Как найти наиболее вероятное число случаев - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Учебник по теории вероятностей

1.8. Наивероятнейшее число успехов

Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям

Биномиальное распределение (распределение по схеме Бернулли) позволяет, в частности, установить, какое число появлений события $А$ наиболее вероятно. Формула для наиболее вероятного числа успехов $k$ (появлений события) имеет вид:

$$
np-q le k le np+p, quad q=1-p.
$$

Так как $np-q = np+p-1$, то эти границы отличаются на 1. Поэтому $k$, являющееся целым числом, может принимать либо одно значение, когда $np$ целое число ($k=np$) , то есть когда $np+p$ (а отсюда и $np-q$) нецелое число, либо два значения, когда $np-q$ целое число.

Бесплатный онлайн-калькулятор для расчета наиболее вероятного значения.

Примеры решений задач на наиболее вероятное число успехов

Пример. При автоматической наводке орудия вероятность попадания по быстро движущейся цели равна 0,9. Найти наивероятнейшее число попаданий при 50 выстрелах.

Решение. Здесь . Поэтому имеем неравенства:

Следовательно, .

Пример. Данные длительной проверки качества выпускаемых стандартных деталей показали, что в среднем брак составляет 7,5%. Определить наиболее вероятное число вполне исправных деталей в партии из 39 штук.

Решение. Обозначая вероятность выпуска исправной детали через , будем иметь и (получение бракованной детали и получение исправной детали — события противоположные). Так как здесь n=39, то искомое число можно найти из неравенств:

Отсюда наивероятнейшее число исправных деталей равно 36 или 37.

Неравенства для наивероятнейшего числа успехов $k$ позволяют решить и обратную задачу: по данному $k$ и известному значению $р$ определить общее число $n$ всех испытаний.

Пример. При каком числе выстрелов наивероятнейшее число попаданий равно 16, если вероятность попадания в отдельном выстреле составляет 0,7?

Решение. Здесь .

Составляем неравенства

откуда

Таким образом, число всех выстрелов здесь может быть 22 или 23.

Видео о решении задач о наивероятнейшем значение

Подробную статью о формуле с примерами, онлайн калькулятор и расчетный файл к видеоролику вы найдете тут.

Далее: Формула Пуассона
Назад: Независимые испытания. Формула Бернулли
Примеры на формулу Бернулли
Учебник по теории вероятностей
Скачать формулы по теории вероятностей

Вы можете заказать задачи по теории вероятности

Источник

Наивероятнейшее число наступления события

Краткая теория
Примеры решения задач
Задачи контрольных и самостоятельных работ

Краткая теория

Число наступлений события

, которому отвечает наибольшая вероятность,
называют наивероятнейшим числом наступления события

.
Если построен полигон распределения, то
наивероятнейшее число наступления события – это абсцисса наиболее высокой точки
полигона.

Пусть

– наивероятнейшее
число наступления события

, тогда

Отсюда:

Формула для определения наивероятнейшего числа

Итак, наивероятнейшее число

определяется двойным
неравенством:

Так как выражение

, то всегда существует целое число

, удовлетворяющее написанному выше двойному
неравенству. При этом если

– целое
число, то наивероятнейших чисел два.

Смежные темы решебника:

Формула Бернулли

Примеры решения задач

Пример 1

При
данном технологическом процессе 77% всей продукции – 1-го сорта. Найдите
наивероятнейшее число первосортных изделий из
220 изделий и вероятность этого события.

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Наивероятнейшее число первосортных изделий
найдем из двойного неравенства:

Воспользуемся

локальной теоремой Лапласа:

Вероятность
того, что в

независимых испытания, в каждом из которых
вероятность появления события равна

, событие наступит ровно

раз:

в нашем случае:

Искомая вероятность:

Ответ: Наивероятнейшее число
– 170, вероятность этого события – 0,064.

Пример 2

Вероятность
выигрыша в лотерею на один билет равна 0,3. Куплено 20 билетов. Найти
наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность.

Решение

Наивероятнейшее число выигравших билетов найдем из двойного неравенства:

Найдем
соответствующую вероятность. Для этого воспользуемся законом Бернулли:

Ответ:

Пример 3

Вероятность
появления события в каждом испытании равна 0,7. Сколько нужно провести
испытаний, чтобы наивероятнейшее число появлений события равнялось 10?

Решение

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Наивероятнейшее
число определяется двойным неравенством:

В нашем
случае:

Из
первого неравенства:

Из
второго неравенства:

Так как

– целое число, получаем,

Необходимо
провести 14 испытаний.

Ответ: 14 испытаний.

Пример 4

За смену
работник ГАИ проходит техосмотр 30 автомашин. Вероятность того, что
произвольная автомашина не пройдет техосмотр равна 0,1. Каково наивероятнейшее
число автомашин, не прошедших техосмотр в течение одной смены.

Решение

Для определения наивероятнейшего
числа автомашин,
не прошедших техосмотр в течение одной смены, воспользуемся двойным неравенством:

Искомое наивероятнейшее число не
прошедших техосмотр автомашин:

Ответ:

Задачи контрольных и самостоятельных работ

Задача 1

Вероятность
хотя бы одного попадания при двух выстрелах равна 0,84. Найти: а)
наивероятнейшее число попаданий в серии из семи выстрелов и модальную
вероятность; б) что вероятнее: три попадания при четырех выстрелах или шесть попаданий
при восьми?

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 2

Вероятность
получения с конвейера изделий 1 сорта равна 9/10. Определить вероятность того,
что из взятых на проверку 600 изделий 530 будут 1 сорта. Определить
наивероятнейшее число изделий первого сорта.

Задача 3

На ежегодную
вечеринку приглашены 12 человек, причем каждый из них может прийти с
вероятностью 0,7 независимо от других. Найти наиболее вероятное число гостей и
его вероятность.

Задача 4

Система
состоит из 6 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента
равна 0,3. Найти: а) наивероятнейшее число отказавших элементов; б) вероятность
наивероятнейшего числа отказавших элементов системы; в) вероятность отказа
системы, если для этого достаточно, чтобы отказали пять элементов.

Задача 5

При визите
страхового агента вероятность заключения договора равна 0,2. Найти
наивероятнейшее число заключенных договоров после 10 визитов и вероятность
того, что их будет заключено не больше найденного числа.

Задача 6

Страховой
агент при каждом визите заключает договор с вероятностью 30%. При каком числе
визитов наивероятнейшее число договоров будет равно 10?

Задача 7

Сколько надо
сделать выстрелов с вероятностью попадания в цель 0,7, чтобы наивероятнейшее
число попаданий в цель было равно 15?

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 8

Сколько раз надо
бросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число появлений четного числа
очков было равно 6?

Задача 9

Сколько раз
надо сыграть партии в шахматы с вероятностью победы в одной партии, равной 1/3,
чтобы наивероятнейшее число побед было равно 5?

Задача 10

Вероятность
сдачи студентом каждого из семи зачетов равна 0,3. Найти вероятность сдачи: а)
пяти зачетов; б) наивероятнейшего числа зачетов; в) хотя бы одного зачета.

Задача 11

Страховая
компания выплачивает страховку в среднем 15% от всех клиентов.

а) Найти
вероятность того, что из 8-ми клиентов страховку выплатит менее, чем 2-м
клиентам.

б) Найти
наивероятнейшее число клиентов, получивших страховку.

Задача 12

Применяемый
метод лечения в 80% случаев приводит к выздоровлению. Найти вероятность того,
что из четырех больных поправятся:

а) трое;

б) хотя
бы один;

в) найти
наивероятнейшее количество поправившихся больных и соответствующую этому
событию вероятность.

Задача 13

Вероятность
попадания в цель одним выстрелом равна 0,5. Производят пять выстрелов. Найти:
а) Распределение вероятностей числа попаданий; б) Наивероятнейшее число
попаданий; в) Вероятность, что попаданий будет не более двух.

Задача 14

Монету подбрасывают 9 раз. Какова
вероятность, что монета 6 раз упадет гербом вверх? Определите наивероятнейшее
число выпадения герба и вычислите вероятность этого события.

Задача 15

Имеется 20 ящиков
однородных деталей. Вероятность того, что в одном взятом наудачу ящике детали
окажется стандартными, равна 0,75. Найти наивероятнейшее число ящиков, в
которых все детали стандартные.

Краткая теория
Примеры решения задач
Задачи контрольных и самостоятельных работ

Источник

Биномиальное
распределение (распределение по схеме
Бернулли) позволяет, в частности,
установить, какое число появлений
события А наиболее
вероятно. Формула для наиболее
вероятного числа успехов (появлений
события) имеет вид:

Так
как ,
то эти границы отличаются на 1. Поэтому ,
являющееся целым числом, может принимать
либо одно значение, когда целое
число ()
, то есть когда (а
отсюда и )
нецелое число, либо два значения,
когда целое
число.

Пример. При
автоматической наводке орудия вероятность
попадания по быстро движущейся цели
равна 0,9. Найти наивероятнейшее число
попаданий при 50 выстрелах.

Решение. Здесь .
Поэтому имеем неравенства:

Следовательно, .

Пример. Данные
длительной проверки качества выпускаемых
стандартных деталей показали, что в
среднем брак составляет 7,5%. Определить
наиболее вероятное число вполне
исправных деталей в партии из 39 штук.

Решение. Обозначая
вероятность выпуска исправной детали
через ,
будем иметь и (получение
бракованной детали и получение исправной
детали — события противоположные). Так
как здесь n=39,
то искомое число можно найти из
неравенств:

Отсюда
наивероятнейшее число исправных деталей
равно 36 или 37.

Неравенства
для наивероятнейшего числа
успехов позволяют
решить и обратную задачу: по данному и
известному значению р определить
общее число n всех
испытаний.

Пример. При
каком числе выстрелов наивероятнейшее
число попаданий равно 16, если вероятность
попадания в отдельном выстреле составляет
0,7?

Решение. Здесь .

Составляем
неравенства

откуда

Таким
образом, число всех выстрелов здесь
может быть 22 или 23.

1.9. Формула Пуассона

При
большом числе испытаний n и
малой вероятности р формулой
Бернулли пользоваться неудобно,
например, вычислить
трудно. В этом случае для вычисления
вероятности того, что в n испытаниях
(n –
велико) событие произойдет k раз,
используют формулу
Пуассона:

–
среднее
число появлений события в n испытаниях.

Эта
формула дает удовлетворительное
приближение для и .
При больших рекомендуется
применять формулы
Лапласа (Муавра-Лапласа).
Cобытия, для которых применима формула
Пуассона, называют редкими,
так как вероятность их осуществления
очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).

Пример. Устройство
состоит из 1000 элементов, работающих
независимо один от другого. Вероятность
отказа любого элемента в течении
времени Т равна
0,002. Найти вероятность того, что за
время Т откажут
ровно три элемента.

Решение. По
условию дано: .

Искомая
вероятность

Пример. Завод
отправил на базу 500 изделий. Вероятность
повреждения изделия в пути 0,004. Найти
вероятность того, что в пути повреждено
меньше трех изделий.

Решение. По
условию дано: .

По
теореме сложения вероятностей

Пример. Магазин
получил 1000 бутылок минеральной воды.
Вероятность того, что при перевозке
бутылка окажется разбитой, равна 0,003.
Найти вероятность того, что магазин
получит более двух разбитых бутылок.

Решение. По
условию дано: .

Получаем:

Соседние файлы в папке 3 Семестр ИНФ

Источник

Содержание:

Среднее число успехов
Приближенные формулы Лапласа
Свойства функции Гаусса
График функции Гаусса приведен ниже
Свойства функции Лапласа
Оценка отклонения относительной частоты от вероятности.

Статистическая вероятность

Пусть – случайное событие, связанное с некоторым опытом. Предположим, что опыт произведен раз и при этом событие наступило в случаях. Составим отношение

– оно называется относительной частотой наступления события в рассматриваемой серии опытов.

В соответствии с рассуждениями предыдущего параграфа примем следующее определение.

Вероятность случайного события – это связанное с данным событием постоянное число, вокруг которого колеблется относительная частота наступления этого события в длинных сериях опытов.

Заметим, что устойчивость относительной частоты представляет собой одну из простейших закономерностей, проявляющихся в сфере “случайного”. Эта закономерность, в конечном счете, составляет основу всех приложений теории вероятностей к практике.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теории вероятности:

Приведенное выше определение часто называют “статистическим определением” вероятности. Оно не является, конечно, математическим в строгом смысле этого слова, так как невозможно экспериментально или с помощью мысленного опыта найти это число. Из предыдущего параграфа мы знаем, что частота случайного события в испытаниях Бернулли колеблется около вероятности, и с ростом числа испытаний вероятность фиксированного отклонения стремится к единице.

Но сам этот факт опирается на знание вероятности случайного события. Кроме того, в эксперименте надо будет остановиться на некотором конечном шаге, при этом получится только некоторое приближение неизвестной вероятности, которую мы так до конца и не узнаем.

Впрочем, сказанное еще не означает, что статистическое определение является чем-то лишним. Напротив, оно играет чрезвычайно важную роль, но не для самой теории, а для ее приложений. Всякий раз, когда мы найдем вероятности различных событий путем расчетов, практическое истолкование полученных вероятностей будет связано именно со статистическим определением.

Другими словами, если найденная путем некоторого расчета (по формулам теории вероятностей) вероятность события равна числу то реальная ценность этого результата состоит прежде всего в возможности такого предсказания: при большом числе опытов частота наступления события будет близка к

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример с решением

Пример 2.12.

Волчок приводится во вращение вокруг оси, после чего отпускается. Часть дискообразной поверхности волчка, допустим, некоторый сектор, содержащий угол (см. рис.), – закрашена. Событие – касание волчком пола (после остановки) в точке, принадлежащей закрашенной части. Все те же соображения “равноправия” (на этот раз между различными точками окружности) подсказывают нам, что число наступлений события будет составлять примерно такую же долю от числа всех опытов, какую составляет от иначе говоря, частота будет колебаться около числа Следовательно,

Заметим, что последний пример можно свести к схеме извлечения шара из урны. В самом деле, представим себе, что на окружности волчка каким-либо образом выделены промежутками в один градус 360 точек. Часть из них, допустим точек, приходится на закрашенный сектор. Пренебрегая дугами, меньшими Г, будем считать, что точка соприкосновения волчка с полом является одной из выделенных точек. Тогда рассматриваемый опыт можно уподобить извлечению одного шара из урны, в которой находятся 360 шаров, причем из них являются черными. Событие в такой интерпретации будет означать извлечение черного шара. Вероятность этого события равна ,

Наиболее вероятное число успехов.

Среднее число успехов

Если фиксированно, то превращается в некоторую функцию от аргумента принимающего значения 0, 1, 2, Поставим вопрос, при каком значении аргумента эта функция достигает максимума, проще говоря, какое из чисел является наибольшим? Итак, мы хотим выяснить, какое число успехов является наиболее вероятным при данном числе опытов

Из простых соображений можно предвидеть, что максимум достигается при значении близком к числу Действительно, поскольку вероятность успеха, или, что то же самое, вероятность события в одном опыте равна то при кратном повторении опыта можно ожидать, что частота наступления события будет близка к следовательно, скорее всего число наступлений события будет близко к

Подтвердим наше предположение расчетом.

Для этой цели рассмотрим два соседних числа

Между ними имеет место одно из трех соотношений:

(меньше, равно или больше) или, что эквивалентно,

Подставляя вместо числителя и знаменателя их выражения по формулам

и учитывая, что получим вместо (2.3) соотношения

или

Собирая все слагаемые с множителем и учитывая, что получим эквивалентные (2.3) соотношения

Таким образом, для всех значений меньших чем – 1 справедливо неравенство для (это возможно только в том случае, когда – целое число) имеет место равенство наконец, при выполняется неравенство Тем самым при значениях меньших функция возрастает, а при значениях больших убывает. Следовательно, если число не является целым, то функция имеет единственный максимум; он достигается при ближайшем к слева целом значении т.е. при таком целом которое заключено между

или

Если же – целое число, то два равных между собой максимума достигаются при На рисунке 2.1 представлен график функции для двух случаев: и Точки, из которых состоит график, во втором случае для большей наглядности соединены отрезками.

Итак, ответ на вопрос, поставленный в начале параграфа, заключается в следующем. Если число не является целым, то наиболее вероятное число успехов равно ближайшему к слева целому числу. В случае когда есть целое число, наиболее вероятное число успехов имеет два значения:

Отметим, что в любом случае наиболее вероятное число успехов отличается от меньше чем на единицу.

Примеры с решением

Пример 2.5.

Пусть игральную кость бросают 20 раз. Каково наиболее вероятное число выпадений грани “1”?

Решение:

В данном случае откуда Поскольку не является целым числом, то наибольшим среди чисел будет Следовательно, наиболее вероятное число выпадений грани “1” будет 3.

Найдем, чему равна вероятность такого числа выпадений.

По формуле Бернулли имеем:

При выяснении наиболее вероятного числа успехов в опытах мы имели возможность убедиться в особой роли, которую играет в схеме Бернулли число Эта роль заключалась в том, что одно из двух ближайших к целых чисел было наиболее вероятным числом успехов.

Оказывается, число допускает и другую интерпретацию, притом значительно более важную. А именно: можно рассматривать в определенном смысле как среднее число успехов в опытах. Точная формулировка, а также строгое доказательство этого утверждения будут даны позднее.

Пример 2.6.

В условиях данного предприятия вероятность брака равна 0,05. Чему равно среднее число бракованных изделий на сотню?

Решение:

Искомое число

Вероятности при больших значениях Приближенные формулы Лапласа

1°. В приложениях часто возникает необходимость в вычислении вероятностей для весьма больших значений Пусть, например, требуется решить такую задачу.

Пример 2.7.

На некотором предприятии вероятность брака равна 0,02. Обследуются 500 изделий готовой продукции. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 10 бракованных (нетрудно видеть, что при указанной выше вероятности брака число 10 есть наиболее вероятное число бракованных изделий из 500).

Решение:

Рассматривая обследование каждого изделия как отдельный опыт, можно сказать, что производится 500 независимых опытов, причем в каждом из них событие (изделие оказалось бракованным) наступает с вероятностью 0,02. По формуле Бернулли

Непосредственный подсчет этого выражения представляет известную сложность из-за громоздкости выражения.

Еще большую трудность нам пришлось бы испытать при попытке решить, например, такую задачу: в условиях последнего примера найти вероятность того, что число бракованных изделий среди 500 окажется в пределах, скажем, от 5 до 15. Поскольку событие – число бракованных изделий) равно сумме событий то искомая вероятность равна Подсчет такой суммы является достаточно трудным делом. Между тем задачи, подобные указанной, встречаются в приложениях весьма часто. Поэтому возникает необходимость в отыскании приближенных формул для вероятностей а также для сумм вида

при больших значениях Мы укажем четыре формулы такого рода. Первые две из них мы приведем без доказательства – эти приближенные формулы принадлежат Лапласу и основаны на так называемых предельных теоремах Лапласа. Две другие приближенные формулы носят имя Пуассона и основаны на предельной теореме Пуассона (см. § 2.5). Название “предельная” в обоих случаях связано с тем, что упомянутые теоремы устанавливают поведение вероятностей (или сумм вида (2.6)) при определенных условиях, в число которых обязательно входит условие

Приближенные формулы Лапласа

Первая из этих формул дает оценку для вероятности при больших Эту формулу называют обычно “локальной”.

Локальная приближенная формула Лапласа. При больших справедливо приближенное равенство

где обозначает следующую функцию:

Заметим, что для функции называемой функцией Гаусса, составлена таблица ее значений.

Свойства функции Гаусса

1. – четная функция:

2. принимает только положительные значения и имеет единственный максимум при

3. обладает свойством нормированности:

Из этих свойств нуждается в пояснении только последнее. Оно следует из вычисления следующего несобственного интеграла, которое выполняется в курсе математического анализа:

График функции Гаусса приведен ниже

Обоснованием формулы (2.7) является, как уже отмечалось, одна из так называемых предельных формул Лапласа; рассматривать ее здесь мы не будем. Таким образом, формулу (2.7) мы примем без доказательства.

Вторая приближенная формула Лапласа тесно связана с первой. Ее обычно называют “интегральной”. Эта формула позволяет оценивать не отдельные вероятности а суммы

Иначе говоря, она дает приближенное выражение для величины – вероятности того, что число наступлений события опытах (число “успехов”) окажется заключенным между заданными границами

Интегральная приближенная формула Лапласа. При больших п справедливо приближенное равенство

где обозначает следующую функцию:

Формулу (2.8) мы также примем без доказательства.

Остановимся на свойствах функции называемой функцией Лапласа.

Свойства функции Лапласа

1. – нечетная функция:

2. При возрастании аргумента от 0 до функция возрастает от нуля до 0,5. Для доказательства свойства 1 запишем выражение для

и выполним замену переменной при этом нижний предел интегрирования не изменится, а верхний станет равным Таким образом,

Производная функции равна функции Гаусса которая принимает только положительные значения, поэтому функция Лапласа возрастает на всей области определения. Легко видеть, что

последнее свойство следует из четности и нормированности функции Гаусса.

График изображен ниже.

Функция табулирована; таблица ее значений приведена в конце книги. Из таблицы можно видеть, что уже при значение

отличается от меньше чем на По этой причине в таблице указаны значения лишь для в пределах от 0 до 4.

По поводу “точности” формул (2.7) и (2.8) мы укажем здесь только следующее: точность существенно зависит от взаимоотношения величин Более определенно: точность улучшается с ростом произведения Обычно формулами (2.7) и (2.8) пользуются, когда Отсюда, между прочим, видно, что чем ближе одно из чисел или к нулю (другое число в этом случае близко к единице), тем большим следует брать Поэтому в случае близости одной из величин к нулю формулами (2.7) и (2.8) обычно не пользуются; для этого случая значительно более точными являются приближенные формулы Пуассона (см. следующий параграф).

Пример 2.8.

Монету бросают 100 раз. Какова вероятность того, что при этом герб выпадет ровно 50 раз?

Решение:

Имеем: Воспользовавшись приближенной формулой

(2.7), получим:

Из таблицы для функции найдем, что Отсюда

Итак, если выполнить опыт, состоящий в 100 бросаниях монеты, то вероятность того, что герб выпадет ровно 50 раз, равна 0,08.

Пример 2.9.

Доведем до конца решение задачи из п. 1°, в которой требовалось найти а также вероятность события

Решение:

В данном случае

Воспользовавшись приближенными формулами (2.7) и (2.8), получим:

Из таблиц для функций находим: Отсюда

Отметим, что точные значения, полученные на компьютере по формуле Бернулли, равны

Мы видим, что точность формул (2.7) и (2.8) в данном случае вполне удовлетворительна.

Пример 2.10.

У страховой компании имеется 12 тыс. клиентов. Каждый из них, страхуясь от несчастного случая, вносит 10 тыс. руб. Вероятность несчастного случая а выплата пострадавшему составляет 1 млн руб. Какая прибыль обеспечивается страховой компании с вероятностью 0,995? *

Иначе говоря, на какую прибыль может рассчитывать страховая компания при уровне риска 0,005?

Решение:

Суммарный взнос всех клиентов равен Прибыль П компании зависит от числа несчастных случаев и определяется равенством

Наша задача – найти такое число чтобы вероятность события не превосходила 0,005; тогда с вероятностью 0,995 будет обеспечена прибыль 120 000 – 10- М тыс. руб.

Неравенство равнозначно Учитывая, что можем уточнить последнее неравенство:

Для оценки вероятности воспользуемся интегральной приближенной формулой Лапласа при (в данном случае Имеем

где Итак, необходимо найти при котором

или По таблице значений функции находим, что должно быть не меньше чем 2,58:

следовательно, Итак, с вероятностью 0,995 компании гарантируется прибыль

Оценка отклонения относительной частоты от вероятности.

Начнем снова с примера.

Пример 2.11.

Игральную кость бросают 100 раз. Пусть обозначает выпадение грани “1” и число наступлений события при 100 бросаниях. Вообще говоря, дробь относительная частота наступления события – будет близка к (вероятности события при одном бросании).

Решение:

Однако сколь тесной окажется эта близость, предугадать невозможно. Поставим следующую задачу: оценить вероятность события

т.е. вероятность того, что относительная частота наступления события в 100 опытах отклонится от вероятности события не более чем на 0,05.

Отложим на время решение этого примера и поставим задачу в общем виде. В условиях схемы Бернулли с заданными значениями постараемся для данного оценить вероятность события

где, как и раньше, число успехов в опытах. Неравенство (2.10) эквивалентно т.е.

или, что то же самое,

Таким образом, речь идет о получении оценки для вероятности события

где

Применяя приближенную формулу (2.8), получим для данного случая

С учетом нечетности функции Лапласа приходим к приближенному равенству

Приближенная формула (2.11) дает оценку вероятности того, что относительная частота наступления события опытах отклонится от вероятности события в одном опыте не больше чем на Возвращаясь к примеру 2.7 из начала этого параграфа, получим, в частности С помощью таблицы значений функции Лапласа найдем, что это число равно 0,68… . Иными словами вероятность того, что количество выпадений герба в 100 бросаниях будет колебаться от 45 до 55, равна 0,68.

Заметим, что при фиксированном и увеличении числа бросаний указанная вероятность все время увеличивается. Данную тенденцию можно проследить по следующей таблице.

Для вероятность того, что число выпадений герба будет колебаться в пределах от 450 до 550, равна 0,998. Это означает, что данное событие можно считать практически достоверным.

Заметим, что в равенстве (2.11) предел правой части при равен 1, поскольку Таким образом, с ростом становится сколь угодно достоверным факт, что относительная частота случайного события отличается от вероятности меньше чем на где произвольно малая величина.

На данном наблюдении основана статистическая интерпретация вероятностиу которая представляет собой чисто практический подход к самому понятию вероятности.

Лекции:

Случайные векторы
Биномиальный закон
Равномерный закон
Закон Пуассона
Показательный закон
Найти вероятность что среди: пример решения
Теория вероятности: формулы, примеры
Схема Бернулли теория вероятности
Формула Пуассона теория вероятности
Формула лапласа

Источник

Повторные независимые испытания.
Схема и формула Бернулли

Определение повторных независимых испытаний. Формулы Бернулли для вычисления вероятности и наивероятнейшего числа. Асимптотические формулы для формулы Бернулли (локальная и интегральная, теоремы Лапласа). Использование интегральной теоремы. Формула Пуассона, для маловероятных случайных событий.

Повторные независимые испытания

На практике приходится сталкиваться с такими задачами, которые можно представить в виде многократно повторяющихся испытаний, в результате каждого из которых может появиться или не появиться событие . При этом интерес представляет исход не каждого “отдельного испытания, а общее количество появлений события в результате определенного количества испытаний. В подобных задачах нужно уметь определять вероятность любого числа появлений события в результате испытаний. Рассмотрим случай, когда испытания являются независимыми и вероятность появления события в каждом испытании постоянна. Такие испытания называются повторными независимыми.

Примером независимых испытаний может служить проверка на годность изделий, взятых по одному из ряда партий. Если в этих партиях процент брака одинаков, то вероятность того, что отобранное изделие будет бракованным, в каждом случае является постоянным числом.

Формула Бернулли

Воспользуемся понятием сложного события, под которым подразумевается совмещение нескольких элементарных событий, состоящих в появлении или непоявлении события в –м испытании. Пусть проводится независимых испытаний, в каждом из которых событие может либо появиться с вероятностью , либо не появиться с вероятностью q=1-p . Рассмотрим событие B_m , состоящее в том, что событие в этих испытаниях наступит ровно раз и, следовательно, не наступит ровно (n-m) раз. Обозначим $A_i~(i=1,2,ldots,{n})$ появление события , a $overline{A}_i$ — непоявление события в –м испытании. В силу постоянства условий испытания имеем

$begin{gathered}P{A_1}=P{A_2}=cdots=P{A_n}=p,\P{overline{A}_1}=P{overline{A}_2}=cdots=P{overline{A}_n}=1-p=qend{gathered}$

Событие может появиться раз в разных последовательностях или комбинациях, чередуясь с противоположным событием overline{A} . Число возможных комбинаций такого рода равно числу сочетаний из элементов по , т. е. C_n^m . Следовательно, событие B_m можно представить в виде суммы сложных несовместных между собой событий, причем число слагаемых равно C_n^m :

$B_m=A_1A_2cdots{A_m}overline{A}_{m+1}cdotsoverline{A}_n+cdots+overline{A}_1overline{A}_2cdotsoverline{A}_{n-m}A_{n-m+1}cdots{A_n},$

(3.1)

где в каждое произведение событие входит раз, а overline{A} — (n-m) раз.

Вероятность каждого сложного события, входящего в формулу (3.1), по теореме умножения вероятностей для независимых событий равна $p^{m}q^{n-m}$ . Так как общее количество таких событий равно C_n^m , то, используя теорему сложения вероятностей для несовместных событий, получаем вероятность события B_m (обозначим ее $P_{m,n}$ )

$P_{m,n}=C_n^mp^{m}q^{n-m}quad text{or}quad P_{m,n}=frac{n!}{m!(n-m)!}p^{m}q^{n-m}.$

(3.2)

Формулу (3.2) называют формулой Бернулли, а повторяющиеся испытания, удовлетворяющие условию независимости и постоянства вероятностей появления в каждом из них события , называют испытаниями Бернулли, или схемой Бернулли.

Пример 1. Вероятность выхода за границы поля допуска при обработке деталей на токарном станке равна 0,07. Определить вероятность того, что из пяти наудачу отобранных в течение смены деталей у одной размеры диаметра не соответствуют заданному допуску.

Решение. Условие задачи удовлетворяет требования схемы Бернулли. Поэтому, полагая n=5,,m=1,,p=0,!07 , по формуле (3.2) получаем

$P_{1,5}=C_5^1(0,!07)^{1}(0,!93)^{5-1}approx0,!262.$

Пример 2. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность того, что из случайно взятых в этом месяце 8 дней 3 дня окажутся дождливыми?

Решение.

$P_{3;8}=C_8^3{left(frac{12}{30}right)!}^3{left(1-frac{12}{30}right)!}^{8-3}=frac{8!}{3!(8-3)!}{left(frac{2}{5}right)!}^3{left(frac{3}{5}right)!}^5=56cdotfrac{8}{125}cdotfrac{243}{3125}=frac{108,864}{390,625}approx0,!2787.$

Наивероятнейшее число появлений события

Наивероятнейшим числом появления события в независимых испытаниях называется такое число m_0 , для которого вероятность, соответствующая этому числу, превышает или, по крайней мере, не меньше вероятности каждого из остальных возможных чисел появления события . Для определения наивероятнейшего числа не обязательно вычислять вероятности возможных чисел появлений события, достаточно знать число испытаний и вероятность появления события в отдельном испытании. Обозначим $P_{m_0,n}$ вероятность, соответствующую наивероятнейшему числу m_0 . Используя формулу (3.2), записываем

$P_{m_0,n}=C_n^{m_0}p^{m_0}q^{n-m_0}=frac{n!}{m_0!(n-m_0)!}p^{m_0}q^{n-m_0}.$

(3.3)

Согласно определению наивероятнейшего числа, вероятности наступления события соответственно m_0+1 и m_0-1 раз должны, по крайней мере, не превышать вероятность $P_{m_0,n}$ , т. е.

$P_{m_0,n}geqslant{P_{m_0+1,n}};quad P_{m_0,n}geqslant{P_{m_0-1,n}}$

Подставляя в неравенства значение $P_{m_0,n}$ и выражения вероятностей $P_{m_0+1,n}$ и $P_{m_0-1,n}$ , получаем

$begin{gathered}frac{n!}{m_0!(n-m_0)!}p^{m_0}q^{n-m_0}geqslantfrac{n!}{(m_0+1)!(n-m_0-1)!}p^{m_0+1}q^{n-m_0-1}\\frac{n!}{m_0!(n-m_0)!}p^{m_0}q^{n-m_0}geqslantfrac{n!}{(m_0-1)!(n-m_0+1)!}p^{m_0-1}q^{n-m_0+1}end{gathered}$

Решая эти неравенства относительно m_0 , получаем

$m_0geqslant{np-q},quad m_0leqslant{np+p}$

Объединяя последние неравенства, получаем двойное неравенство, которое используют для определения наивероятнейшего числа:

$np-qleqslant{m_0}leqslant{np+p}.$

(3.4)

Так как длина интервала, определяемого неравенством (3.4), равна единице, т. е.

(np+p)-(np-q)=p+q=1,

и событие может произойти в испытаниях только целое число раз, то следует иметь в виду, что:

1) если np-q — целое число, то существуют два значения наивероятнейшего числа, а именно: m_0=np-q и m'_0=np-q+1=np+p ;

2) если np-q — дробное число, то существует одно наивероятнейшее число, а именно: единственное целое, заключенное между дробными числами, полученными из неравенства (3.4);

3) если — целое число, то существует одно наивероятнейшее число, а именно: m_0=np .

При больших значениях пользоваться формулой (3.3) для расчета вероятности, соответствующей наивероятнейшему числу, неудобно. Если в равенство (3.3) подставить формулу Стирлинга

$n!approx{n^ne^{-n}sqrt{2pi{n}}},$

справедливую для достаточно больших , и принять наивероятнейшее число m_0=np , то получим формулу для приближенного вычисления вероятности, соответствующей наивероятнейшему числу:

$P_{m_0,n}approxfrac{n^ne^{-n}sqrt{2pi{n}},p^{np}q^{nq}}{(np)^{np}e^{-np}sqrt{2pi{np}},(nq)^{nq}e^{-nq}sqrt{2pi{nq}}}=frac{1}{sqrt{2pi{npq}}}=frac{1}{sqrt{2pi}sqrt{npq}}.$

(3.5)

Пример 2. Известно, что $frac{1}{15}$ часть продукции, поставляемой заводом на торговую базу, не удовлетворяет всем требованиям стандарта. На базу была завезена партия изделий в количестве 250 шт. Найти наивероятнейшее число изделий, удовлетворяющих требованиям стандарта, и вычислить вероятность того, что в этой партии окажется наивероятнейшее число изделий.

Решение. По условию $n=250,,q=frac{1}{15},,p=1-frac{1}{15}=frac{14}{15}$ . Согласно неравенству (3.4) имеем

$250cdotfrac{14}{15}-frac{1}{15}leqslant{m_0}leqslant250cdotfrac{14}{15}+frac{14}{15}$

откуда $233,!26leqslant{m_0}leqslant234,!26$ . Следовательно, наивероятнейшее число изделий, удовлетворяющих требованиям стандарта, в партии из 250 шт. равно 234. Подставляя данные в формулу (3.5), вычисляем вероятность наличия в партии наивероятнейшего числа изделий:

$P_{234,250}approxfrac{1}{sqrt{2picdot250cdotfrac{14}{15}cdotfrac{1}{15}}}approx0,!101$

Локальная теорема Лапласа

Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях очень трудно. Например, если n=50,,m=30,,p=0,!1 , то для отыскания вероятности $P_{30,50}$ надо вычислить значение выражения

$P_{30,50}=frac{50!}{30!cdot20!}cdot(0,!1)^{30}cdot(0,!9)^{20}$

Естественно, возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую вероятность, не используя формулу Бернулли? Оказывается, можно. Локальная теорема Лапласа дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления событий ровно раз в испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Теорема 3.1. Если вероятность появления события в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность $P_{m,n}$ того, что событие появится в испытаниях ровно раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше ) значению функции

$y=frac{1}{sqrt{npq}}frac{e^{-x^2/2}}{sqrt{2pi}}=frac{varphi(x)}{sqrt{npq}}$ при $x=frac{m-np}{sqrt{npq}}$ .

Существуют таблицы, которые содержат значения функции $varphi(x)=frac{1}{sqrt{2pi}},e^{-x^{2}/2}$ , соответствующие положительным значениям аргумента . Для отрицательных значений аргумента используют те же таблицы, так как функция четна, т. е. varphi(-x)=varphi(x) .

Итак, приближенно вероятность того, что событие появится в испытаниях ровно раз,

$P_{m,n}approxfrac{1}{sqrt{npq}},varphi(x),$ где $x=frac{m-np}{sqrt{npq}}$ .

Пример 3. Найти вероятность того, что событие наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления события в каждом испытании равна 0,2.

Решение. По условию n=400,,m=80,,p=0,!2,,q=0,!8 . Воспользуемся асимптотической, формулой Лапласа:

$P_{80,400}approxfrac{1}{sqrt{400cdot0,!2cdot0,!8}},varphi(x)=frac{1}{8},varphi(x).$

Вычислим определяемое данными задачи значение :

$x=frac{m-np}{sqrt{npq}}=frac{80-400cdot0,!2}{8}=0.$

По таблице прил, 1 находим varphi(0)=0,!3989 . Искомая вероятность

$P_{80,100}=frac{1}{8}cdot0,!3989=0,!04986.$

Формула Бернулли приводит примерно к такому же результату (выкладки ввиду их громоздкости опущены):

$P_{80,100}=0,!0498.$

Интегральная теорема Лапласа

Предположим, что проводится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна . Необходимо вычислить вероятность $P_{(m_1,m_2),n}$ того, что событие появится в испытаниях не менее m_1 и не более m_2 раз (для краткости будем говорить “от m_1 до m_2 раз”). Это можно сделать с помощью интегральной теоремы Лапласа.

Теорема 3.2. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то приближенно вероятность $P_{(m_1,m_2),n}$ того, что событие появится в испытаниях от m_1 до m_2 раз,

$P_{(m_1,m_2),n}approxfrac{1}{sqrt{2pi}}intlimits_{x'}^{x''}e^{-x^2/2},dx,$ где $x'=frac{m_1-np}{sqrt{npq}};~x''=frac{m_2-np}{sqrt{npq}}$ .

При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа, пользуются специальными таблицами, так как неопределенный интеграл $int{e^{-x^2/2},dx}$ не выражается через элементарные функции. Таблица для интеграла $Phi(x)=frac{1}{sqrt{2pi}}intlimits_{0}^{x}e^{-z^2/2},dz$ приведена в прил. 2, где даны значения функции Phi(x) для положительных значений , для x<0 используют ту же таблицу (функция Phi(x) нечетна, т. е. Phi(-x)=-Phi(x) ). Таблица содержит значения функции Phi(x) лишь для xin[0;5] ; для x>5 можно принять Phi(x)=0,!5 .

Итак, приближенно вероятность того, что событие появится в независимых испытаниях от m_1 до m_2 раз,

$P_{(m_1,m_2),n}approxPhi(x'')-Phi(x'),$ где $x'=frac{m_1-np}{sqrt{npq}};~x''=frac{m_2-np}{sqrt{npq}}$ .

Пример 4. Вероятность того, что деталь изготовлена с нарушениями стандартов, p=0,!2 . Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей нестандартных окажется от 70 до 100 деталей.

Решение. По условию p=0,!2,,q=0,!8,,n=400,,m_1=70,,m_2=100 . Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

$P_{(70,100),400}approxPhi(x'')-Phi(x').$

Вычислим пределы интегрирования:

нижний

$x'=frac{m_1-np}{sqrt{npq}}=frac{70-400cdot0,!2}{sqrt{400cdot0,!2cdot0,!8}}=-1,!25,$

верхний

$x''=frac{m_2-np}{sqrt{npq}}=frac{100-400cdot0,!2}{sqrt{400cdot0,!2cdot0,!8}}=2,!5,$

Таким образом

$P_{(70,100),400}approxPhi(2,!5)-Phi(-1,!25)=Phi(2,!5)+Phi(1,!25).$

По таблице прил. 2 находим

Phi(2,!5)=0,!4938;~~~~~Phi(1,!25)=0,!3944.

Искомая вероятность

$P_{(70,100),400}=0,!4938+0,!3944=0,!8882.$

Применение интегральной теоремы Лапласа

Если число (число появлений события при независимых испытаниях) будет изменяться от m_1 до m_2 , то дробь $frac{m-np}{sqrt{npq}}$ будет изменяться от $frac{m_1-np}{sqrt{npq}}=x'$ до $frac{m_2-np}{sqrt{npq}}=x''$ . Следовательно, интегральную теорему Лапласа можно записать и так:

$Pleft{x'leqslantfrac{m-np}{sqrt{npq}}leqslant{x''}right}=frac{1}{sqrt{2pi}}intlimits_{x'}^{x''}e^{-x^2/2},dx.$

(3.6)

Поставим задачу найти вероятность того, что отклонение относительной частоты $frac{m}{n}$ от постоянной вероятности по абсолютной величине не превышает заданного числа varepsilon>0 . Другими словами, найдем вероятность осуществления неравенства $left|frac{m}{n}-pright|leqslantvarepsilon$ , что то же самое, $-varepsilonleqslantfrac{m}{n}-pleqslantvarepsilon$ . Эту вероятность будем обозначать так: $Pleft{left|frac{m}{n}-pright|leqslantvarepsilonright}$ . С учетом формулы (3.6) для данной вероятности получаем

$Pleft{left|frac{m}{n}-pright|leqslantvarepsilonright}approx2Phileft(varepsilon,sqrt{frac{n}{pq}}right).$

(3.7)

Пример 5. Вероятность того, что деталь нестандартна, p=0,!1 . Найти вероятность того, что среди случайно отобранных 400 деталей относительная частота появления нестандартных деталей отклонится от вероятности p=0,!1 по абсолютной величине не более чем на 0,03.

Решение. По условию n=400,,p=0,!1,,q=0,!9,,varepsilon=0,!03 . Требуется найти вероятность $Pleft{left|frac{m}{400}-0,!1right|leqslant0,!03right}$ . Используя формулу (3.7), получаем

$Pleft{left|frac{m}{400}-0,!1right|leqslant0,!03right}approx2Phileft(0,!03sqrt{frac{400}{0,!1cdot0,!9}}right)=2Phi(2)$

По таблице прил. 2 находим Phi(2)=0,!4772 , следовательно, 2Phi(2)=0,!9544 . Итак, искомая вероятность приближенно равна 0,9544. Смысл полученного результата таков: если взять достаточно большое число проб по 400 деталей в каждой, то примерно в 95,44% этих проб отклонение относительной частоты от постоянной вероятности p=0,!1 по абсолютной величине не превысит 0,03.

Формула Пуассона для маловероятных событий

Если вероятность наступления события в отдельном испытании близка к нулю, то даже при большом числе испытаний , но при небольшом значении произведения получаемые по формуле Лапласа значения вероятностей $P_{m,n}$ оказываются недостаточно точными и возникает потребность в другой приближенной формуле.

Теорема 3.3. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна, но мала, число независимых испытаний достаточно велико, но значение произведения np=lambda остается небольшим (не больше десяти), то вероятность того, что в этих испытаниях событие наступит раз,

$P_{m,n}approxfrac{lambda^m}{m!},e^{-lambda}.$

Для упрощения расчетов с применением формулы Пуассона составлена таблица значений функции Пуассона $frac{lambda^m}{m!},e^{-lambda}$ (см. прил. 3).

Пример 6. Пусть вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,004. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется 5 нестандартных.

Решение. Здесь n=1000,p=0,004,~lambda=np=1000cdot0,!004=4 . Все три числа удовлетворяют требованиям теоремы 3.3, поэтому для нахождения вероятности искомого события $P_{5,1000}$ применяем формулу Пуассона. По таблице значений функции Пуассона (прил. 3) при lambda=4;m=5 получаем $P_{5,1000}approx0,!1563$ .

Найдем вероятность того же события по формуле Лапласа. Для этого сначала вычисляем значение , соответствующее m=5 :

$x=frac{5-1000cdot0,!004}{sqrt{1000cdot0,!004cdot0,!996}}approxfrac{1}{1,!996}approx0,!501.$

Поэтому согласно формуле Лапласа искомая вероятность

$P_{5,1000}approxfrac{varphi(0,!501)}{1,!996}approxfrac{0,!3519}{1,!996}approx0,!1763$

а согласно формуле Бернулли точное ее значение

$P_{5,1000}=C_{1000}^{5}cdot0,!004^5cdot0,!996^{995}approx0,!1552.$

Таким образом, относительная ошибка вычисления вероятностей $P_{5,1000}$ по приближенной формуле Лапласа составляет

$frac{0,!1763-0,!1552}{0,!1552}approx0,!196$ , или 13,!6%

а по формуле Пуассона —

$frac{0,!1563-0,!1552}{0,!1552}approx0,!007$ , или 0,!7%

т.е. во много раз меньше.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Учебник по теории вероятностей

1.8. Наивероятнейшее число успехов

Примеры решений задач на наиболее вероятное число успехов

Видео о решении задач о наивероятнейшем значение

Наивероятнейшее число наступления события

Краткая теория

Формула для определения наивероятнейшего числа

Примеры решения задач

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Пример 4

Задачи контрольных и самостоятельных работ

1.9. Формула Пуассона

Пример с решением

Пример 2.12.

Среднее число успехов

Примеры с решением

Пример 2.5.

Пример 2.6.

Пример 2.7.

Приближенные формулы Лапласа

Свойства функции Гаусса

График функции Гаусса приведен ниже

Свойства функции Лапласа

Пример 2.8.

Пример 2.9.

Пример 2.10.

Оценка отклонения относительной частоты от вероятности.

Пример 2.11.

Повторные независимые испытания.Схема и формула Бернулли

Повторные независимые испытания

Формула Бернулли

Наивероятнейшее число появлений события

Локальная теорема Лапласа

Интегральная теорема Лапласа

Применение интегральной теоремы Лапласа

Формула Пуассона для маловероятных событий

Вам также может понравиться

Как найти песни группы серебро

Как найти размер картинки в пикселях

Как в ворде найти слово целиком

Добавить комментарий Отменить ответ

Повторные независимые испытания.
Схема и формула Бернулли