Как найти наибольшее целое решение функции

Наибольшее решение неравенства

При изучении темы «Линейные неравенства» встречаются задания, в которых требуется найти наибольшее решение неравенства либо наибольшее целое (или натуральное) решение неравенства.

Рассмотрим примеры выполнения таких заданий.

1) Найти наибольшее целое решение неравенства :

Раскроем скобки и упростим правую часть неравенства. Первые скобки раскрываем по формуле квадрата разности:

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

При делении на отрицательное число знак неравенства изменяется на противоположный:

Наибольшее решение неравенства — x= -2.

Для большей наглядности решение неравенства можно изобразить на числовой прямой:

2) Найти наибольшее натуральное решение неравенства :

Раскроем скобки. В левой части — произведение суммы и разности, в правой — квадрат разности:

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками

0> right.]” title=”Rendered by QuickLaTeX.com”/>

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. При делении на положительное число знак неравенства не изменяется:

Наибольшее натуральное решение неравенства x=1.

3) Найти наибольшее решение неравенства :

Обе части неравенства умножим на наименьший общий знаменатель:

0> right.]” title=”Rendered by QuickLaTeX.com”/>

При умножении на положительное число знак неравенства не изменяется:

Как показывает практика, произведение дополнительного множителя и числителя лучше записывать с помощью скобок. Если перед дробью стоит знак «минус», числитель также лучше заключить в скобки. Такая запись позволяет избежать ошибок, связанных с раскрытием скобок.

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. При делении на отрицательное число знак неравенства изменяется на противоположный:

Наибольшее решение неравенства равно -4,6 (все остальные значения x меньше него).

4) Определить наибольшее решение неравенства :

Обе части неравенства умножаем на наименьший общий знаменатель 6. При умножении на положительное число знак неравенства не изменяется:

0> right.]” title=”Rendered by QuickLaTeX.com”/>

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

Наибольшее значение в данном случае указать нельзя (x=9 не входит в решение).

Ответ: неравенство не имеет наибольшего значения.

Решение неравенств

Шаг 1. Введите неравенство

Подробно решает любые неравенства онлайн с возможностью изобразить неравенство на рисунке.

Примеры

Неравенства с модулем

С кубом (неравество третьей степени)

С кубическим корнем

С натуральным логарифмом

Иррациональные с квадратным корнем

С четвёртой степенью

Решение с целыми числами

Правила ввода выражений и функций

3.14159.. e Число e – основание натурального логарифма, примерно равно

2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности – знак для бесконечности

© Контрольная работа РУ – калькуляторы онлайн

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите:

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение неравенств: линейные, квадратные и дробные.

Программа решения неравенств не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Причём, если в процессе решения неравенства нужно решить, например, квадратное уравнение, то его подробное решение также выводится (оно заключается в спойлер).

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: ( x, y, z, a, b, c, o, p, q ) и т.д.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x – 3,5x^2

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 – 5&6/5y +1/7y^2
Результат: ( 3frac<1> <3>- 5frac<6> <5>y + frac<1><7>y^2 )

При вводе выражений можно использовать скобки. В этом случае при решении неравенства выражения сначала упрощаются.
Например: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)

Нажмите на кнопку для изменения типа неравенства.

Выберите нужный знак неравенства и введите многочлены в поля ниже.
Решить неравенство

Немного теории.

Сравнивать величины и количества при решении практических задач приходилось ещё с древних времён. Тогда же появились и такие слова, как больше и меньше, выше и ниже, легче и тяжелее, тише и громче, дешевле и дороже и т.д., обозначающие результаты сравнения однородных величин.

Понятия больше и меньше возникли в связи со счётом предметов, измерением и сравнением величин. Например, математики Древней Греции знали, что сторона любого треугольника меньше суммы двух других сторон и что против большего угла в треугольнике лежит большая сторона. Архимед, занимаясь вычислением длины окружности, установил, что периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых диаметра.

Символически записывать соотношения между числами и величинами с помощью знаков > и b. Записи, в которых два числа соединены одним из знаков: > (больше), frac<1> <3>) верное числовое неравенство, 0,23 > 0,235 — неверное числовое неравенство.

Неравенства, в которые входят неизвестные, могут быть верными при одних значениях неизвестных и неверными при других. Например, неравенство 2x+1>5 верное при х = 3, а при х = -3 — неверное. Для неравенства с одним неизвестным можно поставить задачу: решить неравенство. Задачи решения неравенств на практике ставятся и решаются не реже, чем задачи решения уравнений. Например, многие экономические проблемы сводятся к исследованию и решению систем линейных неравенств. Во многих разделах математики неравенства встречаются чаще, чем уравнения.

Некоторые неравенства служат единственным вспомогательным средством, позволяющим доказать или опровергнуть существование определённого объекта, например, корня уравнения.

Далее вы узнаете свойства неравенств, научитесь решать неравенства. Полученные умения вам понадобятся при изучении последующего материала, для решения практических задач, а также задач физики и геометрии.

Числовые неравенства

Вы умеете сравнивать целые числа, десятичные дроби. Знаете правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями, но разными числителями; с одинаковыми числителями, но разными знаменателями. Здесь вы научитесь сравнивать любые два числа с помощью нахождения знака их разности.

Сравнение чисел широко применяется на практике. Например, экономист сравнивает плановые показатели с фактическими, врач сравнивает температуру больного с нормальной, токарь сравнивает размеры вытачиваемой детали с эталоном. Во всех таких случаях сравниваются некоторые числа. В результате сравнения чисел возникают числовые неравенства.

Определение. Число а больше числа b, если разность а-b положительна. Число а меньше числа b, если разность а-b отрицательна.

Если а больше b, то пишут: а > b; если а меньше b, то пишут: а b означает, что разность а – b положительна, т.е. а – b > 0. Неравенство а b, a = b, a , = или b и b > с, то а > с.

Теорема. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится.
Следствие. Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный.

Теорема. Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.
Следствие. Если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

Вы знаете, что числовые равенства можно почленно складывать и умножать. Далее вы научитесь выполнять аналогичные действия с неравенствами. Умения почленно складывать и умножать неравенства часто применяются на практике. Эти действия помогают решать задачи оценивания и сравнения значений выражений.

При решении различных задач часто приходится складывать или умножать почленно левые и правые части неравенств. При этом иногда говорят, что неравенства складываются или умножаются. Например, если турист прошёл в первый день более 20 км, а во второй – более 25 км, то можно утверждать, что за два дня он прошёл более 45 км. Точно так же если длина прямоугольника меньше 13 см, а ширина меньше 5 см, то можно утверждать, что площадь этого прямоугольника меньше 65 см2.

При рассмотрении этих примеров применялись следующие теоремы о сложении и умножении неравенств:

Теорема. При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака: если а > b и c > d, то a + c > b + d.

Теорема. При умножении неравенств одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, получается неравенство того же знака: если а > b, c > d и а, b, с, d – положительные числа, то ac > bd.

Неравенства со знаком > (больше) и 1/2, 3/4 b, c и и b, quad ax

Решение неравенств второй степени с одной переменной

Неравенства вида
( ax^2+bx+c >0 ) и ( ax^2+bx+c 0 ) или ( ax^2+bx+c 0 или вниз при a 0 или в нижней при a 0 ) ) или ниже оси x (если решают неравенство
( ax^2+bx+c

Решение неравенств методом интервалов

Рассмотрим функцию
f(x) = (х + 2)(х – 3)(х – 5)

Областью определения этой функции является множество всех чисел. Нулями функции служат числа -2, 3, 5. Они разбивают область определения функции на промежутки ( (-infty; -2), ; (-2; 3), ; (3; 5) ) и ( (5; +infty) )

Выясним, каковы знаки этой функции в каждом из указанных промежутков.

Выражение (х + 2)(х – 3)(х – 5) представляет собой произведение трех множителей. Знак каждого из этих множителей в рассматриваемых промежутках указан в таблице:

( (-infty; -2) )	( (-2; 3) )	( (3; 5) )	( (5; +infty) )
x+2	–	+	+	+
x-3	–	–	+	+
x-5	–	–	–	+

Отсюда ясно, что:
если ( x in (-infty;-2) ), то f(x) 0;
если ( x in (3;5) ), то f(x) 0.

Мы видим, что в каждом из промежутков ( (-infty; -2), ; (-2; 3), ; (3; 5), ; (5; +infty) ) функция сохраняет знак, а при переходе через точки -2, 3 и 5 ее знак изменяется.

Вообще пусть функция задана формулой
f(x) = (x-x₁)(x-x₂) . (x-x_n),
где x–переменная, а x₁, x₂, . x_n – не равные друг другу числа. Числа x₁, x₂, . x_n являются нулями функции. В каждом из промежутков, на которые область определения разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль ее знак изменяется.

Выбираем те промежутки, на которых функция меньше нуля и записываем ответ.

Ответ:
( x in left( -4; ; 0 right) cup left( 0,5; ; +infty right) )
или
( -4 0,5 )

Наносим на числовую ось нули и точки разрыва функции:

Выбираем те промежутки, на которых функция меньше или равна нулю и записываем ответ.

Ответ:
( x in left( -infty; ; 1 right) cup left[ 4; ; +infty right) )
или
( x

[spoiler title=”источники:”]

http://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/neravenstva/

http://www.math-solution.ru/math-task/inequality

[/spoiler]

Наибольшее целое решение системы неравенств

Задание, которое часто встречается в алгебре,- найти наибольшее целое решение системы неравенств.

Чтобы найти наибольшее целое решение системы неравенств, надо решить её и выбрать из полученного множества решений наибольшее целое число (если такое есть).

Найти наибольшее целое решение системы неравенств:

2x + 2\ 1 — 3x

Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

2 — 12\ — 3x + 5x

Упрощаем и делим каждое неравенство на число, стоящее перед иксом. При делении на положительное число b» href=»http://www.algebraclass.ru/axb/» target=»_blank»>знак неравенства не меняется:

— 10___left| <:5 >0> right.\ 2x 0> right. end right.]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

— 2\ x

Отмечаем решение каждого из неравенств на числовой прямой. Решением системы является пересечение решений неравенств (то есть общая часть, где штриховка есть на каждой числовой прямой). Поскольку неравенства строгие, концы промежутков не включаем в решение.

Из целых решений системы выбираем наибольшее и записываем ответ.

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

Делим обе части неравенства на число, стоящее перед иксом. При делении при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный, при делении на положительное число — не изменяется:

0> right. end right.]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Решения неравенств отмечаем на числовых прямых и из полученного множества решений выбираем наибольшее.

Поскольку неравенства нестрогие, концы промежутка входят в решение. Значит, наибольшее целое решение системы равно 2.

4x end right.]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Обе части каждого из неравенств умножаем на наименьший общий знаменатель. В первом неравенстве он равен 12, во втором — 2. При умножении на положительное число знак неравенства не изменяется:

0> right.\ frac<<7>>> <2>+ <3^<backslash 2>> > 4>___left| < cdot 2 >0> right. end right.]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

8x end right.]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

— 6 end right.]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Обе части первого неравенства делим на положительное число, знак неравенства при этом не изменяется. При делении обеих частей на отрицательное число знак второго неравенства изменяется на противоположный:

0> right.\ — x > — 6___left| <:( – 1)

Оба неравенства с одинаковым знаком. Применяя правило «меньше меньшего», приходим к неравенству x Рубрика: Неравенства | Комментарии

Источник

Наибольшее решение неравенства

При изучении темы «Линейные неравенства» встречаются задания, в которых требуется найти наибольшее решение неравенства либо наибольшее целое (или натуральное) решение неравенства.

Рассмотрим примеры выполнения таких заданий.

1) Найти наибольшее целое решение неравенства :

Раскроем скобки и упростим правую часть неравенства. Первые скобки раскрываем по формуле квадрата разности:

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

При делении на отрицательное число знак неравенства изменяется на противоположный:

Наибольшее решение неравенства — x= -2.

Для большей наглядности решение неравенства можно изобразить на числовой прямой:

2) Найти наибольшее натуральное решение неравенства :

Раскроем скобки. В левой части — произведение суммы и разности, в правой — квадрат разности:

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками

0> right.]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. При делении на положительное число знак неравенства не изменяется:

Наибольшее натуральное решение неравенства x=1.

3) Найти наибольшее решение неравенства :

Обе части неравенства умножим на наименьший общий знаменатель:

0> right.]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

При умножении на положительное число знак неравенства не изменяется:

Как показывает практика, произведение дополнительного множителя и числителя лучше записывать с помощью скобок. Если перед дробью стоит знак «минус», числитель также лучше заключить в скобки. Такая запись позволяет избежать ошибок, связанных с раскрытием скобок.

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. При делении на отрицательное число знак неравенства изменяется на противоположный:

Наибольшее решение неравенства равно -4,6 (все остальные значения x меньше него).

4) Определить наибольшее решение неравенства :

Обе части неравенства умножаем на наименьший общий знаменатель 6. При умножении на положительное число знак неравенства не изменяется:

0> right.]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

Наибольшее значение в данном случае указать нельзя (x=9 не входит в решение).

Ответ: неравенство не имеет наибольшего значения.

Источник

Решение линейных неравенств

О чем эта статья:

Основные понятия

Алгебра не всем дается легко с первого раза. Чтобы не запутаться во всех темах и правилах, важно изучать темы последовательно и по чуть-чуть. Сегодня узнаем, как решать линейные неравенства.

Неравенство — это алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, , ≤, ≥.

Линейные неравенства — это неравенства вида:

где a и b — любые числа, a ≠ 0, x — неизвестная переменная. Как решаются неравенства рассмотрим далее в статье.

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит найти все значения переменной, при которой неравенство верное.

Типы неравенств

1. Строгие — используют только больше (>) или меньше ( b — это значит, что a больше, чем b.
2. a > b и b > и

Линейные неравенства: свойства и правила

Вспомним свойства числовых неравенств:

1. Если а > b , то b а.
2. Если а > b и b > c, то а > c. И также если а b, то а + c > b+ c (и а – c > b – c).

Если же а b и c > d, то а + c > b + d.

Если а 8 почленно вычесть 3 > 2, получим верный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно вычесть 7 > 2, то полученное будет неверным.

Если а d, то а – c b, m — положительное число, то mа > mb и

Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число (знак при этом остаётся тем же).

Если же а > b, n — отрицательное число, то nа

Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число, при этом знак неравенства поменять на противоположный.

1. Если а > b и c > d, где а, b, c, d > 0, то аc > bd.

Если а 0, то аc b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а b, где а, b > 0, то
b» height=»45″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/MuRDPQeqxIZvVG_mHVaktFp6nlIEEbz8zdRs1ZW8CZbZacJrS4aKzrDyhKxXpJvc35TSAgiRpqr-63sGzL9_sPU80vFhR0ZDAmSmRFZtwEldDkWRttfSGuaJJIb7xWxZDugU3xTt»>

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое трансформирует его в верное числовое неравенство.

Чтобы упростить процесс нахождения корней неравенства, нужно провести равносильные преобразования — то заменить данное неравенство более простым. При этом все решения должны быть сохранены без возникновения посторонних корней.

Свойства выше помогут нам использовать следующие правила.

Правила линейных неравенств

1. Любой член можно перенести из одной части в другую с противоположным знаком. Знак неравенства при этом не меняется.

• 2x − 3 > 6 ⇒ 2x > 6 + 3 ⇒ 2x > 9.

1. Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число. Знак неравенства при этом не меняется.

• Умножим обе части на пять 2x > 9 ⇒ 10x > 45.

1. Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число. Знак неравенства при этом меняется на противоположный.

• Разделим обе части на минус два 2x > 9 ⇒ 2x : (–2) > 9 : (–2) ⇒ x
  
  

  Решение линейных неравенств

  Линейные неравенства с одной переменной x выглядят так:

  где a и b — действительные числа. А на месте x может быть обычное число.

  Равносильные преобразования

  Для решения ax + b , ≥) нужно применить равносильные преобразования неравенства. Рассмотрим два случая: когда коэффициент равен и не равен нулю.

  Алгоритм решения ax + b , ≥) является верным, когда исходное имеет решение при любом значении. Неверно тогда, когда исходное не имеет решений.

  Рассмотрим пример: 0 * x + 5 > 0.

  Как решаем:

  • Данное неравенство 0 * x + 5 > 0 может принимать любое значение x.
  • Получается верное числовое неравенство 5 > 0. Значит его решением может быть любое число.

  Метод интервалов

  Метод интервалов можно применять для линейных неравенств, когда значение коэффициента x не равно нулю.

  Метод интервалов заключается в следующем:

  • вводим функцию y = ax + b;
  • ищем нули для разбиения области определения на промежутки;
  • отмечаем полученные корни на координатной прямой;
  • определяем знаки и отмечаем их на интервалах.

  Алгоритм решения ax + b , ≥) при a ≠ 0 с использованием метода интервалов:

  • найдем нули функции y = ax + b для решения уравнения ax + b = 0.

  Если a ≠ 0, тогда решением будет единственный корень — х₀;

  • начертим координатную прямую с изображением точки с координатой х₀, при строгом неравенстве точку рисуем выколотой, при нестрогом — закрашенной;
  • определим знаки функции y = ax + b на промежутках.

  Для этого найдем значения функции в точках на промежутке;

  если решение неравенства со знаками > или ≥ — добавляем штриховку над положительным промежутком на координатной прямой, если 0.

  Как решаем:

  В соответствии с алгоритмом, сначала найдем корень уравнения − 6x + 12 = 0,

  Изобразим координатную прямую с отмеченной выколотой точкой, так как неравенство является строгим.

  

  Определим знаки на промежутках.

  Чтобы определить на промежутке (−∞, 2), необходимо вычислить функцию y = −6x + 12 при х = 1. Получается, что −6 * 1 + 12 = 6, 6 > 0. Знак на промежутке является положительным.

  Определяем знак на промежутке (2, + ∞) , тогда подставляем значение х = 3. Получится, что −6 * 3 + 12 = − 6, − 6

  Графический способ

  Смысл графического решения неравенств заключается в том, чтобы найти промежутки, которые необходимо изобразить на графике.

  Алгоритм решения y = ax + b графическим способом

  • во время решения ax + b 0 определить промежуток, где график изображается выше Ох;
  • во время решения ax + b ≥ 0 определить промежуток, где график находится выше оси Ох или совпадает.

  Рассмотрим пример: −5 * x − √3 > 0.

  Как решаем

  • Так как коэффициент при x отрицательный, данная прямая является убывающей.
  • Координаты точки пересечения с Ох равны (−√3 : 5; 0).
  • Неравенство имеет знак >, значит нужно обратить внимание на промежуток выше оси Ох.
  • Поэтому открытый числовой луч (−∞, −√3 : 5) будет решением.

  Ответ: (−∞, −√3 : 5) или x

  Источник

Широкое использование функциональной линии в
школьном курсе математики появилось не так
давно, но вошло в круг основных вопросов
математики достаточно быстро. Примером тому
служит анализ КИМов государственного
тестирования и ЕГЭ за последние годы. Появились
совершенно новые типы задач, не входящие в
действующие школьные учебники, при решении
которых ученику необходимо практическое
применение свойств функций, которые раньше
заучивались лишь теоретически. Уравнения,
решаемые методом мажорант, с использованием
теорем о монотонности функций, которые еще пять
лет назад считались “нестандартными”, входят в
ЕГЭ группы “В”. Анализ выполнения заданий
выпускниками показал, что наибольшие
затруднения вызывают задания:

Уровня А: нахождение области определения
сложной функции; чтение свойств функции по
графику и распознавать графики элементарных
функций; использование графика функции при
решении неравенств; нахождение области
определения сложной функции; решение
неравенств с одной переменной на основе свойств
функции.

Уровня В: применение геометрического смысла
производной; использование свойств функции для
решения задач; решение текстовых задач,
составляя математическую модель предложенной в
ней ситуации; исследование сложной функции
элементарными методами.

Естественно, что вопрос методики изучения
свойств функций при решении задач различных
типов важен для каждого учителя. Работая в
гимназических классах физико-математического и
естественно-научного направления, я вводила
способы решения таких задач в тематические
лекции, занятия спецкурсов и факультативов.
Расширение типов задач на применение свойств
функций, включаемых в ЕГЭ, оставляет данную тему
интересной и актуальной для меня. Цель данной
работы: рассмотреть типы задач функциональной
линии, встречающиеся в КИМах ЕГЭ, решаемые без
применения производной; рассмотреть методику
решения этих задач; привести примеры задач,
которые можно использовать при подготовке
учащихся к ЕГЭ.

Задания на распознавание графиков
элементарных функций.

Задания данного типа проверяют базовый уровень
и не вызывают затруднений у основной части
выпускников.

Пример. На одном из рисунков изображен график
функции .

Укажите этот рисунок.

1)
2)

3)
4)

Ответ: 2).

Область определения функции в задачах ЕГЭ.

Задания группы “А” проверяют знание учащимися
области определения элементарных функций
школьного курса алгебры и некоторых комбинаций с
ними. Поэтому отработку навыка нахождения
области определения таких функций целесообразно
проводить:

• при изучении каждой новой функции, применяя
  новые знания, а также повторять ранее изученное,
  составляя комбинации простейших функций;
• при изучении простейших типов уравнений,
  неравенств (показательные, логарифмические,
  тригонометрические) вводить задания на
  нахождение области определения функции.

Пример 1. Найдите область определения функции
.

Решение: так как логарифм определен только
для положительных выражений, получим: 2х – х²
> 0, х(х – 2) < 0, все х(0;2). Ответ: 1)

Пример 2. Найдите область определения функции
.

1)

2)

3)

4)

Решение: так как знаменатель дроби не равен
нулю, а подкоренное выражение корня четной
степени неотрицательно, для нахождения области
определения решаем систему

, , .
Все х. Ответ: 3).

Пример 3. Найдите область определения функции
.

1)	[2; +)	3)	(-; 2]
2)	(-; -2]	4)	(-; 2)

Решение: подкоренное выражение квадратного
корня должно быть неотрицательным, поэтому для
нахождения области определения функции надо
решить неравенство

, , ; так как 0<<1, то 9-2х 5, х 2. Ответ: 1).

Пример 4.Укажите область определения функции .

1)

2)

3)

4)

Решение: подкоренное выражение квадратного
корня должно быть неотрицательным, поэтому для
нахождения области определения функции надо
решить неравенство ;

, Ответ: 2).

Встречались задания аналогичного характера и в
группе “В”.

Пример 5. Найдите сумму всех целых чисел,
входящих в область определения функции .

Решение. Логарифмируемое выражение
положительно, поэтому, .
Полученное неравенство равносильно
совокупности двух систем:

или ,

Целые числа, входящие в решение первой системы:
3, 4, 5; в решении второй системы целых чисел нет.
Найдем сумму: 3 + 4 + 5 = 12. Ответ: 12.

Область значения функции в задачах ЕГЭ.

В заданиях ЕГЭ группы “А” задачи на нахождение
области значения функции представлены в трех
видах: определить область значения функции по
данному графику; определить область значения
функции, заданной аналитически; определить
наибольшее или наименьшее значение функции,
заданной аналитически.

Естественно, что отработка навыка нахождения
области значений функции по графику проводится
при изучении каждой новой функции, при изучении
преобразований графиков функций (9-11 классы). В
эти темы нужно включать задания, выполняемые не
только по графику, но и с функциями, заданными
аналитически.

Графическое задание функций.

1. Укажите множество значений функции, график
которой изображен на рисунке.

Решение: так как область значения функции –
это проекция графика на ось ординат, получим
промежуток .
Ответ: 3)

Аналитическое задание функций.

1. Укажите множество значений функции

1)

(5; )

2)

(0; )

3)

(- ; )

4)

(7; )

Решение: так как Е() = (0; ),
то Е(+5) = (5; ). Ответ: 1)

2. Найдите множество значений функции .

1)

(2,5; + )

2)

( – ; 2,5)

3)

(- ; + )

4)

(0; + )

Решение: так как Е() = (- ; + ), то Е(2,5+) = (- ; + ). Ответ: 3)

Указать наибольшее или наименьшее значение
функции, заданной аналитически.

Для успешного нахождения множества значений
функции надо хорошо знать свойства основных
элементарных функций, особенно их области
определения, области значений и характер
монотонности. Несложные задачи на нахождение
множества значений функции в большинстве своем
ориентированы: на использование простейших
оценок и ограничений (, ,
, и т.д.); на
выделение полного квадрата ; на преобразование
тригонометрических выражений ; использование
монотонности функции ( возрастает на R).

Более сложные задачи на нахождение множества
значений функции рассчитаны на:
последовательное нахождение значений сложных
аргументов функции; метод оценок;

использование свойств непрерывности и
монотонности функции; использование наибольшего
и наименьшего значений функции; графический
метод; метод введения параметра; метод обратной
функции.

Пример 1. (группа А). Укажите наибольшее
значение функции .

1)

1

2)

2

3)

0

4)

4

Решение: Анализируем изменения области
значений функции: Е() = , Е( –) = , тогда Е( 1- ) =[0;2]. Значит, наибольшее
значение данной функции равно 2. Ответ: 2).

Пример 2 (группа В). Укажите наибольшее целое
значение функции .

Решение.

Преобразуем выражение, стоящее под знаком
корня: .

Оценим получившееся выражение: , . Значит, наибольшее значение данной
функции достигается при значении подкоренного
выражения 12, т.е. у_наиб=.Так как 5, то наибольшее целое
значение функции равно 8.

Ответ: 8.

Пример 3 (группа В). Укажите наибольшее
целое значение функции .

Решение. Найдем наибольшее значение функции
g(t)=5^t, где t = .

Т.к. 5>1, то наибольшее значение показательной
функции будет при наибольшем показателе.
Преобразуем его: ., , . Наибольшее t = 4,
наибольшее g = 5⁴.Значит, y_наиб.= 2 5⁴
=1250.

Ответ. 1250.

Пример 4 (группа С). Найдите наименьшее целое
значение выражения .

Решение. Преобразуем основание степени:

= =

= = =

= = ==

=.

Исходное выражение равно .

Так как , то . Следовательно,
наименьшее значение данного выражения, если оно
существует, равно 3. Найдем, при каких значениях х
значение полученного выражения равно трем. при , , .

При полученных значениях х исходное выражение
не существует, т.к. знаменатель равен нулю.
Значит, наименьшее значение выражения рано 4.

Ответ: 4.

Пример 5. Найдите область значений Е(у)
функции .

Решение. Решим это задание методом
последовательного нахождения значений сложных
аргументов функции. Выделив полный квадрат
под логарифмом, преобразуем функцию , и последовательно найдем
множества значений ее сложных аргументов: Е(3^х)
= (0; +), Е(3^х + 1) = (1; +), Е(- (3^х + 1)²) = (- ; – 1),

Е(5 – (3^х + 1)²) = (- ;
4). Обозначим t = 5 – (3^х + 1)², где t
Є (- ; 4). Тем самым
задача сводится к нахождению множества значений
функции на
луче (- ; 4). Так как функция определена
лишь при t Є(0; +), то
ее множество значений на луче (- ; 4) совпадает с множеством значений функции
на интервале (0; 4), представляющем собой
пересечение луча (- ; 4) с
областью определения (0; +)
логарифмической функции. На интервале (0; 4) эта
функция непрерывна и убывает. При она стремится к , а при принимает
значение -2, поэтому Е(у) = ( -2; ). Заметим, что для решения
примера вовсе не требовалось находить
предварительно область определения исходной
функции, хотя в ходе решения примера обойти эту
проблему полностью все же не удалось.

Пример 6. Найдите область значений функции у = . Решение.
Решим этот пример методом оценок, суть
которого состоит в оценке непрерывной функции
снизу и сверху и в доказательстве достижения
функцией нижней и верхней границы оценки. При
этом совпадение множества значений функции с
промежутком от нижней границы оценки до верхней
обуславливается непрерывностью функции и
отсутствием у нее других значений. Из неравенств , получим оценку . При и функция принимает значения -6 и 6, т.е.
достигает нижней и верхней границы оценки. Как
линейная комбинация непрерывных функций и , функция у непрерывна на
всей числовой оси. Поэтому по свойству
непрерывной функции она принимает все значения с
-6 до 6 включительно, и только их, так как в силу
неравенств другие
значения у нее невозможны. Следовательно, . Ответ. .

К нахождению множества значений функции
сводятся многие задачи с параметром, связанные, в
основном, с разрешимостью и числом решений
уравнений и неравенств. Например, уравнение разрешимо
тогда и только тогда, когда . Аналогично, уравнение имеет хотя бы
один корень, расположенный на некотором
промежутке Х, или не имеет ни одного корня на
этом промежутке тогда и только тогда, когда принадлежит
или не принадлежит множеству значений функции на промежутке Х.
Также исследуются с привлечением множества
значений функции и неравенства , и т.д. В частности, для всех допустимых
значений х, если .

Пример 8. При каких значениях параметра уравнение имеет единственный
корень на отрезке . Решение. Запишем уравнение в виде . Последнее
уравнение имеет хотя бы один корень на отрезке тогда и только
тогда, когда
принадлежит множеству значений функции на отрезке . Найдем это множество,
используя свойство непрерывности и
монотонности функции. На отрезке функция непрерывна,
убывает и положительна, поэтому функция непрерывна и возрастает
на этом отрезке, так как при делении на
положительную функцию характер монотонности
функции меняется на противоположный. Функция непрерывна и
возрастает в своей области определения и, в частности,
на отрезке ,
где она, кроме того, положительна. Тогда функция , как
произведение двух непрерывных, возрастающих и
положительных функций, также непрерывна и
возрастает на отрезке , поэтому ее множество значений на есть отрезок .
Следовательно, уравнение имеет решение на
отрезке ,
причем единственное (по свойству непрерывной
монотонной функции), при .

Ответ: .

Как уже отмечалось, разрешимость уравнения на некотором
промежутке Х равносильна принадлежности
значений параметра множеству значений функции на Х. Следовательно,
множество значений функции на промежутке Х
совпадает с множеством значений параметра , для которых
уравнение имеет
хотя бы один корень на промежутке Х. В
частности, область значения функции совпадает с множеством
значений параметра , для которых уравнение имеет хотя бы один корень.

Пример 9. Найдите область значений функции .

Решение. Решим пример методом введения
параметра, согласно которому совпадает с множеством значений
параметра ,
для которых уравнение
имеет хотя бы один корень.

При
уравнение является линейным с ненулевым коэффициентом
при неизвестной , поэтому имеет решение. При уравнение является
квадратным, поэтому оно разрешимо тогда и только
тогда, когда его дискриминант . Так как точка принадлежит отрезку , то искомым
множеством значений параметра , значит, и областью
значений
будет весь отрезок. Ответ: .

Как непосредственное развитие метода введения
параметра при нахождении множества значений
функции, можно рассматривать метод обратной
функции, для нахождения которой надо решить
относительно
уравнение ,
считая у параметром. Если это уравнение имеет
единственное решение , то область значений исходной функции совпадает с
областью определения
обратной функции . Если
же уравнение имеет
несколько решений и т.д.,
то равна
объединению областей определения функций и т.д.

Пример 10. Найдите область значений функции .

Решение. Из уравнения найдем обратную функцию и ее область определения
: > 0 . Так как уравнение относительно х
имеет единственное решение, то . Ответ:

Умение находить наибольшее и наименьшее
значение функций необходимо при решении
уравнений и неравенств, еще несколько лет назад
относившихся к нестандартным, а сейчас они
входят в ЕГЭ (группы “В”, “С”).

Пример (В7, 2008 год). Решите уравнение .

Решение.

1)Рассмотрим левую часть уравнения: . Ее значения
при любых значениях х больше либо равны 2.

2) Рассмотрим правую часть уравнения: .

Так как , то
. Значит, . При любых значениях х
правая часть уравнения меньше либо равна 2.

3) Равенство левой и правой частей возможно лишь
в случае, когда обе части равны 2, т.е. Из первого
уравнения системы получаем х = 0,4. Этот корень
обращает второе уравнение в верное равенство.
Ответ: 0,4.

В данной статье не рассмотрено применение
таких свойств функции как монотонность, четность
и периодичность. Задачи на эти свойства также
включены в ЕГЭ, и с каждым годом появляются новые
типы. Это материал для отдельной статьи.

Используемая литература.

1. Мордкович А.Г., Семенов П.В. “Алгебра и начала
   анализа”, профильный уровень – учебники 10, 11
   классы, “Мнемозина”, 2007 год;
2. “Математика в школе”, Сильвестров В.В. “Как
   найти множество значений функции” – №9, 2008 год;
3. Качагин В.В. “Тематические тренировочные
   задания” – “ЭКСМО”, 2008 год;
4. Денищева Л.О., Рязановский А.Р. “Федеральный
   банк экзаменационных материалов”, “ЭКСМО”, 2008
   год;
5. Качагин В.В. “ЕГЭ. Сборник заданий”, “ЭКСМО”,
   2008 год;
6. Рязановский А.Р., Мирошин В.В. “Решение задач
   повышенной сложности”, “Интеллект-центр”, 2007
   год;
7. Демонстрационные варианты КИМ ЕГЭ, 2004 – 2009 год
   – сайт ФИПИ;