Как найти наибольшее целое решение системы неравенств - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Наибольшее целое решение системы неравенств

Задание, которое часто встречается в алгебре,- найти наибольшее целое решение системы неравенств.

Чтобы найти наибольшее целое решение системы неравенств, надо решить её и выбрать из полученного множества решений наибольшее целое число (если такое есть).

Рассмотрим примеры.

Найти наибольшее целое решение системы неравенств:

$[1)left{ begin{array}{l} 7x + 12 > 2x + 2\ 1 - 3x < 9 - 5x end{array} right.]$

Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

$[left{ begin{array}{l} 7x - 2x > 2 - 12\ - 3x + 5x < 9 - 1 end{array} right.]$

Упрощаем и делим каждое неравенство на число, стоящее перед иксом. При делении на положительное число знак неравенства не меняется:

$[left{ begin{array}{l} 5x > - 10___left| {:5 > 0} right.\ 2x < 8___left| {:2 > 0} right. end{array} right.]$

$[left{ begin{array}{l} x > - 2\ x < 4 end{array} right.]$

Отмечаем решение каждого из неравенств на числовой прямой. Решением системы является пересечение решений неравенств (то есть общая часть, где штриховка есть на каждой числовой прямой). Поскольку неравенства строгие, концы промежутков не включаем в решение.

Из целых решений системы выбираем наибольшее и записываем ответ.

Ответ: 3.

$[2)left{ begin{array}{l} 3x - 11 le 7x + 1\ 8x - 4 le 5x + 2 end{array} right.]$

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

$[left{ begin{array}{l} 3x - 7x le 1 + 11\ 8x - 5x le 2 + 4 end{array} right.]$

Делим обе части неравенства на число, стоящее перед иксом. При делении при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный, при делении на положительное число — не изменяется:

$[left{ begin{array}{l} - 4x le 12___left| {:( - 4) < 0} right.\ 3x le 6___left| {:3 > 0} right. end{array} right.]$

$[left{ begin{array}{l} x ge - 3\ x le 2 end{array} right.]$

Решения неравенств отмечаем на числовых прямых и из полученного множества решений выбираем наибольшее.

Поскольку неравенства нестрогие, концы промежутка входят в решение. Значит, наибольшее целое решение системы равно 2.

Ответ: 2.

$[3)left{ begin{array}{l} frac{{2x}}{3} - frac{x}{4} < 2\ frac{x}{2} + 3 > 4x end{array} right.]$

Обе части каждого из неравенств умножаем на наименьший общий знаменатель. В первом неравенстве он равен 12, во втором — 2. При умножении на положительное число знак неравенства не изменяется:

$[left{ begin{array}{l} frac{{2{x^{backslash 4}}}}{3} - frac{{{x^{backslash 3}}}}{4} < {2^{backslash 12}}___left| { cdot 12 > 0} right.\ frac{{7{x^{backslash 1}}}}{2} + {3^{backslash 2}} > 4{x^{backslash 2}}___left| { cdot 2 > 0} right. end{array} right.]$

$[left{ begin{array}{l} 8x - 3x < 24\ 7x + 6 > 8x end{array} right.]$

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

$[left{ begin{array}{l} 8x - 3x < 24\ 7x - 8x > - 6 end{array} right.]$

Обе части первого неравенства делим на положительное число, знак неравенства при этом не изменяется. При делении обеих частей на отрицательное число знак второго неравенства изменяется на противоположный:

$[left{ begin{array}{l} 5x < 24___left| {:5 > 0} right.\ - x > - 6___left| {:( - 1) < 0} right. end{array} right.]$

$[left{ begin{array}{l} x < 4,8\ x < 6 end{array} right.]$

Оба неравенства с одинаковым знаком. Применяя правило «меньше меньшего», приходим к неравенству x<4,8.

Наибольшее целое число, меньшее 4,8, равно 4.

Ответ:4.

Источник

При решении неравенств вы должны свободно владеть понятием числового неравенства, знать, что такое решение неравенства, что значит решить неравенство, помнить свойства неравенств. То же относится и к системам числовых неравенств. Все эти сведения вы можете найти в любом пособии для поступающих в вузы.
 Напомним свойства числовых неравенств.
 1. Если а > b , то b < а; наоборот, если а < b, то b > а.
 2. Если а > b и b > c, то а > c. Точно так же, если а b, то а + c > b+ c (и а – c > b – c). Если же а < b, то а + c < b+ c (и а – c b и c > d, то а + c > b + d; точно так же, если а < b и c < d, то а + c < b + d, т. е. два неравенства одинакового смысла можно почленно складывать.

Замечание.

Два неравенства одинакового смысла нельзя почленно вычитать друг из друга, так как результат может быть верным, но может быть и неверным. Например, если из неравенства 11 > 9 почленно вычесть неравенство 3 > 2, то получим верное неравенство 8 > 7. Если из неравенства 11 > 9 почленно вычесть неравенство 7 > 2, то полученное неравенство будет неверным.
 5. Если а > b и c < d, то а – c > b – d; если а d, то а – c b и m – положительное число, то m а > m b и , т.е. обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число ( знак неравенства остаётся тем же ).
 Если же а > b и n – отрицательное число, то n а < n b и , т.е. обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, но при этом знак неравенства нужно переменить на противоположный.
 7. Если а > b и c > d , где а, b, c, d > 0, то а c > b d и если а 0, то аc < bd, т.е. неравенства одного смысла на множестве положительных чисел можно почленно перемножать.
Следствие. Если а > b, где а, b > 0, то а² > b², и если а < b, то а² < b², т.е. на множестве положительных чисел обе части неравенства можно возводить в квадрат.

8. Если а > b, где а, b > 0, то и если а < b , то .

Виды неравенств и способы их решения

1. Линейные неравенства и системы неравенств

Пример 1. Решить неравенство .
 Решение:
 .
 Ответ: х < – 2.

Пример 2. Решить систему неравенств
    Решение:
         .
    Ответ: (– 2; 0].

Пример 3. Найти наименьшее целое решение системы неравенств

    Решение:

    Ответ:

2. Квадратные неравенства

Пример 4. Решить неравенство х² > 4.
    Решение:
        х² > 4   (х – 2)∙(х + 2) > 0.
        Решаем методом интервалов.

Ответ:

3. Неравенства высших степеней

Пример 5. Решить неравенство (х + 3)∙(х² – 2х + 1) > 0.
    Решение:

    Ответ: .

Пример 6. Найти середину отрезка, который является решением неравенства 4х² – 24х + 24 < 4у², где .
 Решение:
 Область определения неравенства: .
 С учётом области определения 4х² – 24х + 24 < 4у² будет равносильно неравенству

Решаем методом интервалов.

        Решение неравенства: .
        Середина отрезка: .
    Ответ: .

4. Рациональные неравенства

Пример 7. Найти все целые решения, удовлетворяющие неравенству .
    Решение:

Методом интервалов:

        Решение неравенства: .
        Целые числа, принадлежащие полученным полуинтервалам: – 6; – 5; – 4; 1.
    Ответ: – 6; – 5; – 4; 1.

5. Иррациональные неравенства

Помните! Начинать решение иррациональных неравенств нужно с нахождения области определения.

Пример 8. Решить неравенство .
    Решение:
        Область определения: .
        Так как арифметический корень не может быть отрицательным числом, то .
    Ответ: .

Пример 9. Найти все целые решения неравенства .

Решение:

Область определения .

– быть отрицательным не может, следовательно, чтобы произведение было неотрицательным достаточно потребовать выполнения неравенства , при этом учитывая область определения. Т.е. исходное неравенство равносильно системе .

Целыми числами из этого отрезка будут 2; 3; 4.

Ответ: 2; 3; 4.

Пример 10. Решить неравенство .

Решение:

Область определения:

Преобразуем неравенство: . С учётом области определения видим, что обе части неравенства – положительные числа. Возведём обе части в квадрат и получим неравенство, равносильное исходному.

т.е. , и этот числовой отрезок включён в область определения.

Ответ: .

Пример 11. Решить неравенство .

Решение:

Раскрываем знак модуля.

Объединим решения систем 1) и 2): .

Ответ: .

6. Показательные, логарифмические неравенства и системы неравенств

Пример 12. Решите неравенство .

Решение:

Ответ: .

Пример 13. Решите неравенство .

Решение:

Ответ: .

Пример 14. Решите неравенство .

Решение:

Ответ: .

Пример 15. Решите неравенство .

Решение:

Ответ: .

Задания для самостоятельного решения

Базовый уровень

Целые неравенства и системы неравенств

1) Решите неравенство 2х – 5 ≤ 3 + х.

2) Решите неравенство – 5х > 0,25.

3) Решите неравенство .

4) Решите неравенство 2 – 5х ≥ – 3х.

5) Решите неравенство х + 2 < 5x – 2(x – 3).

6) Решите неравенство
.

7) Решите неравенство (х – 3) (х + 2) > 0.

8) Решить систему неравенств

9) Найдите целочисленные решения системы неравенств .

10) Решить систему неравенств .

11) Решить систему неравенств

12) Найти наименьшее целое решение неравенства

13) Решите неравенство .

14) Решите неравенство .

15) Решите неравенство .

16) Решите неравенство .

17) Найдите решение неравенства , принадлежащие промежутку .

18) Решить систему неравенств

19) Найти все целые решения системы

Рациональные неравенства и системы неравенств

20) Решите неравенство .

21) Решите неравенство .

22) Определите число целых решений неравенства .

23) Определите число целых решений неравенства .

24) Решите неравенство .

25) Решите неравенство 2^x<16 .

26) Решите неравенство .

27) Решите неравенство .

28) Решите неравенство .

29) Найдите сумму целых решений неравенства на отрезке [– 7, 7].

30) Решите неравенство .

31) Решите неравенство .

Иррациональные неравенства

32) Решите неравенство .

33) Решите неравенство

34) Решите неравенство .

Показательные, логарифмические неравенства и системы неравенств

35) Решите неравенство .

36) Решите неравенство .

37) Решите неравенство .

38) Решите неравенство .

39) Решите неравенство .

40) Решите неравенство 49∙7^х < 7^{3х + 3}.

41) Найдите все целые решения неравенства .

42) Решите неравенство .

43) Решите неравенство .

44) Решите неравенство 7^x+1-7^x<42 .

45) Решите неравенство log₃(2x²+x-1)>log₃2 .

46) Решите неравенство log_0,5(2x+3)>0 .

47) Решите неравенство .

48) Решите неравенство .

49) Решите неравенство .

50) Решите неравенство log_x+112>log_x+12 .

51) Решите неравенство log_x9<2.

52) Решите неравенство .

Повышенный уровень

53) Решите неравенство |x-3|>2x.

54) Решите неравенство 2│х + 1| > х + 4.

55) Найдите наибольшее целое решение неравенства .

56) Решить систему неравенств

57) Решить систему неравенств .

58) Решите неравенство .

59) Решите неравенство 25•2^x-10^x+5^x>25 .

60) Решите неравенство .

Ответы

1) х ≤ 8; 2) х < – 0,05; 3) х ≥ 5; 4) х ≤ 1; 5) х > –2; 6) х < 11; 7) ; 8) (-2;0]; 9) – 1; 10) х ≥ 7,5; 11); 12) 1; 13); 14) х ≤ – 0,9; 15) х < – 1; 16) х < 24; 17); 18) ; 19) 3, 4, 5;

20) (0; 2); 21) (0; 1,5); 22) 3; 23) 6; 24) (–1; 1,5); 25) х < 4; 26); 27) (– 3; 17); 28)

; 29) – 10; 30) (0; + ∞); 31); 32) [1;17); 33) x > 17; 34) х ≥ 2; 35); 36) х < 2; 37) х > 0; 38) х ≤ 3; 39) х > – 3,5; 40) х > – 0,5; 41) 0, 1, 2, 3, 4, 5; 42) х < 3; 43) ; 44) х < 1; 45) ; 46) (– 1,5; – 1); 47) х < 0; 48); 49) ; 50) х > 0; 51) ; 52) ; 53) х < 1; 54); 55) – 1; 56) ; 57) [3,5; 10]; 58) (0, 1); 59) (0; 2); 60)

Источник

Ученик

(107),
на голосовании

6 лет назад

Голосование за лучший ответ

hhuman

Мастер

(2157)

6 лет назад

1. найди x у обоих неравенств
2. поставь точки (x) на числовой прямой
3. если знак < штрихуем влево
знак > штрихуем вправо
4. смотрим где двойная штриховка.
5. самое правое число на двойной штриховке будет являться решением системы

Источник

27. Решение систем
линейных неравенств.

Пусть заданы
несколько неравенств с одним неизвестным. Если требуется найти число, которое
является решением всех данных неравенств, то совокупность этих неравенств
называют системой неравенств.

Решением системы неравенств с одним
неизвестным называется то значение неизвестного, при котором каждое неравенство
системы обращается в верное числовое неравенство. Множество решений системы
неравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств.

Решить систему неравенств – это значит найти
все решения этой системы или установить, что их нет.

Неравенства, входящие в систему, объединяются фигурной скобкой. Иногда
системы неравенств записывают в виде двойного неравенства. Например, систему можно записать так: 2 < 3x-1 < 8.

Решение системы линейных неравенств с одной переменной сводится к
следующим случаям. Будем считать, что a < b:

( 1 ) ( 2
) ( 3 ) ( 4 )

В случае ( 1 ) решением системы служит промежуток (b; +∞) ( рис 1, а);

в случае ( 2 ) – промежуток ( a; b) (рис 1, б);

в случае ( 3 ) – промежуток ( -∞; a) (рис 1, в);

в случае ( 4 ) система не имеет решений (рис 1, г).

                a
b            x              a         b        x            a            b
x                 a       b        х

а)                                     б)
в)                                    г)

Рис.1.

Две системы неравенств называют равносильными, если они имеют общее
множество решений, удовлетворяющих этим неравенствам. Равносильность систем
неравенств обозначается также, как и равносильность систем уравнений, т.е. с
помощью знака .

Пример 1. Решить систему неравенств

Решение. Имеем

На координатной прямой изобразим
множество чисел, удовлетворяющих последней системе неравенств ( рис.2). Из
рисунка видно, что эта система, а значит, и данная система не имеют решений.

-2,2 3 х
Рис.2.

Ответ: система не имеет решений.

Пример 2. Решить систему неравенств

Решение. Заменим каждое неравенство системы
равносильным ему неравенством, получим систему

Изобразим на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих
последней системе неравенств ( рис. 3).

2 3,6
8 х Рис. 3.

Множество решений есть промежуток [3,6; 8).

Ответ: [3,6; 8).

Пример 3. Решить систему неравенств

Решение. Решим первое неравенство: 3х – 4 < 8x + 6, -5x < 10, x > -2. Оно выполняется при x > -2.

Решим
второе неравенство : 2x – 1> 5x –
4, -3x > -3, x < 1. Оно
выполняется при x < 1.

Решим
третье неравенство : 11x – 9 ≤ 15x +
3< -4x ≤ 12, x ≥ -3. Оно
выполняется при х ≥ -3.

Все три данных неравенства верны при х ( -2;
1).

-3 -2
1 х Рис. 4.

Ответ: (-2; 1).

Пример 4. Решить систему неравенств

Решение.

Ответ: х >3.

Пример 5. Решить систему неравенств

Решение.

Ответ:

Пример 6. Решить систему неравенств

Решение.

Данное неравенство верно при x < 0.

Ответ: ( – ∞; 0).

Пример 7. Решить систему
неравенств

Решение.

Данное неравенство верно при x > -3.

Ответ: ( -3; +∞).

Пример 8. Укажите наибольшее и
наименьшее целое число, удовлетворяющее системе неравенств

Решение.

Ответ: -31; 2.

Пример 9. Длина основания равнобедренного треугольника равна 12 см.
Каким числом может быть выражена длина боковой стороны, если известно, что
периметр треугольника меньше 80 см ?

Решение. Пусть длина боковой стороны равна х
см.

Тогда

Длина боковой стороны может быть выражена любым числом из промежутка
(6; 34).

Ответ: любым числом их числового промежутка ( 6; 34).

Пример 10. Подберите значения параметров a и b так, чтобы множество решений системы неравенств

а) было пусто;

б) состояло из одного элемента;

в) представляло собой промежуток [5; 10];

г) представляло собой промежуток [5;
+∞).

Решение.
Первое неравенство системы запишем в виде: 2х ≥ 10, х ≥5. Второе неравенство
системы запишем в виде ах ≤ b+1.

а) Множество решений системы будет
пусто, если

a>0, x₁ ≤
(b+1):a x
₁ 5 x

Рис.5.

Т.е. х₁ < 5. Выберем
такие а и b, чтобы .
Например, а = 2, b = 7.

б) Множество решений системы
неравенств будет состоять из одного элемента, если

a>0, x₁ =
(b+1):a
x ₁ = 5 x

Рис.6.

Т.е. х₁ = 5. Выберем такие
а и b, чтобы . Например, а = 3, b = 14.

в) множество решений данной системы
неравенств будет представлять собой промежуток [5; 10],
если

a>0, x₁ ≤
(b+1):a
5 10 x

Рис.7.

Т.е. х₁ = 10. Выберем
такие а и b, чтобы .
Например, а = 1, b = 9.

г) множество решений данной системы
неравенств будет представлять собой промежуток [5; +∞), если

a < 0, x₁ ≥ (b+1):a х₁=5 x

Рис.8.

Т.е. х₁ = 5. Выберем такие
а и b, чтобы . Например, а = -2, b = -11.

Ответ: а) например, а = 2, b = 7; б) например, а
= 3, b = 14;

в) например, а = 1, b = 9;

г) например, а = -2, b = -11.

Пример
11. Изобразить множество точек на плоскости,
определяемое системой неравенств

Решение. Так как
х + у < 1, то у < 1 – х; так как 2х – у < 2, то у > 2х – 2.
Множество, задаваемое системой неравенств состоит из точек, лежащих под прямой
у = 1 – х и одновременно над прямой у = 2х – 2. Т.е. множество решений каждого
из этих линейных неравенств есть полуплоскость. Множество, определяемое
системой этих неравенств есть пересечение полуплоскостей.

у=1-х

у=2х-2

0 1 х

-2

Рис. 9.

Пример 12. На координатной плоскости покажите с помощью штриховки множество точек
F, задаваемое системой неравенств Какую
фигуру представляет собой множество F?

Решение. Множество, задаваемое системой неравенств состоит из точек, лежащих
под прямой у = 5х + 4 и одновременно над прямой у = 5х +1. Т.е. множество
решений каждого из этих линейных неравенств есть полуплоскость. Множество,
определяемое системой этих неравенств есть полоса.

y F

у = 5х + 4

у = 5х + 1

0 х

Рис. 10.

Ответ:
полоса.

Пример 13. На координатной плоскости покажите с помощью штриховки множество точек
F, задаваемое системой неравенств Какую
фигуру представляет собой множество F?

Решение. Множество, задаваемое системой неравенств состоит из точек, лежащих
под прямой у = -2х +4 и одновременно над прямой у = 3х +1. Т.е.
множество решений каждого из этих линейных неравенств есть полуплоскость.
Множество, определяемое системой этих неравенств есть угол.

у = -2х + 4

0 2 х

у
= 3х + 1

Рис.
11. Ответ: угол.

Пример 14. На координатной плоскости покажите с помощью штриховки множество точек
F, задаваемое системой неравенств Какую
фигуру представляет собой множество F?

Решение.
Множество, задаваемое системой неравенств состоит из точек, лежащих под прямой
у = -2х +4 и одновременно под прямой у = х +2 и над прямой у = -5. Т.е.
множество решений каждого из этих линейных неравенств есть полуплоскость.
Множество, определяемое системой этих неравенств есть треугольник.

у

у = х + 2

0
х

у = -2х + 4

-5

у = -5

Рис.
12.

Ответ:
треугольник.

Пример 15. На координатной плоскости покажите с помощью штриховки множество точек F, задаваемое системой неравенств Какую
фигуру представляет собой множество F?

Решение. Множество, задаваемое системой неравенств состоит из точек, лежащих
под прямой у = -х + 6 и одновременно под прямой у = 2х +8 и над прямой у
= -х + 2 и над прямой 2х + 2. Т.е. множество решений каждого из этих линейных
неравенств есть полуплоскость. Множество, определяемое системой этих неравенств
есть параллелограмм.

у

у = 2х + 2

у = – х + 6

у = 2х + 8

у = – х + 2

-4 –1 0 2 х

Рис.
13.

Ответ:
параллелограмм.

Пример 16. Задайте системой неравенств фигуру,
показанную на рисунке 14 штриховкой.

а) б)

в) г)

Рис.
14.

Решение. а)

б) Составим
уравнение прямой, проходящей через точки ( 5; 0) и ( 0; 8):

у = -1,6х + 8 – уравнение прямой,
проходящей через точки ( 5; 0) и ( 0; 8).

Искомая система
неравенств:

в)

у = -х + 3 –
уравнение прямой, проходящей через точки ( 3; 0) и ( 0; 3).

у = 0,5х + 3 –
уравнение прямой, проходящей через точки ( -6; 0) и ( 0; 3).

у = 2х – 6 –
уравнение прямой, проходящей через точки ( 3; 0) и ( 0; -6).

Искомая система
неравенств:

г) Зная для каждой
из прямых, ограничивающих четырехугольник, координаты двух точек, записываем ее
уравнение.

Искомая система
неравенств:

Ответ: а) б) в)
г)

Пример 17. Задайте системой неравенств четырехугольник АВСD,
вершинами которого служат точки: А ( -5; 0), В (1; 3), С ( 3; -1); D ( -2; -4).

Решение.

Четырехугольник АВСD ограничен прямыми АВ, ВС, CD, DA ( рис. 15). Зная координаты двух точек прямой, можно записать
уравнение этой прямой.

Для прямой АВ
имеем:

у = 0,5х + 2,5 – уравнение прямой АВ.

Рис. 15.

Для прямой ВС
имеем:

у = -2х + 5 –
уравнение прямой ВС.

Для прямой СD имеем:

у = 0,6х – 2,8 –
уравнение прямой CD.

Для прямой DA имеем:

у = x – уравнение прямой DA.

Искомая система
неравенств:

Ответ:

Пример 18. Покажите штриховкой множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют
неравенству: а) у > x; б) ; в) ; г) .

Решение. а) См. рис. 16, а.

б) Искомое
множество – множество точек, расположенных выше графика функции ( рис. 16, б).

в) Рассмотрим
отдельно каждую из координатных четвертей. В I четверти
неравенство примет вид у > х. Ему соответствует множество точек первого
координатного угла, расположенного выше биссектрисы этого угла. Во II и III четвертях, неравенству удовлетворют координаты
любой из точек. В IV четверти неравенство примет вид –у
> x, т.е. у < -х. Ему соответствует множество точек
четвертого координатного угла, расположенного ниже его биссектрисы ( рис. 16,
в).

г) Рассматриваем
отдельно каждую из координатных четвертей ( рис. 16, г).

а) б)

в) г)

Рис.
16.

Пример 19. Покажите штриховкой множество точек координатной
плоскости, координаты которой удовлетворяют неравенству:

а) (х –
8)(у – 4) ≥ 0; б) ( х – 2)(у + 6) ≤ 0; в) х² – у² ≥
0; г) х² – 4у² ≤ 0.

Решение. а)
Неравенство верно, если или ( рис. 17, а).

б) Неравенство верно, если или (
рис. 17, б).

в) Представим неравенство в виде ( х – у)( х +
у0 ≥ 0. Неравенство верно, если или ( рис. 17, в).

г) Представим неравенство в виде ( х – 2у)(х +
2у) ≤ 0. Неравенство верно, если или ( рис. 17, г).

а) б)

в) г)

Рис.
17.

Задания для самостоятельного решения

Решите систему неравенств:

5. Укажите
наибольшее и наименьшее целое число, удовлетворяющее системе неравенств:

6. Подберите значение параметра a так, чтобы для системы неравенств

а)наименьшее целое число, удовлетворяющее системе, было равно 3;

б)наибольшее целое число, удовлетворяющее системе, было равно 12;

в) не существовало бы ни одного целого числа, удовлетворяющего системе.

7. Решите
систему неравенств : а) б)

в) г)

8. Решите
систему неравенств:

а) б)

в) г)

9. Решите
систему неравенств:

а) б)

в) г)

10. Решите
систему неравенств:

а) б)

в)

г)

11. При
каких значениях а система неравенств имеет хотя бы одно решение:

а) б)
в) г)

12. При
каких значениях а система неравенств не имеет решений:

а) б)
в) г)

13. Существуют
ли такие значения а, при которых решением системы неравенств является промежуток: а) ( 5; + ∞); б)
( 3; +∞); в) [3; +∞); г) ( 2; +∞) ?

14. Существуют
ли такие значения а, при которых решением системы неравенств является промежуток: а) ( -∞ ; 7);
б) ( -∞; 5); в) ( -∞; 5]; г) ( -∞; 2) ?

15. При
каких значениях а система неравенств не
имеет решений?

16. При
каких значениях а система неравенств имеет хотя бы одно
решение?

17. Решите
двойное неравенство : а) –3 < 3 – 2x < 1; б) –2
< 3x – 1 < -1;

в) 0 < 4 – 3x
< 2; г) 0 < 1 – 2x < 1.

18. Решите
систему неравенств:

а) б)
в) г)

19.
Решите систему неравенств:

а) б) в) г)

20. Найдите
середину промежутка, являющегося множеством решений системы неравенств:

а) б)

21. Найдите
наименьшее целое х, удовлетворяющее системе неравенств:

22. Найдите
наибольшее целое х, удовлетворяющее системе неравенств:

23. При
каких значениях k и b множество
точек плоскости, задаваемое системой неравенств а)
представляет собой полосу; б) представляет собой угол; в) пустое множество?

24. Запишите
систему неравенств, задающую на координатной плоскости множество точек,
показанное штриховкой на рисунке 20.

а) б)

в) г)

Рис. 20.

Ответы: 1. х [-0,5; 0,5).   2. х (-3; -1).   3. х (2,4; 18).   4. х ≤ 0.      5. 0;
2.    6. а) например, а =1;   б) например, а
=0,5;     в) например, а =13,2.

9. а)
1<x<3; б) 4/7 < x <
8/3; в) 1/7 < x <16/7; г) x
> 4. 10. а) 0,05<x<0,1.

11. а) a<3; б) а<5; в) а ≤ 7; г) а ≥
2. 12. а) а ≥ 2; б) а ≥ 2; в) а > 5; г) а ≤ 2.

13. а) а = 5; б) а ≤ 3; в), г) не существует. 14. а) Не
существует; б) а = 5; в) а > 5; г) а = 2.

15. а ≤ 2. 16. а > 21/127. 17. а) 1<x<3; б) –1/3 <x<0. 18. а)
–0,5<x<0,6; б) 0,25<x<1/3.

19. а) х=1,5; в) 3,6< x <5; г) 1 < x ≤ 2,5. 20. а) 0,925; б) –0,5. 21. 1. 22.5.

23. а) при k = 3, b < -1;
б) k ≠ 3, b – любое; в) k = 3 , b > -1. ( см. рис. 25)

0 2 х

Рис. 25.

24. а) б) в) г)

Источник

Задание 1750

Найдите наименьшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств: $$left{begin{matrix}6x+18leq0\ x+8geq2end{matrix}right.$$

Ответ: -6

Скрыть

$$left{begin{matrix}6x+18leq0\ x+8geq2end{matrix}right.Leftrightarrow$$$$left{begin{matrix}6x leq -18|:6 \ xgeq 2-8 end{matrix}right.Leftrightarrow$$$$left{begin{matrix}x leq -3\ xgeq -6 end{matrix}right.$$
Получаем, что $$x in [-6;-3]$$, тогда наименьшее значение $$x=-6$$

Задание 1751

Найдите наибольшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств: $$left{begin{matrix}5x+15leq 0\ x+5geq 1end{matrix}right.$$

Ответ: -3

Скрыть

$$left{begin{matrix}5x+15leq 0\ x+5geq 1end{matrix}right.Leftrightarrow$$$$left{begin{matrix}5xleq -15\ xgeq 1-5end{matrix}right.Leftrightarrow$$$$left{begin{matrix}xleq -3\ xgeq -4end{matrix}right.$$
То есть мы получили, что $$xin [ -4; -3]$$. В таком случае наибольшее значение будет $$x=-3$$

Задание 4839

На каком рисунке изображено множество решений системы неравенств

$$left{begin{matrix}2(x+2)-7<15\-3x+12<0end{matrix}right.$$

Ответ: 1

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$left{begin{matrix}2(x+2)-7<15\-3x+12<0end{matrix}right.$$ $$Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}2x+4-7-15<0\-3x<-12end{matrix}right.$$ $$Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}2x<18\x>4end{matrix}right.$$ $$Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}x<9\x>4end{matrix}right.$$

Задание 5030

Найдите сумму наибольшего целого и наименьшего целого решения системы $$left{begin{matrix}x+4<2x+3\3x-4leq2x+4end{matrix}right.$$

Ответ: 10

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$left{begin{matrix}x+4<2x+3\3x-4leq2x+4end{matrix}right.$$ $$Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}x-3<2x-x\3x-2xleq4+4end{matrix}right.$$ $$Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}x>1\xleq8end{matrix}right.$$

$$x_{min}=2$$; $$x_{max}=8$$

Задание 6778

На каком рисунке изображено множество решений системы неравенств $$left{begin{matrix}2x-3<1\ 5-3x>8end{matrix}right.$$

Ответ: 3

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$left{begin{matrix}2x-3<1\5-3x>8end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}2x<4\-3x>3end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$left{begin{matrix}x<2\x<-1end{matrix}right.Leftrightarrow$$ $$x<-1$$, что соответствует 3 варианту ответа ( т.к. $$(-4;1) in (-infty ;-1)$$ )

Задание 7461

Найдите сумму наибольшего целого и наименьшего целого решения системы $$left{begin{matrix}2x+5<3x+7\ 5x-3leq 4x+3end{matrix}right.$$

Ответ: 5

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$left{begin{matrix}2x+5<3x+7\ 5x-3leq 4x+3end{matrix}right.Leftrightarrow$$$$left{begin{matrix}5-7<3x-2x\ 5x-4xleq 3+3end{matrix}right.Leftrightarrow$$$$left{begin{matrix}x>-2\ xleq 6end{matrix}right.$$ Так как первое неравенство строгое, то -2 в ответ не входит, следовательно, наименьшее целое будет -1. Наибольше же целое составляет 6. Тогда их сумма : $$-1+6=5$$

Задание 7581

Укажите решение системы неравенств $$left{begin{matrix}-9+3x<0\ 2-3x>-10end{matrix}right.$$

$$(-infty;3)$$
$$(-infty;4)$$
$$(3;+infty)$$
$$(3;4)$$

Ответ: 1

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 7751

Найдите наименьшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств: $$left{begin{matrix} 5x+12geq 0\ 3x-5leq 7 end{matrix}right.$$

Ответ: -2,4

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 9436

Укажите множество решений системы неравенств $$left{begin{matrix}x<-3\9-x<0end{matrix}right.$$

Ответ: 4

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 9915

Укажите номер решения системы неравенств $$left{begin{matrix} x+4geq -4,5\ x+4leq 0 end{matrix}right.$$

$$[-8,5;-4]$$
$$[4;+infty)$$
$$(-infty;-8,5]$$
$$(-infty;-8,5]cup[4;+infty)$$

Ответ: 1

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 10353

Решите систему неравенств $$left{begin{matrix} x-4geq 0\ x-0,3geq 1 end{matrix}right.$$. В ответе укажите номер правильного ответа.

$$[1,3;+infty)$$
$$[4;+infty)$$
$$[1,3;4]$$
$$(-infty;1,3]cup[4;+infty)$$

Ответ: 2

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Задание 10951

Решите систему неравенств $$left{ begin{array}{c} x^2le 4 \ x+3ge 0 end{array} right.$$. В ответе укажите номер правильного ответа.

$$genfrac{}{}{0pt}{}{1) (-infty ;3]}{ begin{array}{c} 2) left(-infty ;3right]cup [2;+infty ) \ 3)[-2;2] \ 4)[-2;3] end{array} }$$

Ответ: 3

Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
$${rm }left{ begin{array}{c}
x^2le 4 \
x+3ge 0 end{array}
right.leftrightarrow left{ begin{array}{c}
(x-2)(x+2)le 0 \
xge -3 end{array}
right.leftrightarrow left{ begin{array}{c}
xge -2 \
xle 2 \
xge -3 end{array}
right.leftrightarrow xin left[-2;2right],$$ т.е. 3 вариант.

Источник

Виды неравенств и способы их решения

1. Линейные неравенства и системы неравенств

2. Квадратные неравенства

3. Неравенства высших степеней

4. Рациональные неравенства

5. Иррациональные неравенства

6. Показательные, логарифмические неравенства и системы неравенств

Задания для самостоятельного решения

Базовый уровень

Целые неравенства и системы неравенств

Рациональные неравенства и системы неравенств

Иррациональные неравенства

Показательные, логарифмические неравенства и системы неравенств

Повышенный уровень

Ответы

<img loading="lazy" decoding="async" onError="javascript: wp_broken_images = window.wp_broken_images || function(){}; wp_broken_images(this);" width="12" height="183" src="https://documents.infourok.ru/dd48bcf4-3665-4405-b4ef-dd4a0906a96d/0/image084.png" /> у

<img loading="lazy" decoding="async" onError="javascript: wp_broken_images = window.wp_broken_images || function(){}; wp_broken_images(this);" width="278" height="254" src="https://documents.infourok.ru/dd48bcf4-3665-4405-b4ef-dd4a0906a96d/0/image097.png" />

Пример 16. Задайте системой неравенств фигуру, показанную на рисунке 14 штриховкой.

Пример 19. Покажите штриховкой множество точек координатной плоскости, координаты которой удовлетворяют неравенству:

а) (х – 8)(у – 4) ≥ 0; б) ( х – 2)(у + 6) ≤ 0; в) х2 – у2 ≥ 0; г) х2 – 4у2 ≤ 0.

Задания для самостоятельного решения

Задание 1750

Задание 1751

Задание 4839

Задание 5030

Задание 6778

Задание 7461

Задание 7581

Задание 7751

Задание 9436

Задание 9915

Задание 10353

Задание 10951

Вам также может понравиться

Как найти телефон если папа спрятал

Как найти интересные сериалы

Как найти название мультфильма по описанию

Добавить комментарий Отменить ответ

у

Пример 16. Задайте системой неравенств фигуру,
показанную на рисунке 14 штриховкой.

Пример 19. Покажите штриховкой множество точек координатной
плоскости, координаты которой удовлетворяют неравенству:

а) (х –
8)(у – 4) ≥ 0; б) ( х – 2)(у + 6) ≤ 0; в) х² – у² ≥
0; г) х² – 4у² ≤ 0.