Как найти наиболее вероятную скорость молекул газа - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Наиболее вероятная, среднеквадратичная и средняя арифметическая скорости молекул газа

Рассмотрим, как изменяется с абсолютной
величиной скорости число частиц,
приходящихся на единичный интервал
скоростей, при единичной концентрации
частиц.

График функции распределения Максвелла

приведен
на рисунке 2.6.

Рис.
2.6

Из
графика видно, что при «малых» υ,
т.е. при

,
имеем

;
затем

достигает максимума А
и далее экспоненциально спадает

.

Величину
скорости, на которую приходится максимум
зависимости

,
называют
наиболее вероятной скоростью.

Найдем
эту скорость из условия равенства
производной

.

, (2.3.6)

– наиболее
вероятная скорость одной молекулы.

Для
одного моля газа:

. (2.3.7)

Среднюю
квадратичную скорость
найдем, используя соотношение

– для одной молекулы. (2.3.8)

– для одного моля газа. (2.3.9)

Средняя
арифметическая скорость:

где

– число молекул со скоростью от υ
до

.
Если подставить сюда f(υ)
и вычислить, то получим:

–
для одной молекулы. (2.3.10)

–
для одного моля газа. (2.3.11)

Все
три скорости незначительно отличаются
друг от друга множителем порядка единицы,
причем

Формула Максвелла для относительных скоростей

Для
решения многих задач удобно использовать
формулу Максвелла, где скорость выражена
в относительных единицах.

Относительную
скорость обозначим через u:

(2.3.13)

где

.
Тогда из (2.3.3), получим

. (2.3.14)

Это
уравнение универсальное. В
таком виде функция
распределения
не зависит ни от рода газа, ни от
температуры.

На
рисунке 2.7 показано максвелловское
распределение частиц f(υ),
имеющих скорости от υ до

За единицу скорости здесь взята наиболее
вероятная скорость.

Полезно
знать, что

Рис.
2.7

Зависимость функции распределения Максвелла от массы молекул и температуры газа

На
рисунке 2.8 показана зависимость

при различных температурах и массах
молекул газа.

Рис.
2.8

Из
рисунка 2.8 можно проследить за изменением

при изменении m
и T.
В данном случае

(при

)
или

(при

).
Площадь
под кривой величина постоянная,
равная единице (
),
поэтому важно знать как будет изменяться
положение максимума кривой:

кроме
того

Максвелловский
закон распределения по скоростям и все
вытекающие следствия справедливы только
для газа в равновесной системе. Закон
статистический, и выполняется тем лучше,
чем больше число молекул.

Барометрическая формула

Рассмотрим
ещё один очень важный закон.

Атмосферное
давление на какой-либо высоте h
обусловлено весом слоёв газа, лежащих
выше. Пусть P
– давление на высоте h,
а

–
на высоте

(рис. 2.9).

Рис.
2.9

Причём

,
а dР
< 0, так как на большей высоте давление
меньше. Разность давления

равна весу газа, заключённого в объёме
цилиндра с площадью основания равного
единице и высотой dh.

Т.к.

где


плотность газа на высоте h,
медленно убывающая с высотой, то можно
записать:

или

Проинтегрировав
это выражение, получим:

где
С
– произвольная постоянная.

В
силу произвольности, примем, что С
= Р₀
– давление на высоте
.
Отсюда, после потенцирования, получаем
барометрическую формулу:

(2.4.1)

Из
формулы (2.4.1) следует, что P
убывает с высотой тем быстрее, чем
тяжелее газ (чем больше μ) и чем ниже
температура (например, на больших высотах
концентрация легких газов Не и Н₂
гораздо больше, чем у поверхности Земли).

На
рисунке 2.10 изображены две кривые, которые
можно трактовать, либо как соответствующие
разным μ (при одинаковой Т),
либо как отвечающие разным Т,
при одинаковых μ.

Таким
образом, чем тяжелее
газ (больше μ) и чем ниже
температура, тем быстрее
убывает давление.

Рис.
2.10

Пусть идеальный газ находится в поле
консервативных сил в условиях теплового
равновесия. При этом концентрация газа
будет различной в точках с различной
потенциальной энергией, что необходимо
для соблюдения условий механического
равновесия. Так, число молекул в единичном
объеме n убывает с
удалением от поверхности Земли, и
давление, в силу соотношения

,
падает.

Если известно число молекул в единичном
объеме, то известно и давление, и наоборот.
Давление и плотность пропорциональны
друг другу, поскольку температура в
нашем случае постоянна. Давление с
уменьшением высоты должно возрастать,
потому что нижнему слою приходится
выдерживать вес всех расположенных
сверху атомов.

Исходя
из основного уравнения молекулярно-кинетической
теории:

,
заменим P
и P₀
в барометрической формуле (2.4.1) на n
и n₀
и получим распределение
Больцмана
для молярной массы газа:

(2.5.1)

где
n₀
и n

число молекул в единичном объёме на
высоте h
= 0 и h.

Так
как

а

,
то (2.5.1) можно представить в виде

(2.5.2)

С
уменьшением температуры число молекул
на высотах, отличных от нуля, убывает.
При

тепловое движение прекращается, все
молекулы расположились бы на земной
поверхности. При высоких температурах,
наоборот, молекулы оказываются
распределёнными по высоте почти
равномерно, а плотность молекул медленно
убывает с высотой. Так как

– это потенциальная энергия U,
то на разных высотах

– различна. Следовательно, (2.5.2)
характеризует распределение частиц по
значениям потенциальной энергии:

, (2.5.3)

– это
закон распределения частиц по потенциальным
энергиям – распределение Больцмана.
Здесь n₀
– число молекул в единице объёма там,
где

.

На
рисунке 2.11 показана зависимость
концентрации различных газов от высоты.
Видно, что число более тяжелых молекул
с высотой убывает быстрее, чем легких.

Рис.
2.11

Из
(2.5.3) можно получить, что отношение
концентраций молекул в точках с U₁
и U₂
равно:

. (2.5.4)

Больцман
доказал, что соотношение (2.5.3) справедливо
не только в потенциальном поле сил
гравитации, но и в любом потенциальном
поле, для совокупности любых одинаковых
частиц, находящихся в состоянии
хаотического теплового движения.

В
п. 2.3 мы получили выражение для распределения
молекул по скоростям (распределение
Максвелла):

Из
этого выражения легко найти
распределение молекул газа по значениям
кинетической энергии
K.
Для этого перейдём от переменной υ
к переменной

:

где
dn(K)
– число молекул, имеющих кинетическую
энергию поступательного движения,
заключённую в интервале от K
до

Отсюда получим функцию
распределения молекул по энергиям
теплового движения:

(2.6.1)

Средняя
кинетическая энергия

молекулы идеального газа:

то
есть получаем результат, совпадающий
с прежним результатом, полученным в п.
1.3.

Итак,
закон Максвелла даёт распределение
частиц по значениям кинетической
энергии, а закон Больцмана – распределение
частиц по значениям потенциальной
энергии. Оба распределения можно
объединить в единый закон
Максвелла – Больцмана:

. (2.6.2)

Здесь
n₀
– число молекул в единице объёма в той
точке, где

– полная энергия.

В
последнем выражении, потенциальная и
кинетическая энергии, а следовательно
и полная энергия Е,
могут принимать непрерывный ряд значений.
Если же энергия частицы может принимать
лишь дискретный ряд значений Е₁,
Е₂…,
(как это имеет место, например, для
внутренней энергии атома), то в этом
случае распределение Больцмана имеет
вид:

, (2.6.3)

где
N_i
– число частиц, находящихся в состоянии
с энергией Е_i,
а А
– коэффициент пропорциональности,
который должен удовлетворять условию

где
N
– полное число частиц в рассматриваемой
системе.

Тогда
окончательное выражение распределения
Максвелла – Больцмана для случая
дискретных значений энергий
будет иметь вид:

(2.6.4)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Функция плотности распределения для 10⁶ молекул кислорода при −100, 20, 600 градусах Цельсия

Распределе́ние Ма́ксвелла — общее наименование нескольких распределений вероятности, которые описывают статистическое поведение параметров частиц идеального газа. Вид соответствующей функции плотности вероятности диктуется тем, какая величина: скорость частицы, проекция скорости, модуль скорости, энергия, импульс и т. д. — выступает в качестве непрерывной случайной величины. В ряде случаев распределение Максвелла может быть выражено как дискретное распределение по множеству уровней энергии.

Наиболее значимое распределение Максвелла записывается для модуля скорости частицы в непрерывном случае и имеет плотность:

${displaystyle f_{v}(x)=Bx^{2}exp left[-beta x^{2}right],,(xgeq 0)}$

и ${displaystyle f_{v}(x)=0,,(x<0),}$

где — формальная переменная, фактор beta >0 определяется типом частиц и температурой, а множитель подбирается в зависимости от beta для обеспечения нормировки. Именно это выражение считается максвелловским распределением в математике, хотя для других параметров частиц аналитический вид распределения Максвелла будет иным.

Распределение Максвелла лежит в основе кинетической теории газов, объясняющей многие фундаментальные свойства газов, включая давление и диффузию. С его помощью вычисляются средние и наиболее вероятные скорости и энергии молекул газа. Оно также применимо для описания электронных процессов переноса и других явлений в физике и химии. Распределение Максвелла может быть получено при помощи статистической механики (см. происхождение статсуммы). Данное распределение является реализующимся с наивысшей вероятностью распределением изучаемого параметра.

Сфера применения распределения Максвелла[править | править код]

Требования к описываемой системе, примеры[править | править код]

Вопрос о применимости распределения Максвелла к конкретной системе равносилен вопросу о том, может ли эта система считаться идеальным газом с достаточной точностью. При этом система должна

состоять из большого числа частиц и находиться в термодинамическом равновесии;
являться изотропной;
являться классической, то есть релятивистские и квантовые эффекты должны быть малы;
быть столкновительно-доминируемой (взаимодействие частиц допускается лишь в случае, когда оно зависит только от относительного положения частиц, в частности, допускаются абсолютно упругие соударения).

Такой набор требований удовлетворяется в первую очередь в газах, например в воздухе, при обычных условиях. Распределение Максвелла применимо к множеству свойств индивидуальных молекул в газе. В первую очередь о нём обычно думают, как о распределении энергий молекул в газе, но оно может применяться к распределению скоростей и других параметров молекул. Чаще всего оно является непрерывным распределением по континууму изменения случайного параметра.

Во многих случаях, однако, условие доминирования упругих соударений над всеми другими процессами не выполняется даже приблизительно. Так, в физике ионосферы и космической плазмы, большое значение имеют процессы рекомбинации и столкновительного возбуждения (то есть излучательные процессы), в особенности для электронов. Использование распределения Максвелла в этом случае не только дало бы количественно неверные результаты, но и привело бы к качественно неправильной интерпретации соответствующих процессов.

Условия классического рассмотрения[править | править код]

В случаях, где квантовая дебройлева длина волны частиц газа не является малой по сравнению с расстоянием между частицами, наблюдаются отклонения от распределения Максвелла из-за квантовых эффектов. Поэтому важен вопрос о границах применимости классического рассмотрения.

Соотношение неопределённостей (нередко упрощённо записываемое в форме ${displaystyle Delta xcdot Delta p_{x}sim h,}$ где ${displaystyle Delta p_{x}}$ — неопределённости координаты и -проекции импульса, — постоянная Планка) имеет трёхмерный аналог вида где обозначает характерный линейный размер зоны локализации частицы. Чтобы неопределённости в координате и импульсе не играли роли и могла применяться классическая, а не квантовая механика, должно выполняться соотношение:

${displaystyle V^{1/3}cdot pgg h,}$

где — объём, на который в среднем приходится одна частица, равный обратной концентрации $n^{{-1}}$ частиц газа. Если возвести обе части в квадрат, получится:

${displaystyle n^{-{frac {2}{3}}}h^{-2}p^{2}gg 1.}$

Учитывая, что ${displaystyle p^{2}=2mE}$ и беря в качестве характерного значения энергии величину придём к:

${displaystyle Tgg {frac {n^{frac {2}{3}}h^{2}}{3mk}}=T_{deg}qquad }$

( ${displaystyle T_{deg}}$

— температура вырождения, а

— масса частицы).

При температурах ниже ${displaystyle T_{deg}}$ распределение Максвелла неприменимо.

Распределение Максвелла по состояниям[править | править код]

Распределение Максвелла можно записать как дискретное распределение по множеству состояний молекулы, нумеруемых символом :

${displaystyle {frac {N_{i}}{N}}={frac {exp left(-E_{i}/kTright)}{sum _{j}^{}{exp left(-E_{j}/kTright)}}}}$

Через $E_{i}$ и $N_{i}$ обозначены энергия молекулы в -м состоянии и число таких молекул соответственно, — температура системы, — общее число молекул в системе и — постоянная Больцмана. (Бывает, что вышеупомянутое уравнение записывается с множителем g_i , обозначающим степень вырождения энергетических уровней. В этом случае нумерует не состояния, а энергии и сумма будет по энергиям, а не по состояниям). Поскольку скорость связана с энергией, последнее уравнение может использоваться для получения связи между температурой и скоростями молекул в газе. Знаменатель известен как каноническая статистическая сумма.

Разновидности непрерывного распределения Максвелла[править | править код]

Представленный в этом разделе вывод распределений Максвелла, естественный для современной учебно-методической литературы, отличается от вывода, предложенного самим Джеймсом Клерком Максвеллом и позже описанного с меньшим количеством предположений Людвигом Больцманом. Исторический вывод будет приведён в конце статьи.

Распределение по вектору импульса[править | править код]

В случае идеального газа из невзаимодействующих молекул вся энергия находится в форме кинетической энергии. Кинетическая энергия соотносится с импульсом частицы как:

${displaystyle E={frac {p^{2}}{2m}}}$

где $p^{2}$ — квадрат вектора импульса ${displaystyle mathbf {p} =[p_{x},p_{y},p_{z}]}$ , тогда

${displaystyle {frac {N_{i}}{N}}={frac {1}{Z}}exp left[{frac {-(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2})}{2mkT}}right]}$

где — статсумма, соответствующая знаменателю выражения для ${displaystyle N_{i}/N}$ из предыдущего раздела, — масса молекулы.

Если уровни энергии расположены достаточно густо, факт дискретности становится непринципиальным и можно считать, что энергии распределены непрерывно. Тогда отношение ${displaystyle N_{i}/N}$ пропорционально функции плотности вероятности ${displaystyle f_{mathbf {p} }}$ нахождения молекулы в состоянии с этими значениями компонент импульса. Таким образом:

${displaystyle f_{mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})={frac {C}{Z}}exp left[{frac {-(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2})}{2mkT}}right]}$

Постоянная определяется из условия нормировки, в соответствии с которым вероятность того, что молекулы имеют какой-либо вообще импульс, должна быть равна единице. Поэтому интеграл ${displaystyle f_{mathbf {p} }}$ по всем значениям ${displaystyle p_{x},,p_{y}}$ и $p_{z}$ должен быть равен единице. Можно показать, что

${displaystyle iiint limits _{-infty }^{+infty }{frac {1}{Z}}exp left[{frac {-(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2})}{2mkT}}right],dp_{x},dp_{y},dp_{z}={frac {1}{Z}}left(2pi mkTright)^{3/2}}$

Таким образом, чтобы интеграл имел значение 1 необходимо, чтобы

${displaystyle C={frac {Z}{({sqrt {2pi mkT}})^{3}}}}$

Подставляя такое в уравнение для ${displaystyle f_{mathbf {p} }}$ и используя тот факт, что ${displaystyle p_{i}=mv_{i}}$ , мы получим:

${displaystyle f_{mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})={sqrt {left({frac {1}{2pi mkT}}right)^{3}}}exp left[{frac {-(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2})}{2mkT}}right]}$

Распределение по вектору скорости[править | править код]

Учитывая, что плотность распределения по скоростям ${displaystyle f_{mathbf {v} }}$ пропорциональна плотности распределения по импульсам:

$f_{{mathbf {v}}}d^{3}v=f_{{mathbf {p}}}left({frac {dp}{dv}}right)^{3}d^{3}v$

и используя , получим:

${displaystyle f_{mathbf {v} }(v_{x},v_{y},v_{z})={sqrt {left({frac {m}{2pi kT}}right)^{3}}}exp left[{frac {-m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{2kT}}right]}$

что является распределением Максвелла по трём декартовым проекциям скоростей. Вероятность обнаружения частицы в бесконечно малом элементе ${displaystyle dv_{x},,dv_{y},,dv_{z}}$ около скорости ${displaystyle mathbf {v} =[v_{x},v_{y},v_{z}]}$ равна:

${displaystyle f_{mathbf {v} }left(v_{x},v_{y},v_{z}right)dv_{x}dv_{y}dv_{z}}$

Распределение по проекции скорости[править | править код]

Распределение Максвелла для вектора скорости ${displaystyle [v_{x},v_{y},v_{z}]}$ — является произведением распределений для каждого из трёх направлений:

${displaystyle f_{v}left(v_{x},v_{y},v_{z}right)=f_{v}(v_{x})f_{v}(v_{y})f_{v}(v_{z}),}$

где распределение по одному направлению:

${displaystyle f_{v}(v_{i})={sqrt {frac {m}{2pi kT}}}exp left[{frac {-mv_{i}^{2}}{2kT}}right]}$

Это распределение имеет форму нормального распределения. Как и следует ожидать для покоящегося газа, средняя скорость в любом направлении равна нулю.

Распределение по модулю импульса[править | править код]

Интегрируя, мы можем найти распределение по абсолютной величине импульса:

${displaystyle f_{p}=int _{theta =0}^{pi }int _{phi =0}^{2pi }~f_{mathbf {p} }p^{2}sin(theta ),dtheta ,dphi =4pi {sqrt {left({frac {1}{2pi mkT}}right)^{3}}}~p^{2}exp left[{frac {-p^{2}}{2mkT}}right].}$

Распределение по энергии[править | править код]

Наконец, используя соотношения ${displaystyle p^{2}=2,mE}$ и ${displaystyle f_{E},dE=f_{p},dp}$ , мы получаем распределение по кинетической энергии:

${displaystyle f_{E}=f_{p}{frac {dp}{dE}}={frac {2pi }{sqrt {(pi kT)^{3}}}}{sqrt {E}}{}~exp left[{frac {-E}{kT}}right].}$

Распределение по модулю скорости[править | править код]

Часто более интересно распределение по абсолютному значению, а не по проекциям скоростей молекул. Модуль скорости, определяется как

${displaystyle v={sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}$

он всегда неотрицателен. Так как все $v_{i}$ распределены нормально, v^2 будет иметь хи-квадрат распределение с тремя степенями свободы. Если f(v) — функция плотности вероятности для модуля скорости, то

$fleft(vright)dv=P(chi ^{2}|3)dchi ^{2}$

где ${displaystyle chi ^{2}=mv^{2}/kT}$ . Таким образом, функция плотности вероятности для модуля скорости равна

${displaystyle f(v)dv=4pi v^{2}left({frac {m}{2pi kT}}right)^{3/2}exp left({frac {-mv^{2}}{2kT}}right)dv}$

Вид функции f(v) соответствует приведённому в преамбуле с тем отличием, что там используется формальная переменная ради большей математической общности.

Характерные скорости молекул идеального газа[править | править код]

Уравнение для даёт распределение скоростей, или, другими словами, долю молекул, имеющих специфическую скорость. Но часто более интересны другие величины. Ниже будут определены наиболее вероятная, средняя и среднеквадратичная скорости.

Наиболее вероятная скорость[править | править код]

Наиболее вероятная скорость, v_p , — скорость, вероятность обладания которой любой молекулой системы максимальна и которая соответствует максимальному значению плотности вероятности распределения f(v) (а значит, соответствует моде этого распределения). Чтобы найти её, необходимо вычислить , приравнять нулю и решить относительно :

${displaystyle {frac {df(v)}{dv}}=left({frac {m}{2pi kT}}right)^{3/2}exp left(-mv^{2}/2kTright)left[8pi v+4pi v^{2}(-mv/kT)right]=0}$

${displaystyle v_{p}={sqrt {frac {2kT}{m}}}={sqrt {frac {2RT}{mu }}}}$

где — масса рассматриваемой частицы, — молярная масса.

Средняя скорость[править | править код]

${displaystyle langle vrangle =int limits _{0}^{infty }v,f(v),dv}$

Подставляя f(v) и интегрируя, мы получим

${displaystyle langle vrangle ={sqrt {frac {8kT}{pi m}}}={sqrt {frac {8RT}{pi mu }}}}$

Среднеквадратичная скорость[править | править код]

${displaystyle langle v'^{2}rangle =int limits _{0}^{infty }v^{2},f(v),dv}$

Подставляя f(v) и интегрируя, мы получим:

${displaystyle {sqrt {langle v'^{2}rangle }}={sqrt {frac {3kT}{m}}}={sqrt {frac {3RT}{mu }}}}$

Исторический вывод распределения Максвелла[править | править код]

Получим теперь формулу распределения так, как это делал сам Максвелл^[1]^[2].

Рассмотрим пространство скоростных точек (каждую скорость молекулы представляем как точку (скоростную точку) в системе координат ${displaystyle Ov_{x}v_{y}v_{z}}$ в стационарном состоянии газа. Выберем бесконечно малый элемент объёма ${displaystyle dv_{x}dv_{y}dv_{z}}$ . Так как газ стационарный, количество скоростных точек в ${displaystyle dv_{x}dv_{y}dv_{z}}$ остается неизменным с течением времени. Пространство скоростей изотропно, поэтому функции плотности вероятности для всех направлений одинаковы.

${displaystyle dP(v_{x})=varphi (v_{x})dv_{x}qquad dP(v_{y})=varphi (v_{y})dv_{y}qquad dP(v_{z})=varphi (v_{z})dv_{z}}$

Максвелл предположил, что распределения скоростей по направлениям статистически независимы, то есть компонента ${displaystyle v_{x}}$ скорости молекулы не зависит от – и – компонент.

${displaystyle dP(v_{x},v_{y},v_{z})=underbrace {varphi (v_{x})varphi (v_{y})varphi (v_{z})} _{f(v)}dv_{x}dv_{y}dv_{z}}$

— фактически вероятность нахождения скоростной точки в объёме ${displaystyle dv_{x}dv_{y}dv_{z}}$

${displaystyle f(v)=varphi (v_{x})varphi (v_{y})varphi (v_{z})}$

${displaystyle ln f(v)=ln varphi (v_{x})+ln varphi (v_{y})+ln varphi (v_{z})quad {bigg |}quad {frac {partial }{partial v_{x}}}}$

${displaystyle {frac {f'(v)}{f(v)}}{frac {partial v}{partial v_{x}}}={frac {varphi '(v_{x})}{varphi (v_{x})}}}$

${frac {partial v}{partial v_{x}}}={frac {v_{x}}{v}}$

${displaystyle {frac {1}{v}}{frac {f'(v)}{f(v)}}={frac {1}{v_{x}}}{frac {varphi '(v_{x})}{varphi (v_{x})}}}$

Правая часть не зависит от $v_{y}$ и $v_{z}$ , значит и левая от $v_{y}$ и $v_{z}$ не зависит. Однако $v_{x}$ и $v_{y}$ равноправны, следовательно левая часть не зависит также и от $v_{x}$ . Значит данное выражение может лишь равняться некоторой константе.

${displaystyle {frac {1}{v}}{frac {f'(v)}{f(v)}}=-alpha }$

${displaystyle {frac {varphi '(v_{x})}{varphi (v_{x})}}=-alpha v_{x}}$

${displaystyle varphi (v_{x})=Ae^{-{frac {alpha {v_{x}}^{2}}{2}}}}$

${displaystyle int limits _{-infty }^{infty }varphi (v_{x}),dv_{x}=1qquad Rightarrow qquad Aint limits _{-infty }^{infty }e^{-{frac {alpha {v_{x}}^{2}}{2}}},dv_{x}=A,{sqrt {frac {2}{alpha }}},{sqrt {pi }}=1qquad Rightarrow qquad A={sqrt {frac {alpha }{2pi }}}}$

${displaystyle varphi (v_{x})={sqrt {frac {alpha }{2pi }}}e^{-{frac {alpha {v_{x}}^{2}}{2}}}}$

Теперь нужно сделать принципиальный шаг — ввести температуру. Кинетическое определение температуры (как меры средней кинетической энергии движения молекул):

${displaystyle leftlangle {frac {mv^{2}}{2}}rightrangle ={frac {3}{2}}kT,}$

где ${displaystyle k=1{,}380649cdot 10^{-23}}$ Дж/К — постоянная Больцмана.

${displaystyle v={sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}.}$

Ввиду равноправия всех направлений:

${displaystyle langle v_{x}^{2}rangle =langle v_{y}^{2}rangle =langle v_{z}^{2}rangle ={frac {1}{3}}langle v^{2}rangle ={frac {kT}{m}}.}$

Чтобы найти среднее значение ${displaystyle v_{x}^{2}}$ , проинтегрируем её вместе с функцией плотности вероятности от минус до плюс бесконечности:

${displaystyle {frac {kT}{m}}=int limits _{-infty }^{infty }{v_{x}}^{2},varphi (v_{x}),dv_{x}={sqrt {frac {alpha }{2pi }}},int limits _{-infty }^{infty }v_{x}^{2},e^{-{frac {alpha {v_{x}}^{2}}{2}}},dv_{x}=}$

${displaystyle qquad ={sqrt {frac {alpha }{2pi }}}left[-2,{frac {d}{dalpha }},int limits _{-infty }^{infty }e^{-{frac {alpha {v_{x}}^{2}}{2}}},dv_{x}right]=-2,{sqrt {frac {alpha }{2pi }}},{frac {delta }{delta alpha }}{sqrt {frac {2pi }{alpha }}}=-2{sqrt {alpha }}(-{frac {1}{2}}alpha ^{-{frac {3}{2}}})={frac {1}{alpha }}.}$

Отсюда найдём alpha :

${displaystyle alpha ={frac {m}{kT}}.}$

Функция распределения плотности вероятности для ${displaystyle v_{x}}$ (для ${displaystyle v_{y}}$ и ${displaystyle v_{z}}$ аналогично):

${displaystyle varphi (v_{x})=left({frac {m}{2pi kT}}right)^{frac {1}{2}},e^{-{frac {mv_{x}^{2}}{2kT}}}.}$

Теперь рассмотрим распределение по величине скорости. Вернемся в пространство скоростных точек. Все точки с модулем скорости лежат в шаровом слое радиуса и толщины , и ${displaystyle dv_{x}dv_{y}dv_{z}}$ — объём элемента этого шарового слоя.

${displaystyle dP(v_{x},v_{y},v_{z})=varphi (v_{x})varphi (v_{y})varphi (v_{z})dv_{x}dv_{y}dv_{z}}$

${displaystyle underbrace {dP(v_{x},v_{y},v_{z})} _{dP(v)}=left({frac {m}{2pi kT}}right)^{frac {3}{2}},e^{-{frac {mv_{x}^{2}+mv_{y}^{2}+mv_{z}^{2}}{2kT}}}underbrace {dv_{x}dv_{y}dv_{z}} _{4pi v^{2}dv}}$

${displaystyle dP(v)=underbrace {4pi ,left({frac {m}{2pi kT}}right)^{frac {3}{2}},v^{2},e^{-{frac {mv^{2}}{2kT}}}} _{F(v)}dv}$

Таким образом, мы получили функцию плотности вероятности , являющуюся распределением Максвелла.

См. также[править | править код]

Статистика Бозе — Эйнштейна
Статистика Ферми — Дирака
Статистика Максвелла — Больцмана
Опыт Ламмерта
Опыт Штерна
Распределение Гиббса
Распределение Бозе — Эйнштейна
Распределение Ферми — Дирака

Примечания[править | править код]

↑ teach-in. Караваев В. А. – Молекулярная физика – Предельные случаи биномиального распределения (26 июля 2017). Дата обращения: 3 марта 2019.
↑ teach-in. Караваев В. А. – Молекулярная физика – Распределение Максвелла (26 июля 2017). Дата обращения: 3 марта 2019.

Ссылки[править | править код]

http://www.falstad.com/gas/

Источник

Определение 1

С помощью закона распределения молекул по скоростям мы можем описать, как именно в макроскопической системе происходит распределение частиц (при условии ее нахождения в термодинамическом равновесии). Такое распределение называется стационарным, и воздействия внешних сил на систему при этом не происходит.

Данный закон распространяется как на жидкости, так и на газы, если на них действуют законы классической механики. Если мы знаем, как именно распределяются молекулы по своим скоростям, значит, мы можем ответить, какой объем молекул имеет определенную скорость в условиях заданной температуры в равновесном состоянии.

Чтобы лучше объяснить данный вопрос, начнем с введения такого понятия, как пространство скоростей. Оно изображено схематически на рисунке 1.

Рисунок 1

Мы видим, что в декартовой системе координат здесь отмечены именно проекции скоростей, а не координаты. Тогда исходный вопрос можно переформулировать так: “Как именно будут распределяться молекулы в пространстве скоростей”?

Очевидно, что данное распределение не будет равномерным. Если в пространстве мы выделим параллелепипед, имеющий объем dω=dυxdυydυz, то в нем окажется dNυ молекул. Обозначим буквой N число молекул газа, тогда f(v) будет некоторой функцией скорости.

Распределение Максвелла

Поскольку, как мы уже отмечали, газ находится в равновесном состоянии, то направления движений частиц являются равноправными. Значит, допустимо считать, что в пространстве скоростей распределение молекул является симметричным и имеет сферическую форму.

Рисунок 2

Определим, из скольких молекул состоит шаровой слой dυ. Разделим найденное выше число на количество частиц (N) и получим вероятность dWυ того, что пределы модуля скорости молекулы равны υ – υ+dv.

Здесь F(v) является функцией распределения вероятности значения v. Впервые данная функция теоретически была получена Д. Максвеллом.

Определение 2

Таким образом, закон распределения молекул по модулям скоростей имеет следующий вид:

dNυ=N4πm02πkT32exp-m0υ22kTυ2dυ.

Здесь υ=υx2+υy2+υz2, масса молекулы равна m0, а k – постоянная Больцмана.

По проекциям скоростей распределение Максвелла может быть записано так:

dN=Nfυxfυyfυzdυxdυydυz.

Важно учесть, что:

fυi=m02πkT12exp-m0υi22kT (i=x,y,z).

Параметры υx, υy, υz означают проекции скоростей молекул на оси координат.

Также возможен следующий вариант записи распределения Максвелла:

dN=N4πυver3exp-υυver2υ2dυ.

Здесь υυer обозначает наиболее вероятную скорость движения молекулы.

Как выглядит распределение Максвелла на графике

Кривая распределения молекул по скоростям на графике выглядит так:

Рисунок 3

При этом доля тех молекул, которые движутся со скоростями в интервале от υ до υ+dυ будет пропорциональна площади dS, которая на графике обозначена штриховкой.

Определение 3

Скорости всех молекул принадлежат интервалу от нуля до плюс бесконечности, значит, будет верным равенство:

∫0∞f(υ)dυ=1.

Оно называется условием нормировки функции распределения.

Следовательно, распределение Максвелла по скоростям имеет зависимость от температуры газа и массы его молекул. Объем и давление можно не учитывать.

Пример 1

Условие: вычислите, какова будет наиболее вероятная скорость молекул газа при температуре Т в равновесном состоянии.

Решение

Нам потребуется распределение Максвелла (распределение по модулям скоростей).

dNυ=N4πm02πkT32exp-m0υ22kTυ2dυ.

Максимум функции будет соответствовать самой вероятной скорости. Дифференциация выражения по скорости и сравнение ее с нулем даст нам следующий результат:

dNυdυ=N4πm02πkT322υυerexp-m0υυer22kT-υυer2m02υυer2kTexp-m0υυer22kT=0;

2υυer-υυer2m02υυer2kT=0→1-υυer2m02kT=0→υυer2=2kTm0.

υυer=2kTm0.

Ответ: наиболее вероятно, что скорость газа будет равна υυer=2kTm0.

Пример 2

Условие: изобразите кривые распределения скоростей молекул газа при росте температуры Т.

Решение

Возьмем формулу наиболее вероятной скорости из предыдущей задачи.

υυer=2kTm0

Понятно, что чем больше будет температура, тем выше будет скорость молекул, т.е. произойдет смещение максимума в сторону больших скоростей. Поскольку площадь под кривой распределения является постоянной величиной, кривые на графике будут показаны следующим образом:

Рисунок 4

Пример 3

Условие: дан график функции, по которой молекулы будут распределяться с учетом проекций скорости υx. Сопоставьте количества молекул, проекции скорости которых будут принадлежать интервалам от нуля до υx1 и от υx1 до υx2.

Рисунок 5

Решение

Как мы уже указывали ранее, доля молекул газа, скорости которых лежат в первом интервале, будет пропорциональна площади фигуры, образуемой кривой распределения, вертикальной осью 0 1NdNdυx и вертикальным пунктиром, перпендикулярным оси проекций. Во втором интервале нужная доля будет пропорциональна площади фигуры, ограниченной кривой распределения и вертикальной прямой, параллельной оси ох и проходящей через точку υx1. Очевидно, что площадь первой фигуры будет меньше площади второй. Значит, и молекул, проекции скоростей которых лежат в первом интервале, будет меньше, чем во втором.

Ответ: молекул, имеющих проекции скорости в интервалах: от 0 до υx1 меньше, чем молекул, имеющих проекции скорости в интервалах: от υx1 до υx2.

Источник

Наиболее вероятная скорость молекул — это скорость, вблизи которой на единичный интервал скоростей приходится наибольшее число молекул

$Large upsilon _v=sqrt{frac{2RT}{M}}=sqrt{frac{2kT}{m}}$

Данная формула вытекает из распределения Максвелла. Наиболее вероятная скорость, как показал он, зависит от температуры газа и массы молекул

Что бы получить из первой формулы скорости молекулы вторую, надо сделать всего две замены, расписать универсальную газовую постоянную, как , и молярную массу , то у нас получится из этой формулы:

$Large upsilon _v=sqrt{frac{2RT}{M}}$

Вот такая вот формула:

$Large upsilon _v=sqrt{frac{2kT}{m}}$

В Формуле мы использовали :

— Наиболее вероятная скорость молекул

$k=1.38cdot10^{-23}$ — Постоянная Больцмана

— Температура

— Масса одной молекулы

— Универсальная газовая постоянная

— Молярная масса

— Количество вещества

$N_a=6,02cdot10^{23}$ — Число Авогадро

Источник

Андрей Геннадьевич Блохин

Эксперт по предмету «Физика»

Задать вопрос автору статьи

Закон распределения молекул по скоростям

Закон распределения молекул по скоростям описывает распределение частиц макроскопической системы при условии, что эта система находится в состоянии термодинамического равновесия, распределение является стационарным и внешние силы на систему не действуют. Данное распределение выполняется как для газов, так и жидкостей, если в них можно использовать законы классической механики.

Определить, каким образом распределены молекулы по скоростям, — это значит ответить на вопрос: «сколько молекул имеет ту или иную скорость при заданной температуре в состоянии равновесия?» Для разъяснения вопроса введем понятие: «пространство скоростей» (рис.1). В таком пространстве на декартовых осях отложены не координаты, а проекции скоростей.

Сделаем домашку
с вашим ребенком за 380 ₽

Уделите время себе, а мы сделаем всю домашку с вашим ребенком в режиме online

Бесплатное пробное занятие

*количество мест ограничено

Рис. 1

В таком случае поставленный вопрос изменится на вопрос о том, как распределены молекулы в пространстве скоростей. Понятно, что молекулы распределены неравномерно.

Если в пространстве скоростей выделить параллелепипед объема $dw=dv_xdv_ydv_z$, тогда количество молекул, которые попадут в него $dN_v.$ Предположим, что N- количество молекул газа, $f(v)$- некоторая функция скорости. Тогда

Распределение Максвелла

Как было отмечено, газ находится в состоянии равновесия, все направления движения частиц равноправны, следовательно, распределение молекул в пространстве скоростей можно считать сферически симметричным (рис.2).

Рис. 2

Найдем число молекул в шаровом слое $dv$:

Разделим (2) на число частиц (N) и найдем вероятность$ (dW_v)$ того, что модуль скорости молекулы находится в пределах от $v до v+dv$:

«Закон распределения молекул по скоростям» 👇

где $Fleft(vright)$- функция распределения вероятности значения $v. $Эту функцию теоретически получил Д. Максвелл.

Таким образом, распределение молекул по скоростям (вернее их модулям) запишем как:

[dN_v=N4pi {left(frac{m_0}{2pi kT}right)}^{frac{3}{2}}expleft(-frac{m_0v^2}{2kT}right)v^2dv left(5right),]

при этом $v=sqrt{{v_x}^2+{v_y}^2+{v_z}^2}$, $m_0$- масса молекулы, k — постоянная Больцмана.

Можно записать распределение Максвелла по проекциям скоростей:

[dN=Nfleft(v_xright)fleft(v_yright)fleft(v_zright)dv_xdv_ydv_{z }left(6right),]

при этом

[fleft(v_iright)={left(frac{m_0}{2pi kT}right)}^{frac{1}{2}}expleft(-frac{m_0{v_i}^2}{2kT}right) left(i=x,y,zright)left(7right),]

где $v_x,v_y,v_{z }$ – проекции скорости молекулы на оси координат.

Еще один из вариантов написания распределения Максвелла по модулям скоростей представлен в виде:

[dN=Nfrac{4}{sqrt{pi }{v_{ver}}^3}{exp left(-{left[frac{v}{v_{ver}}right]}^2v^2right) }dvleft(8right),]

где $v_{ver}$ — вероятнейшая скорость молекулы.

Рис. 3

На рисунке 3 изображена кривая закона распределения молекул по скоростям. Доля молекул газа, скорости которых лежат в интервале от $v до v+dv,$ пропорциональна заштрихованной площади dS под кривой.

Поскольку скорости всех молекул лежат в интервале от $0 до+infty $, то выполняется равенство:

[intnolimits^{infty }_0{fleft(vright)dv}=1 left(9right).]

Это так называемое условие нормировки функции распределения.

Таким образом, распределение Максвелла зависит от массы молекулы газа и его температуры. Давление и объем в распределение не входят.

Пример 1

Задание: Используя распределение Максвелла, найдите наиболее вероятную скорость молекул газа в равновесном состоянии газа при температуре T.

Решение:

За основу возьмем распределение молекул по модулям скоростей:

[dN_v=N4pi {left(frac{m_0}{2pi kT}right)}^{frac{3}{2}}expleft(-frac{m_0v^2}{2kT}right)v^2dv left(1.1right).]

Наиболее вероятной скорости соответствует максимум функции, то продифференцируем выражение (1.1) по скорости и приравняем к нулю, получим:

[frac{dN_v}{dv}=N4pi {left(frac{m_0}{2pi kT}right)}^{frac{3}{2}}left[2v_{ver}expleft(-frac{m_0{v_{ver}}^2}{2kT}right)-{v_{ver}}^2frac{m_02v_{ver}}{2kT}expleft(-frac{m_0{v_{ver}}^2}{2kT}right)right]=0to ]

[2v_{ver}-{v_{ver}}^2frac{m_02v_{ver}}{2kT}=0to 1-{v_{ver}}^2frac{m_0}{2kT}=0to {v_{ver}}^2=frac{2kT}{m_0}]

[v_{ver}=sqrt{frac{2kT}{m_0}} (1.2)]

Ответ: Наиболее вероятная скорость молекул газа $v_{ver}=sqrt{frac{2kT}{m_0}}.$

Пример 2

Задание: Пусть $Т_1

Решение:

Из формулы для наиболее вероятной скорости молекул газа, полученной в предыдущем примере:

[v_{ver}=sqrt{frac{2kT}{m_0}} (2.1)]

очевидно, что с увеличением температуры скорость растет, то есть максимум кривой смещается в сторону больших скоростей. Площадь под кривой распределения величина постоянная, следовательно, кривые изобразим следующим образом (рис.4).

Рис. 4

Пример 3

Задание: На рис. 5 представлен график функции распределения молекул по проекциям скорости $v_x$. Сравнить числа молекул, имеющих проекции скорости в интервалах: от 0 до $v_{x1}$и от $v_{x1}$ до $v_{x2}$.

Рис. 5

Решение:

Как уже отмечалось в теоретической части, доля молекул газа, скорости которых лежат в интервале от $0 до v_{x1},$ пропорциональна площади $S_1$ фигуры, которая ограничена кривой распределения, вертикальной осью (0$ frac{1}{N}frac{dN}{dv_x})$ и пунктирной вертикальной линией перпендикулярной оси проекций скоростей проходящей через точку $v_{x1}$. Во втором случае доля молекул газа, скорости которых лежат в интервале от $v_{x1} до v_{x2},$ пропорциональна площади $S_2$ фигуры, которая ограничена кривой распределения, вертикальной прямой параллельной оси (0$ frac{1}{N}frac{dN}{dv_x}), проходящей через точку v_{x1}$ и пунктирной вертикальной линией перпендикулярной оси проекций скоростей, проходящей через точку $v_{x2}$. Очевидно, что $S_1>S_2. $ Следовательно, молекул, имеющих проекции скорости в интервалах: от 0 до $v_{x1}$ больше, чем молекул, имеющих проекции скорости в интервалах: от $v_{x1}$ до $v_{x2}$.

Ответ: Молекул, имеющих проекции скорости в интервалах: от 0 до $v_{x1}$ больше, чем молекул, имеющих проекции скорости в интервалах: от $v_{x1}$ до $v_{x2}$.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Наиболее вероятная, среднеквадратичная и средняя арифметическая скорости молекул газа

Формула Максвелла для относительных скоростей

Зависимость функции распределения Максвелла от массы молекул и температуры газа

Барометрическая формула

Сфера применения распределения Максвелла[править | править код]

Требования к описываемой системе, примеры[править | править код]

Условия классического рассмотрения[править | править код]

Распределение Максвелла по состояниям[править | править код]

Разновидности непрерывного распределения Максвелла[править | править код]

Распределение по вектору импульса[править | править код]

Распределение по вектору скорости[править | править код]

Распределение по проекции скорости[править | править код]

Распределение по модулю импульса[править | править код]

Распределение по энергии[править | править код]

Распределение по модулю скорости[править | править код]

Характерные скорости молекул идеального газа[править | править код]

Наиболее вероятная скорость[править | править код]

Средняя скорость[править | править код]

Среднеквадратичная скорость[править | править код]

Исторический вывод распределения Максвелла[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Распределение Максвелла

Как выглядит распределение Максвелла на графике

Закон распределения молекул по скоростям

Распределение Максвелла

Вам также может понравиться

Найти соответствие по фотографии в интернете как

Как найти рисунок по копии

Как найти математическое ожидание в эксель

Добавить комментарий Отменить ответ