Содержание
- Как найти наибольшую и наименьшую дробь
- Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями.
- как определить наибольшую и наименьшую дробь?
- Чему равно наибольшее значение дроби (см.)?
- Решение уравнений с дробями
- Понятие дроби
- Основные свойства дробей
- Понятие уравнения
- Понятие дробного уравнения
- Как решать уравнения с дробями
- 1. Метод пропорции
- 2. Метод избавления от дробей
- Что еще важно учитывать при решении
- Универсальный алгоритм решения
- Примеры решения дробных уравнений
Как найти наибольшую и наименьшую дробь
Не только простые числа можно сравнивать, но и дроби тоже. Ведь дробь — это такое же число как, к примеру, и натуральные числа. Нужно знать только правила, по которым сравнивают дроби.
Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями.
Если у двух дробей одинаковые знаменатели, то такие дроби сравнить просто.
Чтобы сравнить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сравнить их числители. Та дробь больше у которой больше числитель.
Знаменатели у обоих дробей одинаковые равны 26, поэтому сравниваем числители. Число 13 больше 7. Получаем:
Если мы до решаем эти дроби, то получим числа (frac = 5) и (frac = 2). Получаем, что 5 > 2
В этом и заключается правило сравнения дробей с одинаковыми числителями.
Рассмотрим еще пример.
Сравните дроби с одинаковым числителем (frac ) и (frac ) .
Так как числители одинаковые, больше та дробь, где знаменатель меньше.
Пример №2:
Сравните правильную дробь с единицей?
Решение:
Любая правильная дробь всегда меньше 1.
Задача №1:
Сын с отцом играли в футбол. Сын из 10 подходов в ворота попал 5 раз. А папа из 5 подходов попал в ворота 3 раза. Чей результат лучше?
Решение:
Сын попал из 10 возможных подходов 5 раз. Запишем в виде дроби (frac ).
Папа попал из 5 возможных подходов 3 раз. Запишем в виде дроби (frac ).
Сравним дроби. У нас разные числители и знаменатели, приведем к одному знаменателю. Общий знаменатель будет равен 10.
Если у двух (или нескольких) дробей числитель одинаковый (то, что сверху черточки), то наименьшей дробью будет та, у которой знаменатель (то, что ниже черточки) наибольший, а наибольшей та, у которой знаменатель (то, что ниже черточки) наименьший.
В б наоборот – числители одинаковые, зато разные знаменатели. Представь себе пирог. Его разделили на столько частей, сколько написано внизу дроби. Из них взяли 31 часть. Чем на большее число частей поделили пирог, тем меньше часть (следовательно, находим где в знаменателе самое большое число – 53). Следовательно, пирог поделили на 53 части (маленькие) и из них взяли 31.
Ответы: 22/23 (самая большая в а)
31/53 (самая маленькая в б)
wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали авторы-волонтеры.
Количество источников, использованных в этой статье: 5. Вы найдете их список внизу страницы.
Сравнивают дроби обычно для того, чтобы узнать, какая больше, а какая меньше. Чтобы сравнить дроби, вам нужно привести их к одному знаменателю, тогда дробь с большим числителем большая, а с меньшим — меньшая. Самое сложное — это уяснить, как делать так, чтобы дроби имели одинаковые знаменатели, но все не так сложно, как кажется. Мы расскажем, как все это делать. Читайте дальше!
Источник
как определить наибольшую и наименьшую дробь?
Если у двух (или нескольких) дробей знаменатель одинаковый (то, что ниже черточки), то
наименьшей дробью будет та, у которой числитель (то, что сверху черточки) наименьший, а наибольшей та, у которой числитель (то, что сверху черточки) наибольший.
Если у двух (или нескольких) дробей числитель одинаковый (то, что сверху черточки), то наименьшей дробью будет та, у которой знаменатель (то, что ниже черточки) наибольший, а наибольшей та, у которой знаменатель (то, что ниже черточки) наименьший.
В а ты тупик) У них знаменатели (то, что внизу) одинаковые, а числители (то, что наверху) разные. Значит, чем больше числитель, тем больше дробь. Тут самая большая — предпоследняя (22/23). Представь пирог. Его поделили на 23 части. И взяли столько, сколько написано вверху
В б наоборот — числители одинаковые, зато разные знаменатели. Представь себе пирог. Его разделили на столько частей, сколько написано внизу дроби. Из них взяли 31 часть. Чем на большее число частей поделили пирог, тем меньше часть (следовательно, находим где в знаменателе самое большое число — 53). Следовательно, пирог поделили на 53 части (маленькие) и из них взяли 31.
Ответы: 22/23 (самая большая в а)
31/53 (самая маленькая в б)
В остальных случаях только приводить к общему знаменателю 🙂
Источник
Чему равно наибольшее значение дроби (см.)?
В знаменателе ( 2 * x + y ) ^ 2 + 9 — отрицательным быть не может по определению (квадрат числа плюс положительное число). Наибольшее значение дробь принимает при наименьшем знаменателе, а он (наименьший знаменатель) равен 9 при x = y = 0 или 2 * x = — y, итого, наибольшее значение 18 / 9 = 2
Дробь — это какая-то часть от целого. Дроби делятся на обыкновенные и десятичные. Обыкновенные дроби состоят из двух чисел: числителя и знаменателя, разделённых дробной чертой, причём нет никаких ограничений на их (числителя и знаменателя) величину. например: 23/598, 69/23 и т.п. В принципе, десятичные дроби ничем не отличаются от обычных, только знаменатель у них кратен 10, например 3/10, 248/1000, 23/100000, и т.п. Но, поскольку у нас принята десятичная система счисления, и при записи чисел один разряд отличается от другого в 10 раз, то для десятичных дробей возможна более удобная система записи, «в строчку», достаточно отделить дробную часть от целой специальным знаком (запятой, а иногда, во многих языках программирования, — точкой).
Таким образом число, равное (23 + 67/1000) («23 целых и 67 тысячных) удобно записать в виде 23,067.
Бывают правильные дроби, например 5/10=1/2, это когда чилситель меньше знаменателя.
Есть неправильные дроби, например 10/5 ; 5/5 это когда числитель равень или больше знаменателя.
Есть обыкновенные дроби, это 1/2 или 2/10
Есть десятинчные дроби, этьо 0.5 или 0.2
Обыкновенная (простая) дробь — это число, записанное в виде m/n, где горизонтальная (-), или наклонная (/) черта обозначает деление. При этом m называют числителем, а n — знаменателем.
Обыкновенная дробь называется правильной, если m n
Есть несколько способов написать дробь в программе Ворд.
Ввод осуществляется только с клавиатуры. Знак дроби заменяется «/».
Переходим во вкладку Вставка. Выбираем команду Уравнение.
В открывшейся вкладке Конструктор находим кнопку дробь. Кликаем на понравившийся макет.
На месте пустых квадратов необходимо ввести числа числителя и знаменателя. Итог.
В старых версиях программы нет команды Уравнение (Формула). Ввод формул происходит через microsoft equation.
Активация microsoft equation. Во вкладке Вставка перейти в меню Текст. Нажать Объект. В открывшемся окне найти microsoft equation из списка и нажать ОК.
Источник
Решение уравнений с дробями
О чем эта статья:
5 класс, 6 класс, 7 класс
Понятие дроби
Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.
Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:
- обыкновенный вид — ½ или a/b,
- десятичный вид — 0,5.
Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.
Дроби бывают двух видов:
- Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
- Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.
Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.
Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.
Основные свойства дробей
Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.
Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.
Понятие уравнения
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:
- Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
- Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.
Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.
Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.
Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.
Линейное уравнение выглядит так | ах + b = 0, где a и b — действительные числа.
Что поможет в решении:
|
---|---|
Квадратное уравнение выглядит так: | ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0. |
Понятие дробного уравнения
Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:
Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.
Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:
На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.
Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.
Как решать уравнения с дробями
1. Метод пропорции
Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.
Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:
В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.
После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.
2. Метод избавления от дробей
Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.
В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:
- подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
- умножить на это число каждый член уравнения.
Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!
Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.
Что еще важно учитывать при решении
- если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
- делить и умножать уравнение на 0 нельзя.
Универсальный алгоритм решения
Определить область допустимых значений.
Найти общий знаменатель.
Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.
Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.
Решить полученное уравнение.
Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.
Записать ответ, который прошел проверку.
Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.
Примеры решения дробных уравнений
Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.
Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.
- Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
- Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
- Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.
Решим обычное уравнение.
Пример 2. Найти корень уравнения
- Область допустимых значений: х ≠ −2.
- Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
- Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.
Переведем новый множитель в числитель..
Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.
Пример 3. Решить дробное уравнение:
- Найти общий знаменатель:
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:
Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:
Решим полученное квадратное уравнение:
Получили два возможных корня:
Если x = −3, то знаменатель равен нулю:
Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.
Источник
Как найти наибольшую и наименьшую дробь
Не только простые числа можно сравнивать, но и дроби тоже. Ведь дробь — это такое же число как, к примеру, и натуральные числа. Нужно знать только правила, по которым сравнивают дроби.
Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями.
Если у двух дробей одинаковые знаменатели, то такие дроби сравнить просто.
Чтобы сравнить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сравнить их числители. Та дробь больше у которой больше числитель.
Знаменатели у обоих дробей одинаковые равны 26, поэтому сравниваем числители. Число 13 больше 7. Получаем:
Если мы до решаем эти дроби, то получим числа (frac<20> <4>= 5) и (frac<20> <10>= 2). Получаем, что 5 > 2
В этом и заключается правило сравнения дробей с одинаковыми числителями.
Рассмотрим еще пример.
Сравните дроби с одинаковым числителем (frac<1><17>) и (frac<1><15>) .
Так как числители одинаковые, больше та дробь, где знаменатель меньше.
Пример №2:
Сравните правильную дробь с единицей?
Решение:
Любая правильная дробь всегда меньше 1.
Задача №1:
Сын с отцом играли в футбол. Сын из 10 подходов в ворота попал 5 раз. А папа из 5 подходов попал в ворота 3 раза. Чей результат лучше?
Решение:
Сын попал из 10 возможных подходов 5 раз. Запишем в виде дроби (frac<5> <10>).
Папа попал из 5 возможных подходов 3 раз. Запишем в виде дроби (frac<3> <5>).
Сравним дроби. У нас разные числители и знаменатели, приведем к одному знаменателю. Общий знаменатель будет равен 10.
Если у двух (или нескольких) дробей числитель одинаковый (то, что сверху черточки), то наименьшей дробью будет та, у которой знаменатель (то, что ниже черточки) наибольший, а наибольшей та, у которой знаменатель (то, что ниже черточки) наименьший.
В б наоборот — числители одинаковые, зато разные знаменатели. Представь себе пирог. Его разделили на столько частей, сколько написано внизу дроби. Из них взяли 31 часть. Чем на большее число частей поделили пирог, тем меньше часть (следовательно, находим где в знаменателе самое большое число — 53). Следовательно, пирог поделили на 53 части (маленькие) и из них взяли 31.
Ответы: 22/23 (самая большая в а)
31/53 (самая маленькая в б)
wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали авторы-волонтеры.
Количество источников, использованных в этой статье: 5. Вы найдете их список внизу страницы.
Сравнивают дроби обычно для того, чтобы узнать, какая больше, а какая меньше. Чтобы сравнить дроби, вам нужно привести их к одному знаменателю, тогда дробь с большим числителем большая, а с меньшим — меньшая. Самое сложное — это уяснить, как делать так, чтобы дроби имели одинаковые знаменатели, но все не так сложно, как кажется. Мы расскажем, как все это делать. Читайте дальше!
Как понять наибольшее целое решение
Настя Руднева
Ученик
(92),
закрыт
3 года назад
Прост делала алгебру и тут у меня ступор
Dem0nist
Ученик
(132)
3 года назад
Целое число – число не имеющее дробной части (1,2,3, 0, -1 и т. д.)
К примеру, есть число 6.3
Оно находиться в промежутке от 6 до 7, но поскольку оно меньше семи, следует, что наибольшим целым будет 6
Определение непрерывной дроби:
Непрерывной, или цепной, дробью называется дробь вида:
где целое число а складывается с дробью, у которой числитель есть 1, а знаменатель целое число α₁, сложенное с дробью, у которой числитель есть 1, а знаменатель целое число α₂, сложенное с дробью,…, и т. д. (все целые числа предполагаются положительными).
Дроби и т. д. называются составляющими дробями или звеньями.
Написанную выше непрерывную дробь сокращённо изображают так:
(α, α₁, α₂, α₃,…, ).
Например дроби:
сокращённо изображаются: (3, 2, 1, 3) и (0, 2, 1, 17).
Обращение непрерывной дроби в обыкновенную
Всякую непрерывную дробь можно обратить в обыкновенную; для этого достаточно произвести по правилам арифметики все действия, указанные в изображении непрерывной дроби.
Пусть, например, мы имеем такую дробь:
Производим указанные действия:
Это и есть обыкновенная дробь, представляющая точное значение данной непрерывной.
Обращение обыкновенной дроби в непрерывную
Всякую обыкновенную дробь можно обратить в непрерывную. Пусть, например, дана дробь. Исключив из неё целое число, получим:
где а есть целое частное, а r₁ — остаток от деления А на В (если дробь правильная, то а=0 и r=А).
Разделив оба члена дроби на r, получим:
где α₁ есть целое частное, a r₁ — остаток от деления В на r.
Разделив оба члена дроби на r₁, получим:
где α₂ есть целое частное, a r₂ — остаток от деления r на r₁. Продолжая этот приём далее, будем последовательно получать:
Так как B>r>r₁>r₂>r₃,…, то, продолжив этот приём, дойдём до остатка, равного 0. Пусть , т. е..
Тогда путём подстановки получим
Замечание. Из рассмотрения этого приёма следует, что a a₁, a₂,…, — целые частные, получаемые при последовательном делении А на В, потом В на первый остаток, первого остатка на второй и т. д., иначе говоря, это — целые частные, получаемые при нахождении общего наибольшего делителя между AnB способами последовательного деления. Вследствие этого числа a a₁, a₂,…, называются частными непрерывной дроби.
Примеры:
1) Обратить в непрерывную дробь число
Так как
2) Обратить в непрерывную дробь число.
Так как
то
Подходящие дроби
Если в непрерывной дроби возьмём несколько звеньев с начала, отбросив все остальные, и составленную
ими непрерывную дробь обратим в обыкновенную, то получим так называемую подходящую дробь. Первая подходящая дробь получится, когда возьмём одно первое звено: вторая — когда возьмём два первых звена, и т. д. Таким образом, для непрерывной дроби:
первая подходящая дробь есть ;
вторая „ „ „
третья „ „ „
Четвёртая подходящая дробь представит в этом примере точную величину непрерывной дроби .
Когда в непрерывной дроби нет целого числа, то первая подходящая дробь есть 0.
Закон составления подходящих дробей
Составим для непрерывной дроби ( a a₁, a₂,…, ) первые три подходящие дроби:
Сравнивая третью подходящую дробь с двумя первыми, заметим, что числитель третьей подходящей дроби получится, если числитель второй подходящей дроби умножим на соответствующее частное (т. е. на α₂) и к полученному произведению прибавим числитель первой подходящей дроби; знаменатель третьей подходящей дроби получится подобным же образом из. знаменателей предыдущих двух подходящих дробей.
Докажем, что этот закон применим ко всякой подходящей дроби, следующей за третьей, т. е. мы докажем, что вообще числитель (n+1)-й подходящей дроби получится, если числитель n-й подходящей дроби умножим на соответствующее частное (т. е. на ) и произведение сложим с числителем (n— 1)-й подходящей дроби, и что знаменатель (n+l)-й подходящей дроби подобным же способом получится из знаменателей n-й и (n — 1)-й подходящих дробей. Употребим доказательство от n к (n+1), т. е. докажем, что если этот закон применим к n-й подходящей дроби, то он применим и к (n+1)-й подходящей дроби.
Обозначим первую, вторую, третью и т. д. подходящие дроби последовательно через
и заметим, что соответствующие им частные будут:
Допустим, что верны равенства:
(1)
и, следовательно:
(2)
Требуется доказать, что в таком случае и
(3)
Из сравнения двух подходящих дробей:
усматриваем, что (n+1)-я подходящая дробь получится из n-й, если в последней заменим число на сумму
Поэтому равенство (2) даёт:
Раскрыв скобки и умножив оба члена дроби на, получим:
Приняв во внимание равенство (1), можем окончательно написать:
Это и есть равенство (3), которое требовалось доказать.
Таким образом, если доказываемый закон верен для n-й подходящей дроби, то он будет верен и для (n+l)-й подходящей дроби. Но мы непосредственно видели, что он верен для третьей подходящей дроби; следовательно, по доказанному, он применим для четвёртой подходящей дроби; а если для четвёртой, то и для пятой и т. д.
Пользуясь этим законом, составим все подходящие дроби для следующего примера:
Вычисления всего удобнее расположить так:
3 | 2 | 3 | 1 | 5 | ||
2 | 3 | 11 | 25 | 86 | 111 | 641 |
1 | 1 | 4 | 9 | 31 | 40 | 231 |
Первые две подходящие дроби найдём непосредственно, это будут и . Остальные подходящие дроби получим, основываясь на доказанном законе. Для памяти размещаем в верхней строке целые частные с третьего до последнего.
Теорема:
Точное значение непрерывной дроби заключается между двумя последовательными подходящими дробями, причём оно ближе к последующей, чем к предыдущей.
Доказательство:
Пусть имеем непрерывную дробь:
точную величину которой обозначим через А. Возьмём какие-нибудь три последовательные подходящие дроби:
По доказанному, имеем:
Если в правую часть этого равенства мы вместо подставим, то в левой части получим точную величину А непрерывной дроби, значит:
откуда:
и значит:
Из последнего равенства можем вывести два следующих заключения:
1) Так как числа у, и положительные, то разности, стоящие внутри скобок, должны быть одновременно положительны или одновременно отрицательны; значит:
или
т.е. или
Следовательно, А заключено между всякими двумя последовательными подходящими дробями.
2) Так как у>1 и >, причём числа и положительные, то из того же равенства выводим: абсолютная величина меньше абсолютной величины.
Отсюда следует, что ближе к А, чем, что и требовалось доказать.
Замечание:
Так как, очевидно, A>а, т. е. , то
и т. д.
Точное значение непрерывной дроби более всякой подходящей дроби нечётного порядка и менее всякой подходящей дроби чётного порядка.
Теорема:
Разность между двумя рядом стоящими подходящими дробями равна + 1, делённой на произведение знаменателей этих подходящих дробей.
Доказательство:
Так как
то очевидно, что знаменатель этой разности удовлетворяет требованию теоремы. Остаётся доказать, что числитель равен ±1.
Так как
Pn+1=Pnαn+Pn-1 и Q,,+ι=Qnαn+Qn-ι,
то
Выражение, стоящее в скобках, представляет собой числитель P P —
дроби, которая получится от вычитания из дроби
Следовательно, мы доказали, что абсолютная величина числителя дроби, получаемой от вычитания из , равна абсолютной величине числителя дроби, получаемой от вычитания из , другими словами, абсолютная величина числителя дроби, получаемой от вычитания одной из другой двух рядом стоящих подходящих дробей, есть величина постоянная для всех подходящих дробей. Но разность между второй и первой подходящими дробями есть:
Следовательно, числитель разности между всякими двумя рядом стоящими подходящими дробями по абсолютной своей величине равен 1.
Так, если взять пример, приведённый, то найдём:
Следствия:
1. Всякая подходящая дробь есть дробь несократимая, потому что, если бы могло быть сокращено на некоторый делитель делилось бы на m, что невозможно, так как эта разность равна ±1.
2. Если вместо точной величины непрерывной дроби возьмём подходящую дробь , то сделаем ошибку, меньшую каждого из трёх
следующих чисел:
Действительно, если А есть точное значение непрерывной дроби, то численно меньше разности , абсолютная величина которой, по доказанному, равна .
C другой стороны, так как , где, то и, следовательно:
и потому абсолютная величина разности меньше
Наконец, так как , то и потому
Следовательно, абсолютная величина разности
Из трёх указанных пределов погрешности самый меньший есть но его вычисление предполагает известным знаменатель подходящей дроби, следующей за той, которую мы приняли за приближение. Вычисление предела может быть выполнено только тогда, когда известен знаменатель предшествующей подходящей дроби.
Когда же известна одна подходящая дробь возможно только
указание предела погрешности
Например, если мы знаем, что некоторая подходящая дробь данной непрерывной дроби есть , то можно сказать, что точно до
. Если, кроме того, знаем, что знаменатель предшествующей подходящей дроби есть, например, 8, то можем сказать, что точно до • Наконец,
когда знаем, что знаменатель следующей подходящей дроби есть, например, 37, то можем ручаться, что разнится от точного значения непрерывной дроби менее, чем
Теорема:
Подходящая дробь ближе к точному значению непрерывной дроби, чем всякая другая дробь с меньшим знаменателем.
Доказательство:
Допустим, что существует дробь , менее отличающаяся от точного значения непрерывной дроби А, чем под-р
холящая дробь , и пусть. Докажем, что это предположение ведёт к противоречию. Так как ближе к А, чем , и ближе к A, чем то и подавно ближе к А. чем ; так как, кроме того, А заключается между и , то абсолютная величина разности больше абсолютной величины разности ; значит, обращая внимание только на абсолютные величины, можно написать:
Перемножив почленно эти неравенства, получим:
Так как и числа целые, то это неравенство возможно только при условии:
, откуда
Но это равенство невозможно, так как, по предположению, ближе подходит к А, чем тогда как , по доказанному, больше разнится от А, чем . Полученное противоречие доказывает справедливость теоремы 3.
Приближённые значения данной арифметической дроби
Когда числитель и знаменатель данной несократимой арифметической дроби выражены большими числами, часто является потребность получить приближённое значение этой дроби в возможно более простом виде. Для этого достаточно обратить данную дробь в непрерывную и найти ту или другую подходящую дробь, смотря по желаемой степени приближения.
Пример:
Зная, что число π, представляющее отношение окружности к её диаметру, заключено между двумя дробями: 3,141592653 и 3,141592654, найти простейшее приближение π.
Обратив обе дроби в непрерывные и взяв только общие неполные частные, найдём:
π =(3, 7, 15, 1, …).
Подходящие дроби будут:
15 | 1 | ||
3 | 22 | 333 | 355 |
1 | 7 | 106 | 113 |
Приближение было найдено Архимедом; оно верно до значит, и подавно верно до . Число было указано Адрианом Мецием; взяв это число вместо π, сделаем ошибку, меньшую т. e. во всяком случае меньшую одной миллионной. Приближения Архимеда и Меция, как подходящие дроби чётного порядка, более π.
Извлечение квадратного корня
Пусть требуется найти при помощи непрерывных дробей. Рассуждаем так: наибольшее целое число, заключающееся в , есть 6; поэтому можем положить:
откуда:
(1)
Так как равняется 12 с дробью, то наибольшее число, заключающееся в , ecть 2; поэтому можем положить:
откуда:
(2)
Так как равняется 10 с дробью, то и наибольшее целое число, заключающееся в ; поэтому можем положить:
(3)
откуда:
Наибольшее целое число, заключающееся в, есть 12; поэтому можем положить:
откуда:
Сравнивая формулу для v с формулой для х, находим, что υ = х. Пользуясь равенствами (1), (2), (3) и (4), получим:
Таким образом, выразился периодической непрерывной дробью. Найдя подходящие дроби, получим приближённые значения :
2 | 12 | 2 | 2 | … | ||
6 | 13 | 32 | 397 | 826 | 2049 | … |
1 | 2 | 5 | 62 | 129 | 320 | … |
Подобным же образом найдём:
√13=(3; 1; 1; 1; 1; 6; 1; 1; …); √29=(5; 2; 1; 1; 2; 10; …).
Нахождение решения неопределённого уравнения
Непрерывные дроби дают средство найти одно решение неопределённого уравнения ax+by=c. Покажем это на примерах. Пусть имеем уравнение:
43x+15y=8.
Возьмём дробь и обратим её в непрерывную:
Найдём теперь предпоследнюю подходящую дробь; это будет .
Так как последняя подходящая дробь есть точное значение непрерывной дроби, т. е. , а есть подходящая дробь нечётного порядка, то на основании теоремы (замечание) можем написать:
откуда:
43‧7—15‧20=1.
Чтобы уподобить последнее тождество данному уравнению, умножим все его члены на 8 и представим его так:
43‧56+15 (—160)=8.
Сравнив теперь это тождество с нашим уравнением, находим, что в последнем за х можно принять число 56, а за у число—160. Тогда всевозможные решения выразятся формулами:
x=56-15t; у=—160+43t.
Эти формулы можно упростить, заменив t на t+3 (что можно сделать вследствие произвольности числа t):
х=56—15(t+3) = 11-15t; у= —160+43 (t+3)= -31 +43t.
Возьмём ещё пример: 7x—19y=5.
Обратив дробь в непрерывную, найдём:
Предпоследняя подходящая дробь будет . Так как она чётного порядка, то
откуда:
7‧8—19∙3=-1.
Умножив все члены этого равенства на 5, получим:
7‧40—19‧15=-5, или 7∙ (—40)-19∙(-15)=5.
Сравнивая последнее тождество с данным уравнением, находим, что в последнем за х можно принять число—40, а за у число —15.
Тогда:
x = -40+19t; у= —15+7t.
Эти формулы можно упростить, заменив t на t+2:
x = -40+19 (t+2) = -2+19t;
у= -15+7 (t+2) =—1+7t.
Вычисление логарифма
Пусть требуется вычислить lg 2 по основанию 10; другими словами, требуется решить уравнение. Сначала находим для х ближайшее целое число. Так как , a , то х заключается между 0 и 1; следовательно, можно положить, что, тогда , или . Нетрудно видеть, что z заключается между 3 и 4; следовательно, можно положить . Тогда:
откуда:
Испытанием находим, что z₁ заключается между 3 и 4, поэтому можно положить:
откуда:
Снова испытанием находим, что z₂ заключается между 9 и 10. Этот приём можно продолжать далее. Довольствуясь приближённой величиной z₂, можем положить z₂=9; следовательно:
Обратив эту непрерывную дробь в обыкновенную, получим:
этот результат верен до четвёртого десятичного знака; более точные изыскания дают: x=0,3010300.
Решение заданий и задач по предметам:
- Математика
- Высшая математика
- Математический анализ
- Линейная алгебра
Дополнительные лекции по высшей математике:
- Тождественные преобразования алгебраических выражений
- Функции и графики
- Преобразования графиков функций
- Квадратная функция и её графики
- Алгебраические неравенства
- Неравенства
- Неравенства с переменными
- Прогрессии в математике
- Арифметическая прогрессия
- Геометрическая прогрессия
- Показатели в математике
- Логарифмы в математике
- Исследование уравнений
- Уравнения высших степеней
- Уравнения высших степеней с одним неизвестным
- Комплексные числа
- Непрерывная дробь (цепная дробь)
- Алгебраические уравнения
- Неопределенные уравнения
- Соединения
- Бином Ньютона
- Число е
- Функция
- Исследование функций
- Предел
- Интеграл
- Двойной интеграл
- Тройной интеграл
- Интегрирование
- Неопределённый интеграл
- Определенный интеграл
- Криволинейные интегралы
- Поверхностные интегралы
- Несобственные интегралы
- Кратные интегралы
- Интегралы, зависящие от параметра
- Квадратный трехчлен
- Производная
- Применение производной к исследованию функций
- Приложения производной
- Дифференциал функции
- Дифференцирование в математике
- Формулы и правила дифференцирования
- Дифференциальное исчисление
- Дифференциальные уравнения
- Дифференциальные уравнения первого порядка
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Дифференциальные уравнения в частных производных
- Тригонометрические функции
- Тригонометрические уравнения и неравенства
- Показательная функция
- Показательные уравнения
- Обобщенная степень
- Взаимно обратные функции
- Логарифмическая функция
- Уравнения и неравенства
- Положительные и отрицательные числа
- Алгебраические выражения
- Иррациональные алгебраические выражения
- Преобразование алгебраических выражений
- Преобразование дробных алгебраических выражений
- Разложение многочленов на множители
- Многочлены от одного переменного
- Алгебраические дроби
- Пропорции
- Уравнения
- Системы уравнений
- Системы уравнений высших степеней
- Системы алгебраических уравнений
- Системы линейных уравнений
- Системы дифференциальных уравнений
- Арифметический квадратный корень
- Квадратные и кубические корни
- Извлечение квадратного корня
- Рациональные числа
- Иррациональные числа
- Арифметический корень
- Квадратные уравнения
- Иррациональные уравнения
- Последовательность
- Ряды сходящиеся и расходящиеся
- Тригонометрические функции произвольного угла
- Тригонометрические формулы
- Обратные тригонометрические функции
- Теорема Безу
- Математическая индукция
- Показатель степени
- Показательные функции и логарифмы
- Множество
- Множество действительных чисел
- Числовые множества
- Преобразование рациональных выражений
- Преобразование иррациональных выражений
- Геометрия
- Действительные числа
- Степени и корни
- Степень с рациональным показателем
- Тригонометрические функции угла
- Тригонометрические функции числового аргумента
- Тригонометрические выражения и их преобразования
- Преобразование тригонометрических выражений
- Комбинаторика
- Вычислительная математика
- Прямая линия на плоскости и ее уравнения
- Прямая и плоскость
- Линии и уравнения
- Прямая линия
- Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- Кривые второго порядка
- Кривые и поверхности второго порядка
- Числовые ряды
- Степенные ряды
- Ряды Фурье
- Преобразование Фурье
- Функциональные ряды
- Функции многих переменных
- Метод координат
- Гармонический анализ
- Вещественные числа
- Предел последовательности
- Аналитическая геометрия
- Аналитическая геометрия на плоскости
- Аналитическая геометрия в пространстве
- Функции одной переменной
- Высшая алгебра
- Векторная алгебра
- Векторный анализ
- Векторы
- Скалярное произведение векторов
- Векторное произведение векторов
- Смешанное произведение векторов
- Операции над векторами
- Непрерывность функций
- Предел и непрерывность функций нескольких переменных
- Предел и непрерывность функции одной переменной
- Производные и дифференциалы функции одной переменной
- Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
- Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- Матрицы
- Линейные и евклидовы пространства
- Линейные отображения
- Дифференциальные теоремы о среднем
- Теория устойчивости дифференциальных уравнений
- Функции комплексного переменного
- Преобразование Лапласа
- Теории поля
- Операционное исчисление
- Системы координат
- Рациональная функция
- Интегральное исчисление
- Интегральное исчисление функций одной переменной
- Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- Отношение в математике
- Математическая логика
- Графы в математике
- Линейные пространства
- Первообразная и неопределенный интеграл
- Линейная функция
- Выпуклые множества точек
- Система координат
Как найти целое дробей
Определение целой части у дробного числа производится визуально, то есть достаточно только посмотреть на число и, зная ряд простейших правил, отделить его дробную часть от целой.
Инструкция
Если данное число является дробью десятичной, а такие дроби записываются в строчку и всегда имеют знак запятой, то именно по этому знаку и определяется, где целая, а где дробная составляющая данного числа. Тогда число, которое расположено слева от запятой, и есть искомая целая часть, а то, что написано справа – дробная. Пример 1. У десятичной дроби 56,89 целая часть – 56 (пятьдесят шесть целых), а дробная – 89 (восемьдесят девять сотых). Читается это число как: «пятьдесят шесть целых восемьдесят девять сотых».Пример 2. 0,4 – дробь ноль целых четыре десятых не имеет целой части, так как она равна нулю.
Если надо отделить целую часть у обыкновенной дроби, которая пишется в столбик (см. рисунок) или в строчку через дробь «/», например, 47 2/3 (сорок семь целых две третьих), то в этом случае целая составляющая числа пишется отдельно от его дробной части. Если целая часть равна нулю, то она просто не пишется.Пример 3. На рисунке: целая часть первой дроби равна сорока семи, у второй дроби она равна нулю.Пример 4. У числа 47 2/3, «47» – целая часть. У дроби 5/9 – целой части нет или она равна нулю.
Если обыкновенная дробь записана в неправильном виде (это когда в числителе значение больше, чем в знаменателе), к примеру, 6/4, то целую часть выделить нужно путем математического действия. Следует разделить в столбик числитель на знаменатель числа. В ответе получится десятичная дробь, а выделение целой части такого числа, указано в первом шаге данной статьи.Пример 5. Чтобы выделить целую часть у числа 5/2, разделите в столбик 5 на 2 (см. рисунок). В ответе видно, что эта дробь равна десятичной 2,5. Значит целая часть этого числа равна двум. Это число в обыкновенной дроби запишется как 2 5/10 = 2 ½.Если при делении числитель нацело не делится на знаменатель, то дробь запишется в следующем алгоритме: целая часть ответа – это целая часть составляемой дроби, остаток деления – числитель дроби, а делитель – это знаменатель результативной дроби (см рисунок).
Видео по теме
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.