее системы уравнений (если переменных в уравнении нет, как например, X₆ и X₇ в первом равенстве, то коэффициенты будут равны 0). Кроме того, следует предусмотреть дополнительный столбец (b) для показателя, который мы будем рассчитывать на следующем этапе.

Количество строк в таблице соответствует числу дополнительных переменных (X₅..X₇). В последнюю строку (c) заносим коэффициенты при целевой функции с обратным знаком (коэффициенты при дополнительных переменных X₅..X₇ будут нулевыми).

7. Вычисление показателя b

Выбираем в последней строке наибольшее (по модулю!) отрицательное число.

В нашем примере это -48 (еще раз подчеркнем, что отрицательные числа сравниваем без учета знака).

Далее вычислим для столбца, которому соответствует выбранное число, специальный показатель b_i = Н_i / a_i, где a_i — значение ячейки выбранного столбца и соответствующей строки.

8. Нахождение разрешающего элемента

Среди вычисленных значений b выбираем наименьшее.

Пересечение выбранных столбца и строки даст нам разрешающий элемент (РЭ). Меняем базисную переменную (из первой колонки в выбранной строке) на переменную соответствующую разрешающему элементу (X₅ на X₁).

9. Перерасчет элементов симплекс-таблицы

Теперь необходимо пересчитать все элементы симплекс-таблицы, кроме столбца b (который очищается).

При перерасчете элементов симплекс-таблицы следует придерживаться следующих правил:

• Сам разрешающий элемент (РЭ) обращается в единицу;
• Для элементов разрешающей строки применяется формула: a_ij^* = a_ij / РЭ (то есть каждый элемент делим на значение разрешающего элемента и получаем новые данные);
• Для элементов разрешающего столбца — они просто обнуляются;
• Остальные элементы таблицы пересчитываем по правилу прямоугольника:

  

  Формула здесь следующая: a_ij^* = a_ij — ( A × B / РЭ )

  Как видите, мы берем пересчитываемую ячейку и ячейку с разрешающим элементом. Они образуют противоположные углы прямоугольника. Далее перемножаем значения из ячеек 2-х других углов этого прямоугольника. Это произведение (A × B) делим на разрешающий элемент (РЭ) и вычитаем из текущей пересчитываемой ячейки (a_ij) то, что получилось. В итоге имеем новое значение — a_ij^*.

Полученные в результате перерасчета значения заносим в новую симплекс-таблицу:

10. Проверяем последнюю строку симплекс-таблицы на наличие отрицательных чисел: если их нет — оптимальный план найден (п. 11), если есть — план требует улучшения (п. 7)

Вновь проверяем последнюю строку (c) на наличие отрицательных чисел. Если их нет — оптимальный план найден, переходим к последнему этапу решения задачи (пункт 11). Если есть — план еще не оптимален, и симплекс-таблицу вновь нужно пересчитать.

Так как у нас в последней строке снова имеются отрицательные числа, начинаем новую итерацию (повторение) вычислений с пункта 7.

В нашем примере мы снова ищем в последней строке наибольшее по модулю отрицательное число, вычисляем для соответствующего ему столбца показатель b, определяем разрешающий элемент, меняем базис и пересчитываем элементы симплекс-таблицы.

Пересчитав таблицу мы видим, что на сей раз в последней строке нет отрицательных чисел, следовательно оптимальный план (позволяющий получить максимальную прибыль) найден и можно переходить к завершающему пункту решения.

Еще раз обращаю ваше внимание, что отсутствие в последней строке отрицательных элементов указывает на то, что нами найден оптимальный план производства позволяющий получить максимально возможную прибыль при заданных условиях.

11. Определение производственного плана и вычисление общей прибыли

В соответствии с найденным планом (смотрим какие переменные перешли в колонку «Базис») выпускать мы будем изделия X₁ и X₂ (X₇ не учитываем, т. к. это фиктивное изделие, не производимое на предприятии и введенное для приведения системы неравенств к системе уравнений).

Прибыль от производства каждой единицы продукции нам известна (матрица C). Остается перемножить ее с найденными объемами выпуска изделий X₁ и X₂ (значения X₃ и X₄ нулевые, т. к. эти изделия производить оказалось невыгодно), для получения общей (максимально возможной!) прибыли.

Ответ План производства: X₁ = 32 шт., X₂ = 20 шт., X₃ = 0 шт., X₄ = 0 шт., общая прибыль: P = 48 × 32 + 33 × 20 = 2 196 руб.

Статья дополнена и доработана автором 5 ноя 2020 г.

© Копирование любых материалов статьи допустимо только при указании прямой индексируемой ссылки на источник: Галяутдинов Р.Р.