На практике довольно часто приходится использовать производную для того, чтобы вычислить самое большое и самое маленькое значение функции. Мы выполняем это действие тогда, когда выясняем, как минимизировать издержки, увеличить прибыль, рассчитать оптимальную нагрузку на производство и др., то есть в тех случаях, когда нужно осуществить поиск и определить оптимальное значение какого-либо параметра или количество. Чтобы решить такие задачи верно, надо хорошо понимать, что такое наибольшее и наименьшее значение функции.
Обычно нами строится выражение этих значений в рамках некоторого интервала x, который может в свою очередь соответствовать всей области определения функции или ее части. Это может быть как отрезок [a; b], так и открытый интервал (a; b), (a; b], [a; b), бесконечный интервал (a; b), (a; b], [a; b) либо бесконечный промежуток -∞; a, (-∞; a], [a; +∞), (-∞; +∞).
В этом материале мы расскажем, как найти наибольшее и наименьшее значение явно заданной функции с одной переменной y=f(x)y=f(x), чтобы вам не нужно было искать это самостоятельно онлайн.
Основные определения
Начнем, как всегда, с формулировки основных определений: какое значение называют максимальным и минимальным?.
Наибольшее значение функции y=f(x) на некотором промежутке x – это значение max y=f(x0)x∈X, которое при любом значении xx∈X, x≠x0 делает справедливым неравенство f(x)≤f(x0).
Минимальное значение функции y=f(x) на некотором промежутке x– это значение minx∈Xy=f(x0), которое при любом значении x∈X, x≠x0 делает справедливым неравенство f(Xf(x)≥f(x0).
Данные определения являются достаточно очевидными. Еще проще можно сказать так: наибольшее значение функции – это ее наибольшее число, которое она может принимать на известном интервале при абсциссе x0, а наименьшее – это самое маленькое принимаемое значение на том же интервале при x0.
Стационарными точками называются такие значения аргумента функции, при которых ее производная обращается в 0.
Зачем нам нужно знать, что такое стационарные точки? Для ответа на этот вопрос надо вспомнить теорему Ферма. Из нее следует, что стационарная точка – это такая точка, в которой находится экстремум дифференцируемой функции (т.е. ее локальный минимум или максимум). Следовательно, функция будет принимать наименьшее или то, что больше всего, значение на некотором промежутке именно в одной из стационарных точек.
Еще функция может принимать наибольшее или наименьшее значение в тех точках, в которых сама функция является определенной, а ее первой производной не существует.
Первый вопрос, который возникает при изучении этой темы: во всех ли случаях мы можем определить наибольшее или найти наименьшее значение функции на заданном отрезке? Нет, мы не можем этого сделать тогда, когда границы заданного промежутка будут совпадать с границами области определения, или если мы имеем дело с интервалом, не имеющим конца. Бывает и так, что функция в заданном отрезке или на бесконечности будет принимать бесконечно малые или бесконечно большие значения (мало и много). В этих случаях определить или найти наибольшее и/или наименьшее значение не представляется возможным.
Более понятными эти моменты станут после изображения на графиках:
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
Первый рисунок показывает нам функцию, которая принимает наибольшее и наименьшее значения (max y и min y) в стационарных точках, расположенных на отрезке [-6;6].
Разберем подробно случай, указанный на втором графике. Изменим значение отрезка на [1;6] и получим, что наибольшее значение функции будет достигаться в точке с абсциссой в правой границе интервала, а наименьшее – в стационарной точке.
На третьем рисунке абсциссы точек представляют собой граничные точки отрезка [-3;2]. Они соответствуют наибольшему и наименьшему значению заданной функции.
Наибольшее и наименьшее значение функции на открытом интервале
Теперь посмотрим на четвертый рисунок. В нем функция принимает max y (наибольшее значение) и min y (наименьшее значение) в стационарных точках на открытом интервале (-6;6).
Если мы возьмем интервал [1;6), то можно сказать, что наименьшее значение функции на нем будет достигнуто в стационарной точке. Наибольшее значение нам будет неизвестно. Функция могла бы принять наибольшее значение при x, равном 6, если бы x=6 принадлежала интервалу. Именно этот случай нарисован на графике 5.
На графике 6 наименьшее значение данная функция приобретает в правой границе интервала (-3;2], а о наибольшем значении мы не можем сделать определенных выводов.
Наибольшее и наименьшее значение функции на бесконечности
На рисунке 7 мы видим, что функция будет иметь max y в стационарной точке, имеющей абсциссу, равную 1. Наименьшего значения функция достигнет на границе интервала с правой стороны. На минус бесконечности значения функции будут асимптотически приближаться к y=3.
Если мы возьмем интервал x∈2; +∞, то увидим, что заданная функция не будет принимать на нем ни наименьшего, ни наибольшего значения. Если x стремится к 2, то значения функции будут стремиться к минус бесконечности, поскольку прямая x=2 – это вертикальная асимптота. Если же абсцисса стремится к плюс бесконечности, то значения функции будут асимптотически приближаться к y=3. Именно этот случай изображен на рисунке 8.
Как найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на заданном отрезке
Как найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке?
В этом пункте мы приведем последовательность действий, которую нужно выполнить, чтобы найти наибольшее значение функции на некотором отрезке или как найти наименьшее значение функции.
- Для начала найдем область определения функции. Проверим, входит ли в нее заданный в условии отрезок.
- Теперь вычислим точки, содержащиеся в данном отрезке, в которых не существует первой производной. Чаще всего их можно встретить у функций, аргумент которых записан под знаком модуля, или у степенных функций, показатель которых является дробно рациональным числом.
- Далее выясним, какие стационарные точки попадут в заданный отрезок. Для этого надо вычислить производную функции, потом приравнять ее к 0 и решить получившееся в итоге уравнение, после чего выбрать подходящие корни. Если у нас не получится ни одной стационарной точки или они не будут попадать в заданный отрезок, то мы переходим к следующему шагу.
- Определим, какие значения будет принимать функция в заданных стационарных точках (если они есть), или в тех точках, в которых не существует первой производной (если они есть), либо же вычисляем значения для x=a и x=b.
- У нас получился ряд значений функции, из которых теперь нужно выбрать самое больше и самое маленькое. Это и будут наибольшее и наименьшее значения функции, которые нам нужно найти.
Посмотрим, как правильно применить этот алгоритм при решении задач.
Условие: задана функция y=x3+4×2. Определите ее наибольшее и наименьшее значение на отрезках [1;4] и [-4;-1].
Решение:
Начнем с нахождения области определения данной функции. В этом случае ей будет множество всех действительных чисел, кроме 0. Иными словами, D(y): x∈(-∞; 0)∪0; +∞. оба отрезка, заданных в условии, будут находиться внутри области определения.
Теперь вычисляем производную функции согласно правилу дифференцирования дроби:
y’=x3+4×2’=x3+4’·x2-x3+4·x2’x4==3×2·x2-(x3-4)·2xx4=x3-8×3
Мы узнали, что производная функции будет существовать во всех точках отрезков [1;4] и [-4;-1].
Теперь нам надо определить стационарные точки функции. Сделаем это с помощью уравнения x3-8×3=0. У него есть только один действительный корень, равный 2. Он будет стационарной точкой функции и попадет в первый отрезок [1;4].
Вычислим значения функции на концах первого отрезка и в данной точке, т.е. для x=1, x=2 и x=4:
y(1)=13+412=5y(2)=23+422=3y(4)=43+442=414
Мы получили, что наибольшее значение функции max yx∈[1; 4]=y(2)=3 будет достигнуто при x=1, а наименьшее min yx∈[1; 4]=y(2)=3 – при x=2.
Второй отрезок не включает в себя ни одной стационарной точки, поэтому нам надо вычислить значения функции только на концах заданного отрезка:
y(-1)=(-1)3+4(-1)2=3
Значит, max yx∈[-4; -1]=y(-1)=3, min yx∈[-4; -1]=y(-4)=-334.
Ответ: Для отрезка [1;4] – max yx∈[1; 4]=y(2)=3, min yx∈[1; 4]=y(2)=3, для отрезка [-4;-1] – max yx∈[-4; -1]=y(-1)=3, min yx∈[-4; -1]=y(-4)=-334.
См. на рисунке:
Как найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на открытом или бесконечном интервале
Перед тем как изучить данный способ, советуем вам повторить, как правильно вычислять односторонний предел и предел на бесконечности, а также узнавать основные методы их нахождения. Чтобы найти наибольшее и/или наименьшее значение функции на открытом или бесконечном интервале, выполняем последовательно следующие действия.
- Для начала нужно проверить, будет ли заданный интервал являться подмножеством области определения данной функции.
- Определим все точки, которые содержатся в нужном интервале и в которых не существует первой производной. Обычно они бывают у функций, где аргумент заключен в знаке модуля, и у степенных функций с дробно рациональным показателем. Если же эти точки отсутствуют, то можно переходить к следующему шагу.
- Теперь определим, какие стационарные точки попадут в заданный промежуток. Сначала приравняем производную к 0, решим уравнение и подберем подходящие корни. Если у нас нет ни одной стационарной точки или они не попадают в заданный интервал, то сразу переходим к дальнейшим действиям. Их определяет вид интервала.
- Если интервал имеет вид [a;b), то нам надо вычислить значение функции в точке x=a и односторонний предел limx→b-0f(x).
- Если интервал имеет вид (a;b], то нам надо вычислить значение функции в точке x=b и односторонний предел limx→a+0f(x).
- Если интервал имеет вид (a;b), то нам надо вычислить односторонние пределы limx→b-0f(x),limx→a+0f(x).
- Если интервал имеет вид [a; +∞), то надо вычислить значение в точке x=a и предел на плюс бесконечности limx→+∞f(x).
- Если интервал выглядит как (-∞; b], вычисляем значение в точке x=b и предел на минус бесконечности limx→-∞f(x).
- Если -∞; b, то считаем односторонний предел limx→b-0f(x) и предел на минус бесконечности limx→-∞f(x)
- Если же -∞; +∞, то считаем пределы на минус и плюс бесконечности limx→+∞f(x), limx→-∞f(x).
- В конце нужно сделать вывод на основе полученных значений функции и пределов. Здесь возможно множество вариантов. Так, если односторонний предел равен минус бесконечности или плюс бесконечности, то сразу понятно, что о наименьшем и наибольшем значении функции сказать ничего нельзя. Ниже мы разберем один типичный пример. Подробные описания помогут вам понять, что к чему. При необходимости можно вернуться к рисункам 4-8 в первой части материала.
Условие: дана функция y=3e1x2+x-6-4. Вычислите ее наибольшее и наименьшее значение в интервалах -∞; -4, -∞; -3, (-3;1], (-3;2), [1;2), 2; +∞, [4; +∞).
Решение
Первым делом находим область определения функции. В знаменателе дроби стоит квадратный (квадратичный) трехчлен, который не должен обращаться в 0:
x2+x-6=0D=12-4·1·(-6)=25×1=-1-52=-3×2=-1+52=2⇒D(y): x∈(-∞; -3)∪(-3; 2)∪(2; +∞)
Мы получили область определения функции, к которой принадлежат все указанные в условии интервалы.
Теперь выполним дифференцирование функции и получим:
y’=3e1x2+x-6-4’=3·e1x2+x-6’=3·e1x2+x-6·1×2+x-6’==3·e1x2+x-6·1’·x2+x-6-1·x2+x-6′(x2+x-6)2=-3·(2x+1)·e1x2+x-6×2+x-62
Следовательно, производные функции существуют на всей области ее определения.
Перейдем к нахождению стационарных точек. Производная функции обращается в 0 при x=-12. Это стационарная точка, которая находится в интервалах (-3;1] и (-3;2).
Вычислим значение функции при x=-4 для промежутка (-∞; -4], а также предел на минус бесконечности:
y(-4)=3e1(-4)2+(-4)-6-4=3e16-4≈-0.456limx→-∞3e1x2+x-6=3e0-4=-1
Поскольку 3e16-4>-1, значит, max yx∈(-∞; -4]=y(-4)=3e16-4. Это не дает нам возможности однозначно определяться с наименьшим значением функции. Мы можем только сделать вывод, что внизу есть ограничение -1, поскольку именно к этому значению функция приближается асимптотически на минус бесконечности.
Особенностью второго интервала является то, что в нем нет ни одной стационарной точки и ни одной строгой границы. Следовательно, ни наибольшего, ни наименьшего значения функции мы вычислить не сможем. Определив предел на минус бесконечности и при стремлении аргумента к -3 с левой стороны, мы получим только интервал значений:
limx→-3-03e1x2+x-6-4=limx→-3-03e1(x+3)(x-3)-4=3e1(-3-0+3)(-3-0-2)-4==3e1(+0)-4=3e+∞-4=+∞limx→-∞3e1x2+x-6-4=3e0-4=-1
Значит, значения функции будут расположены в интервале -1; +∞
Чтобы найти наибольшее значение функции в третьем промежутке, определим ее значение в стационарной точке x=-12, если x=1. Также нам надо будет знать односторонний предел для того случая, когда аргумент стремится к -3 с правой стороны:
y-12=3e1-122+-12-6-4=3e425-4≈-1.444y(1)=3e112+1-6-4≈-1.644limx→-3+03e1x2+x-6-4=limx→-3+03e1(x+3)(x-2)-4=3e1-3+0+3(-3+0-2)-4==3e1(-0)-4=3e-∞-4=3·0-4=-4
У нас получилось, что наибольшее значение функция примет в стационарной точке max yx∈(3; 1]=y-12=3e-425-4. Что касается наименьшего значения, то его мы не можем определить. Все, что нам известно, – это наличие ограничения снизу до -4.
Для интервала (-3;2) возьмем результаты предыдущего вычисления и еще раз подсчитаем, чему равен односторонний предел при стремлении к 2 с левой стороны:
y-12=3e1-122+-12-6-4=3e-425-4≈-1.444limx→-3+03e1x2+x-6-4=-4limx→2-03e1x2+x-6-4=limx→-3+03e1(x+3)(x-2)-4=3e1(2-0+3)(2-0-2)-4==3e1-0-4=3e-∞-4=3·0-4=-4
Значит, max yx∈(-3; 2)=y-12=3e-425-4, а наименьшее значение определить невозможно, и значения функции ограничены снизу числом -4.
Исходя из того, что у нас получилось в двух предыдущих вычислениях, мы можем утверждать, что на интервале [1;2) наибольшее значение функция примет при x=1, а найти наименьшее невозможно.
На промежутке (2; +∞) функция не достигнет ни наибольшего, ни наименьшего значения, т.е. она будет принимать значения из промежутка -1; +∞.
limx→2+03e1x2+x-6-4=limx→-3+03e1(x+3)(x-2)-4=3e1(2+0+3)(2+0-2)-4==3e1(+0)-4=3e+∞-4=+∞limx→+∞3e1x2+x-6-4=3e0-4=-1
Вычислив, чему будет равно значение функции при x=4, выясним, что max yx∈[4; +∞)=y(4)=3e114-4 , и заданная функция на плюс бесконечности будет асимптотически приближаться к прямой y=-1.
Сопоставим то, что у нас получилось в каждом вычислении, с графиком заданной функции. На рисунке асимптоты показаны пунктиром.
Это все, что мы хотели рассказать о нахождении наибольшего и наименьшего значения функции. Те последовательности действий, которые мы привели, помогут сделать необходимые вычисления максимально быстро и просто. Но помните, что зачастую бывает полезно сначала выяснить, на каких промежутках функция будет убывать, а на каких возрастать, после чего можно делать дальнейшие выводы. Так можно более точно определить наибольшее и наименьшее значение функции и обосновать полученные результаты.
Уважаемые студенты!
Заказать решение задач по 200+ предметам можно здесь всего за 10 минут.
Наибольшее и наименьшее значение функции
Как найти?
Постановка задачи
Найти наибольшее и наименьшее значение функции $ f(x) $ на отрезке $ [a,b] $
План решения
Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции $ f(x) $ на промежутке $ [a,b] $ достигаются в критических точках, то есть в точках в которых производная функции равна нулю $ f'(x) = 0 $, бесконечности $ f'(x) = pm infty $, не существует, либо на концах отрезка $ [a,b] $
- Проверяем на непрерывность функцию $ f(x) $ на заданном отрезке
- Если функция непрерывная, то находим производную $ f'(x) $ и приравниваем её к нулю
- Решая уравнение $ f'(x) = 0 $ получаем корни, являющиеся критическими точками
- Выбираем критические точки, принадлежащие отрезку $ [a,b] $
- Вычисляем значения функции $ f(x) $ в оставшихся критических точках, а так же на концах промежутка $ [a,b] $. Затем выбираем из них наибольшее $ M $ и наименьшее $ m $
Примеры решений
| Пример 1 |
| Найти наибольшее и наименьшее значение функции $ y = 2x^3 – 3x^2 – 4 $ на отрезке $ [0;2] $ |
| Решение |
|
Функция представляет собой кубический многочлен. Точек разрыва нет, значит функция непрерывна на отрезке $ [0;2] $. Находим производную: $$ y’ = (2x^3 – 3x^2 – 4)’ = 6x^2 – 6x $$ Приравниваем производную к нулю. Решаем уравнение и получаем критические точки: $$ 6x^2 – 6x = 0 $$ $$ 6x(x – 1) = 0 $$ $$ x_1 = 0, x_2 = 1 $$ Проверяем принадлежность полученных точек отрезку $ [0;2] $: $$ x_1 in [0;2], x_2 in [0;2] $$ Так как обе точки принадлежат отрезку, то вычисляем в них значение функции $ f(x) $, так же значение этой функции на концах интервала $ [0;2] $: $$ y(x_1) = y(a) = f(0) = 2 cdot 0^3 – 3 cdot 0^2 – 4 = -4 $$ $$ y(x_2) = y(1) = 2 cdot 1^3 – 3 cdot 1^2 – 4 = -5 $$ $$ y(b) = y(2) = 2 cdot 2^3 – 3 cdot 2^2 – 4 = 0 $$ Среди полученных значений наибольшее $ M = 0 $, наименьшее $ m = -5 $ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ M = 0, m = -5 $$ |
| Пример 2 |
| Найти наименьшее и наибольшее значение функции $ y = frac{4x^2}{3+x^2} $ на $ [-1;1] $ |
| Решение |
|
Функция непрерывна на $ x in [-1;1] $ так как знаменатель не обращается в ноль ни при каком $ x $. Выполняем нахождение производной: $$ y’ = (frac{4x^2}{3+x^2})’ = frac{(4x^2)'(3+x^2)-(4x^2)(3+x^2)’}{(3+x^2)^2} = $$ $$ = frac{8x(3+x^2)-(4x^2)(2x)}{(3+x^2)^2} = frac{24x+8x^3-8x^3}{3+x^2)^2} = frac{24x}{(3+x^2)^2} $$ Приравниваем полученную производную к нулю и вычисляем критические точки: $$ frac{24x}{(3+x^2)^2} = 0 $$ $$ 24x = 0, 3+x^2 neq 0 $$ $$ x = 0 $$ Получена единственная критическая точка $ x = 0 $, которая принадлежит $ [-1; 1] $. Вычисляем значение функции $ f(x) $ в критической точке и на концах интервала $ [-1;1] $: $$ y(-1) = frac{4cdot (-1)^2}{3+(-1)^2} = frac{4}{4}=1 $$ $$ y(0) = frac{0}{3} = 0 $$ $$ y(1) = frac{4cdot 1^2}{3+1^2} = frac{4}{4} = 1 $$ Из полученных значений видно, что максимальное значение $ M = 1 $ и минимальное значение $ m = 0 $. |
| Ответ |
| $$ m = 0, M = 1 $$ |
Наталья Игоревна Восковская
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Экстремумы функции
Для того чтобы ввести понятие наибольшего и наименьшего значения функций, вначале познакомимся с таким понятием, как экстремумы функций. Это понятие нам будет необходимо не для самого определения значений таких функций, а для построения схемы нахождения таких промежутков для конкретно заданных функций.
Определение 1
Точка $x’$ входящая в область определения функции называется точкой экстремума, если она либо будет точкой максимума, либо будет точкой минимума для функции $f(x)$.
Определение 2
Точка $x’$ будет называться точкой максимума для введенной функции $f(x)$, если у она имеет такую окрестность, что для всех точек $x$, которые входят в эту окрестность, будет верно $f(x)le f(x'{rm })$.
Определение 3
Точка $x_0$ будет называться точкой минимума для введенной функции $f(x)$, если она имеет такую окрестность, что для всех точек $x$, которые входят в эту окрестность, будет верно $f(x)ge f(x'{rm })$.
Чтобы полностью разобраться в данном понятии, далее введем понятие критической точки функции.
Определение 4
Точка $x’$ будет называться критической точкой для данной функции $f(x)$, если выполняются два следующих условия:
- Точка $x’$ является внутренней точкой для области определения данной функции;
- $f’left(x'{rm }right)=0$ или не существует.
Сформулируем без доказательства теоремы о необходимом (теорема 1) и достаточном (теорема 2) условии для существования точки экстремума.
Если $y=f(x)$ имеет экстремум в точке $x_0$, то либо её производная в ней равняется нулю, либо производная в ней не существует.
«Точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение на промежутке» 👇
Теорема 2
Пусть точка $x’$ будет критической для $y=f(x)$ и принадлежит интервалу $(a,b)$, причем на каждом интервале $left(a,x'{rm }right) и (x'{rm },b)$ производная $f'(x)$ существует и сохраняет один и тот же знак. В этом случае:
- Если в $(a,x'{rm })$ $f’left(xright) >0$, а в $(x'{rm },b)$ $f’left(xright)
- Если в $(a,x'{rm })$ $f’left(xright)0$, то $x’$ –будет точкой минимума для этой функции.
- Если и в $(a,x'{rm })$, и в $(x'{rm },b)$ производная $имеет один и тот же постоянный знак$, то $x’$ не будет точкой экстремума для этой функции.
На рисунке 1 мы можем наглядно увидеть смысл теоремы 2.
Рисунок 1.
Примеры точек экстремумов вы можете видеть на рисунке 2.
Рисунок 2.
Правило исследования на экстремум
- Найти $D(f)$;
- Найти $f'(x)$;
- Найти точки, где $f’left(xright)=0$;
- Найти точки, где $f'(x)$ не будет существовать;
- Отметить на координатной прямой $D(f)$ и все найденные в 3 и 4 пункте точки;
- Определить знак $f'(x)$ на полученных промежутках;
- Используя теорему 2, сделать заключение по поводу всех найденных точек.
Понятие наибольшего и наименьшего значений
Определение 5
Функция $y=f(x)$, которая имеет областью определения множество $X$, имеет наибольшее значение в точке $x’in X$, если выполняется
[fleft(xright)le f(x’)]
Определение 6
Функция $y=f(x)$, которая имеет областью определения множество $X$, имеет наименьшее значение в точке $x’in X$, если выполняется
[fleft(xright)ge f(x’)]
Чтобы найти наименьшее и наибольшее значение заданной функции на каком либо отрезке необходимо произвести следующие действия:
- Найти $f'(x)$;
- Найти точки, в которых $f’left(xright)=0$;
- Найти точки, в которых $f'(x)$ не будет существовать;
- Выкинуть из точек, найденных в пунктах 2 и 3 те, которые не лежат в отрезке $[a,b]$;
- Вычислить значения в оставшихся точках и на концах $[a,b]$;
- Выбрать из этих значений наибольшее и наименьшее.
Примеры задач
Пример 1
Найти наибольшее и наименьшее значения на [0,6]: $fleft(xright)=x^3-3x^2-45x+225$
Решение.
- $f’left(xright)=3x^2-6x-45$;
- $f’left(xright)=0$;
- [3x^2-6x-45=0]
- [x^2-2x-15=0]
- [x=5, x=-3]
- $f'(x)$ существует на всей $D(f)$;
- $5in left[0,6right]$;
-
Значения:
[fleft(0right)=225] [fleft(5right)=50] [fleft(6right)=63]
-
Наибольшее значение равняется $225$, наименьшее равняется $50.$
Ответ: $max=225, min=50$.
Пример 2
Найти наибольшее и наименьшее значения на [-1,1]:$fleft(xright)=frac{x^2-4x+4}{x-2}$
Решение.
[fleft(xright)=frac{x^2-4x+4}{x-2}=frac{{(x-2)}^2}{x-2}=x-2, xne 2]
-
$f’left(xright)=(x-2)’=1$;
Точек экстремума нет.
-
Значения:
[fleft(-1right)=-3] [fleft(1right)=-1]
Ответ: $max=-1, min=-3$.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Сегодня на уроке мы вспомним, что называют наибольшим и наименьшим
значениями функции. Научимся находить наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке.
Прежде чем приступить к рассмотрению новой темы, давайте вспомним,
что, говоря о наибольшем или наименьшем значении функции, её рассматривают на
всей области определения или на числовом промежутке (отрезке, интервале и так
далее), который является подмножеством области определения.
Пусть функция определена на числовом множестве
.
Число называется наибольшим значением функции
на числовом множестве
, если существует
из
такое, что
, и для любого
из
большое выполняется неравенство
.
Например, функция . Её область определения – множество действительных чисел. Число 0
– наибольшее значение функции на всей области определения, так как и
при любом значении
из области определения функции. В этом случае можно записать:
при
.
Число маленькое называется наименьшим значением функции
на числовом множестве
, если существует
из
такое, что
, и для любого
из
выполняется неравенство
.
Например, функция . Её область определения – множество действительных чисел. Число
– наименьшее значение функции на всей области определения, так
как и
, то есть
при любом значении
из области определения функции. В этом случае можно записать:
при
.
На практике часто приходится решать задачи, в которых требуется
найти наибольшее или наименьшее значение из всех значений, которые функция
принимает на отрезке.
Посмотрите на график функции , который построен на отрезке
.
Видим, что наибольшее значение на этом отрезке, равное 0, функция
принимает в точке и в точке
. Наименьшее значение, равное
, функция принимает при
.
Точка является точкой минимума данной функции. Это означает, что есть
такая окрестность точки , например, интервал
, что в этой окрестности функция принимает своё наименьшее
значение при .
Но на отрезке функция принимает наименьшее значение не в точке минимума, а на
конце отрезка. Таким образом, для нахождения наименьшего значения функции на
отрезке нужно сравнить её значения в точках минимума и на концах отрезка.
Итак, пусть функция непрерывна на отрезке
и имеет несколько критических точек на этом отрезке. Для
нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке нужно:
1) найти значения функции на концах отрезка, то есть числа и
;
2) найти её значения в тех критических точках, которые принадлежат
интервалу ;
3) из всех найденных значений найти наибольшее и наименьшее.
Рассмотрим пример. Функция непрерывна на отрезке
. Найдите её наибольшее и наименьшее значения.
Отметим, что наибольшее и наименьшее значения функции часто
приходится находить не на отрезке, а на интервале. Встречаются задачи, в
которых функция имеет на заданном интервале одну стационарную точку: точку
минимума или точку максимума. В этих случаях в точке максимума функция принимает наибольшее значение на данном интервале, а в точке
минимума – наименьшее значение на данном интервале.
Давайте решим задачу. Число представьте в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы
сумма квадратов этих чисел была наименьшей.
А сейчас сформулируем утверждение, которое полезно использовать
при решении некоторых задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений
функции.
Если значения функции неотрицательны на некотором промежутке, то эта функция и функция
, где
– натуральное число, принимают наибольшее (наименьшее) значение в
одной и той же точке.
А сейчас выполним задание.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функций на заданных
отрезках:
а) ,
; б)
,
.
Решение.
